Асуудлын шийдэл:

252 = 242 + 72, энэ нь гурвалжин нь тэгш өнцөгт, түүний талбай нь хөлнийх нь бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. S = hс * с: 2, энд с нь гипотенуз, hс нь гипотенуз руу татсан өндөр, тэгвэл hс = = = 6.72 (см)

Хариулт: 6.72 см.

Тайзны зорилго:

Слайдын дугаар 4

"4" - 1 буруу хариулт

"3" - хариултууд буруу байна.

Би хийхийг санал болгож байна:

Слайдын дугаар 5

Тайзны зорилго:

Хичээлийн төгсгөлд:

Дараах хэллэгийг самбар дээр бичсэн болно.

Хичээл ашигтай, бүх зүйл тодорхой байна.

Та шаргуу ажиллах хэрэгтэй хэвээр байна.

Тийм ээ, сурахад хэцүү хэвээр байна!

Баримт бичгийн агуулгыг үзэх
"Математикийн хичээлийн төсөл "Пифагорын теоремын урвуу теорем""

"Пифагорын теоремтой урвуу теорем" хичээлийн төсөл

Шинэ мэдлэгийг "нээх" хичээл

Хичээлийн зорилго:

үйл ажиллагаа: Оюутнуудад рефлексийн өөрийгөө зохион байгуулах аргад үндэслэн үйл ажиллагааны шинэ аргыг бие даан бүтээх чадварыг хөгжүүлэх;

боловсролын: шинэ элементүүдийг оруулах замаар үзэл баримтлалын баазыг өргөжүүлэх.

Сурах үйл ажиллагаанд сэдэл төрүүлэх үе шат (5 мин)

Багш, сурагчдын харилцан мэндчилгээ, хичээлд бэлэн байдлыг шалгах, анхаарал, дотоод бэлэн байдлыг зохион байгуулах, бэлэн зураг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх замаар оюутнуудыг бизнесийн хэмнэлд хурдан оруулах.

ABCD нь ромб бол BC-ийг ол.

ABCD бол тэгш өнцөгт юм. AB:AD = 3:4. AD олох.

AD олох.

AB-г ол.

Нарыг ол.

Бэлэн зураг дээр үндэслэсэн асуудлын хариултууд:

1.BC = 3; 2. АД = 4 см; 3.AB = 3√2см.

Шинэ мэдлэг, арга барилыг "нээх" үе шат (15 мин)

Тайзны зорилго:танилцуулах харилцан яриа ("асуудлын нөхцөл" техник) ашиглан хичээлийн сэдэв, зорилгыг боловсруулах.

Өгөгдлийг урвуу байдлаар томъёолж, үнэн эсэхийг олж мэд.слайдын дугаар 1

Сүүлчийн тохиолдолд оюутнууд өгөгдсөний эсрэг заалтыг томъёолж болно.

Пифагорын теоремын урвуу теоремын баталгааг судлах хосоор ажиллах заавар.

Би оюутнуудад үйл ажиллагааны арга, материалын байршлын талаар зааварчилгаа өгдөг.

Хосуудад зориулсан даалгавар: слайдын дугаар 2

Пифагорын теоремын урвуу теоремын баталгааг судлах хосоор бие даасан ажил. Нотлох баримтыг олон нийтэд хамгаалах.

Хосуудын аль нэг нь теоремыг хэлснээр илтгэлээ эхлүүлнэ. Нотолгооны талаар идэвхтэй хэлэлцүүлэг явагдаж байгаа бөгөөд энэ үеэр багш, оюутнуудын асуултын тусламжтайгаар нэг эсвэл өөр хувилбарыг зөвтгөдөг.

Теоремын баталгааг багшийн нотолгоотой харьцуулах

Багш самбар дээр ажиллаж, дэвтэр дээрээ ажиллаж буй оюутнуудад ханддаг.

Өгөгдсөн: ABC – гурвалжин, AB 2 = AC 2 + BC 2

ABC тэгш өнцөгт хэлбэртэй эсэхийг олж мэд. Нотолгоо:

A 1 B 1 C 1-ийг ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC гэж үзье. Дараа нь Пифагорын теоремоор A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 болно.

A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC тул: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, тиймээс AB 2 = A 1 B 1 2 ба AB = A 1 B 1.

Гурван талдаа A 1 B 1 C 1 = ABC, эндээс ˂C = ˂C 1 = 90 0, өөрөөр хэлбэл ABC нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Тэгэхээр гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Энэ мэдэгдлийг гэж нэрлэдэг Пифагорын теоремтой эсрэг тэсрэг теорем.

Пифагорын гурвалжны тухай оюутнуудын нэгний олон нийтийн яриа (бэлтгэсэн мэдээлэл).

Слайдын дугаар 3

Мэдээллийн дараа би оюутнуудаас хэдэн асуулт асууна.

Дараах гурвалжнууд Пифагорын гурвалжин мөн үү?

гипотенуз 25 ба 15 хөлтэй;

5 ба 4 хөлтэй юу?

Гадны ярианд дуудлагатай анхдагч нэгтгэх үе шат (10 мин)

Тайзны зорилго:Бодлого шийдвэрлэх явцад урвуу теоремыг Пифагорын теоремд хэрэглэхийг харуулах.

Би сурах бичгээс 499 a) асуудлыг шийдвэрлэхийг санал болгож байна. Оюутны нэгийг самбарт урьж, багш, оюутнуудын тусламжтайгаар асуудлыг шийдэж, шийдлийг гадаад ярианд хэлдэг. Зочин оюутны илтгэлийн үеэр би хэд хэдэн асуулт асууж байна.

Гурвалжин зөв өнцөгтэй эсэхийг хэрхэн шалгах вэ?

Гурвалжны богино өндрийг аль тал руу нь татах вэ?

Гурвалжны өндрийг тооцоолох ямар аргыг геометрт ихэвчлэн ашигладаг вэ?

Гурвалжны талбайг тооцоолох томъёог ашиглан хүссэн өндрийг ол.

Асуудлын шийдэл:

25 2 = 24 2 + 7 2, энэ нь гурвалжин нь тэгш өнцөгт, түүний талбай нь хөлнийх нь бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. S = h с * с: 2, энд с нь гипотенуз, h с нь гипотенуз руу татсан өндөр, тэгвэл h с = = = 6.72 (см)

Хариулт: 6.72 см.

Стандартын дагуу өөрийгөө шалгах бие даасан ажлын үе шат (10 мин)

Тайзны зорилго:ангидаа бие даасан үйл ажиллагааг сайжруулах, бие даан шалгалт хийх, үйл ажиллагааг үнэлэх, дүн шинжилгээ хийх, дүгнэлт хийж сурах.

Бие даасан ажил нь таны ажлыг хангалттай үнэлж, зохих үнэлгээ өгөх саналыг санал болгож байна.

Слайдын дугаар 4

Үнэлгээний шалгуур: "5" - бүх хариулт зөв

"4" - 1 буруу хариулт

"3" - хариултууд буруу байна.

Оюутнуудад гэрийн даалгаврын талаар мэдээлэл өгөх үе шат, түүнийг хэрхэн гүйцэтгэх заавар (3 мин).

Би сурагчдад гэрийн даалгавраа мэдээлж, хэрхэн гүйцэтгэхийг тайлбарлаж, ажлын агуулгын талаарх ойлголтыг шалгана.

Би хийхийг санал болгож байна:

Слайдын дугаар 5

Хичээл дэх боловсролын үйл ажиллагааны эргэцүүлэн бодох үе шат (2 мин)

Тайзны зорилго:оюутнуудад мэдлэггүй байдлыг илрүүлэх, бэрхшээлийн шалтгааныг олж тогтоох, үйл ажиллагааныхаа үр дүнг тодорхойлоход бэлэн байгаа байдлыг үнэлэхэд заах.

Энэ үе шатанд би оюутан бүрийг хамтран ажилласанд баярлалаа гэж хэлэх залуусаас зөвхөн нэгийг нь сонгохыг урьж, энэ хамтын ажиллагаа яг яаж илэрсэн талаар тайлбарлахыг хүсч байна.

Багшийн талархлын үг эцсийнх юм. Үүний зэрэгцээ би хамгийн бага магтаал авсан хүмүүсийг сонгодог.

Хичээлийн төгсгөлд:

Дараах хэллэгийг самбар дээр бичсэн болно.

Хичээл ашигтай, бүх зүйл тодорхой байна.

Нэг л зүйл жаахан ойлгомжгүй байна.

Та шаргуу ажиллах хэрэгтэй хэвээр байна.

Тийм ээ, сурахад хэцүү хэвээр байна!

Хүүхдүүд гарч ирээд хичээлийн төгсгөлд өөрт тохирсон үгсийн хажууд тэмдэг (шалз) тавина.

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: Пифагорын теорем ба урвуу теоремыг томьёолж, нотлох. Тэдний түүхэн болон практик ач холбогдлыг харуул.

Хөгжүүлэх: сурагчдын анхаарал, ой санамж, логик сэтгэлгээ, үндэслэл, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын: сэдвийн сонирхол, хайрыг төлөвшүүлэх, үнэн зөв байдал, нөхдүүд, багш нарыг сонсох чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: Пифагорын хөрөг, нэгтгэх даалгавар бүхий зурагт хуудас, 7-9-р ангийн "Геометр" сурах бичиг (И.Ф. Шарыгин).

Хичээлийн төлөвлөгөө:

I. Зохион байгуулалтын үе - 1 мин.

II. Гэрийн даалгавар шалгах - 7 мин.

III. Багшийн танилцуулга, түүхэн мэдээлэл – 4-5 мин.

IV. Пифагорын теоремын томъёолол, баталгаа – 7 мин.

V. Пифагорын теоремын эсрэг теоремын томъёолол ба баталгаа – 5 мин.

Шинэ материалыг нэгтгэх:

a) аман - 5-6 минут.
б) бичгээр - 7-10 минут.

VII. Гэрийн даалгавар - 1 мин.

VIII. Хичээлийг дүгнэх - 3 мин.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.

7.1-р зүйл, No3 (дууссан зургийн дагуу самбар дээр).

Нөхцөл: Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь гипотенузыг 1 ба 2 урттай хэрчмүүдэд хуваана. Энэ гурвалжны хөлийг ол.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b 1 ; CD = hC

Нэмэлт асуулт: харьцааг тэгш өнцөгт гурвалжинд бич.

Хэсэг 7.1, No 5. Тэгш өнцөгт гурвалжинг гурван ижил төстэй гурвалжин болгон хайчилж ав.

Тайлбарлах.

ASN ~ ABC ~ SVN

(ижил төстэй гурвалжны харгалзах оройг зөв бичихэд сурагчдын анхаарлыг хандуулах)

III. Багшийн танилцуулга, түүхэн сурвалж.

Үнэнийг сул дорой хүн таньж мэдэнгүүт мөнхийн үлдэнэ!

Одоо Пифагорын теорем нь түүний алс холын насных шиг үнэн юм.

Би хичээлээ Германы зохиолч Чамиссогийн үгээр эхэлсэн нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Өнөөдрийн бидний хичээл бол Пифагорын теорем юм. Хичээлийн сэдвийг бичье.

Таны өмнө агуу Пифагорын хөрөг байна. МЭӨ 576 онд төрсөн. 80 жил амьдарсан тэрээр МЭӨ 496 онд нас баржээ. Эртний Грекийн гүн ухаантан, багш гэдгээрээ алдартай. Тэрээр худалдаачин Мнесархусын хүү байсан бөгөөд түүнийг аялалдаа байнга авч явдаг байсан тул хүүд сониуч зан, шинэ зүйл сурах хүслийг бий болгосон. Пифагор гэдэг нь түүнийг уран илтгэх чадварынх нь төлөө өгсөн хоч юм ("Пифагор" гэдэг нь "үгээрээ ятгадаг" гэсэн утгатай). Тэр өөрөө юу ч бичээгүй. Түүний бүх бодлыг шавь нар нь бичиж үлдээжээ. Анхны лекцийнхээ үр дүнд Пифагор 2000 оюутантай болсон бөгөөд тэд эхнэр, хүүхдүүдийнхээ хамт асар том сургууль байгуулж, Пифагорын хууль, дүрэмд үндэслэсэн "Их Грек" хэмээх улсыг байгуулжээ. тэнгэрлэг зарлигуудын адил. Тэрээр амьдралын утга учрын тухай өөрийн үндэслэлийг философи (философи) гэж нэрлэсэн анхны хүн юм. Тэрээр ид шидийн зан үйл, харуулах хандлагатай байсан. Нэгэн өдөр Пифагор газар доор нуугдаж, ээжээсээ болж буй бүх зүйлийн талаар олж мэдэв. Дараа нь араг яс шиг хатсан тэрээр олон нийтийн хурал дээр Үхэгсдийн оронд очсон гэдгээ зарлаж, дэлхийн үйл явдлын талаар гайхалтай мэдлэгээ харуулсан. Үүний тулд сэтгэл хөдөлсөн оршин суугчид түүнийг Бурхан гэж хүлээн зөвшөөрсөн. Пифагор хэзээ ч уйлж байгаагүй бөгөөд ерөнхийдөө хүсэл тэмүүлэл, сэтгэлийн хөөрөлд хүрдэггүй байв. Тэр өөрийгөө хүнээс илүү үрнээс гаралтай гэж итгэсэн. Пифагорын бүхэл бүтэн амьдрал бол бидний цаг үе хүртэл ирсэн домог бөгөөд эртний ертөнцийн хамгийн авъяаслаг хүний ​​тухай өгүүлдэг.

IV. Пифагорын теоремын томъёолол ба нотолгоо.

Та Пифагорын теоремын томъёололыг алгебрийн хичээлээсээ мэддэг. Түүнийг санацгаая.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч энэ теоремыг Пифагороос олон жилийн өмнө мэддэг байсан. Пифагороос 1500 жилийн өмнө эртний египетчүүд 3, 4, 5 талтай гурвалжинг тэгш өнцөгт гэдгийг мэддэг байсан бөгөөд энэ өмчийг газрын төлөвлөлт, барилга байгууламж барихдаа зөв өнцгөөр барихад ашигладаг байжээ. Пифагороос 600 жилийн өмнө бичигдсэн "Чжу-би" хэмээх манайд хүрч ирсэн хамгийн эртний Хятадын математик, одон орон судлалын бүтээлд зөв гурвалжинтай холбоотой бусад саналуудын дунд Пифагорын теорем агуулагдсан байдаг. Өмнө нь энэ теоремыг Хиндучууд мэддэг байсан. Тиймээс Пифагор тэгш өнцөгт гурвалжны энэ шинж чанарыг нээгээгүй бөгөөд тэрээр үүнийг анх удаа ерөнхийлж, нотолж, практик талаас шинжлэх ухааны талбарт шилжүүлсэн байх магадлалтай.

Эрт дээр үеэс математикчид Пифагорын теоремын нотолгоог улам бүр олсоор ирсэн. Тэдний нэг хагас зуу гаруй нь мэдэгдэж байна. Алгебрийн хичээлээс бидэнд мэдэгдэж байсан Пифагорын теоремын алгебрийн баталгааг санацгаая. (“Математик. Алгебр. Функци. Өгөгдлийн шинжилгээ” Г.В. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000).

Суралцагчдыг зургийн нотолгоог санаж, самбар дээр бичихэд урь.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Энэхүү үндэслэлтэй эртний Хиндучууд үүнийг ихэвчлэн бичдэггүй, харин "Хараач" гэсэн ганцхан үгтэй зургийг дагалддаг байв.

Орчин үеийн танилцуулгад Пифагорын нотлох баримтуудын нэгийг авч үзье. Хичээлийн эхэнд бид тэгш өнцөгт гурвалжин дахь харилцааны тухай теоремыг санав.

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмье:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Энэхүү нотлох баримт нь илт энгийн хэдий ч энэ нь хамгийн энгийнээс хол байна. Эцсийн эцэст, үүний тулд өндрийг тэгш өнцөгт гурвалжинд зурж, ижил төстэй гурвалжингуудыг авч үзэх шаардлагатай байв. Энэ нотлох баримтыг дэвтэртээ бичнэ үү.

V. Пифагорын теоремтой эсрэгээр теоремын томъёолол ба баталгаа.

Ямар теоремыг энэ теоремын эсрэг гэж нэрлэдэг вэ? (...нөхцөл ба дүгнэлт эсрэгээр байвал.)

Одоо Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг томъёолохыг хичээцгээе.

Хэрэв a, b, c талуудтай гурвалжинд c 2 = a 2 + b 2 тэгшитгэл хангагдсан бол энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөг нь в талын эсрэг байна.

(Зурагт хуудас дээрх эсрэг теоремын баталгаа)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Нотлох:

ABC - тэгш өнцөгт,

Нотолгоо:

A 1 B 1 C 1 тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье.

Энд C 1 = 90 °, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Дараа нь Пифагорын теоремоор B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2 болно.

Энэ нь B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC гурван талдаа ABC тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

C = 90 °, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

VI. Судалсан материалыг нэгтгэх (амаар).

1. Бэлэн зурсан зурагт хуудас дээр үндэслэсэн.

Зураг 1: ВD = 8, ВDA = 30° бол AD-ийг ол.

Зураг 2: BE = 5, BAE = 45 ° бол CD-г ол.

Зураг.3: BC = 17, AD = 16 бол BD-ийг ол.

2. Талуудыг нь тоогоор илэрхийлбэл гурвалжин тэгш өнцөгт мөн үү:

5 2 + 6 2? 7 2 (үгүй)	9 2 + 12 2 = 15 2 (тийм)	15 2 + 20 2 = 25 2 (тийм)

Сүүлийн хоёр тохиолдлын тоонуудын гурвалсан тоог юу гэж нэрлэдэг вэ? (Пифагор).

VI. Асуудлыг шийдвэрлэх (бичгээр).

No 9. Адил талт гурвалжны тал нь a-тай тэнцүү. Энэ гурвалжны өндөр, хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, бичээстэй тойргийн радиусыг ол.

No 14. Тэгш өнцөгт гурвалжинд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь гипотенуз руу татсан медиантай тэнцүү ба гипотенузын хагастай тэнцүү болохыг батал.

VII. Гэрийн даалгавар.

7.1-р догол мөр, 175-177-р тал, теорем 7.4 (Пифагорын ерөнхий теорем), No1 (амаар), No2, No4-ийг шалгана уу.

VIII. Хичээлийн хураангуй.

Та өнөөдөр ангидаа ямар шинэ зүйл сурсан бэ? …………

Пифагор бол юуны түрүүнд философич байсан. Одоо би та бүхэнд түүний бидний цаг үед ч, танд ч, миний хувьд ч хамаатай хэвээр байгаа түүний хэдэн үгийг уншихыг хүсч байна.

• Амьдралын замд тоос бүү өргө.
• Хожим нь чамайг гомдоохгүй, наманчлахад хүргэхгүй зүйлийг л хий.
• Мэдэхгүй зүйлээ хэзээ ч бүү хий, харин мэдэх ёстой бүх зүйлээ сур, тэгвэл чи тайван амьдрах болно.
• Өнгөрсөн өдрийн бүх үйлдлээ цэгцэлгүйгээр унтахыг хүссэн үедээ нүдээ бүү ани.
• Энгийн бөгөөд тансаглалгүйгээр амьдарч сур.

Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн сэдвүүдийг видео хичээл ашиглан хянан үзэх нь материалыг судлах, эзэмшихэд тохиромжтой арга юм. Видео нь оюутнуудын анхаарлыг онолын үндсэн ойлголтуудад төвлөрүүлж, чухал нарийн ширийн зүйлийг алдахгүй байхад тусалдаг. Шаардлагатай бол оюутнууд үргэлж видео хичээлийг дахин сонсох эсвэл хэд хэдэн сэдвээс буцаж болно.

8-р ангийн энэхүү видео хичээл нь сурагчдад геометрийн шинэ сэдвийг сурахад тусална.

Өмнөх сэдвээр бид Пифагорын теоремыг судалж, түүний нотолгоонд дүн шинжилгээ хийсэн.

Урвуу Пифагорын теорем гэж нэрлэгддэг теорем бас байдаг. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Теорем. Гурвалжин нь дараах тэгш байдлыг хангасан бол тэгш өнцөгт байна: гурвалжны нэг талын квадратын утга нь нөгөө хоёр талын квадратын нийлбэртэй ижил байна.

Баталгаа. Бидэнд AB 2 = CA 2 + CB 2 тэгш байдал хангагдсан ABC гурвалжин өгөгдсөн гэж үзье. C өнцөг нь 90 градустай тэнцүү гэдгийг батлах шаардлагатай. C 1 өнцөг нь 90 градус, C 1 A 1 тал нь CA, B 1 C 1 тал нь BC-тэй тэнцүү байх A 1 B 1 C 1 гурвалжинг авч үзье.

Пифагорын теоремыг ашигласнаар бид A 1 C 1 B 1 гурвалжны талуудын харьцааг бичнэ: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Илэрхийлэлийг тэнцүү талуудаар сольсноор бид A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 болно.

Теоремын нөхцлөөс бид AB 2 = CA 2 + CB 2 гэдгийг мэднэ. Дараа нь бид A 1 B 1 2 = AB 2 гэж бичиж болох бөгөөд үүнээс A 1 B 1 = AB болно.

ABC ба A 1 B 1 C 1 гурвалжинд гурван тал тэнцүү болохыг олж мэдсэн: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Тэгэхээр эдгээр гурвалжин тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харахад C өнцөг нь C 1 өнцөгтэй тэнцүү ба үүний дагуу 90 градустай тэнцүү байна. Бид ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт, C өнцөг нь 90 градус болохыг тогтоосон. Бид энэ теоремыг баталсан.

Дараа нь зохиогч жишээг өгөв. Бидэнд дурын гурвалжин өгөгдсөн гэж бодъё. Түүний талуудын хэмжээ нь мэдэгдэж байна: 5, 4, 3 нэгж. Пифагорын теоремын урвуу теоремын мэдэгдлийг шалгая: 5 2 = 3 2 + 4 2. Энэхүү мэдэгдэл нь үнэн бөгөөд энэ нь гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм.

Дараах жишээн дээр талууд нь тэнцүү бол гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно.

5, 12, 13 нэгж; 13 2 = 5 2 + 12 2 тэгш байдал үнэн;

8, 15, 17 нэгж; 17 2 = 8 2 + 15 2 тэгш байдал үнэн;

7, 24, 25 нэгж; 25 2 = 7 2 + 24 2 тэгш байдал үнэн.

Пифагорын гурвалжин гэдэг ойлголтыг мэддэг. Энэ бол талууд нь бүхэл тоотой тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Хэрэв Пифагор гурвалжны хөлийг a ба c, гипотенузыг b гэж тэмдэглэсэн бол энэ гурвалжны талуудын утгыг дараах томъёогоор бичиж болно.

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

Энд m, n, k нь дурын натурал тоо бөгөөд m-ийн утга нь n-ийн утгаас их байна.

Сонирхолтой баримт: 5, 4, 3 талтай гурвалжинг Египетийн гурвалжин гэж нэрлэдэг; ийм гурвалжинг Эртний Египтэд мэддэг байсан.

Энэ видео хичээлээр бид Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг сурсан. Бид нотлох баримтыг нарийвчлан судалсан. Сурагчид ямар гурвалжинг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэдэгийг олж мэдсэн.

Энэхүү видео хичээлийн тусламжтайгаар оюутнууд "Пифагорын урвуу теорем" сэдвээр бие даан танилцах боломжтой.

Ван дер Ваерденийн хэлснээр энэ харьцаа ерөнхий хэлбэрээр МЭӨ 18-р зууны үед Вавилонд мэдэгдэж байсан байх магадлалтай. д.

МЭӨ 400 орчим. МЭӨ, Проклусын хэлснээр Платон алгебр, геометрийг хослуулан Пифагорын гурвалсан гурвыг олох аргыг өгсөн. МЭӨ 300 орчим. д. Пифагорын теоремын хамгийн эртний аксиоматик нотолгоо нь Евклидийн элементүүдэд гарч ирэв.

Найрлага

Үндсэн томъёолол нь алгебрийн үйлдлүүдийг агуулдаг - тэгш өнцөгт гурвалжинд урт нь тэнцүү байна a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b), ба гипотенузын урт нь байна c (\displaystyle c), дараах харьцаа хангагдсан байна.

.

Зургийн талбайн тухай ойлголтыг ашиглан ижил төстэй геометрийн томъёолол бас боломжтой: тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбай нь дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. хөл. Теоремыг Евклидийн элементүүдэд ийм хэлбэрээр томъёолсон болно.

Пифагорын теоремыг эргүүл- талуудын урт нь харьцаагаар хамааралтай аливаа гурвалжны тэгш өнцөгт байдлын тухай мэдэгдэл a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Үүний үр дүнд эерэг тоонуудын гурав дахин бүрд a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Тэгээд c (\displaystyle c), ийм a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бий a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)ба гипотенуз c (\displaystyle c).

Баталгаа

Шинжлэх ухааны уран зохиолд Пифагорын теоремын дор хаяж 400 нотолгоо байдаг бөгөөд үүнийг геометрийн үндсэн ач холбогдол, үр дүнгийн энгийн шинж чанараар тайлбарладаг. Баталгаажуулах үндсэн чиглэлүүд нь гурвалжны элементүүдийн хоорондын харилцааны алгебрийн хэрэглээ (жишээлбэл, ижил төстэй байдлын түгээмэл арга), талбайн арга, мөн янз бүрийн чамин нотлох баримтууд байдаг (жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийг ашиглах).

Ижил төстэй гурвалжингаар

Евклидийн сонгодог нотолгоо нь гипотенузын дээрх квадратыг хөл дээрх квадратуудтай тэгш өнцөгтийн өндрөөр задлах замаар үүссэн тэгш өнцөгтүүдийн хоорондох талбайн тэгш байдлыг тогтооход чиглэгддэг.

Баталгаажуулахад ашигласан бүтээц нь дараах байдалтай байна: тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд C (\displaystyle C), хөлний дээгүүр квадратууд ба гипотенузын дээгүүр квадратууд A B I K (\displaystyle ABIK)өндөр баригдаж байна CHмөн түүнийг үргэлжлүүлж буй туяа s (\displaystyle s), гипотенузын дээрх квадратыг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах ба . Нотолгоо нь тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг тогтоох зорилготой юм A H J K (\displaystyle AHJK)хөлний дээгүүр дөрвөлжин хэлбэртэй A C (\displaystyle AC); Гипотенузын дээрх дөрвөлжин ба нөгөө хөлний дээрх тэгш өнцөгтийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг ижил төстэй байдлаар тогтооно.

Тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдал A H J K (\displaystyle AHJK)Тэгээд A C E D (\displaystyle ACED)гурвалжны конгруэнцээр тогтоогддог △ A C K ​​(\displaystyle \гурвалжин ACK)Тэгээд △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), тус бүрийн талбай нь квадратуудын талбайн талтай тэнцүү байна A H J K (\displaystyle AHJK)Тэгээд A C E D (\displaystyle ACED)Үүний дагуу дараахь шинж чанартай холбоотой: гурвалжны талбай нь хэрэв дүрс нь нийтлэг талтай бол гурвалжны талбайн хагастай тэнцүү, гурвалжны нийтлэг тал хүртэлх өндөр нь нөгөө тал нь байна. тэгш өнцөгт. Гурвалжны конгруэнц нь хоёр тал (квадратуудын талууд) ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн тэгшитгэлээс (тэгш өнцөг ба өнцгөөс бүрддэг) үүсдэг. A (\displaystyle A).

Тиймээс гипотенузаас дээш дөрвөлжин талбай нь тэгш өнцөгтүүдээс бүрддэг болохыг нотолж байна. A H J K (\displaystyle AHJK)Тэгээд B H J I (\displaystyle BHJI), хөл дээрх квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Леонардо да Винчигийн нотолгоо

Талбайн аргад мөн Леонардо да Винчигийн олж авсан нотлох баримтууд багтсан болно. Тэгш өнцөгт гурвалжинг өгье △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC)зөв өнцгөөр C (\displaystyle C)болон квадратууд A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)Тэгээд A B H J (\displaystyle ABHJ)(зураг харна уу). Хажуу талд байгаа энэ нотолгоонд HJ (\displaystyle HJ)Сүүлчийнх нь гадна талд нь гурвалжин хэлбэртэй, тохирч байна △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC), үүнээс гадна, гипотенузтай харьцуулахад болон түүний өндөртэй харьцуулахад хоёуланг нь тусгасан (өөрөөр хэлбэл, J I = B C (\displaystyle JI=BC)Тэгээд H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Чигээрээ C I (\displaystyle CI)гипотенуз дээр баригдсан квадратыг гурвалжингаас хойш хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC)Тэгээд △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)барилгын хувьд тэнцүү. Нотолгоо нь дөрвөн өнцөгтийн тохирлыг тогтоодог C A J I (\displaystyle CAJI)Тэгээд D A B G (\displaystyle DABG), тус бүрийн талбай нь нэг талаас хөл дээрх квадратуудын тал ба анхны гурвалжны талбайн нийлбэртэй тэнцүү, нөгөө талаас тал нь Гипотенуз дээрх квадратын талбай дээр анхны гурвалжны талбайг нэмнэ. Нийтдээ хөл дээрх квадратуудын талбайн нийлбэрийн хагас нь гипотенуз дээрх квадратын талбайн талтай тэнцүү бөгөөд энэ нь Пифагорын теоремын геометрийн томъёололтой тэнцүү юм.

Хязгааргүй жижиг аргаар нотлох

Дифференциал тэгшитгэлийн техникийг ашигласан хэд хэдэн нотолгоо байдаг. Ялангуяа Хардиг хөлний хязгааргүй жижиг алхмуудыг ашиглан нотолсон гэж үздэг a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)ба гипотенуз c (\displaystyle c), мөн анхны тэгш өнцөгттэй ижил төстэй байдлыг хадгалах, өөрөөр хэлбэл дараахь дифференциал харилцааны биелэлтийг хангах.

d a d c = c a (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан тэдгээрээс дифференциал тэгшитгэлийг гаргаж авдаг c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), түүний интеграл нь хамаарлыг өгдөг c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Анхны нөхцлийн хэрэглээ a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)тогтмолыг 0 гэж тодорхойлдог бөгөөд энэ нь теоремийн илэрхийлэлд хүргэдэг.

Эцсийн томъёоны квадрат хамаарал нь гурвалжны талууд ба өсөлтүүдийн хоорондох шугаман пропорциональ байдлаас шалтгаалан гарч ирдэг бол нийлбэр нь янз бүрийн хөлийн өсөлтөөс бие даасан хувь нэмэртэй холбоотой байдаг.

Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт

Гурван талдаа ижил төстэй геометрийн дүрсүүд

Пифагорын теоремын чухал геометрийн ерөнхий дүгнэлтийг Евклид элементүүдэд өгсөн бөгөөд хажуу тал дээрх квадратуудын талбайгаас дурын ижил төстэй геометрийн дүрсүүдийн талбай руу шилжсэн: хөл дээр барьсан ийм дүрсүүдийн талбайн нийлбэр нь тэнцүү байх болно. гипотенуз дээр баригдсан ижил төстэй дүрсийн талбай.

Энэхүү ерөнхий ойлголтын гол санаа нь ийм геометрийн дүрсийн талбай нь түүний аль ч шугаман хэмжээсийн квадрат, ялангуяа аль ч талын уртын квадраттай пропорциональ байх явдал юм. Тиймээс талбайтай ижил төстэй тоонуудын хувьд A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)Тэгээд C (\displaystyle C), урттай хөл дээр баригдсан a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)ба гипотенуз c (\displaystyle c)Үүний дагуу дараахь хамаарал бий болно.

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Баруун сум \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Пифагорын теоремын дагуу a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), дараа нь хийсэн.

Нэмж дурдахад, Пифагорын теоремыг ашиглахгүйгээр, тэгш өнцөгт гурвалжны талууд дээрх ижил төстэй гурван геометрийн дүрсийн талбай нь хамаарлыг хангадаг гэдгийг батлах боломжтой бол. A + B = C (\displaystyle A+B=C), дараа нь Евклидийн ерөнхий ойлголтын нотолгоог урвуу байдлаар ашигласнаар Пифагорын теоремын баталгааг гаргаж болно. Жишээлбэл, хэрэв гипотенуз дээр бид талбайтай анхны гурвалжинтай тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна. C (\displaystyle C), мөн талууд дээр - талбайтай ижил төстэй хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин A (\displaystyle A)Тэгээд B (\displaystyle B), тэгвэл эхний гурвалжинг өндрөөр нь хуваасны үр дүнд талуудын гурвалжин үүсдэг, өөрөөр хэлбэл гурвалжны хоёр жижиг талбайн нийлбэр нь гурав дахь хэсгийн талбайтай тэнцүү байна. A + B = C (\displaystyle A+B=C)ба ижил төстэй тоонуудын хамаарлыг ашигласнаар Пифагорын теорем гарна.

Косинусын теорем

Пифагорын теорем нь дурын гурвалжин дахь талуудын уртыг холбодог илүү ерөнхий косинусын теоремын онцгой тохиолдол юм.

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

талуудын хоорондох өнцөг хаана байна a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b). Хэрэв өнцөг нь 90 ° байвал cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), мөн томьёо нь ердийн Пифагорын теоремыг хялбаршуулдаг.

Чөлөөт гурвалжин

Пифагорын теоремыг зөвхөн талуудын уртын харьцаагаар ажилладаг дурын гурвалжинд нэгтгэсэн ерөнхий ойлголт байдаг бөгөөд үүнийг Сабийн одон орон судлаач Табит ибн Курра анх бий болгосон гэж үздэг. Үүний дотор талуудтай дурын гурвалжны хувьд хажуу талдаа суурьтай тэгш өнцөгт гурвалжин багтдаг. c (\displaystyle c), орой нь хажуугийн эсрэг талын анхны гурвалжны оройтой давхцаж байна c (\displaystyle c)ба суурь дахь өнцөг нь өнцөгтэй тэнцүү байна θ (\displaystyle \theta), эсрэг тал c (\displaystyle c). Үүний үр дүнд анхныхтай төстэй хоёр гурвалжин үүсдэг: эхнийх нь талуудтай a (\displaystyle a), бичээстэй тэгш өнцөгт гурвалжны түүнээс хамгийн алслагдсан тал, ба r (\displaystyle r)- хажуугийн хэсгүүд c (\displaystyle c); хоёр дахь нь - хажуу талаас нь тэгш хэмтэй b (\displaystyle b)талтай s (\displaystyle s)- хажуугийн харгалзах хэсэг c (\displaystyle c). Үүний үр дүнд дараахь харьцаа хангагдана.

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

үед Пифагорын теорем руу доройтох θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Энэ харилцаа нь үүссэн гурвалжингийн ижил төстэй байдлын үр дагавар юм.

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c)) (b))=(\frac (b)(s))\,\Баруун сум \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Талбайн тухай Паппусын теорем

Евклидийн бус геометр

Пифагорын теорем нь Евклидийн геометрийн аксиомуудаас гаралтай бөгөөд Евклидийн бус геометрийн хувьд хүчин төгөлдөр бус - Пифагорын теоремын биелэлт нь Евклидийн параллелизмын постулаттай тэнцэнэ.

Евклидийн бус геометрийн хувьд тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарал нь Пифагорын теоремоос өөр хэлбэртэй байх ёстой. Жишээлбэл, бөмбөрцөг геометрийн хувьд нэгж бөмбөрцгийн октантыг холбосон тэгш өнцөгт гурвалжны бүх гурван тал нь урттай байдаг. π / 2 (\displaystyle \pi /2), энэ нь Пифагорын теоремтой зөрчилдөж байна.

Түүгээр ч барахгүй гурвалжин тэгш өнцөгт байх шаардлагыг гурвалжны хоёр өнцгийн нийлбэр нь гурав дахь нь тэнцүү байх нөхцөлөөр сольсон тохиолдолд Пифагорын теорем гипербол ба эллипс геометрт хүчинтэй байна.

Бөмбөрцөг геометр

Радиустай бөмбөрцөг дээрх дурын тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд R (\displaystyle R)(жишээлбэл, гурвалжин дахь өнцөг зөв байвал) талуудтай a , b , c (\displaystyle a,b,c)талуудын хоорондын харилцаа нь:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\баруун)=\cos \left((\frac) (a)(R))\баруун)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\баруун)).

Энэ тэгш байдлыг бүх бөмбөрцөг гурвалжинд хүчинтэй бөмбөрцөг косинусын теоремын онцгой тохиолдол болгон гаргаж болно.

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ нүгэл \left((\frac (a)(R))\баруун)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Хаана ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- гиперболкосинус. Энэ томьёо нь бүх гурвалжинд хүчинтэй гипербол косинусын теоремын онцгой тохиолдол юм.

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator name) (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Хаана γ (\displaystyle \гамма)- орой нь хажуугийн эсрэг талын өнцөг c (\displaystyle c).

Гипербол косинусын хувьд Тейлорын цувралыг ашиглах ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ойролцоогоор 1+x^(2)/2)) хэрэв гипербол гурвалжин буурвал (өөрөөр хэлбэл, хэзээ a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Тэгээд c (\displaystyle c)тэг рүү чиглэдэг), тэгвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дахь гиперболын хамаарал нь Пифагорын сонгодог теоремын хамааралд ойртоно.

Өргөдөл

Хоёр хэмжээст тэгш өнцөгт систем дэх зай

Пифагорын теоремын хамгийн чухал хэрэглээ бол тэгш өнцөгт координатын системийн хоёр цэгийн хоорондох зайг тодорхойлох явдал юм: зай s (\displaystyle s)координат бүхий цэгүүдийн хооронд (a , b) (\displaystyle (a,b))Тэгээд (c , d) (\displaystyle (c,d))тэнцүү байна:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Комплекс тоонуудын хувьд Пифагорын теорем нь комплекс тооны модулийг олох байгалийн томъёог өгдөг. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)урттай тэнцүү байна

Сэдэв: Теорем нь Пифагорын теоремтой эсрэг байна.

Хичээлийн зорилго: 1) Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг авч үзэх; асуудлыг шийдвэрлэх явцад түүний хэрэглээ; Пифагорын теоремыг нэгтгэх, түүнийг хэрэгжүүлэхэд асуудал шийдвэрлэх ур чадварыг сайжруулах;

2) логик сэтгэлгээ, бүтээлч эрэл хайгуул, танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх;

3) оюутнуудад суралцах хариуцлагатай хандлага, математикийн ярианы соёлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн төрөл. Шинэ мэдлэг сурах хичээл.

Хичээлийн үеэр

І. Зохион байгуулах цаг

ІІ. Шинэчлэх мэдлэг

Надад сургамжболноби хүссэнквадратаас эхэл.

Тийм ээ, мэдлэгийн зам гөлгөр биш

Гэхдээ бид сургуулийн жилүүдээс мэддэг

Хариултаас илүү нууцлаг зүйл бий

Мөн хайлтанд хязгаарлалт байхгүй!

Тиймээс та сүүлийн хичээлээр Пифагорын теоремыг сурсан. Асуултууд:

Пифагорын теорем аль дүрсийн хувьд үнэн бэ?

Аль гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?

Пифагорын теоремыг хэл.

Гурвалжин бүрийн хувьд Пифагорын теоремыг хэрхэн бичих вэ?

Аль гурвалжныг тэнцүү гэж нэрлэдэг вэ?

Гурвалжны тэгш байдлын шалгуурыг томъёолоорой?

Одоо бага зэрэг бие даасан ажил хийцгээе:

Зураг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

№1

(1 б.) Олно: AB.

№2

(1 б.) Олно: VS.

№3

( 2 б.)Хай: AC

№4

(1 оноо)Хай: AC

№5 Өгөгдсөн: ABCДромб

(2 б.) AB = 13 см

АС = 10 см

ОлооройД

Өөрийгөө шалгах №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Сурч байна шинэ материал.

Эртний египетчүүд газар дээр тэгш өнцөгтүүдийг ийм байдлаар барьдаг: тэд олсыг зангилаагаар 12 тэнцүү хэсэгт хувааж, үзүүрийг нь боож, дараа нь олсыг газарт сунгаж, 3, 4 талтай гурвалжин үүсгэв. 5 хэлтэс. 5 хуваагдсан талын эсрэг талд байрлах гурвалжны өнцөг зөв байв.

Та энэ шийдвэрийн үнэн зөвийг тайлбарлаж чадах уу?

Асуултын хариултыг хайсны үр дүнд оюутнууд математикийн үүднээс гурвалжин тэгш өнцөгт байх уу гэсэн асуулт гарч ирж байгааг ойлгох ёстой.

Өгөгдсөн талуудтай гурвалжин тэгш өнцөгт байх эсэхийг хэмжилт хийхгүйгээр хэрхэн тодорхойлох вэ гэдэг асуудал тулгардаг. Энэ асуудлыг шийдвэрлэх нь хичээлийн зорилго юм.

Хичээлийн сэдвийг бичнэ үү.

Теорем. Гурвалжны хоёр талын квадратуудын нийлбэр нь гурав дахь талын квадраттай тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Теоремыг бие даан нотлох (сурах бичгийг ашиглан нотлох төлөвлөгөө гаргах).

Энэ теоремоос харахад 3, 4, 5 талтай гурвалжин нь тэгш өнцөгт (Египет) байна.

Ерөнхийдөө тэгш байдал хангагдсан тоонууд , Пифагорын гурвалсан гэж нэрлэдэг. Хажуугийн уртыг нь Пифагорын гурвалжингаар (6, 8, 10) илэрхийлсэн гурвалжингууд нь Пифагорын гурвалжин юм.

Нэгтгэх.

Учир нь , тэгвэл 12, 13, 5 талтай гурвалжин тэгш өнцөгт биш байна.

Учир нь , тэгвэл 1, 5, 6 талтай гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

№ 430 (а, б, в)

( - биш)