Функциональ хүрээ албан ёсоор бичигдсэн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

у1 (x) + у 2 (x) + у 3 (x) + ... + у n ( x) + ... , (1)

Хаана у1 (x), у 2 (x), у 3 (x), ..., у n ( x), ... - бие даасан хувьсагчийн функцүүдийн дараалал x.

Сигма бүхий функциональ цувралын товчилсон тэмдэглэгээ: .

Функциональ цувралуудын жишээнд орно :

(2)

(3)

Бие даасан хувьсагчийг өгөх xзарим үнэ цэнэ x0 мөн үүнийг функциональ цувралд (1) орлуулснаар бид тоон цувралыг олж авна

у1 (x 0 ) + у 2 (x 0 ) + у 3 (x 0 ) + ... + у n ( x 0 ) + ...

Хэрэв үүссэн тоон цуваа нийлдэг бол функциональ цуваа (1) нь нийлдэг гэж хэлдэг. x = x0 ; хэрвээ энэ нь зөрүүтэй байвал цуврал (1) нь зөрүүтэй байна гэж хэлж байна x = x0 .

Жишээ 1. Функциональ цувааны нийлэлтийг судал(2) утгууд дээр x= 1 ба x = - 1 .
Шийдэл. At x= 1 бид тооны цуваа авдаг

Энэ нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг. At x= - 1 бид тооны цувралыг авдаг

,

Энэ нь дивергент гармоник цувааны үржвэрээр ялгагдах нь – 1. Тиймээс (2) цуврал нь нийлдэг. x= 1 ба зөрүүтэй байна x = - 1 .

Хэрэв функциональ цуваа (1)-ийн нэгдмэл байдлыг шалгах нь түүний гишүүдийн тодорхойлолтын мужаас бие даасан хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд хийгдсэн бол энэ домэйны цэгүүдийг хоёр багцад хуваана. үнэт зүйлсийн хувьд x, тэдгээрийн аль нэгэнд нь авсан цуврал (1) нийлж, нөгөөд нь хуваагддаг.

Функциональ цуваа нийлдэг бие даасан хувьсагчийн утгуудын багцыг түүний гэж нэрлэдэг нэгдэх талбар .

Жишээ 2. Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол

Шийдэл. Цувралын нөхцөлүүд нь бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогддог бөгөөд хуваагчтай геометрийн прогресс үүсгэдэг q= нүгэл x. Тиймээс хэрэв цуврал нийлнэ

ба зөрүүтэй бол

(утга боломжгүй). Гэхдээ үнэт зүйлс болон бусад үнэт зүйлсийн хувьд x. Тиймээс цувралууд бүх утгын хувьд нийлдэг x, бусад. Түүний нийлэх муж нь эдгээр цэгүүдээс бусад бүх тооны шугам юм.

Жишээ 3. Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол

Шийдэл. Цувралын нөхцлүүд нь хуваагчтай геометр прогресс үүсгэдэг q=ln x. Иймээс хэрэв , эсвэл , хаанаас нь цуваа нийлдэг. Энэ бол энэ цувралын нэгдэх бүс юм.

Жишээ 4. Функциональ цувааны нийлэлтийг судал

Шийдэл. Дурын утгыг авч үзье. Энэ утгаараа бид тооны цувралыг авдаг

(*)

Түүний нийтлэг нэр томъёоны хязгаарыг олъё

Иймээс (*) цуваа нь дур зоргоороо сонгогдсон зүйлд хуваагдана, өөрөөр хэлбэл. ямар ч үнэ цэнээр x. Үүний нэгдэх муж нь хоосон олонлог юм.

Функциональ цувааны жигд нийлэлт ба түүний шинж чанарууд

Ингээд үзэл баримтлал руугаа орцгооё функциональ цувааны жигд нэгдэл . Болъё с(x) нь энэ цувралын нийлбэр ба сn ( x) - нийлбэр nэнэ цувралын анхны гишүүд. Функциональ хүрээ у1 (x) + у 2 (x) + у 3 (x) + ... + у n ( x) + ... интервал дээр жигд нийлэх гэж нэрлэдэг [ а, б] , хэрэв дурын цөөн тооны хувьд ε > 0 ийм тоо байна НЭнэ нь хүн бүрийн өмнө n ≥ Нтэгш бус байдал биелэх болно

|с(x) − с n ( x)| < ε

хэний ч төлөө xсегментээс [ а, б] .

Дээрх шинж чанарыг геометрийн аргаар дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Функцийн графикийг авч үзье y = с(x) . Энэ муруйг тойруулан 2 өргөнтэй тууз байгуулъя ε n, өөрөөр хэлбэл, бид муруйг барих болно y = с(x) + ε nТэгээд y = с(x) − ε n(доорх зурган дээр тэд ногоон өнгөтэй байна).

Дараа нь аль нэгнийх нь хувьд ε nфункцийн график сn ( x) авч үзэж буй зурваст бүхэлдээ хэвтэх болно. Ижил зурвас нь дараагийн бүх хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн графикуудыг агуулна.

Дээр дурдсан шинж чанарыг агуулаагүй аливаа нэгдмэл функциональ цуваа нь тэгш бус нийлдэг.

Нэг жигд нийлсэн функциональ цувааны өөр шинж чанарыг авч үзье.

тодорхой интервал дээр жигд нийлдэг тасралтгүй функцүүдийн цувралын нийлбэр [ а, б] , энэ интервал дээр тасралтгүй функц байна.

Жишээ 5.Функциональ цувааны нийлбэр тасралтгүй эсэхийг тодорхойлно

Шийдэл. Нийлбэрийг олъё nЭнэ цувралын анхны гишүүд:

Хэрэв x> 0, тэгвэл

,

Хэрэв x < 0 , то

Хэрэв x= 0, тэгвэл

Тиймээс .

Бидний судалгаагаар энэ цувралын нийлбэр нь тасархай функц болохыг харуулсан. Түүний графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

Функциональ цувааны жигд нийлэлтийг тодорхойлох Weierstrass тест

Бид үзэл баримтлалаар дамжуулан Weierstrass шалгуурт ойртдог функциональ цувралын голчлох чадвар . Функциональ хүрээ

у1 (x) + у 2 (x) + у 3 (x) + ... + у n ( x) + ...

Магадгүй цогцолбор нь тийм ч төвөгтэй биш байх болов уу;) Энэ нийтлэлийн гарчиг нь бас үнэн биш юм - өнөөдөр хэлэлцэх цувралууд нь нарийн төвөгтэй биш, харин "ховор шороо" юм. Гэсэн хэдий ч хагас цагийн оюутнууд ч гэсэн тэднээс дархлаагүй тул нэмэлт мэт санагдах энэ хичээлийг маш нухацтай авч үзэх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, үүнийг боловсруулсны дараа та бараг ямар ч "араатан" -тай харьцах боломжтой болно!

Энэ төрлийн сонгодог бүтээлүүдээс эхэлцгээе:

Жишээ 1

Нэгдүгээрт, энэ нь эрчим хүчний цуврал биш гэдгийг анхаарна уу (Ийм харагдаж байгааг би танд сануулж байна). Хоёрдугаарт, энд үнэ цэнэ нь нэн даруй анхаарлыг татдаг бөгөөд энэ нь цувралын нэгдэх бүсэд багтах боломжгүй юм. Мөн энэ нь аль хэдийн судалгааны жижиг амжилт юм!

Гэсэн хэдий ч яаж гайхалтай амжилтанд хүрэх вэ? Би танд таалагдахыг яарч байна - ийм цувралыг яг ижил аргаар шийдэж болно хүч– д’Аламберын тэмдэг эсвэл радикал Кошигийн шинж тэмдэг дээр үндэслэсэн!

Шийдэл: утга нь цувралын нийлэх мужид байхгүй байна. Энэ бол чухал баримт бөгөөд үүнийг анхаарах хэрэгтэй!

Үндсэн алгоритм нь стандарт байдлаар ажилладаг. d'Alembert-ийн шалгуурыг ашиглан бид цувралын нэгдэх интервалыг олно.

Цуврал нь нийлдэг. Модулийг дээш шилжүүлье:

"Муу" цэгийг нэн даруй шалгая: утга нь цувралын нийлэх мужид ороогүй болно.

Интервалуудын "дотоод" төгсгөлд цувралын нийлэлтийг судалж үзье.
хэрэв , тэгвэл
хэрэв , тэгвэл

Тооны цуваа хоёулаа зөрөөтэй, учир нь нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг.

Хариулт: нэгдэх талбар:

Бяцхан аналитик шалгалт хийцгээе. Зөв интервалаас зарим утгыг функциональ цувралд орлуулъя, жишээлбэл:
- нэгдэж байна д'Аламберын тэмдэг.

Зүүн интервалаас утгыг орлуулах тохиолдолд конвергент цувралыг мөн авна.
бол .

Эцэст нь хэрэв , дараа нь цуврал - үнэхээр ялгаатай.

Дулаацуулах хэдэн энгийн жишээ:

Жишээ 2

Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол

Жишээ 3

Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол

Ялангуяа "шинэ"-тэй харьцахдаа сайн байх модуль- энэ нь өнөөдөр 100,500 удаа тохиолдох болно!

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариултууд.

Ашигласан алгоритмууд нь бүх нийтийн бөгөөд асуудалгүй мэт боловч үнэн хэрэгтээ энэ нь тийм биш юм - олон функциональ цувралын хувьд тэдгээр нь ихэвчлэн "гулсдаг" бөгөөд бүр алдаатай дүгнэлтэд хүргэдэг. (Би бас ийм жишээг авч үзэх болно).

Барзгар байдал нь үр дүнгийн тайлбарын түвшинд аль хэдийн эхэлдэг: жишээлбэл, цувралыг авч үзье. Энд бид хязгаарт хүрдэг (өөрөө шалгаарай), ба онолын хувьд цувралууд нэг цэгт нийлдэг гэсэн хариултыг өгөх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч гол нь "тоглож" байгаа нь бидний "өвчтөн" хаа сайгүй хуваагддаг гэсэн үг юм!

Мөн цувралын хувьд Кошигийн "илэрхий" шийдэл нь юу ч өгдөггүй:
- "x"-ийн аливаа утгын хувьд.

Тэгээд асуулт гарч ирнэ, юу хийх вэ? Бид хичээлийн гол хэсгийг зориулах аргыг ашигладаг! Үүнийг дараах байдлаар томъёолж болно.

Төрөл бүрийн утгын тоон цувааны шууд шинжилгээ

Үнэн хэрэгтээ бид үүнийг жишээ 1-д аль хэдийн хийж эхэлсэн. Эхлээд бид тодорхой "X" болон харгалзах тооны цувааг шалгана. Энэ нь утгыг авахыг гуйж байна:
– гарсан тооны цуваа зөрүүтэй байна.

Энэ нь нэн даруй бодоход хүргэдэг: хэрэв ижил зүйл бусад цэгүүдэд тохиолдвол яах вэ?
Шалгацгаая цувралын ойртох зайлшгүй шинж тэмдэгУчир нь дур зоргоорооутга:

Дээрх цэгийг харгалзан үзсэн болно, бусад бүх хүмүүст "X"Бид стандартын дагуу зохион байгуулна хоёр дахь гайхалтай хязгаар:

Дүгнэлт: цуваа бүх тооны шугамын дагуу хуваагдана

Мөн энэ шийдэл нь хамгийн үр дүнтэй сонголт юм!

Практикт функциональ цувралыг ихэвчлэн харьцуулах шаардлагатай болдог ерөнхий гармоник цуврал :

Жишээ 4

Шийдэл: юуны түрүүнд асуудлыг шийдье тодорхойлолтын домэйн: энэ тохиолдолд радикал илэрхийлэл нь хатуу эерэг байх ёстой бөгөөд үүнээс гадна 1-ээс эхлэн цувралын бүх нөхцөл байх ёстой. Үүнээс үзэхэд:
. Эдгээр утгуудын тусламжтайгаар нөхцөлт нийлсэн цувааг олж авна.
гэх мэт.

Бусад "x" нь тохиромжгүй тул жишээлбэл, цувралын эхний хоёр нөхцөл байхгүй хууль бус тохиолдол гарахад.

Энэ бүхэн сайн байна, энэ бүгд тодорхой, гэхдээ өөр нэг чухал асуулт хэвээр байна - шийдвэрийг хэрхэн зөв албан ёсны болгох вэ? Би тоон цуваа руу "сумыг орчуулах" гэж нэрлэж болох схемийг санал болгож байна.

Ингээд авч үзье дур зоргоорооутга учир мөн тооны цувааны нийлэлтийг судлах. Тогтмол Лейбницийн тэмдэг:

1) Энэ цуврал ээлжлэн байна.

2) – цувааны нөхцлүүд модулийн бууралт. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага модультай: , энэ нь бууралт нь нэгэн хэвийн байна гэсэн үг.

Дүгнэлт: цуврал нь Лейбницийн шалгуурын дагуу нийлдэг. Өмнө дурьдсанчлан, энд нийлэх нь нөхцөлт юм - учир нь цуврал - зөрүүтэй.

Яг үүн шиг - цэвэр, зөв! Учир нь "альфа" -ын ард бид бүх зөвшөөрөгдөх тооны цувралуудыг ухаалгаар нуусан.

Хариулт: функциональ цуваа байдаг ба нөхцөлт нийлдэг.

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 5

Функциональ цувааны нийлэлтийг судал

Хичээлийн төгсгөлд хийх эцсийн даалгаврын ойролцоо жишээ.

Таны "ажлын таамаглал" маш их байна! – функциональ цуваа интервал дээр нийлдэг!

2) Тэгш хэмтэй интервалтай бол бүх зүйл ил тод байна, анхаарч үзээрэй дур зоргоорооутгууд ба бид дараахь зүйлийг авна: - туйлын нийлсэн тооны цуврал.

3) Эцэст нь "дунд". Энд бас хоёр цоорхойг тодруулах нь тохиромжтой.

Бид авч үзэж байна дур зоргоорооинтервалаас утгыг аваад бид тооны цувралыг авна:

! Дахин хэлэхэд - хэрэв хэцүү бол , тодорхой тоог орлуулах, жишээ нь . Гэсэн хэдий ч ... та бэрхшээлийг хүсч байсан =)

"en"-ийн бүх утгын хувьд хийгдсэн , гэсэн утгатай:
- тэгснээр, дагуу харьцуулалтцуваа нь хязгааргүй буурч буй прогрессийн хамт нийлдэг.

Бидний олж авсан интервалаас "x"-ийн бүх утгуудын хувьд – туйлын нийлсэн тооны цуваа.

Бүх "X"-ийг судалсан, одоо "X" байхгүй!

Хариулт: цувралын ойрын хүрээ:

Би хэлэх ёстой, гэнэтийн үр дүн! Энд бас d'Alembert's or Cauchy's тэмдгүүдийг ашиглах нь төөрөгдүүлэх нь гарцаагүй гэдгийг нэмж хэлэх хэрэгтэй!

Шууд үнэлгээ нь математик шинжилгээний "аеробатик" боловч энэ нь мэдээжийн хэрэг туршлага, зарим тохиолдолд зөн совин шаарддаг.

Эсвэл хэн нэгэн илүү хялбар арга олох болов уу? Бичих! Дашрамд хэлэхэд, урьд өмнө тохиолдсон зүйлүүд байдаг - уншигчид хэд хэдэн удаа илүү оновчтой шийдлүүдийг санал болгож байсан бөгөөд би тэднийг баяртайгаар нийтэлсэн.

Амжилттай газардаарай :)

Жишээ 11

Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол

Миний шийдлийн хувилбар маш ойрхон байна.

Нэмэлт хардкорыг эндээс олж болно VI хэсэг (мөр)Кузнецовын цуглуулга (Асуудал 11-13).Интернет дээр бэлэн шийдлүүд байдаг, гэхдээ энд та надад хэрэгтэй байна анхааруулах– Тэдний олонх нь бүрэн бус, буруу, бүр бүрэн алдаатай байдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нийтлэл яагаад төрөх болсон шалтгаануудын нэг байсан юм.

Гурван хичээлийг нэгтгэн дүгнэж, хэрэглүүрээ системчилье. Тэгэхээр:

Функцийн цувралын нийлэх интервалыг олохын тулд та ашиглаж болно:

1) Д'Аламберын тэмдэг эсвэл Кошигийн тэмдэг. Хэрэв эгнээ байхгүй бол тайвшруулах- янз бүрийн утгыг шууд орлуулах замаар олж авсан үр дүнд дүн шинжилгээ хийхдээ бид илүү болгоомжтой ханддаг.

2) Вейерштрассын жигд нийлэлтийг шалгах тест. Бүү март!

3) Стандарт тооны цувралтай харьцуулах- ерөнхий тохиолдолд дүрэм.

Дараа нь олсон интервалуудын төгсгөлийг шалгана (Хэрэв шаардлагатай бол)ба бид цувралын нийлэх мужийг олж авдаг.

Одоо та бараг бүх сэдэвчилсэн даалгаврыг даван туулах боломжтой нэлээд ноцтой зэвсэгтэй болсон.

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл: утга нь цувралын нийлэх мужид байхгүй байна.
Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:


Цуврал нэгдэж байна:

Тиймээс функциональ цувралын нэгдэх интервалууд: .
Төгсгөлийн цэгүүд дэх цувралын нийлэлтийг судалж үзье.
хэрэв , тэгвэл ;
хэрэв , тэгвэл .
Тооны цуваа хоёулаа зөрөөтэй, учир нь шаардлагатай нэгдэх шалгуур хангагдаагүй байна.

Хариулт : нэгдэх талбар:

Нийцэх талбар Функциональ цуврал нь гишүүд нь тоон тэнхлэгийн тодорхой E олонлог дээр тодорхойлогддог функцууд / тодорхойлсон цуваа юм. Жишээ нь: цувааны гишүүд нь интервал дээр тодорхойлогддог ба цувааны гишүүд нь интервал дээр тодорхойлогддог.Функциональ цуваа (1) нь ФУНКЦИОНАЛ ЦУВРАЛ нийлдэг бол Ho € E цэгт нийлдэг гэнэ. нийлмэл байдал Вейерштрассын тест Нэгт нийлсэн функциональ цуваа тоон цувааны шинж чанарууд Хэрэв (1) цуваа нь D C E олонлогийн x цэг бүрт нийлж, D олонлогт хамааралгүй цэг болгонд салж байвал цуваа олонлог дээр нийлдэг гэж тэд хэлдэг. D, ба D нь цуваа нийлэх муж гэж нэрлэгддэг. Цуврал (1) нь энэ олонлог дээр нийлбэл D олонлогт туйлын нийлдэг гэж нэрлэдэг.(1) цувааг D олонлогт нэгтгэх тохиолдолд түүний S нийлбэр нь D дээр тодорхойлогдсон функц болно. Зарим функциональ цувралын нийлэх мужийг эерэг нөхцөл бүхий цувралд тогтоосон хангалттай шалгуурыг ашиглан олж болно, жишээлбэл, Дапамбертын тест, Коши тест. Жишээ 1. М цувааны нийлэх мужийг ол. Тоон цуваа p > 1-д нийлж, p ^ 1-ийн хувьд дивергенцдэг тул p - Igx гэж үзвэл энэ цуваа гарна. нь Igx > T дээр нийлэх болно i.e. хэрэв x > 10, Igx ^ 1 үед ялгарах, өөрөөр хэлбэл. 0-д< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > A = тул 0-р эгнээ зөрүүтэй байна. x = 0 үед цувааны зөрүү нь тодорхой байна. Жишээ 3. Цувралын нийлэх мужийг ол.Өгөгдсөн цувааны гишүүд олонлог дээр тодорхой бөгөөд үргэлжилсэн байна. Kosh ба шалгуурыг ашиглан бид аль нэгийг нь олдог. Үүний үр дүнд цуврал нь x-ийн бүх утгын хувьд ялгаатай байна. Функциональ цувааны (1) n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг Sn(x) гэж тэмдэглэе. Хэрэв энэ цуваа D олонлог дээр нийлж, нийлбэр нь 5(g)-тэй тэнцүү бол D олонлог дээр нийлж буй цувааны нийлбэр нь функциональ цувааны n-р үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр дүрслэгдэж болно. 1). x € D-ийн бүх утгуудын хувьд хамаарал нь хэвээр байна. өөрөөр хэлбэл, нийлсэн цувааны үлдэгдэл Rn(x) нь n oo, ямар ч байсан тэг болох хандлагатай байна x 6 D. Нэгт нийлмэл байдал Бүх нийлсэн функциональ цувааны дунд жигд нийлсэн цуваа гэж нэрлэгддэг цуваа чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. нийлбэр нь S(x)-тэй тэнцүү D олонлог дээр нийлсэн функцийн цуваа өгье. Түүний n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг авч үзье Тодорхойлолт. Функциональ цуваа ФУНКЦИОНЦ ЦУВРАЛ Нэгдлийн талбар Нэгт нийлэх Вейерштрассын тест Нэгт нийлэх функциональ цувааны шинж чанаруудыг PS1 олонлог дээр жигд нийлдэг гэж хэлнэ) хэрэв ямар ч e > O тоонд тэгш бус байдал бүх тоонд биелэх Γ > O тоо байвал. n > N ба бүх x-ийн хувьд fI олонлогоос. Сэтгэгдэл. Энд N тоо нь бүх x € Yu хувьд ижил байна, i.e. z-ээс хамаарахгүй, харин e тооны сонголтоос хамаардаг тул N = N(e) гэж бичнэ. £ /n(®) функциональ цувааны S(x) функцэд ft олонлогийн жигд нийлэлтийг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг: ft олонлог дээрх /n(x) цувааны жигд нийлэх байдлын тодорхойлолтыг бичиж болно. Логик тэмдэглэгээг ашиглан илүү товч: Нэгт нийлэх функциональ муж гэсэн утгыг геометрээр тайлбарлая. [a, 6] хэрчимийг олонлог ft болгон авч, функцүүдийн графикийг байгуулъя. n > N болон бүх a тоонуудын хувьд биелэх | тэгш бус байдал; G [a, b]-ийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.Олдсон тэгш бус байдал нь n > N тоотой y = 5n(x) бүх функцийн графикууд y муруйгаар хязгаарлагдах £-муусайн дотор бүхэлдээ агуулагдах болно гэдгийг харуулж байна. = S(x) - e ба y = 5(g) + e (Зураг 1). Жишээ 1 интервал дээр жигд нийлдэг Энэ цуваа нь тэмдгээр ээлжлэн нийлдэг бөгөөд дурын x € [-1,1]-ийн хувьд Лейбницийн шалгуурын нөхцлийг хангасан тул (-1,1] интервалд нийлдэг. S(x) гэж үзье. ) нь түүний нийлбэр байх ба Sn (x) нь n-р хэсэгчилсэн нийлбэр байна.Цувралын үнэмлэхүй утга дахь үлдэгдэл нь түүний эхний гишүүний абсолют утгаас хэтрэхгүй: мөн дурын e-г авъя гэснээс хойш.Тэгвэл | тэгш бус байдал хангагдана. хэрэв. Эндээс бид n > \ гэдгийг олж мэднэ. Хэрэв бид тоо авбал (энд [a] нь a-аас хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоог илэрхийлнэ) тэгш бус байдал | e нь бүх n > N тоонуудад болон бүх x € [-1,1) байх болно. Энэ нь энэ цуваа [-1,1) интервал дээр жигд нийлдэг гэсэн үг юм. I. D олонлог дээр нийлдэг функциональ цуваа бүр жишээ 2 дээр жигд нийлэхгүй. Цуврал интервал дээр нийлдэг боловч жигд биш гэдгийг харуулъя. 4 Цувралын n-р хэсэгчилсэн нийлбэр £„(*)-ийг тооцоолъё. Бидэнд S(x) - 5„(x) (цувралын үлдэгдэл) ялгааны абсолют утга тэнцүү бол хэрчим болон түүний нийлбэр дээр энэ цуваа хаана нийлэх вэ. Ийм e тоог авъя. Бид n-д хамаарах тэгш бус байдлыг шийдье.. Бид хаанаас байна (үүнээс хойш, мөн Inx-д хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгддөг). Тэгэхэд тэгш бус байдал хангагдах болно. Иймд х-ээс хамааралгүй ийм N(e) тоо байгаа бөгөөд тэр хэрчим дэх бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал тус бүрд нэгэн зэрэг хангагдана. , байдаггүй. Хэрэв бид 0 сегментийг жижиг сегментээр солих юм бол энэ цуврал нь S0 функцэд жигд нийлнэ. Үнэн хэрэгтээ, төлөө, тиймээс бүх x-ийн хувьд нэг дор §3. Вейерштрассын тест Функциональ цувааны жигд нийлэлтийг шалгах хангалттай тестийг Вейерштрассын теоремоор өгсөн. Теорем 1 (Weierstrass тест). Q олонлогийн бүх x-ийн хувьд функциональ цувааны абсолют утгаар нь эерэг гишүүнтэй P = 1 нийлдэг тоон цувааны харгалзах гишүүдээс хэтэрч болохгүй, өөрөөр хэлбэл бүх x € Q. Дараа нь функциональ цуваа (1) ) олонлог дээр P үнэмлэхүй ба жигд нийлдэг. Теоремийн нөхцлүүдийн дагуу (1) цувааны нөхцлүүд нь бүх Q олонлогт (3) нөхцөлийг хангаж байгаа тул 2-р цуваа \fn(x)\ харьцуулж үзвэл дурын x € I-д нийлдэг. , улмаар (1) цуврал P дээр туйлын нийлдэг. (1) цувааны жигд нийлэлтийг баталъя. (1) ба (2) цувааны хэсэгчилсэн нийлбэрийг Sn(x) ба ан гэж тэмдэглэе. Бидэнд дурын (дурын жижиг) тоо e > 0-г авна. Дараа нь (2) тооны цувралын нийлбэрээс N = N(e) тоо байгаа нь дагалддаг тул бүх n > N тоонуудын хувьд -e байна. (e) болон бүх xbP-ийн хувьд, i.e. цуврал (1) олонлог дээр жигд нийлдэг P. Тайлбар. Тооны цувааг (2) ихэвчлэн функциональ цувралын (1) хувьд голчлох буюу majorant гэж нэрлэдэг. Жишээ 1. Цувралыг жигд нийлэх эсэхийг шалга.Тэгш бус байдал нь бүгдэд хамаарна. мөн хүн бүрт. Тооны цуваа нийлдэг. Вейерштрассын шалгуурын дагуу авч үзэж буй функциональ цуваа нь бүхэл тэнхлэгт туйлын, жигд нийлдэг. Жишээ 2. Цувралыг жигд нийлэх эсэхийг шалгаарай Цувааны гишүүд тодорхойлогдсон бөгөөд [-2,2| интервал дээр тасралтгүй байна. Аль ч натурал n тооны хувьд [-2,2) интервал дээр байгаа тул тэгш бус байдал нь биелнэ. Тооны цуваа нийлдэг тул Вейерштрассын шалгуурын дагуу анхны функциональ цуваа сегмент дээр туйлын, жигд нийлдэг. Сэтгэгдэл. Тоон гол цуврал (2) байхгүй тохиолдолд функциональ цуваа (1) нь Piv олонлог дээр жигд нийлж болно, өөрөөр хэлбэл Вейерштрассын шалгуур нь жигд нийлэхэд хангалттай шалгуур боловч шаардлагатай биш юм. Жишээ. Дээр дурдсанчлан (жишээ нь) цуврал 1-1,1 сегмент дээр жигд нийлдэг. Гэсэн хэдий ч түүний хувьд мажориант нийлсэн тооны цуврал байдаггүй (2). Үнэн хэрэгтээ бүх байгалийн n ба бүх x €-ийн хувьд [-1,1) тэгш бус байдал хангагдаж, тэгш байдал хангагдсан үед. Иймд хүссэн үндсэн цувралын (2) гишүүд нөхцөлийг хангах нь гарцаагүй боловч тооны цуваа ФУНКЦИОНАЛ ЦУВРАЛ Нэгдэлтийн талбар Нэгт нийлмэл байдал Вейерштрассын тест Нэгт нийлсэн функциональ цувааны дивергентийн шинж чанарууд. Энэ нь £ op цувралууд бас хуваагдана гэсэн үг юм. Нэгт нийлсэн функциональ цувааны шинж чанарууд Нэгт нийлсэн функциональ цуваа нь хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг. Теорем 2. [a, b] интервалд жигд нийлэх цувааны бүх гишүүнийг [a, 6]-д хязгаарлагдсан ижил d(x) функцээр үржүүлбэл үүссэн функциональ цуваа нь жигд нийлнэ. [a, b\ интервал дээр £ fn(x) цуваа 5(x) функцэд жигд нийлэх ба d(x) функц нь хязгаарлагдмал байх, өөрөөр хэлбэл, тодорхойлолтоор C > 0 тогтмол байна. Аливаа тооны e > 0-ийн цувааны жигд нийлбэрийн хувьд бүх n > N ба бүх x € [a, b]-ийн хувьд тэгш бус байдал хангагдах N тоо байх бөгөөд 5n(ar) нь хэсэгчилсэн нийлбэр юм. авч үзэж буй цуврал. Тиймээс бид үүнийг хүн бүрт өгөх болно. цуваа [a, b| дээр жигд нийлдэг функц Теорем 3. Функциональ цувааны бүх гишүүн fn(x) тасралтгүй байх ба цуваа [a, b\ интервал дээр жигд нийлнэ. Тэгвэл цувралын S(x) нийлбэр нь энэ интервал дээр тасралтгүй байна. M [o, b] хэрчим дээр ig + Ax гэсэн дурын хоёр цэгийг авъя. Энэ цуваа нь [a, b] интервал дээр жигд нийлдэг тул ямар ч e > O тооны хувьд N = N(e) тоо байх бөгөөд i > N бүхний тэгш бус байдал нь 5„(g) байх үед хангагдана. fn (x) цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр. Эдгээр хэсэгчилсэн нийлбэрүүд 5n(x) нь [a, 6] дээр үргэлжилсэн хязгаарлагдмал тооны fn(x) функцын нийлбэрүүд [a, 6] интервал дээр тасралтгүй байна. Иймд тогтмол тоо no > N(e) ба өгөгдсөн e тооны хувьд 6 = 6(e) > 0 тоо байгаа тул | нөхцөлийг хангасан Ax-ийн өсөлтөд тэгш бус байдал үүснэ: AS-ийн өсөлт. S(x) нийлбэрийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно: хаана. (1) ба (2) тэгш бус байдлыг харгалзан | нөхцөлийг хангасан тэнхлэгийн өсөлтийн хувьд бид Зургаа) нийлбэр нь x цэг дээр тасралтгүй байна гэсэн үг юм. x нь [a, 6] хэрчмийн дурын цэг тул 5(x) нь |a, 6| дээр тасралтгүй байна. Сэтгэгдэл. [a, 6] интервал дээр гишүүд нь тасралтгүй, харин (a, 6] дээр жигд бус нийлдэг функциональ цуваа нь нийлбэрийн хувьд тасархай функцтэй байж болно. Жишээ 1. |0,1 интервал дээр функциональ цувааг авч үзье. ). Түүний n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг тооцоод үзье.Тиймээс энэ нь хэрчим дээр тасархай боловч цувааны нөхцлүүд түүн дээр тасралтгүй байна. Батлагдсан теоремын ачаар энэ цуваа интервал дээр жигд нийлдэггүй. Жишээ 2. Цувралуудыг авч үзье Дээр дурдсанчлан энэ цуваа нийлдэг, 1 ба тооны цуваа нийлдэг тул Вейерштрассын тестийн дагуу цуваа жигд нийлэх болно. Иймээс аливаа x > 1-ийн хувьд энэ цувааны нийлбэр тасралтгүй байна. Сэтгэгдэл. Энэ функцийг Риманы функц гэж нэрлэдэг (энэ функц нь тооны онолд том үүрэг гүйцэтгэдэг). Теорем 4 (функциональ цувааг гишүүн гишүүнээр нь нэгтгэх тухай). Цувааны бүх гишүүн fn(x) тасралтгүй байх ба цуваа нь S(x) функцэд [a, b] интервал дээр жигд нийлнэ. Дараа нь тэгш байдал үүснэ: f„(x) функцүүдийн тасралтгүй байдал ба [a, 6] интервал дээрх энэ цуваа жигд нийлсэний улмаас түүний 5(x) нийлбэр тасралтгүй байх тул -д интегралдах боломжтой. Ялгааг авч үзье. [o, b] дээрх цувааны жигд нийлэгжилтээс үзэхэд дурын e > 0-ийн хувьд N(e) > 0 тоо байгаа нь бүх n > N(e) болон бүх тоонуудын хувьд байх болно. x € [a, 6] тэгш бус байдал хангагдана. Хэрэв fn(0) цуваа жигд нийлэхгүй бол ерөнхийдөө үүнийг гишүүнээр нь нэгтгэж болохгүй, өөрөөр хэлбэл 5-р теорем (функциональ цувааг гишүүнээр нь ялгах тухай) .00 нийлсэн цувааны бүх гишүүд тасралтгүй деривативтай ба эдгээр деривативуудаас бүрдэх цуваа нь [a, b] интервал дээр жигд нийлнэ.Тэгвэл аль ч цэгт тэгш байдал үнэн, өөрөөр хэлбэл энэ цувааг гишүүнээр ялгаж болно. гишүүн.М Дурын хоёр цэгийг авч үзье.Тэгвэл 4-р теоремын дагуу бид o-(x) функц нь тасралтгүй нийлсэн цуваа тасралтгүй функцүүдийн нийлбэр хэлбэрээр тасралтгүй байна.Тиймээс тэгш байдлыг ялгаж авах дасгалууд. Эдгээр функциональ цувааны нийлэх талбаруудыг ол: Вейерштрассын тестийг ашиглан эдгээр функциональ цувааг заасан интервалууд дээр жигд нэгтгэж байгааг нотол.

Сэдэв 2. Функциональ цуврал. Эрчим хүчний цуврал

2.1. Функциональ цуврал

Одоогоор бид гишүүд нь тоо байсан цувралуудыг авч үзсэн. Одоо гишүүд нь функц болох цувралуудын судалгаа руу шилжье.

Функциональ хүрээ эгнээ гэж нэрлэдэг

гишүүд нь нэг олонлог дээр тодорхойлогдсон ижил аргументын функцууд E.

Жишээлбэл,

1.
;

2.
;

Хэрэв бид аргумент өгөх юм бол Xзарим тоон утга
,
, дараа нь бид тооны цувралыг авна

нийлж (үнэмлэхүй) эсвэл салж болно.

Хэрэв цагт
үүссэн тооны цуваа нийлж, дараа нь цэг
дуудсаннэгдэх цэг функциональ хүрээ. Бүх нийлэх цэгүүдийн олонлогийг нэрлэдэгнэгдэх талбар функциональ хүрээ.Нэгдэх бүсийг тэмдэглэе X, ойлгомжтой,
.

Хэрэв эерэг тэмдэгтэй тоон цувааны хувьд: "Цуврал нийлдэг үү, салдаг уу?" Гэсэн асуултыг ээлжлэн сольж байгаа цувралын хувьд "Энэ нь нөхцөлт эсвэл туйлын нийлдэг үү, эсвэл салдаг уу?" Гэсэн асуултыг тавьдаг бол функциональ цувралын хувьд: гол асуулт нь: "Нэгдэх (үнэхээр нэгдэх) юу X?».

Функциональ хүрээ
аргумент бүрийн үнэ цэнийн дагуу хууль тогтоодог
,
,-д тооны цувааны нийлбэртэй тэнцэх тоо олгогдоно
. Тиймээс, зураг авалтын талбай дээр Xфункцийг тодорхойлсон
гэж нэрлэдэг функциональ цувралын нийлбэр.

Жишээ 16.

Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол

.

Шийдэл.

Болъё Xнь тогтмол тоо бол энэ цувралыг эерэг тэмдэгтэй тоон цуврал гэж үзэж болно
болон ээлжлэн
.

Энэ цувралын нэр томъёоны үнэмлэхүй утгуудын цувралыг хийцгээе.

өөрөөр хэлбэл ямар ч үнэ цэнийн хувьд XЭнэ хязгаар нь нэгээс бага бөгөөд энэ цуврал нь бүхэл тоон тэнхлэгт нийлдэг бөгөөд туйлын (бид цувралын нөхцлийн үнэмлэхүй утгуудын цувралыг судалсан тул) гэсэн үг юм.

Тиймээс үнэмлэхүй нийлэх муж нь олонлог юм
.

Жишээ 17.

Функциональ цувааны нийлэх талбайг ол
.

Шийдэл.

Болъё X- тогтмол тоо,
, тэгвэл энэ цуваа хэзээ эерэг тэмдэгтэй тооны цуваа гэж үзэж болно
болон ээлжлэн
.

Энэ цувралын нэр томъёоны үнэмлэхүй утгуудын цувралыг авч үзье.

мөн түүнд D'Alembert-ийн сорилыг хэрэглэнэ.

DAlembert-ийн тестийн дагуу, хэрэв хязгаарын утга нэгээс бага бол цуврал нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв энэ цуврал нэгдэх болно
.

Энэ тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд бид дараахь зүйлийг олж авна.


.

Иймд, энэ цувралын нөхцлийн абсолют утгуудаас бүрдэх цуваа хэзээ нийлдэг, энэ нь анхны цуваа туйлын нийлдэг гэсэн үг бөгөөд хэзээ
Энэ цуврал нь ялгаатай.

At
Эдгээр утгуудын хувьд цуваа нийлж эсвэл салж болно Xхязгаарын утга нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна. Тиймээс бид хэд хэдэн цэгүүдийн нийлэлтийг нэмж шалгадаг
Тэгээд
.

Энэ эгнээнд орлуулж байна
, бид тооны цуврал авдаг
, тухай энэ нь гармоник дивергент цуврал гэдгийг мэддэг, энэ нь цэг гэсэн үг
– өгөгдсөн цувралын зөрүүний цэг.

At
Бид ээлжлэн тооны цувралыг авдаг

Энэ нь нөхцөлт байдлаар нийлдэг нь мэдэгдэж байгаа (жишээ 15-ыг үз), энэ нь цэг гэсэн үг юм
– цувралын нөхцөлт ойртох цэг.

Ийнхүү энэ цувааны нийлэх муж нь , харин цуваа нь туйлын нийлдэг.

Функциональ хүрээ

дуудсанмэргэшсэн х-ийн хэлбэлзлийн зарим мужид эерэг тэмдгийн ийм нийлсэн цуваа байгаа бол

,

Энэ мужаас бүх x-ийн хувьд нөхцөл хангагдсан байна
цагт
. Мөр
дуудсанүндсэн.

Өөрөөр хэлбэл, түүний гишүүн бүр нь зарим нэг нийлсэн эерэг цувааны харгалзах гишүүнээс үнэмлэхүй утгаас ихгүй байвал цуврал давамгайлна.

Жишээлбэл, цуврал

ямар ч хүн голчлон суралцах боломжтой X, учир нь хүн бүрт Xхарилцаа хэвээр байна

цагт
,

ба эгнээ , мэдэгдэж байгаачлан нийлдэг.

ТеоремВейерштрасс

Тодорхой бүс нутагт мэргэшсэн цуврал нь тухайн бүс нутагт бүрэн нийлдэг.

Жишээлбэл, функциональ цувралуудыг авч үзье
. Энэ цуврал нь хэзээ мэргэшсэн
, хэзээнээс хойш
цувралын гишүүд эерэг цувралын харгалзах гишүүдээс хэтрэхгүй . Тиймээс Вейерштрассын теоремын дагуу авч үзсэн функциональ цуваа нь туйлын нийлдэг.
.

2.2. Эрчим хүчний цуврал. Абелийн теорем. Хүчний цувааны нийлэх муж

Функциональ цувралуудын дотроос практик хэрэглээний үүднээс хамгийн чухал нь хүч ба тригонометрийн цувралууд юм. Эдгээр цувралуудыг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Эрчим хүчний цуврал градусаар
хэлбэрийн функциональ цуваа гэж нэрлэдэг

Хаана - зарим нэг тогтмол тоо,
– цуваа коэффициент гэж нэрлэгддэг тоонууд.

At
Бид хүч чадлын цуваа авдаг Xгэсэн хэлбэртэй байна

.

Энгийн болгохын тулд бид хүч чадлын цувааг авч үзэх болно X, учир нь ийм цувралаас хүчирхэг цувралыг олж авахад хялбар байдаг
, оронд нь орлуулах Xилэрхийлэл
.

Эрчим хүчний цувааны ангиллын энгийн бөгөөд ач холбогдол нь юуны түрүүнд чадлын цувралын хэсэгчилсэн нийлбэртэй холбоотой юм.

олон гишүүнт - шинж чанар нь сайн судлагдсан, утгыг нь зөвхөн арифметик үйлдлүүдийг ашиглан хялбархан тооцдог функц юм.

Эрчим хүчний цуваа нь функциональ цувралын онцгой тохиолдол тул тэдгээрийн нэгдэх мужийг олох шаардлагатай. Ямар ч хэлбэрийн олонлог байж болох дурын функциональ цувааны нийлэх мужаас ялгаатай нь чадлын цувааны нийлэх талбар нь бүрэн тодорхой хэлбэртэй байдаг. Дараах теорем энэ тухай өгүүлдэг.

ТеоремАбел.

Хэрэв эрчим хүчний цуврал
ямар нэг утгаар нийлдэг
, дараа нь нөхцөлийг хангасан x-ийн бүх утгуудад туйлын нийлдэг
. Хэрэв чадлын цуваа ямар нэг утгаар зөрөөд байвал
, дараа нь нөхцөлийг хангасан утгуудын хувьд ялгаатай байна
.

Абелын теоремоос ийм зүйл гарч ирдэг Бүгдхүч дэх хүчнүүдийн цуваа нийлэх цэгүүд Xкоординатын гарал үүслээс оршдоггүй аль ч ялгааны цэгээс илүү. Нэгдэх цэгүүд нь гарал үүсэл дээр төвлөрсөн тодорхой цоорхойг дүүргэх нь ойлгомжтой. зэрэглэлийн цувааны нийлэх мужийн тухай теорем хүчинтэй.

Теорем.

Аливаа эрчим хүчний цувралын хувьд
тоо байнаР (Р>0)интервал дотор байрлах бүх x-ийн хувьд
, цуваа үнэмлэхүй нийлдэг ба интервалаас гадуур орших бүх x-ийн хувьд
, цуврал нь ялгаатай.

ТооРдуудсаннэгдэх радиус чадлын цуваа ба интервал
– нийлэх интервал х-ийн зэрэглэлийн зэрэглэлийн цуваа.

Теорем нь нийлэх интервалын төгсгөлд цуваа нийлэх талаар юу ч хэлээгүй болохыг анхаарна уу, i.e. цэгүүдэд
. Эдгээр цэгүүдэд өөр өөр чадлын цуваанууд өөр өөрөөр ажилладаг: цувралууд нийлж (туймаар эсвэл нөхцөлт) эсвэл салж болно. Тиймээс эдгээр цэгүүд дэх цувааны нийлэлтийг тодорхойлолтоор шууд шалгах хэрэгтэй.

Онцгой тохиолдолд цувралын нэгдэх радиус нь тэг эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү байж болно. Хэрэв
, дараа нь чадлын цуваа Xзөвхөн нэг цэгт нийлдэг
; хэрэв
, дараа нь чадлын цуваа бүх тооны тэнхлэгт нийлнэ.

Хүчний цуврал гэдгийг дахин нэг анхаарч үзье
градусаар
хүчин чадлын цуваа болгон бууруулж болно
орлуулахыг ашиглан
. Хэрэв эгнээ
цагт нийлдэг
, өөрөөр хэлбэл Учир нь
, дараа нь урвуу орлуулалтын дараа бид авна

 эсвэл
.

Тиймээс чадлын цуваа нийлэх интервал
шиг харагдаж байна
. Бүрэн зогсоох дуудсан нэгдлийн төв. Тодорхой болгохын тулд тоон тэнхлэг дээр нийлэх интервалыг дүрслэх нь заншилтай байдаг (Зураг 1)

Иймд нийлэх муж нь цэгүүдийг нэмж болох нийлэх интервалаас бүрдэнэ
, хэрэв цуваа эдгээр цэгүүдэд нийлбэл. Өгөгдсөн цувралын гишүүдийн үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх цувралд DAlembert-ийн тест эсвэл Кошигийн радикал тестийг шууд хэрэглэх замаар нийлэх интервалыг олж болно.

Жишээ 18.

Цувралын нэгдэх талбайг ол
.

Шийдэл.

Энэ цуврал нь хүч чадлын цуврал юм X, өөрөөр хэлбэл
. Энэ цувралын гишүүдийн үнэмлэхүй утгуудаас бүрдсэн цувааг авч үзээд DАламбертын тэмдгийг ашигла.

Хязгаарын утга 1-ээс бага бол цуврал нийлэх болно, i.e.

, хаана
.

Тиймээс энэ цувралын нэгдэх интервал
, нэгдэх радиус
.

Бид интервалын төгсгөлд, цэгүүдэд цуваа нийлэх байдлыг судалдаг
. Энэ цувралд утгыг орлуулах
, бид цувралыг авдаг

.

Үүний үр дүнд гарсан цуврал нь гармоник дивергент цуврал юм
цуврал зөрүүтэй байгаа нь цэг гэсэн үг
нийлэх бүсэд ороогүй болно.

At
Бид ээлжлэн цуврал авдаг

,

нөхцөлт нийлдэг (жишээ 15), тиймээс цэг
– нийлэх цэг (нөхцөлт).

Ийнхүү цувралын нийлэх муж
, мөн цэг дээр
Цуврал нь болзолт нийлдэг ба бусад цэгүүдэд туйлын нийлдэг.

Жишээг шийдвэрлэхэд ашигласан үндэслэлд ерөнхий шинж чанарыг өгч болно.

Эрчим хүчний цувралыг авч үзье

Цувралын гишүүдийн үнэмлэхүй утгуудын цувралыг эмхэтгэж, түүнд D'Alembert-ийн шалгуурыг хэрэгжүүлье.

Хэрэв (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй) хязгаар байгаа бол D'Alembert-ийн шалгуурын нэгдэх нөхцлийн дагуу цуваа нийлнэ.

,

,

.

Эндээс, нийлэх интервал ба радиусын тодорхойлолтоос бид байна

Радикал Коши тест болон үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашигласнаар бид нийлэх радиусыг олох өөр томьёог олж авах боломжтой.

Жишээ 19

Шийдэл.

Энэ цуврал нь хүч чадлын цуврал юм X.Нийцэх интервалыг олохын тулд дээрх томьёог ашиглан нэгдэх радиусыг тооцоолно. Өгөгдсөн цувралын хувьд тоон коэффициентийн томъёо нь хэлбэртэй байна

, Дараа нь

Тиймээс,

Учир нь Р = , дараа нь цуваа бүх утгуудад нийлдэг (мөн туйлын). X,тэдгээр. нэгдэх бүс X (–; +).

Томъёо ашиглахгүйгээр, харин Аламбертийн шалгуурыг шууд хэрэглэснээр нийлэх мужийг олох боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Учир нь хязгаарын утга нь үүнээс хамаардаггүй X 1-ээс бага бол цуврал бүх утгуудад нийлнэ X,тэдгээр. цагт X(-;+).

Жишээ 20

Цувралын нэгдэх талбайг ол

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + П!(X + 5) П +...

Шийдэл .

x + 5), тэдгээр. нэгдлийн төв X 0 = - 5. Цувралын тоон коэффициент А П = n!.

Цувралын нэгдэх радиусыг олъё

.

Тиймээс нэгдэх интервал нь нэг цэгээс бүрддэг - нэгдэх интервалын төв x = - 5.

Жишээ 21

Цувралын нэгдэх талбайг ол
.

Шийдэл.

Энэ цуврал нь хүч чадлын цуврал юм ( X–2), тэдгээр.

нэгдлийн төв X 0 = 2. Цуврал нь аливаа тогтмол хувьд эерэг тэмдэг гэдгийг анхаарна уу X,илэрхийллээс хойш ( X- 2) 2-ын зэрэглэлд хүргэсэн П.Цуврал дээр радикал Коши тестийг ашиглацгаая.

Хязгаарын утга 1-ээс бага бол цуврал нийлэх болно, i.e.

,
,
,

Энэ нь нэгдэх радиус гэсэн үг юм
, дараа нь нэгтгэх интеграл

,
.

Тиймээс цуврал нь туйлын нийлдэг X
. Конвергенцийн интеграл нь нэгдэх төвтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу XО = 2.

Нэгдэх интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг судалъя.

Итгэж байна
, бид эерэг тэмдэгтэй тоон цувралыг олж авдаг

Нэгтгэхийн тулд шаардлагатай шалгуурыг ашиглацгаая.

тиймээс тоон цуваа зөрөх ба цэг
ялгах цэг юм. Хязгаарыг тооцоолохдоо бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашигласан гэдгийг анхаарна уу.

Итгэж байна
, бид ижил тооны цувралыг авдаг (өөрийгөө шалгаарай!), Энэ нь цэг гэсэн үг юм
нийлэх интервалд мөн ороогүй болно.

Тэгэхээр энэ цувралын үнэмлэхүй нийлэх муж X
.

2.3. Нэгдсэн чадлын цувааны шинж чанарууд

Тасралтгүй функцүүдийн төгсгөлтэй нийлбэр тасралтгүй гэдгийг бид мэднэ; дифференциалагдах функцүүдийн нийлбэр нь дифференциал, нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү; эцсийн нийлбэрийг нэр томъёогоор нэгтгэж болно.

Эндээс харахад функцүүдийн "хязгааргүй нийлбэр" - функцын цувралын хувьд шинж чанарууд нь ерөнхий тохиолдолд тохирохгүй байна.

Жишээлбэл, функциональ цувралыг авч үзье

Цувралын бүх гишүүд тасралтгүй функц болох нь ойлгомжтой. Энэ цувааны нийлбэрийн муж ба түүний нийлбэрийг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг олдог

дараа нь цувралын нийлбэр

Тэгэхээр хэмжээ С(X) Хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаар болох өгөгдсөн цувралын хязгаар нь байдаг ба төгсгөлтэй X (-1;1), Энэ нь энэ интервал нь цувралын нийлэх муж гэсэн үг юм. Түүнээс гадна түүний нийлбэр нь тасалдалгүй функц юм, учир нь

Тиймээс, энэ жишээ нь ерөнхий тохиолдолд хязгаарлагдмал нийлбэрүүдийн шинж чанарууд нь хязгааргүй нийлбэрүүдийн аналоггүй болохыг харуулж байна - цуврал. Гэсэн хэдий ч функциональ цувралын онцгой тохиолдлын хувьд - чадлын цуваа - нийлбэрийн шинж чанарууд нь төгсгөлтэй нийлбэрүүдийн шинж чанаруудтай төстэй байдаг.

4.1. Функциональ цуврал: үндсэн ойлголтууд, нэгдэх талбар

Тодорхойлолт 1. Гишүүд нь нэг юм уу функц болох цуврал
тодорхой олонлог дээр тодорхойлсон хэд хэдэн бие даасан хувьсагч гэж нэрлэдэг функциональ хүрээ.

Гишүүд нь нэг бие даасан хувьсагчийн функц болох функциональ цувралыг авч үзье X. Эхний нийлбэр nцувралын гишүүд нь өгөгдсөн функциональ цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр юм. Ерөнхий гишүүн -аас функц байдаг X, тодорхой бүс нутагт тодорхойлсон. Цэг дэх функциональ цувралыг авч үзье . Хэрэв харгалзах тооны цуврал бол нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. энэ цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрт хязгаарлалт бий
(Хаана − тооны цувааны нийлбэр), дараа нь цэгийг дуудна нэгдэх цэгфункциональ хүрээ . Хэрэв тооны цуврал бол diverges, дараа нь цэг гэж нэрлэдэг ялгах цэгфункциональ хүрээ.

Тодорхойлолт 2. Нэгдэх талбарфункциональ хүрээ зэрэг бүх утгуудын багц гэж нэрлэдэг X, энэ үед функциональ цуваа нийлдэг. Бүх нийлэх цэгүүдээс бүрдэх нэгдэх мужийг тэмдэглэв . Тэрийг тэмдэглэ Р.

Функциональ цуваа нь бүс нутагт нийлдэг , хэрэв байгаа бол энэ нь тооны цуваа шиг нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь ямар нэгэн функц байх болно . Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юм хязгаарлах функцдараалал : .

Функцийн цувралын нийлэх талбайг хэрхэн олох вэ ? Та d'Alembert-ийн тэмдэгтэй төстэй тэмдгийг ашиглаж болно. Нэг эгнээний хувьд зохиох болон тогтмол хязгаарыг авч үзье X:
. Дараа нь тэгш бус байдлын шийдэл юм ба тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (бид зөвхөн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авдаг
аль харгалзах тооны цуваа нийлдэг).

Жишээ 1. Цувралын нийлэх талбайг ол.

Шийдэл. гэж тэмдэглэе , . Хязгаарыг зохиож, тооцоолъё
, дараа нь цувааны нийлэх мужийг тэгш бус байдлаар тодорхойлно ба тэгшитгэл . Дараахь тэгшитгэлийн үндэс болох цэгүүд дээрх анхны цувааны нийлэлтийг судалъя.

мөн хэрэв , , дараа нь бид ялгаатай цувралыг авна ;

б) хэрэв , , дараа нь цуврал нөхцөлт байдлаар нийлдэг (

Лейбницийн шалгуур жишээ 1, лекц 3, хэсэг. 3.1).

Ийнхүү нэгдэх бүс нутаг цуврал дараах байдалтай байна. .

4.2. Хүч чадлын цуваа: үндсэн ойлголтууд, Абелийн теорем

Функциональ цуврал гэж нэрлэгддэг тусгай тохиолдлыг авч үзье эрчим хүчний цуврал , Хаана
.

Тодорхойлолт 3. Эрчим хүчний цувралхэлбэрийн функциональ цуваа гэж нэрлэдэг.

Хаана − залгасан тогтмол тоо цувралын коэффициентууд.

Хүчний цуваа нь өсөн нэмэгдэж буй чадлаар байрлуулсан "хязгааргүй олон гишүүнт" юм . Аливаа тооны цуврал байна
хүчин чадлын цувралын онцгой тохиолдол .

Хүч чадлын цувралын онцгой тохиолдлыг авч үзье :
. Энэ нь ямар төрөл болохыг олж мэдье
Энэ цувралын нэгдэх муж .

Теорем 1 (Абелийн теорем). 1) Хэрэв цахилгаан цуваа цэг дээр нийлдэг , дараа нь энэ нь ямар ч хувьд туйлын нийлдэг X, үүний хувьд тэгш бус байдал хэрэгжинэ .

2) Хэрэв чадлын цуваа нь цагт зөрөөд байвал , дараа нь энэ нь ямар ч хувьд ялгаатай X, Үүний төлөө .

Баталгаа. 1) Нөхцөлийн дагуу хүч чадлын цуваа цэг дээр нийлдэг ,

өөрөөр хэлбэл тооны цуваа нийлдэг

(1)

ба нийлэх шаардлагатай шалгуурын дагуу түүний нийтлэг нэр томъёо нь 0 байх хандлагатай байдаг, i.e. . Тиймээс ийм тоо байдаг цувралын бүх гишүүд энэ тоогоор хязгаарлагдах болно:
.

Одоо аль нэгийг нь авч үзье X, Үүний төлөө , мөн үнэмлэхүй утгуудын цуваа гарга: .
Энэ цувралыг өөр хэлбэрээр бичье: оноос хойш , дараа нь (2).

Тэгш бус байдлаас
бид авах, өөрөөр хэлбэл. эгнээ

(2) цувралын харгалзах нөхцлөөс их нэр томъёоноос бүрдэнэ. Мөр хуваагчтай геометр прогрессийн нийлэх цувааг илэрхийлнэ , ба , учир нь . Үүний үр дүнд (2) цуврал нийлдэг . Тиймээс эрчим хүчний цуврал үнэхээр таарч байна.

2) Цувралыг үзье -д ялгаатай , Өөрөөр хэлбэл,

тооны цуваа зөрүүтэй . Үүнийг хэнд ч баталцгаая X () цуваа зөрүүтэй байна. Нотолгоо нь зөрчилдөөнтэй байдаг. Заримыг нь үзье

тогтмол ( ) цуваа нийлдэг, дараа нь энэ нь бүгд нийлдэг (энэ теоремын эхний хэсгийг үзнэ үү), ялангуяа, хэзээ , энэ нь теорем 1-ийн 2) нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Теорем батлагдсан.

Үр дагавар. Абелын теорем нь хүч чадлын цувааны нийлэх цэгийн байршлыг шүүх боломжийг олгодог. Хэрэв цэг бол нь чадлын цувааны нийлэх цэг, дараа нь интервал нэгдэх цэгүүдээр дүүрсэн; хэрэв зөрөх цэг нь цэг юм бол , Тэр
хязгааргүй интервалууд ялгах цэгүүдээр дүүрсэн (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Цувралын нийлэх ба дивергенцийн интервалууд

Ийм тоо байгааг харуулж болно Энэ нь хүн бүрийн өмнө
эрчим хүчний цуврал туйлын нийлдэг, хэзээ - зөрүүтэй. Хэрэв цуваа зөвхөн нэг цэг дээр нийлдэг бол 0 гэж бид таамаглах болно , хэрвээ цувралууд бүгдээрээ нийлдэг бол , Тэр .

Тодорхойлолт 4. Конвергенцийн интервалэрчим хүчний цуврал ийм интервал гэж нэрлэдэг Энэ нь хүн бүрийн өмнө Энэ цуврал нэгдэж, үүнээс гадна, туйлын, бүхний хувьд X, энэ интервалаас гадуур хэвтэх нь цуваа хуваагдана. Тоо Рдуудсан нэгдэх радиусэрчим хүчний цуврал.

Сэтгэгдэл. Интервалын төгсгөлд Хүчин чадлын цувааны нийлэх эсвэл ялгах асуудлыг тодорхой цуврал болгонд тусад нь шийддэг.

Хүчин чадлын цуваа нийлэх интервал ба радиусыг тодорхойлох аргуудын нэгийг үзүүлье.

Эрчим хүчний цувралыг авч үзье болон тэмдэглэнэ .

Гишүүдийнх нь үнэмлэхүй утгыг цувралаар хийцгээе.

мөн түүнд d'Alembert-ийн сорилыг хэрэглэнэ.

Байгаарай

.

d'Alembert-ийн тестийн дагуу хэрэв цуврал нийлдэг , мөн хэрэв ялгаатай . Тиймээс цуваа нь -д нийлдэг, тэгвэл нийлэх интервал нь: . Хэзээ цуврал diverges, оноос хойш .
Тэмдэглэгээ ашиглах , бид чадлын цувааны нийлэх радиусыг тодорхойлох томъёог олж авна.

,

Хаана − чадлын цувааны коэффициентүүд.

Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал бол , дараа нь бид таамаглаж байна .

Хүчний цувааны ойртох интервал ба радиусыг тодорхойлохын тулд та радикал Коши тестийг ашиглаж болно; цувралын ойрын радиусыг хамаарлаас тодорхойлно. .

Тодорхойлолт 5. Эрчим хүчний ерөнхий цувралхэлбэрийн цуваа гэж нэрлэдэг

. Үүнийг цахилгаан цуваа гэж бас нэрлэдэг .
Ийм цувралын хувьд нэгдэх интервал нь дараах хэлбэртэй байна. , Хаана − нэгдэх радиус.

Ерөнхий чадлын цувааны нэгдэх радиусыг хэрхэн олохыг үзүүлье.

тэдгээр. , Хаана .

Хэрэв , Тэр , ба нэгдэх муж R; Хэрэв , Тэр болон нэгдэх бүс .

Жишээ 2. Цувралын нэгдэх талбайг ол .

Шийдэл. гэж тэмдэглэе . Хязгаарлалт хийцгээе

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: , Тиймээс интервал

Конвергенц нь дараах хэлбэртэй байна. , ба Р= 5. Нэмж хэлэхэд бид нийлэх интервалын төгсгөлийг шалгана:
A) , , бид цувралыг авдаг , энэ нь ялгаатай;
б) , , бид цувралыг авдаг , энэ нь нийлдэг
нөхцөлтэйгээр. Тиймээс нэгдэх талбар нь: , .

Хариулт:нэгдэх бүс .

Жишээ 3.Мөр хүн бүрийн хувьд өөр , учир нь цагт , нэгдэх радиус .

Жишээ 4.Цуврал нь нэгдэх радиус бүхий бүх R-д нийлдэг .