Тэд үүнийг дагаж мөрддөг тул энэ зарчим нь орчин үеийн физикийн гол заалтуудын нэг юм. Түүний тусламжтайгаар олж авсан хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Зарчмын анхны томьёоллыг П.Маупертуйс он онд өгсөн бөгөөд оптик, механикт хэрэглэх боломжтой гэж үзэн түүний бүх нийтийн шинж чанарыг нэн даруй зааж өгсөн. Энэ зарчмаас тэрээр гэрлийн тусгал, хугарлын хуулиудыг гаргаж авсан.
Өгүүллэг
Орчлон ертөнцийг төгс төгөлдөр болгохын тулд байгальд тодорхой хэмнэлт шаардагддаг бөгөөд ямар ч ашиггүй энерги зарцуулалттай зөрчилддөг гэсэн мэдрэмжээс Мопертуйс энэ зарчимд хүрсэн. Байгалийн хөдөлгөөн нь тодорхой тоо хэмжээг хамгийн бага хэмжээнд хүргэх ёстой. Түүний хийх ёстой зүйл бол энэ үнэ цэнийг олох явдал байсан бөгөөд тэр үргэлжлүүлэн хийсээр байв. Энэ нь системийн доторх хөдөлгөөний үргэлжлэх хугацааны (цаг хугацааны) үржвэрээс хоёр дахин их утгатай байсан бөгөөд үүнийг бид одоо системийн кинетик энерги гэж нэрлэдэг.
Эйлер (ин "Байгалийн эргэн тойрон дахь рефлексүүд", 1748) хамгийн бага хэмжээний үйл ажиллагааны зарчмыг баталж, үйлдлийг "хүчин чармайлт" гэж нэрлэдэг. Статик дахь түүний илэрхийлэл нь бидний одоо потенциал энерги гэж нэрлэх зүйлтэй тохирч байгаа тул статик дахь хамгийн бага үйл ажиллагааны мэдэгдэл нь тэнцвэрийн тохиргооны хамгийн бага боломжит энергийн нөхцөлтэй тэнцүү байна.
Сонгодог механикт
Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь механикийн Лагранж ба Гамильтоны томъёоллын үндсэн ба стандарт үндэс болдог.
Эхлээд барилгын ажлыг дараах байдлаар харцгаая. Лагранжийн механик. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий физик системийн жишээг ашиглан үйлдэл нь (ерөнхий) координатын хувьд функциональ гэдгийг санаарай (нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөний хувьд - нэг координат), өөрөөр хэлбэл үүнийг дараах байдлаар илэрхийлдэг. функцийн төсөөлж болох хувилбар бүр нь тодорхой тоо - үйлдэлтэй холбоотой байдаг (энэ утгаараа үйл ажиллагааны хувьд үйлдэл нь тухайн функцэд сайн тодорхойлсон тоог тооцоолох боломжийг олгодог дүрэм гэж хэлж болно - үүнийг мөн гэж нэрлэдэг. үйлдэл). Үйлдэл нь дараах байдлаар харагдаж байна.
системийн Лагранж хаана байна, ерөнхий координат, түүний цаг хугацааны талаархи анхны дериватив, мөн магадгүй цаг хугацааны хувьд тодорхой байна. Хэрэв систем илүү олон тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй бол Лагранж нь илүү олон тооны ерөнхий координатууд ба тэдгээрийн анхны деривативуудаас цаг хугацааны хувьд хамаарна. Тиймээс үйлдэл нь биеийн замналаас хамааран скаляр функциональ юм.
Үйлдэл нь скаляр байдаг нь үүнийг ямар ч ерөнхий координатаар бичихэд хялбар болгодог бөгөөд гол зүйл нь системийн байрлал (тохиргоо) нь тэдгээрээр тодорхойлогддог (жишээлбэл, декартын координатуудын оронд эдгээр нь туйлтай байж болно. координат, системийн цэгүүдийн хоорондох зай, өнцөг эсвэл тэдгээрийн функц гэх мэт.d.).
Хэчнээн "зэрлэг", "байгалийн бус" байсан ч хамаагүй дур зоргоороо үйлдлийг тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч сонгодог механикт бүх боломжит замналуудын дунд зөвхөн нэг бие нь явах боломжтой байдаг. Хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчим нь бие хэрхэн хөдлөх вэ гэсэн асуултын хариултыг яг таг өгдөг.
Энэ нь хэрэв системийн Лагранжийг өгөгдсөн бол вариацын тооцоог ашиглан эхлээд хөдөлгөөний тэгшитгэл буюу Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэлийг олж аваад дараа нь тэдгээрийг шийдвэрлэх замаар бие яг хэрхэн хөдлөхийг тогтоож чадна гэсэн үг юм. Энэ нь зөвхөн механикийн томъёоллыг нухацтай нэгтгэх төдийгүй, зөвхөн декартаар хязгаарлагдахгүй, тодорхой асуудал бүрийн хувьд хамгийн тохиромжтой координатыг сонгох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн хялбар шийдэгдсэн тэгшитгэлийг олж авахад маш их хэрэгтэй болно.
Энэ системийн Хамилтон функц хаана байна; - (ерөнхий) координатууд, - нэгтгэсэн (ерөнхий) импульс нь тухайн цаг мөч бүрт системийн динамик төлөвийг тодорхойлдог бөгөөд тус бүр нь цаг хугацааны функц бөгөөд ингэснээр системийн хувьсал (хөдөлгөөн) -ийг тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Гамильтоны каноник тэгшитгэл хэлбэрээр олж авахын тулд энэ аргаар бичсэн үйлдлийг бүгдийг болон .
Хэрэв асуудлын нөхцлөөс зарчмын хувьд хөдөлгөөний хуулийг олох боломжтой бол энэ нь автоматаар болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үгүйжинхэнэ хөдөлгөөний үед хөдөлгөөнгүй утгыг авах функцийг бүтээх боломжтой гэсэн үг. Үүний нэг жишээ бол цахилгаан соронзон орон дахь цахилгаан цэнэг ба монополь - соронзон цэнэгийн хамтарсан хөдөлгөөн юм. Тэдний хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчмаас гаргаж болохгүй. Үүний нэгэн адил зарим Гамильтоны системүүд энэ зарчмаас гаргаж авах боломжгүй хөдөлгөөний тэгшитгэлтэй байдаг.
Жишээ
Өчүүхэн жишээнүүд нь Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэлээр дамжуулан үйл ажиллагааны зарчмын ашиглалтыг үнэлэхэд тусалдаг. Чөлөөт бөөмс (масс мболон хурд v) Евклидийн орон зайд шулуун шугамаар хөдөлдөг. Эйлер-Лагранж тэгшитгэлийг ашиглан үүнийг туйлын координатаар дараах байдлаар харуулж болно. Потенциал байхгүй тохиолдолд Лагранж функц нь кинетик энергитэй тэнцүү байна
ортогональ координатын системд.
Туйлын координатуудад кинетик энерги, улмаар Лагранжийн функц болдог
Тэгшитгэлийн радиаль ба өнцгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь дараах байдалтай байна.
Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Энд бүх замналын х(t) дээр хязгааргүй олон функциональ интеграцчлах нөхцөлт тэмдэглэгээ байна. Энэ нь Планкийн тогтмол юм. Зарчмын хувьд квант механик дахь хувьслын операторыг судлах үед экспоненциал дахь үйлдэл нь өөрөө гарч ирдэг (эсвэл гарч ирж болно), гэхдээ яг сонгодог (квант бус) аналогтой системүүдийн хувьд энэ нь ердийнхтэй яг тэнцүү гэдгийг бид онцолж байна. сонгодог үйлдэл.
Сонгодог хязгаар дахь энэ илэрхийллийн математик шинжилгээ - хангалттай том, өөрөөр хэлбэл төсөөллийн экспоненциалын маш хурдан хэлбэлзлийн хувьд - энэ интеграл дахь бүх боломжит замналуудын дийлэнх олонхи нь хязгаарт бие биенээ цуцалж байгааг харуулж байна (албан ёсоор хувьд). Бараг ямар ч замд фазын шилжилт нь яг эсрэгээрээ байх зам байдаг бөгөөд тэдгээр нь тэг хувь нэмэр оруулах болно. Зөвхөн үйл ажиллагаа нь туйлын үнэ цэнэтэй (ихэнх системүүдийн хувьд - хамгийн багадаа) ойртох замналыг бууруулдаггүй. Энэ бол нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолын цэвэр математикийн баримт юм; Жишээлбэл, суурин фазын арга нь үүн дээр суурилдаг.
Үүний үр дүнд бөөмс нь квант механикийн хуулиудад бүрэн нийцэж, бүх траекторын дагуу нэгэн зэрэг хөдөлдөг боловч хэвийн нөхцөлд зөвхөн хөдөлгөөнгүй (өөрөөр хэлбэл сонгодог) ойролцоо траекторууд ажиглагдсан утгуудад хувь нэмэр оруулдаг. Квант механик нь өндөр энергийн хязгаарт сонгодог механик болж хувирдаг тул бид үүнийг үйл ажиллагааны тогтворгүй байдлын сонгодог зарчмын квант механик гаралт.
Квант талбайн онолд
Квантын талбайн онолд хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчмыг мөн амжилттай ашигладаг. Энд байгаа Лагранжийн нягтралд харгалзах квант талбайн операторууд багтана. Хэдийгээр үйл ажиллагааны тогтворгүй байдлын зарчмын тухай биш харин эдгээр талбаруудын тохиргоо эсвэл фазын орон зай дахь траекторийн дагуу Фейнман интеграцчлалын тухай ярих нь үндсэндээ (сонгодог хязгаар ба хэсэгчилсэн сонгодогуудаас бусад) илүү зөв юм. сая дурдсан Лагранжийн нягт.
Цаашдын ерөнхий дүгнэлт
Илүү өргөнөөр авч үзвэл үйлдлийг тохиргооны орон зайгаас бодит тоонуудын олонлог хүртэлх зураглалыг тодорхойлдог функц гэж ойлгодог бөгөөд ерөнхийдөө энэ нь интеграл байх албагүй, учир нь локал бус үйлдэл нь зарчмын хувьд боломжтой байдаг. онолын хувьд. Түүгээр ч зогсохгүй тохиргооны орон зай нь функциональ орон зай байх албагүй, учир нь энэ нь шилжихгүй геометртэй байж болно.
2.2. Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим
18-р зуунд шинжлэх ухааны үр дүнг цаашид хуримтлуулах, системчлэх үйл явц явагдсан бөгөөд энэ нь физикийн үзэгдлийг судлахад математик шинжилгээний аргыг системтэй ашиглах замаар шинжлэх ухааны бие даасан ололт амжилтыг дэлхийн хатуу эмх цэгцтэй, уялдаатай дүр төрх болгон нэгтгэх хандлагатай байв. Энэ чиглэлийн олон гайхалтай оюун ухааны ажил нь механик судалгааны хөтөлбөрийн үндсэн онол - аналитик механикийг бий болгоход хүргэсэн бөгөөд үүний үндсэн дээр тодорхой бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлсон янз бүрийн суурь онолыг бий болгосон.
онолын үзэгдэл: гидродинамик, уян хатан байдлын онол, аэродинамик гэх мэт Аналитик механикийн хамгийн чухал үр дүнгийн нэг нь 20-р зууны төгсгөлд физикт болж буй үйл явцыг ойлгоход чухал ач холбогдолтой хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим (вариацын зарчим) юм. .
Шинжлэх ухаанд вариацын зарчмууд үүссэний үндэс нь эртний Грекээс гаралтай бөгөөд Александриагийн Баатар нэртэй холбоотой байдаг. Аливаа вариацын зарчмын санаа нь тухайн үйл явцыг тодорхойлсон тодорхой утгыг өөрчлөх (өөрчлөх), бүх боломжит процессуудаас энэ утга нь туйлын (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) утгыг авахыг сонгох явдал юм. Херон гэрлийн тусгалын хуулиудыг толинд тусах үед гэрлийн туяаны эх үүсвэрээс ажиглагч хүртэл туулсан замын уртыг тодорхойлдог утгыг өөрчлөх замаар тайлбарлахыг оролдсон. Тэрээр бүх боломжит замуудаас гэрлийн туяа хамгийн богино замыг (геометрийн хувьд боломжтой) сонгодог гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
17-р зуунд, хоёр мянган жилийн дараа Францын математикч Ферма Хероны зарчимд анхаарлаа хандуулж, өөр өөр хугарлын үзүүлэлт бүхий хэвлэл мэдээллийн хэрэгслээр дамжуулж, цаг хугацааны хувьд шинэчилсэн байна. Фермагийн зарчимд: шинж чанар нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй хугарлын орчинд хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх гэрлийн туяа эхний цэгээс хоёр дахь цэг хүртэл явахад шаардагдах хугацаа хамгийн бага байхаар замыг сонгодог. Хероны зарчим нь тогтмол хугарлын илтгэгчтэй мэдээллийн хэрэгслийн хувьд Фермагийн зарчмын онцгой тохиолдол болж хувирав.
Фермагийн зарчим түүний үеийнхний анхаарлыг ихэд татав. Энэ нь нэг талаас байгалийн "эдийн засгийн зарчим", дэлхийн бүтцэд хэрэгжсэн оновчтой бурханлаг төлөвлөгөөг хамгийн сайнаар гэрчилж байсан бол нөгөө талаас Ньютоны гэрлийн корпускуляр онолтой зөрчилдөж байв. Ньютоны хэлснээр нягт хэвлэл мэдээллийн хэрэгсэлд гэрлийн хурд илүү их байх ёстой гэж үзсэн бол Фермагийн зарчмын дагуу ийм орчинд гэрлийн хурд багасдаг.
1740 онд математикч Пьер Луис Моро де Мопертуйс Фермагийн зарчмыг шүүмжилж, теологийн үзэл баримтлалыг дагаж мөрдөж байв.
Орчлон ертөнцийн төгс төгөлдөр байдал, хамгийн хэмнэлттэй бүтцийн талаархи логик сэдлүүд нь "Байгалийн янз бүрийн хуулиудын үл нийцэх тухай" бүтээлдээ хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг тунхагласан. Мопертуйс Фермагийн хамгийн бага цагийг орхиж, шинэ үзэл баримтлалыг нэвтрүүлсэн - үйлдэл. Үйлдэл нь биеийн импульс (хөдөлгөөний хэмжээ P = mV) болон биеийн туулсан замын үржвэртэй тэнцүү байна. Цаг хугацаа орон зайгаас ямар ч давуу талгүй, эсвэл эсрэгээрээ. Тиймээс гэрэл нь аялах хамгийн богино замыг биш, харин Мопертуисын хэлснээр "хамгийн бодит эдийн засгийг авчрах замыг сонгодог: түүний дагаж буй зам нь үйл ажиллагааны цар хүрээг сонгох зам юм. хамгийн бага." Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг Эйлер, Лагранж нарын бүтээлүүдэд улам боловсронгуй болгосон; Энэ нь Лагранж математикийн шинжилгээний шинэ салбар болох өөрчлөлтийн тооцоог бий болгох үндэс суурь болсон юм. Энэ зарчмыг Гамильтоны бүтээлүүдэд ерөнхийд нь нэмж, бүрэн хэлбэрт оруулсан болно. Ерөнхий хэлбэрээрээ хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь импульсээр бус, харин Лагранжийн функцээр илэрхийлэгдсэн үйлдлийн тухай ойлголтыг ашигладаг. Тодорхой потенциалын талбарт нэг бөөмс хөдөлж байгаа тохиолдолд Лагранж функцийг кинетикийн зөрүүгээр илэрхийлж болно. 
ба боломжит энерги:
("эрчим хүч" гэсэн ойлголтыг энэ хэсгийн 3-р бүлэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.)
Бүтээгдэхүүнийг энгийн үйлдэл гэж нэрлэдэг. Нийт үйлдэл нь авч үзэж буй бүх хугацааны интервал дахь бүх утгуудын нийлбэр, өөрөөр хэлбэл нийт А үйлдэл юм.
Бөөмийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг ашиглан олж авч болно, үүний дагуу бодит хөдөлгөөн нь үйлдэл нь туйлширч, өөрөөр хэлбэл түүний өөрчлөлт нь 0 болж хувирдаг.
Лагранж-Хэмилтоны вариацын зарчим нь бусад системээс бүрдэх системийг хялбархан өргөтгөх боломжийг олгодог.
хэдэн (олон) бөөмс. Ийм системийн хөдөлгөөнийг ихэвчлэн олон тооны хэмжээс бүхий хийсвэр орон зайд (математикийн тохиромжтой арга) авч үздэг. N цэгийн хувьд N ширхэг бөөмийн 3N координатын хийсвэр орон зайг нэвтрүүлж, тохиргооны орон зай гэж нэрлэгддэг системийг бүрдүүлэв. Системийн янз бүрийн төлөв байдлын дарааллыг энэ тохиргооны орон зай дахь муруйгаар дүрсэлсэн байдаг - траектор. Энэхүү 3N хэмжээст орон зайн өгөгдсөн хоёр цэгийг холбосон бүх боломжит замыг авч үзвэл системийн бодит хөдөлгөөн нь хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмын дагуу явагддаг гэдэгт итгэлтэй байж болно: бүх боломжит траекторуудын дотроос үйл ажиллагаа нь туйлширсан байдаг. хөдөлгөөний бүх хугацааны интервалыг гүйцэтгэнэ.
Сонгодог механик дахь үйлдлийг багасгахдаа Эйлер-Лагранж тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд эдгээрийн Ньютоны хуулиудтай холбоотой нь сайн мэддэг. Сонгодог цахилгаан соронзон орны Лагранжийн Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэл нь Максвеллийн тэгшитгэл болж хувирав. Тиймээс бид Лагранжийн хэрэглээ ба хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг ашиглах нь бөөмсийн динамикийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог. Гэсэн хэдий ч Лагранжийн өөр нэг чухал шинж чанар нь орчин үеийн физикийн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд Лагранжийн формализмыг үндэс болгосон юм. Баримт нь Ньютоны механикийн зэрэгцээ зарим физик хэмжигдэхүүнүүдийн хадгалалтын хуулиудыг 19-р зуунд физикт томъёолсон байдаг: энерги хадгалагдах хууль, импульс хадгалагдах хууль, өнцгийн импульс хадгалагдах хууль, хууль. цахилгаан цэнэгийн хадгалалт. Манай зуунд квант физик, элементийн бөөмсийн физикийн хөгжилтэй холбоотой хамгааллын хуулиудын тоо улам бүр нэмэгджээ. Хөдөлгөөний тэгшитгэл (Ньютоны хууль эсвэл Максвеллийн тэгшитгэл гэх мэт) болон цаг хугацааны явцад хадгалагдах хэмжигдэхүүнүүдийг хоёуланг нь бичих нийтлэг үндэслэлийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Ийм үндэслэл нь Лагранжийн формализмыг ашиглах явдал юм, учир нь тодорхой онолын Лагранж нь энэ онолд авч үзсэн тодорхой хийсвэр орон зайд харгалзах өөрчлөлтүүдийн хувьд инвариант (өөрчлөгддөггүй) болж хувирдаг бөгөөд энэ нь хадгалалтын хуулиудыг бий болгодог. Эдгээр Лагранжийн шинж чанарууд
Лагранжчуудын хэлээр физикийн онолыг боловсруулах нь оновчтой байдалд хүргэсэнгүй. Эйнштейний харьцангуйн онол гарч ирсний ачаар энэ нөхцөл байдлын талаархи мэдлэг физикт ирсэн.
| " |
Механик системийн хөдөлгөөний хуулийн хамгийн ерөнхий томъёоллыг хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим (эсвэл Гамильтоны зарчим) гэж нэрлэдэг. Энэ зарчмын дагуу механик систем бүр тодорхой функцээр тодорхойлогддог.
эсвэл товчоор хэлбэл системийн хөдөлгөөн дараах нөхцөлийг хангана.
Системийг координатын хоѐр багц утгуудаар тодорхойлогддог тодорхой цаг мөчид (1) тодорхой байрлалд байлгаж, дараа нь систем эдгээр байрлалуудын хооронд интеграл байхаар хөдөлнө.
байж болох хамгийн бага утгатай байсан. L функцийг энэ системийн Лагранж функц, интеграл (2.1)-ийг үйлдэл гэнэ.
Лагранжийн функц нь зөвхөн q ба q-г агуулдаг боловч түүнээс дээш деривативуудыг агуулаагүй нь механик төлөвийг координат ба хурдны тодорхойлолтоор бүрэн тодорхойлно гэсэн дээрх мэдэгдлийн илэрхийлэл юм.
Интегралын минимумыг (2.1) тодорхойлох асуудлыг шийддэг дифференциал тэгшитгэлийн гарал үүсэлт рүү шилжье. Томъёо бичихийг хялбарчлахын тулд эхлээд систем нь зөвхөн нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй тул зөвхөн нэг функцийг тодорхойлох ёстой гэж үзье.
S хамгийн бага байх функц байгаасай. Энэ нь хэлбэрийн аль нэг функцээр солигдох үед S нь нэмэгддэг гэсэн үг юм
-ээс хүртэлх бүх хугацааны интервалд бага хэмжээтэй функц (харьцуулсан бүх функцууд (2.2) ижил утгыг авах ёстой тул функцийн өөрчлөлт гэж нэрлэдэг) дараах байдалтай байна:
q-г орлуулах үед 5-ын өөрчлөлтийг зөрүүгээр өгнө
Энэ ялгааг эрх мэдэлд (интегралд) өргөтгөх нь нэгдүгээр эрэмбийн нөхцлөөс эхэлдэг. S)-ийн хамгийн бага байх зайлшгүй нөхцөл бол эдгээр нэр томъёоны багц алга болох явдал юм; үүнийг интегралын эхний хувилбар (эсвэл ихэвчлэн зүгээр л өөрчлөлт) гэж нэрлэдэг. Тиймээс хамгийн бага үйлдлийн зарчмыг ингэж бичиж болно
эсвэл янз бүрээр:
Хоёрдахь нэр томъёог хэсэг хэсгээр нь нэгтгэж, дараахь зүйлийг олж авна.
Гэвч (2.3) нөхцлийн улмаас энэ илэрхийллийн эхний нэр томъёо алга болно. Үлдсэн зүйл бол интеграл бөгөөд дурын утгуудын хувьд тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нь зөвхөн интеграл нь адилхан алга болсон тохиолдолд л боломжтой юм. Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна
Хэд хэдэн зэрэглэлийн эрх чөлөө байгаа тохиолдолд хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмын дагуу s янз бүрийн функцууд бие даан өөрчлөгдөх ёстой.Тэгээд бид s хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах нь ойлгомжтой.
Эдгээр нь шаардлагатай дифференциал тэгшитгэлүүд юм; механикийн хувьд тэдгээрийг Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв өгөгдсөн механик системийн Лагранжийн функц мэдэгдэж байгаа бол (2.6) тэгшитгэлүүд нь хурдатгал, хурд, координатын хоорондох холбоог тогтоодог, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг илэрхийлдэг.
Математикийн үүднээс авч үзвэл (2.6) тэгшитгэлүүд нь үл мэдэгдэх функцүүдийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг. Ийм системийн ерөнхий шийдэл нь дурын тогтмолуудыг агуулдаг. Тэдгээрийг тодорхойлж, улмаар механик системийн хөдөлгөөнийг бүрэн тодорхойлохын тулд тухайн цаг хугацааны тодорхой цэг дэх системийн төлөв байдлыг тодорхойлсон анхны нөхцлүүдийг мэдэх шаардлагатай, жишээлбэл, бүх координат ба анхны утгыг мэдэх шаардлагатай. хурдууд.
Механик систем нь А ба В гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэх ба тэдгээр нь хаалттай байвал тус бүр нь Лагранжийн функцтэй байх ёстой. Дараа нь хязгаарт хэсгүүд нь тэдгээрийн хоорондын харилцан үйлчлэлийг үл тоомсорлож болох хүртэл тусгаарлагдсан үед бүхэл системийн Лагранжийн функц хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг.
Лагранжийн функцийн нэмэлтийн энэ шинж чанар нь харилцан үйлчилдэггүй хэсэг бүрийн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь системийн бусад хэсгүүдтэй холбоотой хэмжигдэхүүнүүдийг агуулж болохгүй гэдгийг илэрхийлдэг.
Механик системийн Лагранжийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлэх нь өөрөө хөдөлгөөний тэгшитгэлд нөлөөлөхгүй нь ойлгомжтой.
Эндээс харахад ихээхэн тодорхойгүй байдал үүсч магадгүй юм: янз бүрийн тусгаарлагдсан механик системүүдийн Лагранжийн функцийг ямар ч өөр тогтмол тоогоор үржүүлж болно. Нэмэлт байдлын шинж чанар нь энэ тодорхойгүй байдлыг арилгадаг - энэ нь зөвхөн бүх системийн Лагранжийн функцийг ижил тогтмол тоогоор нэгэн зэрэг үржүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь энэ физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих нэгжийг сонгохдоо байгалийн дур зоргоороо л бууж өгдөг; Бид энэ асуудалд §4-т эргэн орох болно.
Дараахь ерөнхий тайлбарыг хийх шаардлагатай байна. Координат ба цаг хугацааны аливаа функцын нийт хугацааны деривативаар бие биенээсээ ялгаатай хоёр функцийг авч үзье.
Эдгээр хоёр функцийг ашиглан тооцсон интеграл (2.1) нь хамаарлаар холбогдоно
өөрөөр хэлбэл үйлдлийг өөрчлөх үед алга болох нэмэлт нэр томъёогоор бие биенээсээ ялгаатай бөгөөд ингэснээр нөхцөл нь нөхцөлтэй давхцаж, хөдөлгөөний тэгшитгэлийн хэлбэр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Тиймээс Лагранжийн функц нь координат ба цаг хугацааны аливаа функцийн нийт деривативыг нэмэх хүртэл тодорхойлогддог.
Намайг сургуульд байхад манай физикийн багш Бадер нэг удаа хичээл тараад намайг дуудаад: “Чи бүх зүйлээс аймаар залхсан юм шиг харагдаж байна; Нэг сонирхолтой зүйл сонс." Тэгээд тэр надад үнэхээр сэтгэл татам гэж бодсон зүйлийг хэлсэн. Одоо ч гэсэн тэр цагаас хойш маш их хугацаа өнгөрсөн ч миний сэтгэлийг татсаар байна. Тэгээд хэлснээ санах болгондоо ажилдаа ордог. Тэгээд энэ удаад лекцэнд бэлдэж байхдаа дахин нэг зүйлд дүн шинжилгээ хийж байхыг олж мэдэв. Тэгээд лекцэнд бэлдэхийн оронд шинэ асуудал гаргалаа. Миний яриад байгаа сэдэв бол хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим.
“Тэр үед Бадер багш маань надад ингэж хэлсэн юм: “Жишээ нь, таталцлын талбарт бөөмс байгаа байг; Энэ бөөмс хаа нэгтээгээс гарч ирээд өөр газар өөр цэг рүү чөлөөтэй хөдөлдөг. Та үүнийг дээшээ шидээд, дээшээ нисч, дараа нь унасан.
Эхлэх газраас эцсийн газар хүртэл явахад түүнд багагүй хугацаа зарцуулсан. Одоо өөр хөдөлгөөн хийж үзээрэй. Түүнийг "эндээс энд" өмнөх шигээ биш, харин ингэж нүүгээрэй.
Гэхдээ би өмнөх шигээ яг тэр мөчид зөв газраа олсон хэвээр байна."
"Тиймээс" гэж багш үргэлжлүүлэн, "Хэрэв та бөөмийн зам дагуух цаг мөч бүрт кинетик энергийг тооцоолж, түүнээс боломжит энергийг хасч, хөдөлгөөн болсон бүх хугацааны зөрүүг нэгтгэвэл та харах болно. таны авах тоо байх болно илүү,жинхэнэ бөөмийн хөдөлгөөнөөс илүү.
Өөрөөр хэлбэл, Ньютоны хуулиудыг F=ma гэж биш, харин дараах байдлаар томъёолж болно: дундаж кинетик энергийг хасах дундаж потенциал энерги нь объект бодитоор нэг газраас нөгөөд шилжих траекторийн дагуу хамгийн бага утгад хүрдэг.
Үүнийг би та нарт арай тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно.
Хэрэв бид таталцлын талбайг авч, бөөмийн траекторийг зааж өгвөл x(т),
Хаана X- газраас дээш өндөр (одоохондоо нэг хэмжигдэхүүнээр явцгаая; траекторийг хажуу тийш биш, зөвхөн дээш доош гүйлгэе), тэгвэл кинетик энерги болно. y 2
м(dx/
dt) 2, aцаг хугацааны дурын агшин дахь боломжит энерги нь тэнцүү байх болно мгх.
Одоо би траекторийн дагуух хөдөлгөөн хийхдээ кинетик болон боломжит энергийн ялгааг авч, эхнээс нь дуустал бүх хугацаанд нэгтгэдэг. Цагийн эхний мөчид зөвшөөрнө үү t x
хөдөлгөөн зарим өндөрт эхэлж, яг тэр мөчид дуусав т 2
өөр тодорхой өндөрт.
Тэгвэл интеграл нь ∫ t2 t1 dt-тэй тэнцүү байна
Жинхэнэ хөдөлгөөн нь тодорхой муруй дагуу явагддаг (цаг хугацааны функцээр энэ нь парабол) бөгөөд тодорхой интеграл утгад хүргэдэг. Гэхдээ чи чадна өмнөтавихөөр хөдөлгөөнийг төсөөлөөд үз дээ: эхлээд огцом өсөлт, дараа нь зарим нэг хачирхалтай хэлбэлзэл.
Та энэ зам дээрх потенциал ба кинетик энергийн ялгааг тооцоолж болно ... эсвэл өөр аль нэг дээр. Хамгийн гайхалтай нь жинхэнэ зам бол энэ интеграл хамгийн бага байх зам юм.
Үүнийг шалгаж үзье. Эхлээд энэ тохиолдлыг авч үзье: чөлөөт бөөмс нь боломжит энерги огт байхгүй. Дараа нь дүрэмд заасан хугацаанд нэг цэгээс нөгөөд шилжих үед кинетик энергийн интеграл нь хамгийн бага байх ёстой. Энэ нь бөөмс жигд хөдөлж байх ёстой гэсэн үг юм. (Мөн энэ нь зөв, ийм хөдөлгөөний хурд тогтмол гэдгийг та бид мэднэ.) Яагаад жигд байна вэ? Үүнийг олж мэдье. Хэрэв өөрөөр байсан бол бөөмийн хурд нь заримдаа дунджаас давж, заримдаа түүнээс доогуур байж, дундаж хурд нь ижил байх байсан, учир нь бөөмс "эндээс энд" хүрэх ёстой. тохиролцсон хугацаа. Жишээлбэл, хэрэв та гэрээсээ сургууль руугаа тодорхой хугацаанд машиндаа явах шаардлагатай бол үүнийг янз бүрийн аргаар хийж болно: та эхлээд галзуу юм шиг жолоодож, эцэст нь удаашруулж болно, эсвэл ижил хурдтай жолоодох, эсвэл та бүр эсрэг тал руугаа явж, зөвхөн дараа нь сургууль руу эргэх гэх мэт бүх тохиолдолд дундаж хурд нь мэдээж ижил байх ёстой - гэрээс сургууль хүртэлх зайг цаг хугацаагаар хуваана. Гэхдээ ийм дундаж хурдтай байсан ч та заримдаа хэтэрхий хурдан, заримдаа хэтэрхий удаан хөдөлдөг. Мөн дундаж дөрвөлжиндунджаас хазайсан зүйл нь бидний мэдэж байгаагаар дундажийн квадратаас үргэлж том байдаг; Энэ нь хөдөлгөөний хурдны хэлбэлзлийн үед кинетик энергийн интеграл нь тогтмол хурдтай хөдөлж байх үеийнхээс үргэлж их байх болно гэсэн үг юм. Хурд тогтмол байх үед (хүч байхгүй үед) интеграл хамгийн багадаа хүрнэ гэдгийг та харж байна. Зөв зам бол энэ.
Таталцлын талбарт дээш шидэгдсэн биет эхлээд хурдан, дараа нь улам аажмаар дээшилдэг. Энэ нь бас боломжит энергитэй тул хамгийн бага утгад хүрэх ёстой нэг удааnessкинетик ба боломжит энергийн хооронд.. Өсөх тусам потенциал энерги нэмэгддэг тул бага ялгааХэрэв та боломжит энерги өндөр байгаа эдгээр өндөрлөгт аль болох хурдан хүрвэл энэ нь ажиллах болно. Дараа нь кинетик энергиээс энэхүү өндөр потенциалыг хасч, дундаж утгыг бууруулна. Тэгэхээр өгсөж, боломжит энергийн зардлаар сайн сөрөг хэсгийг нийлүүлэх зам нь илүү ашигтай байдаг.
Багш маань маш сайн багш, хэзээ болихыг мэддэг байсан болохоор л ингэж хэлсэн. Харамсалтай нь би өөрөө тийм биш. Цагтаа зогсох надад хэцүү байна. Тиймээс, миний түүхээр таны сонирхлыг төрүүлэхийн оронд би чамайг айлган сүрдүүлж, амьдралын ээдрээтэй байдлаас залхмаар байна - би чамд хэлсэн зүйлээ батлахыг хичээх болно. Бидний шийдэх математикийн асуудал бол маш хэцүү бөгөөд өвөрмөц юм. Тодорхой тоо хэмжээ байдаг С, дуудсан үйлдэл.Энэ нь кинетик энергийг цаг хугацааны туршид нэгтгэсэн потенциал энергийг хассантай тэнцүү байна.
Гэхдээ нөгөө талаас та хэт хурдан хөдөлж эсвэл хэт өндөрт явж чадахгүй, учир нь энэ нь хэт их кинетик энерги шаарддаг. Та өгөгдсөн хугацаанд дээш доош босохын тулд хангалттай хурдан хөдлөх хэрэгтэй. Тиймээс та хэт өндөрт нисэх гэж оролдох хэрэггүй, гэхдээ зүгээр л боломжийн түвшинд хүрэх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд шийдэл нь боломжит энергийг аль болох их хэмжээгээр авах хүсэл ба кинетик энергийн хэмжээг аль болох багасгах хүсэл хоёрын хоорондох тэнцвэрийн нэг хэлбэр болох нь тогтоогдсон - энэ бол хамгийн их бууралтад хүрэх хүсэл юм. кинетик ба боломжит энергийн ялгаа."
Үүнийг бүү мартаарай p.e. ба k.e-цаг хугацааны аль алиных нь үүрэг. Аливаа шинэ боломжит замын хувьд энэ үйлдэл нь тодорхой утгыг олж авдаг. Математикийн асуудал бол аль муруйн хувьд энэ тоо бусдаас бага байгааг тодорхойлох явдал юм.
Та “Өө, энэ бол хамгийн их, доод хоёрын энгийн жишээ юм. Үйлдлийг нь тооцож, ялгаж, доод хэмжээг нь олох хэрэгтэй” гэсэн юм.
Гэхдээ хүлээ. Ихэвчлэн бид ямар нэг хувьсагчийн функцтэй байдаг бөгөөд утгыг нь олох хэрэгтэй хувьсагч,Энэ үед функц хамгийн бага эсвэл хамгийн том болно. Дунд нь халсан саваа байна гэж бодъё. Дулаан нь түүний дээгүүр тархаж, савааны цэг бүрт өөрийн температур тогтдог. Та хамгийн өндөр цэгийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид огт өөр зүйлийн талаар ярьж байна - сансар огторгуйн зам бүртүүний дугаарыг хариулж, түүнийг олох ёстой зам,үүний хувьд энэ тоо хамгийн бага байна. Энэ бол математикийн огт өөр салбар юм. Энэ бол энгийн тооцоо биш, гэхдээ хувьсах(Тэд түүнийг ингэж дууддаг).
Математикийн энэ салбарт өөрийн гэсэн олон асуудал бий. Тойрог нь ихэвчлэн өгөгдсөн цэгээс хол зай нь ижил байдаг цэгүүдийн байрлал гэж тодорхойлогддог боловч тойрог нь өөрөөр тодорхойлогддог: энэ нь муруйнуудын нэг юм. өгөгдсөн урт,хамгийн том талбайг хамардаг. Ижил периметрийн бусад муруй нь тойргоос бага талбайг хамарна. Тиймээс, хэрэв бид хамгийн том талбайг хязгаарлаж буй өгөгдсөн периметрийн муруйг олох даалгавар өгвөл таны дассан тооцооноос биш харин өөрчлөлтийн тооцооноос асуудал гарах болно.
Тиймээс бид интегралыг биеийн туулсан зам дээр авахыг хүсч байна. Ингэж хийцгээе. Гол зорилго нь үнэн зам байгаа бөгөөд бидний зурсан бусад муруй нь бодит зам биш гэж төсөөлөхөд оршдог бөгөөд ингэснээр бид түүнд зориулсан үйлдлийг тооцоолвол харгалзах үйлдлээс авсан тооноос өндөр тоог авах болно. жинхэнэ зам руу.
Тиймээс жинхэнэ замыг олох нь даалгавар юм. Энэ нь хаана хэвтэж байна вэ? Мэдээжийн хэрэг нэг арга бол үйлдлийг сая сая замаар тоолж, аль зам нь хамгийн бага үйлдэлтэй болохыг харах явдал юм. Энэ бол үйлдэл нь хамгийн бага бөгөөд бодит байх зам юм.
Энэ арга нь нэлээд боломжтой юм. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү энгийн байдлаар хийж болно. Хэрэв хамгийн бага хэмжигдэхүүн (энгийн функцээс, жишээ нь температур) байгаа бол хамгийн бага шинж чанаруудын нэг нь түүнээс хол зайд шилжих явдал юм. эхлээджижиг байдлын дарааллаар функц нь хамгийн бага утгаасаа зөвхөн хэмжээгээр хазайдаг хоёрдугаартзахиалга. Мөн муруйн өөр аль ч газарт бага зайд шилжих нь функцийн утгыг мөн жижиг байдлын эхний эрэмбийн утгаар өөрчилдөг. Гэхдээ хамгийн багадаа хажуу тийшээ бага зэрэг хазайх нь эхний ойролцоолсон байдлаар функцийг өөрчлөхөд хүргэдэггүй.
Энэ бол бодит замыг тооцоолохын тулд бид ашиглах гэж байгаа өмч юм.
Хэрэв зам зөв бол түүнээс бага зэрэг ялгаатай муруй нь эхний ойролцоо байдлаар үйл ажиллагааны цар хүрээг өөрчлөхөд хүргэхгүй. Бүх өөрчлөлтүүд, хэрэв энэ нь үнэхээр хамгийн бага байсан бол зөвхөн хоёр дахь ойролцооллоор л харагдах болно.
Үүнийг батлахад хялбар. Хэрэв муруйгаас бага зэрэг хазайснаар эхний дарааллаар өөрчлөлт гарсан бол эдгээр өөрчлөлтүүд хүчин төгөлдөр болно пропорциональхазайлт. Тэд үр нөлөөг нэмэгдүүлэх магадлалтай; өөрөөр хэлбэл энэ нь хамгийн бага байх болно. Гэхдээ нэг удаа өөрчлөгдөнө пропорциональхазайлт, дараа нь хазайлтын тэмдгийг өөрчлөх нь үйлдлийг бууруулна. Нэг тийшээ хазайвал үр нөлөө нь ихсэж, эсрэгээр нь хазайвал буурдаг юм байна. Энэ нь үнэхээр хамгийн бага байх цорын ганц боломж бол эхний ойролцоолсноор өөрчлөлт гарахгүй бөгөөд өөрчлөлт нь бодит замаас хазайсан квадраттай пропорциональ байна.
Тиймээс, бид дараах замаар явна: тэмдэглэнэ x(т)
(доорх шугамтай) жинхэнэ зам бол бидний олохыг хүсч буй зам юм. Туршилтын туршилтыг авч үзье x(т),
хүссэн хэмжээнээс бага хэмжээгээр ялгаатай бөгөөд үүнийг бид тэмдэглэдэг
η (т).
Үйлдлийг нь тоочих юм бол гэсэн санаа С
зам дээр x(т),
тэгээд энэ хоёрын ялгаа С
мөн бидний замд тооцсон үйлдлээр x(т)
(хялбар болгохын тулд үүнийг зааж өгөх болно С),
эсвэл хоорондын ялгаа С_
Тэгээд С,
эхний ойролцоо байх ёстой η
тэг. Тэд хоёр дахь дарааллаар ялгаатай байж болох боловч эхнийх нь ялгаа нь тэг байх ёстой.
Мөн энэ нь хүн бүрийн хувьд ажиглагдах ёстой η . Гэсэн хэдий ч хүн бүрт тийм ч тохиромжтой биш. Энэ арга нь зөвхөн нэг хос цэг дээр эхэлж, төгсдөг замыг харгалзан үзэхийг шаарддаг, өөрөөр хэлбэл зам бүр тухайн үед тодорхой цэгээс эхлэх ёстой. т 1 мөн тухайн мөчид өөр тодорхой цэг дээр дуусна т 2 . Эдгээр цэгүүд болон мөчүүдийг тэмдэглэсэн болно. Тэгэхээр бидний d) функц (хазайлт) хоёр төгсгөлд тэг байх ёстой: η (т 1 )= 0 Тэгээд η (t 2)=0. Энэ нөхцөлд бидний математикийн асуудал бүрэн тодорхойлогддог.
Хэрэв та тооцоолол мэддэггүй байсан бол энгийн функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд ижил зүйлийг хийж болно е(x).
Хэрэв та авбал юу болох талаар бодож үзэх үү е(x)
болон нэмэх Xбага хэмжээ h,
болон нэмэлт, өөрчлөлт оруулах гэж маргах болно е(x)
эхний ээлжинд h
хамгийн багадаа тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Та намайг тохируулна уу x+h
оронд нь Xба j(x+h)-ийг эхний зэрэглэл хүртэл тэлэх болно h. .
., нэг үгээр бол бидний хийх гэж буй бүх зүйлийг давтах болно η
.
Хэрэв бид одоо үүнийг анхааралтай ажиглавал энд бичигдсэн эхний хоёр нэр томъёо тэр үйлдэлтэй тохирч байгааг харах болно С,
Би хайж буй үнэн замд зориулж бичих болно X.Би таны анхаарлыг өөрчлөлтөд төвлөрүүлэхийг хүсч байна. С,
өөрөөр хэлбэл хоорондын ялгаан дээр С
гэх мэт С_,
Үүний үр дүнд жинхэнэ зам гарах болно. Бид энэ ялгааг бичнэ bS
мөн үүнийг хувилбар гэж нэрлэе С.
"Хоёр дахь болон түүнээс дээш захиалга" -аас татгалзаж, бид олж авдаг σS
Одоо даалгавар иймэрхүү харагдаж байна. Энд миний өмнө зарим нэг салшгүй хэсэг байна. Энэ нь ямар байдгийг хараахан мэдэхгүй байна, гэхдээ би яг юу болохыг сайн мэднэ η
Юу ч байсан энэ интеграл тэгтэй тэнцүү байх ёстой. "За" гэж та бодож магадгүй, "Үүнийг хийх цорын ганц арга бол үржүүлэгчийн хийх явдал юм η
тэгтэй тэнцүү байсан." Гэхдээ эхний ээлжинд яах вэ, хаана байна г η
/
dt?
Та: "Хэрэв η
юу ч биш болж хувирвал түүний дериватив нь юу ч биш болно; энэ нь коэффициент гэсэн үг юм dv\/
dt
Мөн тэг байх ёстой." За, энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Энэ нь бүхэлдээ үнэн биш, учир нь хазайлтын хооронд байна η
ба түүний дериватив нь холболт байдаг; учир нь тэд бүрэн бие даасан биш юм η
(т)
тэг байх ёстой ба t 1
болон цагт т 2
.
Хувьсах тооцооны бүх асуудлыг шийдвэрлэхдээ ижил ерөнхий зарчмыг үргэлж ашигладаг. Та өөрчлөхийг хүссэн зүйлээ бага зэрэг өөрчилнө (бидний нэмсэнтэй адил η
), эхний захиалгын нөхцлүүдийг харах, тэгээдДараах хэлбэрээр интеграл авахын тулд бүх зүйлийг зохион байгуул: "шилж (η
),
гарч байгаагаар нь үржүүлнэ”, гэхдээ ямар ч дериватив агуулаагүй η
(үгүй г η
/
dt).
"Ямар нэгэн зүйл" үлдэж, үржүүлж үлдэхийн тулд бүх зүйлийг өөрчлөх нь туйлын чухал юм η
. Энэ нь яагаад ийм чухал болохыг одоо та ойлгох болно. (Зарим тохиолдолд та үүнийг ямар ч тооцоололгүйгээр яаж хийж болохыг хэлэх томьёо байдаг; гэхдээ тэдгээр нь тийм ч ерөнхий биш бөгөөд цээжлэх нь зүйтэй; тооцооллыг бидний хийдэг арга замаар хийх нь дээр.)
Би шодойг яаж дахин хийх вэ г η / dt, гарч ирэхийн тулд η ? Би үүнийг хэсэг хэсгээр нь нэгтгэснээр хүрч чадна. Эндээс харахад өөрчлөлтийн тооцоонд өөрчлөлтийг дүрслэх нь бүхэл бүтэн заль мэх юм С дараа нь үүсмэлүүд болох хэсгүүдээр нэгтгэнэ η алга болсон. Дериватив гарч ирэх бүх асуудалд ижил заль мэхийг гүйцэтгэдэг.
Хэсэгээр нэгтгэх ерөнхий зарчмыг эргэн санацгаая. Хэрэв та дурын функцтэй бол f-ээр үржүүлнэ г η
/
dt
болон нэгтгэсэн т,
Дараа нь та деривативыг бичнэ үү η
/т
Интеграцийн хязгаарыг эхний нэр томъёонд орлуулах ёстой t 1
Тэгээд т 2
.
Дараа нь интегралын дагуу би хэсэг хэсгээр нь интеграцийн нэр томьёо, хувиргалт хийх явцад өөрчлөгдөөгүй сүүлчийн гишүүнийг хүлээн авна.
Одоо үргэлж тохиолддог зүйл болж байна - нэгдсэн хэсэг нь алга болно. (Хэрэв энэ нь алга болоогүй бол зарчмыг дахин боловсруулж, ийм алга болох нөхцөлийг нэмж оруулах шаардлагатай!) Бид аль хэдийн хэлсэн. η
замын төгсгөлд тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Эцсийн эцэст бидний зарчим юу вэ? Баримт нь янз бүрийн муруй нь сонгосон цэгүүдээс эхэлж, дуусах тохиолдолд үйлдэл хамгийн бага байх болно. Энэ нь тийм гэсэн үг η
(t 1)=0 ба η
(t 2)=0. Тиймээс нэгдсэн нэр томъёо нь тэг болж хувирдаг. Үлдсэн гишүүдээ цуглуулаад бичдэг
Хувилбар С
Одоо бидний өгөхийг хүссэн хэлбэрийг олж авлаа: ямар нэг зүйл хаалтанд байна (үүнийг тэмдэглэе. Ф),
мөн энэ бүхэн үржүүлж байна
η (т)
-аас нэгтгэсэн т т
өмнө т 2
.
Зарим илэрхийллийн интеграл нь η-ээр үрждэг болох нь тогтоогдсон (т),
үргэлж тэгтэй тэнцүү:
-аас ямар нэгэн функц байна уу т;
Би үүнийг үржүүлдэг
η (т)
мөн эхнээс нь дуустал нэгтгэх. Тэгээд юу ч байсан η,
Би тэг авдаг. Энэ нь функц гэсэн үг юм Ф(т)
тэгтэй тэнцүү. Ерөнхийдөө энэ нь ойлгомжтой, гэхдээ ямар ч тохиолдолд би үүнийг батлах нэг арга замыг зааж өгөх болно.
η гэж үзье (т)
Би хаана ч хамаагүй тэгтэй тэнцүү зүйлийг сонгох болно т,
Урьдчилан сонгосон нэг утгыг эс тооцвол т.
Намайг тэнд очих хүртэл тэг хэвээр байна т, сДараа нь хэсэг зуур үсэрч, тэр даруй буцаж унадаг. Хэрэв та энэ m)-ийн интегралыг авбал зарим функцээр үржүүлнэ Ф,
тэгээс өөр зүйл авах цорын ганц газар бол хаана л байна η
(т)
үсэрсэн; тэгээд та үнэ цэнийг нь авах болно Ф
энэ үед интеграл дээр үсрэлт дээр. Үсрэлт дээрх интеграл өөрөө тэгтэй тэнцүү биш, харин үржүүлсний дараа Ф
тэг өгөх ёстой. Энэ нь үсрэлт байсан газрын функц тэг болж хувирах ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ үсрэлтийг хаана ч хийж болох байсан; гэсэн үг, Ф
хаа сайгүй тэг байх ёстой.
Хэрэв бидний интеграл аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бид харж байна η
, дараа нь коэффициент нь η
тэг рүү очих ёстой. Үйлдлийн интеграл нь ийм нарийн төвөгтэй дифференциал тэгшитгэлийг хангах хамгийн багадаа хүрдэг.
Энэ нь үнэндээ тийм ч төвөгтэй биш юм; чи түүнтэй өмнө нь уулзаж байсан. Зүгээр л F=ma. Эхний нэр томъёо нь массын хурдатгал юм; хоёр дахь нь боломжит энергийн дериватив, өөрөөр хэлбэл хүч юм.
Тиймээс бид (наад зах нь консерватив системийн хувьд) хамгийн бага үйлдлийн зарчим нь зөв хариулт руу хөтөлдөг гэдгийг харуулсан; Тэрээр хэлэхдээ, хамгийн бага үйлдэлтэй зам нь Ньютоны хуулийг хангасан зам юм.
Бас нэг зүйл хэлэх хэрэгтэй. Би үүнийг нотлоогүй байна хамгийн бага.Магадгүй энэ нь хамгийн дээд хэмжээ юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь хамгийн бага байх албагүй. Энд бүх зүйл оптик судалж байхдаа бидний ярилцсан "хамгийн богино хугацааны зарчим" -тай ижил байна. Тэнд ч бид эхлээд “хамгийн богино” цагийн тухай ярьсан. Гэсэн хэдий ч энэ хугацаа нь "хамгийн богино" байх албагүй нөхцөл байдал бий болсон. Үндсэн зарчим бол аливаад зориулагдсан эхний эрэмбийн хазайлтоптик замаас өөрчлөлтүүдцаг хугацааны хувьд тэгтэй тэнцүү байх болно; Энд адилхан түүх байна. "Хамгийн бага" гэж бид үнэндээ тоо хэмжээний өөрчлөлтийн жижиг байдлын эхний эрэмбийг хэлж байна Сзамаас хазайлт тэгтэй тэнцүү байх үед. Энэ нь заавал "хамгийн бага" байх албагүй.
Одоо би зарим ерөнхий дүгнэлт рүү шилжихийг хүсч байна. Юуны өмнө энэ түүхийг бүхэлд нь гурван хэмжээстээр хийж болно. Энгийн оронд XБи тэгвэл тэгэх байсан x, yТэгээд zфункц байдлаар т,мөн үйлдэл нь илүү төвөгтэй харагдах болно. 3D-д шилжихдээ кинетик энергийг бүрэн ашиглах ёстой): (t/2),нийт хурдны квадратаар үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл
Нэмж хэлэхэд, боломжит энерги нь одоо функц болж байна x, yТэгээд z.Замын талаар юу хэлэх вэ? Зам гэдэг нь орон зайн тодорхой ерөнхий муруй юм; Энэ нь зурахад тийм ч хялбар биш боловч санаа нь хэвээр байна. η яах вэ? За, η нь гурван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй. Замыг x ба дотор хоёуланг нь сольж болно у,болон өөр z,эсвэл бүх гурван чиглэлд нэгэн зэрэг. Тэгэхээр η одоо вектор. Энэ нь ямар нэгэн ноцтой хүндрэл үүсгэдэггүй. Зөвхөн өөрчлөлтүүд нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой эхний захиалгаДараа нь тооцооллыг гурван ээлжээр дараалан хийж болно. Эхлээд та хөдөлж болно tsзөвхөн чиглэлд Xмөн коэффициент нь тэг рүү очих ёстой гэж хэлээрэй. Та нэг тэгшитгэл авна. Дараа нь бид хөдөлнө tsчиглэлд цагттэгээд бид хоёр дахь нь авдаг. Дараа нь чиглэлд хөдөл zмөн бид гурав дахь хэсгийг авна. Хэрэв та хүсвэл бүх зүйлийг өөр дарааллаар хийж болно. Ямар ч байсан гурвалсан тэгшитгэл гарч ирнэ. Гэхдээ Ньютоны хууль нь гурван хэмжээст гурван тэгшитгэл, бүрэлдэхүүн тус бүрд нэг юм. Энэ бүхэн гурван хэмжээст (энд тийм ч их ажил байхгүй) гэдгийг та өөрөө харах болно. Дашрамд хэлэхэд та өөрт таалагдсан координатын систем, туйл, дурын системийг авч, шилжилт хийхэд юу тохиолдохыг харгалзан энэ системтэй холбоотой Ньютоны хуулиудыг шууд олж авах боломжтой. η радиусын дагуу эсвэл өнцгийн дагуу гэх мэт.
Энэ аргыг дурын тооны тоосонцороор ерөнхийлж болно. Хэрэв танд хоёр бөөмс байгаа бөгөөд тэдгээрийн хооронд ямар нэг хүч үйлчилж, харилцан боломжит энерги байгаа бол та зүгээр л тэдний кинетик энергийг нэмж, харилцан үйлчлэлийн потенциал энергийн нийлбэрээс хасна. Та юугаараа ялгаатай вэ? Замууд хоёулаатоосонцор. Дараа нь гурван хэмжээст хөдөлж буй хоёр бөөмийн хувьд зургаан тэгшитгэл үүснэ. Та 1-р бөөмийн байрлалыг чиглэлд өөрчилж болно X,чиглэлд цагтболон зүг z,мөн 2-р бөөмтэй ижил зүйлийг хийснээр зургаан тэгшитгэл байна. Тэгээд ийм байх ёстой. Гурван тэгшитгэл нь 1-р бөөмийн түүнд үйлчлэх хүчний хурдатгалыг, нөгөө гурав нь 2-р бөөмийн хурдатгалыг тодорхойлдог. Тоглоомын ижил дүрмийг үргэлж дагаж мөрдвөл та дурын тооны бөөмсийн хувьд Ньютоны хуулийг авах болно.
Би Ньютоны хуулийг авна гэж хэлсэн. Энэ нь бүхэлдээ үнэн биш, учир нь Ньютоны хуульд үрэлт гэх мэт консерватив бус хүчийг мөн багтаасан байдаг. Ньютон үүнийг нотолсон тэрямар ч F-тэй тэнцүү. Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь зөвхөн хүчинтэй консервативболомжит функцээс бүх хүчийг авах боломжтой системүүд. Гэхдээ микроскопийн түвшинд, өөрөөр хэлбэл физикийн хамгийн гүн түвшинд консерватив бус хүч байдаггүй гэдгийг та мэднэ. Консерватив бус хүч (үрэлт гэх мэт) нь зөвхөн микроскопийн цогц нөлөөллийг үл тоомсорлодог учраас л үүсдэг: дүн шинжилгээ хийхэд маш олон тоосонцор байдаг. Үндсэнижил хуулиуд чаднахамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим болгон илэрхийлнэ.
Цаашид ерөнхий дүгнэлт рүү шилжье. Бөөмс харьцангуйгаар хөдөлвөл юу болохыг сонирхож байна гэж бодъё. Одоогоор бид хөдөлгөөний зөв харьцангуй тэгшитгэлийг олж чадаагүй байна; F=ma нь зөвхөн харьцангуй бус хөдөлгөөнд үнэн байдаг. Асуулт гарч ирнэ: Харьцангуй тохиолдолд хамгийн бага үйлдэл хийх зарчим байдаг уу? Тиймээ, байгаа. Харьцангуй тохиолдлын томъёо нь:
Үйлдлийн интегралын эхний хэсэг нь үлдсэн массын үржвэр юм t 0дээр 2-оосба хурдны функцийн интеграл √ (1- v 2 / c 2 ). Дараа нь потенциал энергийг хасахын оронд скаляр потенциал φ ба вектор потенциал А дахин v-ийн интегралтай болно. Мэдээжийн хэрэг энд зөвхөн цахилгаан соронзон хүчийг харгалзан үздэг. Бүх цахилгаан ба соронзон орон нь φ ба А-аар илэрхийлэгдэнэ. Энэхүү үйлдлийн функц нь цахилгаан соронзон орон дахь бие даасан бөөмийн харьцангуй хөдөлгөөний тухай бүрэн онолыг өгдөг.
Мэдээжийн хэрэг, та миний v гэж бичсэн газар бүрт тооцоо хийхээсээ өмнө орлуулах хэрэгтэй гэдгийг ойлгох ёстой dx/ dt оронд нь v x гэх мэт. Түүнээс гадна би зүгээр л бичсэн газар x, y, z,Та яг одоо байгаа цэгүүдийг төсөөлөх хэрэгтэй т: x(т), y(т), z(т). Үнэндээ v-ийн ийм орлуулалт, орлуулалтын дараа л харьцангуйн бөөмийн үйл ажиллагааны томьёо гарна. Үйлдлийн энэхүү томъёо нь харьцангуйн онолын хөдөлгөөний зөв тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг та нарын дундаас хамгийн чадварлаг хүмүүс нотлохыг хичээцгээе. Би танд зөвхөн А-г хаяхаас эхлэхийг зөвлөж байна, өөрөөр хэлбэл одоохондоо соронзон оронгүйгээр хий. Дараа нь та хөдөлгөөний тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олж авах хэрэгтэй болно dp/dt=—qVφ,Энд та санаж байгаа байх, p=mv√(1-v 2 /c 2).
А векторын потенциалыг харгалзан үзэх нь илүү хэцүү байдаг. Дараа нь өөрчлөлтүүд нь харьцуулашгүй илүү төвөгтэй болдог. Гэвч эцэст нь хүч нь байх ёстой хэмжээтэй тэнцүү болж хувирна: g(E+v × B). Гэхдээ өөрөө үүнийг хөгжилтэй өнгөрүүлээрэй.
Ерөнхий тохиолдолд (жишээлбэл, харьцангуй томъёогоор) үйл ажиллагааны интеграл нь кинетик болон потенциал энергийн ялгааг багтаахаа больсон гэдгийг онцлон тэмдэглэхийг хүсч байна. Энэ нь зөвхөн харьцангуй бус ойролцоолсон нөхцөлд л тохиромжтой байсан. Жишээлбэл, гишүүн m o c 2√(1-v 2 /c 2)-Энэ бол кинетик энерги гэж нэрлэгддэг зүйл биш. Аливаа тодорхой тохиолдолд ямар арга хэмжээ авах ёстой вэ гэдэг асуудлыг туршилт, алдааны дараа шийдэж болно. Энэ нь хөдөлгөөний тэгшитгэл ямар байх ёстойг тодорхойлохтой ижил төрлийн асуудал юм. Та зүгээр л өөрийн мэддэг тэгшитгэлүүдээрээ тоглож, тэдгээрийг хамгийн бага үйлдлийн зарчим гэж бичиж болох эсэхийг харах хэрэгтэй.
Нэр томъёоны талаар бас нэг тэмдэглэл. Үйлдлийг олж авахын тулд цаг хугацааны явцад нэгтгэгдсэн функц S,дуудсан ЛагранжянΛ. Энэ нь зөвхөн бөөмсийн хурд, байрлалаас хамаардаг функц юм. Тиймээс хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг мөн хэлбэрээр бичдэг
хаана доор X биТэгээд v i
координат ба хурдны бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тусгасан болно. Хэрэв та хэн нэгэн "Лагранж"-ын тухай ярихыг сонсвол тэд олж авахад ашигласан функцийн талаар ярьж байна С.
Цахилгаан соронзон орон дахь харьцангуй хөдөлгөөний хувьд
Нэмж дурдахад хамгийн нямбай, дэгжин хүмүүс дууддаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй Сүйлдэл. Үүнийг "Гамильтоны анхны үндсэн функц" гэж нэрлэдэг. Гэхдээ “Хамилтоны хамгийн бага анхны үндсэн функцийн зарчим” сэдвээр лекц унших нь миний хүч чадлаас давсан. Би үүнийг "үйлдэл" гэж нэрлэсэн. Үүнээс гадна улам олон хүмүүс үүнийг "үйл ажиллагаа" гэж нэрлэдэг. Түүхэнд үйлдлийг шинжлэх ухаанд ашиггүй өөр зүйл гэж нэрлэдэг байсан ч тодорхойлолтыг өөрчлөх нь илүү утга учиртай гэж би бодож байна. Одоо та ч гэсэн шинэ функцийг үйлдэл гэж нэрлэж эхлэх бөгөөд удалгүй хүн бүр үүнийг энгийн нэрээр дуудаж эхлэх болно.
Одоо би та бүхэнд хамгийн богино хугацааны зарчмын талаархи үндэслэлтэй төстэй бидний сэдвийн талаар хэлэхийг хүсч байна. Нэг цэгээс нөгөө цэг рүү авсан зарим интеграл нь хамгийн багатай гэсэн хуулийн мөн чанарт ялгаа бий - бүхэл бүтэн замын талаар нэг дор ямар нэг зүйлийг хэлж өгдөг хууль, шилжих үед дараа нь гэсэн хуулийн ялгаа бий. Энэ нь хурдатгалд хүргэдэг хүч байдаг гэсэн үг юм. Хоёрдахь арга нь таны алхам бүрийг тайлагнадаг бөгөөд энэ нь таны замыг инч инчээр зурдаг бөгөөд эхнийх нь туулсан бүх замын талаар ерөнхий мэдэгдлийг шууд өгдөг. Гэрлийн тухай ярихдаа бид эдгээр хоёр аргын хоорондын уялдаа холбоог ярьсан. Одоо би танд хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим байдаг бол дифференциал хууль яагаад байх ёстойг тайлбарлахыг хүсч байна. Үүний шалтгаан нь: орон зай, цаг хугацаанд туулсан замыг авч үзье. Өмнөхтэй адил бид нэг хэмжилтийг хийснээр хамаарлын графикийг зурж болно X-аас т.
Жинхэнэ зам дагуу С
хамгийн багадаа хүрдэг. Бидэнд ийм зам байгаа бөгөөд энэ нь ямар нэгэн цэгээр дамжин өнгөрдөг гэж бодъё Аорон зай, цаг хугацаа болон өөр хөрш цэгээр дамжуулан б.
Одоо, хэрэв бүхэл бүтэн интеграл t 1
өмнө т 2
хамгийн багадаа хүрсэн бол интеграл нь а-аас жижиг хэсгийн дагуу байх шаардлагатай б
бас хамгийн бага байсан. Энэ нь тийм хэсэг байж болохгүй Аөмнө бнаад зах нь доод хэмжээнээс арай илүү. Үгүй бол та энэ хэсэгт муруйг нааш цааш хөдөлгөж, бүхэл бүтэн интегралын утгыг бага зэрэг бууруулж болно.
Энэ нь замын аль ч хэсэг нь хамгийн бага хэмжээг өгөх ёстой гэсэн үг юм. Мөн энэ нь замын аль ч жижиг хэсгүүдэд үнэн юм. Иймээс замын хязгааргүй жижиг хэсэг нь мөн л үйл ажиллагаа нь хамгийн бага байх муруй юм гэж хэлснээр зам бүхэлдээ хамгийн бага утга өгөх ёстой гэсэн зарчмыг томъёолж болно. Хэрэв бид замын хангалттай богино хэсгийг авбал - бие биентэйгээ маш ойрхон цэгүүдийн хооронд АТэгээд б,- тэгвэл энэ газраас алслагдсан цэгээс нөгөө цэг рүү потенциал хэрхэн өөрчлөгдөх нь хамаагүй, учир нь та бүхэл бүтэн богино сегментийг туулахдаа тэр газраас бараг хэзээ ч хөдөлдөггүй. Таны анхаарах ёстой цорын ганц зүйл бол боломжийн жижиг байдлын эхний дарааллын өөрчлөлт юм. Хариулт нь зөвхөн боломжийн деривативаас шалтгаална, бусад боломжоос хамаарахгүй. Тиймээс бүхэл бүтэн замын өмчийн талаархи мэдэгдэл нь замын богино хэсэгт юу болж байгаа тухай мэдэгдэл, өөрөөр хэлбэл дифференциал мэдэгдэл болдог. Энэхүү дифференциал томъёололд потенциалын деривативууд, өөрөөр хэлбэл тухайн цэг дэх хүчийг багтаасан болно. Энэ нь бүхэлдээ хууль болон дифференциал хууль хоёрын уялдаа холбоог чанарын хувьд тайлбарласан болно.
Бид гэрлийн тухай ярихдаа бөөмс хэрхэн зөв замыг олох вэ гэсэн асуултыг хэлэлцсэн. Дифференциал талаас нь харахад үүнийг ойлгоход хялбар байдаг. Агшин бүрт бөөмс хурдатгалыг мэдэрдэг бөгөөд зөвхөн тэр мөчид юу хийх ёстойгоо л мэддэг. Гэхдээ бөөмс аль замыг сонгохоо “шийддэг” гэдгийг сонсоход таны бүх шалтгаан, үр дагаврын зөн совин сэргэж, хамгийн бага үйлдэл хийхийг эрмэлздэг. Тэр хөрш зэргэлдээх замуудыг "үнэрлэж", тэдгээр нь юунд хүргэхийг олж мэдээд байгаа юм биш үү? Фотонууд бүх замыг туршиж чадахгүй байхаар гэрлийн замд дэлгэц байрлуулахад тэд аль замаар явахаа шийдэж чадахгүй байгааг олж мэдээд дифракцийн үзэгдлийг олж авсан.
Гэхдээ энэ нь механикийн хувьд бас үнэн үү? Бөөмс зөвхөн "зөв замаар явдаг" төдийгүй бусад төсөөлж болох бүх замналыг дахин авч үздэг нь үнэн үү? Хэрэв түүний замд саад тотгор учруулснаар бид түүнийг урагш харахыг зөвшөөрөхгүй бол дифракцийн үзэгдлийн ямар нэгэн аналогийг олж авах уу? Энэ бүхний хамгийн гайхалтай нь бүх зүйл үнэхээр ийм байгаа юм. Квант механикийн хуулиудад яг ингэж хэлдэг. Тиймээс бидний хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим бүрэн боловсруулагдаагүй байна. Энэ нь бөөмс хамгийн бага үйл ажиллагааны замыг сонгосонд оршдоггүй, харин хөрш зэргэлдээх бүх замыг "мэдэрч", үйл ажиллагаа нь хамгийн бага байх замыг сонгоход оршино, энэ сонголтын арга нь Гэрэл хамгийн богино хугацааг сонгох арга. Гэрэл хамгийн богино хугацааг сонгодог гэдгийг та санаж байна: хэрэв гэрэл өөр цаг хугацаа шаардсан замаар явбал өөр үе шаттайгаар ирнэ. Мөн зарим цэгийн нийт далайц нь гэрэл хүрч болох бүх замуудын далайцын хувь нэмэрийн нийлбэр юм. Фазууд нь эрс ялгаатай бүх замууд нь нэмсний дараа юу ч өгдөггүй. Гэхдээ хэрэв та бүхэл бүтэн замуудын дарааллыг олж чадсан бол үе шатууд нь бараг ижил байвал жижиг хувь нэмэр нэмэгдэх бөгөөд хүрэх цэг дээр нийт далайц мэдэгдэхүйц утгыг авах болно. Хамгийн чухал зам бол ойролцоо үе шатыг өгдөг олон ойрхон зам байдаг.
Квант механикт яг ижил зүйл тохиолддог. Бүрэн квант механик (харьцангуй бус ба электрон эргэлтийг үл тоомсорлодог) дараах байдлаар ажилладаг: бөөмс цэгээс гарах магадлал. 1 агшинд t 1, цэгт хүрэх болно 2 агшинд т 2 , магадлалын далайцын квадраттай тэнцүү байна. Нийт далайцыг бүх боломжит замуудын далайцын нийлбэр болгон бичиж болно - аливаа ирэх замд. Хэнд ч зориулав x(т), төсөөлж болох аливаа төсөөллийн замналын хувьд тохиолдож болох далайцыг тооцоолох шаардлагатай. Дараа нь бүгдийг нь нугалах хэрэгтэй. Бид тодорхой замын магадлалын далайцыг юу гэж үздэг вэ? Бидний үйл ажиллагааны интеграл нь хувь хүний замын далайц ямар байх ёстойг хэлж өгдөг. Далайц нь пропорциональ байна e tS/h, Хаана С - энэ зам дагуух үйл ажиллагаа. Энэ нь хэрэв бид далайцын фазыг комплекс тоогоор илэрхийлбэл фазын өнцөг нь тэнцүү байна гэсэн үг юм. С/ h. Үйлдэл С цаг хугацааны энергийн хэмжээстэй ба Планкийн тогтмол нь ижил хэмжээстэй байна. Энэ нь квант механик хэзээ хэрэгтэйг тодорхойлдог тогтмол үзүүлэлт юм.
Тэгээд бүх зүйл ингэж л ажилладаг. Бүх замд арга хэмжээ ав С тоотой харьцуулахад маш их байх болно h. Зарим зам нь тодорхой далайцын утга руу хөтөлнө. Зэргэлдээх замын үе шат нь огт өөр байх болно, учир нь асар том С бага зэрэг өөрчлөлтүүд ч гэсэн С үе шатыг огцом өөрчлөх (эцсийн эцэст hмаш бага). Энэ нь зэргэлдээх замууд ихэвчлэн нэмсэн тохиолдолд тэдний оруулсан хувь нэмрийг унтраадаг гэсэн үг юм. Зөвхөн нэг хэсэгт энэ нь үнэн биш юм - зам болон түүний хөрш хоёулаа хоёулаа ижил үе шаттай (эсвэл илүү нарийвчлалтай, бараг ижил үйлдэл, дотроо харилцан адилгүй байдаг) h).Зөвхөн ийм замыг харгалзан үздэг. Мөн хязгаарлах тохиолдолд, Планкийн тогтмол үед hтэглэх хандлагатай байгаа бол квант механикийн зөв хуулиудыг дараах байдлаар нэгтгэн дүгнэж болно: "Энэ бүх магадлалын далайцыг март. Бөөм нь яг тэр дагуух тусгай замаар хөдөлдөг С Эхний ойролцоолсноор өөрчлөгдөхгүй." Энэ бол хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим ба квант механикийн хоорондын холбоо юм. Квант механикийг ийм маягаар томьёолж болдог гэдгийг 1942 онд миний танд хэлсэн тэр багшийн шавь ноён Бадер нээсэн. [Квантын механикийг анх далайцын дифференциал тэгшитгэл (Шредингер) болон зарим матрицын математик (Хейзенберг) ашиглан томъёолсон.]
Одоо би физикийн хамгийн бага зарчмуудын талаар ярихыг хүсч байна. Энэ төрлийн олон сонирхолтой зарчмууд байдаг. Би бүгдийг нь жагсаахгүй, гэхдээ би зөвхөн нэгийг л нэрлэнэ. Хожим нь бид маш сайн наад захын зарчимтай физикийн нэг үзэгдэлд хүрэхэд би энэ тухай танд хэлэх болно. Одоо би талбайн дифференциал тэгшитгэлийг ашиглан электростатикийг дүрслэх шаардлагагүй гэдгийг харуулахыг хүсч байна; Үүний оронд зарим интеграл хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байхыг шаардаж болно. Эхлэхийн тулд цэнэгийн нягт нь хаа сайгүй мэдэгдэж байгаа тохиолдлыг авч үзье, гэхдээ бид сансар огторгуйн аль ч цэгээс потенциал φ-ийг олох хэрэгтэй. Хариулт нь дараахь байх ёстой гэдгийг та аль хэдийн мэдэж байсан.
Үүнтэй ижил зүйлийг хэлэх өөр нэг арга бол интегралыг үнэлэх явдал юм У*
энэ бол эзлэхүүний интеграл юм. Үүнийг бүх орон зайд авдаг. Зөв боломжит хуваарилалтаар φ (x, у,z) Энэ илэрхийлэл хамгийн багадаа хүрдэг.
Электростатиктай холбоотой эдгээр мэдэгдлүүд хоёулаа тэнцүү гэдгийг бид харуулж чадна. Бид дурын φ функцийг сонгосон гэж үзье. Бид φ гэж авбал боломжит _φ ба жижиг хазайлт f-ийн зөв утгыг авбал жижиг байдлын эхний эрэмбэд өөрчлөлт гарна гэдгийг харуулахыг хүсч байна. У*
тэгтэй тэнцүү байх болно. Тиймээс бид бичдэг
энд φ нь бидний хайж байгаа зүйл юм; гэхдээ бид өөрчлөлтийн тулд ямар байх ёстойг харахын тулд φ-ийг өөрчилнө У*
анхны жижиг зэрэглэлийнх болж хувирав. Эхний улиралд У*
бид бичих хэрэгтэй
Үүнийг нэгтгэх шаардлагатай байна x, yболон өөр z.
Мөн энд нэг заль мэх нь өөрийгөө санал болгож байна: ангижрахын тулд df/
dx,
бид нэгтгэх болно Xхэсгүүдэд. Энэ нь φ-тэй холбоотой нэмэлт ялгааг бий болгоно X.Энэ бол бидний деривативаас ангижрах үндсэн санаа юм т.
Бид тэгш байдлыг ашигладаг
Бид f-г хязгааргүйд тэг гэж авдаг учраас нэгдсэн нэр томъёо нь тэг байна. (Энэ нь η алга болохтой тохирч байна т 1
Тэгээд т 2
.
Тиймээс бидний зарчмыг дараах байдлаар илүү нарийн томъёолсон болно. У*
барууны төлөө φ
бусадтай харьцуулахад бага φ(x, y,z),
Хязгааргүй үед ижил утгатай байх.) Дараа нь бид ижил зүйлийг хийх болно цагтмөн z-тэй. Бидний интеграл ΔU* болж хувирна
Дурын f-ийн хувьд энэ өөрчлөлт тэгтэй тэнцүү байхын тулд f-ийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байх ёстой. гэсэн үг,
Бид хуучин тэгшитгэлдээ буцаж ирлээ. Энэ нь бидний “хамгийн бага” санал зөв гэсэн үг. Тооцооллыг бага зэрэг өөрчилсөн тохиолдолд үүнийг ерөнхийд нь хэлж болно. Бүх зүйлийг бүрэлдэхүүн хэсэг болгон тайлбарлахгүйгээр буцаж, хэсэг хэсгээр нь нэгтгэе. Дараах тэгш байдлыг бичиж эхэлцгээе.
Зүүн талыг ялгаж салгаснаар энэ нь баруун талтай яг тэнцүү гэдгийг харуулж чадна. Энэ тэгшитгэл нь хэсгүүдийн интеграцийг гүйцэтгэхэд тохиромжтой. Бидний интегралд ΔU*
бид солино Vφ*Vf nба fV 2 φ+V*(fVφ) ба дараа нь үүнийг эзлэхүүн дээр нэгтгэнэ. Эзлэхүүн дээр интеграл хийсний дараа ялгарах нэр томъёог гадаргуу дээрх интегралаар солино.
Мөн бид бүхэл бүтэн орон зайд интегралддаг тул энэ интеграл дахь гадаргуу нь хязгааргүйд оршдог. Энэ нь f=0 гэсэн үг бөгөөд бид ижил үр дүнд хүрнэ.
Одоо л бид тулгарч буй асуудлаа хэрхэн шийдвэрлэхээ ойлгож эхэлж байна бид мэдэхгүйбүх төлбөр хаана байрладаг. Ямар нэгэн байдлаар цэнэгийг хуваарилдаг дамжуулагчтай болцгооё. Хэрэв бүх дамжуулагч дээрх потенциалууд тогтмол байвал бидний хамгийн бага зарчмыг дагаж мөрдөхийг зөвшөөрнө. -д нэгтгэх У*
бид зөвхөн бүх дамжуулагчийн гадна байрлах талбайн дагуу зурах болно. Гэхдээ бид дамжуулагч дээр (φ) өөрчлөгдөж чадахгүй тул тэдгээрийн гадаргуу дээр f = 0, гадаргуугийн интеграл.
зөвхөн дамжуулагчийн хоорондох зайд хийх шаардлагатай. Мэдээжийн хэрэг бид Пуассоны тэгшитгэлийг дахин авна
Тиймээс бид анхны интеграл гэдгийг харуулсан У*
Энэ нь тус бүр нь тогтмол потенциалтай байдаг дамжуулагчийн хоорондох зайд тооцоолсон ч хамгийн багадаа хүрдэг [энэ нь туршилтын функц бүр φ(g, у,z)
үед заасан дамжуулагчийн потенциалтай тэнцүү байх ёстой (х, у,z)
- дамжуулагчийн гадаргуугийн цэгүүд]. Цэнэгүүд зөвхөн дамжуулагч дээр байрладаг сонирхолтой онцгой тохиолдол байдаг. Дараа нь
Бидний хамгийн бага зарчим нь дамжуулагч бүр өөрийн гэсэн урьдчилан тодорхойлсон потенциалтай тохиолдолд тэдгээрийн хоорондын зай дахь потенциалыг интеграл байхаар тохируулдаг гэдгийг хэлдэг. У* аль болох бага болж хувирдаг. Энэ ямар төрлийн интеграл вэ? Vφ гэсэн нэр томъёо нь цахилгаан орон юм. Энэ нь интеграл нь цахилгаан статик энерги гэсэн үг юм. Зөв талбар бол боломжит градиент хэлбэрээр олж авсан бүх талбаруудаас хамгийн бага нийт энергитэй цорын ганц талбар юм.
Би энэ үр дүнг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж, эдгээр бүх зүйл бодит практик ач холбогдолтой гэдгийг харуулахыг хүсч байна. Би цилиндр конденсатор хэлбэрээр хоёр дамжуулагчийг авлаа гэж бодъё.
Дотоод дамжуулагч нь дараахтай тэнцүү потенциалтай байна. В,
гаднах хувьд - тэг. Дотор дамжуулагчийн радиусыг тэнцүү болго А,болон гадаад - б.Одоо бид тэдгээрийн хоорондох потенциалын хуваарилалт гэж үзэж болно ямар ч.Гэхдээ бид авбал зөвφ-ийн утга ба тооцоолно
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 дВдараа нь системийн энерги 1/2CV 2 байх ёстой.
Тиймээс бидний зарчмыг ашиглан та хүчин чадлыг тооцоолж болно ХАМТ.Хэрэв бид буруу боломжит хуваарилалтыг авч, энэ аргыг ашиглан конденсаторын багтаамжийг тооцоолохыг оролдвол тогтмол конденсаторын хувьд хэт их багтаамжийн утгад хүрэх болно. В. Бодит утгатай яг таарахгүй байгаа аливаа тооцоолсон боломжит φ нь мөн C-ийн буруу утгыг шаардлагатай хэмжээнээс их болгоход хүргэдэг. Гэхдээ буруу сонгогдсон боломжит cp нь ойролцоогоор ойролцоо хэвээр байвал багтаамж ХАМТсайн нарийвчлалтай гарах болно, учир нь C дахь алдаа нь φ-ийн алдаатай харьцуулахад хоёр дахь эрэмбийн утга юм.
Би цилиндр конденсаторын багтаамжийг мэдэхгүй гэж бодъё. Дараа нь түүнийг танихын тулд би энэ зарчмыг ашиглаж болно. Би хамгийн бага утгад хүрэх хүртлээ φ-ийн янз бүрийн функцийг боломжит байдлаар туршиж үзэх болно ХАМТ.Жишээлбэл, би тогтмол талбарт тохирох потенциалыг сонгосон гэж бодъё. (Мэдээж та энд байгаа талбар нь тогтмол биш гэдгийг мэдэж байгаа; энэ нь 1/r-ээр хэлбэлздэг) Хэрэв талбай тогтмол байвал потенциал нь зайнаас шугаман хамааралтай гэсэн үг. Дамжуулагч дээрх хүчдэл шаардлагатай байхын тулд φ функц нь хэлбэртэй байх ёстой
Энэ функц нь тэнцүү байна В
цагт r=a, r үед тэг =b,тэдгээрийн хооронд тогтмол налуу байна - В/(б—A).Тиймээс интегралыг тодорхойлох У*,
Та энэ градиентийн квадратыг ε o /2-оор үржүүлж, бүх эзлэхүүнийг нэгтгэх хэрэгтэй. Нэгж урттай цилиндрт энэ тооцоог хийцгээе. Радиус дээрх эзлэхүүний элемент r 2πrd-тэй тэнцүү. Интеграцчлалыг хийхдээ миний анхны туршилт дараах хүчин чадлыг өгдөг болохыг олж мэдэв.
Тиймээс би хүчин чадлын томъёог олж авсан бөгөөд энэ нь буруу боловч зарим төрлийн ойролцоо утгатай юм:
Мэдээж зөв хариултаас өөр C=2πε 0 /ln (b/a),гэхдээ ерөнхийдөө тийм ч муу биш. Үүнийг хэд хэдэн утгын зөв хариулттай харьцуулахыг хичээцгээе б/а.Миний тооцоолсон тоонуудыг дараах хүснэгтэд үзүүлэв.
Хэзээ ч гэсэн б/а=2(мөн энэ нь аль хэдийн тогтмол болон шугаман талбаруудын хооронд нэлээд том ялгаад хүргэдэг) би нэлээд боломжийн ойролцоо дүгнэлтийг олж авсаар байна. Хариулт нь мэдээжийн хэрэг хүлээгдэж буйчлан арай хэт өндөр байна. Гэхдээ том цилиндр дотор нимгэн утсыг байрлуулсан бол бүх зүйл илүү муу харагдаж байна. Дараа нь талбар маш их өөрчлөгдөж, түүнийг тогтмол талбараар солих нь сайн зүйлд хүргэхгүй. b/a = 100 үед бид хариултыг бараг хоёр дахин их үнэлдэг. Жижигхэнд зориулсан б/абайдал хамаагүй дээр харагдаж байна. Эсрэг хязгаарт, дамжуулагчийн хоорондох зай тийм ч өргөн биш байх үед (b/a = 1.1-ийн хувьд) тогтмол талбар нь маш сайн ойролцоо утгатай болж, энэ нь утгыг өгдөг. ХАМТаравны нэг хувь хүртэл нарийвчлалтай.
Одоо би энэ тооцоог хэрхэн сайжруулахыг танд хэлэх болно. (Цилиндрийн хариулт нь мэдээжийн хэрэг, алдартай,гэхдээ зөв хариултыг нь мэдэхгүй байж болох зарим нэг ер бусын конденсаторын хэлбэрт ч мөн адил арга ажиллана.) Дараагийн алхам бол үл мэдэгдэх жинхэнэ потенциал φ-ийн илүү сайн ойролцооллыг олох явдал юм. Тогтмол дээр нэмэх нь φ илтгэгч гэх мэтийг шалгаж болно гэж бодъё. Гэхдээ хэрэв та жинхэнэ φ-ийг мэдэхгүй бол хамгийн сайн ойролцоолсон гэдгээ яаж мэдэх вэ? Хариулт:Тоолчих WITH;бага байх тусам үнэнд ойртоно. Энэ санааг туршиж үзье. Потенциал нь шугаман биш, харин r-д квадрат, цахилгаан орон нь тогтмол биш, харин шугаман байна. Хамгийн ерөнхийүед φ=O болж хувирдаг квадрат хэлбэр r=бба φ=F үед r=a,энэ нь:
Энд α нь тогтмол тоо юм. Энэ томъёо нь өмнөхөөсөө арай илүү төвөгтэй юм. Үүнд квадрат болон шугаман нэр томъёо хоёулаа багтана. Үүнээс талбай авах нь маш амархан. Энэ нь энгийнтэй тэнцүү юм
Одоо үүнийг квадрат болгож, эзлэхүүн дээр нэгтгэх хэрэгтэй. Гэхдээ түр хүлээнэ үү. α-ийн хувьд би юу авах ёстой вэ? Би f-г парабол гэж ойлгож болох ч аль нь вэ? Би дараах зүйлийг хийх болно: хүчин чадлыг тооцоолох дурын α.би авна
Энэ нь бага зэрэг төөрөгдөлтэй харагдаж байгаа ч талбайн квадратыг нэгтгэсний дараа ийм болж байна. Одоо би өөрөө сонгож болно. Үнэн миний тооцоолох гэж байгаа бүх зүйлээс доогуур байгааг би мэднэ. Би a-ийн оронд юу ч тавьсан хамаагүй хариулт нь хэтэрхий том хэвээр байх болно. Гэхдээ би α-тай тоглоомоо үргэлжлүүлж, боломжит хамгийн бага үнэ цэнэд хүрэхийг хичээвэл ХАМТ,тэгвэл энэ хамгийн бага үнэ цэнэ нь бусад үнэ цэнээс илүү үнэнд ойр байх болно. Тиймээс би одоо α-г сонгох хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр үнэ цэнэ ХАМТдоод хэмжээндээ хүрсэн байна. Энгийн дифференциал тооцоолол руу шилжихэд би хамгийн бага гэдэгт итгэлтэй байна ХАМТα =— үед байх болно 2
б/(б+а).
Энэ утгыг томъёонд орлуулснаар би хамгийн бага багтаамжийг авна
Энэ томъёо нь юу болохыг олж мэдсэн ХАМТөөр өөр утгуудад б/а.Би эдгээр тоонуудыг нэрлэсэн ХАМТ(квадрат). Энд харьцуулсан хүснэгт байна ХАМТ(квадрат) хамт ХАМТ(үнэн).
Жишээлбэл, радиусын харьцаа 2: 1 байхад би 1.444 болно. Энэ нь зөв хариулт болох 1.4423 гэсэн маш сайн ойролцоо байна. Том хэмжээтэй ч гэсэн ЯОйролцоо нь нэлээд сайн хэвээр байгаа бөгөөд эхний ойролцоолоос хамаагүй дээр. Энэ нь b/a = 10: 1 байсан ч тэсвэрлэх чадвартай хэвээр байна (зөвхөн 10% -иар хэтрүүлсэн). Их хэмжээний зөрүү нь зөвхөн 100: 1 харьцаатай байдаг. ХАМТ 0.267-ийн оронд 0.346-тай тэнцүү байна. Нөгөөтэйгүүр, радиусын харьцаа нь 1.5-ын хувьд энэ нь маш сайн тохирдог б/а=1.1Хариулт нь хүлээгдэж буй 10.492070 биш харин 10.492065 байна. Сайн хариултыг хүлээж байсан газар энэ нь маш сайн болж хувирдаг.
Би эдгээр бүх жишээг нэгдүгээрт, хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим ба ерөнхийдөө хамгийн бага зарчмын онолын үнэ цэнийг харуулах, хоёрдугаарт, хүчин чадлыг тооцоолохын тулд огт биш харин практик ач холбогдолтой болохыг харуулахын тулд өгсөн. Бид аль хэдийн байгаа гэдгийг бид маш сайн мэддэг. Бусад ямар ч хэлбэрийн хувьд та үл мэдэгдэх хэд хэдэн параметртэй (α гэх мэт) ойролцоо талбарыг оролдож, тэдгээрийг хамгийн бага хэмжээнд тохируулж болно. Та өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлуудын талаар илүү сайн тоон үр дүнд хүрэх болно.
Тэд үүнийг дагаж мөрддөг тул энэ зарчим нь орчин үеийн физикийн гол заалтуудын нэг юм. Түүний тусламжтайгаар олж авсан хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Зарчмын анхны томьёоллыг П.Маупертуйс он онд өгсөн бөгөөд оптик, механикт хэрэглэх боломжтой гэж үзэн түүний бүх нийтийн шинж чанарыг нэн даруй зааж өгсөн. Энэ зарчмаас тэрээр гэрлийн тусгал, хугарлын хуулиудыг гаргаж авсан.
Өгүүллэг
Орчлон ертөнцийг төгс төгөлдөр болгохын тулд байгальд тодорхой хэмнэлт шаардагддаг бөгөөд ямар ч ашиггүй энерги зарцуулалттай зөрчилддөг гэсэн мэдрэмжээс Мопертуйс энэ зарчимд хүрсэн. Байгалийн хөдөлгөөн нь тодорхой тоо хэмжээг хамгийн бага хэмжээнд хүргэх ёстой. Түүний хийх ёстой зүйл бол энэ үнэ цэнийг олох явдал байсан бөгөөд тэр үргэлжлүүлэн хийсээр байв. Энэ нь системийн доторх хөдөлгөөний үргэлжлэх хугацааны (цаг хугацааны) үржвэрээс хоёр дахин их утгатай байсан бөгөөд үүнийг бид одоо системийн кинетик энерги гэж нэрлэдэг.
Эйлер (ин "Байгалийн эргэн тойрон дахь рефлексүүд", 1748) хамгийн бага хэмжээний үйл ажиллагааны зарчмыг баталж, үйлдлийг "хүчин чармайлт" гэж нэрлэдэг. Статик дахь түүний илэрхийлэл нь бидний одоо потенциал энерги гэж нэрлэх зүйлтэй тохирч байгаа тул статик дахь хамгийн бага үйл ажиллагааны мэдэгдэл нь тэнцвэрийн тохиргооны хамгийн бага боломжит энергийн нөхцөлтэй тэнцүү байна.
Сонгодог механикт
Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь механикийн Лагранж ба Гамильтоны томъёоллын үндсэн ба стандарт үндэс болдог.
Эхлээд барилгын ажлыг дараах байдлаар харцгаая. Лагранжийн механик. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий физик системийн жишээг ашиглан үйлдэл нь (ерөнхий) координатын хувьд функциональ гэдгийг санаарай (нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөний хувьд - нэг координат), өөрөөр хэлбэл үүнийг дараах байдлаар илэрхийлдэг. функцийн төсөөлж болох хувилбар бүр нь тодорхой тоо - үйлдэлтэй холбоотой байдаг (энэ утгаараа үйл ажиллагааны хувьд үйлдэл нь тухайн функцэд сайн тодорхойлсон тоог тооцоолох боломжийг олгодог дүрэм гэж хэлж болно - үүнийг мөн гэж нэрлэдэг. үйлдэл). Үйлдэл нь дараах байдлаар харагдаж байна.
системийн Лагранж хаана байна, ерөнхий координат, түүний цаг хугацааны талаархи анхны дериватив, мөн магадгүй цаг хугацааны хувьд тодорхой байна. Хэрэв систем илүү олон тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй бол Лагранж нь илүү олон тооны ерөнхий координатууд ба тэдгээрийн анхны деривативуудаас цаг хугацааны хувьд хамаарна. Тиймээс үйлдэл нь биеийн замналаас хамааран скаляр функциональ юм.
Үйлдэл нь скаляр байдаг нь үүнийг ямар ч ерөнхий координатаар бичихэд хялбар болгодог бөгөөд гол зүйл нь системийн байрлал (тохиргоо) нь тэдгээрээр тодорхойлогддог (жишээлбэл, декартын координатуудын оронд эдгээр нь туйлтай байж болно. координат, системийн цэгүүдийн хоорондох зай, өнцөг эсвэл тэдгээрийн функц гэх мэт.d.).
Хэчнээн "зэрлэг", "байгалийн бус" байсан ч хамаагүй дур зоргоороо үйлдлийг тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч сонгодог механикт бүх боломжит замналуудын дунд зөвхөн нэг бие нь явах боломжтой байдаг. Хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчим нь бие хэрхэн хөдлөх вэ гэсэн асуултын хариултыг яг таг өгдөг.
Энэ нь хэрэв системийн Лагранжийг өгөгдсөн бол вариацын тооцоог ашиглан эхлээд хөдөлгөөний тэгшитгэл буюу Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэлийг олж аваад дараа нь тэдгээрийг шийдвэрлэх замаар бие яг хэрхэн хөдлөхийг тогтоож чадна гэсэн үг юм. Энэ нь зөвхөн механикийн томъёоллыг нухацтай нэгтгэх төдийгүй, зөвхөн декартаар хязгаарлагдахгүй, тодорхой асуудал бүрийн хувьд хамгийн тохиромжтой координатыг сонгох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн хялбар шийдэгдсэн тэгшитгэлийг олж авахад маш их хэрэгтэй болно.
Энэ системийн Хамилтон функц хаана байна; - (ерөнхий) координатууд, - нэгтгэсэн (ерөнхий) импульс нь тухайн цаг мөч бүрт системийн динамик төлөвийг тодорхойлдог бөгөөд тус бүр нь цаг хугацааны функц бөгөөд ингэснээр системийн хувьсал (хөдөлгөөн) -ийг тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Гамильтоны каноник тэгшитгэл хэлбэрээр олж авахын тулд энэ аргаар бичсэн үйлдлийг бүгдийг болон .
Хэрэв асуудлын нөхцлөөс зарчмын хувьд хөдөлгөөний хуулийг олох боломжтой бол энэ нь автоматаар болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үгүйжинхэнэ хөдөлгөөний үед хөдөлгөөнгүй утгыг авах функцийг бүтээх боломжтой гэсэн үг. Үүний нэг жишээ бол цахилгаан соронзон орон дахь цахилгаан цэнэг ба монополь - соронзон цэнэгийн хамтарсан хөдөлгөөн юм. Тэдний хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчмаас гаргаж болохгүй. Үүний нэгэн адил зарим Гамильтоны системүүд энэ зарчмаас гаргаж авах боломжгүй хөдөлгөөний тэгшитгэлтэй байдаг.
Жишээ
Өчүүхэн жишээнүүд нь Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэлээр дамжуулан үйл ажиллагааны зарчмын ашиглалтыг үнэлэхэд тусалдаг. Чөлөөт бөөмс (масс мболон хурд v) Евклидийн орон зайд шулуун шугамаар хөдөлдөг. Эйлер-Лагранж тэгшитгэлийг ашиглан үүнийг туйлын координатаар дараах байдлаар харуулж болно. Потенциал байхгүй тохиолдолд Лагранж функц нь кинетик энергитэй тэнцүү байна
ортогональ координатын системд.
Туйлын координатуудад кинетик энерги, улмаар Лагранжийн функц болдог
Тэгшитгэлийн радиаль ба өнцгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь дараах байдалтай байна.
Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Энд бүх замналын х(t) дээр хязгааргүй олон функциональ интеграцчлах нөхцөлт тэмдэглэгээ байна. Энэ нь Планкийн тогтмол юм. Зарчмын хувьд квант механик дахь хувьслын операторыг судлах үед экспоненциал дахь үйлдэл нь өөрөө гарч ирдэг (эсвэл гарч ирж болно), гэхдээ яг сонгодог (квант бус) аналогтой системүүдийн хувьд энэ нь ердийнхтэй яг тэнцүү гэдгийг бид онцолж байна. сонгодог үйлдэл.
Сонгодог хязгаар дахь энэ илэрхийллийн математик шинжилгээ - хангалттай том, өөрөөр хэлбэл төсөөллийн экспоненциалын маш хурдан хэлбэлзлийн хувьд - энэ интеграл дахь бүх боломжит замналуудын дийлэнх олонхи нь хязгаарт бие биенээ цуцалж байгааг харуулж байна (албан ёсоор хувьд). Бараг ямар ч замд фазын шилжилт нь яг эсрэгээрээ байх зам байдаг бөгөөд тэдгээр нь тэг хувь нэмэр оруулах болно. Зөвхөн үйл ажиллагаа нь туйлын үнэ цэнэтэй (ихэнх системүүдийн хувьд - хамгийн багадаа) ойртох замналыг бууруулдаггүй. Энэ бол нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолын цэвэр математикийн баримт юм; Жишээлбэл, суурин фазын арга нь үүн дээр суурилдаг.
Үүний үр дүнд бөөмс нь квант механикийн хуулиудад бүрэн нийцэж, бүх траекторын дагуу нэгэн зэрэг хөдөлдөг боловч хэвийн нөхцөлд зөвхөн хөдөлгөөнгүй (өөрөөр хэлбэл сонгодог) ойролцоо траекторууд ажиглагдсан утгуудад хувь нэмэр оруулдаг. Квант механик нь өндөр энергийн хязгаарт сонгодог механик болж хувирдаг тул бид үүнийг үйл ажиллагааны тогтворгүй байдлын сонгодог зарчмын квант механик гаралт.
Квант талбайн онолд
Квантын талбайн онолд хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчмыг мөн амжилттай ашигладаг. Энд байгаа Лагранжийн нягтралд харгалзах квант талбайн операторууд багтана. Хэдийгээр үйл ажиллагааны тогтворгүй байдлын зарчмын тухай биш харин эдгээр талбаруудын тохиргоо эсвэл фазын орон зай дахь траекторийн дагуу Фейнман интеграцчлалын тухай ярих нь үндсэндээ (сонгодог хязгаар ба хэсэгчилсэн сонгодогуудаас бусад) илүү зөв юм. сая дурдсан Лагранжийн нягт.
Цаашдын ерөнхий дүгнэлт
Илүү өргөнөөр авч үзвэл үйлдлийг тохиргооны орон зайгаас бодит тоонуудын олонлог хүртэлх зураглалыг тодорхойлдог функц гэж ойлгодог бөгөөд ерөнхийдөө энэ нь интеграл байх албагүй, учир нь локал бус үйлдэл нь зарчмын хувьд боломжтой байдаг. онолын хувьд. Түүгээр ч зогсохгүй тохиргооны орон зай нь функциональ орон зай байх албагүй, учир нь энэ нь шилжихгүй геометртэй байж болно.
