Орон зайд огтлолцох шугамыг тодорхойлох. Орон зай дахь хоёр шугамын харьцангуй байрлал. Хажуу шугамын туршилтын баталгаа. Орон зайн шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ

Лекц: огтлолцох, зэрэгцээ ба огтлолцох шугамууд; шугамын перпендикуляр байдал

огтлолцсон шугамууд

Хэрэв хавтгай дээр хэд хэдэн шулуун шугам байгаа бол эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэдгээр нь дур зоргоороо эсвэл зөв өнцгөөр огтлолцох эсвэл параллель байх болно. Тохиолдол бүрийг авч үзье.

Наад зах нь нэг огтлолцох цэгтэй шугамуудыг огтлолцсон гэж нэрлэж болно.

Ядаж нэг шулуун шугам яагаад нөгөө шулуун шугамыг хоёр, гурван удаа огтолж болохгүй гэж та асууж болно. Чиний зөв! Гэхдээ шулуун шугамууд бие биетэйгээ бүрэн давхцаж болно. Энэ тохиолдолд хязгааргүй тооны нийтлэг цэгүүд байх болно.

Параллелизм

ЗэрэгцээХэзээ ч огтлолцохгүй мөрүүдийг та хязгааргүйд ч нэрлэж болно.

Өөрөөр хэлбэл, параллель гэдэг нь нэг нийтлэг цэггүй байдаг. Үүнийг анхаарна уу энэ тодорхойлолтШулуун нь нэг хавтгайд байгаа тохиолдолд л үнэн боловч өөр өөр хавтгайд байгаа нийтлэг цэгүүд байхгүй бол тэдгээрийг огтлолцсон гэж үзнэ.

Амьдралын зэрэгцээ шугамуудын жишээ: дэлгэцийн хоёр эсрэг талын ирмэгүүд, дэвтэр дээрх шугамууд, түүнчлэн дөрвөлжин, тэгш өнцөгт болон бусад хэлбэртэй зүйлсийн бусад олон хэсгүүд.

Тэр нэг шулуун шугамыг бичгээр харуулахыг хүссэн үедээ хоёр дахь параллель, дараа нь дараах тэмдэглэгээг ашиглана a||b. Энэ оруулга нь а шугам b шугамтай параллель байна гэж бичсэн байна.

Энэ сэдвийг судлахдаа өөр нэг мэдэгдлийг ойлгох нь чухал: өгөгдсөн шулуунд хамаарахгүй хавтгай дээрх тодорхой цэгээр дамжуулан нэг параллель шугам зурж болно. Гэхдээ анхаарлаа хандуулаарай, дахин залруулга онгоцонд байна. Хэрэв бид авч үзвэл гурван хэмжээст орон зай, тэгвэл огтлолцохгүй, огтлолцох хязгааргүй тооны шулуун шугам татах боломжтой.

Дээр дурдсан мэдэгдлийг гэж нэрлэдэг зэрэгцээ шугамын аксиом.

Перпендикуляр байдал

Шууд шугамыг зөвхөн хэрэв дуудаж болно перпендикуляр, хэрэв тэдгээр нь 90 градустай тэнцүү өнцгөөр огтлолцвол.

Орон зайд шугамын тодорхой цэгээр дамжуулан хязгааргүй тооны перпендикуляр шугам зурж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид хавтгайн тухай ярьж байгаа бол шугамын нэг цэгээр дамжуулан нэг перпендикуляр шугам зурж болно.

Шулуун шугамыг гаталсан. Секант

Хэрэв зарим шугамууд тодорхой цэг дээр дурын өнцгөөр огтлолцдог бол тэдгээрийг дуудаж болно эрлийзжих.

Аливаа огтлолцсон шугамууд нь босоо болон зэргэлдээ өнцөгтэй байдаг.

Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцгүүдийн нэг тал нь нийтлэг байвал тэдгээрийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.

Зэргэлдээх өнцөг нь 180 градус хүртэл нэмэгддэг.

Хэрэв огторгуйн хоёр шулуун нийтлэг цэгтэй бол энэ хоёр шулуун огтлолцсон гэж хэлнэ. Дараах зурагт a ба b шулуунууд А цэг дээр огтлолцдог. a ба c шугамууд огтлолцдоггүй.

Аливаа хоёр шулуун шугам нь зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй эсвэл нийтлэг цэггүй байдаг.

Зэрэгцээ шугамууд

Сансар огторгуйн хоёр шулуун нэг хавтгайд оршдог, огтлолцдоггүй бол тэдгээрийг параллель гэнэ. Зэрэгцээ шугамыг тэмдэглэхийн тулд тусгай дүрс ашиглана уу - ||.

a||b тэмдэглэгээ нь а мөр b шулуунтай параллель байна гэсэн үг. Дээрх зурагт a ба c шугамууд зэрэгцээ байна.

Зэрэгцээ шугамын теорем

Өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй огторгуйн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель шугам, үүнээс гадна зөвхөн нэг шулуун дамждаг.

Хөндлөнгийн шугамууд

Нэг хавтгайд байрлах хоёр шулуун огтлолцох эсвэл параллель байж болно. Гэхдээ огторгуйд хоёр шулуун шугам энэ хавтгайд хамаарах албагүй. Тэд хоёр өөр хавтгайд байрлаж болно.

Янз бүрийн хавтгайд байрлах шугамууд огтлолцохгүй, зэрэгцээ шугам биш гэдэг нь ойлгомжтой. Нэг хавтгайд ороогүй хоёр шулууныг нэрлэдэг шулуун шугамыг гатлах.

Дараах зурагт өөр өөр хавтгайд орших хоёр огтлолцсон a ба b шулуун шугамыг үзүүлэв.

Ташуу шугам дээрх тест ба теорем

Хэрэв хоёр шулууны нэг нь тодорхой хавтгайд хэвтэж, нөгөө шулуун нь энэ хавтгайг эхний мөрөнд ороогүй цэгээр огтолж байвал эдгээр шулуунууд огтлолцоно.

Ташуу шугам дээрх теорем: огтлолцсон хоёр шулуун тус бүрээр нөгөө шулуунтай параллель хавтгай, үүнээс гадна зөвхөн нэг хавтгай дамждаг.

Тиймээс бид орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлалын бүх боломжит тохиолдлыг авч үзсэн. Тэдний гурав нь л байна.

1. Шугамууд огтлолцдог. (Тэдэнд зөвхөн нэг нийтлэг зүйл бий.)

2. Шугамууд зэрэгцээ байна. (Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрт нийтлэг цэг байдаггүй бөгөөд нэг хавтгайд байрладаг.)

3. Шулуун шугамууд хөндлөн гардаг. (өөрөөр хэлбэл тэд өөр өөр онгоцонд байрладаг.)

Би Вердовын шинэ файл үүсгэж, ийм сонирхолтой сэдвийг үргэлжлүүлэхээс өмнө нэг минут ч өнгөрөөгүй. Та ажлын сэтгэлийн агшинг авах хэрэгтэй, тиймээс уянгын танилцуулга байхгүй болно. Зохиолын шинжтэй алгадах болно =)

Хоёр шулуун зай нь:

1) эрлийз;

2) цэг дээр огтлолцох;

3) зэрэгцээ байх;

4) таарах.

1-р хэрэг бусад хэргүүдээс үндсэндээ ялгаатай. Нэг хавтгайд хэвтэхгүй бол хоёр шулуун огтлолцоно. Нэг гараа дээшээ өргөж, нөгөө гараа урагш сунгана - энд шугам дамжих жишээ байна. 2-4-р цэгүүдэд шулуун шугамууд хэвтэх ёстой нэг хавтгайд.

Орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлалыг хэрхэн олж мэдэх вэ?

Хоёр шууд зайг авч үзье:

- Чигээрээ, цэгээр өгөгдсөнба чиглэлийн вектор;
– цэг ба чиглэлийн вектороор тодорхойлогдсон шулуун шугам.

Илүү сайн ойлгохын тулд бүдүүвч зураг зурцгаая.

Зураг дээр жишээ болгон огтлолцсон шулуун шугамуудыг харуулав.

Эдгээр шулуун шугамуудтай хэрхэн харьцах вэ?

Цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа тул векторыг олоход хялбар байдаг.

Хэрэв шулуун бол эрлийз, дараа нь векторууд хавтгай биш(хичээлийг үзнэ үү Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс), тиймээс тэдгээрийн координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэг биш байна. Эсвэл яг ижил зүйл бол тэг биш байх болно: .

2-4-р тохиолдолд бидний бүтэц нэг хавтгайд "унадаг" бол векторууд хавтгай, мөн шугаман хамааралтай векторуудын холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: .

Алгоритмыг цааш нь өргөжүүлье. Ингэж жүжиглэе Тиймээс шугамууд огтлолцдог, параллель эсвэл давхцдаг.

Хэрэв чиглэл нь вектор байвал collinear, дараа нь шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна. Эцсийн хадаасны хувьд би дараах техникийг санал болгож байна: нэг шулуун дээрх дурын цэгийг авч, түүний координатыг хоёр дахь шугамын тэгшитгэлд орлуулах; Хэрэв координатууд "тохирох" бол шугамууд давхцаж байгаа бол "тохирохгүй" бол шугамууд зэрэгцээ байна.

Алгоритм нь энгийн, гэхдээ практик жишээнүүдодоо ч өвдөхгүй:

Жишээ 11

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг олоорой

Шийдэл: геометрийн олон асуудлын нэгэн адил шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

1) Бид тэгшитгэлээс цэг ба чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг.

2) векторыг ол:

Тиймээс векторууд нь хоорондоо уялдаатай байдаг бөгөөд энэ нь шугамууд нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд огтлолцох, параллель эсвэл давхцах боломжтой гэсэн үг юм.

4) Чиглэлийн векторуудын коллинеар байдлыг шалгая.

Эдгээр векторуудын харгалзах координатуудаас систем үүсгэцгээе.

-аас хүн бүрТэгшитгэлээс харахад систем нь тууштай, векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ, векторууд нь коллинеар байдаг.

Дүгнэлт: шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

5) Шулуунууд нийтлэг цэгтэй эсэхийг олж мэд. Эхний мөрөнд хамаарах цэгийг авч, координатыг нь шулууны тэгшитгэлд орлуулъя.

Тиймээс шугамууд нь нийтлэг цэггүй бөгөөд тэдгээр нь зэрэгцээ байхаас өөр аргагүй юм.

Хариулт:

Сонирхолтой жишээУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 12

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хоёр дахь мөрөнд параметрийн хувьд үсэг байгааг анхаарна уу. Логик. Ерөнхийдөө эдгээр нь хоёр өөр мөр тул мөр бүр өөрийн гэсэн параметртэй байдаг.

Би дахин жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг уриалж байна, миний санал болгож буй ажлууд санамсаргүй биш юм ;-)

Орон зайн шугамтай холбоотой асуудлууд

Хичээлийн эцсийн хэсэгт би авч үзэхийг хичээх болно дээд хэмжээорон зайн шугамтай холбоотой янз бүрийн асуудал. Энэ тохиолдолд түүхийн анхны дараалал ажиглагдах болно: эхлээд бид огтлолцох шугам, дараа нь огтлолцох шугамтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх бөгөөд төгсгөлд нь орон зайд параллель шугамын тухай ярих болно. Гэсэн хэдий ч энэ хичээлийн зарим даалгаврыг шугамын байршлын хэд хэдэн тохиолдлуудад нэг дор томъёолж болох бөгөөд үүнтэй холбогдуулан хэсгийг догол мөрөнд хуваах нь зарим талаараа дур зоргоороо байдаг гэдгийг би хэлэх ёстой. Илүү олон бий энгийн жишээнүүд, илүү олон байна нарийн төвөгтэй жишээнүүд, мөн хүн бүр өөрт хэрэгтэй зүйлээ олно гэж найдаж байна.

Хөндлөнгийн шугамууд

Шулуун шугамууд хоёулаа орших хавтгай байхгүй бол огтлолцдог гэдгийг сануулъя. Дасгал хийж байхдаа нэг мангасын асуудал санаанд орж ирсэн бөгөөд одоо би дөрвөн толгойтой лууг та бүхэнд толилуулж байгаадаа баяртай байна.

Жишээ 13

Шулуун шугамууд өгөгдсөн. Шаардлагатай:

a) шугамууд огтлолцож байгааг батлах;

б) өгөгдсөн шулуунуудад перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олох;

в) агуулсан шулуун шугамын тэгшитгэл зохиох нийтлэг перпендикулярогтлолцох шугам;

г) шугам хоорондын зайг ол.

Шийдэл: Алхаж байгаа хүн замыг эзэмшинэ:

a) Шугаманууд огтлолцож байгааг баталцгаая. Эдгээр шулуунуудын цэг ба чиглэлийн векторуудыг олцгооё.

Векторыг олъё:

Тооцоолъё векторуудын холимог бүтээгдэхүүн:

Тиймээс векторууд хавтгай биш, энэ нь шугамууд огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Шугам дамжихын тулд баталгаажуулах алгоритм нь хамгийн богино байдаг гэдгийг хүн бүр эртнээс анзаарсан байх.

б) Цэгээр дамжин өнгөрч буй шулууны перпендикуляр шулууны тэгшитгэлийг ол. Схемийн зургийг хийцгээе:

Өөрчлөлт хийхийн тулд би шууд нийтэлсэн АРДшулуун, уулзвар дээр бага зэрэг арчигдаж байгааг хараарай. Эрлийзжүүлэх үү? Тиймээ, ерөнхийдөө "de" шулуун шугам нь анхны шулуун шугамтай гатлах болно. Хэдийгээр бид энэ мөчийг сонирхохгүй байгаа ч бид зүгээр л перпендикуляр шугам барих хэрэгтэй, тэгээд л болоо.

Шууд "de"-ийн талаар юу мэддэг вэ? Түүнд хамаарах цэг нь мэдэгдэж байна. Хөтөч вектор хангалтгүй байна.

Нөхцөлийн дагуу шулуун шугам нь шулуун шугамуудад перпендикуляр байх ёстой бөгөөд энэ нь түүний чиглэлийн вектор нь чиглэлийн векторуудад ортогональ байна гэсэн үг юм. Жишээ №9-ийг аль хэдийн мэддэг болсон тул вектор үржвэрийг олцгооё.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан "de" шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Бэлэн. Зарчмын хувьд та хуваагч дахь тэмдгүүдийг өөрчилж, хариултыг маягтаар бичиж болно , гэхдээ ингэх шаардлагагүй.

Шалгахын тулд та цэгийн координатыг шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь дараахыг ашиглана уу. векторуудын скаляр үржвэрвектор нь “pe one” болон “pe two” чиглэлийн векторуудад үнэхээр ортогональ байгаа эсэхийг шалгаарай.

Нийтлэг перпендикуляр агуулсан шулууны тэгшитгэлийг хэрхэн олох вэ?

в) Энэ асуудал илүү хэцүү байх болно. Би дамми хүмүүст энэ цэгийг алгасахыг зөвлөж байна, аналитик геометрийг чин сэтгэлээсээ өрөвдөхийг би хүсмээргүй байна =) Дашрамд хэлэхэд илүү бэлтгэгдсэн уншигчид ч бас саатсан нь дээр байж болох юм, үнэндээ жишээ нь нарийн төвөгтэй байдлын хувьд жишээ юм. Өгүүллийн хамгийн сүүлд байрлуулах ёстой, гэхдээ танилцуулгын логикийн дагуу энд байрлах ёстой.

Тиймээс та хазайсан шугамын нийтлэг перпендикулярыг агуулсан шулууны тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй.

- энэ нь эдгээр шугамуудыг холбосон сегмент бөгөөд эдгээр шугамтай перпендикуляр:

Энд манай царайлаг залуу байна: - огтлолцсон шугамын нийтлэг перпендикуляр. Тэр цорын ганц. Үүнээс өөр байхгүй. Бид энэ сегментийг агуулсан шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх хэрэгтэй.

Шууд "ам"-ын талаар юу мэддэг вэ? Түүний чиглэлийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд өмнөх догол мөрөнд байдаг. Гэвч харамсалтай нь бид "em" шулуун шугамд хамаарах ганц цэгийг мэдэхгүй, перпендикулярын төгсгөлүүд болох цэгүүдийг ч мэдэхгүй. Энэ перпендикуляр шугам нь анхны хоёр шулууныг хаана огтлох вэ? Африкт уу, Антарктидад уу? Нөхцөл байдлын анхны хяналт, шинжилгээнээс харахад асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх нь огтхон ч тодорхойгүй байна... Гэхдээ байдаг төвөгтэй алхам, параметрийн шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглахтай холбоотой.

Бид шийдвэрээ цэг болгон томъёолно.

1) Эхний мөрийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье.

Гол санааг авч үзье. Бид координатыг нь мэдэхгүй. ГЭХДЭЭ. Хэрэв цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол түүний координатууд нь -тэй тохирч байвал түүнийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь цэгийн координатыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Амьдрал сайжирч байна, нэг үл мэдэгдэх нь гурван үл мэдэгдэх зүйл биш хэвээр байна.

2) Хоёр дахь цэг дээр ижил уур хилэнг хийх ёстой. Хоёр дахь мөрийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье.

Хэрэв цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол маш тодорхой утгатайТүүний координатууд нь параметрийн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой.

Эсвэл:

3) Өмнө нь олдсон вектор шиг вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор байх болно. Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн яаж байгуулах талаар эрт дээр үеэс ангид ярилцдаг байсан Дамми нарт зориулсан векторууд. Одоо ялгаа нь векторуудын координатууд нь үл мэдэгдэх параметрийн утгуудаар бичигдсэн байдаг. Тэгээд юу гэж? Векторын төгсгөлийн координатаас векторын эхлэлийн харгалзах координатыг хасахыг хэн ч хориглодоггүй.

Хоёр цэг байна: .

Векторыг олох нь:

4) Чиглэлийн векторууд нь коллинеар байдаг тул нэг векторыг нөгөөгөөр дамжуулан тодорхой пропорциональ коэффициент "lambda"-аар шугаман байдлаар илэрхийлнэ.

Эсвэл координатаар нь:

Энэ нь хамгийн энгийн зүйл болж хувирав шугаман тэгшитгэлийн системжишээлбэл, гурван үл мэдэгдэх зүйлтэй, энэ нь стандартаар шийдэгддэг. Крамерын арга. Гэхдээ энд бага зэрэг алдагдалтай гарах боломжтой; гурав дахь тэгшитгэлээс бид "lambda" -ыг илэрхийлж, үүнийг эхний болон хоёрдугаар тэгшитгэлд орлуулна.

Тиймээс: , мөн бидэнд "ламбда" хэрэггүй. Параметрийн утга ижил болсон нь зүгээр л осол юм.

5) Тэнгэр бүрэн цэлмэг байна, олсон утгыг орлуулъя бидний оноо:

Чиглэлийн вектор нь тийм ч шаардлагагүй, учир нь түүний эсрэг тал нь аль хэдийн олдсон байдаг.

Урт удаан аялсны дараа шалгах нь үргэлж сонирхолтой байдаг.

:

Зөв тэгш байдлыг олж авна.

Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулъя :

Зөв тэгш байдлыг олж авна.

6) Эцсийн хөвч: цэг (та үүнийг авч болно) болон чиглэлийн вектор ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэцгээе:

Зарчмын хувьд та бүрэн координат бүхий "сайн" цэгийг сонгож болно, гэхдээ энэ нь гоо сайхны бүтээгдэхүүн юм.

Хэрхэн огтлолцох шугам хоорондын зайг олох вэ?

г) Бид луугийн дөрөв дэх толгойг таслав.

Нэгдүгээр арга. Арга ч биш, харин жижиг онцгой тохиолдол. Хөндлөн шугам хоорондын зай нь тэдгээрийн нийтлэг перпендикулярын урттай тэнцүү байна. .

Нийтлэг перпендикулярын туйлын цэгүүд Өмнөх догол мөрөнд байгаа бөгөөд даалгавар нь энгийн зүйл юм:

Хоёр дахь арга. Практикт нийтлэг перпендикулярын төгсгөл нь ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг тул өөр аргыг ашигладаг. Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаар бид зурж болно зэрэгцээ хавтгайнууд, мөн эдгээр хавтгайн хоорондох зай нь эдгээр шулуун шугамын хоорондох зайтай тэнцүү байна. Ялангуяа эдгээр хавтгайн хооронд нийтлэг перпендикуляр гарч ирдэг.

Аналитик геометрийн явцад дээр дурдсан зүйлсээс огтлолцсон шулуун шугамын хоорондох зайг олох томъёог гаргаж авсан болно.
(бидний "нэг, хоёр" гэсэн цэгүүдийн оронд та дурын шугамын цэгүүдийг авч болно).

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн"a" цэг дээр аль хэдийн олдсон: .

Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн"be" гэсэн догол мөрөнд: , түүний уртыг тооцоолъё:

Тиймээс:

Цомуудыг нэг эгнээнд бахархалтайгаар үзүүлцгээе:

Хариулт:
A) , энэ нь шулуун шугамууд огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байсан;
б) ;
V) ;
G)

Та шугам дамжих талаар өөр юу хэлэх вэ? Тэдний хооронд тодорхой өнцөг бий. Гэхдээ бид бүх нийтийн өнцгийн томъёог дараагийн догол мөрөнд авч үзэх болно.

Огтлолцсон шулуун зай нь нэг хавтгайд байх ёстой.

Эхний бодол бол уулзвар дээр бүх хүчээ дайчлан түших явдал юм. Тэгээд яагаад өөрийгөө үгүйсгэж байгаа юм бэ гэж би шууд бодлоо зөв хүсэл?! Яг одоо түүний дээр гарцгаая!

Орон зайн шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 14

Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл: Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье:

Энэ даалгаврыг энэ хичээлийн 7-р жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн (харна уу. Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл). Дашрамд хэлэхэд би 12-р жишээнээс шулуун шугамуудыг авсан. Би худлаа хэлэхгүй, шинэ зураас гаргахаас залхуу байна.

Шийдэл нь стандарт бөгөөд бид огтлолцсон шугамуудын нийтлэг перпендикулярын тэгшитгэлийг олох гэж оролдох үед аль хэдийн тааралдсан.

Шугамануудын огтлолцох цэг нь шугаманд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хангаж, тэдгээрт тохирно. маш тодорхой параметрийн утга:

Гэхдээ энэ ижил цэг нь хоёр дахь мөрөнд хамаарах тул:

Бид харгалзах тэгшитгэлүүдийг тэгшитгэж, хялбаршуулж байна:

Хүлээн авсан гурвын системхоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл. Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол (энэ нь жишээ №12-т батлагдсан) систем нь заавал тууштай, өвөрмөц шийдэлтэй байх ёстой. Үүнийг шийдэж болно Гауссын арга, гэхдээ бид ийм цэцэрлэгийн фетишизмд гэм нүгэл үйлдэхгүй, бид үүнийг илүү хялбар болгох болно: эхний тэгшитгэлээс бид "te тэг" -ийг илэрхийлж, хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Сүүлийн хоёр тэгшитгэл нь үндсэндээ ижил байсан бөгөөд тэдгээрээс харахад . Дараа нь:

Параметрийн олсон утгыг тэгшитгэлд орлъё.

Хариулт:

Шалгахын тулд бид параметрийн олсон утгыг тэгшитгэлд орлуулна.
Шалгах шаардлагатай ижил координатуудыг олж авсан. Нарийвчлалтай уншигчид цэгийн координатыг шугамын анхны каноник тэгшитгэл болгон сольж болно.

Дашрамд хэлэхэд, эсрэгээр нь хийх боломжтой байсан: "es zero" -оор дамжуулан цэгийг олж, "te zero" -оор шалгана уу.

Математикийн алдартай мухар сүсэгт: Шугамын огтлолцлын талаар ярилцаж байгаа газар үргэлж перпендикуляр үнэртэй байдаг.

Өгөгдсөн орон зайд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

(шугам огтлолцдог)

Жишээ 15

a) Шугамантай перпендикуляр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич (шугам огтлолцдог).

б) Цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол.

Анхаарна уу : "шугам огтлолцох" заалт - чухал ач холбогдолтой. Цэгээр дамжуулан
Та "el" шулуун шугамтай огтлолцох хязгааргүй тооны перпендикуляр шугам зурж болно. Өгөгдсөн цэгт перпендикуляр шулуун шугам татах тохиолдолд цорын ганц шийдэл гардаг хоёршулуун шугамаар өгөгдсөн (Жишээ No13, “b” цэгийг үз).

A) Шийдэл: Бид үл мэдэгдэх мөрийг -ээр тэмдэглэнэ. Схемийн зургийг хийцгээе:

Шулуун шугамын талаар юу мэддэг вэ? Нөхцөлийн дагуу оноо өгдөг. Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд чиглэлийн векторыг олох шаардлагатай. Вектор нь ийм векторын хувьд нэлээд тохиромжтой тул бид үүнийг шийдвэрлэх болно. Илүү нарийн, векторын үл мэдэгдэх төгсгөлийг хүзүүгээр нь авъя.

1) "el" шулуун шугамын тэгшитгэлээс түүний чиглэлийн векторыг гаргаж аваад, тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье.

Хичээлийн үеэр ид шидтэн гурав дахь удаагаа малгайнаасаа цагаан хун гаргаж ирнэ гэж олон хүн таамаглаж байсан. Үл мэдэгдэх координаттай цэгийг авч үзье. Цэг нь бол түүний координатууд нь "el" шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хангадаг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой параметрийн утгатай тохирч байна.

Эсвэл нэг мөрөнд:

2) Нөхцөлийн дагуу шугамууд перпендикуляр байх ёстой тул тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ортогональ байна. Хэрэв векторууд нь ортогональ бол тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүнтэгтэй тэнцүү:

Юу болсон бэ? Хамгийн энгийн нь шугаман тэгшитгэлнэг үл мэдэгдэх:

3) Параметрийн утга мэдэгдэж байгаа тул цэгийг олъё:

Мөн чиглэлийн вектор:
.

4) Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцын хуваагч нь бутархай болж хувирсан бөгөөд энэ нь бутархайгаас салах нь зөв үед яг ийм тохиолдол юм. Би зүгээр л -2-оор үржүүлнэ:

Хариулт:

Анхаарна уу : шийдлийн илүү нарийн төгсгөлийг дараах байдлаар албан ёсоор гаргасан: цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор бол коллинеар вектор нь уг шулууны чиглүүлэгч вектор болно.

Баталгаажуулалт нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

1) шулууны чиглэлийн векторуудын ортогональ байдлыг шалгах;

2) бид цэгийн координатыг шугам бүрийн тэгшитгэлд орлуулж, тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь "тохирох" ёстой.

Ердийн үйлдлүүдийн талаар олон зүйл яригдаж байсан тул би ноорог шалгаж үзсэн.

Дашрамд хэлэхэд би өөр нэг цэгийг мартсан - "el" шулуун шугамтай харьцуулахад "en" цэгтэй тэгш хэмтэй "zyu" цэгийг барих. Гэсэн хэдий ч нийтлэлээс олж болох сайн "хавтгай аналог" байдаг Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Энд цорын ганц ялгаа нь нэмэлт "Z" координатад байх болно.

Орон зайн цэгээс шулуун хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ?

б) Шийдэл: Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг олъё.

Нэгдүгээр арга. Энэ зай нь перпендикулярын урттай яг тэнцүү байна: . Шийдэл нь ойлгомжтой: хэрэв цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа бол , Тэр нь:

Хоёр дахь арга. IN практик асуудлуудперпендикулярын суурь нь ихэвчлэн битүүмжилсэн нууц байдаг тул бэлэн томъёог ашиглах нь илүү оновчтой байдаг.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
, “el” шулуун шугамын чиглүүлэх вектор хаана байна, ба – үнэгүйөгөгдсөн шулуунд хамаарах цэг.