Хичээлийн зорилго:

Оюутнууд дараахь зүйлийг мэдэж байх ёстой.

• шугамын налуу гэж юу вэ;
• шулуун ба Ox тэнхлэгийн хоорондох өнцөг;
• деривативын геометрийн утга нь юу вэ;
• функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл;
• параболын шүргэгчийг байгуулах арга;
• онолын мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлэх чадвартай байх.

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: үүсмэл зүйлийн механик болон геометрийн утгын талаархи мэдлэг, чадвар, ур чадварын тогтолцоог оюутнуудад эзэмшүүлэх нөхцлийг бүрдүүлэх.

Боловсрол: оюутнуудад шинжлэх ухааны ертөнцийг үзэх үзлийг төлөвшүүлэх.

Хөгжүүлэлт: сурагчдын танин мэдэхүйн сонирхол, бүтээлч байдал, хүсэл зориг, ой санамж, яриа, анхаарал, төсөөлөл, ойлголтыг хөгжүүлэх.

Боловсрол, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга замууд:

• харааны;
• практик;
• сэтгэцийн үйл ажиллагааны дагуу: индуктив;
• материалын шингээлтийн дагуу: хэсэгчлэн хайх, нөхөн үржихүй;
• бие даасан байдлын зэргээр: лабораторийн ажил;
• өдөөх: урамшуулах;
• хяналт: аман урд талын судалгаа.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Аман дасгал (үүсмэлийг ол)
2. "Математик анализ үүссэн шалтгаанууд" сэдвээр оюутны мессеж.
3. Шинэ материал сурах
4. Физик. Одоохон.
5. Даалгавруудыг шийдвэрлэх.
6. Лабораторийн ажил.
7. Хичээлийг дүгнэж байна.
8. Гэрийн даалгаврын талаар тайлбар хийх.

Тоног төхөөрөмж: мультимедиа проектор (танилцуулга), карт (лабораторийн ажил).

Хичээлийн үеэр

"Хүн өөрийнхөө хүч чадалд итгэж байж л ямар нэгэн зүйлд хүрдэг"

Л.Фейербах

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Хичээлийн туршид хичээлийн зохион байгуулалт, сурагчдын хичээлд бэлэн байдал, дэг журам, сахилга бат.

Хичээлийн бүхэлд нь болон түүний үе шатуудын аль алинд нь суралцагчдад сургалтын зорилго тавих.

Энэ сэдвээр болон хичээлийн туршид судалж буй материалын ач холбогдлыг тодорхойлох.

Амаар тоолох

1. Деривативуудыг ол:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логик тест.

a) Алга болсон илэрхийллийг оруулна уу.

5х 3-6х	15х 2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. "Математик анализ үүссэн шалтгаанууд" сэдвээр оюутны мессеж.

Шинжлэх ухааны хөгжлийн ерөнхий чиглэл нь эцсийн эцэст хүний ​​үйл ажиллагааны практикт тавигдах шаардлагаар тодорхойлогддог. Татвар хураах, армийн хангамжийг зохион байгуулах, ордон, пирамид барих, усалгааны системийг бий болгох зэрэг нь нарийн төвөгтэй тооцоолол шаарддаг тул арифметик, алгебрийг хангалттай хөгжүүлээгүй бол нарийн шаталсан удирдлагын тогтолцоотой эртний улсууд оршин тогтнох боломжгүй байсан. Сэргэн мандалтын үед дундад зууны үеийн ертөнцийн янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондын холбоо өргөжиж, худалдаа, гар урлал хөгжсөн. Үйлдвэрлэлийн техникийн түвшний хурдацтай өсөлт эхэлж, хүн, амьтны булчингийн хүчин чармайлттай холбоогүй эрчим хүчний шинэ эх үүсвэрүүдийг үйлдвэрт ашиглаж байна. XI-XII зууны үед дүүргэгч, нэхэх машинууд, XV зууны дунд үед хэвлэх машин гарч ирэв. Энэ үед нийгмийн үйлдвэрлэл эрчимтэй хөгжих хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн эрт дээр үеэс дүрслэх шинж чанартай байсан байгалийн шинжлэх ухааны мөн чанар өөрчлөгдсөн. Байгалийн шинжлэх ухааны зорилго нь объект биш харин байгалийн үйл явцыг гүнзгий судлах явдал юм. Тогтмол хэмжигдэхүүнтэй ажилладаг математик нь эртний байгалийн шинжлэх ухаанд тохирсон байв. Үйл явцын үр дүнг бус харин түүний урсгалын мөн чанар, түүний төрөлхийн хэв маягийг дүрсэлсэн математикийн аппаратыг бий болгох шаардлагатай байв. Үүний үр дүнд 12-р зууны эцэс гэхэд Английн Ньютон, Германы Лейбниц нар математикийн анализ хийх эхний шатыг дуусгасан. "Математик анализ" гэж юу вэ? Аливаа үйл явцын шинж чанарыг хэрхэн тодорхойлж, урьдчилан таамаглах вэ? Эдгээр функцийг ашиглах уу? Тодорхой үзэгдлийн мөн чанарт илүү гүнзгий нэвтэрч орох уу?

III. Шинэ материал сурах.

Ньютон, Лейбниц нарын замыг дагаж, энэ үйл явцыг цаг хугацааны функц гэж үзэн хэрхэн дүн шинжилгээ хийж болохыг харцгаая.

Цаашид бидэнд туслах хэд хэдэн ойлголтыг танилцуулъя.

y=kx+ b шугаман функцийн график нь шулуун, k тоог гэнэ шулуун шугамын налуу. k=tg, энд шулуун шугамын өнцөг, өөрөөр хэлбэл энэ шулуун ба Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг байна.

Зураг 1

y=f(x) функцийн графикийг авч үзье. Дурын хоёр цэгээр дамжуулан секант зуръя, жишээ нь AM секант. (Зураг 2)

Секантын өнцгийн коэффициент k=tg. AMC тэгш өнцөгт гурвалжинд<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Зураг 2

Зураг 3

"Хурд" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө нэг хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлт нь нөгөө хэмжигдэхүүний өөрчлөлтөөс хамааралтай болохыг тодорхойлдог бөгөөд сүүлийнх нь цаг хугацаа байх албагүй.

Тэгэхээр секантын налуу өнцгийн тангенс tg = байна.

Богино хугацаанд тоо хэмжээний өөрчлөлтийн хамаарлыг бид сонирхож байна. Аргументийн өсөлтийг тэг рүү чиглүүлье. Дараа нь томъёоны баруун тал нь А цэг дээрх функцийн дериватив юм (яагаадыг тайлбарла). Хэрэв x -> 0 бол M цэг графикийн дагуу А цэг рүү шилжих бөгөөд энэ нь AM шулуун нь AB шулуун руу ойртож байна гэсэн үг юм. А цэг дээрх y = f(x) функцын графиктай шүргэгч. (Зураг 3)

Секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн налуугийн өнцөгт чиглэдэг.

Деривативын геометрийн утга нь тухайн цэг дээрх деривативын утга нь тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

Деривативын механик утга.

Шүргэгчийн өнцгийн тангенс нь тухайн цэг дэх функцийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг харуулсан утга, өөрөөр хэлбэл судалж буй процессын шинэ шинж чанар юм. Энэ хэмжээг Лейбниц гэж нэрлэсэн дериватив, мөн Ньютон деривативыг өөрөө агшин зуур гэж нэрлэдэг гэж хэлсэн хурд.

IV. Биеийн тамирын минут.

V. Асуудлыг шийдвэрлэх.

дугаар 91(1) хуудас 91 – самбар дээр харуулах.

x 0 – 1 цэгийн f(x) = x 3 муруйн шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь энэ функцийн деривативын x ​​= 1 дэх утга юм. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

№91 (3.5) – диктант.

№ 92(1) - хэрэв хүсвэл самбар дээр.

№ 92 (3) - аман сорилтой бие даан.

№ 92 (5) - самбар дээр.

Хариултууд: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

VI. Лабораторийн ажил.

Зорилго: "үүсмэл үгийн механик утга" гэсэн ойлголтыг хөгжүүлэх.

Механик дахь деривативын хэрэглээ.

x = x(t), t цэгийн шулуун шугаман хөдөлгөөний хууль өгөгдсөн.

1. Тодорхой хугацааны туршид хөдөлгөөний дундаж хурд;
2. t 04 үеийн хурд ба хурдатгал
3. Зогсоох мөчүүд; зогсох мөчөөс хойшхи цэг нь нэг чиглэлд хөдөлж байгаа эсэх, эсвэл эсрэг чиглэлд хөдөлж эхэлсэн эсэх;
4. Тодорхой хугацааны туршид хөдөлгөөний хамгийн дээд хурд.

Ажлыг 12 хувилбарын дагуу гүйцэтгэдэг, даалгавруудыг хүндрэлийн түвшингээр нь ялгадаг (эхний сонголт бол хамгийн бага түвшний хүндрэл юм).

Ажил эхлэхийн өмнө дараахь асуултуудын талаар ярилц.

1. Шилжилтийн деривативын физик утга нь юу вэ? (Хурд).
2. Хурдны деривативыг олох боломжтой юу? Энэ хэмжигдэхүүнийг физикт ашигладаг уу? Энийг юу гэдэг вэ? (хурдатгал).
3. Агшин зуурын хурд нь тэг байна. Энэ мөчид биеийн хөдөлгөөний талаар юу хэлж болох вэ? (Энэ бол зогсох мөч юм).
4. Дараах мэдэгдлүүдийн физик утга нь юу вэ: хөдөлгөөний дериватив нь t 0 цэг дээр тэгтэй тэнцүү байна; t 0 цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг өөрчлөгдөх үү? (Бие зогсох; хөдөлгөөний чиглэл эсрэгээр өөрчлөгдөнө).

Оюутны ажлын жишээ.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Зураг 4

Эсрэг чиглэлд.

Хурдны бүдүүвч диаграммыг зурцгаая. Хамгийн дээд хурд нь тухайн цэг дээр хүрдэг

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Зураг 5

VII. Хичээлийг дүгнэж байна

1) Деривативын геометрийн утга нь юу вэ?
2) Деривативын механик утга нь юу вэ?
3) Ажлынхаа талаар дүгнэлт хий.

VIII. Гэрийн даалгаврын талаар тайлбар хийх.

Хуудас 90. No91(2,4,6), No92(2,4,6,), хуудас 92 No112.

Ашигласан номууд

• Сурах бичиг Алгебр ба шинжилгээний эхлэл.
  Зохиогчид: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
  А.Б. Жижченко найруулсан.
• Алгебр 11-р анги. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров нарын сурах бичигт үндэслэсэн хичээлийн төлөвлөгөө. 1-р хэсэг.
• Интернет нөөц: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Деривативын геометрийн утгыг олохын тулд y = f(x) функцийн графикийг авч үзье. (x, y) координаттай дурын M цэг ба түүнд ойрхон N цэгийг (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) авъя. Ординатуудыг $\overline(M_(1) M)$ болон $\overline(N_(1) N)$, мөн M цэгээс OX тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зуръя.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ харьцаа нь OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй MN секантын үүсгэсэн $\alpha $1 өнцгийн тангенс юм. $\Delta $x тэг рүү чиглэх тул N цэг M-д ойртох ба MN секантын хязгаарлах байрлал нь М цэг дээрх муруй руу шүргэгч MT байх болно. Тиймээс f`(x) дериватив нь шүргэгчтэй тэнцүү байна. OX тэнхлэгт эерэг чиглэлтэй M (x, y) цэг дээр муруйн шүргэгчээс үүссэн $\alpha $ өнцгийн - шүргэгчийн налуу (Зураг 1).

Зураг 1. Функцийн график

Томъёо (1) ашиглан утгыг тооцоолохдоо тэмдгүүдэд алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. өсөлт нь сөрөг байж болно.

Муруй дээр байрлах N цэг нь аль ч талаасаа M руу чиглэж болно. Тиймээс, 1-р зурагт шүргэгчийг эсрэг чиглэл өгсөн бол $\alpha $ өнцөг $\pi $ хэмжээгээр өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь өнцгийн тангенс ба үүний дагуу өнцгийн коэффициентэд ихээхэн нөлөөлнө.

Дүгнэлт

Үүнээс үзэхэд дериватив байгаа нь y = f(x) муруйн шүргэгч байхтай холбоотой бөгөөд өнцгийн коэффициент - tg $\alpha $ = f`(x) нь төгсгөлтэй байна. Иймд шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель байх ёсгүй, эс бөгөөс $\alpha $ = $\pi $/2 байх ба өнцгийн тангенс нь хязгааргүй байх болно.

Зарим цэгүүдэд тасралтгүй муруй нь шүргэгчгүй эсвэл OY тэнхлэгтэй параллель шүргэгчтэй байж болно (Зураг 2). Тэгвэл эдгээр утгуудад функц нь деривативтай байж болохгүй. Функцийн муруй дээр хэдэн ч ижил төстэй цэг байж болно.

Зураг 2. Муруйн онцгой цэгүүд

Зураг 2-ыг авч үзье. $\Delta $x сөрөг эсвэл эерэг утгуудаас тэг рүү чиглэнэ.

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Хэрэв энэ тохиолдолд (1) харилцаа нь эцсийн хязгаартай бол дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Эхний тохиолдолд дериватив нь зүүн талд, хоёрдугаарт, дериватив нь баруун талд байна.

Хязгаарлалт байгаа нь зүүн ба баруун деривативуудын тэнцүү ба тэгш байдлыг илтгэнэ.

Хэрэв зүүн ба баруун деривативууд тэнцүү биш бол өгөгдсөн цэг дээр OY-тэй параллель биш шүргэгч байна (М1 цэг, Зураг 2). M2, M3 цэгүүдэд (1) хамаарал нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

M2-ийн зүүн талд байрлах N цэгүүдийн хувьд $\Delta $x $

$M_2$-н баруун талд $\Дельта $x $>$ 0, гэхдээ илэрхийлэл нь мөн f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Зүүн талд байгаа $M_3$ цэгийн хувьд $\Delta $x $$ 0 ба f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, i.e. Зүүн болон баруун талын (1) илэрхийллүүд эерэг бөгөөд $\Дельта $x -0 ба +0 ойртох үед хоёулаа +$\infty $ байх хандлагатай байдаг.

Шугамын тодорхой цэгүүдэд дериватив байхгүй байх тохиолдлыг (x = c) Зураг 3-т үзүүлэв.

Зураг 3. Дериватив байхгүй

Жишээ 1

Зураг 4-т функцийн график ба абсцисса цэгт $x_0$ графиктай шүргэгчийг харуулав. Абсцисса дахь функцын деривативын утгыг ол.

Шийдэл. Цэг дэх дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Бүхэл тооны координат бүхий шүргэгч дээрх хоёр цэгийг сонгоцгооё. Жишээлбэл, эдгээр нь F (-3.2) ба C (-2.4) цэгүүд байг.

Функцийн дериватив.

1. Деривативын тодорхойлолт, түүний геометрийн утга.

2. Комплекс функцийн дериватив.

3. Урвуу функцийн дериватив.

4. Дээд зэрэглэлийн дериватив.

5. Параметрээр тодорхойлогдсон функцууд ба далд байдлаар.

6. Параметрийн болон далд хэлбэрээр заасан функцүүдийн ялгаа.

Оршил.

Дифференциал тооцооллын гарал үүсэл нь 17-р зууны шинжлэх ухаан, технологийн эрэлт хэрэгцээнээс үүдэлтэй хоёр асуулт байв.

1) Хөдөлгөөний дур зоргоороо өгөгдсөн хуулийн хурдыг тооцоолох тухай асуулт.

2) Дурын өгөгдсөн муруйд шүргэгчийг олох (тооцоолол ашиглан) асуулт.

Зарим муруй руу шүргэгч зурах асуудлыг эртний Грекийн эрдэмтэн Архимед (МЭӨ 287-212) зурах аргыг ашиглан шийдсэн.

Гэхдээ зөвхөн 17-18-р зуунд байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн дэвшилтэй холбоотойгоор эдгээр асуудал зохих ёсоор хөгжсөн.

Аливаа физик үзэгдлийг судлахад чухал асуултуудын нэг нь ихэвчлэн хурд, үзэгдлийн хурдны тухай асуулт юм.

Онгоц эсвэл машины хөдөлгөөний хурд нь түүний гүйцэтгэлийн хамгийн чухал үзүүлэлт юм. Тухайн улсын хүн амын өсөлтийн хурд нь түүний нийгмийн хөгжлийн гол шинж чанаруудын нэг юм.

Хурдны анхны санаа нь хүн бүрт ойлгомжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ ерөнхий санаа нь ихэнх практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй юм. Бидний хурд гэж нэрлэдэг энэ хэмжигдэхүүнийг ийм тоон тодорхойлолттой байх шаардлагатай. Ийм нарийн тоон тодорхойлох хэрэгцээ нь түүхэндээ математикийн шинжилгээг бий болгох гол хөшүүрэг болж ирсэн. Математик шинжилгээний бүхэл бүтэн хэсэг нь энэхүү үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх, энэ шийдлээс дүгнэлт гаргахад зориулагдсан болно. Бид энэ хэсгийг судлахаар явж байна.

Деривативын тодорхойлолт, түүний геометрийн утга.

Тодорхой интервалд тодорхойлогдсон функцийг өгье (a,c)мөн үүн дотор тасралтгүй.

1. Аргументаа өгье Xнэмэгдүүлэх , дараа нь функц авах болно

өсөлт:

2. Харилцаа холбоог бий болгоцгооё .

3. Хязгаарыг хязгаар гэж үзвэл ба хязгаарт шилжих

гэж нэрлэгддэг хэмжигдэхүүнийг олж авдаг

аргументтай холбоотой функцийн дериватив X.

Тодорхойлолт.→0 байх үеийн функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг цэг дээрх функцийн дериватив гэнэ.

Деривативын үнэ цэнэ нь тухайн цэгээс шууд хамаардаг X, аль нь олддог, тиймээс функцийн дериватив нь эргээд зарим функц юм X. -ээр тэмдэглэгдсэн.

Тодорхойлолтоор бид байна

эсвэл (3)

Жишээ.Функцийн деривативыг ол.

1. ;

Бид энэ өгүүллийг шаардлагатай тодорхойлолт, ойлголтуудын тоймоор эхлүүлнэ.

Үүний дараа бид шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичиж, хамгийн энгийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан шийдлүүдийг өгөх болно.

Дүгнэж хэлэхэд бид хоёр дахь эрэмбийн муруй, өөрөөр хэлбэл тойрог, эллипс, гипербол, параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг олоход анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт ба ойлголтууд.

Тодорхойлолт.

Шулуун шугамын өнцөг y=kx+b нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эерэг чиглэлд (өөрөөр хэлбэл цагийн зүүний эсрэг) y=kx+b шулуун хүртэл хэмжсэн өнцөг юм.

Зураг дээр х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг хэвтээ ногоон сумаар, өнцгийн эерэг чиглэлийг ногоон нумаар, шулууныг цэнхэр шугамаар, шулууны налалтын өнцгийг тус тус үзүүлэв. шугамыг улаан нумаар харуулав.

Тодорхойлолт.

Шулуун шугамын налуу y=kx+b-г тоон коэффициент k гэнэ.

Шулуун шугамын налуу нь шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна, тэр бол, .

Тодорхойлолт.

Шууд y=f(x) функцийн графикийн хоёр цэгээр дамжуулан зурсан AB гэж нэрлэнэ секант. Өөрөөр хэлбэл, секантфункцийн графикийн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

Зураг дээр AB таслагч шугамыг цэнхэр шугамаар, y=f(x) функцийн графикийг хар муруйгаар, таслах шугамын налуу өнцгийг улаан нумаар тус тус үзүүлэв.

Хэрэв бид шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү (үүнийг дээр дурдсан), ABC тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийн харьцаа юм. зэргэлдээх нь (энэ бол өнцгийн шүргэгчийн тодорхойлолт юм), тэгвэл бидний секантын хувьд хэд хэдэн тэгш байдал үнэн болно. , А ба В цэгүүдийн абсцисса хаана байна, - харгалзах функцийн утгууд.

Тэр бол, таслах өнцөгтэгш эрхээр тодорхойлогддог эсвэл , А секант тэгшитгэлхэлбэрээр бичсэн эсвэл (шаардлагатай бол хэсгийг үзнэ үү).

Таслах шугам нь функцийн графикийг гурван хэсэгт хуваадаг: А цэгийн зүүн талд, А цэгээс В хүртэл, В цэгийн баруун талд, гэхдээ энэ нь функцийн графиктай хоёроос дээш нийтлэг цэгтэй байж болно.

Доорх зурагт гурван өөр секант (A ба B цэгүүд нь өөр) харагдаж байгаа боловч тэдгээр нь давхцаж, нэг тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

Шулуун шугамын хувьд таслах шугамын тухай яриа бид хэзээ ч гарч байгаагүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид тодорхойлолтоос эхэлбэл шулуун ба түүний зүсэлтийн шугам давхцдаг.

Зарим тохиолдолд секант нь функцийн графиктай хязгааргүй олон огтлолцох цэгтэй байж болно. Жишээлбэл, y=0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон секант нь синусын долгионтой хязгааргүй тооны нийтлэг цэгтэй байна.

Тодорхойлолт.

Цэг дэх y=f(x) функцийн графиктай шүргэгчцэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний сегмент нь функцийн график нь x-ийн утгуудын хувьд дур мэдэн ойролцоо байдаг.

Энэ тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлая. y = x+1 шулуун нь (1; 2) цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгч болохыг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид шүргэгч (1; 2) цэгт ойртох үед эдгээр функцүүдийн графикуудыг харуулах болно. Функцийн графикийг хараар, шүргэгч шугамыг цэнхэр шугамаар, шүргэлтийн цэгийг улаан цэгээр үзүүлэв.

Дараагийн зураг бүр нь өмнөхийн томруулсан хэсэг юм (эдгээр хэсгүүдийг улаан квадратаар тодруулсан).

Шүргэх цэгийн ойролцоо функцийн график y=x+1 шүргэгч шулуунтай бараг нийлдэг нь тодорхой харагдаж байна.

Одоо шүргэгчийн илүү утга учиртай тодорхойлолт руу шилжье.

Үүнийг хийхийн тулд В цэг нь А цэгт хязгааргүй ойр байвал AB секант юу болохыг харуулах болно.

Доорх зураг нь энэ үйл явцыг харуулж байна.

Секантын AB (цэнхэр тасархай шугамаар харуулсан) шулуун шугамын шүргэгчийн байрлалыг (цэнхэр цул шугамаар харуулсан) авах хандлагатай байх болно, секантын хазайлтын өнцөг (улаан тасархай нумаар харуулсан) шүргэгчийн хазайлтын өнцөг (улаан цул нум хэлбэрээр үзүүлэв).

Тодорхойлолт.

Тиймээс, А цэг дээрх y=f(x) функцийн графиктай шүргэгчүед AB секантын хязгаарлах байрлал юм.

Одоо бид функцийн деривативын геометрийн утгыг цэг дээр тайлбарлах руу шилжиж болно.

Цэг дэх функцийн деривативын геометрийн утга.

y=f(x) функцийн графикийн AB секантыг А ба В цэгүүд тус тус координаттай байхаар авч үзье. , аргументийн өсөлт хаана байна. Функцийн өсөлтөөр тэмдэглэе. Зурган дээрх бүх зүйлийг тэмдэглэе:

ABC тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид . Тодорхойлолтоор шүргэгч нь секантын хязгаарлах байрлал юм .

Цэг дэх функцийн деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая: y=f(x) функцийн цэг дээрх дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг тэмдэглэнэ. .

Тиймээс, , шүргэгчийн налуу хаана байна.

Иймд y=f(x) функцийн дериватив цэг дээр байгаа нь шүргэлтийн цэг дээр y=f(x) функцийн графикт шүргэгч байгаатай тэнцүү ба шүргэгчийн налуу нь тухайн цэг дээрх деривативын утгатай тэнцүү байна, тэр бол .

Бид дүгнэж байна: цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утгаЭнэ цэг дэх функцийн графикт шүргэгч байхаас бүрдэнэ.

Шүргэдэг шугамын тэгшитгэл.

Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд түүний өнцгийн коэффициент ба түүнийг дайран өнгөрөх цэгийг мэдэхэд хангалттай. Шүргэх шугам нь шүргэх цэгийг дайран өнгөрөх ба дифференциалагдах функцийн өнцгийн коэффициент нь тухайн цэг дээрх деривативын утгатай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд бид бүх өгөгдлийг авч болно.

Нэг цэгийн y = f(x) функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлшиг харагдаж байна.

Бид деривативын хязгаарлагдмал утгатай гэж үздэг, эс тэгвээс шүргэгч шулуун эсвэл босоо байна (хэрэв Тэгээд ), эсвэл байхгүй (хэрэв ).

Өнцгийн коэффициентээс хамааран шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй (), ординатын тэнхлэгтэй параллель (энэ тохиолдолд шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байх болно), нэмэгдэх () эсвэл буурах () байж болно.

Үүнийг тодруулахын тулд хэдэн жишээ хэлэх цаг болжээ.

Жишээ.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич цэг дээр (-1;-3) налуу өнцгийг тодорхойлно.

Шийдэл.

Функц нь бүх бодит тоогоор тодорхойлогддог (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү). (-1;-3) нь шүргэлтийн цэг тул .

Бид деривативыг олж (үүнд функцийг ялгах, деривативыг олоход тустай байж болох юм) өгүүлэлд байгаа материал нь дараах цэг дээр түүний утгыг тооцоолно.

Шүргэх цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуу бөгөөд налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү тул .

Тиймээс шүргэгчийн налуу өнцөг нь тэнцүү байна , ба шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

График дүрслэл.

Анхны функцийн графикийг хараар, шүргэгч шугамыг цэнхэр шугамаар, шүргэлтийн цэгийг улаан цэгээр үзүүлэв. Баруун талын зураг нь зүүн талын зурган дээрх улаан тасархай дөрвөлжин тэмдэглэсэн талбайн томруулсан зураг юм.

Жишээ.

Функцийн графикт шүргэгч байгаа эсэхийг ол (1; 1) цэг дээр хэрэв тийм бол түүний тэгшитгэлийг зохиож, налуу өнцгийг тодорхойлно.

Шийдэл.

Функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Деривативыг олох нь:

Дериватив нь тодорхойлогдоогүй үед, гэхдээ Тэгээд тиймээс (1;1) цэг дээр босоо шүргэгч байх ба түүний тэгшитгэл x = 1, налуугийн өнцөг нь -тэй тэнцүү байна.

График дүрслэл.

Жишээ.

Функцийн график дээрх бүх цэгүүдийг ол:
a) шүргэгч байхгүй; б) шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна; в) шүргэгч шулуунтай параллель байна.

Шийдэл.

Ердийнх шигээ бид функцийн тодорхойлолтын домэйноос эхэлдэг. Бидний жишээн дээр функц нь бүхэл бүтэн бодит тоон дээр тодорхойлогддог. Модулийн тэмдгийг өргөжүүлье; үүнийг хийхийн тулд хоёр интервалыг авч үзье:

Функцийг ялгаж үзье:

At x=-2 дериватив байхгүй, учир нь энэ цэг дэх нэг талын хязгаар нь тэнцүү биш байна.

Ингээд x=-2 дахь функцийн утгыг тооцоолсны дараа бид а цэгийн хариултыг өгч болно: функцийн графикт шүргэгч (-2;-2) цэг дээр байхгүй байна.

b) Хэрэв налуу нь тэг бол шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна (налуу өнцгийн тангенс тэг). Учир нь , дараа нь функцийн дериватив алга болох x-ийн бүх утгыг олох хэрэгтэй. Эдгээр утгууд нь шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байх шүргэгч цэгүүдийн абсцисса болно.

Бид тэгшитгэлийг шийдэх үед , тэгшитгэл нь хэзээ вэ :

Функцийн харгалзах утгуудыг тооцоолоход л үлддэг.

Тийм ч учраас, - функцийн графикийн шаардлагатай цэгүүд.

График дүрслэл.

Анхны функцийн графикийг хар шугамаар дүрсэлсэн бөгөөд улаан цэгүүд нь абсцисса тэнхлэгт шүргэгч параллель байх олсон цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

в) Хэрэв хавтгай дээрх хоёр шулуун шугам параллель байвал тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна (үүнийг нийтлэлд бичсэн болно). Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид шүргэгчийн налуу тавны наймтай тэнцүү байх функцын график дээрх бүх цэгийг олох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс бид тэгшитгэлийг шийдэх үед , тэгшитгэл нь хэзээ вэ .

Эхний тэгшитгэлийн ялгаварлагч нь сөрөг тул жинхэнэ үндэсгүй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй:

Бид тохирох функцийн утгуудыг олдог:

Цэгүүд дээр функцийн графикт шүргэгч шулуунтай параллель байна.

График дүрслэл.

Функцийн графикийг хар шугамаар, улаан шугам нь шулуун шугамын графикийг, цэнхэр шугамууд нь функцын графиктай цэгүүд дээр шүргэгчийг харуулав. .

Тригонометрийн функцүүдийн хувьд тэдгээрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан ижил налуу (ижил налуу) бүхий хязгааргүй тооны шүргэгч шугам байж болно.

Жишээ.

Функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич шугаманд перпендикуляр байна.

Шийдэл.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд бид зөвхөн түүний налуу болон шүргэлтийн цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.

Бид шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг дараахаас олдог: перпендикуляр шулуун шугамын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь хасах нэгтэй тэнцүү байна. Нөхцөлөөр перпендикуляр шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь , тэгвэл тэнцүү байна .

Шүргэдэг цэгүүдийн координатыг хайж эхэлцгээе. Эхлээд абсциссуудыг олъё, дараа нь функцийн харгалзах утгуудыг тооцоолно - эдгээр нь шүргэгч цэгүүдийн ординат болно.

Нэг цэг дэх функцийн деривативын геометрийн утгыг тайлбарлахдаа бид үүнийг тэмдэглэсэн. Энэ тэгшитгэлээс бид шүргэгч цэгүүдийн абсциссыг олно.

Бид тригонометрийн тэгшитгэлд хүрлээ. Дараа нь шүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолохдоо үүнийг ашиглах болно, үүнд анхаарлаа хандуулна уу. Бид үүнийг шийднэ (хэрэв танд хүндрэлтэй байгаа бол энэ хэсгийг үзнэ үү тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх):

Шүргэдэг цэгүүдийн абсцисса олдсон тул харгалзах ординатуудыг тооцоолъё (энд бид яг дээр дурдсан тэгш байдлыг ашиглана уу):

Тиймээс холбоо барих бүх цэгүүд. Тиймээс шаардлагатай шүргэгч тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

График дүрслэл.

Хар муруйн зураг нь [-10;10] сегмент дээрх анхны функцийн графикийг, цэнхэр шугамууд нь шүргэгч шугамуудыг дүрсэлсэн байна. Тэд улаан шугамтай перпендикуляр байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Мэдрэгч цэгүүдийг улаан цэгээр тэмдэглэсэн.

Тойрог, эллипс, гипербол, параболын шүргэгч.

Энэ хүртэл бид y = f(x) хэлбэрийн нэг утгатай функцүүдийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг янз бүрийн цэгүүдэд олох завгүй байсан. Хоёрдахь эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэлүүд нь нэг утгатай функц биш юм. Гэхдээ бид тойрог, эллипс, гипербол, параболыг хоёр нэг утгатай функцийн хослолоор төлөөлж, дараа нь сайн мэддэг схемийн дагуу шүргэгч тэгшитгэлийг үүсгэж болно.

Тойрогтой шүргэгч.

Нэг цэг дээр төвтэй тойрог ба R радиусыг өгөгдөнө.

Энэ тэгш байдлыг хоёр функцийн нэгдэл болгон бичье.

Энд эхний функц нь дээд хагас тойрог, хоёр дахь нь доод хэсэгтэй тохирч байна.

Ийнхүү дээд (эсвэл доод) хагас тойрогт хамаарах цэг дээрх тойрогтой шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд заасан цэг дээрх функцийн (эсвэл) графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олно.

Координаттай тойргийн цэгүүдэд үүнийг харуулахад хялбар байдаг Тэгээд шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд тэгшитгэлээр тус тус өгөгдсөн (доорх зурагт тэдгээрийг цэнхэр цэгүүд ба цэнхэр шулуун шугамаар харуулсан) ба цэгүүдэд Тэгээд - ординатын тэнхлэгтэй параллель бөгөөд тэгшитгэлтэй ба тус тусад нь (доорх зурагт тэдгээрийг улаан цэг, улаан шугамаар тэмдэглэсэн).

Эллипстэй шүргэгч.

Нэг цэг дээр төвлөрсөн эллипс a ба b хагас тэнхлэгтэй бол тэгшитгэлээр өгөгдсөн .

Тойрог шиг эллипсийг дээд ба доод хагас эллипс гэсэн хоёр функцийг хослуулан тодорхойлж болно.

Эллипсийн орой дээрх шүргэгч нь абсцисса тэнхлэг (доорх зурагт цэнхэр шулуун шугамаар харуулсан) эсвэл ординатын тэнхлэгтэй (доорх зурган дээр улаан шулуун шугамаар харуулсан) параллель байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээд хагас эллипс нь функцээр өгөгдөнө , доод нь - .

Одоо бид стандарт алгоритмыг ашиглан цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулж болно.

Цэг дэх эхний шүргэгч:

Нэг цэгийн хоёр дахь шүргэгч :

График дүрслэл.

Гиперболын шүргэгч.

Гипербола нэг цэг дээр төвлөрсөн болон оргилууд Тэгээд тэгш эрхээр өгөгддөг (зүүн доорх зураг), оройтой Тэгээд - тэгш байдал (баруун доорх зураг).

Хоёр функцийн хослолоор гиперболыг дараах байдлаар илэрхийлж болно

эсвэл .

Гиперболын оройнуудад шүргэгч нь эхний тохиолдолд Oy тэнхлэгтэй, хоёр дахь тохиолдолд Ox тэнхлэгтэй параллель байна.

Ийнхүү гиперболд шүргэгчийн тэгшитгэлийг олохын тулд шүргэлтийн цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдээд ердийн аргаар явна.

Логик асуулт гарч ирнэ: цэг аль функцэд хамаарахыг хэрхэн тодорхойлох вэ. Үүнд хариулахын тулд бид координатуудыг тэгшитгэл болгон орлуулж, аль тэгшитгэл нь ижил төстэй болж хувирахыг харна. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич цэг дээр.

Шийдэл.

Гиперболыг хоёр функц хэлбэрээр бичье.

Шүргэх цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдье.

Эхний функцийн хувьд цэг нь энэ функцийн графикт хамаарахгүй.

Хоёрдахь функцийн хувьд цэг нь энэ функцийн графикт хамаарна.

Шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг ол:

Тиймээс шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

График дүрслэл.

Параболын шүргэгч.

Маягтын параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгох Нэг цэг дээр бид стандарт схемийг ашиглаж, шүргэгчийн тэгшитгэлийг гэж бичнэ. Орой дээрх ийм параболын графикийн шүргэгч нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель байна.

Парабола Эхлээд бид үүнийг хоёр функцийг нэгтгэх замаар тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд y-ийн хувьд энэ тэгшитгэлийг шийдье:

Одоо бид шүргэгч цэг нь аль функцэд хамаарахыг олж мэдээд стандарт схемийн дагуу үргэлжлүүлнэ.

Орой дээрх ийм параболын графын шүргэгч нь Ой тэнхлэгтэй параллель байна.

Хоёрдахь функцийн хувьд:

Мэдрэх цэгийг авч байна .

Тиймээс хүссэн шүргэгчийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна .

Сэдэв. Дериватив. Деривативын геометрийн болон механик утга

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол функцийг тухайн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой гэнэ. Функцийн деривативыг (томьёо 2) гэж тэмдэглэнэ.

1. Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикийг харцгаая. 1-р зурагнаас харахад функцийн графикийн А ба В хоёр цэгийн хувьд 3-р томъёог бичиж болно). Энэ нь AB секантын налуу өнцгийг агуулдаг.

Тиймээс ялгааны харьцаа нь секантын налуутай тэнцүү байна. Хэрэв та А цэгийг засаж, В цэгийг түүн рүү чиглүүлбэл энэ нь хязгааргүй буурч 0-д ойртож, AB секанс нь шүргэгч AC-д ойртоно. Тиймээс ялгааны харьцааны хязгаар нь A цэг дээрх шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Энэ нь дүгнэлтэд хүргэдэг.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн графиктай шүргэгчийн налуу юм. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм.

1. Тангенсийн тэгшитгэл . Тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг гаргая. Ерөнхий тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. b-г олохын тулд шүргэгч нь А цэгийг дайран өнгөрдөг давуу талыг ашиглана: . Энэ нь: . Энэ илэрхийлэлийг b-ийн оронд орлуулснаар шүргэгч тэгшитгэлийг (томьёо 4) авна.