Болъё X (\displaystyle X)эсвэл бодит тоонуудын багц юм R (\displaystyle \mathbb (R)), эсвэл багц нийлмэл тоо C (\displaystyle \mathbb (C)). Дараа нь дараалал ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty ))багцын элементүүд X (\displaystyle X)дуудсан тоон дараалал.

Жишээ

Дараалал дээрх үйлдлүүд

Дэд дараалал

Дараалал дараалал (x n) (\displaystyle (x_(n)))- энэ бол дараалал юм (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Хаана (n k) (\displaystyle (n_(k)))- натурал тооны олонлогийн элементүүдийн өсөн нэмэгдэж буй дараалал.

Өөрөөр хэлбэл, төгсгөлтэй буюу тоолж болох тооны элементүүдийг хасаж дарааллаас дэд дарааллыг олж авна.

Жишээ

• Анхны тоонуудын дараалал нь натурал тоонуудын дарааллын дэд дараалал юм.
• Натурал тоонуудын дараалал буюу үржвэр нь тэгш натурал тоонуудын дарааллын дэд дараалал юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Дарааллын хязгаарын цэг Энэ нь энэ дарааллын хязгааргүй олон элемент бүхий аль ч хөршийн цэг юм. Нийлмэл тооны дарааллын хувьд хязгаарын цэг нь хязгаартай давхцдаг.

Дарааллын хязгаар

Дарааллын хязгаар - энэ нь тоо нэмэгдэх тусам дарааллын гишүүд ойртож буй объект юм. Тиймээс дурын топологийн орон зайд дарааллын хязгаар нь тодорхой цэгээс эхлэн дарааллын бүх гишүүд оршдог аль ч хөршийн элемент юм. Тодруулбал, тоон дарааллын хувьд хязгаар гэдэг нь тухайн цэгээс эхлэн дарааллын бүх гишүүн оршдог аль ч орчмын тоог хэлнэ.

Үндсэн дараалал

Үндсэн дараалал (нэгдэх дараалал , Коши дараалал ) нь ямар ч форвардад зориулагдсан метрийн орон зайн элементүүдийн дараалал юм өгөгдсөн зайтүүнээс дагах аль ч элемент хүртэлх зай нь заасан хэмжээнээс хэтрэхгүй байх элемент байдаг. Тоон дарааллын хувьд үндсэн ба нийлэх дарааллын тухай ойлголтууд нь тэнцүү боловч ерөнхийдөө тийм биш юм.

Тоон дараалал натурал тооны олонлог дээр тодорхойлогдсон тоон функц юм .

Хэрэв функц нь натурал тооны олонлог дээр тодорхойлогдвол
, дараа нь функцийн утгуудын багцыг тоолж болох бөгөөд тоо бүрийг тоолох болно
тоотой таарч байна
. Энэ тохиолдолд тэд үүнийг өгсөн гэж хэлдэг тооны дараалал. Тоонуудыг дууддаг элементүүдэсвэл дарааллын гишүүд, тоо - ерөнхий эсвэл - дарааллын гишүүн. Элемент бүр дараагийн элементтэй
. Энэ нь "дараалал" гэсэн нэр томъёоны хэрэглээг тайлбарладаг.

Дарааллыг ихэвчлэн түүний элементүүдийг жагсаах, эсвэл дугаартай элементийг тооцоолох хуулийг зааж өгөх замаар тодорхойлдог. , өөрөөр хэлбэл түүний томъёог харуулж байна -р гишүүн .

Жишээ.Дараалал
томъёогоор өгч болно:
.

Ихэвчлэн дарааллыг дараах байдлаар тэмдэглэдэг: гэх мэт, томьёог хаалтанд заасан байдаг. -р гишүүн.

Жишээ.Дараалал
‑энэ бол дараалал юм

Дарааллын бүх элементүүдийн багц
гэж тэмдэглэсэн
.

Болъё
Тэгээд
- хоёр дараалал.

ХАМТ уммадараалал
Тэгээд
дараалал гэж нэрлэдэг
, Хаана
, өөрөөр хэлбэл.

Р ялгааЭдгээр дарааллыг дараалал гэж нэрлэдэг
, Хаана
, өөрөөр хэлбэл.

Хэрэв Тэгээд ‑ тогтмолууд, дараа нь дараалал
,
дуудсан шугаман хослол дараалал
Тэгээд
, өөрөөр хэлбэл

Ажилдараалал
Тэгээд
дарааллыг хамт гэж нэрлэдэг -р гишүүн
, өөрөөр хэлбэл
.

Хэрэв
, дараа нь бид тодорхойлж чадна хувийн
.

Дарааллын нийлбэр, ялгавар, үржвэр, коэффициент
Тэгээд
Тэд гэж нэрлэдэг алгебрийннайрлага.

Жишээ.Дарааллыг анхаарч үзээрэй
Тэгээд
, Хаана. Дараа нь
, өөрөөр хэлбэл дэд дараалал
бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

,
, өөрөөр хэлбэл Бүтээгдэхүүний бүх элементүүд ба хуваалт тэнцүү байна
.

Хэрэв та дарааллын зарим элементийг хасвал
Хязгааргүй олон тооны элементүүд үлдэхийн тулд бид өөр дарааллаар нэрлэгддэг дэд дараалалдараалал
. Хэрэв та дарааллын эхний хэдэн элементийг хасвал
, дараа нь шинэ дарааллыг дуудна үлдэгдэл.

Дараалал
хязгаарлагдмалдээрх(доороос), хэрэв багц
дээрээс (доороос) хязгаарлагдмал. Дараалал гэж нэрлэдэг хязгаарлагдмал, хэрэв энэ нь дээрээс болон доороос хязгаарлагдсан бол. Үлдэгдэл нь хязгаарлагдсан тохиолдолд дараалал нь хязгаарлагдана.

Нэгтгэх дараалал

Тэд ингэж хэлдэг дэд дараалал
тоо байвал нийлнэ хэнд ч ийм
ийм зүйл байдаг
хэнд ч зориулсан
, тэгш бус байдал нь:
.

Тоо дуудсан дарааллын хязгаар
. Үүний зэрэгцээ тэд бичдэг
эсвэл
.

Жишээ.
.

Үүнийг харуулъя
. Дурын тоог оруулъя
. Тэгш бус байдал
төлөө гүйцэтгэсэн
, ийм
, нийлмэл байдлын тодорхойлолтыг тоогоор гүйцэтгэнэ
. гэсэн үг,
.

Өөрөөр хэлбэл
дарааллын бүх гишүүд гэсэн үг
хангалттай их тоо нь тооноос бага зэрэг ялгаатай , өөрөөр хэлбэл зарим тооноос эхлэн
(хэрэв) дарааллын элементүүд интервалд байгаа бол
гэж нэрлэдэг - цэгийн хөрш .

Дараалал
, хэний хязгаар тэгтэй тэнцүү (
, эсвэл
цагт
) гэж нэрлэдэг хязгааргүй жижиг.

Хязгааргүй жижиг тоонуудын хувьд дараах мэдэгдлүүд үнэн байна.

Хоёр хязгааргүй жижиг тооны нийлбэр нь хязгааргүй бага;

Хязгааргүй жижиг ба төгсгөлтэй хэмжигдэхүүний үржвэр нь хязгааргүй жижиг юм.

Теорем .Дарааллын дагуу
хязгаартай байсан, шаардлагатай бөгөөд хангалттай байсан
, Хаана - тогтмол; - хязгааргүй жижиг .

Конвергент дарааллын үндсэн шинж чанарууд:

3. ба 4. шинж чанаруудыг дурын тооны нийлэх дарааллын хувьд ерөнхийлсөн болно.

Тоолуур ба хуваагч нь шугаман түвшний чадлын хослол болох бутархайн хязгаарыг тооцоолохдоо анхаарна уу. , бутархайн хязгаар нь тэргүүлэх нөхцлийн харьцааны хязгаартай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл хамгийн том хүчийг агуулсан нэр томъёо). тоологч ба хуваагч).

Дараалал
гэж нэрлэдэг:

Ийм бүх дарааллыг дууддаг нэг хэвийн.

Теорем . Хэрэв дараалал бол
монотоноор нэмэгдэж, дээрээс нь хязгаарлагддаг, дараа нь нийлж, түүний хязгаар нь дээд хязгаартай тэнцүү байна; хэрвээ дараалал нь буурч, доор хязгаарлагдаж байвал энэ нь өөрийн доод тал руу нийлдэг.

Дараалал

Дараалал- Энэ иж бүрдэлзарим багцын элементүүд:

• натурал тоо бүрийн хувьд та өгөгдсөн олонлогийн элементийг зааж өгч болно;
• энэ тоо нь элементийн дугаар бөгөөд энэ элементийн дарааллын байрлалыг заана;
• Дарааллын аль ч элементийн (гишүүн) хувьд та дарааллын дараагийн элементийг зааж өгч болно.

Тиймээс дараалал нь үр дүн болж хувирдаг тууштайөгөгдсөн олонлогийн элементүүдийн сонголт. Хэрэв ямар нэгэн элементийн багц нь төгсгөлтэй бөгөөд бид төгсгөлтэй эзэлхүүний дээжийн тухай ярих юм бол дараалал нь хязгааргүй эзэлхүүний дээж болж хувирна.

Дараалал нь мөн чанараараа зураглал байдаг тул дарааллыг "дагадаг" олонлогтой андуурч болохгүй.

Математикийн хувьд олон янзын дарааллыг авч үздэг.

• тоон болон тоон бус шинж чанартай цаг хугацааны цуваа;
• метрийн орон зайн элементүүдийн дараалал
• функциональ орон зайн элементүүдийн дараалал
• хяналтын систем ба машинуудын төлөв байдлын дараалал.

Бүх боломжит дарааллыг судлах зорилго нь хэв маягийг хайх, ирээдүйн төлөвийг урьдчилан таамаглах, дараалал үүсгэх явдал юм.

Тодорхойлолт

Дурын шинж чанартай тодорхой багц элементүүдийг өгье. | Натурал тооны олонлогоос өгөгдсөн олонлог хүртэлх аливаа зураглалыг дуудна дараалал(багцын элементүүд).

Натурал тооны дүрсийг, тухайлбал элементийг - гэж нэрлэдэг. th гишүүнэсвэл дарааллын элемент, ба дарааллын гишүүний дарааллын дугаар нь түүний индекс юм.

Холбогдох тодорхойлолтууд

• Хэрэв бид натурал тоонуудын өсөн нэмэгдэж буй дарааллыг авбал үүнийг ямар нэг дарааллын индексүүдийн дараалал гэж үзэж болно: хэрэв бид харгалзах индексүүдтэй (натурал тоонуудын өсөн нэмэгдэж буй дарааллаас авсан) анхны дарааллын элементүүдийг авбал бид гэсэн дарааллыг дахин авч болно дэд дараалалөгөгдсөн дараалал.

Сэтгэгдэл

• Математик шинжилгээнд чухал ойлголт бол тооны дарааллын хязгаар юм.

Тэмдэглэл

Маягтын дараалал

Хаалтанд авсаархан бичих нь заншилтай:

Буржгар хаалт заримдаа ашиглагддаг:

Үг хэлэх эрх чөлөөг өгснөөр бид хэлбэрийн хязгаарлагдмал дарааллыг бас авч үзэж болно

натурал тоонуудын дарааллын эхний сегментийн дүрсийг илэрхийлдэг.

бас үзнэ үү

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдэд "Дараалал" гэж юу болохыг хараарай:

ДАГАЛАЛ. И.В.Киреевскийн "19-р зуун" (1830) өгүүлэлд бид: "Ромын эзэнт гүрний уналтаас эхлээд бидний цаг үе хүртэл Европын гэгээрэл аажмаар хөгжиж, тасралтгүй дарааллаар харагдаж байна" (1-р боть, х. ... ... Үгийн түүх

SEQUENCE, дараалал, олон тоо. үгүй ээ, эмэгтэй (ном). анхаарал сарниулсан нэр үг дараалал руу. Үйл явдлын дараалал. Өөрчлөгдөж буй түрлэг дэх тууштай байдал. Үндэслэл дэх тууштай байдал. Толь бичигУшакова...... Ушаковын тайлбар толь бичиг

Тогтмол байдал, тасралтгүй байдал, логик; эгнээ, дэвшил, дүгнэлт, цуваа, уяа, эргэлт, гинж, гинж, цуваа, буухиа уралдаан; тууштай байдал, хүчин төгөлдөр байдал, багц, аргачлал, зохицуулалт, зохицол, тууштай байдал, дараалал, холболт, дараалал,... ... Синоним толь бичиг

ЗОХИОН БАЙГУУЛАЛТ, тоо эсвэл элементүүд. Дараалал нь төгсгөлтэй (хязгаарлагдмал тооны элементтэй) эсвэл хязгааргүй байж болно, тухайлбал 1, 2, 3, 4 натурал тоонуудын бүрэн дараалал ....... ... Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг

SEQUENCE, натурал тоогоор дугаарлагдсан тооны багц (математик илэрхийлэл гэх мэт; тэд: ямар ч шинж чанартай элементүүд гэж хэлдэг. Дарааллыг x1, x2,..., xn,... эсвэл товчоор (xi) ... гэж бичнэ. Орчин үеийн нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг. Дараалал нь дурын шинж чанартай элементүүдээр үүсгэгдэж, 1, 2, ..., n, ... натурал тоогоор дугаарлагдсан бөгөөд x1, x2, ..., xn, ... эсвэл товчоор (xn) гэж бичнэ. .. Том нэвтэрхий толь бичиг

Дараалал- SEQUENCE, натурал тоогоор дугаарлагдсан тоонуудын багц (математик илэрхийлэл гэх мэт; тэд: ямар ч шинж чанартай элементүүд гэж хэлдэг. Дарааллыг x1, x2, ..., xn, ... эсвэл товчоор (xi) бичнэ. ... Зурагт нэвтэрхий толь бичиг

SEQUENCE, мөн, эмэгтэй. 1. Дараалсан хэсгийг үзнэ үү. 2. Математикт: хязгааргүй эрэмбэлэгдсэн тооны багц. Ожеговын тайлбар толь бичиг. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949, 1992 ... Ожеговын тайлбар толь бичиг

Англи залгамж/дараалал; Герман Консекенз. 1. Нэг нэгнийхээ дараалал. 2. Математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг. 3. Чанар нь зөв логик сэтгэлгээ, мөн үндэслэл нь нэг арга замаар дотоод зөрчилдөөнөөс ангид байдаг ... ... Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Дараалал- "натурал тоонуудын багц дээр тодорхойлсон функц, утгуудын багц нь тоо, цэг, функц, вектор, олонлог, ямар ч шинж чанартай элементүүдээс бүрдэж болно. санамсаргүй хэмжигдэхүүнгэх мэт натурал тоогоор дугаарласан... Эдийн засаг-математикийн толь бичиг

Номууд

• Бид дараалал үүсгэдэг. Муурын зулзага. 2-3 жил. Тоглоом "зулзага". Бид дараалал үүсгэдэг. 1-р түвшин. Цуврал" Сургуулийн өмнөх боловсрол". Хөгжилтэй зулзага нар далайн эрэг дээр наранд шарахаар шийджээ! Гэхдээ тэд орон зайг хувааж чадахгүй байна. Үүнийг ойлгоход нь туслаач!…

Хэрэв хүн бүр натурал тоо n заримд нь оноогдсон байна бодит тоо x n , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

Тоо x 1-ийг дарааллын гишүүн гэж нэрлэдэг 1 дугаартай эсвэл дарааллын эхний гишүүн, тоо x 2 - дарааллын гишүүн 2 дугаартай эсвэл дарааллын хоёр дахь гишүүн гэх мэт. x n тоог дуудна тоо бүхий дарааллын гишүүн n.

Тооны дарааллыг тодорхойлох хоёр арга байдаг - хамт болон хамт давтагдах томъёо.

Ашиглах дараалал дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо- Энэ бол дараалсан даалгавар юм

x 1 , x 2 , … x n , …

x n нэр томъёоны n тооноос хамаарах хамаарлыг илэрхийлсэн томъёог ашиглан.

Жишээ 1. Тооны дараалал

1, 4, 9, … n 2 , …

нийтлэг нэр томъёог ашиглан өгсөн

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Өмнөх тоо бүхий дарааллын гишүүдээр дамжуулан x n-ийг илэрхийлсэн томьёо ашиглан дарааллыг зааж өгөхийг давтагдах томъёо.

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан нэмэгдэж буй дарааллаар, илүүөмнөх гишүүн.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бүрт n

x n + 1 >x n

Жишээ 3. Натурал тоонуудын дараалал

1, 2, 3, … n, …

байна өсөх дараалал.

Тодорхойлолт 2. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан буурах дараалалхэрэв энэ дарааллын гишүүн бүр багаөмнөх гишүүн.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

x n + 1 < x n

Жишээ 4. Дараалал

томъёогоор өгөгдсөн

байна буурах дараалал.

Жишээ 5. Тооны дараалал

1, - 1, 1, - 1, …

томъёогоор өгөгдсөн

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

биш өсөх ч үгүй, буурах ч үгүйдараалал.

Тодорхойлолт 3. Өсөх, буурах тооны дараалалдуудсан монотон дараалал.

Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй дараалал

Тодорхойлолт 4. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан дээрээс хязгаарласан,хэрвээ энэ дарааллын гишүүн бүр байхаар M тоо байвал багатоо М.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Тодорхойлолт 5. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан доор хязгаарлагдсан,хэрвээ энэ дарааллын гишүүн бүр байхаар m тоо байвал илүүтоо m.

Өөрөөр хэлбэл, хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Тодорхойлолт 6. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

бол хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг дээр болон доор аль алинд нь хязгаарлагдсан.

Өөрөөр хэлбэл, бүгдэд зориулагдсан M ба m тоонууд байдаг n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

м< x n < M

Тодорхойлолт 7. Тоон дараалал гэж хязгаарлагдахгүй, дуудсан хязгааргүй дараалал.

Жишээ 6. Тооны дараалал

1, 4, 9, … n 2 , …

томъёогоор өгөгдсөн

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

доор хязгаарлагдсан, жишээ нь, тоо 0. Гэсэн хэдий ч, энэ дараалал дээрээс нь хязгааргүй.

Жишээ 7. Дараалал