Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь Δ функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. yаргументийн өсөлт рүү Δ x:

Бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ энэ томъёог ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж үзээрэй е(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xнүгэл x. Хэрэв та бүх зүйлийг тодорхойлолтоор хийвэл хэдэн хуудас тооцоо хийсний дараа та зүгээр л унтах болно. Тиймээс илүү энгийн бөгөөд үр дүнтэй аргууд байдаг.

Эхлэхийн тулд бид бүх төрлийн функцүүдээс энгийн функц гэж нэрлэгддэг функцүүдийг ялгаж салгаж болно гэдгийг тэмдэглэж байна. Эдгээр нь харьцангуй энгийн илэрхийллүүд бөгөөд деривативуудыг удаан хугацаанд тооцоолж, хүснэгтэд оруулав. Ийм функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт санахад хялбар байдаг.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

Үндсэн функцууд нь доор жагсаасан бүх функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг цээжээр мэддэг байх ёстой. Түүнээс гадна тэдгээрийг цээжлэх нь тийм ч хэцүү биш - тиймээс тэд анхан шатны шинж чанартай байдаг.

Тиймээс, үндсэн функцүүдийн деривативууд:

Нэр	Чиг үүрэг	Дериватив
Тогтмол	е(x) = C, C ∈ Р	0 (тийм ээ, тэг!)
Рационал үзүүлэлттэй хүч	е(x) = x n	n · x n − 1
Синус	е(x) = нүгэл x	cos x
Косинус	е(x) = cos x	- нүгэл x(хасах синус)
Тангенс	е(x) = тг x	1/cos 2 x
Котангенс	е(x) = ctg x	− 1/нүгэл 2 x
Байгалийн логарифм	е(x) = бүртгэл x	1/x
Дурын логарифм	е(x) = бүртгэл а x	1/(x ln а)
Экспоненциал функц	е(x) = д x	д x(юу ч өөрчлөгдөөгүй)

Хэрэв энгийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл шинэ функцийн деривативыг хялбархан тооцоолно.

(C · е)’ = C · е ’.

Ерөнхийдөө деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авч болно. Жишээлбэл:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Мэдээжийн хэрэг, энгийн функцуудыг бие биендээ нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжтой. Ийм байдлаар шинэ функцууд гарч ирэх бөгөөд энэ нь ялангуяа энгийн байхаа больсон боловч тодорхой дүрмийн дагуу ялгаатай байх болно. Эдгээр дүрмийг доор авч үзэх болно.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив

Функцуудыг өгье е(x) Мөн g(x), деривативууд нь бидэнд мэдэгддэг. Жишээлбэл, та дээр дурдсан үндсэн функцуудыг авч болно. Дараа нь та эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны деривативыг олох боломжтой.

1. (е + g)’ = е ’ + g ’
2. (е − g)’ = е ’ − g ’

Тэгэхээр хоёр функцийн нийлбэр (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна. Илүү олон нэр томъёо байж болно. Жишээлбэл, ( е + g + h)’ = е ’ + g ’ + h ’.

Хатуухан хэлэхэд алгебрт "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Сөрөг элемент" гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс ялгаа е − gнийлбэр болгон дахин бичиж болно е+ (−1) g, дараа нь зөвхөн нэг томъёо үлдэнэ - нийлбэрийн дериватив.

е(x) = x 2 + нүгэл х; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцийн нийлбэр тул:

е ’(x) = (x 2 + нүгэл x)’ = (x 2)' + (нүгэл x)’ = 2x+ cos x;

Бид функцийг ижил төстэй шалтгаанаар тайлбарладаг g(x). Зөвхөн гурван нэр томъёо байдаг (алгебрийн үүднээс):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Хариулт:
е ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Бүтээгдэхүүний дериватив

Математик бол логик шинжлэх ухаан тул олон хүн нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн бүтээгдэхүүний дериватив гэж олон хүн үздэг. ажил хаях"> деривативын үржвэртэй тэнцүү байна. Гэхдээ та эргэлзээрэй! Бүтээгдэхүүний деривативыг огт өөр томъёогоор тооцдог. Тухайлбал:

(е · g) ’ = е ’ · g + е · g ’

Томъёо нь энгийн боловч ихэнхдээ мартагддаг. Зөвхөн сургуулийн сурагчид төдийгүй оюутнууд ч гэсэн. Үр дүн нь буруу шийдэгдсэн асуудлууд юм.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцын бүтээгдэхүүн тул бүх зүйл энгийн:

е ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− нүгэл x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x)

Чиг үүрэг g(x) эхний хүчин зүйл нь арай илүү төвөгтэй боловч ерөнхий схемэнэ өөрчлөгдөхгүй. Мэдээжийн хэрэг, функцийн эхний хүчин зүйл g(x) нь олон гишүүнт ба дериватив нь нийлбэрийн дериватив юм. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · д x + (x 2 + 7x− 7) · ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .

Хариулт:
е ’(x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x);
g ’(x) = x(x+ 9) · д x .

Сүүлийн шатанд деривативыг хүчин зүйлээр ангилдаг болохыг анхаарна уу. Албан ёсоор үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ ихэнх деривативуудыг дангаар нь тооцдоггүй, харин функцийг шалгахын тулд хийдэг. Энэ нь цаашид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, түүний тэмдгүүдийг тодорхойлох гэх мэт болно гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон хуваах нь дээр.

Хэрэв хоёр функц байгаа бол е(x) Мөн g(x), ба g(x) Бидний сонирхож буй олонлог дээр ≠ 0, бид тодорхойлж болно шинэ шинж тэмдэг h(x) = е(x)/g(x). Ийм функцийн хувьд та деривативыг олж болно:

Сул биш, тийм үү? Хасах нь хаанаас ирсэн бэ? Яагаад g 2? Мөн үүн шиг! Энэ бол хамгийн төвөгтэй томъёонуудын нэг бөгөөд та үүнийг лонхгүйгээр олж чадахгүй. Тиймээс үүнийг тодорхой жишээн дээр судлах нь дээр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Бутархай тус бүрийн тоологч ба хуваагч нь энгийн функцуудыг агуулдаг тул бидэнд хэрэгтэй зүйл бол энэ хэсгийн деривативын томъёо юм.

Уламжлал ёсоор тоологчийг хүчин зүйл болгон хувацгаая - энэ нь хариултыг ихээхэн хялбаршуулах болно:

Нарийн төвөгтэй функц нь хагас километрийн урттай томьёо байх албагүй. Жишээлбэл, функцийг авахад хангалттай е(x) = нүгэл xболон хувьсагчийг солино x, дээр гэж хэлье x 2 + лн x. Энэ нь бүтэх болно е(x) = нүгэл ( x 2 + лн x) - энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь мөн деривативтай боловч дээр дурдсан дүрмийн дагуу үүнийг олох боломжгүй болно.

Би юу хийх хэрэгтэй вэ? Ийм тохиолдолд нийлмэл функцийн деривативын хувьсагч болон томъёог орлуулах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.

е ’(x) = е ’(т) · т', Хэрэв x-ээр солигдоно т(x).

Дүрмээр бол энэ томьёог ойлгох нөхцөл байдал нь хуваалтын деривативаас ч илүү гунигтай байдаг. Тиймээс үүнийг тодорхой жишээн дээр тайлбарлах нь дээр Дэлгэрэнгүй тодорхойлолталхам бүр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = д 2x + 3 ; g(x) = нүгэл ( x 2 + лн x)

Хэрэв функцэд байгаа бол гэдгийг анхаарна уу е(x) илэрхийлэл 2-ын оронд x+ 3 амархан байх болно x, дараа нь бид энгийн функцийг авна е(x) = д x. Тиймээс, бид орлуулалт хийдэг: 2-ыг зөвшөөрье x + 3 = т, е(x) = е(т) = д т. Бид нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор хайдаг.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг: т = 2x+ 3. Бид дараахыг авна:

е ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3

Одоо функцийг харцгаая g(x). Үүнийг солих шаардлагатай нь ойлгомжтой x 2 + лн x = т. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (нүгэл т)’ · т’ = cos т · т ’

Урвуу солих: т = x 2 + лн x. Дараа нь:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Тэгээд л болоо! Сүүлийн илэрхийллээс харахад бүх асуудлыг үүсмэл нийлбэрийг тооцоолох хүртэл багасгасан.

Хариулт:
е ’(x) = 2 · д 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) учир нь ( x 2 + лн x).

Хичээлдээ би "үүсмэл" гэсэн нэр томъёоны оронд "анхны" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, нийлбэрийн цохилт нь цус харвалтын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь илүү ойлгомжтой юу? За, сайн байна.

Тиймээс деривативыг тооцоолох нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу эдгээр ижил цохилтоос ангижрахад хүргэдэг. Эцсийн жишээ болгон рационал илтгэгчтэй дериватив хүчин рүү буцъя:

(x n)’ = n · x n − 1

Цөөхөн хүн дүрд нь үүнийг мэддэг nбутархай тоо байж магадгүй. Жишээлбэл, үндэс нь x 0.5. Үндэс дор нь ямар нэгэн гоёмсог зүйл байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд үр дүн нь нарийн төвөгтэй функц байх болно - тэд ийм барилга байгууламжийг өгөх дуртай туршилтуудболон шалгалтууд.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Эхлээд язгуурыг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр дахин бичье.

е(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Одоо бид орлуулалт хийж байна: зөвшөөрөх x 2 + 8x − 7 = т. Бид дараах томъёог ашиглан деривативыг олно.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (т 0.5)’ · т’ = 0.5 · т−0.5 · т ’.

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе: т = x 2 + 8x− 7. Бидэнд:

е ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Эцэст нь, үндэс рүү буцах:

Дериватив

Математик функцийн деривативыг (ялгаалах) тооцоолох нь дээд математикийг шийдвэрлэхэд маш түгээмэл асуудал юм. Энгийн (анхан) математикийн функцүүдийн хувьд энэ нь нэлээд энгийн асуудал юм, учир нь анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтүүдийг эртнээс эмхэтгэсэн бөгөөд хялбархан ашиглах боломжтой. Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй математик функцийн деривативыг олох нь тийм ч энгийн ажил биш бөгөөд ихэвчлэн ихээхэн хүчин чармайлт, цаг хугацаа шаарддаг.

Деривативыг онлайнаар олоорой

Манай онлайн үйлчилгээутгагүй урт тооцооноос салах боломжийг танд олгоно деривативыг онлайнаар олохнэг агшинд. Түүнчлэн, вэбсайт дээр байрлах манай үйлчилгээг ашиглан www.site, та тооцоолж болно онлайн деривативяажаас үндсэн функц, мөн шийдэлгүй маш нарийн төвөгтэй зүйлүүдээс аналитик хэлбэр. Манай сайтын бусадтай харьцуулахад гол давуу тал нь: 1) деривативыг тооцоолох математикийн функцийг оруулах аргад хатуу шаардлага байхгүй (жишээлбэл, синус x функцийг оруулахдаа sin x эсвэл sin гэж оруулж болно. (x) эсвэл sin[x] гэх мэт d.); 2) онлайн дериватив тооцоо нь горимд шууд явагддаг онлайнмөн туйлын үнэгүй; 3) функцийн деривативыг олох боломжийг бид танд олгоно ямар ч захиалга, деривативын дарааллыг өөрчлөх нь маш хялбар бөгөөд ойлгомжтой; 4) бид танд бараг бүх математикийн функцын деривативыг, тэр ч байтугай бусад үйлчилгээгээр шийдэж чадахгүй маш нарийн төвөгтэй функцийг олох боломжийг олгодог. Өгөгдсөн хариулт нь үргэлж үнэн зөв бөгөөд алдаа агуулсан байж болохгүй.

Манай серверийг ашигласнаар 1) үүсмэл хувилбарыг онлайнаар тооцоолж, алдаа, үсгийн алдаа гаргаж болох цаг хугацаа шаардсан, уйтгартай тооцооллуудыг арилгах боломжтой; 2) хэрэв та математик функцийн деривативыг өөрөө тооцоолсон бол бид танд олж авсан үр дүнг манай үйлчилгээний тооцоололтой харьцуулж, шийдэл зөв эсэхийг шалгах, эсвэл дотогш орсон алдааг олох боломжийг танд олгоно; 3) хүссэн функцийг олоход ихэвчлэн цаг хугацаа шаардагддаг энгийн функцүүдийн дериватив хүснэгтүүдийг ашиглахын оронд манай үйлчилгээг ашигла.

Та хийх ёстой бүх зүйл деривативыг онлайнаар олох- манай үйлчилгээг ашиглах явдал юм

Дериватив тооцоо- дифференциал тооцооллын хамгийн чухал үйлдлүүдийн нэг. Энгийн функцүүдийн деривативыг олох хүснэгтийг доор харуулав. Илүү нарийн төвөгтэй дүрэмялгах, бусад хичээлүүдийг үзнэ үү:

• Экспоненциал ба логарифм функцийн деривативын хүснэгт

Өгөгдсөн томьёог лавлагаа утгыг ашиглана уу. Тэд танд шийдвэр гаргахад тань туслах болно дифференциал тэгшитгэлболон даалгавар. Зураг дээр энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгтэд ашиглахад ойлгомжтой хэлбэрээр дериватив олох үндсэн тохиолдлуудын "хууран мэхлэх хуудас" байгаа бөгөөд үүний хажууд тохиолдол бүрийн тайлбарыг оруулсан болно.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

1. Тооны дериватив нь тэг байна
с´ = 0
Жишээ:
5´ = 0

Тайлбар:
Дериватив нь аргумент өөрчлөгдөхөд функцийн утга өөрчлөгдөх хурдыг харуулдаг. Тоо нь ямар ч нөхцөлд өөрчлөгддөггүй тул түүний өөрчлөлтийн хурд үргэлж тэг байдаг.

2. Хувьсагчийн деривативнэгтэй тэнцүү
x´ = 1

Тайлбар:
Аргумент (x) нэгээр нэмэгдэх тусам функцийн утга (тооцооллын үр дүн) ижил хэмжээгээр нэмэгддэг. Иймд y = x функцийн утгын өөрчлөлтийн хурд нь аргументийн утгын өөрчлөлтийн хурдтай яг тэнцүү байна.

3. Хувьсагч ба хүчин зүйлийн дериватив нь энэ хүчин зүйлтэй тэнцүү байна
сx´ = с
Жишээ:
(3x)´ = 3
(2х)´ = 2
Тайлбар:
Энэ тохиолдолд функцийн аргумент өөрчлөгдөх бүрт ( X) түүний утга (y) нэмэгдэнэ -тайнэг удаа. Тиймээс аргументийн өөрчлөлтийн хурдтай харьцуулахад функцийн утгын өөрчлөлтийн хурд нь утгатай яг тэнцүү байна. -тай.

Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг
(cx + b)" = в
өөрөөр хэлбэл y=kx+b шугаман функцийн дифференциал тэнцүү байна налуушулуун шугамын налуу (k).

4. Хувьсагчийн модулийн деривативэнэ хувьсагчийн модулийн коэффициенттэй тэнцүү байна
|x|"= x / |x| x ≠ 0 байх тохиолдолд
Тайлбар:
Хувьсагчийн дериватив (2-р томьёог үзнэ үү) нэгтэй тэнцүү тул модулийн дериватив нь зөвхөн гарал үүслийн цэгийг гатлах үед функцийн өөрчлөлтийн хурдны утга эсрэгээр өөрчлөгддөгт л ялгаатай (график зурж үзээрэй). функцийн y = |x| ба өөрөө харна уу. Энэ нь яг ямар утгатай бөгөөд x / |x| илэрхийлэлийг буцаана. x үед< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - нэг. Өөрөөр хэлбэл, х хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд аргумент нэмэгдэх бүрд функцийн утга яг ижил утгаар буурч, эерэг утгуудын хувьд эсрэгээр өсдөг боловч яг ижил утгатай байна. .

5. Хувьсагчийн дериватив хүчин чадалэнэ чадлын тооны үржвэртэй тэнцүү ба нэгээр буурсан чадлын хувьсагч
(x c)"= cx c-1, x c ба cx c-1 тодорхойлогдсон ба c ≠ 0 байвал
Жишээ:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Томьёог санахын тулд:
Хувьсагчийн зэрэгийг хүчин зүйл болгон доош шилжүүлж, дараа нь градусыг өөрөө нэгээр бууруулна. Жишээлбэл, x 2-ын хувьд - хоёр нь x-ээс түрүүлж байсан бөгөөд дараа нь багассан хүч (2-1 = 1) нь бидэнд 2x-ийг өгсөн. x 3-ийн хувьд ижил зүйл тохиолдсон - бид гурвалсан хэсгийг "доошоо" нэгээр багасгаж, шоо дөрвөлжингийн оронд 3x 2 байна. Бага зэрэг "шинжлэх ухаангүй" боловч санахад маш хялбар.

6.Бутархайн дериватив 1/х
(1/x)" = - 1 / x 2
Жишээ:
Бутархайг сөрөг хүчин рүү өсгөх хэлбэрээр илэрхийлж болно
(1/x)" = (x -1)", дараа нь деривативын хүснэгтийн 5-р дүрмийн томъёог хэрэглэж болно.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Бутархайн дериватив дурын градусын хувьсагчтайхуваарьт
(1 / х в)" = - c / x c+1
Жишээ:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Үндэсний дериватив(доорх хувьсагчийн дериватив квадрат язгуур)
(√x)" = 1 / (2√x)эсвэл 1/2 x -1/2
Жишээ:
(√x)" = (x 1/2)" гэдэг нь 5-р дүрмийн томъёог хэрэглэж болно гэсэн үг
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Дурын зэргийн язгуур дор байгаа хувьсагчийн дериватив
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Тэгээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталцгаая. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (шугаман функц учраас дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай юм (энэ нь юу болохыг та мартаагүй байна уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Болсон уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл энгийн хэлбэрээр бичих боломжгүй тоо юм. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгааг анхаарна уу, тиймээс бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба деривативууд логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гэмгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогц функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадна: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадна: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь шууд тодорхой харагдаж байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.