Аливаа бүрэн квадрат тэгшитгэл сүх 2 + bx + c = 0санаанд оруулж болно x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, хэрэв та эхлээд гишүүн бүрийг өмнөх a коэффициентээр хуваавал x 2. Хэрэв бид шинэ тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх юм бол (б/а) = хТэгээд (c/a) = q, тэгвэл бид тэгшитгэлтэй болно x 2 + px + q = 0, үүнийг математикт гэж нэрлэдэг өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл.

Буурсан квадрат тэгшитгэл ба коэффициентүүдийн үндэс хТэгээд qхоорондоо холбогдсон. Энэ нь батлагдсан Вьетагийн теорем, 16-р зууны төгсгөлд амьдарч байсан Францын математикч Франсуа Вьетагийн нэрээр нэрлэгдсэн.

Теорем. Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 + px + q = 0хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна х, эсрэг тэмдгээр авсан, үндэс бүтээгдэхүүн - чөлөөт нэр томъёо q.

Эдгээр харилцааг дараах хэлбэрээр бичье.

Болъё x 1Тэгээд x 2Өгөгдсөн тэгшитгэлийн өөр өөр үндэс x 2 + px + q = 0. Вьетагийн теоремын дагуу x 1 + x 2 = -pТэгээд x 1 x 2 = q.

Үүнийг батлахын тулд тэгшитгэлд x 1 ба x 2 үндэс бүрийг орлъё. Бид хоёр жинхэнэ тэгш байдлыг олж авдаг:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасъя. Бид авах:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Бид квадратын зөрүүний томъёог ашиглан эхний хоёр нэр томъёог өргөжүүлэв.

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Нөхцөлөөр x 1 ба x 2 үндэс өөр байна. Тиймээс бид тэгш байдлыг (x 1 – x 2) ≠ 0 болгож бууруулж, p-г илэрхийлж болно.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Эхний тэгш байдал нь батлагдсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг батлахын тулд бид эхний тэгшитгэлд орлуулна

p коэффициентийн оронд x 1 2 + px 1 + q = 0, тэнцүү тоо (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг авна.

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Виетийн теорем сайн учир нь Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэдэхгүй байсан ч бид тэдгээрийн нийлбэр, үржвэрийг тооцоолж болно .

Виетийн теорем нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг тодорхойлоход тусалдаг. Гэхдээ олон оюутнуудын хувьд энэ нь үйл ажиллагааны тодорхой алгоритмыг мэддэггүй, ялангуяа тэгшитгэлийн үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй бол хүндрэл учруулдаг.

Тэгэхээр дээрх квадрат тэгшитгэл нь x 2 + px + q = 0 хэлбэртэй байх ба x 1 ба x 2 нь түүний үндэс юм. Вьетагийн теоремоор x 1 + x 2 = -p ба x 1 · x 2 = q байна.

Дараахь дүгнэлтийг хийж болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн сүүлчийн гишүүний өмнө хасах тэмдэг байгаа бол x 1 ба x 2 язгуурууд өөр өөр тэмдэгтэй байна. Үүнээс гадна жижиг язгуурын тэмдэг нь тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдэгтэй давхцдаг.

Өөр өөр тэмдэгттэй тоонуудыг нэмэхдээ тэдгээрийн модулиудыг хасч, үр дүнд нь үнэмлэхүй утгаар илүү их тооны тэмдэг тавьсан тул та дараах байдлаар ажиллах хэрэгтэй.

1. q тооны хүчин зүйлсийг тэдгээрийн ялгаа нь p тоотой тэнцүү байхаар тодорхойлох;
2. тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдгийг үр дүнгийн тоонуудын өмнө тавина; хоёр дахь үндэс нь эсрэг тэмдэгтэй байх болно.

Зарим жишээг харцгаая.

Жишээ 1.

x 2 – 2x – 15 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Дээр санал болгосон дүрмийг ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээцгээе. Дараа нь бид энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй болно гэдгийг баттай хэлж чадна, учир нь D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Одоо 15-ын тооны бүх хүчин зүйлээс (1 ба 15, 3 ба 5) ялгаа нь 2 байгаа хүмүүсийг сонгоно. Эдгээр нь 3 ба 5 тоо байх болно. Бид жижиг тооны өмнө хасах тэмдэг тавьдаг, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдэг. Тиймээс бид x 1 = -3 ба x 2 = 5 тэгшитгэлийн язгуурыг олж авна.

Хариулт. x 1 = -3 ба x 2 = 5.

Жишээ 2.

x 2 + 5x – 6 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл үндэстэй эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгаварлагчийг олно:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй.

6-ын тооны боломжит хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3, 6 ба 1. 6 ба 1 хосын хувьд ялгаа нь 5 байна. Энэ жишээнд хоёр дахь гишүүний коэффициент нэмэх тэмдэгтэй тул бага тоо нь ижил тэмдэгтэй байх болно. . Гэхдээ хоёр дахь тооны өмнө хасах тэмдэг байх болно.

Хариулт: x 1 = -6 ба x 2 = 1.

Виетийн теоремыг бүрэн квадрат тэгшитгэлд зориулж бичиж болно. Тэгэхээр, хэрэв квадрат тэгшитгэл сүх 2 + bx + c = 0нь x 1 ба x 2 үндэстэй, тэгвэл тэдгээрт тэнцүү байна

x 1 + x 2 = -(b/a)Тэгээд x 1 x 2 = (c/a). Гэсэн хэдий ч энэ теоремыг бүрэн квадрат тэгшитгэлд хэрэглэх нь нэлээд асуудалтай байдаг, учир нь Хэрэв үндэс байгаа бол тэдгээрийн ядаж нэг нь бутархай тоо байна. Мөн фракц сонгох нь нэлээд хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнээс гарах гарц байсаар байна.

ax 2 + bx + c = 0 бүтэн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний зүүн ба баруун талыг a коэффициентээр үржүүл. Тэгшитгэл нь (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 хэлбэртэй болно. Одоо шинэ хувьсагчийг танилцуулъя, жишээ нь t = ax.

Энэ тохиолдолд үүссэн тэгшитгэл нь t 2 + bt + ac = 0 хэлбэрийн бууруулсан квадрат тэгшитгэл болж хувирах бөгөөд үүний үндэс нь t 1 ба t 2 (хэрэв байгаа бол) Виетийн теоремоор тодорхойлогддог.

Энэ тохиолдолд анхны квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно

x 1 = (t 1 / a) ба x 2 = (t 2 / a).

Жишээ 3.

15x 2 – 11x + 2 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Туслах тэгшитгэлийг байгуулъя. Тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг 15-аар үржүүлье.

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Бид орлуулалтыг t = 15x болгоно. Бидэнд байгаа:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Виетийн теоремын дагуу энэ тэгшитгэлийн үндэс нь t 1 = 5, t 2 = 6 болно.

Бид t = 15x орлуулалт руу буцна:

5 = 15x эсвэл 6 = 15x. Тэгэхээр x 1 = 5/15 ба x 2 = 6/15. Бид багасгаж, эцсийн хариултыг авна: x 1 = 1/3 ба x 2 = 2/5.

Хариулт. x 1 = 1/3 ба x 2 = 2/5.

Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэж сурахын тулд оюутнууд аль болох дадлага хийх хэрэгтэй. Энэ бол яг амжилтын нууц юм.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Виетийн теорем руу шилжихийн өмнө бид тодорхойлолтыг танилцуулж байна. Маягтын квадрат тэгшитгэл x² + px + q= 0-ийг багасгасан гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлд тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, тэгшитгэл x² - 3 x- 4 = 0 буурсан байна. Маягтын аливаа квадрат тэгшитгэл сүх² + b x + в= 0-ийг тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах замаар багасгаж болно А≠ 0. Жишээ нь тэгшитгэл 4 x² + 4 x— 3 = 0-ийг 4-т хуваах нь дараах хэлбэртэй болно. x² + x— 3/4 = 0. Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргая, үүний тулд ерөнхий квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглана: сүх² + bx + в = 0

Багасгасан тэгшитгэл x² + px + q= 0 нь ерөнхий тэгшитгэлтэй давхцаж байна А = 1, б = х, в = q.Тиймээс өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Сүүлийн илэрхийллийг бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ томъёог ашиглах нь ялангуяа тохиромжтой байдаг. Р- тэгш тоо. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдье x² - 14 x — 15 = 0

Үүний хариуд бид тэгшитгэлийг хоёр үндэстэй гэж бичнэ.

Эерэгтэй багасгасан квадрат тэгшитгэлийн хувьд дараах теорем хэрэгжинэ.

Вьетагийн теорем

Хэрэв x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0 бол томъёонууд хүчинтэй байна:

x 1 + x 2 = — Р

x 1 * x 2 = q,өөрөөр хэлбэл, бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёонд үндэслэн бид дараах байдалтай байна.

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна. x 1 + x 2 = —Р.

Квадратуудын зөрүүг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хэрэв бид энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг хоёр ижил язгууртай гэж үзвэл дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх үед Виетийн теорем хүчинтэй болохыг анхаарна уу. x 1 = x 2 = — Р/2.

Тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x² - 13 x+ 30 = 0 нь язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг ол x 1 ба x 2. энэ тэгшитгэл Д= 169 – 120 = 49 > 0 тул Виетийн теоремыг хэрэглэж болно: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Өөр хэдэн жишээ авч үзье. Тэгшитгэлийн язгууруудын нэг x² — px- 12 = 0 тэнцүү байна x 1 = 4. Коэффицентийг ол Рба хоёр дахь үндэс xЭнэ тэгшитгэлийн 2. Вьетагийн теоремоор x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — Р.Учир нь x 1 = 4, дараа нь 4 x 2 = - 12, хаанаас x 2 = — 3, Р = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Хариуд нь бид хоёр дахь язгуурыг бичнэ x 2 = - 3, коэффициент p = - 1.

Тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр x² + 2 x- 4 = 0 бол түүний язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг олъё. Болъё x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэс. Вьетагийн теоремоор x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Учир нь x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 тэгвэл x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

3-р тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг олъё x² + 4 x- 5 = 0. Энэ тэгшитгэл нь дискриминантаас хойш хоёр өөр үндэстэй Д= 16 + 4*3*5 > 0. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид Виетийн теоремыг ашиглана. Энэ теорем нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд батлагдсан. Тэгэхээр энэ тэгшитгэлийг 3-т хуваая.

Тиймээс үндэснүүдийн нийлбэр нь -4/3, тэдгээрийн үржвэр нь -5/3-тай тэнцүү байна.

Ерөнхийдөө тэгшитгэлийн үндэс сүх² + b x + в= 0 нь дараах тэгшитгэлээр холбогдоно. x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Эдгээр томьёог олж авахын тулд энэ квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваахад хангалттай А ≠ 0 Үүссэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлд Виетийн теоремыг хэрэглэнэ. Нэг жишээг авч үзье: та язгуур нь бууруулсан квадрат тэгшитгэл үүсгэх хэрэгтэй x 1 = 3, x 2 = 4. Учир нь x 1 = 3, x 2 = 4 - квадрат тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0, дараа нь Виетийн теоремоор Р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Бид хариултыг гэж бичнэ x² - 7 x+ 12 = 0. Зарим бодлого бодохдоо дараах теоремыг ашиглана.

Теорем нь Вьетагийн теоремтой эсрэг байна

Хэрэв тоонууд Р, q, x 1 , x 2 нь ийм байна x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Тэр x 1Тэгээд x 2- тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0. Зүүн талд орлуулна x² + px + qоронд нь Рилэрхийлэл - ( x 1 + x 2), оронд нь q- ажил x 1 * x 2.Бид авах: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).Тиймээс хэрэв тоонууд Р, q, x 1 ба x 2 нь эдгээр харилцаагаар холбогддог, тэгвэл бүгдэд нь Xтэгш байдал хадгалагдана x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),үүнээс үүдэн гарч ирдэг x 1 ба x 2 - тэгшитгэлийн үндэс x² + px + q= 0. Виетийн теоремтой урвуу теоремыг ашигласнаар квадрат тэгшитгэлийн үндсийг сонгох замаар заримдаа олж болно. Жишээ авч үзье, x² - 5 x+ 6 = 0. Энд Р = — 5, q= 6. Хоёр тоог сонгоцгооё x 1 ба x 2 тэгэхээр x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Виетийн теоремтой урвуу теоремоор 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5 болохыг анзаарч, бид үүнийг олж авна. x 1 = 2, x 2 = 3 - тэгшитгэлийн үндэс x² - 5 x + 6 = 0.

Виетийн теоремыг ихэвчлэн аль хэдийн олдсон үндсийг шалгахад ашигладаг. Хэрэв та үндсийг нь олсон бол \(p)-ийн утгыг тооцоолохдоо \(\begin(case)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(case)\) томъёог ашиглаж болно. \) ба \(q\). Хэрэв тэдгээр нь анхны тэгшитгэлтэй ижил байвал үндсийг нь зөв олно.

Жишээ нь, -г ашиглан \(x^2+x-56=0\) тэгшитгэлийг шийдэж, язгуурыг гаргацгаая: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Шийдвэрлэх явцад алдаа гаргасан эсэхийг шалгацгаая. Манай тохиолдолд \(p=1\), \(q=-56\). Виетийн теоремоор бид дараах байдалтай байна.

\(\эхлэх(тохиолдол)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\төгсгөх(тохиолдол)\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\эхлэх(тохиолдол)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\төгсгөл(тохиолдлууд)\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\эхлэх(тохиолдол)-1=-1\\-56=-56\төгсгөл(тохиолдлууд)\ )

Хоёр мэдэгдэл нийлсэн нь бид тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.

Энэ шалгалтыг амаар хийж болно. Энэ нь 5 секунд шаардагдах бөгөөд таныг тэнэг алдаанаас аврах болно.

Вьетагийн эсрэг теорем

Хэрэв \(\эхлэх(тохиолдлууд)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(тохиолдлууд)\), \(x_1\) ба \(x_2\) нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно \ (x^ 2+px+q=0\).

Эсвэл энгийн байдлаар: хэрэв танд \(x^2+px+q=0\) хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) системийг шийднэ үү. x_2=q\ end(cases)\) та түүний үндсийг олох болно.

Энэ теоремын ачаар та квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг хурдан олох боломжтой, ялангуяа эдгээр үндэс нь . Энэ ур чадвар нь маш их цаг хэмнэдэг тул чухал юм.

Жишээ . \(x^2-5x+6=0\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл : Виетийн урвуу теоремыг ашигласнаар язгуурууд нь дараах нөхцлийг хангадаг болохыг олж мэдэв: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг харна уу \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) тоог ямар хоёрт хувааж болох вэ? \(2\) ба \(3\), \(6\) ба \(1\) эсвэл \(-2\) ба \(-3\), \(-6\) ба \(- 1\). Системийн эхний тэгшитгэл нь аль хосыг сонгохыг хэлж өгнө: \(x_1+x_2=5\). \(2\) ба \(3\) нь төстэй, учир нь \(2+3=5\).
Хариулах : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Жишээ . Виетийн теоремын эсрэг заалтыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Шийдэл :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(2\) ба \(7\), \(-2\) ба \(-7\), \(-1\) ба \(-14\), \(1\) ба \(14\ ). Ямар хос тоо нийлбэл \(15\) болох вэ? Хариулт: \(1\) ба \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(-2\) ба \(2\), \(4\) ба \(-1\), \(1\) ба \(-4\). Ямар хос тоо нийлбэл \(-3\) болох вэ? Хариулт: \(1\) ба \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(4\) ба \(5\), \(-4\) ба \(-5\), \(2\) ба \(10\), \(-2\) ба \(-10\ ), \(-20\) ба \(-1\), \(20\) ба \(1\). Ямар хос тоо нийлбэл \(-9\) болох вэ? Хариулт: \(-4\) ба \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(390\) ба \(2\). Тэд \(88\) хүртэл нэмэх үү? Үгүй \(780\) өөр ямар үржүүлэгчтэй вэ? \(78\) ба \(10\). Тэд \(88\) хүртэл нэмэх үү? Тиймээ. Хариулт: \(78\) ба \(10\).

Сүүлчийн нэр томъёог бүх боломжит хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх шаардлагагүй (сүүлийн жишээн дээрх шиг). Та тэдгээрийн нийлбэр нь \(-p\) өгч байгаа эсэхийг шууд шалгаж болно.

Чухал!Вьетагийн теорем ба эсрэгээр теорем нь зөвхөн , өөрөөр хэлбэл \(x^2\)-ийн коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв бид эхлээд бууруулаагүй тэгшитгэл өгсөн бол \(x^2\)-ийн урд талын коэффициентэд хуваагаад л багасгаж болно.

Жишээлбэл, \(2x^2-4x-6=0\) тэгшитгэлийг өгье, бид Виетийн теоремуудын аль нэгийг ашиглахыг хүсч байна. Гэхдээ \(x^2\) коэффициент нь \(2\)-тэй тэнцүү тул бид чадахгүй. Тэгшитгэлийг бүхэлд нь \(2\)-д хуваагаад түүнээс салцгаая.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Бэлэн. Одоо та хоёр теоремыг ашиглаж болно.

Байнга асуудаг асуултуудын хариулт

Асуулт: Виетийн теоремыг ашиглан та аль нэгийг шийдэж чадах уу?
Хариулт: Харамсалтай нь үгүй. Хэрэв тэгшитгэлд бүхэл тоо байхгүй эсвэл уг тэгшитгэл нь огт үндэсгүй бол Виетийн теорем тус болохгүй. Энэ тохиолдолд та ашиглах хэрэгтэй ялгаварлагч . Аз болоход сургуулийн математикийн тэгшитгэлийн 80% нь бүхэл тооны шийдтэй байдаг.

Эхлээд теоремыг өөрөө томъёолъё: x^2+b*x + c = 0 хэлбэрийн багасгасан квадрат тэгшитгэлтэй болгоё. Энэ тэгшитгэлд x1 ба x2 язгуурууд байна гэж үзье. Дараа нь теоремын дагуу дараахь мэдэгдлүүд хүчинтэй байна.

1) x1 ба x2 язгууруудын нийлбэр нь b коэффициентийн сөрөг утгатай тэнцүү байна.

2) Эдгээр язгуурын үржвэр нь c коэффициентийг өгнө.

Гэхдээ өгөгдсөн тэгшитгэл юу вэ?

Багасгасан квадрат тэгшитгэл нь хамгийн дээд зэргийн коэффициент нь нэгтэй тэнцүү квадрат тэгшитгэл юм, i.e. Энэ нь x^2 + b*x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл юм (мөн a*x^2 + b*x + c = 0 тэгшитгэл нь буураагүй). Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийг өгөгдсөн хэлбэрт оруулахын тулд бид энэ тэгшитгэлийг хамгийн дээд чадлын коэффициент (a)-д хуваах ёстой. Даалгавар бол энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулах явдал юм.

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Тэгшитгэл бүрийг хамгийн дээд зэргийн коэффициентээр хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.

Жишээнүүдээс харахад бутархайг агуулсан тэгшитгэлийг хүртэл өгөгдсөн хэлбэрт оруулж болно.

Виетийн теоремыг ашиглах

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

бид үндсийг авна: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

үр дүнд нь бид үндсийг авдаг: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

бид үндсийг авна: x1 = −1; x2 = −4.

Вьетагийн теоремын утга

Виетийн теорем нь ямар ч квадрат бууруулсан тэгшитгэлийг бараг секундын дотор шийдэх боломжийг олгодог. Өнгөц харахад энэ нь нэлээд хэцүү ажил мэт боловч 5 10 тэгшитгэлийн дараа та үндсийг нь шууд харж сурах боломжтой.

Өгөгдсөн жишээнүүд болон теоремыг ашигласнаар та квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг хэрхэн хялбарчилж болох нь тодорхой харагдаж байна, учир нь энэ теоремыг ашигласнаар та квадрат тэгшитгэлийг нарийн төвөгтэй тооцоололгүйгээр, дискриминантыг тооцоолохгүйгээр шийдэж чадна. Тооцоолол бага байх тусам алдаа гаргахад хэцүү байх болно, энэ нь чухал юм.

Бүх жишээн дээр бид хоёр чухал таамаглал дээр үндэслэн энэ дүрмийг ашигласан:

Өгөгдсөн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл. хамгийн дээд зэргийн коэффициент нь нэгтэй тэнцүү (энэ нөхцөлөөс зайлсхийхэд хялбар. Та тэгшитгэлийн бууруулаагүй хэлбэрийг ашиглаж болно, тэгвэл дараах илэрхийллүүд хүчинтэй болно x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, гэхдээ үүнийг шийдэх нь ихэвчлэн илүү хэцүү байдаг :))

Тэгшитгэл хоёр өөр үндэстэй бол. Тэгш бус байдал нь үнэн, ялгаварлагч нь тэгээс их байна гэж бид таамаглаж байна.

Тиймээс бид Виетийн теоремыг ашиглан ерөнхий шийдлийн алгоритмыг үүсгэж болно.

Виетийн теоремыг ашиглан шийдлийн ерөнхий алгоритм

Хэрэв тэгшитгэлийг бууруулаагүй хэлбэрээр өгвөл бид квадрат тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэрт оруулна. Бидний өмнө нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд бутархай (аравтын бутархай биш) болж хувирвал энэ тохиолдолд бидний тэгшитгэлийг дискриминантаар шийдэх ёстой.

Анхны тэгшитгэл рүү буцах нь бидэнд "тохирох" тоонуудтай ажиллах боломжийг олгодог тохиолдол байдаг.

И.Вьетагийн теорембууруулсан квадрат тэгшитгэлийн хувьд.

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 +px+q=0нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Виетийн теоремыг ашиглан өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Жишээ 1) x 2 -x-30=0.Энэ бол багасгасан квадрат тэгшитгэл юм ( x 2 +px+q=0), хоёр дахь коэффициент p=-1, мөн чөлөөт гишүүн q=-30.Эхлээд энэ тэгшитгэл нь үндэстэй, үндэс (хэрэв байгаа бол) бүхэл тоогоор илэрхийлэгдэх эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд ялгагч нь бүхэл тооны төгс квадрат байхад л хангалттай.

Ялгаварлагчийг олох Д=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Одоо Вьетнамын теоремын дагуу язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. ( -х), бүтээгдэхүүн нь чөлөөт хугацаатай тэнцүү, i.e. ( q). Дараа нь:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.Бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байхаар бид хоёр тоог сонгох хэрэгтэй -30 , мөн хэмжээ нь байна нэгж. Эдгээр нь тоо юм -5 Тэгээд 6 . Хариулт: -5; 6.

Жишээ 2) x 2 +6x+8=0.Бид хоёр дахь коэффициент бүхий бууруулсан квадрат тэгшитгэлтэй байна p=6мөн чөлөөт гишүүн q=8. Бүхэл язгуур байгаа эсэхийг шалгацгаая. Ялгаварлагчийг олцгооё D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 нь тооны төгс квадрат юм 1 , энэ нь энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо гэсэн үг юм. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгоцгооё: язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү байна –р=-6, ба үндэсийн бүтээгдэхүүн тэнцүү байна q=8. Эдгээр нь тоо юм -4 Тэгээд -2 .

Үнэн хэрэгтээ: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Хариулт: -4; -2.

Жишээ 3) x 2 +2x-4=0. Энэхүү багасгасан квадрат тэгшитгэлд хоёр дахь коэффициент нь байна p=2, мөн чөлөөт гишүүн q=-4. Ялгаварлагчийг олцгооё D 1, хоёр дахь коэффициент нь тэгш тоо тул. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ялгаварлагч нь тооны төгс квадрат биш тул бид үүнийг хийдэг дүгнэлт: Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо биш бөгөөд Виетийн теоремыг ашиглан олох боломжгүй.Энэ нь бид энэ тэгшитгэлийг ердийнхөөрөө томъёогоор (энэ тохиолдолд томьёог ашиглан) шийддэг гэсэн үг юм. Бид авах:

Жишээ 4).Хэрэв язгуурыг ашиглан квадрат тэгшитгэл бич x 1 =-7, x 2 =4.

Шийдэл.Шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ. x 2 +px+q=0, ба, Вьетагийн теорем дээр үндэслэсэн –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. x 2 +3x-28=0.

Жишээ 5).Дараах тохиолдолд язгуурыг ашиглан квадрат тэгшитгэл бич.

II. Вьетагийн теоремБүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд сүх 2 +bx+c=0.

Үндэсний нийлбэр нь хасах юм б, хуваана А, үндэсийн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна -тай, хуваана