x 2 = 4 тэгшитгэлийг авч үзье. Графикаар шийд. Үүний тулд нэг координатын системд y = x 2 парабол ба y = 4 шулуун шугамыг байгуулна (Зураг 74). Тэд A (- 2; 4) ба B (2; 4) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. А ба В цэгүүдийн абсцисса нь x 2 = 4 тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгэхээр x 1 = - 2, x 2 = 2 байна.

Яг үүнтэй адил үндэслэлээр бид x 2 = 9 тэгшитгэлийн язгуурыг олно (74-р зургийг үз): x 1 = - 3, x 2 = 3.

Одоо x 2 = 5 тэгшитгэлийг шийдэж үзье; геометрийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 75. Энэ тэгшитгэл нь x 1 ба x 2 гэсэн хоёр язгууртай бөгөөд эдгээр тоо нь өмнөх хоёр тохиолдлын адил үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү, тэмдгээр эсрэгээрээ (x 1 - - x 2) - Гэхдээ өмнөхөөсөө ялгаатай нь тодорхой байна. Тэгшитгэлийн үндсийг ямар ч хүндрэлгүйгээр олсон тохиолдолд (мөн тэдгээрийг график ашиглахгүйгээр олж болно), x 2 = 5 тэгшитгэлтэй бол энэ нь тийм биш юм: зургийн дагуу бид утгыг зааж чадахгүй. Үндэс, бид зөвхөн нэг үндэс нь зүүн талд 2 цэг, хоёр дахь нь бага зэрэг баруун талд байрладаг болохыг тогтоож чадна.

оноо 2.

2-р цэгийн баруун талд байрлах энэ тоо (цэг) хэд вэ, квадрат нь 5 болно? Энэ нь 3 биш нь тодорхой байна, учир нь 3 2 = 9, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай хэмжээнээс илүү (9 > 5) болж хувирав.

Энэ нь бидний сонирхож буй тоо 2 ба 3 тоонуудын хооронд байрлаж байна гэсэн үг юм. Харин 2 ба 3 тоонуудын хооронд хязгааргүй тооны рационал тоо байх жишээтэй. гэх мэт.. Магадгүй тэдний дунд фракц байх болов уу? Дараа нь бид x 2 - 5 тэгшитгэлд ямар ч асуудал гарахгүй, бид үүнийг бичиж болно

Гэхдээ энд биднийг таагүй гэнэтийн бэлэг хүлээж байна. Тэгш тэгш байдлыг хангасан бутархай байхгүй нь харагдаж байна
Энэ мэдэгдлийн нотолгоо нь нэлээд хэцүү юм. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг үзэсгэлэнтэй, сургамжтай, ойлгохыг хичээх нь маш хэрэгтэй тул толилуулж байна.

Тэгш байдал хангагдсан бууруулж боломгүй бутархай байна гэж үзье. Дараа нь, өөрөөр хэлбэл, m 2 = 5n 2. Сүүлчийн тэгшитгэл нь натурал тоо m 2 нь үлдэгдэлгүйгээр 5-д хуваагдана гэсэн үг юм (хэрэглэлийн хувьд энэ нь n2 болно).

Үүний үр дүнд m 2 тоо нь 5 эсвэл 0 гэсэн тоогоор төгсдөг. Гэхдээ дараа нь натурал m тоо нь 5 эсвэл 0 гэсэн тоогоор төгсдөг. m тоо 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m тоог 5-д хуваавал энэ хуваалтаас ямар нэгэн натурал k тоо гарч ирнэ. Энэ нь,
тэр m = 5k.
Одоо хараарай:
m 2 = 5n 2;
Эхний тэгшитгэлд m-ийн оронд 5k-г орлъё:

(5к) 2 = 5n 2, өөрөөр хэлбэл 25k 2 = 5n 2 эсвэл n 2 = 5k 2.
Сүүлийн тэгш байдал нь тоо гэсэн үг юм. 5n 2 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Дээр дурдсанчлан бид n тоо нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна.
Тэгэхээр m нь 5-д хуваагддаг, n нь 5-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь бутархайг (5-аар) багасгаж болно гэсэн үг юм. Гэхдээ бид бутархайг багасгах боломжгүй гэж үзсэн. Юу болсон бэ? Яагаад бид зөв үндэслэлтэй, утгагүй зүйлд хүрэв, эсвэл математикчдын хэлдэгээр бид зөрчилдөөнтэй болсон юм бэ!
Эндээс бид дүгнэж байна: тийм бутархай байхгүй.
Бидний саяхан ашигласан нотлох аргыг математикт зөрчилдөөнөөр нотлох арга гэж нэрлэдэг. Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Бид тодорхой мэдэгдлийг нотлох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж байна (математикчид "эсрэгээр нь таамаглах" гэж хэлдэг - "тааламжгүй" гэсэн утгаараа биш, харин "шаардлагатай зүйлийн эсрэг" гэсэн утгатай).
Хэрэв зөв үндэслэлийн үр дүнд бид нөхцөлтэй зөрчилдөж байвал бидний таамаглал худал бөгөөд энэ нь бидний батлах ёстой зүйл үнэн гэсэн үг юм.

Тиймээс бид зөвхөн оновчтой тоонуудтай (мөн бусад тоонуудыг хараахан мэдэхгүй) бид x 2 = 5 тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй.
Ийм нөхцөл байдалтай анх удаа тулгарсан математикчид үүнийг математикийн хэлээр дүрслэх арга бодож олох ёстойг ойлгосон. Тэд квадрат язгуур гэж нэрлэсэн шинэ тэмдгийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ тэмдгийг ашиглан x 2 = 5 тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар бичэв.

Үүнд: “квадрат язгуур 5” гэж бичсэн байна).Одоо x 2 = a хэлбэрийн аливаа тэгшитгэлийн хувьд a > O язгууруудыг олох боломжтой - тэдгээр нь тоонууд юм. , (Зураг 76).

Энэ тоо нь бүхэл тоо ч биш, бутархай ч биш гэдгийг онцлон тэмдэглэе.
Энэ нь оновчтой тоо биш, шинэ шинж чанартай тоо гэсэн үг бөгөөд бид дараа нь 5-р бүлэгт ийм тооны талаар тусгайлан ярих болно.
Одоохондоо 2 2 = 4 нь 5-аас бага байх тул шинэ тоо 2 ба 3-ын хооронд байгааг анхааръя; 3 2 = 9 бөгөөд энэ нь 5-аас их байна. Та дараахь зүйлийг тодруулж болно.

Үнэндээ 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Та бас чадна
зааж өгөх:

үнэхээр, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Практикт энэ тоог 2.23-тай тэнцүү эсвэл 2.24-тэй тэнцүү гэж үздэг, зөвхөн энэ нь ердийн тэгш бус байдал, "" гэсэн тэмдгээр тэмдэглэгдсэн ойролцоо тэгш байдал юм.
Тэгэхээр,

x 2 = a тэгшитгэлийн шийдлийн талаар ярилцаж байхдаа бид математикийн хувьд нэлээд ердийн нөхцөл байдалтай тулгарсан. Стандарт бус, хэвийн бус (сансрын нисгэгчдийн хэлэх дуртай) нөхцөл байдалд өөрийгөө олж, мэдэгдэж буй арга хэрэгслийг ашиглан үүнээс гарах арга замыг олохгүй байгаа математикчид математик загварт зориулж шинэ нэр томъёо, шинэ тэмдэглэгээ (шинэ тэмдэг) гаргаж ирдэг. анх удаа тааралдсан; Өөрөөр хэлбэл, тэд шинэ ойлголтыг нэвтрүүлж, дараа нь түүний шинж чанарыг судалдаг
үзэл баримтлал. Ийнхүү шинэ ойлголт, түүний тэмдэглэгээ нь математикийн хэлний өмч болж хувирдаг. Бид ижил аргаар ажилласан: бид "а тооны квадрат язгуур" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлж, үүнийг тодорхойлох тэмдгийг нэвтрүүлсэн бөгөөд хэсэг хугацааны дараа бид шинэ ойлголтын шинж чанарыг судлах болно. Одоогоор бид нэг л зүйлийг мэдэж байгаа: хэрэв a > 0 бол,
тэгвэл x 2 = a тэгшитгэлийг хангасан эерэг тоо байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь эерэг тоо бөгөөд үүнийг квадрат болгоход а тоог гаргадаг.
x 2 = 0 тэгшитгэл нь x = 0 язгууртай тул бид үүнийг хүлээн зөвшөөрсөн
Одоо бид хатуу тодорхойлолт өгөхөд бэлэн байна.
Тодорхойлолт. Сөрөг бус a тооны квадрат язгуур нь квадрат нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Энэ тоог тоогоор тэмдэглэж, радикал тоо гэж нэрлэдэг.
Тэгэхээр, хэрэв а нь сөрөг биш тоо бол:

Хэрвээ< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Тиймээс илэрхийлэл нь зөвхөн > 0-д л утга учиртай болно.
Тэд ингэж хэлдэг - ижил математик загвар (сөрөг бус тоонуудын ижил хамаарал
(a ба b), гэхдээ зөвхөн хоёр дахь нь эхнийхээс илүү энгийн хэлээр дүрслэгдсэн байдаг (илүү энгийн тэмдэг ашигладаг).

Сөрөг бус тооны квадрат язгуурыг олох үйлдлийг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдэл нь квадратын урвуу үйлдэл юм. Харьцуулах:

Квадрат язгуурын тодорхойлолтод заасны дагуу хүснэгтэд зөвхөн эерэг тоо гарч байгааг дахин анхаарна уу. Жишээлбэл, (- 5) 2 = 25 нь жинхэнэ тэгш байдал боловч үүнээс квадрат язгуур ашиглан тэмдэглэгээ рүү шилжинэ үү (жишээ нь үүнийг бичнэ үү).
энэ нь хориотой. A-priory, . эерэг тоо гэсэн үг .
Ихэнхдээ тэд "квадрат язгуур" биш, харин "арифметик квадрат язгуур" гэж хэлдэг. Бид товчилсон "арифметик" гэсэн нэр томъёог орхигдуулдаг.

D) Өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь бид тооны яг утгыг зааж чадахгүй. Энэ нь 4-өөс их, гэхдээ 5-аас бага байх нь тодорхой байна

4 2 = 16 (энэ нь 17-оос бага), 5 2 = 25 (энэ нь 17-оос их).
Гэсэн хэдий ч, тооны ойролцоо утгыг квадрат үндсийг задлах үйлдлийг агуулсан бичил тооцоолуур ашиглан олж болно; Энэ утга нь 4.123.
Тэгэхээр,
Энэ тоо нь дээр дурдсан тоо шиг оновчтой биш юм.
e) Сөрөг тооны квадрат язгуур байхгүй тул үүнийг тооцоолох боломжгүй; оруулга нь утгагүй юм. Санал болгож буй даалгавар нь буруу байна.
e) 31 > 0 ба 31 2 = 961. Ийм тохиолдолд натурал тооны квадратуудын хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур ашиглах хэрэгтэй.
g) 75 > 0 ба 75 2 = 5625 тул.
Хамгийн энгийн тохиолдолд квадрат язгуурын утгыг шууд тооцдог: гэх мэт. Илүү төвөгтэй тохиолдолд та тооны квадратуудын хүснэгтийг ашиглах эсвэл бичил тооцоолуур ашиглан тооцоо хийх хэрэгтэй. Хэрэв танд ширээ эсвэл тооны машин байхгүй бол яах вэ? Дараах жишээг шийдэж энэ асуултад хариулъя.

Жишээ 2.Тооцоол
Шийдэл.
Эхний шат.Хариулт нь сүүлтэй 50 болно гэдгийг таахад хэцүү биш юм. Үнэн хэрэгтээ 50 2 = 2500, 60 2 = 3600 байхад 2809 тоо нь 2500 ба 3600 тоонуудын хооронд байна.

Хоёр дахь үе шат."Сүүл" -ийг олъё, өөрөөр хэлбэл. хүссэн тооны сүүлийн орон. Хэрэв үндсийг нь авсан бол хариулт нь 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 эсвэл 59 байж болно гэдгийг бид мэдэж байгаа. Бид зөвхөн 53 ба 57 гэсэн хоёр тоог шалгах хэрэгтэй. квадрат болгоход үр дүн нь 9-ээр төгссөн дөрвөн оронтой тоо, 2809-ээр төгссөн тоо гарна.
Бидэнд 532 = 2809 байна - энэ бол бидэнд хэрэгтэй зүйл юм (бид азтай байсан, бид тэр даруй бухын нүдийг цохив). Тэгэхээр = 53.
Хариулт:

53
Жишээ 3.Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд 1см ба 2см.Гурвалжны гипотенуз хэд вэ? (Зураг 77)

Шийдэл.

Геометрээс мэдэгдэж байгаа Пифагорын теоремыг ашиглацгаая: тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн уртын квадратуудын нийлбэр нь түүний гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a 2 + b 2 = c 2, энд a. , b нь хөл, в нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз юм.

гэсэн үг,

Энэ жишээ нь квадрат язгуурыг нэвтрүүлэх нь математикчдын дур сонирхол биш, харин объектив хэрэгцээ гэдгийг харуулж байна: бодит амьдрал дээр математик загварууд нь квадрат язгуур гаргаж авах үйлдлийг агуулсан нөхцөл байдал байдаг. Магадгүй эдгээр нөхцөл байдлын хамгийн чухал нь холбоотой байж болох юм
квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Одоог хүртэл ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлтэй тулгарахдаа бид зүүн талыг хүчин зүйлээр ялгаж (энэ нь үргэлж үр дүнтэй байдаггүй) эсвэл график аргыг ашигласан (энэ нь бас тийм ч найдвартай биш боловч үзэсгэлэнтэй). Үнэндээ олохын тулд
Математикийн томъёонд ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 үндэсийг ашигладаг.

язгуурын тэмдгийг агуулж байгааг харж болно.Эдгээр томьёог практикт дараах байдлаар ашигладаг. Жишээлбэл, 2x 2 + bx - 7 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энд a = 2, b = 5, c = - 7. Тиймээс,
b2 - 4ac = 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Дараа нь бид . гэсэн үг,

Энэ нь оновчтой тоо биш гэдгийг бид дээр дурдсан.
Математикчид ийм тоог иррациональ гэж нэрлэдэг. Хэрэв квадрат язгуурыг авч чадахгүй бол маягтын аль ч тоо нь иррациональ болно. Жишээлбэл, гэх мэт. - иррационал тоо. 5-р бүлэгт бид рационал ба иррационал тоонуудын талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно. Рационал ба иррационал тоо нь нийлээд бодит тоонуудын багцыг бүрдүүлдэг. бидний бодит амьдрал дээр ажилладаг бүх тоонуудын багц (үнэндээ,
байх). Жишээлбэл, эдгээр нь бүгд бодит тоо юм.
Дээр квадрат язгуурын тухай ойлголтыг тодорхойлсон шиг бид шоо язгуурын тухай ойлголтыг мөн тодорхойлж болно: сөрөг биш a тооны шоо язгуур нь шоо нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм. Өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь b 3 = a гэсэн үг юм.

Энэ бүхнийг бид 11-р ангийн алгебрийн хичээлээр судална.

Би тэмдэг рүү дахин харлаа... Тэгээд явцгаая!

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

Одоохон. Энэ нь бид үүнийг ингэж бичиж болно гэсэн үг юм:

Авчихсан? Дараачийнх нь танд:

Үүссэн тоонуудын үндсийг яг гаргаагүй байна уу? Ямар ч асуудалгүй - энд хэдэн жишээ байна:

Хэрэв хоёр биш, харин олон үржүүлэгч байвал яах вэ? Үүнтэй адил! Үндэсийг үржүүлэх томъёо нь хэд хэдэн хүчин зүйлтэй ажилладаг:

Одоо бүрэн бие даан:

Хариултууд:Сайн хийлээ! Зөвшөөрч байна, бүх зүйл маш хялбар, гол зүйл бол үржүүлэх хүснэгтийг мэдэх явдал юм!

Үндэс хуваагдал

Бид язгуурын үржүүлгийг ангилсан, одоо хуваах шинж чанар руу шилжье.

Ерөнхий томъёо нь дараах байдалтай байгааг сануулъя.

Энэ нь тийм гэсэн үг язгуурын язгуур нь язгуурын язгууртай тэнцүү байна.

За, зарим жишээг харцгаая:

Энэ бол шинжлэх ухаан юм. Энд нэг жишээ байна:

Бүх зүйл эхний жишээ шиг жигд биш боловч таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Хэрэв та энэ илэрхийлэлтэй таарвал яах вэ:

Та зүгээр л эсрэг чиглэлд томъёог хэрэглэх хэрэгтэй:

Мөн энд нэг жишээ байна:

Та мөн энэ илэрхийлэлтэй тулгарч магадгүй:

Бүх зүйл адилхан, зөвхөн энд та бутархайг хэрхэн орчуулахаа санах хэрэгтэй (хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг хараад буцаж ирээрэй!). Чи санаж байна уу? Одоо шийдье!

Та бүх зүйлийг даван туулсан гэдэгт би итгэлтэй байна, одоо үндсийг нь зэрэгтэй болгохыг хичээцгээе.

Экспоненциал

Хэрэв квадрат язгуур нь квадрат бол яах вэ? Энэ нь энгийн, тооны квадрат язгуурын утгыг санаарай - энэ бол квадрат язгуур нь тэнцүү тоо юм.

Хэрэв бид квадрат язгуур нь тэнцүү тоог квадрат болговол юу гарах вэ?

За, мэдээжийн хэрэг!

Жишээнүүдийг харцгаая:

Энэ нь энгийн, тийм үү? Хэрэв үндэс нь өөр түвшинд байвал яах вэ? Зүгээр дээ!

Үүнтэй ижил логикийг дагаж, шинж чанар, боломжит үйлдлүүдийг зэрэгтэй санаарай.

"" сэдвээр онолыг уншвал бүх зүйл танд маш тодорхой болно.

Жишээлбэл, энд нэг илэрхийлэл байна:

Энэ жишээнд зэрэг нь тэгш байна, гэхдээ сондгой байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд, экспонентуудын шинж чанарыг хэрэглэж, бүх зүйлийг хүчин зүйлээр тооцно уу:

Эндээс бүх зүйл тодорхой харагдаж байна, гэхдээ тооны үндсийг хэрхэн хүчин чадалд гаргаж авах вэ? Жишээлбэл, энэ нь:

Маш энгийн, тийм үү? Хэрэв зэрэг нь хоёроос дээш байвал яах вэ? Бид градусын шинж чанарыг ашиглан ижил логикийг баримталдаг.

За, бүх зүйл тодорхой байна уу? Дараа нь жишээнүүдийг өөрөө шийд:

Мөн энд хариултууд байна:

Үндэс тэмдгийн дор орж байна

Бид үндэстэй юу хийж сураагүй юм бэ! Үндэс тэмдгийн дор тоог оруулах дасгал хийх л үлдлээ!

Энэ үнэхээр амархан!

Бидэнд бичигдсэн тоо байна гэж бодъё

Үүнийг бид юу хийж чадах вэ? Мэдээжийн хэрэг, гурвыг язгуурын доор нууж, гурвыг дөрвөлжин язгуур гэдгийг санаарай!

Энэ яагаад бидэнд хэрэгтэй байна вэ? Тийм ээ, жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ өөрсдийн чадавхийг өргөжүүлэхийн тулд:

Үндэсний энэ өмч танд хэр таалагдаж байна вэ? Энэ нь амьдралыг илүү хялбар болгодог уу? Миний хувьд энэ нь яг зөв! Зөвхөн Бид зөвхөн язгуур тэмдгийн дор эерэг тоог оруулж болно гэдгийг санах хэрэгтэй.

Энэ жишээг өөрөө шийд -
Та удирдаж чадсан уу? Та юу авах ёстойг харцгаая:

Сайн хийлээ! Та дугаарыг үндсэн тэмдгийн доор оруулж чадсан! Үүнтэй адил чухал зүйл рүү шилжье - квадрат язгуур агуулсан тоог хэрхэн харьцуулахыг харцгаая!

Үндэсийг харьцуулах

Бид яагаад квадрат язгуур агуулсан тоог харьцуулж сурах хэрэгтэй байна вэ?

Маш энгийн. Ихэнхдээ шалгалтанд тааралдсан том, урт хэллэгүүдэд бид үндэслэлгүй хариулт авдаг (энэ юу болохыг санаж байна уу? Бид өнөөдөр энэ талаар аль хэдийн ярьсан!)

Бид хүлээн авсан хариултуудыг координатын шугам дээр байрлуулах хэрэгтэй, жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд аль интервал тохиромжтой болохыг тодорхойлох хэрэгтэй. Эндээс асуудал гарч ирнэ: шалгалтанд тооны машин байхгүй бөгөөд үүнгүйгээр аль тоо нь их, аль нь бага болохыг та хэрхэн төсөөлөх вэ? Ингээд л болоо!

Жишээлбэл, аль нь илүү болохыг тодорхойлох: эсвэл?

Та шууд хэлж чадахгүй. За ингээд язгуур тэмдгийн доор тоо оруулах задалсан шинж чанарыг ашиглая?

Дараа нь цааш яв:

Мэдээжийн хэрэг, язгуур тэмдгийн доор байгаа тоо их байх тусам үндэс өөрөө том болно!

Тэдгээр. хэрэв, тэгвэл, .

Эндээс бид баттай дүгнэлт хийж байна. Хэн ч биднийг өөрөөр итгүүлэхгүй!

Олон тооноос үндэс гаргаж авах

Үүнээс өмнө бид язгуурын тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулсан, гэхдээ үүнийг хэрхэн арилгах вэ? Та үүнийг хүчин зүйл болгон тооцож, гаргаж авсан зүйлээ гаргаж авах хэрэгтэй!

Энэ нь өөр замаар явж, бусад хүчин зүйлүүд рүү тэлэх боломжтой байсан:

Муу биш, тийм үү? Эдгээр аргуудын аль нь ч зөв, хүссэнээрээ шийдээрэй.

Факторинг нь дараах стандарт бус асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их тустай.

Айх хэрэггүй, харин үйлдэл хийцгээе! Хүчин зүйл бүрийг тус тусад нь тус тусад нь задлаад үзье.

Одоо өөрөө туршаад үзээрэй (тооцоолуургүй! Энэ нь шалгалтанд орохгүй):

Энэ төгсгөл мөн үү? Хагас замдаа бүү зогсоцгооё!

Энэ бол тийм ч аймшигтай биш, тийм ээ?

Болсон уу? Сайн байна, зөв!

Одоо энэ жишээг үзээрэй:

Гэхдээ жишээ нь хагарахад хэцүү самар тул та түүнд хэрхэн хандахаа шууд олж чадахгүй. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг бид үүнийг даван туулж чадна.

За, факторинг эхлүүлье? Та тоог дараах байдлаар хувааж болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе (хуваагдах шинж тэмдгийг санаарай):

Одоо өөрөө оролдоод үз (дахин тооцоолуургүйгээр!):

За, бүтсэн үү? Сайн байна, зөв!

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

1. Сөрөг бус тооны квадрат язгуур (арифметик квадрат язгуур) нь квадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм.
   .
2. Хэрэв бид зүгээр л ямар нэг зүйлийн квадрат язгуурыг авбал бид үргэлж нэг сөрөг бус үр дүнг авдаг.
3. Арифметик язгуурын шинж чанарууд:
4. Квадрат язгуурыг харьцуулахдаа язгуур тэмдгийн доор байгаа тоо их байх тусам үндэс нь өөрөө томордог гэдгийг санах хэрэгтэй.

Квадрат язгуур ямар байна? Бүгд ойлгомжтой юу?

Квадрат язгуурын талаарх шалгалтын талаар мэдэх шаардлагатай бүх зүйлийг бид танд ямар ч шуугиангүйгээр тайлбарлахыг хичээсэн.

Одоо чиний ээлж. Энэ сэдэв танд хэцүү байна уу, үгүй ​​юу гэдгийг бидэнд бичээрэй.

Та шинэ зүйл сурсан уу эсвэл бүх зүйл тодорхой болсон уу?

Сэтгэгдэл дээр бичээд шалгалтандаа амжилт хүсье!

Энэ нийтлэлд бид танилцуулах болно тооны язгуурын тухай ойлголт. Бид дарааллаар нь үргэлжлүүлнэ: бид квадрат язгуураас эхэлнэ, тэндээс бид шоо язгуурын тайлбар руу шилжиж, дараа нь n-р үндсийг тодорхойлж, язгуурын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь хэлнэ. Үүний зэрэгцээ бид тодорхойлолт, тэмдэглэгээг танилцуулж, язгуурын жишээг өгч, шаардлагатай тайлбар, тайлбарыг өгөх болно.

Квадрат язгуур, арифметик квадрат язгуур

Тооны язгуур, ялангуяа квадрат язгуурын тодорхойлолтыг ойлгохын тулд та . Энэ үед бид олон тооны хоёрдахь хүч болох тооны квадраттай тулгарах болно.

-ээс эхэлье квадрат язгуурын тодорхойлолтууд.

Тодорхойлолт

a-ийн квадрат язгуурквадрат нь a-тай тэнцүү тоо юм.

авчрахын тулд квадрат язгуурын жишээ, жишээ нь 5, −0.3, 0.3, 0 гэсэн хэд хэдэн тоог аваад квадрат болговол 25, 0.09, 0.09, 0 гэсэн тоонуудыг авна (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 ба 0 2 =0·0=0 ). Тэгвэл дээр өгөгдсөн тодорхойлолтоор 5-ын тоо нь 25-ын язгуур, −0.3 ба 0.3 нь 0.09-ийн квадрат язгуур, 0 нь тэгийн язгуур юм.

Аль ч тооны хувьд квадрат нь a-тай тэнцүү тоо байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тухайлбал, сөрөг а тооны хувьд квадрат нь a-тай тэнцүү бодит b тоо байхгүй. Үнэн хэрэгтээ a=b 2 тэнцүү байх нь ямар ч сөрөг а-д боломжгүй, учир нь b 2 нь аль ч b-ийн хувьд сөрөг бус тоо юм. Тиймээс, бодит тоонуудын олонлог дээр сөрөг тооны квадрат язгуур байхгүй. Өөрөөр хэлбэл, бодит тоонуудын олонлог дээр сөрөг тооны квадрат язгуур тодорхойлогдоогүй бөгөөд ямар ч утгагүй болно.

Энэ нь "А-д сөрөг биш а-д квадрат язгуур байдаг уу" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ. Хариулт нь тийм. Энэ баримтыг квадрат язгуурын утгыг олоход ашигласан конструктив аргаар зөвтгөж болно.

Дараа нь дараагийн логик асуулт гарч ирнэ: "Өгөгдсөн сөрөг бус тооны бүх квадрат язгуурын тоо хэд вэ - нэг, хоёр, гурав, бүр түүнээс ч олон?" Хариулт нь энд байна: хэрэв a нь тэг бол тэгийн цорын ганц квадрат язгуур нь тэг болно; хэрэв а нь эерэг тоо бол a тооны квадрат язгуурын тоо хоёр, язгуур нь . Үүнийг зөвтгөе.

a=0 тохиолдлоос эхэлье. Эхлээд тэг нь тэгийн квадрат язгуур гэдгийг харуулъя. Энэ нь 0 2 =0·0=0 илэрхий тэгшитгэл ба квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

Одоо 0 нь тэгийн цорын ганц квадрат язгуур гэдгийг баталъя. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. Тэгийн квадрат язгуур болох тэгээс өөр тоо b байна гэж бодъё. Дараа нь b 2 =0 нөхцөл хангагдсан байх ёстой бөгөөд энэ нь ямар ч тэг биш b-ийн хувьд b 2 илэрхийллийн утга эерэг байдаг тул боломжгүй юм. Бид зөрчилдөж байна. Энэ нь 0 нь тэгийн цорын ганц квадрат язгуур гэдгийг баталж байна.

А нь эерэг тоо байх тохиолдлууд руу шилжье. Ямар ч сөрөг бус тооны квадрат язгуур үргэлж байдаг, а-ын квадрат язгуур нь b тоо байя гэж бид дээр хэлсэн. c тоо байгаа гэж бодъё, энэ нь мөн а-ын квадрат язгуур юм. Тэгвэл квадрат язгуурын тодорхойлолтоор b 2 =a ба c 2 =a тэгшитгэлүүд үнэн бөгөөд үүнээс b 2 −c 2 =a−a=0, харин b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , дараа нь (b−c)·(b+c)=0 . Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал хүчинтэй байна Бодит тоотой үйлдлийн шинж чанарууд b−c=0 эсвэл b+c=0 үед л боломжтой. Тиймээс b ба c тоонууд тэнцүү буюу эсрэг байна.

Хэрэв бид а тооны өөр квадрат язгуур болох d тоо байна гэж үзвэл өмнө нь өгөгдсөнтэй төстэй үндэслэлээр d нь b тоо эсвэл c тоотой тэнцүү болохыг баталж байна. Тэгэхээр эерэг тооны квадрат язгуурын тоо хоёр, квадрат язгуур нь эсрэг тоо байна.

Квадрат язгууртай ажиллахад хялбар байхын тулд сөрөг үндсийг эерэгээс "тусгаарлана". Үүний тулд үүнийг танилцуулж байна арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны арифметик квадрат язгуур aквадрат нь a-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

a-ийн арифметик квадрат язгуурын тэмдэглэгээ нь . Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг. Үүнийг мөн радикал шинж тэмдэг гэж нэрлэдэг. Тиймээс та заримдаа "үндэс" ба "радикал" хоёуланг нь сонсож болно, энэ нь ижил объект гэсэн үг юм.

Арифметик язгуур тэмдгийн доорх тоог дуудна радикал тоо, мөн үндсэн тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь байна радикал илэрхийлэл, харин "радикал тоо" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн "радикал илэрхийлэл" гэж сольдог. Жишээлбэл, тэмдэглэгээнд 151 тоо нь радикал тоо, тэмдэглэгээнд а илэрхийлэл нь радикал илэрхийлэл юм.

Уншихдаа "арифметик" гэдэг үгийг ихэвчлэн орхигдуулдаг, жишээлбэл, оруулгыг "долоон цэгийн хорин есийн квадрат язгуур" гэж уншдаг. "Арифметик" гэдэг үгийг зөвхөн тооны эерэг квадрат язгуурын тухай ярьж байна гэдгийг онцлон тэмдэглэхийг хүссэн тохиолдолд л ашигладаг.

Оруулсан тэмдэглэгээнээс харахад арифметик квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үзэхэд ямар ч сөрөг бус тооны хувьд a .

Эерэг a тооны квадрат язгуурыг болон гэсэн арифметик язгуур тэмдгийг ашиглан бичнэ. Жишээлбэл, 13-ын квадрат язгуур нь ба . Тэгийн арифметик квадрат язгуур нь тэг, өөрөөр хэлбэл, . a сөрөг тоонуудын хувьд бид судлах хүртлээ тэмдэглэгээнд утгыг оруулахгүй нийлмэл тоо. Жишээлбэл, илэрхийлэл ба утгагүй байна.

Квадрат язгуурын тодорхойлолт дээр үндэслэн практикт ихэвчлэн ашигладаг квадрат язгуурын шинж чанарууд нотлогддог.

Энэ зүйлийн төгсгөлд бид а тооны квадрат язгуурууд нь x хувьсагчийн хувьд x 2 =a хэлбэрийн шийдлүүд гэдгийг тэмдэглэв.

Тооны шоо язгуур

Шоо язгуурын тодорхойлолт a тооны язгуурын тодорхойлолттой адил өгөгдсөн. Зөвхөн энэ нь дөрвөлжин биш харин тооны шоо гэсэн ойлголт дээр суурилдаг.

Тодорхойлолт

a-ийн шоо үндэснь шоо нь a-тай тэнцүү тоо юм.

өгье куб үндэсийн жишээ. Үүнийг хийхийн тулд 7, 0, −2/3 гэх мэт хэд хэдэн тоог аваад шоо болгон хуваа: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Дараа нь шоо язгуурын тодорхойлолт дээр үндэслэн 7 тоо нь 343-ын шоо язгуур, 0 нь тэгийн шоо язгуур, −2/3 нь −8/27-ийн шоо язгуур гэж хэлж болно.

Тооны шоо язгуур нь квадрат язгуураас ялгаатай нь зөвхөн сөрөг бус a-д төдийгүй аливаа бодит а тоонд үргэлж оршин байдаг гэдгийг харуулж болно. Үүнийг хийхийн тулд та квадрат үндсийг судлахдаа бидний дурдсан аргыг ашиглаж болно.

Түүгээр ч барахгүй өгөгдсөн a тооны зөвхөн нэг шоо язгуур байдаг. Сүүлийн мэдэгдлийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд гурван тохиолдлыг тусад нь авч үзье: a нь эерэг тоо, a=0, a нь сөрөг тоо.

Хэрэв a нь эерэг бол a-ийн шоо язгуур нь сөрөг тоо ч биш, тэг ч байж болохгүй гэдгийг харуулахад амархан. Үнэхээр b-г a-ийн шоо язгуур гэж үзье, тэгвэл тодорхойлолтоор бид b 3 =a тэгшитгэлийг бичиж болно. Эдгээр тохиолдолд b 3 =b·b·b нь сөрөг тоо эсвэл тэг байх тул сөрөг b ба b=0-ийн хувьд энэ тэгшитгэл үнэн байж болохгүй нь ойлгомжтой. Тэгэхээр эерэг тооны шоо язгуур нь эерэг тоо юм.

Одоо b тооноос гадна а тооны өөр нэг шоо язгуур байна гэж бодъё, үүнийг c гэж тэмдэглэе. Дараа нь c 3 = a. Иймд b 3 −c 3 =a−a=0, гэхдээ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(энэ нь үржүүлэх товчилсон томъёо юм кубын ялгаа), эндээс (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Үүссэн тэгш байдал нь b−c=0 эсвэл b 2 +b·c+c 2 =0 үед л боломжтой. Эхний тэгшитгэлээс бид b=c байх ба хоёр дахь тэгшитгэл нь шийдэлгүй, учир нь түүний зүүн тал нь b 2, b·c ба c 2 гэсэн гурван эерэг гишүүний нийлбэр болох аливаа эерэг b ба c тоонуудын эерэг тоо юм. Энэ нь эерэг тооны шоо язгуурын өвөрмөц чанарыг баталж байна a.

a=0 үед a тооны шоо язгуур нь зөвхөн тэг тоо болно. Үнэхээр тэгээс өөр шоо язгуур болох b тоо байгаа гэж үзвэл b=0 үед л боломжтой b 3 =0 тэнцүү байх ёстой.

Сөрөг a-ийн хувьд эерэг a-ийн тохиолдолтой төстэй аргументуудыг өгч болно. Нэгдүгээрт, сөрөг тооны шоо язгуур нь эерэг тоо эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг харуулж байна. Хоёрдугаарт, сөрөг тооны хоёр дахь шоо язгуур байдаг гэж бид үзэж, энэ нь эхнийхтэй заавал давхцах болно гэдгийг харуулж байна.

Тиймээс аливаа өгөгдсөн бодит a тооны шоо язгуур үргэлж байдаг ба цорын ганц нь байдаг.

өгье арифметик шоо язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны арифметик шоо язгуур aнь шоо нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Сөрөг бус a тооны арифметик шоо язгуурыг гэж тэмдэглэж, тэмдгийг арифметик шоо язгуурын тэмдэг, энэ тэмдэглэгээний 3-ын тоог гэнэ. үндсэн индекс. Үндэс тэмдгийн доорх тоо нь байна радикал тоо, язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь радикал илэрхийлэл.

Хэдийгээр арифметик шоо язгуур нь зөвхөн сөрөг биш a тоонуудын хувьд тодорхойлогддог боловч арифметик шоо язгуур тэмдгийн дор сөрөг тоо олдсон тэмдэглэгээг ашиглах нь бас тохиромжтой. Бид тэдгээрийг дараах байдлаар ойлгох болно: , энд a нь эерэг тоо юм. Жишээлбэл, .

Үндэсний ерөнхий өгүүлэлд бид шоо үндэсийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Шоо язгуурын утгыг тооцоолохыг шоо үндсийг задлах гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ үйлдлийг үндэс задлах: арга, жишээ, шийдэл гэсэн нийтлэлд авч үзсэн болно.

Энэ санааг дүгнэхийн тулд a тооны шоо язгуур нь x 3 =a хэлбэрийн шийдэл гэж үзье.

n-р язгуур, n зэрэглэлийн арифметик язгуур

Тооны язгуурын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь авч үзье - бид танилцуулъя n-р язгуурын тодорхойлолттөлөө n.

Тодорхойлолт

a-ийн n-р үндэснь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү тоо юм.

Энэхүү тодорхойлолтоос харахад а тооны нэгдүгээр зэрэглэлийн язгуур нь өөрөө а тоо болох нь ойлгомжтой, учир нь натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийг судлахдаа 1 =a-г авсан.

Дээр бид n=2 ба n=3 - квадрат язгуур ба шоо язгуурын хувьд n-р язгуурын онцгой тохиолдлуудыг авч үзсэн. Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин язгуур нь хоёрдугаар зэргийн үндэс, шоо язгуур нь гуравдугаар зэргийн үндэс юм. N=4, 5, 6, ...-ын хувьд n-р зэргийн язгуурыг судлахын тулд тэдгээрийг хоёр бүлэгт хуваах нь тохиромжтой: эхний бүлэг - тэгш градусын үндэс (өөрөөр хэлбэл n = 4, 6, 8-ын хувьд) , ...), хоёр дахь бүлэг - сондгой градусын үндэс (өөрөөр хэлбэл n=5, 7, 9, ...). Энэ нь тэгш зэрэглэлийн үндэс нь квадрат язгууртай, сондгой зэрэглэлийн үндэс нь куб язгууртай төстэй байдагтай холбоотой юм. Тэдэнтэй нэг нэгээр нь харьцъя.

Хүчин чадал нь тэгш тоо 4, 6, 8, ... язгууруудаас эхэлцгээе, аль хэдийн хэлсэнчлэн a тооны квадрат язгууртай төстэй. Өөрөөр хэлбэл, а тооны тэгш хэмийн үндэс нь зөвхөн сөрөг бус а-д оршино. Түүнчлэн хэрэв a=0 бол a-ийн язгуур нь өвөрмөц бөгөөд тэгтэй тэнцүү, хэрэв a>0 бол a тооны тэгш зэрэгтэй хоёр язгуур байх ба тэдгээр нь эсрэг тоонууд юм.

Сүүлийн мэдэгдлийг үндэслэлтэй болгоё. b нь а тооны тэгш үндэс (бид үүнийг 2·m гэж тэмдэглэдэг, энд m нь зарим натурал тоо) байг. a тооноос 2·m зэрэгтэй өөр язгуур - c тоо байна гэж бодъё. Тэгвэл b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Гэхдээ бид b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) хэлбэрийг мэднэ. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), дараа нь (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Энэ тэгшитгэлээс b−c=0, эсвэл b+c=0, эсвэл гарна b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Эхний хоёр тэгшитгэл нь b ба c тоонууд тэнцүү эсвэл b ба c нь эсрэг утгатай байна. Мөн сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн b=c=0-д хүчинтэй, учир нь түүний зүүн талд сөрөг бус тоонуудын нийлбэр болох аль ч b ба c-д сөрөг бус илэрхийлэл байдаг.

Сондгой n-ийн n-р зэргийн язгууруудын хувьд тэдгээр нь шоо язгууртай төстэй. Өөрөөр хэлбэл, а тооны сондгой зэрэглэлийн язгуур нь ямар ч бодит а тоонд байдаг бөгөөд өгөгдсөн a тооны хувьд энэ нь өвөрмөц юм.

a тооны 2·m+1 сондгой зэрэгтэй язгуурын давтагдашгүй чанарыг a-ийн шоо язгуурын давтагдашгүй байдлын нотолгоотой зүйрлэж нотолж байна. Зөвхөн энд тэгш байдлын оронд a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = хэлбэрийн тэгш байдлыг ашиглана (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Сүүлийн хаалтанд байгаа илэрхийллийг дахин бичиж болно b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Жишээ нь, m=2 байвал бидэнд байна b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Хэрэв a ба b нь хоёулаа эерэг эсвэл хоёулаа сөрөг байвал тэдгээрийн үржвэр нь эерэг тоо байвал хамгийн өндөр хаалтанд байгаа b 2 +c 2 +b·c илэрхийлэл нь эерэг тоонуудын нийлбэрээр эерэг байна. Одоо өмнөх зэрэглэлийн хаалтанд байгаа илэрхийллүүд рүү дараалан шилжихэд тэдгээр нь эерэг тоонуудын нийлбэр хэлбэрээр эерэг байдаг гэдэгт бид итгэлтэй байна. Үүний үр дүнд бид b 2 m+1 −c 2 m+1 = тэгшитгэлийг олж авна (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 b−c=0, өөрөөр хэлбэл b тоо нь c тоотой тэнцүү байх үед л боломжтой.

n-р язгуурын тэмдэглэгээг ойлгох цаг болжээ. Энэ зорилгоор үүнийг өгч байна n-р зэргийн арифметик язгуурын тодорхойлолт.

Тодорхойлолт

Сөрөг бус тооны n-р зэргийн арифметик үндэс aнь n-р зэрэглэл нь a-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Сөрөг бус тооны квадрат язгуурын тухай ойлголт

Тэгшитгэлийг авч үзье x2 = 4. Графикаар шийд. Үүнийг нэг системд хийх координатууд y = x2 парабол ба y = 4 шулуун шугамыг байгуулъя (Зураг 74). Тэд A (- 2; 4) ба B (2; 4) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог. А ба В цэгүүдийн абсциссууд нь x2 = 4 тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгэхээр x1 = - 2, x2 = 2.

Яг үүнтэй адил үндэслэлээр бид x2 = 9 тэгшитгэлийн язгуурыг олно (74-р зургийг үз): x1 = - 3, x2 = 3.

Одоо x2 = 5 тэгшитгэлийг шийдэж үзье; геометрийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 75. Энэ тэгшитгэл нь x1 ба x2 хоёр язгууртай байх нь тодорхой бөгөөд өмнөх хоёр тохиолдлын адил эдгээр тоонууд нь үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү ба эсрэг тэмдгээр (x1 - - x2) - Гэхдээ өмнөх тохиолдлуудаас ялгаатай нь Тэгшитгэлийн үндсийг ямар ч хүндрэлгүйгээр олсон (мөн тэдгээрийг график ашиглахгүйгээр олж болно), энэ нь x2 = 5 тэгшитгэлийн хувьд тийм биш юм: зурагнаас бид язгуурын утгыг зааж өгөх боломжгүй, бид зөвхөн үүнийг л тогтоож чадна. нэг үндэсцэгийн зүүн талд бага зэрэг байрладаг - 2, хоёр дахь нь 2-р цэгийн баруун талд бага зэрэг байрладаг.

Гэхдээ энд биднийг таагүй гэнэтийн бэлэг хүлээж байна. Ийм зүйл байхгүй нь харагдаж байна бутархай DIV_ADBLOCK32">

Тэгш байдал хангагдсан бууруулж боломгүй бутархай байна гэж бодъё https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, өөрөөр хэлбэл m2 = 5n2. Сүүлчийн тэгш байдал нь үүнийг илэрхийлдэг натурал тоо m2 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана (хэрэгжилтэнд n2 болно).

Үүний үр дүнд m2 тоо 5 эсвэл 0 тоогоор төгсдөг. Гэхдээ дараа нь натурал m тоо нь 5 эсвэл 0 тоогоор төгсдөг, өөрөөр хэлбэл m тоо 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m тоог 5-д хуваавал энэ хуваалтаас ямар нэгэн натурал k тоо гарч ирнэ. Энэ нь m = 5k гэсэн үг юм.

Одоо хараарай:

Эхний тэгшитгэлд m-ийн оронд 5k-г орлъё:

(5k)2 = 5n2, өөрөөр хэлбэл 25k2 = 5n2 эсвэл n2 = 5k2.

Сүүлийн тэгш байдал нь тоо гэсэн үг юм. 5n2 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Дээр дурдсанчлан бид n тоо нь 5-д хуваагддаггүй гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. үлдэгдэл.

Тэгэхээр m нь 5-д хуваагддаг, n нь 5-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь бутархайг (5-аар) багасгаж болно гэсэн үг юм. Гэхдээ бид бутархайг багасгах боломжгүй гэж үзсэн. Юу болсон бэ? Яагаад бид зөв үндэслэлтэй, утгагүй зүйлд хүрэв, эсвэл математикчдын хэлдэгээр бид зөрчилдөөнтэй болсон юм бэ! ).

Хэрэв зөв үндэслэлийн үр дүнд бид нөхцөлтэй зөрчилдөж байвал бидний таамаглал худал бөгөөд энэ нь бидний батлах ёстой зүйл үнэн гэсэн үг юм.

Тиймээс, зөвхөн байна рационал тоо(мөн бид бусад тоонуудыг хараахан мэдэхгүй), бид x2 = 5 тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй.

Ийм нөхцөл байдалтай анх удаа тулгарсан математикчид үүнийг математикийн хэлээр дүрслэх арга бодож олох ёстойг ойлгосон. Тэд квадрат язгуур гэж нэрлэсэн шинэ тэмдгийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ тэмдгийг ашиглан x2 = 5 тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар бичэв. ). Одоо x2 = a хэлбэрийн аливаа тэгшитгэлийн хувьд, a > O, та язгуурыг олох боломжтой - тэдгээр нь тоонууд юм.https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}бүхэл ч биш, бутархай ч биш.
Энэ нь оновчтой тоо биш, шинэ шинж чанартай тоо гэсэн үг бөгөөд бид дараа нь 5-р бүлэгт ийм тооны талаар тусгайлан ярих болно.
Одоохондоо 22 = 4 нь 5-аас бага байх тул шинэ тоо 2 ба 3-ын хооронд байгааг анхааръя; Z2 = 9, энэ нь 5-аас их байна. Та дараахь зүйлийг тодруулж болно.

Квадрат язгуурын тодорхойлолтод заасны дагуу хүснэгтэд зөвхөн эерэг тоо гарч байгааг дахин анхаарна уу. Жишээлбэл, = 25 нь жинхэнэ тэгшитгэл боловч квадрат язгуурыг ашиглан тэмдэглэгээ рүү шилжинэ үү. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}эерэг тоо гэсэн үг https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg)" width="35" height="28">!}. 42 = 16 (энэ нь 17-оос бага), 52 = 25 (энэ нь 17-оос их) тул 4-өөс их, гэхдээ 5-аас бага байх нь тодорхой байна.
Гэсэн хэдий ч тооны ойролцоо утгыг ашиглан олж болно бичил тооцоолуур, квадрат язгуур үйлдлийг агуулсан; Энэ утга нь 4.123.

Энэ тоо нь дээр дурдсан тоо шиг оновчтой биш юм.
e) Сөрөг тооны квадрат язгуур байхгүй тул үүнийг тооцоолох боломжгүй; оруулга нь утгагүй юм. Санал болгож буй даалгавар нь буруу байна.
д) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, 75 > 0 ба 752 = 5625 тул.

Хамгийн энгийн тохиолдолд квадрат язгуурын утгыг нэн даруй тооцоолно.

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
Шийдэл.
Эхний шат.Хариулт нь сүүлтэй 50 болно гэдгийг таахад хэцүү биш юм. Үнэн хэрэгтээ 502 = 2500, 602 = 3600, харин 2809 тоо нь 2500 ба 3600 тоонуудын хооронд байна.

Нэг квадрат талбай нь 81 дм². Түүний талыг ол. Квадратын хажуугийн урт нь гэж бодъё Xдециметр. Дараа нь талбайн талбай байна X² квадрат дециметр. Нөхцөл байдлын дагуу энэ талбай нь 81 дм²-тэй тэнцүү байна X² = 81. Квадрат талын урт нь эерэг тоо. Квадрат нь 81 бол эерэг тоо нь 9. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат нь 81 бол х тоог олох, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байв. X² = 81. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. x 1 = 9 ба x 2 = - 9, учир нь 9² = 81 ба (- 9)² = 81. 9 ба - 9 тоог хоёуланг нь 81-ийн квадрат язгуур гэнэ.

Квадрат язгууруудын нэг гэдгийг анхаарна уу X= 9 бол эерэг тоо. Үүнийг 81-ийн арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэдэг ба √81 гэж тэмдэглэсэн тул √81 = 9 байна.

Тооны арифметик квадрат язгуур Аквадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм А.

Жишээлбэл, 6 ба - 6 тоо нь 36 тооны квадрат язгуур юм. Гэсэн хэдий ч 6 нь сөрөг бус тоо бөгөөд 6² = 36 тул 6 тоо нь 36-ын арифметик квадрат язгуур юм. - 6 тоо нь 36 тоо биш юм. арифметик үндэс.

Тооны арифметик квадрат язгуур Адараах байдлаар тэмдэглэнэ: √ А.

Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг; А- радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Илэрхийлэл √ Аунших үүнтэй адил: тооны арифметик квадрат язгуур А.Жишээлбэл, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Хэрэв бид арифметик язгуурын тухай ярьж байгаа нь тодорхой байгаа тохиолдолд тэд товчхон хэлэхэд: "квадрат язгуур" А«.

Тооны квадрат язгуурыг олох үйлдлийг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдэл нь квадратын эсрэг үйлдэл юм.

Та ямар ч тоог квадрат болгож болно, гэхдээ та ямар ч тооноос квадрат язгуур гаргаж чадахгүй. Жишээлбэл, тооны язгуурыг гаргаж авах боломжгүй - 4. Хэрэв ийм язгуур байсан бол үүнийг үсгээр тэмдэглэнэ. X, зүүн талд сөрөг бус тоо, баруун талд сөрөг тоо байгаа тул бид буруу x² = - 4 тэгшитгэлийг авна.

Илэрхийлэл √ Аүед л утга учиртай a ≥ 0. Квадрат язгуурын тодорхойлолтыг: √ гэж товч бичнэ a ≥ 0, (√А)² = А. Тэгш байдал (√ А)² = А-д хүчинтэй a ≥ 0. Тиймээс сөрөг бус тооны квадрат язгуурыг баталгаажуулах Атэнцүү байна б, өөрөөр хэлбэл √ А =б, та дараах хоёр нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй. b ≥ 0, б² = А.

Бутархайн квадрат язгуур

Тооцоод үзье. √25 = 5, √36 = 6 гэдгийг анхаарч, тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгацгаая.

Учир нь ба , тэгвэл тэгш байдал үнэн болно. Тэгэхээр, .

Теорем:Хэрэв А≥ 0 ба б> 0, өөрөөр хэлбэл бутархайн язгуур нь хуваагчийн язгуурт хуваагдсан тооны язгууртай тэнцүү байна. Үүнийг батлах шаардлагатай: ба .

√ оноос хойш А≥0 ба √ б> 0, дараа нь .

Бутархайг зэрэгт хүргэх шинж чанар, квадрат язгуурын тодорхойлолт теорем батлагдсан. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Батлагдсан теоремыг ашиглан тооцоол .

Хоёр дахь жишээ: Үүнийг батал , Хэрэв А ≤ 0, б < 0. .

Өөр нэг жишээ: Тооцоол.

.

Квадрат үндэс хөрвүүлэлт

Үндэс тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг хасаж байна. Илэрхийлэлийг өгье. Хэрэв А≥ 0 ба б≥ 0 байвал үржвэрийн язгуур теоремыг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Энэ хувиргалтыг үндсэн тэмдгээс хүчин зүйлийг арилгах гэж нэрлэдэг. Жишээ авч үзье;

Тооцоолох X= 2. Шууд орлуулалт XРадикал илэрхийлэл дэх = 2 нь нарийн төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг. Хэрэв та эхлээд үндсэн тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлсийг хасвал эдгээр тооцоог хялбарчилж болно: . Одоо x = 2-ыг орлуулахад бид:.

Тиймээс, язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйлийг арилгахдаа радикал илэрхийлэл нь нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйл нь сөрөг бус тооны квадратууд болох бүтээгдэхүүн хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Дараа нь бүтээгдэхүүний язгуур теоремыг хэрэглэж, хүчин зүйл бүрийн үндсийг авна. Нэг жишээг авч үзье: A = √8 + √18 - 4√2 илэрхийллийг язгуур тэмдгийн доороос эхний хоёр гишүүний хүчин зүйлийг гаргаж авбал:. Бид тэгш байдлыг онцолж байна үед л хүчинтэй А≥ 0 ба б≥ 0. хэрэв А < 0, то .