Квадрат функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Хэрэв параболыг дүрсэлсэн бол квадрат функц, х тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй, тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Хэрэв парабол х тэнхлэгийг нэг цэгт (параболын орой) огтолж байвал тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай байна (тэгшитгэлийг мөн хоёр язгуур давхцаж байна гэж нэрлэдэг). Хэрэв парабол х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байвал тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй болно.

Хэрэв коэффициент Аэерэг бол параболын мөчрүүд дээш, сөрөг бол параболын мөчрүүд доош чиглэсэн байна. Хэрэв b коэффициент эерэг байвал параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд, сөрөг бол баруун талын хагас хавтгайд байрладаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог дараах байдлаар олж авч болно.

а x 2 + б x+ в = 0
а x 2 + б x = - в

Тэгшитгэлийг 4-өөр үржүүлнэ а

4а 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4а 2 x 2 + 4 ab x+ б 2 = -4ac + б 2
(2а x+ б) 2 = б 2 -4ac
2а x+ б= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох

Бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл нь D = дискриминантын утгаас хамааран 0-ээс 2 бодит язгууртай байж болно. б 2 − 4ac:

• D > 0-ийн хувьд хоёр үндэс байх ба тэдгээрийг томъёогоор тооцоолно
• D = 0-ийн хувьд нэг үндэс (хоёр тэнцүү буюу давхцах үндэс), үржвэр 2:

IN орчин үеийн нийгэмХувьсагчийн квадратыг агуулсан тэгшитгэлтэй үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвар нь үйл ажиллагааны олон салбарт хэрэг болох бөгөөд шинжлэх ухаан, техникийн хөгжилд практикт өргөн хэрэглэгддэг. Үүний нотлох баримтыг далайн болон голын хөлөг онгоц, нисэх онгоц, пуужингийн загвараас олж болно. Ийм тооцоог ашиглан хөдөлгөөний замнал хамгийн их байдаг өөр өөр бие, үүнд сансрын биетүүд орно. Шийдэл бүхий жишээнүүд квадрат тэгшитгэлЭдийн засгийн таамаглал, барилга байгууламжийг төлөвлөх, барихад төдийгүй өдөр тутмын хамгийн энгийн нөхцөлд ашигладаг. Тэд явган аялал, спортын арга хэмжээ, дэлгүүрт худалдан авалт хийх үед болон бусад нийтлэг нөхцөл байдалд хэрэгтэй байж болно.

Илэрхийлэлийг бүрэлдэхүүн хүчин зүйл болгон хувааж үзье

Тэгшитгэлийн зэрэг нь илэрхийлэлд агуулагдах хувьсагчийн зэрэглэлийн хамгийн их утгаар тодорхойлогддог. Хэрэв энэ нь 2-той тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг квадрат гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид томъёоны хэлээр ярих юм бол заасан илэрхийлэл нь хэрхэн харагдахаас үл хамааран илэрхийллийн зүүн тал нь гурван нэр томъёоноос бүрдэх үед үргэлж хэлбэрт оруулж болно. Үүнд: ax 2 (өөрөөр хэлбэл өөрийн коэффициенттэй квадрат хувьсагч), bx (коэффиценттэй квадратгүй үл мэдэгдэх) ба c (чөлөөт бүрэлдэхүүн хэсэг, өөрөөр хэлбэл энгийн тоо). Баруун талд байгаа энэ бүхэн 0-тэй тэнцүү байна. Ийм олон гишүүнтэд 2-р сүхээс бусад гишүүний аль нэг нь байхгүй бол түүнийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэнэ. Ийм асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг эхлээд олоход хялбар хувьсагчийн утгыг авч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв илэрхийлэл нь баруун талдаа хоёр гишүүнтэй, тодруулбал ax 2 ба bx мэт харагдаж байвал х-г олох хамгийн хялбар арга бол хувьсагчийг хаалтанд оруулах явдал юм. Одоо бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно: x(ax+b). Дараа нь x=0, эсвэл асуудал нь дараах илэрхийллээс хувьсагч олоход ирдэг нь тодорхой болно: ax+b=0. Энэ нь үржүүлэх шинж чанаруудын нэгээр тодорхойлогддог. Дүрэмд хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь зөвхөн нэг нь тэг байвал 0 болно гэж заасан.

Жишээ

x=0 эсвэл 8x - 3 = 0

Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн хоёр үндэсийг олж авна: 0 ба 0.375.

Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь таталцлын нөлөөн дор биетүүдийн хөдөлгөөнийг тодорхойлж болох бөгөөд тэдгээр нь координатын гарал үүсэл гэж авсан тодорхой цэгээс хөдөлж эхэлсэн. Энд математикийн тэмдэглэгээ дараах хэлбэртэй байна: y = v 0 t + gt 2 /2. Шаардлагатай утгуудыг орлуулж, баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, байж болох үл мэдэгдэхийг олсноор та бие дээшлэх мөчөөс доош унах хүртэлх цаг хугацаа болон бусад олон хэмжигдэхүүнийг олж мэдэх боломжтой. Гэхдээ бид энэ талаар дараа ярих болно.

Илэрхийллийн факторинг

Дээр дурдсан дүрэм нь эдгээр асуудлыг илүү төвөгтэй тохиолдолд шийдвэрлэх боломжтой болгодог. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

X 2 - 33x + 200 = 0

Энэ квадрат гурвалж дууссан. Эхлээд илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйлээ авч үзье. Тэдгээрийн хоёр нь байна: (x-8) ба (x-25) = 0. Үүний үр дүнд бид 8 ба 25 гэсэн хоёр үндэстэй болно.

9-р ангид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүд нь энэ аргыг зөвхөн хоёр дахь төдийгүй гурав, дөрөв дэх эрэмбийн илэрхийлэлд хувьсагч олох боломжийг олгодог.

Жишээ нь: 2х 3 + 2х 2 - 18х - 18 = 0. Баруун талыг хувьсагчтай хүчин зүйлүүдэд хуваахдаа (х+1), (х-3) ба (х+) гурав байна. 3).

Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй болох нь тодорхой болно: -3; -1; 3.

Квадрат язгуур

Өөр нэг тохиолдол бүрэн бус тэгшитгэлхоёр дахь эрэмбэ нь баруун тал нь ax 2 ба c бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүтээгдсэн байдлаар үсгийн хэлээр илэрхийлэгдсэн илэрхийлэл юм. Энд хувьсагчийн утгыг олж авахын тулд чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, дараа нь тэгш байдлын хоёр талаас гаргаж авдаг. Квадрат язгуур. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр үндэс байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байх нэр томъёо агуулаагүй тэгш байдал, баруун тал нь сөрөг болж хувирсан илэрхийллийн хувилбарууд байж болно. Сүүлчийн тохиолдолд дээрх үйлдлүүдийг үндэсээр хийх боломжгүй тул ямар ч шийдэл байхгүй. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс нь -4 ба 4 тоонууд байх болно.

Газрын талбайн тооцоо

Ийм тооцоо хийх хэрэгцээ гарч ирэв эртний цаг үе, учир нь тэр алс холын цаг үед математикийн хөгжил нь газрын талбайн хэмжээ, периметрийг хамгийн нарийвчлалтай тодорхойлох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв.

Ийм төрлийн бодлого дээр үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Тэгэхээр урт нь өргөнөөсөө 16 метр илүү тэгш өнцөгт газар байгаа гэж бодъё. Талбай нь 612 м2 гэдгийг мэдэж байвал сайтын урт, өргөн, периметрийг олох хэрэгтэй.

Эхлэхийн тулд эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бий болгоё. Талбайн өргөнийг x-ээр тэмдэглэвэл урт нь (x+16) болно. Бичсэн зүйлээс харахад талбай нь x(x+16) илэрхийллээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь манай бодлогын нөхцлийн дагуу 612 байна. Энэ нь x(x+16) = 612 гэсэн үг юм.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, мөн энэ илэрхийллийг яг ийм байдлаар хийх боломжгүй. Яагаад? Хэдийгээр зүүн тал нь хоёр хүчин зүйлийг агуулж байгаа ч тэдгээрийн үржвэр нь 0-тэй огт тэнцүү биш тул энд өөр өөр аргыг ашигладаг.

Ялгаварлан гадуурхагч

Юуны өмнө бид шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийнэ, дараа нь энэ илэрхийллийн харагдах байдал дараах байдалтай байна: x 2 + 16x - 612 = 0. Энэ нь бид илэрхийллийг өмнө нь заасан стандартад тохирсон хэлбэрээр хүлээн авсан гэсэн үг юм. a=1, b=16, c= -612.

Энэ нь дискриминант ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ байж болно. Энд шаардлагатай тооцооллыг схемийн дагуу хийсэн болно: D = b 2 - 4ac. Энэхүү туслах хэмжигдэхүүн нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлд шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг олох боломжийг олгодог төдийгүй боломжит хувилбаруудын тоог тодорхойлдог. Хэрэв D>0 байвал тэдгээрийн хоёр нь байна; D=0 хувьд нэг үндэс байна. тохиолдолд Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Үндэс ба тэдгээрийн томъёоны тухай

Манай тохиолдолд дискриминант нь тэнцүү байна: 256 - 4(-612) = 2704. Энэ нь бидний асуудал хариулттай болохыг харуулж байна. Хэрэв та k-г мэддэг бол квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг дараах томъёогоор үргэлжлүүлэх ёстой. Энэ нь үндсийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Энэ нь танилцуулсан тохиолдолд: x 1 =18, x 2 =-34 гэсэн үг юм. Энэ хүндрэлийн хоёрдахь хувилбар нь шийдэл байж чадахгүй, учир нь газрын талбайн хэмжээсийг хасах хэмжигдэхүүнээр хэмжих боломжгүй, энэ нь x (өөрөөр хэлбэл талбайн өргөн) 18 м байна. Эндээс бид уртыг тооцоолно: 18. +16=34, периметр 2(34+ 18)=104(м2).

Жишээ ба даалгавар

Бид квадрат тэгшитгэлийн судалгаагаа үргэлжлүүлж байна. Тэдгээрийн хэд хэдэн жишээ, нарийвчилсан шийдлүүдийг доор өгөх болно.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Бүгдийг тэгш байдлын зүүн тал руу шилжүүлж, өөрчлөлт хийцгээе, өөрөөр хэлбэл стандарт гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрлийг авч, тэгтэй тэнцүүлэх болно.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Үүнтэй төстэй зүйлсийг нэмснээр бид ялгагчийг тодорхойлно: D = 49 - 48 = 1. Энэ нь бидний тэгшитгэл хоёр үндэстэй болно гэсэн үг юм. Дээрх томъёоны дагуу тэдгээрийг тооцоолъё, энэ нь эхнийх нь 4/3, хоёр дахь нь 1-тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

2) Одоо өөр төрлийн нууцыг тайлцгаая.

Энд x 2 - 4x + 5 = 1 үндэс байгаа эсэхийг олж мэдье? Нарийвчилсан хариултыг авахын тулд олон гишүүнтийг харгалзах ердийн хэлбэр болгон бууруулж, дискриминантыг тооцоолъё. Дээрх жишээнд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй, учир нь энэ нь асуудлын мөн чанар огт биш юм. Энэ тохиолдолд D = 16 - 20 = -4, энэ нь үнэхээр үндэс байхгүй гэсэн үг юм.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийг дээрх томьёо болон ялгаварлан гадуурхагчийг ашиглан квадрат язгуурыг сүүлчийнх нь утгаас авах нь тохиромжтой. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд хувьсагчийн утгыг олж авах олон арга бий. Жишээ нь: Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Тэрээр 16-р зуунд Францад амьдарч байсан бөгөөд математикийн авъяас чадвар, шүүх дэх харилцааныхаа ачаар гайхалтай карьер хийсэн хүний ​​нэрээр нэрлэгдсэн. Түүний хөргийг нийтлэлээс харж болно.

Алдарт франц хүний ​​анзаарсан загвар нь дараах байдалтай байв. Тэр тэгшитгэлийн язгуурууд нь тоогоор -p=b/a-д нийлдэг ба тэдгээрийн үржвэр нь q=c/a-тай тохирч байгааг нотолсон.

Одоо тодорхой ажлуудыг авч үзье.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Энгийн болгохын тулд илэрхийлэлийг өөрчилье:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виетийн теоремыг ашиглая, энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгөх болно: язгууруудын нийлбэр нь -7, тэдгээрийн үржвэр нь -18 байна. Эндээс бид тэгшитгэлийн язгуур нь -9 ба 2 гэсэн тоонуудыг олж авна. Шалгасны дараа бид эдгээр хувьсагч утгууд нь илэрхийлэлд үнэхээр нийцэж байгаа эсэхийг шалгах болно.

Парабола график ба тэгшитгэл

Квадрат функц ба квадрат тэгшитгэлийн ойлголтууд хоорондоо нягт холбоотой. Үүний жишээг өмнө нь өгсөн. Одоо математикийн зарим оньсогонуудыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье. Тайлбарласан төрлийн аливаа тэгшитгэлийг нүдээр дүрсэлж болно. График хэлбэрээр зурсан ийм хамаарлыг парабола гэж нэрлэдэг. Түүний төрөл бүрийн төрлийг доорх зурагт үзүүлэв.

Аливаа парабол нь оройтой, өөрөөр хэлбэл мөчрүүд нь гарч ирдэг цэгтэй байдаг. Хэрэв a>0 бол тэдгээр нь хязгааргүйд хүрдэг бөгөөд a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функцийн дүрслэл нь квадрат тэгшитгэлийг оруулаад аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Энэ аргыг график гэж нэрлэдэг. Мөн x хувьсагчийн утга нь графикийн шугам 0x-тэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисса координат юм. Оройн координатыг дөнгөж өгсөн x 0 = -b/2a томъёог ашиглан олж болно. Үүссэн утгыг функцийн анхны тэгшитгэлд орлуулснаар та y 0 буюу ординатын тэнхлэгт хамаарах параболын оройн хоёр дахь координатыг олж чадна.

Абсцисса тэнхлэгтэй параболын мөчрүүдийн огтлолцол

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх олон жишээ байдаг ч ерөнхий хэв маяг бас байдаг. Тэднийг харцгаая. a>0-ийн хувьд графикийн 0х тэнхлэгтэй огтлолцох нь зөвхөн 0 сөрөг утгыг авсан тохиолдолд л боломжтой болох нь тодорхой байна. Мөн а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Үгүй бол Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Параболын графикаас та мөн үндсийг тодорхойлж болно. Харин ч эсрэгээрээ. Өөрөөр хэлбэл, квадрат функцийн дүрслэлийг олж авахад амаргүй бол та илэрхийллийн баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж болно. Мөн 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдсэнээр график байгуулах нь илүү хялбар болно.

Түүхээс

Квадрат хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг ашиглан хуучин цагт тэд зөвхөн математик тооцоолол хийгээд зогсохгүй геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлдог байв. Эртний хүмүүст физик, одон орон судлалын салбарт томоохон нээлт хийх, мөн зурхайн таамаглал гаргахад ийм тооцоо хэрэгтэй байв.

Орчин үеийн эрдэмтдийн үзэж байгаагаар Вавилоны оршин суугчид квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн анхны хүмүүсийн нэг байв. Энэ нь манай эринээс дөрвөн зууны өмнө болсон. Мэдээжийн хэрэг, тэдний тооцоо одоо хүлээн зөвшөөрөгдсөнөөс эрс өөр байсан бөгөөд илүү энгийн байсан. Жишээлбэл, Месопотамийн математикчид сөрөг тоо байдаг талаар ямар ч ойлголтгүй байсан. Тэд орчин үеийн сургуулийн сурагчдын мэддэг бусад нарийн ширийн зүйлийг мэддэггүй байв.

Магадгүй Вавилоны эрдэмтдээс ч эрт Энэтхэгийн мэргэн Баудхаяма квадрат тэгшитгэлийг шийдэж эхэлжээ. Энэ нь Христийн эрин үеэс найман зууны өмнө болсон. Түүний өгсөн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл, шийдвэрлэх аргууд нь хамгийн энгийн байсан нь үнэн. Түүнээс гадна Хятадын математикчид ч эртний үед үүнтэй төстэй асуултуудыг сонирхож байсан. Европт квадрат тэгшитгэлийг зөвхөн 13-р зууны эхэн үеэс шийдэж эхэлсэн боловч хожим нь Ньютон, Декарт болон бусад олон эрдэмтэд бүтээлдээ ашигласан.

Энэ сэдэв нь маш энгийн биш олон томъёоны улмаас эхлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Ийм тэгшитгэлийг ойр ойрхон шийдсний дараа л боломжтой. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд бид хамгийн том зэрэглэлийг эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичсэн тохиолдолд тэдгээрийн тодорхой бичлэгийг санал болгож байна. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол элбэг байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.

Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.

Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

• шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
• хариулт нь нэг тоо байх болно;
• тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.

Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий томьёо шиг харагдахгүй. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бол бүрэн тэгшитгэл юм. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тэгэхээр зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн тэгшитгэлээс гадна бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд бас байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.

Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Дискриминантыг тооцоолохын тулд доор бичигдсэн тэгш байдлыг ашиглах шаардлагатай бөгөөд энэ нь дөрөв дэх тоотой байх болно.

Энэ томъёонд коэффициентийн утгыг орлуулсны дараа та өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг авч болно. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Хэрэв тоо сөрөг байвал квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.

Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээс өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.

Эхлээд хоёр дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг харцгаая. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг гаргаж, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.

Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлснээр шийдэгдэнэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.

Доорх нь квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим алхмуудыг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" гэсэн өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээ авч болно. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.

• Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь зэрэггүй, хамгийн сүүлд - зүгээр л тоо.

• Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлж болзошгүй юм. Үүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

• Үүнтэй адилаар фракцаас салах нь зүйтэй. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.

Жишээ

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.

Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.

Эхний үндэс нь дараах утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлээс олно: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5x 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2x − x 2 = 0. Цаашид квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичиж эхлэх болно: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахь ашигтай зөвлөмжийг ашиглаж, бүх зүйлийг үржүүлэх цаг болжээ. хасах нэг. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.

Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь та ижил төстэй нэр томъёог авчирч, эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.

Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ юу шиг харагдаж байна? Хугацааны хувьд квадрат тэгшитгэлтүлхүүр үг нь "дөрвөлжин".Энэ нь тэгшитгэлд гэсэн үг юм Заавал x квадрат байх ёстой. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зөвхөн X (эхний зэрэглэлд) ба зөвхөн тоог агуулж болно (эсвэл үгүй ​​ч байж болно!) (чөлөөт гишүүн).Мөн хоёроос их чадалд X байх ёсгүй.

Математикийн хувьд квадрат тэгшитгэл нь дараахь хэлбэрийн тэгшитгэл юм.

Энд a, b ба c- зарим тоо. б ба в- туйлын ямар ч, гэхдээ А- тэгээс бусад бүх зүйл. Жишээлбэл:

Энд А =1; б = 3; в = -4

Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2

Энд А =-3; б = 6; в = -18

За ойлголоо...

Эдгээр квадрат тэгшитгэлд зүүн талд байна бүрэн багцгишүүд. X коэффициент бүхий квадрат А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд чөлөөт гишүүн С.

Ийм квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн.

Тэгээд хэрэв б= 0, бид юу авах вэ? Бидэнд байгаа X нь эхний хүчийг алдах болно.Энэ нь тэгээр үржихэд тохиолддог.) Энэ нь жишээлбэл:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-x 2 +4x=0

гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол энэ нь бүр ч хялбар болно:

2х 2 =0,

-0.3x 2 =0

Ямар нэг зүйл дутуу байгаа ийм тэгшитгэлийг нэрлэдэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.Энэ нь нэлээд логик юм.) Бүх тэгшитгэлд x квадрат байгааг анхаарна уу.

Дашрамд хэлэхэд яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Та оронд нь орлоно Атэг.) Манай X квадрат алга болно! Тэгшитгэл нь шугаман болно. Мөн шийдэл нь огт өөр ...

Энэ бол квадрат тэгшитгэлийн бүх үндсэн төрлүүд юм. Бүрэн ба бүрэн бус.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Томъёо, ойлгомжтой, энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд өгөгдсөн тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай, жишээлбэл. маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол та эхний шатыг хийх шаардлагагүй.) Хамгийн гол нь бүх коэффициентийг зөв тодорхойлох, А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч. Гэхдээ түүний тухай доор дэлгэрэнгүй. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b, c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Бүх зүйл маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч байна вэ?), Харин сөрөг утгыг үндсийг тооцоолох томъёонд орлуулах замаар. Энд туслах зүйл бол тодорхой тоогоор томъёоны нарийвчилсан бичлэг юм. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал Үүнийг хийх!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.

За, залхуурах хэрэггүй. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.

Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Үүнийг нэг туршаад. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү? Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө бие даан ажиллах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!

Гэхдээ ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлүүд арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Та үүнийг таньсан уу?) Тийм ээ! Энэ бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тэдгээрийг мөн ерөнхий томъёогоор шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. a, b ба c.

Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4;А в? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Тэгээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарай в,мөн бид амжилтанд хүрнэ. Хоёр дахь жишээн дээр мөн адил. Зөвхөн энд тэг байхгүй -тай, А б !

Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч томьёогүйгээр. Эхний бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.

Тэгээд үүнээс юу вэ? Мөн хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэг өгөх хоёр тэгээс өөр тоо гар!
Ажиллахгүй байна? Ингээд л болоо...
Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно: x 1 = 0, x 2 = 4.

Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв ижил төстэй байдлыг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ерөнхий томъёог ашиглахаас хамаагүй хялбар юм. Дашрамд хэлэхэд, аль X нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт орохыг огт хайхрамжгүй болгоё. Энэ нь дарааллаар бичихэд тохиромжтой, x 1- юу нь бага ба x 2- энэ нь илүү агуу юм.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9-ийг баруун тийш шилжүүлнэ үү. Бид авах:

9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:

Мөн хоёр үндэс . x 1 = -3, x 2 = 3.

Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...

Ялгаварлан гадуурхагч. Ялгаварлах томъёо.

Шидэт үг ялгаварлагч ! Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Ашиглахад хялбар бөгөөд асуудалгүй.) Шийдвэрлэх хамгийн ерөнхий томъёог танд сануулж байна ямар чквадрат тэгшитгэл:

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг дискриминант гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн ялгаварлагчийг үсгээр тэмдэглэдэг Д. Ялгаварлах томъёо:

D = b 2 - 4ac

Мөн энэ илэрхийлэл нь юугаараа гайхалтай вэ? Яагаад тусгай нэр авах ёстой байсан бэ? Юу ялгаварлагчийн утга нь юу вэ?Эцэст нь -б,эсвэл 2аэнэ томъёонд тэд тусгайлан юу ч гэж нэрлэдэггүй ... Үсэг, үсэг.

Энэ нь энд байна. Энэ томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд боломжтой ердөө гурван тохиолдол.

1. Ялгаварлагч эерэг байна.Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.

2. Дискриминант нь тэг байна.Дараа нь танд нэг шийдэл байх болно. Учир нь тоологч дээр тэг нэмэх, хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар ярих нь заншилтай байдаг нэг шийдэл.

3. Ялгаварлагч сөрөг байна.Сөрөг тооны квадрат язгуурыг авах боломжгүй. За яахав. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Үнэнийг хэлэхэд квадрат тэгшитгэлийг энгийнээр шийдэхэд дискриминантын тухай ойлголт огт хэрэггүй. Бид коэффициентийн утгыг томъёонд орлуулж, тоолно. Тэнд бүх зүйл өөрөө тохиолддог, хоёр үндэс, нэг, аль нь ч байхгүй. Гэсэн хэдий ч мэдлэггүйгээр илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэхэд ялгаварлагчийн утга, томьёохангалтгүй. Ялангуяа параметр бүхий тэгшитгэлд. Ийм тэгшитгэлүүд нь Улсын шалгалт, Улсын нэгдсэн шалгалтанд зориулсан нисэх онгоц юм!)

Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхТаны санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл та сурсан, энэ нь бас муу биш юм.) Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Энд байгаа түлхүүр үг гэдгийг та ойлгож байна анхааралтай уу?

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...

Эхний уулзалт . Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Мөн дахин, бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Хэрхэн? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт. Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байна сүүлчийн зүйлтэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1, үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр . Хэрэв энэ нь болохгүй бол тэд аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг. Алдааг хай.

Хэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Коэффицент нь байх ёстой б-тай эсрэг танил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент б X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна!
Зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд энэ нь маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Алдаа багасах болно.

Гурав дахь хүлээн авалт . Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Тэгшитгэлийг "Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Биеийн хувиргалт" хичээлд тайлбарласны дагуу нийтлэг хуваагчаар үржүүлнэ. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...

Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.

Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

Тэгээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!

Ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.

Практик зөвлөмжүүд:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хий!

Одоо бид шийдэж чадна.)

Тэгшитгэлийг шийдэх:

8х 2 - 6х + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Хариултууд (эмх замбараагүй):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - дурын тоо

x 1 = -3
x 2 = 3

шийдэл байхгүй

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Бүх зүйл таарч байна уу? Агуу их! Квадрат тэгшитгэл нь таны толгойны өвчин биш юм. Эхний гурав нь ажилласан, харин бусад нь ажилласангүй? Тэгвэл асуудал нь квадрат тэгшитгэлд биш юм. Асуудал нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудад байна. Холбоосыг хараарай, энэ нь тустай.

Бүтэхгүй байна уу? Эсвэл огт болохгүй байна уу? Дараа нь 555-р хэсэг танд туслах болно.Эдгээр бүх жишээг энд задалсан болно. Үзүүлсэн голшийдэл дэх алдаа. Мэдээжийн хэрэг, бид янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ижил хувиргалтыг ашиглах талаар ярьдаг. Маш их тусалдаг!

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо. Бодит, олон, төвөгтэй язгуурын тохиолдлыг авч үзнэ. Квадрат гурвалжны коэффициент. Геометрийн тайлбар. Үндэс ба факторинг тодорхойлох жишээ.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх

Үндсэн томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс(1) томъёогоор тодорхойлно:
; .
Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэгтгэж болно.
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол хоёр дахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийг хүчин зүйлийн үржвэр (фактор) хэлбэрээр илэрхийлж болно.
.

Дараа нь бид бодит тоо гэж таамаглаж байна.
Ингээд авч үзье квадрат тэгшитгэлийн дискриминант:
.
Хэрэв дискриминант эерэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр өөр бодит язгууртай болно.
; .
Дараа нь квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв дискриминант нь тэгтэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр олон (тэнцүү) бодит язгууртай байна.
.
Факторчилол:
.
Хэрэв дискриминант нь сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр нийлмэл нийлмэл үндэстэй байна.
;
.
Энд төсөөллийн нэгж байна, ;
ба язгуурын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь:
; .
Дараа нь

.

График тайлбар

Хэрэв та функцийг зурвал
,
Энэ нь парабол бол графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
.
Үед график нь х тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр () огтолно.
үед график нь нэг цэгт () х тэнхлэгт хүрнэ.
үед график нь х тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй ().

Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой ашигтай томьёо

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

Бид хувиргалтыг хийж (f.1) ба (f.3) томъёог ашигладаг:




,
Хаана
; .

Тиймээс бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийн томъёог дараах хэлбэрээр авсан.
.
Энэ нь тэгшитгэл байгааг харуулж байна

дээр гүйцэтгэсэн
Мөн .
Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм
.

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох жишээ

Жишээ 1

(1.1) .

.
Бидний (1.1) тэгшитгэлтэй харьцуулбал коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй байна.
;
;
.

Эндээс бид квадрат гурвалжны үржвэрийг олж авна.

.

y = функцийн график 2 x 2 + 7 x + 3х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь абсцисса тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр дайран өнгөрдөг.
Мөн .
Эдгээр цэгүүд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (1.1).

;
;
.

Жишээ 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(2.1) .

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
.
Анхны тэгшитгэл (2.1)-тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэл нь хоёр олон (тэнцүү) үндэстэй байна.
;
.

Дараа нь гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

y = x функцийн график 2 - 4 x + 4нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгт (тэнхлэг) нэг цэгт хүрдэг:
.
Энэ цэг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (2.1). Учир нь энэ үндсийг хоёр удаа хүчин зүйлээр ялгасан болно:
,
тэгвэл ийм язгуурыг ихэвчлэн олон тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тэд хоёр ижил үндэстэй гэдэгт итгэдэг.
.

;
.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(3.1) .

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
(1) .
Анхны тэгшитгэлийг (3.1) дахин бичье:
.
(1) -тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Ялгаварлагч нь сөрөг, . Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Та нарийн төвөгтэй үндэс олж болно:
;
;
.

Дараа нь


.

Функцийн график нь х тэнхлэгийг огтолдоггүй. Жинхэнэ үндэс байхгүй.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй. Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Жинхэнэ үндэс байхгүй. Нарийн төвөгтэй үндэс:
;
;
.

Мөн үзнэ үү: