Энэ нийтлэл нь "Рационал тоо" сэдвийг судлахад зориулагдсан болно. Рационал тоонуудын тодорхойлолт, жишээнүүд, тоо рационал эсэхийг хэрхэн тодорхойлох талаар доор харуулав.
Рационал тоо. Тодорхойлолт
Рационал тоонуудын тодорхойлолтыг өгөхийн өмнө өөр ямар тооны багц байдаг, тэдгээр нь хоорондоо хэрхэн холбоотой болохыг санацгаая.
Натурал тоонууд нь эсрэг болон тэг тоонуудын хамт бүхэл тооны олонлогийг бүрдүүлдэг. Хариуд нь бүхэл бутархай тооны олонлог нь рационал тооны олонлогийг бүрдүүлдэг.
Тодорхойлолт 1. Рационал тоо
Рационал тоо гэдэг нь эерэг энгийн бутархай a b, сөрөг энгийн бутархай a b эсвэл тэг тоогоор илэрхийлэгдэх тоо юм.
Тиймээс бид рационал тоонуудын хэд хэдэн шинж чанарыг хадгалж чадна.
- Аливаа натурал тоо бол рационал тоо юм. Мэдээжийн хэрэг, n натурал тоо бүрийг 1 n бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
- Аливаа бүхэл тоо, түүний дотор 0 тоо нь оновчтой тоо юм. Үнэн хэрэгтээ аливаа эерэг бүхэл тоо болон сөрөг бүхэл тоог эерэг эсвэл сөрөг энгийн бутархай хэлбэрээр хялбархан илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
- Аливаа эерэг эсвэл сөрөг энгийн бутархай a b нь рационал тоо юм. Энэ нь дээр дурдсан тодорхойлолтоос шууд гардаг.
- Аливаа холимог тоо оновчтой байдаг. Үнэндээ холимог тоог энгийн буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
- Ямар ч төгсгөлтэй эсвэл үечилсэн аравтын бутархайг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тиймээс үечилсэн буюу төгсгөлтэй аравтын бутархай бүр рационал тоо юм.
- Хязгааргүй ба үечилсэн бус аравтын бутархай нь рационал тоо биш юм. Тэдгээрийг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй.
Рационал тоонуудын жишээг өгье. 5, 105, 358, 1100055 тоонууд нь натурал, эерэг, бүхэл тоо юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь оновчтой тоо юм. - 2, - 358, - 936 тоонууд нь сөрөг бүхэл тоо бөгөөд тодорхойлолтын дагуу тэдгээр нь бас оновчтой байна. 3 5, 8 7, - 35 8 энгийн бутархайнууд нь рационал тооны жишээ юм.
Рационал тооны дээрх тодорхойлолтыг илүү товчоор томъёолж болно. Рационал тоо гэж юу вэ гэсэн асуултад дахин хариулах болно.
Тодорхойлолт 2. Рационал тоо
Рационал тоонууд нь ± z n бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тоонууд бөгөөд z нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм.
Энэ тодорхойлолт нь рационал тоонуудын өмнөх тодорхойлолттой дүйцэж байгааг харуулж болно. Үүнийг хийхийн тулд бутархай шугам нь хуваах тэмдэгтэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Бүхэл тоог хуваах дүрэм, шинж чанарыг харгалзан бид дараахь тэгш бус байдлыг бичиж болно.
0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .
Тиймээс бид бичиж болно:
z n = z n , p r ба z > 0 0 , p r ба z = 0 - z n , p r ба z< 0
Үнэндээ энэ бичлэг бол нотлох баримт юм. Хоёр дахь тодорхойлолт дээр үндэслэн рационал тоонуудын жишээг өгье. 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ба - 1 3 5 гэсэн тоонуудыг авч үзье. Эдгээр бүх тоо нь оновчтой, учир нь тэдгээрийг бүхэл тоологч ба натурал хуваагчтай бутархай хэлбэрээр бичиж болно: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.
Рационал тоонуудын тодорхойлолтын өөр ижил төстэй хэлбэрийг өгье.
Тодорхойлолт 3. Рационал тоо
Рационал тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болох тоо юм.
Энэхүү тодорхойлолт нь энэ зүйлийн эхний тодорхойлолтоос шууд хамааралтай болно.
Энэ санааг нэгтгэн дүгнэж, томъёолъё:
- Эерэг ба сөрөг бутархай ба бүхэл тоо нь рационал тооны багцыг бүрдүүлдэг.
- Рационал тоо бүрийг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, түүний хүртэгч нь бүхэл тоо, хуваагч нь натурал тоо юм.
- Рационал тоо бүрийг аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно: төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн.
Аль тоо нь оновчтой вэ?
Бидний аль хэдийн олж мэдсэнээр аливаа натурал тоо, бүхэл тоо, зөв ба буруу жирийн бутархай, үе ба төгсгөлтэй аравтын бутархай нь рационал тоо юм. Энэхүү мэдлэгээр зэвсэглэснээр та тодорхой тоо оновчтой эсэхийг амархан тодорхойлж чадна.
Гэсэн хэдий ч практик дээр хүн тоогоор биш, харин үндэс, хүч, логарифм агуулсан тоон хэллэгтэй харьцах шаардлагатай болдог. Зарим тохиолдолд "тоо оновчтой юу?" ойлгомжтой байхаас хол байна. Энэ асуултад хариулах аргуудыг авч үзье.
Хэрэв тоог зөвхөн рационал тоо ба тэдгээрийн хоорондох арифметик үйлдлүүдийг агуулсан илэрхийлэл болгон өгсөн бол илэрхийллийн үр дүн нь рационал тоо болно.
Жишээлбэл, 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) илэрхийллийн утга нь рационал тоо бөгөөд 18-тай тэнцүү байна.
Тиймээс нарийн төвөгтэй тоон илэрхийллийг хялбарчлах нь өгөгдсөн тоо оновчтой эсэхийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно.
Одоо язгуурын тэмдгийг харцгаая.
m тооны n зэрэглэлийн язгуур болгон өгсөн m n тоо нь m нь зарим натурал тооны n-р зэрэглэл байх үед л рациональ байх болно.
Нэг жишээ авч үзье. 2-ын тоо нь оновчтой биш юм. Харин 9, 81 нь оновчтой тоо юм. 9 ба 81 нь 3 ба 9 тоонуудын төгс квадратууд юм. 199, 28, 15 1 тоонууд нь рационал тоо биш, учир нь язгуур тэмдгийн доорх тоо нь ямар ч натурал тооны төгс квадрат биш юм.
Одоо илүү төвөгтэй хэргийг авч үзье. 243 5 оновчтой тоо мөн үү? Хэрэв та 3-ыг 5-р зэрэглэлд хүргэвэл 243-ыг авах тул анхны илэрхийлэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: 243 5 = 3 5 5 = 3. Тиймээс энэ тоо нь оновчтой юм. Одоо 121 5 гэсэн тоог авч үзье. Тав дахь зэрэглэлд 121-ийг өгөх натурал тоо байхгүй тул энэ тоо нь үндэслэлгүй юм.
a тооны суурь b-ийн логарифм нь рационал тоо мөн эсэхийг мэдэхийн тулд та зөрчилдөх аргыг хэрэглэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, log 2 5 тоо оновчтой эсэхийг олж мэдье. Энэ тоог оновчтой гэж үзье. Хэрэв тийм бол ердийн бутархай log 2 5 = m n хэлбэрээр бичиж болно.Логарифмын шинж чанар, зэрэглэлийн шинж чанараас хамааран дараах тэгшитгэлүүд үнэн болно.
5 = 2 лог 2 5 = 2 м n 5 n = 2 м
Мэдээжийн хэрэг, зүүн ба баруун тал нь сондгой, тэгш тоонуудыг агуулдаг тул сүүлчийн тэгш байдлыг хангах боломжгүй юм. Иймээс гаргасан таамаглал буруу бөгөөд log 2 5 нь оновчтой тоо биш юм.
Тоонуудын оновчтой, оновчтой бус байдлыг тодорхойлохдоо гэнэтийн шийдвэр гаргах ёсгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээлбэл, иррационал тоонуудын үржвэрийн үр дүн нь үргэлж иррационал тоо байдаггүй. Тайлбар жишээ: 2 · 2 = 2.
Мөн иррациональ тоонууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг иррациональ хүчинд өсгөх нь оновчтой тоог өгдөг. 2 log 2 3 хэлбэрийн зэрэгт суурь ба илтгэгч нь иррационал тоо юм. Гэсэн хэдий ч тоо нь өөрөө оновчтой: 2 log 2 3 = 3.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
3-р хэсгийн практик даалгавар
Предикатын тухай ойлголт ба тэдгээрийн үйлдлүүд.
3.1. Дараах илэрхийллүүдийн аль нь предикат вэ?
A) " X 5-д хуваагддаг" ( X Î Н);
б) "Гол" XБайгаль нуурт урсдаг" ( Xбүх төрлийн голын олон нэрээр урсдаг);
V) " x2 + 2X+ 4" ( XÎ Р) ;
G) "( X + цагт)2 = x2 + 2Xy + y 2" ( x, yÎ Р);
г)" Xахтай цагт» ( x, yолон хүн гүйж байна);
д) " XТэгээд цагт» ( x, цагттухайн бүлгийн бүх оюутнуудын багцыг давах);
ба) " XТэгээд цагтэсрэг талд хэвтэх z» ( x, цагтбүх цэгийн олонлогоор гүйх, ба z - нэг онгоцны бүх шугам);
h) "ctg 45° = 1";
Тэгээд)" Xперпендикуляр цагт» ( X, цагтнэг хавтгайн бүх шулуун шугамын багцыг дайран өнгөрөх).
3.2. Дараах мэдэгдлүүд тус бүрийн хувьд субьект хувьсагчдыг харгалзах домэйноос тохирох утгуудаар солих үед өгөгдсөн өгүүлбэр болж хувирах предикатыг (ганц эсвэл олон тооны) ол.
a) "3 + 4 = 7";
б) “Итгэл, найдвар хоёр эгч дүүс”;
в) "Өнөөдөр Мягмар гараг";
г) "Саратов хот нь Волга мөрний эрэг дээр байрладаг;
e) "нүгэл 30° = 1/2";
е) "Оросын агуу яруу найрагч";
g) “32 + 42= 52;
h) "Индигирка гол Байгаль нуурт цутгадаг";
Ийм предикат байгуулсны дараа түүний үнэний талбарыг үнэн зөв зааж өгөх эсвэл ямар нэгэн байдлаар тоймлохыг хичээ.
Шийдэл. i) Гурван предикатыг зааж өгч болох бөгөөд тус бүр нь зохих орлуулалттай өгөгдсөн мэдэгдэл болж хувирдаг. Эхний предикат нь нэгдмэл байна:
"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48">. Энэ нь орлуулснаар энэ мэдэгдэл болж хувирна. Үр дүнгийн мэдэгдэл үнэн. Заасан утга нь бүтээгдсэн предикатын багц үнэнийг шавхдаггүй. Энэ олонлогийг тогтооход хялбар байдаг тул дараах байдалтай байна. 
. Хоёр дахь предикат нь бас нэгдмэл байна: "" (yÎ
R). Энэ нь орлуулах үед энэ мэдэгдэл болж хувирдаг у = 1. Энэ утга нь уг предикатын үнэний олонлогийг шавхаж байгаа нь тодорхой байна..png" width="240" height="48">. Энэ нь орлуулснаар энэ мэдэгдэл болж хувирна, цагт= 1. Түүний үнэний муж нь эмх цэгцтэй хосуудын багц бөгөөд тэдгээрийн цуглуулга нь тангенсоид гэж нэрлэгддэг хязгааргүй муруйн бүлгээр графикаар дүрслэгдсэн байдаг.
3.3. Дараах мэдэгдлүүдийг уншаад аль нь үнэн, аль нь худал болохыг тодорхойл, бүх хувьсагч нь бодит тоонуудын дунд явагдана гэж үз.
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" өргөн "135" өндөр "21 src=">
в) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" өргөн "136" өндөр "21 src=">
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" өргөн "232" өндөр "24 src=">
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" өргөн "204" өндөр "24 src=">
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" өргөн "201" өндөр "24 src=">
l) хувьсагчтай харьцуулахад https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" x, энэ нь R олонлогоор дамждаг. Үр дүнгийн илэрхийлэлд хувьсагч гэж хэлдэг цагтхолбогдсон ба хувьсагч Xүнэгүй. Хувьсагчийн оронд цагтБид цаашид юуг ч орлож чадахгүй, харин оронд нь Xбодит тоонуудыг орлуулж болох бөгөөд үүний үр дүнд нэгдмэл предикат нь мэдэгдэл болж хувирна. Жишээлбэл, мэдэгдэл " 
" гэж ингэж уншиж болно: "Бодит тоо байна цагт, ийм X)($y)( X+ цагт= 7)" үнэн. Үүнийг дараах байдлаар уншиж болно: "Аливаа бодит тооны хувьд эхнийх нь нийлбэр нь 7 гэсэн бодит тоо байдаг." "(" гэсэн илэрхийлэлд X)($y)( X+ цагт= 7)” чөлөөт хувьсагч байхгүй болсон. Аль аль нь хувьсагч XТэгээд цагттоон үзүүлэлтүүдийн тэмдгүүдийн дор зогсох ба тиймээс хамааралтай. Илэрхийлэл нь өөрөө предикат байхаа больсон, энэ нь бидний тогтоосон шиг үнэн юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид хүсвэл предикатын тухай ойлголтыг боловсруулахдаа мэдэгдлийг 0-р байр суурьтай, өөрөөр хэлбэл хувьсагчгүй предикат гэж үзэж болно. Гэхдээ бид нэг байртай предикатаас 0-р байр суурьтай тоон шилжилт нь чанарын үсрэлт рүү хөтөлдөг гэдгийг ойлгох ёстой, ингэснээр 0-р байр суурь нь нэг байртай предикатаас чанарын хувьд ялгаатай объект юм, гэхдээ бид үүнийг нөхцөлт байдлаар багтаасан болно. "предикат" гэсэн ойлголтын дор.
б) "($у)(" гэсэн мэдэгдэл X)(X+ цагт= 7)" гэснийг дараах байдлаар уншиж болно: "Аливаа бодит тоон дээр нэмэхэд 7 хүртэл гарах бодит тоо байдаг." Энэ мэдэгдэл худал гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм. Үнэн хэрэгтээ "(" нэгдмэл илэрхийллийг анхаарч үзээрэй. X)(X+ цагт= 7)" хувьсагчтай харьцуулахад у,өгөгдсөн мэдэгдлийг олж авах экзистенциал хэмжигчийг хэрэглэх замаар. Сэдвийн хувьсагчийг ямар ч бодит тоогоор орлуулах нь ойлгомжтой у,Жишээлбэл "(" X)(X+ 4 = 7)", предикат нь худал мэдэгдэл болж хувирна. ("(" мэдэгдэл X)(X+ 4 = 7)" нь худал, учир нь нэгдмэл предикат "( X+ 4 = 7)" нь хувьсагчийг орлуулах үед худал мэдэгдэл болж хувирдаг. Xтоо 5.) Тиймээс "($y)(" гэсэн мэдэгдэл X)(X+ цагт= 7)", нэгдмэл предикатаас үүссэн "(" X)(X+ цагт= 7)" оршихуйн хэмжигдэхүүнийг авах үйлдлийг ашиглан у,худлаа.
i) Энэ мэдэгдлийг дараах байдлаар уншиж болно: "Аливаа бодит тоо нь зөвхөн 1-ээс их эсвэл 2-оос бага байвал өөртэйгөө тэнцүү байна." Энэ мэдэгдэл үнэн эсвэл худал эсэхийг мэдэхийн тулд бид ийм бодит тоог хайж олохыг хичээх болно x0,энэ нь нэгдмэл предикатыг эргүүлэх болно
худал мэдэгдэл болгон. Хэрэв бид ийм тоог олж чадвал ерөнхий хэмжигдэхүүнийг "хавсруулах" (жишээ нь авах үйлдлийг ашиглах) замаар уг предикатаас олж авсан мэдэгдэл худал болно. Хэрэв бид зөрчилддөг гэж үзвэл зөрчилддөг x0байгаа бол өгөгдсөн мэдэгдэл үнэн байна.
Энэ нь тодорхой байна " предикат " x = x" гэж орлуулбал үнэн үг болж хувирдаг Xямар ч бодит тоо, өөрөөр хэлбэл энэ нь яг адилхан үнэн юм. Асуулт нь: предикатыг хувиргах бодит тоог зааж өгөх боломжтой юу? 
» худал мэдүүлэг өгөх үү? Үгүй ээ, учир нь бид ямар ч бодит тоог авсан бай 1-ээс их эсвэл 2-оос бага (эсвэл хоёулаа 1-ээс их, 2-оос бага, энэ нь манай тохиолдолд огт хориглогдоогүй). Тиймээс, предикат " "нь яг адилхан үнэн. Дараа нь предикат нь яг адилхан үнэн байх болно
Энэ нь энэ мэдэгдэл гэсэн үг юм
ерөнхий хэмжигдэхүүн авах үйл ажиллагааны тодорхойлолтоор үнэн.
3.4. https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23" хэллэг нь M олонлог дээр тодорхойлогдсон P (x) ба Q (x) нэгдмэл предикатууд байг. " өндөр "23"> худал.
3.5. Бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлсон предикатуудын аль нэг нь нөгөөгийн үр дагавар мөн эсэхийг тодорхойл.
a) "| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;
b) "x4 = 16", "x2 = - 2";
в) “x - 1 > 0”, “(x - 2) (x + 5) = 0”;
г) “нүгэл x = 3”, “x2 + 5 = 0”;
e) “x2 + 5x - 6 > 0”, “x + 1 = 1 + x”;
e) “x2 £ 0”, “x = sin p”;
g) "x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0", "| x - 2| = 1".
Шийдэл. g) Хоёр дахь предикат нь зөвхөн хоёр орлуулалтаар үнэн өгүүлбэр болж хувирдаг: x = 1 ба x = 3. Эдгээр орлуулалтууд нь эхний предикатыг мөн үнэн өгүүлбэр болгон хувиргаж байгааг шалгахад хялбар байдаг (тэдгээр нь энэ куб тэгшитгэлийн үндэс юм) . Тиймээс эхний предикат нь хоёр дахь нь үр дагавар юм.
3.6. Субъект хувьсагчийн утгын M багцыг тодорхойл, ингэснээр энэ олонлог дээр хоёр дахь предикат нь эхнийх нь үр дагавар байх болно:
A) " X 3-ын олон", " Xбүр";
б) " x 2 = 1", " x-1 = 0";
V) " xхачин", " X- натурал тооны квадрат";
G) " x- ромб", " x- параллелограмм";
г)" x- параллелограмм", " x- ромб";
д) " x- Оросын эрдэмтэн", " x- математикч";
ба) " x- дөрвөлжин", " x- параллелограмм."
Шийдэл. g) Квадрат бүр параллелограмм тул бүх дөрвөн өнцөгтийн олонлогийг хоёр дахь предикат нь эхнийх нь үр дагавар болох олонлог болгон авч болно.
3.7. Ижил хувьсагчдаас хамааран өөр ямар ч предикаттай ижил үнэн предикатын холболт нь сүүлчийнхтэй тэнцүү болохыг батал.
3.8. Ижил худал үр дагавартай, ижил хувьсагчдаас хамаарах хоёр предикатын далд утга нь түүний үндэслэлийг үгүйсгэсэнтэй тэнцүү гэдгийг батал.
ПРЕДИКАТ АЛГЕБРЫН ХЭЛНИЙ ТАЙЛБАР
ба предикат алгебр ашиглан үндэслэлийн шинжилгээ
Жишээ 1. “a ба b шугамууд зэрэгцээ биш” гэсэн үг юу гэсэн үг вэ?
Ø(a || b) томьёоны утгыг нээхийн тулд $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b) томъёоны үгүйсгэлийг олох хэрэгтэй. Бидэнд Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú байна. Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.
Харин оросоор "a ба b шулууныг агуулсан хавтгай байхгүй" гэсэн утгатай Ø$a(a Ì a & b Ì a) томъёо нь огтлолцох шугамуудын хамаарлыг илэрхийлж, a Ç b ¹ Æ & a ¹ томъёог илэрхийлдэг. b-ийг орос хэл рүү орчуулсан "a ба b шугамууд нь нийтлэг цэгүүдтэй боловч давхцдаггүй" гэсэн өгүүлбэрээр шугамын огтлолцлын хамаарлыг илэрхийлдэг.
Тиймээс параллель бус шугамууд нь тэдгээрийн огтлолцол эсвэл огтлолцлыг хэлнэ. Жишээ 2. "Бүх зүйл" гэсэн үндэслэлд ихэвчлэн хэрэглэгддэг "Аристотелийн ангиллын шүүлтүүд" гэж нэрлэгддэг предикат алгебрийн хэлээр бич. Смөн чанар Р"," Зарим Смөн чанар Р"," Үгүй Сгол нь биш Р"," Зарим Сгол нь биш Р».
Бичлэгийг хүснэгтэд үзүүлэв. 1.1. Энэ хүснэгтийн эхний баганад "бүх", "зарим", "зарим" гэсэн тоон үзүүлэлтээр илэрхийлэгдсэн тоо хэмжээг (ерөнхий ба тусгай дүгнэлт) харгалзан үзсэн нарийн төвөгтэй шалгуурын дагуу ангилсан дүгнэлтийг ангилах үед үүсэх дүгнэлтийн төрлийг заана. "мөн чанар", "мөн чанар биш", "байна" гэсэн холбогч үгсээр дамжуулж буй чанар (баталгаа, сөрөг дүгнэлт).
Хоёрдахь баганад уламжлалт логикоор шүүлтийн стандарт аман томъёолол, тавдугаарт - предикат алгебрийн хэлээр бичсэн бичлэгийг өгдөг. S(x)“х өмчтэй байна” гэж ойлгох ёстой С", А P(x)- "x өмчтэй Р».
Дөрөв дэх баганад үзэл баримтлалын Vs ба VP боть хоорондын хамаарлыг харуулав СТэгээд Р, хэрэв шүүлтийг хамгийн ерөнхий хэлбэрээр ойлгож байгаа бол зөвхөн тухайн сэдвийн талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгөх үед. Жишээлбэл, "Бүх зүйл Смөн чанар Р“Бид бүгдийн тухай ярьж байгаа нь тодорхой С, предикатын хамрах хүрээ тодорхойлогдоогүй байна: бид өмчтэй бүх объектын тухай ярьж байна уу? П, эсвэл зөвхөн зарим талаар; зөвхөн бол Смөн чанар П, эсвэл бусад объектууд мөн байна Р. Заримдаа энэ нь предикатын хамрах хүрээний талаархи тодорхойгүй байдал юм Рконтекстийг арилгадаг, заримдаа үүнийг арилгах шаардлагагүй байдаг. VP-ийн эзлэхүүний Vs-ийн харьцааг онцлон тэмдэглэхийн тулд илүү тодорхой томъёоллыг ашигладаг: "Бүгд Сзөвхөн биш Смөн чанар Р"эсвэл бүгд Смөн зөвхөн тэдгээр нь мөн чанар юм Р" Хоёрдахь томъёолол гэж нэрлэдэг ерөнхийлэх баталгаатай дүгнэлт. Эхний дүгнэлтийг Зураг дээр үзүүлсэн Венн диаграмаар хариулна. 1, a, хоёрдугаарт - Зураг дээр. 1, б. Үүнтэй холбогдуулан шүүхийн шийдвэр “Зарим Смөн чанар Р" гэж ерөнхийд нь "Зарим" гэж ойлгодог Смөн тэд цорын ганц биш юм Р", энэ нь Зураг дээрх диаграмтай тохирч байна. 2, a, гэхдээ энэ нь бас “Зарим Смөн зөвхөн тэдгээр нь мөн чанар юм С"(Зураг 2, b). Шүүхийн шийдвэр "Бүх зүйл Сгол нь биш Р", ерөнхий хэлбэрээр ойлгосон, Зураг дээрх диаграммтай тохирч байна. 3, а. "Бүх зүйл" гэсэн тодотголтой ижил дүгнэлтэнд Сзөвхөн тэд тийм биш Р"Зураг дээрх диаграммд хариулав. 3, б. Энэ томъёолол нь хоорондын харилцааны тайлбартай тохирч байна зөрчилтэй ойлголтууд , өөрөөр хэлбэл, эзэлхүүн нь огтлолцохгүй, илүү ерөнхий ерөнхий ойлголтын эзлэхүүнийг шавхдаггүй. Эцэст нь шүүхийн шийдвэр “Зарим Сидэж болохгүй юм Р» ерөнхийдөө Зураг дээрх диаграммтай тохирч байна. 4, а, тодруулсан хэлбэрээр “Зарим Сзөвхөн тэд тийм биш Р"- Зураг дээрх диаграм. 4, б. Хүснэгт 3.1
Шүүмжлэлийн төрөл | Амаар томъёолох уламжлалт логикоор бүртгэх | Предикат алгебрийн хэл дээрх тэмдэглэгээ | Vs ба VP боть хоорондын хамаарал |
Ерөнхий эерэг | Бүгд Смөн чанар П |
|
|
Хувийн эерэг | Зарим Смөн чанар Р |
|
|
Ерөнхий сөрөг | Байхгүй Сгол нь биш Р |
|
|
Хэсэгчилсэн сөрөг | Зарим Сгол нь биш Р |
|
|
Зураг 1
Цагаан будаа. 2
Зураг 4Жишээ 3. “Бүх хүмүүс мөнх бус; Сократ бол эр хүн; Тиймээс Сократ мөнх бус мөн." Аргументийн эхний байр суурь нь ерөнхийдөө батлах санал юм (2-р жишээг үзнэ үү). Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: H(x): x - хүн; C (x): х - мөнх бус; в - Сократ.
Аргументийн бүтэц:
"x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)
(3.1)-г бүү барь. Дараа нь зарим домэйнд (c, H(x), C(x))-д зориулсан олонлог (a, li(x), lj(x)) байх ёстой бөгөөд үүнд дараах нөхцөлүүд хангагдана.
"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.
Харин дараа нь li(a) Þ lj (a) гэсэн далд утга нь А утгатай байх бөгөөд энэ нь ерөнхий хэмжигдэхүүний тодорхойлолтоор “x(li(x) Þ lj (x)) = A гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь эхний нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. .Тиймээс 2.8-р дүгнэлт зөв, анхны үндэслэл нь зөв.
Жишээ 4. Үндэслэлд дүн шинжилгээ хий: “ЦСКА-г ялж чадах ямар ч хоккейн баг бол дээд лигийн баг юм. ЦСКА-г ямар ч дээд лигийн баг хожиж чадахгүй. Энэ нь ЦСКА ялагдашгүй гэсэн үг."
O тэмдэглэгээ: P(x): x баг ЦСКА-г ялж чадна; B (x): дээд лигийн x баг.
Аргументийн бүтэц:
"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).
Үр дүн нь зөв эсэхийг бид эквивалент хувиргалтын аргыг ашиглан тогтооно. Санал 1.10-ын ерөнхий дүгнэлтийн үр дүнд b)-ийг ашиглан “x(P(x) Þ B(x))&”x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) томьёог хувиргана.
Бидэнд: "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x) ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $хП(х)) =
= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.
Эдгээр эквивалент формацуудад A & ØA = А холболтын шинж чанарыг хоёр удаа, A Ú A = A дизюнкцийн шинж чанарыг нэг удаа ашигласан.
Тиймээс анхны томъёо нь ерөнхийдөө хүчинтэй байгаа нь үндэслэл зөв гэсэн үг юм.
Жишээ 5. Үндэслэлд дүн шинжилгээ хий: “Хэрэв аль нэг баг ЦСКА-г хожиж чадсан бол дээд лигийн зарим баг ч гэсэн хожиж чадна. Динамо (Минск) бол дээд лигийн баг боловч ЦСКА-г хожиж чадахгүй. Энэ нь ЦСКА ялагдашгүй гэсэн үг."
Тэмдэглэгээ: P(x): x баг ЦСКА-г ялж чадна; B(x): дээд лигийн x баг; d - "Динамо" (Минск).
Аргументийн бүтэц:
"X P( X) Þ $ X(IN( X)& P( X)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)
Сэтгэгдэл.Үндэслэлийг албан ёсны болгохдоо байгалийн хэл дээр ижил үг, хэллэгийг байнга давтахаас зайлсхийхийн тулд ижил утгатай хэллэгүүдийг өргөн ашигладаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Орчуулах явцад тэдгээрийг ижил томъёогоор дамжуулах ёстой нь тодорхой байна. Бидний жишээн дээр ийм ижил утгатай үгс нь "тушаал XЦСКА" ба "багийг ялж чадна XЦСКА-г ялж чадна" гэсэн бөгөөд хоёулаа P() томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. X).
(3.2)-ын утга буруу байна. Үүнийг батлахын тулд байр, дүгнэлтийг илэрхийлсэн томъёоны дор хаяж нэг тайлбарыг зааж өгөхөд хангалттай бөгөөд үүнд байр нь I утгыг, дүгнэлтийг L гэсэн утгыг авна. Ийм тайлбар нь жишээлбэл, дараах байдалтай байна. D = (1, 2, 3, 4) . Энэхүү тайлбарт бид тооцооллын дараа,
I Þ I, I &ØL ├ ØI, эсвэл би, би ├ Л.
Тэгэхээр энэ тайлбарт хоёр байр хоёулаа I утгатай, дүгнэлт нь L гэсэн утгатай байна.Энэ нь дараах (3.2) буруу, үндэслэл буруу гэсэн үг.
3.9. Харгалзах домэйн дээр тохирох нэгдмэл предикатуудыг оруулсны дараа дараах мэдэгдлийг предикат алгебрийн хэл рүү орчуулна уу.
a) Бүх рационал тоонууд бодит байна.
б) Ямар ч рационал тоо бодит биш.
в) Зарим рационал тоонууд бодит байна.
d) Зарим рационал тоонууд бодит биш.
Шийдэл.Дараах нэгдмэл предикатуудыг танилцуулъя
Q(x): « X- оновчтой тоо";
R(x): « X- бодит тоо."
Дараа нь дээрх мэдэгдлүүдийг предикат алгебрийн хэл рүү орчуулах нь дараах байдалтай байна.
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" өргөн "144" өндөр "21 src=">
в) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" өргөн "137" өндөр "21 src=">
3.10. Харгалзах домайнууд дээр нэгдмэл предикатуудыг танилцуулж, тэдгээрийг дараах мэдэгдлүүдийг предикат алгебрийн томъёо хэлбэрээр бичихэд ашиглана уу.
a) 12-т хуваагддаг натурал тоо бүр 2, 4, 6-д хуваагдана.
б) Швейцарийн оршин суугчид франц, итали эсвэл герман хэлээр ярих ёстой.
в) Интервал дээр үргэлжилсэн функц нь тэмдгээ хадгалах буюу тэг утгыг авна.
г) Зарим могойнууд хортой байдаг.
e) Бүх нохойнууд сайн үнэртэй байдаг.
3.11. Дараах жишээн дээр өмнөх бодлоготой ижил зүйлийг хий, заавал нэг төрлийн предикатаар хязгаарлагдахгүйгээр:
a) Хэрэв a нь бодит коэффициент бүхий нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийн үндэс бол энэ нь мөн энэ олон гишүүнтийн үндэс болно.
б) Шулуун дээрх хоёр тодорхой цэгийн хооронд тэдгээртэй давхцахгүй ядаж нэг цэг байна.
в) Хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх ганц шулуун шугам байна.
d) Оюутан бүр дор хаяж нэг лабораторийн ажил гүйцэтгэсэн.
д) Натурал тоонуудын үржвэр нь анхны тоонд хуваагддаг бол ядаж нэг хүчин зүйл нь түүнд хуваагдана.
е) Нэг хавтгай нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээр дамжин өнгөрдөг.
g) Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч аТэгээд бнийтлэг хуваагч бүрт хуваагдана.
h) Бодит тоо бүрийн хувьд Xийм байдаг цагтэнэ нь хүн бүрт зориулагдсан z, хэрэв хэмжээ zба 1 бага цагт, дараа нь нийлбэр X 2 нь 4-өөс бага.
Тэгээд) X- Анхны тоо.
j) Дөрөвөөс их тэгш тоо бүр нь хоёр анхны тооны нийлбэр юм (Голдбахын таамаг).
3.12. Дараах мэдэгдлийг предикат алгебрийн хэлээр бич.
a) Яг нэг байна X, ийм P(x).
б) Дор хаяж хоёр өөр байна X, ийм P(x).
в) Хоёроос илүүгүй байна X, ийм P(x).
г) Яг хоёр өөр байдаг X, ийм P(x).
3.13. Ямар нэгэн предикатын хувьд M олонлогийн талаар юу хэлж болох вэ B(x)М багц дээрх мэдэгдэл үнэн үү?
3.14. Болъё P(x)гэсэн үг" x- Анхны тоо", E(x)гэсэн үг" X- тэгш тоо", Өө) - « X- сондгой тоо", D ( x,y) - « Xхуваадаг цагт" эсвэл " цагтхуваасан X" Хувьсах хэмжигдэхүүнийг харгалзан дараах бэлгэдлийн тэмдэглэгээг предикат алгебрийн хэлээр орос хэл рүү орчуулна уу. XТэгээд цагтнатурал тооны олонлогоор гүйх:
A) P( 7) ;
б) E( 2) & P( 2) ;
в) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" өргөн "136" өндөр "21 src=">;
д) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" өргөн "237" өндөр "23 src=">;
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" өргөн "248" өндөр "23 src=">;
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" өргөн "108" өндөр "23"> ├ ?
Хэрэв байр суурь болон дүгнэлт нь нэг хувьсагчаас хамааралтай дан предикат байвал дараах зүйлсийн зөв эсэхийг Венн диаграмм ашиглан шалгаж болно. Манай жишээн дэх үндэслэл, дүгнэлт болох ангилсан дүгнэлтүүдийн хувьд үзэл баримтлалын боть хоорондын хамаарал. СТэгээд Ржишээ 2-т тайлбарласан болно. Бид энэ тайлбарыг ашиглах болно.
Ганц суурь тохиолдлын Венн диаграмын арга нь дараах байдалтай байна. Бид үзэл баримтлалын боть хоорондын харилцааны бүх тохиолдлуудыг диаграммаар дүрсэлсэн СТэгээд Р, илгээмжтэй харгалзах.
Хэрэв гарсан диаграм тус бүр дээр дүгнэлт үнэн бол дараах зүйл зөв байна. Хэрэв диаграммуудын дор хаяж нэг дээр дүгнэлт худал бол дараахь зүйл буруу байна..
(a) Урьдчилан таамаглал нь сөрөг санал тул 1-р зурагт үзүүлсэн диаграммууд боломжтой. 5.
Эдгээр диаграммуудын аль нь ч https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> тодорхой эерэг дүгнэлт байхгүй бол түүний боломжит диаграммууд байна. 6-р зурагт үзүүлэв.
10 - Математик логик i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; a) * xy ∨ xz ; j) (x | y) → (x | z) ; б) x ~ y; k) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ; в) * xy; m) (x ∨ y) x ∨ z ; г) xyz; д) x (y ∨ z) → (xy ∨ z) ; n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; h) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. SDNF-г аваад дараа нь SCNF руу очно уу: b) * (x → y) → (y → x); 18.* x, y, z, f (x, y, z)= x гэсэн гурван аргументаас (элементар илэрхийллүүд) f функцийг (цогц өгүүлбэр) өгье. Энэ функцэд зориулж SDNF үүсгэ. 19. SCNF аваад дараа нь SDNF руу орно: d) * (x | y) xy ; 20. Томъёоны хувьд MDNF-ийг авна уу: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); в) * (x ⊕ y) → z ∨ y ; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; д) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz ; g) * (x → y) → z ∨ x ; h) * xy ∨ xy ∨ xz ; 22.* x, y, z контактуудаас x, y, z гурван контактын аль нэг нь хаагдсан тохиолдолд л хаагдах хэлхээг байгуул. 24.* Зураг 1, a, b-ийн диаграммыг хялбарчлан харуул. a) b) Зураг. 1 - 11 - Математик логик 25.* Предикатуудын хэлээр бичнэ үү: a) бүх сурагчид суралцана; б) зарим оюутнууд онц сурдаг; в) дурын тооны хувьд та илүү их тоог олох боломжтой; d) x + y = z; д) объект бүр А өмчтэй; е) аливаа зүйл А өмчтэй; g) объект бүр А өмчийг эзэмшдэггүй; з) аливаа зүйлд А өмч байхгүй; i) рационал тоо бүр нь бодит тоо; j) зарим бодит тоо нь оновчтой; k) ямар ч рационал тоо бодит биш; м) зарим рационал тоонууд бодит биш байна. 26.* Яагаад 25а, 25i дасгалд импликацийг, 25б, 25к дасгалд холболтыг ашигласан болохыг тайлбарлахыг хичээ. 27.* Предикатуудын хэлээр бичнэ үү: a) 16-аас доош насны хүүхэд (D(x)) болон робот (R(x)) орохыг хориглоно (B(x)); б) 16-аас доош насны бүх хүүхдүүд (D(x)) болон роботууд (R(x)) гэрчилгээ (C(x)) авах ёстой. 28.* Предикатуудын хэлээр бичнэ үү: a) 12-т хуваагдах аливаа N нь 2, 4, 6-д хуваагдана; б) оюутан бүр дор хаяж нэг лабораторийн ажил гүйцэтгэсэн; в) нэг шулуун шугам нь хоёр өөр цэгээр дамждаг. 29. Тоглолтын хэлээр бич: e)* сурагч бүр (C(x)) - тамирчин (S(x)) киноны уран бүтээлчдийн дунд ямар нэгэн шүтээн (y) (B(x,y)) байдаг (K(y)) ); e)* хэрвээ зарим том компьютерууд (B(x)) өөр том компьютертэй (C(x,y)) холбогдсон бол (B(y)), энэ нь ямар ч мини компьютер (M(x)) байхгүй гэсэн үг юм. холбох хэрэгсэл (S(x)); гучин. * Ямар нөхцөлд: a) ∀x P (x) ≡ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ≡ O, a ∀x P(x) ≡ 1; 33.* Энэ бол үгүйсгэхтэй холбоотой нэмэлт бэрхшээлүүдийг харуулсан сонгодог жишээ юм: "Одоогийн Францын хаан халзан" гэсэн өгүүлбэр нь худал болох нь мэдэгдэж байна. Үүнийг предикат хэлээр хэрхэн бичих вэ. ШИЙДЭЛ, ХАРИУЛТ. - 12 - Математик логик 1а. Анхан шатны хэллэгүүдийг албан ёсоор сонгоцгооё: A – сурагч онц сурдаг; B - оюутан нийгмийн ажил эрхэлдэг; C - оюутан хөгжлийн бэрхшээлтэй; D - оюутан тэтгэлэг авдаг. Дараа нь нийлмэл өгүүлбэрийн бэлгэдлийн хэлбэр нь A ⋅B⋅C → D болно. 1б. Бэлгэдлийн тэмдэглэгээ нь дараах байдлаар харагдаж болно: P⋅Z → S⋅P → P.() 3. Саналын логикийн хувьд "Петя коллежид явсан нь худлаа" гэх мэт мэдэгдлийг зөв гэж үзэх хэрэгтэй, учир нь өгүүлбэрүүд хуваагддаггүй. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A & B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC эсвэл ижил зүйл, гэхдээ энгийн хэлбэрээр AB ∨ AC ∨ BC. 11б. A B ∨ BC ∨ AC. 13а. xy z. 13-р зуун Томъёо нь аль хэдийн DNF-д байна. Яагаад? 14а. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14б. Томъёо нь KNF-д аль хэдийн орсон байна. Яагаад? 15а. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15б. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15д. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16а. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ y)(x ∨ y)(x ∨ y) y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16-р зуун (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF байхгүй, учир нь энэ бол тавтологи юм. - 13 - Математик логик 17б. Энэ бол тавтологи тул үүнд SKNF байхгүй. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 Энэ бол зөрчилдөөн бөгөөд үүний төлөө SKNF байдаггүй. 20а. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕y) ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z)(xy ∨ x y ∨ z)∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x yz ∨ xy z ∨ x yz ∨ xy z ∨ ∨ y x SD ∨ ∨ y x z ∨ ∨ y x z ∨ ∨ SD z ∨ yz - SKDNF ба MDNF. 20б. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz)∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ x ∨ y x ∡ yz ∨ z ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20-р зуун xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20д. A∨C∨ D. 20 дахь. x∨z . 20 гр. x∨z . 20z. xy ∨ x y ∨ xz эсвэл xy ∨ x y ∨ yz. 21р зуун xy ∨ xz. 21 1. 22. Зураг. 2. - 14 - Математик логик Зураг. 2 23a. Зураг үзнэ үү. 3. a) b) Зураг. 3 23. Хялбаршуулсан диаграммууд нь зурагт үзүүлсэн шиг харагдах болно. 4. a) b) Зураг. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)), энд C(x) нь “x нь оюутан”, Y(x) нь “х нь оюутан”. 25б. ∃x (C(x) & O(x)) . 25-р зуун Хоёр оронтой предикатыг энгийн хамаарлын хэлбэрээр бичье: ∀х ∃y (x)< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.
Асуудал 2. 1
Хэрэв P(x) нь M олонлог дээр тодорхойлогдсон нэгдмэл предикат бол доор жагсаасан бэлгэдлийн мэдэгдлийг үгээр илэрхийл.
Асуудал 2. 2
x*x тэгш бус байдал гэж тодорхойлогдсон A(x) предикатын өргөтгөлд юу тохиолдох вэ?<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:
Асуудал 2.3
R(x) - "x нь бодит тоо",
Q(x) - "х бол оновчтой тоо." Эдгээр тэмдгийг ашиглан томьёог бичнэ үү.
1. бүх рационал тоо бодит байна
2. ямар ч рационал тоо бодит биш
3. зарим рационал тоонууд бодит
4. зарим рационал тоонууд бодит биш
Асуудал 2.4
Дараахь предикатуудыг танилцуулав.
J(x)- "х бол шүүгч",
L(x)- "х бол хуульч",
S(x)- "х бол луйварчин",
Q(x)- "х бол хөгшин хүн",
V(x)- "x - хөгжилтэй",
P(x)- "х бол улс төрч",
C(x)- "х бол парламентын гишүүн",
W(x)- "х бол эмэгтэй",
U(x)- "х бол гэрийн эзэгтэй",
A(x, y) - "x y-г биширдэг",
ж - Жонс.
Амаар тайлбар болон томъёоны хоорондох захидал харилцааг ол:
Шүүгчид бүгд хуульч
Зарим хуульчид луйварчид байдаг
Ямар ч шүүгч луйварчин байдаггүй
Зарим шүүгч нар хөгшин ч эрч хүчтэй байдаг
Шүүгч Жонс хөгшин ч биш, эрүүл ч биш
Бүх хуульчид шүүгч биш
Зарим хуульчид улстөрч, УИХ-ын гишүүд
Ямар ч УИХ-ын гишүүн хөгжөөнтэй байдаггүй
УИХ-ын хуучин гишүүд бүгд хуульч
Зарим эмэгтэйчүүд аль аль нь хуульч, УИХ-ын гишүүн байдаг
Ямар ч эмэгтэй улстөрч, гэрийн эзэгтэй аль аль нь байдаггүй
Зарим хуульч эмэгтэйчүүд бас гэрийн эзэгтэй байдаг
Бүх эмэгтэй хуульчид зарим шүүгчийг биширдэг
Зарим хуульчид зөвхөн шүүгчдийг биширдэг
Зарим хуульчид эмэгтэйчүүдийг биширдэг
Зарим луйварчид ямар ч хуульчийг биширдэг
Шүүгч Жонс ямар ч Луйврыг биширдэггүй
Шүүгч Жонсыг биширдэг хуульчид ч, луйварчид ч бий
Шүүгчид л шүүгчдийг биширдэг
а. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))
б. "x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))
в. "x (C(x) ® ù "(x))
г. "x (C(x)/\Q(x) ®L(x))
д. $x (W(x)/\L(x)/\C(x))
е. $x (W(x)/\L(x)/\U(x))
g. "x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))
h. "x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y))))
j. "x (J(x) ®L(x))
к. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
л. $x (L(x)/\S(x))
м. $x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))
n. "x (J(x) ® ù S(x))
о. "x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))
х. $x (J(x)/\Q(x)/\"(x))
q. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
r. J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)
с. ù "x (L(x) ®J(x))
т. $x (L(x)/\P(x)/\C(x))
Асуудал 2.5
Дараах хэллэгүүдийг томъёоны хэл рүү орчуулна уу.
Хэрэв тоо бүр тоо бүрт хуваагддаг бол энэ нь тэгш байна
бодит х тоо болгонд у байх тул k болгонд k ба 1-ийн нийлбэр у-аас бага бол х ба 2-ын нийлбэр 4-өөс бага байна.
Хэрэв энэ тоо анхны тоо бол дурын тоонд хуваагдах тэгш тоо байна
a ба b тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь тэдгээрийн нийтлэг хуваагч бүрт хуваагддаг.
Аливаа тоо анхны байхын тулд сондгой тоонд хуваагдах ёсгүй
бодит тоо бүрийн хувьд илүү их бодит тоо байдаг
Х, у, х хоёрын нийлбэр нь х, к хоёрын үржвэрээс их байх бодит х, у, к тоонууд байдаг.
хэрэв хязгаарлагдмал тооны хүчин зүйлийн үржвэр нь 0 бол хүчин зүйлийн ядаж нэг нь 0 байна
Асуудал 2.6
Дараахь предикатуудыг танилцуулав.
P(x) - "х бол анхны тоо"
E(x) - "x бол тэгш тоо"
O(x) - "x бол сондгой тоо"
D(x, y) - "y нь x-д хуваагдана"
Томьёог орос хэл рүү орчуулах:
3. "x (D(2, x) ®E(x))
4. $x (E(x)/\D(x, 6))
5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))
6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))
7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))
8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))
Асуудал 2.7
Дараахь тэгшитгэлүүдийг батална уу.
1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))
2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))
Асуудал 2.8
Дараах тавтологийг нотол.
1. = "x A(x)® $x A(x)
2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)
3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)
Асуудал 2.9
Предикат илэрхийллийг зөв хэвийн хэлбэрээр авах:
1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))
2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))
Асуудал 2. 10
Илэрхийлэлийг холбогч хэвийн хэлбэр болгон бууруул:
"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\
/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))
Асуудал 2. 11
Дараах томьёоны үнэний хүснэгтийг байгуул (предикатууд нь хоёр элементийн багц дээр тодорхойлогддог):
1. "x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))
2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)
3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))
4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)
5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)
6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))
7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)
Асуудал 2. 12
Өгөгдсөн: D=(a, b), P(a, a)=ба, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=болон үнэний утгыг тодорхойл томъёоноос:
1. "x $y P(x, y)
2. $x "y P(x, y)
3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))
4. "x "y P(x, y)
5. $y ù P(a, y)
7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))
8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)
Асуудал 2. 13
Тогтвортой байдлын дараах шалтгааныг шалгана уу.
Оюутан бүр шударга байдаг. Жон үнэнч биш. Тэгэхээр Жон оюутан биш.
Гэгээн Францисыг хэн нэгэнд хайртай хүн бүр хайрладаг. Хүн бүр хэн нэгэнд хайртай. Тиймээс хүн бүр Гэгээн Фрэнсист хайртай.
Үхэшгүй мөнх амьтан гэж байдаггүй. Муур бол амьтан. Энэ нь зарим муур үхэшгүй мөнх биш гэсэн үг юм.
Зөвхөн шувууд л өдтэй байдаг. Ямар ч хөхтөн амьтан шувуу биш. Энэ нь бүх хөхтөн амьтад өдгүй гэсэн үг юм.
Бүх улстөрчид жүжигчин. Зарим жүжигчид хоёр нүүртэй байдаг. Энэ нь зарим улстөрчид хоёр нүүртэй гэсэн үг.
Тэнэг хүн үүнийг хийх чадвартай байх болно. Би үүнийг хийх чадваргүй. Тэгэхээр би тэнэг биш.
Хэрэв хэн нэгэн энэ асуудлыг шийдэж чадах юм бол ямар ч математикч шийдэж чадна. Саша бол математикч, гэхдээ тэр чадахгүй. Энэ нь асуудлыг шийдэх боломжгүй гэсэн үг юм.
Хэрэв хэн нэгэн үүнийг шийдэж чадвал ямар ч математикч үүнийг шийдэж чадна. Саша бол математикч, гэхдээ тэр үүнийг шийдэж чадахгүй. Энэ нь асуудал шийдэгдэхгүй гэсэн үг юм.
Энэ асуудлыг шийдэж чадах хүн бол математикч юм. Саша үүнийг шийдэж чадахгүй. Тиймээс Саша бол математикч биш юм.
Энэ асуудлыг шийдэж чадах хүн бол математикч юм. Ямар ч математикч энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй. Тиймээс үүнийг шийдэх боломжгүй юм.
Хэрэв 1-ээс 101-ийн хооронд хатуу орших ямар ч тоо 101-ийг хуваавал 11-ээс бага анхны тоо 101-ийг хуваахгүй. 11-ээс бага анхны тоо 101-ийг хуваадаггүй. Тиймээс 1-ээс 101-ийн хооронд ямар ч тоо 101-ийг хуваадаггүй.
Хэрэв тухайн хувь хүний өвөг дээдсийн өвөг дээдэс нь мөн адил нэг хүний өвөг дээдэс бөгөөд ямар ч хувь хүн өөрийн өвөг дээдэс биш бол өвөг дээдэсгүй хүн байх ёстой.
Хүн болгонд өөрөөсөө ах хүн байдаг. Хэрэв x нь у-ийн удам бол х нь у-аас дээш настай биш юм. Бүх хүмүүс Адамын үр удам юм. Тиймээс Адам бол эр хүн биш.
Аливаа x олонлогийн хувьд y-ийн кардинал чанар нь x-ийн үндсэн чанараас их байх y олонлог байдаг. Хэрэв x нь у-д багтсан бол х-ийн хүч нь у-ийн хүчнээс ихгүй байна. Олонлог бүр V-д багтдаг. Тиймээс V нь олонлог биш юм.
Бүх хэвлээр явагчид 4 хөлтэй эсвэл огт хөлгүй байдаг. Мэлхий 4 хөлтэй. Тиймээс тэр хэвлээр явагч юм.
Шалгалтад хугацаандаа тэнцсэн оюутан бүр тэтгэлэг авдаг. Петров тэтгэлэг авдаггүй. Тиймээс тэр оюутан биш.
Бүх шувууд өндөглөдөг. Ямар ч матар шувуу биш. Тиймээс матар өндөглөдөггүй.
Эхний оролдлого дээр бүх шавь нар нь шалгалтанд тэнцсэн тохиолдолд багш сэтгэл хангалуун байдаг. Эхний оролдлогоор хэн ч логикийг давж чадахгүй. Тиймээс логикийн багш үргэлж сэтгэл дундуур байдаг.
Тавдугаар курсын оюутан бүр бүх шалгалтыг амжилттай өгсөн тохиолдолд диплом авдаг. Хүн бүр диплом аваагүй. Энэ нь хэн нэгэн бүх шалгалтыг давж чадаагүй гэсэн үг юм.
Хэн ч шавьжинд дургүй. Аалз бол шавьж биш. Энэ нь хэн нэгэн тэдэнд хайртай гэсэн үг юм.
Урлагийн багш нар бүгд эрэгтэй. Бага ангийн бүх хичээлийг эмэгтэйчүүд заадаг. Тиймээс бага ангид зургийн хичээл заадаггүй.
Сургууль төгссөн хүн бүр англиар ярьж болно. Мюллерийн гэр бүлд англиар ярьдаг хүн байхгүй. Дунд боловсролгүй хүмүүсийг институтэд элсүүлэхгүй. Тиймээс Мюллерийн хэн нь ч тус хүрээлэнд сурдаггүй.
Бүх шатахуун түгээх станцууд ашигтай ажилладаг. Бүх аяга таваг цуглуулах цэгүүд ашиггүй байдаг. Аж ахуйн нэгж ашигтай, ашиггүй байж болохгүй. Тиймээс ямар ч шатахуун түгээх станц шил хүлээн авдаггүй.
Эрүүл ухаантай хүн математикийг ойлгодог. Томын хүүгийн аль нь ч математикийг ойлгодоггүй. Галзуу хүмүүс санал өгөх эрхгүй. Тиймээс Томын хөвгүүдийн хэн нь ч санал өгөх эрхгүй.
N-д байгаа үсчин бүр үсээ хусдаггүй хүмүүсийг л хусдаг. Тиймээс Н-д нэг ч үсчин байдаггүй.
Тамирчин бүр хүчтэй байдаг. Хүчтэй, ухаалаг хүн бүхэн амьдралдаа амжилтанд хүрдэг. Петр бол тамирчин. Петр ухаантай. Тиймээс тэр амьдралдаа амжилтанд хүрэх болно.
Асуудал 2. 14
Алга болсон байр эсвэл дүгнэлтийг дараах үндэслэлийг логиктой болгохын тулд сэргээ.
Зөвхөн зоригтой хүмүүс л хайрыг хүртэх ёстой. Тэр хайр дурлалын тал дээр азтай. Тэр зоригтой биш.
Насанд хүрэгчид зөвхөн хүүхдүүдтэй хамт орохыг зөвшөөрдөг байв. Тэд намайг орууллаа. Тэгэхээр би хүүхэд эсвэл хүүхэдтэй ирсэн.
Асуудал 2. 15
Дараах мэдэгдлүүд үнэн байна.
сэтгэцийн сахилга батыг сайжруулахын тулд мэдээллийн бүтцийн талаархи мэдлэг шаардлагатай;
зөвхөн програмчлалын туршлага нь сахилга баттай оюун ухааныг бий болгож чадна;
хөрвүүлэгч бичихийн тулд асуудалд дүн шинжилгээ хийх чадвартай байх шаардлагатай;
сахилга батгүй оюун ухаан асуудалд дүн шинжилгээ хийж чадахгүй;
Зохион байгуулалттай программ бичсэн хүн бүр туршлагатай програмист гэж үзэж болно.
Эдгээр таамаглалаас дараахь мэдэгдлийн үнэн зөвийг тодорхойлох боломжтой юу.
6. хөрвүүлэгч бичих чадвартай байхын тулд бүтэцлэгдсэн программ бичих туршлагатай байх шаардлагатай;
7. өгөгдлийн бүтцийн талаархи мэдлэг нь програмчлалын туршлагын нэг хэсэг юм;
8. өгөгдлийн бүтцийг үл тоомсорлодог хүмүүст даалгаврын дүн шинжилгээ хийх боломжгүй;
9. Бүтэцлэгдсэн программ зохиосон, асуудалд дүн шинжилгээ хийх чадвартай, сахилга баттай оюун ухаантай туршлагатай програмист бол хөрвүүлэгч бичих чадвартай програмист юм.
Асуудал 2. 16
Байшинг томьёоны хэлбэрээр бичиж, дүгнэлтийн үнэн зөвийг нотлох бүх мэдэгдэж буй аргыг хэрэглээрэй.
Оршил: 1. бүх хүүхдүүд нь нисч чадвал луу баяртай байдаг;
2. Ногоон луу нисч чаддаг;
3. эцэг эхийнх нь нэг нь ногоон байвал луу ногоон өнгөтэй, үгүй бол тод ягаан өнгөтэй байна.
Дүгнэлт: 1. Ногоон луунууд аз жаргалтай байдаг.
2. Хүүхэдгүй луунууд баяртай байна (энд танд тодорхой орхигдсон байр хэрэгтэй байж магадгүй).
3. Хурц ягаан луу аз жаргалтай байхын тулд юу хийх ёстой вэ?
Асуудал 2. 17
Предикат болон арифметик тэмдгүүдэд зориулсан тэмдэглэгээг ашиглах (жишээлбэл, "+" ба "<"), перевести на язык формул:
1. Хязгаарлагдмал тооны хүчин зүйлийн үржвэр тэг байвал хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг болно (Px нь “х нь хязгаарлагдмал тооны хүчин зүйлийн үржвэр” гэсэн үг, Fxy нь “х нь хүчин зүйлийн нэг юм. y”).
2. a ба b тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тэдгээрийн нийтлэг хуваагч тус бүрээр нь хуваана (Fxy нь “x нь у тоон хуваагчдын нэг” гэсэн үг бөгөөд Gxyz - “z нь х тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. ба у").
3. X бодит тоо бүрт илүү том бодит тоо y(Rx) байна.
4. x, y, z тоонуудын нийлбэр нь x, z тоонуудын үржвэрээс их байх бодит х, у, z тоонууд байдаг.
5. Бодит х тоо бүрт у байх тул z болгонд z ба 1-ийн нийлбэр у-аас бага бол x ба 2-ын нийлбэр 4-өөс бага байна.
Асуудал 2. 18
A0, A1, ..., An, ... нь бодит тоонуудын дараалал байг. Хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүнийг ашиглан бэлгэдлийн хэлбэрт хөрвүүл.
1. a нь энэ дарааллын хязгаар гэсэн мэдэгдэл; 2. Энэ дараалал нь хязгаартай гэсэн мэдэгдэл; 3. Энэ дараалал нь Коши дараалал (өөрөөр хэлбэл e>0 өгөгдсөн бол n, m>k нь úAn - Amú гэсэн утгатай эерэг k тоо байна гэсэн үг)< e).
Томъёо тус бүрийн үгүйсгэлийг бич.
Асуудал 2. 19
Дараахь үндэслэлд тохирсон дүгнэлтийг гарга.
Бүгд найрамдах нам, Ардчилсан намын аль нь ч социалист биш. Норман Томас бол социалист. Тиймээс тэр Бүгд найрамдах намын гишүүн биш.
Рационал тоо бүр нь бодит тоо юм. Рационал тоо байна. Тиймээс бодит тоо бий.
2-р дамжааны оюутнуудад дуртай нэг оюутан байхгүй. Даскомб хотод амьдардаг бүх хүмүүс хоёрдугаар курсын оюутан. Иймээс ямар ч нэгдүгээр курсын оюутан Дускомб хотод амьдардаг хэн нэгэнд дургүй.
Зарим нэгдүгээр курсын оюутнууд хоёрдугаар курсын бүх оюутнуудад дуртай. 1-р курсын төгсөх курсын аль ч оюутанд таалагддаггүй. Иймээс хоёрдугаар курсын нэг ч оюутан сүүлийн жилийн оюутан биш юм.
Зарим хүмүүст Элвис таалагддаг. Зарим хүмүүс Элвист дуртай хүнд дургүй байдаг. Тиймээс зарим хүмүүсийг хүн болгон хайрладаггүй.
Ямар ч хар тамхины наймаачин хар тамхичин байдаггүй. Хар тамхинд донтсон зарим этгээдийг хуулийн хариуцлага хүлээлгэсэн. Тиймээс эрүүгийн хэрэгт татагдсан хүмүүсийн зарим нь хар тамхины наймаачин биш.
Нэгдүгээр курсын бүх оюутнууд хоёрдугаар дамжааны бүх оюутнуудтай уулздаг. Төгсөлтийн өмнөх жилээс нэг оюутантай болзож байгаа нэг ч оюутан байхгүй. Хоёрдугаар дамжааны оюутнууд байна. Иймээс хоёрдугаар курсын нэг ч оюутан сүүлийн жилийн оюутан биш юм.
Бүх рационал тоо нь бодит тоо юм. Зарим рационал тоо нь бүхэл тоо юм. Тиймээс зарим бодит тоо нь бүхэл тоо юм.
16. Дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь мэдэгдэл вэ?
а) төмөр хар тугалгааас хүнд;
б) будаа бол амттай хоол юм;
в) математик бол сонирхолтой сэдэв;
г) өнөөдөр цаг агаар муу байна.
17. Дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь худал өгүүлбэр вэ?
а) төмөр хар тугалгааас хүнд;
б) хүчилтөрөгч - хий;
в) компьютерийн шинжлэх ухаан бол сонирхолтой сэдэв;
г) төмөр хар тугалгатай харьцуулахад хөнгөн.
18. Дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь “Бүх анхны тоо сондгой” гэснийг үгүйсгэх үг вэ?
a) "Тэгш анхны тоо байна";
б) "Сондгой анхны тоо байна";
в) "Бүх анхны тоонууд тэгш";
г) "Бүх сондгой тоонууд анхны"?
19. Дараах үнэний хүснэгтэд ямар логик үйлдэл тохирох вэ?
а) холбоо үг;
б) салалт;
в) үр дагавар;
г) эквивалент.
20. Дараах үнэний хүснэгтэд ямар логик үйлдэл тохирох вэ?
а) тэнцүү байх;
б) холбоо үг;
в) үр дагавар;
г) салалт.
21. “Энэ гурвалжин нь ижил өнцөгт” гэснийг А гэж тэмдэглэе
B - "Энэ гурвалжин нь тэгш талт" гэсэн мэдэгдэл. Үнэн мэдэгдлийг заана уу:
22. F(X 1, X 2, …, X n) саналын алгебрийн томьёог үнэн илэрхийлэл болгон хувиргах A 1, A 2, … A n хэллэгүүд байгаа бол энэ томьёог:
а) боломжтой;
б) тавтологи;
в) зөрчил;
г) үгүйсгэх боломжтой.
23. Тавтологи нь F(X 1, X 2, …, X n) алгебрийн дараах томъёолол юм:
a) хувьсагчийн бүх багцын хувьд үнэн мэдэгдэл болж хувирдаг;
б) томъёог үнэн мэдэгдэл болгон хувиргах багц мэдэгдлүүд байдаг;
в) хувьсагчийн бүх багцын хувьд худал мэдэгдэл болж хувирдаг;
г) томъёог худал мэдэгдэл болгон хувиргах олон тооны мэдэгдлүүд байдаг.
24. Ямар томьёог үгүйсгэх боломжтой вэ?
25. Томъёоуудын аль нь хэрэгжих боломжтой вэ?
26. “Аль ч тооны хувьд ийм тоо байна” гэсэн үгтэй тохирч байна.
27. Аль мэдэгдэл нь мэдэгдэлтэй тохирч байна вэ?
a) "Тийм тоонууд байдаг;
б) “Тэгш байдал хүн бүрт шударга;
в) "Бүх тооны хувьд ийм тоо байдаг";
d) "Аливаа тооны хувьд ийм тоо байдаг."
28. Дараах мэдэгдлүүдийн аль нь худал вэ?
29. “Тогтоолын үнэн олонлогийг тодорхойл. x 3-ын олон", M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) олонлог дээр тодорхойлогдсон:
a) TP=(3, 6, 9);
в) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
d) TP=(3, 6, 9, 12).
30. “Тогтоолын үнэн олонлогийг тодорхойл. x 3-ын олон", M=(3, 6, 9, 12) олонлог дээр тодорхойлогддог:
a) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);
в) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.
31. “Тогтоолын үнэн олонлогийг тодорхойл. x 2 +x+6=0", бодит тоонуудын багц дээр тодорхойлсон:
a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).
32. Предикатын үнэн олонлогийг тодорхойл.
33. Предикатын үнэн олонлогийг тодорхойл.
38. Дараах нэгдмэл предикатуудыг танилцуулъя.
Q(x): « x- оновчтой тоо";
R(x): « x- бодит тоо."
Дараа нь предикатыг дараах мэдэгдлийн предикатын алгебрийн хэл рүү орчуулсан гэж үзэж болно.
a) зарим рационал тоонууд бодит;
б) зарим рационал тоонууд бодит биш;
в) ямар ч оновчтой тоо бодит биш;
г) бүх рационал тоонууд бодит байна.
