Бодит ертөнц дэх фракталууд нь судалгааны объект юм. Шинжлэх ухаанаас эхэл. Квиллинг дэх фракталууд

Эдгээр нь өмчтэй хийсвэр математикийн объектууд юм өөртэйгөө төстэй байдал. Өөрөөр хэлбэл, фракталын хэсгүүд нь фракталтай төстэй бөгөөд эдгээр хэсгүүдийн хэсгүүд нь хэсгүүдтэй төстэй байдаг. Энэ хөдөлгөөнт дүрс дээр энэ нь тодорхой харагдаж байна. Томруулж өсгөснөөр бид ижил төстэй бүтцийг дахин харж байна.

Гэсэн хэдий ч асуулт гарч ирнэ - Фрактал математик загваруудыг бодит ертөнцөд хэрэглэхэд хэр түгээмэл байдаг вэ?Зарим тохиолдолд тэдгээрийг хэрэглэх боломжтой. Жишээлбэл, далайн эргийн их хонхорхойг дүрслэхдээ сансар огторгуйгаас авсан ийм эргийн зургийг дахин дахин томруулж, том хэмжээтэй төстэй жижиг бүтцийг олж авах болно. Гэхдээ, Дэлхий бүхэлдээ фрактал мөн үү?Өөрөөр хэлбэл, бичил ертөнц рүү илүү гүнзгий орж, том ертөнцийн улам бүр томорч буй цар хүрээг харахад бид ижил төстэй бүтцийг олж харах уу? Мэдээжийн хэрэг, энэ нь илүү хялбар байх болно - шинэ зүйл нээх, зохион бүтээх шаардлагагүй, бүх зүйл адилхан бүтээгдсэн: гаригууд оддыг тойрон эргэдэг, хиймэл дагуулууд гаригуудыг тойрон эргэдэг, электронууд цөмүүдийг тойрон эргэдэг. Цаашид электрон, протон, нейтронууд нь мөн төв биетэй, түүний эргэн тойронд эргэлддэг жижиг биетүүд байдаг системүүд гэж бид таамаглаж болно.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш их байх болно уйтгартай- хаа сайгүй ижил зүйлийг харж байна. Үндсэн шинэлэг зүйл байхгүй... Байгаль ийм уйтгартай, нэгэн хэвийн байх нь юу л бол! Бидний бүх туршлагаас харахад ижил төстэй зүйл төдийгүй хамгийн их хамааралтай объектуудын хооронд (жишээлбэл, нэг друзийн талстууд, цасан ширхгүүдийн хооронд, ихэр хүмүүсийн хооронд гэх мэт) ялгаа байдаг. Мэдээжийн хэрэг, байгальд байдаг бүх нийтийн хуулиуд, үүнийг мэдэхийн тулд мэддэг оюун ухаан хичээдэг (энэ бол түүний гол бөгөөд хамгийн том зорилго юм; тэр өөрийгөө шууд тавьдаг. философи, хүний танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны оргил). Тиймээс материйн зохион байгуулалтын бүх түвшинд нийтлэг бөгөөд ижил төстэй зүйл байдаг: энгийн бөөмсөөс эхлээд сэтгэл зүй, ухамсар, нийгэм хүртэл. Гэсэн хэдий ч, илрэлийн хэлбэрүүдтухай бүх нийтийн хуулиуд өөр өөр түвшинматерийн зохион байгуулалт, түүний өөр өөр хэсгүүд өөр өөр байдаг. Тиймээс бид ажиглаж байна өөрХэдийгээр ижил хуулиудад захирагддаг (бидний үүнийг бүрэн нээгээгүй) дэлхийн янз бүрийн хэсэгт, түүний өөр өөр түвшинд байгаа бүтэц.

Би үүнийг хэлэлцэхийг санал болгож байна хамгийн сонирхолтой сэдэв, ялангуяа үүнийг манай нэр хүндтэй Соларис өөрийн цуврал шинжлэх ухааны зөгнөлт өгүүллэгтээ аль хэдийн хөндсөн байсан "Инга Ауленгийн ертөнц" . Зохиогч тэдгээрт орчлон ертөнц нь олон эсийн организмын эстэй адил, бусад орчлон ертөнцүүд нь энэ организмын бусад эсүүд юм гэсэн санааг илэрхийлдэг. Solaris-ийн өөр нэг санаа бол ганц протон нь бүх ертөнцтэй адил юм. Энэ бүхэн өөр юу ч биш Дэлхийн хуваагдлын талаархи санаанууд.

Миний дээр дурдсан бичлэг (сайн сонгосон хөгжимтэй!) нэгэн зэрэг "матери"-ын гүнд нэвтрэн орох сонирхолтой мэдрэмжийг төрүүлдэг. Гайхалтай физикч Ричард Фейнман 1959 онд нанотехнологийн хөгжлийг урьдчилан таамаглаж байсанчлан " тэнд маш их зай байна" Мөн та энэ бичлэгийг үзэхэд үүнийг бие махбодийн хувьд мэдэрдэг.
Гэхдээ хамгийн чухал нь таныг бодоход хүргэдэг макро, микро, мега ертөнцүүдийн хоорондын холболтын талаархи үндсэн асуултууд. Хэрэв бид гэнэт огцом багасвал яах вэ? Бидний дассан макро ертөнц асуудал, утгагүй зүйлсээрээ хаа нэгтээ хажуу тийшээ, мега ертөнцийн бүс нутаг руу явдаг. Үүний зэрэгцээ түүний үйл явц, хэмжээс, цаг хугацаа, эрч хүч нь бидний хувьд утга учрыг алддаг. Тэд бидний дэргэд байхаа больсон юм шиг. Бидний "хөдлөх" шинэ бичил ертөнцөд бидний орон зай, цаг хугацаа, энергийн хэмжүүр үүсдэг. Түүн дэх бидний амьдрал өмнөх макро ертөнцөд үлдсэн амьтдын хувьд хоромхон зуур байх болно, бидний хэмжээ хамгийн хүчирхэг микроскопоор ч харагдахуйц хязгаараас давж, бидний эрч хүч ... (аль нь илүү вэ? бага?). Тиймээс, тэр ертөнцийн хувьд бид ч, энэ нь ч бидний хувьд бараг үл анзаарагдах нууцлаг зүйлс байх болно, бие биендээ бага зэрэг нөлөөлнө.
Эсвэл эсрэгээрээ юм болов уу? Микро, макро, мега ертөнцүүд ямар нэгэн байдлаар хоорондоо нягт холбоотой бөгөөд цар хүрээний эрс ялгааг үл харгалзан бие биедээ ихээхэн нөлөөлдөг үү? Наад зах нь миний дээр дурдсан бүх нийтийн хуулиудаар дамжуулан.
Энэхүү сонирхолтой бичлэг таныг энэ бүхний талаар бодоход хүргэдэг.

ХОТЫН ТӨСВИЙН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГЫН ЕРӨНХИЙ СУРГУУЛЬ

-тай. Мечетное

"Математикийн гайхамшигт ертөнц" шинжлэх ухаан практикийн бага хурал

Судалгаа"Фракталуудын ертөнц рүү аялах"

Гүйцэтгэсэн: 10-р ангийн сурагч

Аллахвердиева Найля

Дарга: Давыдова Е.В.

Оршил.
Гол хэсэг:

a) Фракталын тухай ойлголт;

б) Фрактал үүссэн түүх;

в) Фракталуудын ангилал;

d) Фракталуудын хэрэглээ;

e) Байгаль дахь фракталууд;

f) Фракталуудын өнгө.

3. Дүгнэлт.

Оршил.

"Фрактал" гэсэн нууцлаг ойлголтын ард юу нуугдаж байна вэ? Магадгүй олон хүмүүсийн хувьд энэ нэр томъёо нь үзэсгэлэнтэй дүр төрх, нарийн төвөгтэй хэв маягтай холбоотой байдаг тод зургуудкомпьютер график ашиглан бүтээсэн. Гэхдээ фрактал бол зүгээр нэг сайхан зураг биш юм. Эдгээр нь биднийг хүрээлж буй бүх зүйлийн үндэс суурь болдог тусгай бүтэц юм. Дотогш орж байна шинжлэх ухааны ертөнцХэдэн арван жилийн өмнө фракталууд хүрээлэн буй бодит байдлын талаархи бодит хувьсгалыг хийж чадсан. Фрактал ашиглан хүн байгалийн объект, систем, үйл явц, үзэгдлийн өндөр нарийвчлалтай математик загварыг бий болгож чадна.

Гол хэсэг
Фракталын тухай ойлголт.

Фрактал(лат. фрактус- буталсан, хугарсан, хугарсан) нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй төстэй геометрийн нарийн төвөгтэй дүрс юм. Байгаль дээрх олон объектууд фрактал шинж чанартай байдаг, жишээлбэл, эрэг, үүл, модны титэм, цусны эргэлтийн систем, хүн, амьтны цулцангийн систем.

Фракталууд, ялангуяа онгоцонд, компьютер ашиглан бүтээхэд хялбар, гоо үзэсгэлэнг хослуулсан тул түгээмэл байдаг.

Бүтээлийн түүх.
Фракталуудын шинжлэх ухааныг авчир шинэ түвшинФранцын математикч Бенуа Мандельбротын орыг залгамжилсан бөгөөд өнөө үед фрактал геометрийн эцэг гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн эрдэмтэн. Манделброт "фрактал" гэсэн нэр томъёог анх тодорхойлсон.

Иш татах

"Фрактал нь бүхэлдээ ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдсэн бүтэц юм"
70-аад онд Бенуа Манделброт IBM-д математикийн шинжээчээр ажиллаж байсан. Эрдэмтэн электрон сүлжээн дэх дуу чимээг судалж байхдаа анх фракталуудын тухай бодож байжээ. Эхлээд харахад өгөгдөл дамжуулах явцад хөндлөнгөөс оролцох нь үнэхээр эмх замбараагүй байсан. Манделброт алдаа гарсныг зурсан бөгөөд ямар ч цаг хугацааны масштабаар бүх хэлтэрхийнүүд ижил төстэй байгааг олж мэдээд гайхсан. Долоо хоногийн масштабаар дуу чимээ нэг өдөр, цаг, минутын масштабтай ижил дарааллаар гарч ирэв. Мэдээллийн дамжуулалтын алдааны давтамж нь 19-р зууны төгсгөлд Канторын тодорхойлсон зарчмын дагуу цаг хугацааны явцад хуваарилагддаг гэдгийг Манделброт ойлгосон. Дараа нь Бенуа Манделброт фрактал судлахыг нухацтай сонирхож эхлэв.
Фрактал үүсгэхийн тулд өмнөх үеийнхээс ялгаатай нь Манделброт геометрийн байгууламжийг бус, харин янз бүрийн нарийн төвөгтэй алгебрийн хувиргалтыг ашигласан. Математикч урвуу давталтын аргыг ашигласан бөгөөд энэ нь ижил функцийг дахин дахин тооцоолох явдал юм. Компьютерийн чадавхийг ашиглан математикч асар олон тооны дараалсан тооцоолол хийж, үр дүнг нь нарийн төвөгтэй хавтгайд графикаар харуулсан. Манделбротын олонлог ийм байдлаар гарч ирэв - нарийн төвөгтэй алгебрийн фрактал нь өнөө үед фракталуудын шинжлэх ухааны сонгодог гэж тооцогддог. Зарим тохиолдолд ижил объектыг гөлгөр ба фрактал гэж үзэж болно. Яагаад ийм зүйл болдгийг тайлбарлахын тулд Манделброт сонирхолтой жишээг үзүүлэв. Тодорхой зайд зайлуулсан ноосон утастай бөмбөг 1-р хэмжээтэй цэг шиг харагдаж байна. Ойролцоох бөмбөг нь хоёр хэмжээст диск шиг харагдаж байна. Үүнийг гартаа авснаар та бөмбөгний хэмжээг тодорхой мэдэрч чадна - одоо үүнийг гурван хэмжээст гэж үздэг. Фрактал бөмбөлгийг зөвхөн томруулдаг төхөөрөмж ашиглан ажиглагчийн байр сууринаас эсвэл тэгш бус ноосон утасны гадаргуу дээр ялаа буухыг авч үзэх боломжтой. Тиймээс объектын жинхэнэ фрактал байдал нь ажиглагчийн үзэл бодол, ашигласан төхөөрөмжийн нарийвчлалаас хамаарна.
Манделброт нэгэн сонирхолтой хэв маягийг тэмдэглэв - хэмжсэн объектыг ойроос харах тусам түүний хил хязгаар илүү урт байх болно. Энэ өмчийг байгалийн фракталуудын нэг болох эргийн шугамын уртыг хэмжих замаар тодорхой харуулж болно. Газарзүйн зураг дээр хэмжилт хийснээр та ойролцоогоор уртыг авах боломжтой, учир нь бүх жигд бус байдал, гулзайлтыг тооцохгүй. Хэрэв хэмжилтийг хүний өндрийн өндрөөс харагдахуйц рельефийн бүх тэгш бус байдлыг харгалзан хийсэн бол үр дүн нь арай өөр байх болно - эргийн шугамын урт мэдэгдэхүйц нэмэгдэх болно. Хэрэв бид онолын хувьд хэмжих төхөөрөмж нь хайрга бүрийн тэгш бус байдлыг тойрон гарах болно гэж төсөөлвөл энэ тохиолдолд эргийн шугамын урт бараг хязгааргүй байх болно.
Фракталуудын ангилал.

Фракталуудыг дараахь байдлаар хуваадаг.

геометрийн: энэ ангийн фракталууд нь хамгийн үзэмжтэй, өөртэйгөө төстэй байдал нь тэдгээрт шууд харагддаг. Фракталуудын түүх нь 19-р зуунд математикчдын судалж байсан геометрийн фракталуудаас эхэлсэн.

алгебрийн: Фракталууд нь энгийн алгебрийн томъёог ашиглан үүсдэг тул энэ бүлгийн фракталууд ийм нэрийг авсан.

стохастик: фрактал параметрүүдийн давтагдах процесст санамсаргүй өөрчлөлт гарсан тохиолдолд үүсдэг. Хоёр хэмжээст стохастик фракталуудыг газар нутаг, далайн гадаргууг загварчлахад ашигладаг.

Геометрийн фракталууд

Эндээс фракталуудын түүх эхэлсэн. Энэ төрлийн фракталыг энгийн геометрийн байгууламжуудаар олж авдаг. Ихэвчлэн эдгээр фракталуудыг бүтээхдээ тэд үүнийг хийдэг: тэд "үр" - аксиом - фрактал үүсгэх сегментүүдийн багцыг авдаг. Дараа нь энэ "үр" -д хэд хэдэн дүрмийг хэрэгжүүлдэг бөгөөд энэ нь түүнийг ямар нэгэн геометрийн дүрс болгон хувиргадаг. Дараа нь энэ зургийн хэсэг бүрт ижил дүрмийг дахин хэрэглэнэ. Алхам тутамд энэ дүрс улам бүр төвөгтэй болж, хэрэв бид (ядаж оюун ухаандаа) хязгааргүй тооны хувиргалт хийвэл бид геометрийн фрактал авах болно. Геометрийн фракталуудын сонгодог жишээ: Кохын цасан ширхгүүд, Лист, Сиерпинскийн гурвалжин, Драконы шугам (Хавсралт 1).

Алгебрийн фракталууд

Хоёрдугаарт том бүлэгфракталууд – алгебрийн (Хавсралт 2). Тэд алгебрийн томъёо, заримдаа маш энгийн томъёоны үндсэн дээр бүтээгдсэн тул нэрээ авсан. Алгебрийн фракталуудыг олж авах хэд хэдэн арга байдаг.

Харамсалтай нь 10-11-р ангийн нийлмэл тоотой холбоотой олон нэр томьёо нь фрактал байгуулахыг тайлбарлахад надад тодорхойгүй, ойлгоход хэцүү хэвээр байгаа тул энэ төрлийн фракталуудын бүтцийг нарийвчлан тайлбарлах боломжгүй байна. .

Эхлээд фрактал шинж чанар нь хар цагаан өнгөтэй байдаг ч бага зэрэг төсөөлөл, өнгө нэмбэл жинхэнэ урлагийн бүтээлийг олж авах боломжтой.

Стохастик фракталууд

Энэ ангийн фракталуудын ердийн төлөөлөгч нь "плазм" юм (Хавсралт 3). Үүнийг бүтээхийн тулд тэгш өнцөгтийг авч, түүний булан бүрд өнгийг тодорхойлно. Дараа нь бид тэгш өнцөгтийн төв цэгийг олж, тэгш өнцөгтийн булангийн өнгөний арифметик дундажтай тэнцэх өнгөөр будна. Санамсаргүй тоо том байх тусам зураг илүү "ховор" байх болно. Хэрэв бид одоо цэгийн өнгө нь далайн түвшнээс дээш өндөр гэж хэлбэл бид плазмын оронд уулын нурууг авах болно. Чухам энэ зарчмаар ихэнх хөтөлбөрт уулсыг загварчилсан байдаг. Плазмтай төстэй алгоритмыг ашиглан өндрийн зураглалыг барьж, түүнд янз бүрийн шүүлтүүр хэрэглэж, бүтэц хэрэглэж, фото бодит уулс бэлэн боллоо!

Фракталуудын хэрэглээ

Өнөөдөр фракталуудыг олон төрлийн салбарт өргөнөөр ашиглаж байна. График мэдээллийг фрактал архивлах чиглэл идэвхтэй хөгжиж байна. Онолын хувьд фрактал архивлах нь зургийн чанарыг алдалгүйгээр цэгийн хэмжээнд хүртэл шахаж чаддаг. Фрактал зарчмын дагуу шахсан зургийг томруулж үзэхэд хамгийн жижиг нарийн ширийн зүйлс тодорхой харагдах бөгөөд үр тарианы эффект огт байхгүй болно.

Зүрхний хэмнэл нь фрактал байдаг тул фрактал онолын зарчмуудыг анагаах ухаанд электрокардиограммд дүн шинжилгээ хийхэд ашигладаг. Цусны эргэлтийн тогтолцооны судалгааны чиглэл болон бусад дотоод системүүдХүний бие. Биологийн хувьд фракталуудыг популяцид тохиолддог үйл явцыг загварчлахад ашигладаг.
Цаг уурчид агаарын массын хөдөлгөөний эрчмийг шинжлэхийн тулд фрактал хамаарлыг ашигладаг бөгөөд энэ нь цаг агаарын өөрчлөлтийг илүү нарийвчлалтай урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог. Фрактал медианы физик гайхалтай амжилтнарийн төвөгтэй турбулент урсгалын динамикийг судлах, шингээх, тархах үйл явцын асуудлыг шийддэг. Нефть химийн үйлдвэрт фракталуудыг сүвэрхэг материалыг загварчлахад ашигладаг. Фракталын онолыг санхүүгийн зах зээлд үр дүнтэй ашигладаг. Фрактал геометрийг хүчирхэг антенны төхөөрөмжийг бий болгоход ашигладаг.
Өнөөдөр фракталын онол нь бие даасан шинжлэх ухааны салбар бөгөөд үүний үндсэн дээр янз бүрийн салбарт улам бүр шинэ чиглэлүүд бий болж байна. Фракталуудын ач холбогдлын талаар шинжлэх ухааны олон бүтээлүүд зориулагдсан байдаг.

Гэхдээ эдгээр ер бусын объектууд нь маш ашигтай төдийгүй гайхалтай үзэсгэлэнтэй юм. Тийм ч учраас фракталууд аажмаар урлагт өөрийн байр сууриа олж авч байна. Тэдний гайхалтай гоо зүйн сэтгэл татам байдал нь олон зураачдыг фрактал зураг бүтээх урам зоригийг өгдөг. Орчин үеийн хөгжмийн зохиолчид янз бүрийн фрактал шинж чанартай электрон хэрэгслийг ашиглан хөгжмийн бүтээл туурвидаг. Зохиолчид фрактал бүтцийг хэлбэржүүлэхдээ ашигладаг уран зохиолын бүтээлүүд, дизайнерууд тавилга, интерьер дизайны фрактал хэсгүүдийг бүтээдэг.

Байгаль дахь фрактал байдал

1977 онд Манделбротын "Фракталууд: хэлбэр, санамсаргүй байдал ба хэмжээс" ном хэвлэгдэн гарсан бол 1982 онд "Байгалийн фрактал геометр" хэмээх өөр нэг монографи хэвлэгдсэн бөгөөд түүний хуудсан дээр зохиолч янз бүрийн фрактал олонлогуудын тод жишээг үзүүлж, нотлох баримтуудыг өгсөн болно. байгальд фракталууд байдаг. Манделброт фрактал онолын гол санааг дараах үгээр илэрхийлэв.

"Яагаад геометрийг ихэвчлэн хүйтэн, хуурай гэж нэрлэдэг вэ? Үүний нэг шалтгаан нь үүл, уул, мод, далайн эргийн хэлбэрийг нарийн тодорхойлж чаддаггүй. Үүл нь бөмбөрцөг биш, эрэг нь тойрог биш, царцдас нь тэгш бус байдаг. ." , мөн аянга нь шулуун шугамаар хөдөлдөггүй. Байгаль нь бидэнд зөвхөн илүү өндөр зэрэглэлийг бус харин огт өөр нарийн төвөгтэй байдлын түвшинг харуулдаг. Бүтэц дэх янз бүрийн уртын масштабын тоо үргэлж хязгааргүй байдаг. Эдгээр бүтэц оршин тогтнох нь биднийг сорилтод хүргэдэг. Евклид хэлбэр дүрсгүй гэж үгүйсгэсэн тэдгээр хэлбэрүүдийг судлах хэцүү ажлын хэлбэр - аморфын морфологийг судлах даалгавар.Гэвч математикчид энэ сорилтыг үл тоомсорлож байгалиас улам бүр холдохыг сонгож, үл нийцэх онолыг зохион бүтээжээ. харж, мэдэрч болох бүх зүйлд."

Байгалийн олон объектууд фрактал олонлогийн шинж чанартай байдаг (Хавсралт 4).

Фракталууд нь энэ ертөнцөд байгаа бүх зүйлийг бий болгох үндэс суурь болсон үнэхээр бүх нийтийн бүтэц мөн үү? Байгалийн олон объектын хэлбэр нь фракталтай аль болох ойр байдаг. Гэхдээ дэлхий дээр байгаа бүх фракталууд математикчдийн бүтээсэн олонлог шиг тогтмол бөгөөд эцэс төгсгөлгүй давтагдах бүтэцтэй байдаггүй. Уулын нуруу, металлын хугарлын гадаргуу, турбулент урсгал, үүл, хөөс болон бусад олон байгалийн фракталууд нь яг ижил төстэй шинж чанартай байдаггүй. Фракталууд нь орчлон ертөнцийн бүх нууцын түгээмэл түлхүүр гэдэгт итгэх нь туйлын буруу байх болно. Бүх илэрхий нарийн төвөгтэй байдлаас үл хамааран фракталууд нь бодит байдлын хялбаршуулсан загвар юм. Гэхдээ өнөө үед байгаа бүх онолын дотроос фракталууд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг дүрслэх хамгийн зөв хэрэгсэл юм.

Фракталуудын гоо үзэсгэлэн нь тод, сэтгэл татам өнгөөрөө нэмэгддэг. Нарийн төвөгтэй өнгөний схемүүд нь фракталуудыг үзэсгэлэнтэй, мартагдашгүй болгодог. Математикийн үүднээс авч үзвэл фракталууд нь цэг бүр нь олонлогт харьяалагддаг эсвэл харьяалагддаггүй хар цагаан биет юм. Гэхдээ орчин үеийн компьютеруудын боломжууд нь фракталуудыг өнгөлөг, тод болгох боломжийг олгодог. Мөн энэ нь багцын зэргэлдээх хэсгүүдийг ямар ч дарааллаар будах энгийн өнгө биш юм.

Цэг бүрийн утгыг задлан шинжилснээр програм нь тодорхой фрагментийн сүүдрийг автоматаар тодорхойлдог. Функцийн тогтмол утгыг авах цэгүүдийг хараар харуулав. Хэрэв функцийн утга нь хязгааргүй байх хандлагатай бол цэгийг өөр өнгөөр будна. Өнгөний эрч хүч нь хязгааргүйд ойртох хурдаас хамаарна. Тогтвортой утга руу ойртуулахын тулд илүү олон давталт хийх тусам түүний өнгө цайвар болно. Мөн эсрэгээр - хязгааргүй рүү хурдан яарч буй цэгүүдийг тод, ханасан өнгөөр буддаг.
Дүгнэлт

Та фракталуудын талаар анх сонсохдоо тэд юу вэ гэж гайхдаг уу?

Нэг талаас, энэ нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй төстэй геометрийн нарийн төвөгтэй дүрс юм.

Энэхүү үзэл баримтлал нь цаг уур, философи, газарзүй, биологи, механик, тэр ч байтугай түүхэнд хамгийн гэнэтийн салбарт илэрдэг гоо үзэсгэлэн, нууцлаг байдлаараа гайхшруулдаг.

Бараг бүх объект (үүл, уулс, далайн эрэг гэх мэт) фрактал бүтэцтэй байдаг тул байгальд фрактал харагдахгүй байх нь бараг боломжгүй юм. Ихэнх вэб дизайнерууд болон программистууд фракталуудын өөрийн гэсэн галерейтай байдаг (ер бусын үзэсгэлэнтэй).

Үндсэндээ фракталууд бидний нүдийг нээж, математикийг өөр өнцгөөс харах боломжийг олгодог. Энгийн тооцооллыг энгийн "хуурай" тоогоор хийдэг юм шиг санагддаг, гэхдээ энэ нь бидэнд өвөрмөц үр дүнг өгч, байгалийг бүтээгч гэдгээ мэдрэх боломжийг олгодог. Фракталууд нь математик бол гоо сайхны шинжлэх ухаан гэдгийг тодорхой харуулж байна.

Түүний төслийн ажилБи математикийн "фрактал" хэмээх нэлээд шинэ ойлголтын талаар ярихыг хүссэн. Энэ юу вэ, ямар төрлүүд байдаг, хаана тархсан байдаг. Фракталууд таны сонирхлыг татсан гэдэгт би үнэхээр найдаж байна. Эцсийн эцэст, фракталууд нь маш сонирхолтой бөгөөд бараг алхам тутамд байдаг.

Ном зүй

http://ru.wikipedia.org/wiki
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
http://fractals.narod.ru/
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
Бондаренко В.А., Долников В.Л. Барнсли-Слоаны дагуу фрактал дүрсийг шахах. // Автоматжуулалт ба телемеханик.-1994.-N5.-p.12-20.
Ватолин D. Фракталуудыг компьютер графикт хэрэглэх. // Компьютерийн ертөнц-Орос.-1995.-N15.-х.11.
Федер Э. Фракталууд. Пер. англи хэлнээс-М.: Мир, 1991.-254 х. (Женс Федер, Plenum Press, Нью-Йорк, 1988)
Фрактал ба эмх замбараагүй байдлын хэрэглээ. 1993, Спрингер-Верлаг, Берлин.

Хавсралт 1

Хавсралт 2

Хавсралт 3

Хавсралт 4

Фракталууд нь бараг зуун жилийн турш мэдэгдэж байсан бөгөөд сайн судлагдсан бөгөөд амьдралд олон тооны хэрэглээтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ үзэгдэл нь маш энгийн санаан дээр суурилдаг: хуулбарлах, масштаблах гэсэн хоёр үйлдлийг ашиглан харьцангуй энгийн загвараас гоо үзэсгэлэн, олон янзын хязгааргүй тооны хэлбэрийг олж авах боломжтой.

Евгений Епифанов

Мод, далайн эрэг, үүл эсвэл бидний гарт байгаа судаснууд юугаараа ижил төстэй вэ? Эхлээд харахад эдгээр бүх объектуудад нийтлэг зүйл байхгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч, үнэн хэрэгтээ, жагсаасан бүх объектод байдаг бүтцийн нэг шинж чанар байдаг: тэдгээр нь хоорондоо төстэй байдаг. Модны их бие гэх мэт мөчрөөс жижиг найлзуурууд гарч ирдэг, тэдгээрээс бүр жижиг найлзуурууд гэх мэт, өөрөөр хэлбэл мөчир нь бүхэл бүтэн модтой төстэй байдаг. Цусны эргэлтийн систем нь ижил төстэй бүтэцтэй байдаг: артериолууд артериудаас салж, тэдгээрээс хүчилтөрөгч нь эрхтэн, эд эсэд ордог хамгийн жижиг хялгасан судаснууд байдаг. Далайн эргийн хиймэл дагуулын зургийг харцгаая: бид булан, хойгуудыг харах болно; Үүнийг харцгаая, гэхдээ шувууны нүдээр: бид булан, хошууг харах болно; Одоо бид далайн эрэг дээр зогсож, хөл рүүгээ харж байна гэж төсөөлөөд үз дээ: бусад хэсгээс илүү ус руу цухуйсан хайрга үргэлж байх болно. Өөрөөр хэлбэл, далайн эргийн шугамыг томруулж үзэхэд өөртэйгөө адилхан хэвээр байна. Америкийн математикч (тэр хэдийгээр Францад өссөн ч) Бенуа Манделброт объектын энэ шинж чанарыг фрактал гэж нэрлэсэн бөгөөд ийм объектуудыг өөрөө фракталууд (Латин хэлнээс fractus - эвдэрсэн) гэж нэрлэдэг.

Энэ үзэл баримтлалд хатуу тодорхойлолт байдаггүй. Тиймээс "фрактал" гэдэг үг нь математикийн нэр томъёо биш юм. Ерөнхийдөө фрактал нь дараахь шинж чанаруудын нэг буюу хэд хэдэн шинж чанарыг хангасан геометрийн дүрс юм: Энэ нь масштабын өсөлтөд нарийн төвөгтэй бүтэцтэй байдаг (жишээлбэл, шулуун шугамаас ялгаатай нь аль ч хэсэг нь хамгийн энгийн геометрийн дүрс - сегмент юм. ). (ойролцоогоор) өөртэйгөө төстэй. Энэ нь топологийн хэмжээсээс том хэмжээтэй Хаусдорф (фрактал) хэмжигдэхүүнтэй. Рекурсив процедурыг ашиглан бүтээж болно.

Геометр ба алгебр

Фракталуудыг судалж байна 19-р зууны эхэн үеӨмнө нь математикчид ерөнхий арга, онолыг ашиглан судалж болох "сайн" объектуудыг голчлон судалдаг байсан тул XX зуун нь системчилсэн гэхээсээ илүү эпизодтой байсан. 1872 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс хаана ч ялгах боломжгүй тасралтгүй функцийн жишээг бүтээжээ. Гэсэн хэдий ч түүний бүтэц нь бүхэлдээ хийсвэр бөгөөд ойлгоход хэцүү байв. Тиймээс 1904 онд Швед Хельге фон Кох хаана ч шүргэгчгүй, зурахад хялбар тасралтгүй муруйг гаргаж ирэв. Энэ нь фрактал шинж чанартай болох нь тогтоогдсон. Энэ муруйн нэг хувилбарыг "Кох цасан ширхгүүд" гэж нэрлэдэг.

Дүрүүдийн өөртэйгөө төстэй санааг Бенуа Манделбротын ирээдүйн зөвлөгч Франц Пол Пьер Леви гаргаж авсан. 1938 онд түүний "Хавтгай ба орон зайн муруй ба бүхэл хэсгүүдээс бүрдэх гадаргуу" нийтлэл хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь өөр нэг фрактал болох Леви С муруйг дүрсэлсэн юм. Дээр дурдсан бүх фракталуудыг конструктив (геометрийн) фракталуудын нэг анги гэж нөхцөлт байдлаар ангилж болно.

Өөр нэг анги бол динамик (алгебрийн) фракталууд бөгөөд үүнд Mandelbrot олонлог багтдаг. Энэ чиглэлийн анхны судалгаа 20-р зууны эхэн үеэс эхэлсэн бөгөөд Францын математикч Гастон Жулиа, Пьер Фату нарын нэртэй холбоотой юм. 1918 онд Жулиа Манделбротын олонлогтой нягт холбоотой фракталуудын бүхэл бүтэн гэр бүл болох Жулиа олонлогуудыг дүрсэлсэн нарийн төвөгтэй рационал функцүүдийн давталтын тухай бараг хоёр зуун хуудас дурсамж номоо хэвлүүлжээ. Энэхүү бүтээл нь Францын Академийн шагналаар шагнагдсан боловч нэг ч дүрслэл агуулаагүй тул задгай объектын гоо үзэсгэлэнг үнэлэх боломжгүй байв. Энэ ажил нь Жулиаг тухайн үеийн математикчдын дунд алдаршуулсан ч хурдан мартагдсан юм. Хагас зуун жилийн дараа компьютер гарч ирснээр дахин анхаарал хандуулав: тэд л фракталуудын ертөнцийн баялаг, гоо үзэсгэлэнг харуулсан хүмүүс юм.

Фрактал хэмжээсүүд

Таны мэдэж байгаагаар геометрийн дүрсийн хэмжээс (хэмжээний тоо) нь энэ зураг дээр байрлах цэгийн байрлалыг тодорхойлоход шаардлагатай координатын тоо юм.
Жишээлбэл, муруй дээрх цэгийн байрлалыг нэг координатаар, гадаргуу дээр (хавтгай байх албагүй) хоёр координатаар, гурван хэмжээст орон зайд гурван координатаар тодорхойлогддог.
Илүү ерөнхий математикийн үүднээс авч үзвэл хэмжигдэхүүнийг ийм байдлаар тодорхойлж болно: нэг хэмжээст (топологийн үүднээс) объектын (сегмент) шугаман хэмжээсийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь дараахь зүйлд хүргэдэг. Хэмжээ (урт) хоёр дахин, хоёр хэмжээст (дөрвөлжин) -ийн хувьд шугаман хэмжээсийн ижил өсөлт нь хэмжээ (талбай) 4 дахин, гурван хэмжээст (шоо) -аар нэмэгдэхэд хүргэдэг. 8 удаа. Өөрөөр хэлбэл, "бодит" (Хаусдорф гэж нэрлэгддэг) хэмжигдэхүүнийг объектын "хэмжээ" -ийн өсөлтийн логарифмыг шугаман хэмжээсийн өсөлтийн логарифмын харьцаагаар тооцоолж болно. Өөрөөр хэлбэл, сегментийн хувьд D=log (2)/лог (2)=1, хавтгайд D=log (4)/лог (2)=2, эзлэхүүний хувьд D=log (8)/лог (2) )=3.
Нэгж сегментийг гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, дундын интервалыг энэ сегментгүйгээр тэгш талт гурвалжингаар солихын тулд Кох муруйны хэмжээг тооцоолъё. Хамгийн бага сегментийн шугаман хэмжээсүүд 3 дахин ихсэх үед Кох муруйны урт log (4)/log (3) ~ 1.26-аар нэмэгдэнэ. Энэ нь Кох муруйн хэмжээс нь бутархай юм!

Шинжлэх ухаан, урлаг

1982 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд энэ номонд зохиолч тухайн үед байсан фракталуудын тухай бараг бүх мэдээллийг цуглуулж, системчилж, хялбар, хүртээмжтэй байдлаар танилцуулсан. Манделброт илтгэлдээ хүнд томьёо, математикийн бүтцэд бус харин уншигчдын геометрийн зөн совин дээр гол анхаарлаа хандуулсан. Зохиогч монографийн шинжлэх ухааны бүрэлдэхүүн хэсгийг чадварлаг шингэлсэн компьютер, түүхийн түүхийг ашиглан олж авсан зургуудын ачаар ном бестселлер болж, фракталууд олон нийтэд танигдах болжээ. Математикч бус хүмүүсийн дунд тэдний амжилтад хүрсэн нь ахлах сургуулийн сурагчид ч ойлгохуйц маш энгийн бүтэц, томъёоны тусламжтайгаар гайхалтай нарийн төвөгтэй байдал, гоо үзэсгэлэнгийн дүр төрхийг олж авдагтай холбоотой юм. Хувийн компьютер хангалттай хүчирхэг болоход урлагийн бүхэл бүтэн чиглэл гарч ирэв - фрактал зураг, бараг бүх компьютер эзэмшигч үүнийг хийж чадна. Одоо Интернет дээр та энэ сэдэвт зориулагдсан олон сайтыг хялбархан олох боломжтой.

Кох муруйг олж авах схем

Дайн ба энх

Дээр дурдсанчлан фрактал шинж чанартай байгалийн объектуудын нэг бол далайн эрэг юм. Үүнтэй холбоотой нэг зүйл байдаг, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар уртыг нь хэмжих оролдлого байдаг. сонирхолтой түүхМанделбротын шинжлэх ухааны өгүүллийн үндэс болсон бөгөөд мөн түүний "Байгалийн фрактал геометр" номонд дурдсан байдаг. Энэ талаар юмМаш авъяаслаг, хачирхалтай математикч, физикч, цаг уурч Льюис Ричардсоны хийсэн туршилтын тухай. Түүний судалгааны нэг чиглэл бол хоёр улсын хооронд зэвсэгт мөргөлдөөн гарах шалтгаан, магадлалын математик тайлбарыг олох оролдлого байв. Түүний анхааралдаа авсан параметрүүдийн нэг нь дайтаж буй хоёр улсын нийтлэг хилийн урт байв. Тэрээр тоон туршилт хийхдээ мэдээлэл цуглуулахдаа Испани, Португалийн нийтлэг хилийн талаарх мэдээлэл өөр өөр эх сурвалжаас эрс ялгаатай болохыг олж мэдэв. Энэ нь түүнийг дараах нээлтэд хүргэсэн: улс орны хилийн урт нь бидний хэмжиж буй захирагчаас хамаардаг. Хэмжээ бага байх тусмаа хил хязгаар урт болно. Энэ нь хэмжилтийн бүдүүлэг байдлаас болж өмнө нь үл тоомсорлож байсан эрэг орчмын улам олон шинэ гулзайлтыг харгалзан үзэх боломжтой болж байгаатай холбоотой юм. Хэрэв масштаб нэмэгдэх тусам урьд өмнө тооцоогүй гулзайлтын шугамууд илрэх юм бол хилийн урт нь хязгааргүй болох нь харагдаж байна! Үнэн бол энэ нь үнэндээ тохиолддоггүй - бидний хэмжилтийн нарийвчлал нь хязгаарлагдмал хязгаартай байдаг. Энэ парадоксыг Ричардсон эффект гэж нэрлэдэг.

Конструктив (геометрийн) фракталууд

Ерөнхий тохиолдолд конструктив фрактал байгуулах алгоритм нь дараах байдалтай байна. Юуны өмнө бидэнд хоёр тохиромжтой геометрийн хэлбэр хэрэгтэй, тэдгээрийг суурь ба хэлтэрхий гэж нэрлэе. Эхний шатанд ирээдүйн фракталын үндсийг дүрсэлсэн болно. Дараа нь түүний зарим хэсгийг тохирох масштабаар авсан фрагментээр сольсон - энэ бол барилгын анхны давталт юм. Дараа нь үүссэн дүрс нь зарим хэсгийг дахин фрагменттэй төстэй дүрс болгон өөрчилнө гэх мэт. Хэрэв бид энэ үйл явцыг хязгааргүй үргэлжлүүлбэл хязгаарт бид фрактал авах болно.

Жишээ болгон Кох муруйг ашиглан энэ үйл явцыг харцгаая (өмнөх хуудасны хажуугийн самбарыг үзнэ үү). Аливаа муруйг Кохын муруйны үндэс болгон авч болно ("Кох цасан ширхгийн" хувьд энэ нь гурвалжин юм). Гэхдээ бид өөрсдийгөө хамгийн энгийн тохиолдол болох сегментээр хязгаарлах болно. Хэсэг нь тасархай шугам бөгөөд зургийн дээд талд харуулав. Алгоритмыг эхний давталт хийсний дараа энэ тохиолдолд анхны сегмент нь фрагменттэй давхцах бөгөөд дараа нь түүний бүрдүүлэгч сегмент бүр нь фрагменттэй төстэй тасархай шугамаар солигдох болно. Зурагт үүний эхний дөрвөн алхамыг харуулав. үйл явц.

Математикийн хэлээр: динамик (алгебрийн) фракталууд

Энэ төрлийн фракталууд нь шугаман бус динамик системийг судлах үед үүсдэг (иймээс нэр). Ийм системийн зан төлөвийг нарийн төвөгтэй шугаман бус функцээр (олон гишүүнт) f (z) дүрсэлж болно. Нарийн төвөгтэй хавтгай дээрх анхны z0 цэгийг авч үзье (хажуугийн мөрийг үзнэ үү). Одоо нийлмэл хавтгай дээрх ийм хязгааргүй тооны дарааллыг авч үзье, дараагийн тоо бүр нь өмнөхөөсөө гарна: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn). ). Анхны z0 цэгээс хамааран ийм дараалал өөр өөр байж болно: n -> ∞ гэж хязгааргүйд хандах; ямар нэгэн төгсгөлийн цэг рүү нийлэх; тогтмол утгуудын цувралыг циклээр авах; Илүү төвөгтэй сонголтууд бас боломжтой.

Нарийн төвөгтэй тоо

Нарийн төвөгтэй тоо нь бодит ба төсөөлөл гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэх тоо, өөрөөр хэлбэл албан ёсны нийлбэр x + iy (энд x ба y нь бодит тоонууд) юм. би гэж нэрлэгддэг төсөөллийн нэгж, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хангасан тоо би ^ 2 = -1. Нарийн төвөгтэй тоон дээрх математикийн үндсэн үйлдлүүдийг тодорхойлсон: нэмэх, үржүүлэх, хуваах, хасах (зөвхөн харьцуулах үйлдлийг тодорхойлоогүй). Нарийн төвөгтэй тоонуудыг харуулахын тулд геометрийн дүрслэлийг ихэвчлэн ашигладаг - хавтгай дээр (үүнийг нарийн төвөгтэй гэж нэрлэдэг), бодит хэсгийг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, төсөөллийг ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг бөгөөд комплекс тоо нь тохирох болно. x ба у декарт координаттай цэг.

Иймд нийлмэл хавтгайн ямар ч z цэг нь f (z) функцийн давталтын үед өөрийн гэсэн зан төлөвтэй байдаг бөгөөд бүх хавтгай нь хэсгүүдэд хуваагддаг. Түүнээс гадна эдгээр хэсгүүдийн хил дээр байрлах цэгүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг: дур зоргоороо бага нүүлгэн шилжүүлэлт хийснээр тэдний зан төлөвийн шинж чанар эрс өөрчлөгддөг (ийм цэгүүдийг салаалсан цэг гэж нэрлэдэг). Тиймээс, нэг төрлийн зан төлөвтэй цэгүүдийн багц, түүнчлэн салаалсан цэгүүдийн багц нь ихэвчлэн фрактал шинж чанартай байдаг. Эдгээр нь f (z) функцийн Жулиа олонлогууд юм.

Луугийн гэр бүл

Суурь болон фрагментийг өөрчилснөөр та гайхалтай олон төрлийн бүтэцтэй фракталуудыг авах боломжтой.
Түүнээс гадна ижил төстэй үйлдлүүдийг гурван хэмжээст орон зайд хийж болно. Эзлэхүүн фракталуудын жишээнд "Менгер хөвөн", "Сиерпинскийн пирамид" болон бусад зүйлс орно.
Луугийн гэр бүлийг мөн бүтээлч фрактал гэж үздэг. Заримдаа тэднийг нээсэн хүмүүсийн нэрээр "Хиви-Хартер луу" гэж нэрлэдэг (хэлбэрийн хувьд тэд Хятад луутай төстэй). Энэ муруйг бий болгох хэд хэдэн арга байдаг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн үзэмжтэй нь: та нэлээд урт цаасан тууз авч (цаасан нь нимгэн байх тусмаа сайн), талыг нь нугалах хэрэгтэй. Дараа нь эхнийхтэй ижил чиглэлд дахин хагасаар нугалав. Хэд хэдэн давталтын дараа (ихэвчлэн тав, зургаан нугалаа хийсний дараа тууз нь хэтэрхий зузаан болж, зөөлөн нугалж болохгүй) туузыг буцааж нугалж, нугалахад 90˚ өнцөг үүсгэхийг хичээх хэрэгтэй. Дараа нь профайл дээр та луугийн муруйг авах болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь фрактал объектуудыг дүрслэх бидний бүх оролдлоготой адил зөвхөн ойролцоогоор байх болно. Компьютер нь энэ үйл явцын олон үе шатыг дүрслэх боломжийг олгодог бөгөөд үр дүн нь маш үзэсгэлэнтэй дүр юм.

Mandelbrot багц нь арай өөрөөр бүтээгдсэн. fc (z) = z 2 +c функцийг авч үзье, энд c нь комплекс тоо. Энэ функцийн дарааллыг z0=0 гэж байгуулъя, c параметрээс хамааран энэ нь хязгааргүй хүртэл зөрөх эсвэл хязгаарлагдмал хэвээр үлдэж болно. Түүнчлэн, энэ дараалал хязгаарлагдмал c-ийн бүх утгууд нь Манделбротын багцаас бүрдэнэ. Үүнийг Манделброт өөрөө болон бусад математикчид нарийвчлан судалж, энэ багцын олон сонирхолтой шинж чанарыг олж илрүүлсэн.

Жулиа, Манделбротын багцын тодорхойлолтууд хоорондоо төстэй байгааг харж болно. Үнэндээ эдгээр хоёр багц нь хоорондоо нягт холбоотой. Тухайлбал, Mandelbrot багц нь Julia олонлог fc (z) холбогдсон c цогц параметрийн бүх утгууд юм (зарим нэмэлт нөхцлөөр хоёр салангид хэсэгт хуваагдах боломжгүй бол үүнийг холбогдсон гэж нэрлэдэг).

Фрактал ба амьдрал

Өнөө үед фракталуудын онолыг янз бүрийн салбарт өргөнөөр ашиглаж байна. хүний үйл ажиллагаа. Судалгааны цэвэр шинжлэх ухааны объект, аль хэдийн дурдсан фрактал будгаас гадна фракталуудыг мэдээллийн онолд график өгөгдлийг шахахад ашигладаг (фракталуудын ижил төстэй шинж чанарыг энд голчлон ашигладаг - эцэст нь зургийн жижиг хэсгийг санахад ашигладаг. Үлдсэн хэсгүүдийг олж авах боломжтой өөрчлөлтүүд нь файлыг бүхэлд нь хадгалахаас хамаагүй бага санах ой шаарддаг). Фракталыг тодорхойлсон томьёонд санамсаргүй үймүүлэлтийг нэмж оруулснаар зарим зүйлийг маш үнэмшилтэй илэрхийлэх стохастик фракталуудыг олж авах боломжтой. бодит объектууд- рельефийн элементүүд, усан сангийн гадаргуу, зарим ургамлууд нь физик, газарзүй, компьютер графикт амжилттай хэрэглэгдэж, дуураймал объект болон бодит объектуудын хооронд илүү төстэй байдлыг бий болгоход ашигладаг. Радио электроникийн хувьд сүүлийн арван жилд фрактал хэлбэртэй антен үйлдвэрлэж эхэлсэн. Бага зай эзэлдэг тул өндөр чанартай дохио хүлээн авдаг. Эдийн засагчид валютын хэлбэлзлийн муруйг тодорхойлохдоо фракталуудыг ашигладаг (энэ өмчийг Манделброт 30 гаруй жилийн өмнө нээсэн). Үүгээр фракталуудын гайхалтай үзэсгэлэнтэй, олон янзын ертөнцөд хийсэн энэхүү богино аялал өндөрлөж байна.

Мартынов Даниил

Төслийн менежер:

Мартынова Людмила Юрьевна

Байгууллага:

"Криушинская дунд сургууль" хотын боловсролын байгууллага

Ажиллаж байна математикийн судалгааны ажил "Бидний эргэн тойрон дахь фракталууд" 8-р ангийн сурагч математик бол сүнсгүй хичээл биш, өөрөө геометрийн фрактал үүсгэх замаар хүн, нийгмийн оюун санааны ертөнцийг илэрхийлж чадна гэдгийг харуулах зорилго тавьсан. Од».

Зохиогч "Бидний эргэн тойрон дахь фракталууд" хэмээх математикийн судалгааны ажилд төслийн нэг хэсэг болох геометрийн фрактал "Од"-ыг бүтээж, үүссэн фракталыг практикт ашиглах зөвлөмжийг өгч, фрактал ба Паскалийн гурвалжны хоорондох холбоог олохыг хичээсэн. математикийн судалгааны үйл явц.

Санал болгож буй зүйлд математикийн төсөл "Бидний эргэн тойрон дахь фракталууд"Зохиогч фрактал геометрийн шинэ санаанууд нь хүрээлэн буй орчны олон нууцлаг үзэгдлийг судлахад тусална гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. Шинэ үзэл баримтлалыг ашигладаг зураг боловсруулах, хэв маягийг таних аргууд нь судлаачдад байгалийн асар олон тооны объект, бүтцийг тоон байдлаар дүрслэх математикийн аппаратыг ашиглах боломжийг олгодог.

Оршил
1. "Од" геометрийн фракталын үндэслэл, бүтэц.
2. Фрактал ба Паскалийн гурвалжны хоорондох холбоог олох.
3. Үүсгэсэн фракталыг практикт ашиглах зөвлөмж.
Дүгнэлт

Оршил

Манай ангийн олон хүүхэд математик бол яг уйтгартай шинжлэх ухаан, бодлого, тэгшитгэл, график, томьёо... гэж итгэдэг. Энд юу сонирхолтой байж болох вэ? 21-р зууны геометр. Хүйтэн, хэцүү, сонирхолтой биш ...

"Яагаад ингэж нэрлэсэн юм бэ? Үүний нэг шалтгаан нь үүл, уул, мод, далайн эргийн хэлбэрийг дүрсэлж чаддаггүй. Үүл нь бөмбөрцөг биш, уул нь боргоцой биш, эрэг нь тойрог биш, холтос нь биш юм. гөлгөр бөгөөд аянга нь шулуун шугамаар эргэлддэггүй. Байгаль нь бидэнд зөвхөн илүү өндөр түвшнийг биш, харин огт өөр түвшний нарийн төвөгтэй байдлыг харуулдаг" Бенуа Манделброт.

Би судалгааны ажлаараа дээрх зүйлийг үгүйсгэхийг оролдсон. Энэ нь фракталуудыг нээсний дараа боломжтой болсон - олон тооны сонирхолтой шинж чанаруудтай ижил төстэй дүрсүүд нь фракталуудыг байгалийн объекттой харьцуулах боломжтой болсон.

Таамаглал – « Бодит ертөнцөд байгаа бүх зүйл бол фрактал юм».

Зорилтот "Математик бол сүнсгүй хичээл биш, өөрийн геометрийн фракталыг бий болгосноор хүн ба нийгмийн оюун санааны ертөнцийг илэрхийлж чаддаг гэдгийг харуулах" Од».

Судалгааны объект - математик болон бодит ертөнцөд фракталууд.

Судалгааны сэдэвтэй холбоотой уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх, хянан үзэх.
Шалгаж, судлаарай янз бүрийн төрөлфракталууд.
Паскалийн гурвалжин ба уран зохиолын бүтээлүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоо.
Өөрийнхөө фракталыг зохион бүтээж, үүсгэж, геометрийн фракталын график дүрсийг бүтээх программыг үүсгэ. Од».
Боломжуудыг авч үзье практик хэрэглээфрактал үүсгэсэн.

Хамааралтай байдал заасан сэдвийг хамгийн түрүүнд тодорхойлсон. сэдэвсудалгаа, энэ нь фрактал геометр.

Судалгааны ажлын бүтэц танилцуулга, хоёр бүлэг, дүгнэлт, ашигласан материалын жагсаалт, хавсралт зэргийг багтаасан болно.

ТанилцуулгадСудалгааны сэдвийн хамаарал, шинэлэг байдлыг нотолсон, асуудал, сэдэв, зорилго, даалгавар, ажлын үе шат, ажлын онолын болон практик ач холбогдлыг тодорхойлсон.

Эхний бүлэгтФракталын тухай ойлголт үүссэн түүх, фракталуудын ангилал, фракталуудын хэрэглээний талаархи асуултууд илчлэв.

Хоёрдугаар бүлэгтБидний бүтээсэн геометрийн дүрсийг судалж, нотолсон " Од"Фрактал бол бий болсон фракталын параметрүүдийг өөрчилснөөр бид даавуу, өнгөлгөөний материал, үнэлэмж судлалын чиглэлээр практик хэрэглээнд ашиглаж болох гоёмсог гоёл чимэглэлийн бүхэл бүтэн галерейг хүлээн авсан.

Шинжлэх ухааны хамгийн овсгоотой нээлтүүд хүний амьдралыг эрс өөрчилж чадна. Зохион бүтээсэн вакцин нь сая сая хүнийг аварч чадна, харин зэвсэг бүтээх нь эсрэгээрээ эдгээр амь насыг устгадаг. Саяхан (хүний хувьслын хэмжээнд) бид цахилгаан эрчим хүчийг "зохицуулж" сурсан бөгөөд одоо бид амьдралыг цахилгаан ашигладаг эдгээр бүх тохиромжтой төхөөрөмжгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Гэхдээ бидний амьдралд маш их нөлөөлдөг хэдий ч цөөхөн хүн ач холбогдол өгдөг нээлтүүд бас байдаг.

Эдгээр "анхааралгүй" нээлтүүдийн нэг нь фрактал юм. Та энэ сэтгэл татам үгийг өмнө нь сонсож байсан байх, гэхдээ энэ нь ямар утгатай, ямар их сонирхолтой мэдээлэл нуугдаж байгааг мэдэх үү?

Хүн бүр байгалиас заяасан сониуч зан, эргэн тойрныхоо ертөнцийг ойлгох хүсэл эрмэлзэлтэй байдаг. Мөн энэ оролдлого хийхдээ хүн дүгнэлт хийхдээ логикийг баримтлахыг хичээдэг. Түүний эргэн тойронд болж буй үйл явцад дүн шинжилгээ хийхдээ тэрээр болж буй үйл явдлын логикийг олж, ямар нэгэн хэв маягийг гаргахыг хичээдэг. Дэлхий дээрх хамгийн агуу оюун ухаантнууд энэ ажилд завгүй байдаг. Бүдүүлэгээр хэлэхэд эрдэмтэд ийм байх ёсгүй хэв маягийг хайж байна. Гэсэн хэдий ч эмх замбараагүй байдалд ч гэсэн үйл явдлын хоорондын холбоог олох боломжтой. Мөн энэ холболт нь фрактал юм.

Дөрвөн хагас настай бяцхан охин маань одоо "Яагаад?" Гэсэн асуултын тоо олноор ирэх тэр сайхан насандаа байна. Энэ нь насанд хүрэгчдийн өгч чадах хариултын тооноос хэд дахин их байна. Саяхан охин маань газраас өндийсөн мөчрийг шалгаж байхдаа мөчир, мөчиртэй энэ мөчир нь өөрөө мод шиг харагдаж байгааг гэнэт анзаарав. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь "Яагаад?" гэсэн ердийн асуулт гарч ирсэн бөгөөд эцэг эхчүүд хүүхдэд ойлгомжтой байх энгийн тайлбарыг хайх ёстой байв.

Хүүхдийн олж илрүүлсэн бүхэл бүтэн модтой нэг мөчир ижил төстэй байдал нь маш үнэн зөв ажиглалт бөгөөд энэ нь байгаль дээрх рекурсив өөрөө ижил төстэй байдлын зарчмыг дахин гэрчилж байна. Байгаль дээрх олон органик болон органик бус хэлбэрүүд ижил төстэй байдлаар үүсдэг. Үүл, далайн хясаа, эмгэн хумсны "байшин", модны холтос, титэм, цусны эргэлтийн систем гэх мэт эдгээр бүх объектын санамсаргүй хэлбэрийг фрактал алгоритмаар дүрсэлж болно.

⇡ Бенуа Манделброт: Фрактал геометрийн эцэг

"Фрактал" гэдэг үг өөрөө гайхалтай эрдэмтэн Бенуа Б.Манделбротын ачаар бий болсон.

Тэр өөрөө 1970-аад онд энэ нэр томьёог зохиож, fractus гэдэг үгийг латин хэлнээс зээлж авч, шууд утгаараа "эвдэрсэн" эсвэл "буталсан" гэсэн утгатай. Энэ юу вэ? Өнөөдөр "фрактал" гэдэг үг нь ихэвчлэн өөртэйгөө ижил төстэй бүтцийн график дүрслэлийг илэрхийлдэг.

Фракталын онол үүсэх математик үндэс нь Бенуа Манделбротыг төрөхөөс олон жилийн өмнө тавигдсан боловч зөвхөн тооцоолох төхөөрөмж бий болсноор л хөгжиж чадсан юм. Үүний эхэнд шинжлэх ухааны үйл ажиллагааБенуа IBM судалгааны төвд ажиллаж байсан. Тухайн үед тус төвийн ажилтнууд зайнаас мэдээлэл дамжуулахаар ажиллаж байсан. Судалгааны явцад эрдэмтэд нэгэн асуудалтай тулгарсан их хэмжээний алдагдалдуу чимээний хөндлөнгийн нөлөөгөөр үүсдэг. Бенуа хүнд хэцүү, маш их бэрхшээлтэй тулгарсан чухал ажил- статистикийн арга үр дүнгүй болох үед электрон хэлхээнд дуу чимээний хөндлөнгийн оролцоог хэрхэн урьдчилан таамаглахыг ойлгох.

Дуу чимээний хэмжилтийн үр дүнг харахад Манделброт нэг хачирхалтай хэв маягийг анзаарав - янз бүрийн масштабын дуу чимээний графикууд ижил харагдаж байв. Нэг өдөр, долоо хоног, нэг цагийн дуу чимээний график байсан эсэхээс үл хамааран ижил хэв маяг ажиглагдсан. Графикийн масштабыг өөрчлөх шаардлагатай байсан бөгөөд тэр болгонд зураг давтагдсан.

Бенуа Манделброт амьдралынхаа туршид томьёо судлаагүй, зүгээр л зургаар тоглодог байсан гэж олон удаа хэлж байсан. Энэ хүн маш дүрслэн бодож, ямар ч алгебрийн бодлогыг геометрийн талбарт орчуулсан бөгөөд түүний хэлснээр зөв хариулт нь үргэлж тодорхой байдаг.

Ийм баян орон зайн төсөөлөлтэй хүн фрактал геометрийн эцэг болсон нь гайхах зүйл биш юм. Эцсийн эцэст, фракталуудын мөн чанарыг ойлгох нь зургийг судалж, хачирхалтай эргүүлэгүүдийн утгын талаар бодож эхлэхэд л ирдэг.

Фрактал загвар нь ижил элементгүй боловч ямар ч масштабаар ижил төстэй байдаг. Өндөр нарийвчлалтай ийм зургийг гараар бүтээх нь урьд өмнө боломжгүй байсан тул асар их тооцоолол хийх шаардлагатай байв. Жишээлбэл, Францын математикч Пьер Жозеф Луи Фату Бенуа Манделбротын нээлтээс далан гаруй жилийн өмнө энэ багцыг дүрсэлсэн байдаг. Хэрэв бид өөртэйгөө төстэй байх зарчмуудын талаар ярих юм бол тэдгээрийг Лейбниц, Георг Кантор нарын бүтээлүүдэд дурдсан байдаг.

Анхны фрактал зургуудын нэг бол Гастон Морис Жулиагийн судалгааны үр дүнд бий болсон Манделбротын багцын график тайлбар юм.

Гастон Жулиа (үргэлж маск зүүдэг - Дэлхийн 1-р дайны гэмтэл)

Энэ Францын математикч хэрэв олонлогийг санал хүсэлтийн давталтаар давтагдсан энгийн томъёогоор бүтээсэн бол ямар харагдах бол гэж гайхаж байв. Хэрэв бид үүнийг "хуруугаараа" тайлбарлавал энэ нь тодорхой тооны хувьд томьёог ашиглан шинэ утгыг олж, дараа нь дахин томъёонд орлуулж, өөр утгыг авна гэсэн үг юм. Үр дүн нь том тооны дараалал юм.

Ийм багцын бүрэн дүр зургийг авахын тулд та асар их тооны тооцоолол хийх хэрэгтэй - хэдэн зуун, мянга, сая. Үүнийг гараар хийх нь ердөө л боломжгүй байсан. Гэвч хүчирхэг тооцоолох төхөөрөмжүүд математикчдад боломжтой болсон үед тэд эртнээс сонирхож байсан томьёо, илэрхийллүүдийг шинээр харах боломжтой болсон. Манделброт бол сонгодог фракталыг тооцоолохдоо компьютер ашигласан анхны хүн юм. Олон тооны утгуудаас бүрдэх дарааллыг боловсруулсны дараа Бенуа үр дүнг график дээр зурав. Энэ бол түүнд авсан зүйл юм.

Дараа нь энэ зургийг өнгөтөөр будсан (жишээлбэл, будах аргуудын нэг нь давталтын тоогоор) бөгөөд хүний бүтээсэн хамгийн алдартай зургуудын нэг болжээ.

Ефесийн Гераклитийн хэлсэн эртний үгэнд "Нэг гол руу хоёр удаа орж болохгүй" гэж хэлдэг. Энэ нь фракталуудын геометрийг тайлбарлахад маш тохиромжтой. Фрактал дүрсийг хичнээн нарийвчлан үзсэн ч бид үргэлж ижил төстэй хэв маягийг олж харах болно.

Манделбротын орон зайн зургийг олон дахин томруулсан тохиолдолд ямар харагдахыг харахыг хүссэн хүмүүс хөдөлгөөнт GIF татаж авах боломжтой.

⇡ Лорен Карпентер: байгалиас заяасан урлаг

Удалгүй фракталуудын онол практик хэрэглээг олж авав. Энэ нь өөртэйгөө ижил төстэй зургийг дүрслэхтэй нягт холбоотой тул ер бусын хэлбэрийг бий болгох алгоритм, зарчмуудыг анхлан зураачид баталсан нь гайхах зүйл биш юм.

Домогт Pixar студийн ирээдүйн үүсгэн байгуулагч Лорен Си Карпентер 1967 онд шинэ нисэх онгоц зохион бүтээдэг алдарт корпорацийн салбаруудын нэг байсан Boeing Computer Services компанид ажиллаж эхэлсэн.

1977 онд тэрээр нисдэг загваруудын прототипээр танилцуулга хийсэн. Лорены үүрэг хариуцлагад зохион бүтээж буй онгоцны зургийг боловсруулах багтсан. Тэрээр ирээдүйн нисэх онгоцыг янз бүрийн өнцгөөс харуулсан шинэ загваруудын зургийг бүтээх ёстой байв. Хэзээ нэгэн цагт Pixar Animation Studios-ийн ирээдүйн үүсгэн байгуулагч уулсын зургийг дэвсгэр болгон ашиглах бүтээлч санааг гаргаж ирэв. Өнөөдөр ямар ч сургуулийн сурагч ийм асуудлыг шийдэж чадна, гэхдээ өнгөрсөн зууны далаад оны сүүлээр компьютер ийм нарийн төвөгтэй тооцооллыг даван туулж чадахгүй байсан - 3D графикийн програмуудыг дурдахад график засварлагч байхгүй байв. 1978 онд Лорен дэлгүүрт Бенуа Манделбротын "Фракталууд: Хэлбэр, боломж ба хэмжээс" номыг санамсаргүйгээр олж харжээ. Энэ номонд түүний анхаарлыг татсан зүйл бол Бенуа бодит амьдрал дээр фрактал хэлбэрийн олон жишээ өгч, тэдгээрийг математик илэрхийллээр дүрсэлж болно гэж нотолсон явдал юм.

Энэ зүйрлэлийг математикч санамсаргүй байдлаар сонгоогүй. Үнэн хэрэгтээ тэрээр судалгаагаа нийтэлсэн даруйдаа бүхэл бүтэн шүүмжлэлд өртөх шаардлагатай болсон. Хамтран ажиллагсад нь түүнийг зэмлэсэн гол зүйл бол боловсруулж буй онолын ашиггүй байдал юм. "Тийм ээ" гэж тэд "Эдгээр бол сайхан зургууд, гэхдээ өөр юу ч биш. Фракталуудын онол нь практик ач холбогдолгүй юм." Фрактал хэв маяг нь далаад оны сүүлчээр олон хүнд хэтэрхий төвөгтэй, судлагдаагүй зүйл мэт санагдаж байсан "чөтгөрийн машинуудын" ажлын үр дүн гэж ерөнхийд нь итгэдэг хүмүүс ч байсан. Манделброт фрактал онолын тодорхой хэрэглээг олохыг хичээсэн боловч том схемийн дагуу түүнд шаардлагагүй байв. Дараагийн 25 жилийн хугацаанд Бенуа Манделбротын дагалдагчид ийм "математикийн сониуч зан" асар их ашиг тустайг нотолсон бөгөөд Лорен Карпентер фрактал аргыг практикт туршиж үзсэн анхны хүмүүсийн нэг байв.

Номыг судалсны дараа ирээдүйн аниматор фрактал геометрийн зарчмуудыг нухацтай судалж, компьютер графикт хэрэгжүүлэх арга замыг хайж эхлэв. Гуравхан өдрийн ажилдаа Лорен компьютер дээрээ уулын системийн бодит дүр төрхийг гаргаж чаджээ. Өөрөөр хэлбэл, тэрээр бүрэн танигдахуйц уулын ландшафтыг зурахын тулд томьёо ашигласан.

Зорилгодоо хүрэхийн тулд Лоренийн баримталсан зарчим нь маш энгийн байсан. Энэ нь том геометрийн дүрсийг жижиг элементүүдэд хуваахаас бүрдэх ба эдгээр нь эргээд жижиг хэмжээтэй ижил төстэй дүрсүүдэд хуваагддаг байв.

Мужааны том гурвалжнуудыг ашиглан дөрвөн жижиг гурвалжинд хувааж, уулын ландшафтыг бодитой болгох хүртлээ энэ үйл явцыг дахин дахин давтав. Ийнхүү тэрээр компьютер графикт дүрс бүтээх фрактал алгоритмыг ашигласан анхны зураач болж чадсан юм. Бүтээлийн тухай мэдээлэл гармагц дэлхийн өнцөг булан бүрт байгаа сонирхогчид энэ санааг авч, фрактал алгоритмыг ашиглан байгалийн бодит хэлбэрийг дуурайж эхлэв.

Фрактал алгоритмыг ашигласан анхны 3D дүрслэлүүдийн нэг

Хэдэн жилийн дараа Лорен Карпентер өөрийн хөгжүүлэлтээ илүү том төсөлд ашиглах боломжтой болсон. Аниматор тэднээс Vol Libre-ийн хоёр минутын үзүүлбэрийг бүтээсэн бөгөөд 1980 онд Siggraph дээр үзүүлсэн. Энэ бичлэгийг үзсэн хүн бүрийг цочирдуулж, Лорен Лукасфильмээс урилга хүлээн авчээ.

Энэхүү хөдөлгөөнт дүрсийг Digital Equipment Corporation компанийн VAX-11/780 компьютер дээр таван мегагерц давтамжтайгаар хийсэн бөгөөд кадр бүрийг үзүүлэхэд хагас цаг зарцуулсан байна.

Lucasfilm Limited-д ажиллаж байхдаа аниматор нь Star Trek киноны хоёр дахь бүрэн хэмжээний киноны ижил схемийг ашиглан 3D ландшафтуудыг бүтээжээ. "Хааны уур хилэн" кинонд Карпентер фрактал гадаргуугийн загварчлалын ижил зарчмыг ашиглан бүхэл бүтэн гаригийг бүтээж чадсан.

Одоогийн байдлаар 3D ландшафтыг бий болгох бүх алдартай програмууд нь байгалийн объект үүсгэх ижил төстэй зарчмыг ашигладаг. Terragen, Bryce, Vue болон бусад 3D редакторууд нь гадаргуу болон бүтцийг загварчлахдаа фрактал алгоритм дээр тулгуурладаг.

⇡ Фрактал антен: бага бол илүү

Сүүлийн хагас зуун жилийн хугацаанд амьдрал хурдацтай өөрчлөгдөж эхэлсэн. Бидний ихэнх нь амжилтыг хүлээн зөвшөөрдөг орчин үеийн технологиболомжийн хувьд. Амьдралыг тав тухтай болгодог бүх зүйлд та маш хурдан дасдаг. "Энэ хаанаас ирсэн юм бэ?" Гэсэн асуултыг хүн ховорхон тавьдаг. болон "Энэ яаж ажилладаг вэ?" Богино долгион нь өглөөний цайгаа халаадаг - гайхалтай, ухаалаг утас нь өөр хүнтэй ярилцах боломжийг олгодог - гайхалтай. Энэ нь бидэнд илэрхий боломж мэт санагдаж байна.

Гэвч хүн болж буй үйл явдлын тайлбарыг эрэлхийлээгүй бол амьдрал тэс өөр байх байсан. Жишээлбэл, гар утсыг ав. Эхний загварууд дээрх эвхэгддэг антеннуудыг санаж байна уу? Тэд хөндлөнгөөс оролцож, төхөөрөмжийн хэмжээг нэмэгдүүлж, эцэст нь ихэвчлэн эвдэрдэг. Тэд үүрд мартагдсан гэдэгт бид итгэдэг бөгөөд үүний нэг шалтгаан нь ... фракталууд юм.

Фрактал хэв маяг нь хэв маягаараа гайхшруулдаг. Тэдгээр нь сансар огторгуйн объектуудын дүрстэй төстэй байдаг - мананцар, галактикийн бөөгнөрөл гэх мэт. Тиймээс Мандельброт фракталын онолыг хэлэх үед түүний судалгаа одон орон судлалд суралцагсдын сонирхлыг ихэсгэсэн нь зүй ёсны хэрэг юм. Эдгээр сонирхогчдын нэг Натан Коэн Будапешт хотод Бенуа Манделбротын лекцэнд оролцсоныхоо дараа олж авсан мэдлэгээ практикт ашиглах санаагаар өдөөгдсөн юм. Тэр үүнийг зөн совингоор хийсэн нь үнэн бөгөөд түүний нээлтэд аз тохиол чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Радио сонирхогчийн хувьд Натан хамгийн өндөр мэдрэмжтэй антен бүтээхийг эрэлхийлсэн.

Тухайн үед мэдэгдэж байсан антенны параметрүүдийг сайжруулах цорын ганц арга бол түүний геометрийн хэмжээсийг нэмэгдүүлэх явдал байв. Гэсэн хэдий ч Натаны Бостоны төвд түрээсэлсэн үл хөдлөх хөрөнгийн эзэн дээвэр дээр том төхөөрөмж суурилуулахыг эрс эсэргүүцэж байв. Дараа нь Натан өөр өөр антенны хэлбэрийг туршиж, хамгийн бага хэмжээгээр хамгийн их үр дүнд хүрэхийг хичээж эхлэв. Фрактал хэлбэрийн санаанаас өдөөгдсөн Коэн тэдний хэлснээр утаснаас хамгийн алдартай фракталуудын нэг болох "Кох цасан ширхгийг" санамсаргүй байдлаар хийсэн. Шведийн математикч Хельге фон Кох 1904 онд энэ муруйг гаргаж иржээ. Энэ нь сегментийг гурван хэсэгт хувааж, дунд сегментийг энэ сегменттэй давхцах талгүй тэгш талт гурвалжингаар солих замаар олж авдаг. Тодорхойлолтыг ойлгоход бага зэрэг хэцүү боловч зураг дээр бүх зүйл тодорхой бөгөөд энгийн харагдаж байна.

Кох муруйн өөр өөр хувилбарууд байдаг ч муруйн ойролцоо хэлбэр нь ижил хэвээр байна.

Натан антеныг радио хүлээн авагчтай холбоход тэр маш их гайхсан - мэдрэмж нь эрс нэмэгдсэн. Бостоны их сургуулийн ирээдүйн профессор хэд хэдэн туршилт хийсний дараа фрактал загвараар хийсэн антен нь өндөр үр ашигтай бөгөөд сонгодог шийдлүүдтэй харьцуулахад илүү өргөн давтамжийн хүрээг хамардаг болохыг ойлгосон. Үүнээс гадна фрактал муруй хэлбэртэй антенны хэлбэр нь геометрийн хэмжээсийг мэдэгдэхүйц багасгах боломжийг олгодог. Натан Коэн өргөн зурвасын антенныг бий болгохын тулд өөртэйгөө төстэй фрактал муруй хэлбэрийг өгөхөд хангалттай гэдгийг нотолсон теоремыг гаргаж ирэв.

Зохиогч өөрийн нээлтийг патентжуулж, фрактал антенны хөгжүүлэлт, дизайн хийх компанийг үүсгэн байгуулж, түүний нээлтийн ачаар ирээдүйд гар утаснууд том антеннуудаас салж, илүү авсаархан болно гэдэгт зөв итгэлтэй байв.

Зарчмын хувьд ийм зүйл болсон. Натан өнөөдрийг хүртэл авсаархан харилцаа холбооны хэрэгсэл үйлдвэрлэхийн тулд түүний нээлтийг хууль бусаар ашиглаж байгаа томоохон корпорацуудтай хуулийн тэмцэл хийж байгаа нь үнэн. Моторола зэрэг зарим алдартай гар утасны төхөөрөмж үйлдвэрлэгчид фрактал антенны зохион бүтээгчтэй аль хэдийн эв найрамдлын тохиролцоонд хүрсэн байна.

⇡ Фрактал хэмжээсүүд: та үүнийг оюун ухаанаараа ойлгож чадахгүй

Бенуа энэ асуултыг Америкийн нэрт эрдэмтэн Эдвард Каснераас зээлжээ.

Сүүлийнх нь бусад олон алдартай математикчдын нэгэн адил хүүхдүүдтэй харилцах, асуулт асууж, гэнэтийн хариулт авах дуртай байв. Заримдаа энэ нь гэнэтийн үр дагаварт хүргэдэг. Жишээлбэл, Эдвард Каснерын есөн настай зээ хүү одоо сайн мэддэг "гоогол" гэдэг үгийг нэг, араас нь зуун тэг гэсэн утгатай үг бодож олжээ. Гэхдээ фрактал руугаа буцъя. Америкийн математикч АНУ-ын эргийн шугам хэр урт байдаг вэ гэсэн асуултыг асуух дуртай байв. Ярилцагчынхаа бодлыг сонссоны дараа Эдвард өөрөө зөв хариултыг хэлэв. Хэрэв та газрын зураг дээрх уртыг эвдэрсэн сегментүүдийг ашиглан хэмжвэл үр дүн нь буруу байх болно, учир нь далайн эрэг нь олон тооны зөрчилтэй байдаг. Хэрэв бид аль болох нарийвчлалтай хэмжвэл юу болох вэ? Та тэгш бус байдал бүрийн уртыг анхаарч үзэх хэрэгтэй - та нөмрөг бүр, булан, хад, чулуурхаг ирмэгийн урт, түүн дээрх чулуу, элсний ширхэг, атом гэх мэтийг хэмжих хэрэгтэй. Тогтмол бус байдлын тоо хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул шинэ жигд бус байдлыг хэмжихэд эргийн шугамын хэмжсэн урт нь хязгааргүй хүртэл нэмэгдэнэ.

Хэмжих үед хэмжээ бага байх тусам хэмжсэн урт нь урт болно

Сонирхолтой нь Эдвардын зааварчилгааг дагаснаар хүүхдүүд томчуудаас хамаагүй хурдан ярьдаг байв. зөв шийдэл, харин сүүлийнх нь ийм гайхалтай хариултыг хүлээж авахад бэрхшээлтэй байсан.

Энэ асуудлыг жишээ болгон Манделброт хэмжилтийн шинэ аргыг ашиглахыг санал болгов. Далайн эргийн шугам нь фрактал муруйтай ойролцоо байдаг тул энэ нь түүнд тодорхойлогч параметр болох фрактал хэмжигдэхүүнийг ашиглаж болно гэсэн үг юм.

Ердийн хэмжээс гэж юу байх нь хэнд ч ойлгомжтой. Хэмжээ нь нэгтэй тэнцүү бол бид шулуун шугамыг авна, хэрэв хоёр бол - хавтгай дүрс, гурван боть. Гэсэн хэдий ч математик дахь хэмжээсийн талаархи энэхүү ойлголт нь фрактал муруйтай ажиллахгүй бөгөөд энэ параметр нь бутархай утгатай байдаг. Математикийн фрактал хэмжигдэхүүнийг уламжлалт байдлаар "барзгар" гэж үзэж болно. Муруйн барзгар байдал өндөр байх тусам түүний фрактал хэмжээс их байна. Манделбротын хэлснээр топологийн хэмжээсээсээ өндөр фрактал хэмжээстэй муруй нь хэмжээсийн тооноос хамаардаггүй ойролцоо урттай байдаг.

Одоогийн байдлаар эрдэмтэд фракталуудын онолыг хэрэгжүүлэх илүү олон чиглэлийг хайж байна. Фракталуудыг ашигласнаар та хөрөнгийн биржийн үнийн хэлбэлзлийг шинжлэх, төрөл зүйлийн тооны хэлбэлзэл гэх мэт бүх төрлийн байгалийн үйл явцыг судлах, эсвэл урсгалын динамикийг дуурайж болно. Фрактал алгоритмуудыг зураг шахах гэх мэт өгөгдлийг шахахад ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, компьютерийнхээ дэлгэцэн дээр үзэсгэлэнтэй фрактал авахын тулд та докторын зэрэгтэй байх албагүй.

⇡ Хөтөч дээрх фрактал

Магадгүй хамгийн нэг нь энгийн аргуудфрактал хэв маягийг авах - залуу авъяаслаг програмист Тоби Шачманы онлайн вектор засварлагчийг ашиглана уу. Энэхүү энгийн график засварлагчийн хэрэгслүүд нь ижил төстэй зарчим дээр суурилдаг.

Таны мэдэлд дөрвөлжин ба тойрог гэсэн хамгийн энгийн хоёр хэлбэр л байна. Та тэдгээрийг зотон дээр нэмж, томруулж (тэнхлэгүүдийн аль нэгнийх нь дагуу масштаблахын тулд Shift товчийг дарж) эргүүлж болно. Булийн нэмэх үйлдлүүдийн зарчмаар давхцаж байгаа эдгээр хамгийн энгийн элементүүд нь шинэ, ач холбогдол багатай хэлбэрүүдийг үүсгэдэг. Дараа нь эдгээр шинэ дүрсийг төсөлд нэмж оруулах боломжтой бөгөөд програм нь эдгээр зургуудыг хязгааргүй дахин үүсгэх болно. Фрактал дээр ажиллах ямар ч үе шатанд та нарийн төвөгтэй хэлбэрийн аль ч бүрэлдэхүүн хэсэг рүү буцаж очоод түүний байрлал, геометрийг засах боломжтой. Хөгжилтэй үйл ажиллагаа, ялангуяа таны үүсгэх цорын ганц хэрэгсэл бол хөтөч юм гэж бодож байвал. Хэрэв та энэхүү рекурсив вектор засварлагчтай ажиллах зарчмыг ойлгохгүй байгаа бол фрактал үүсгэх бүх үйл явцыг нарийвчлан харуулсан төслийн албан ёсны вэбсайт дээрх видеог үзэхийг танд зөвлөж байна.

⇡ XaoS: амт бүрт тохирсон фракталууд

Олон график редакторууд фрактал хэв маягийг бий болгох хэрэгслүүдтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч эдгээр хэрэгслүүд нь ихэвчлэн хоёрдогч байдаг бөгөөд үүссэн фрактал загварыг нарийн тааруулахыг зөвшөөрдөггүй. Математикийн хувьд үнэн зөв фрактал байгуулах шаардлагатай тохиолдолд хөндлөн платформ редактор XaoS аврах ажилд ирнэ. Энэхүү програм нь зөвхөн өөртэйгөө ижил төстэй дүр төрхийг бий болгох төдийгүй янз бүрийн заль мэх хийх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, бодит цаг хугацаанд та фракталын масштабыг өөрчлөх замаар "алхах" боломжтой. Фракталын дагуух хөдөлгөөнт хөдөлгөөнийг XAF файл болгон хадгалж, дараа нь програмдаа хуулбарлаж болно.

XaoS нь санамсаргүй багц параметрүүдийг ачаалахаас гадна зургийн боловсруулалтын дараах янз бүрийн шүүлтүүрүүдийг ашиглах боломжтой - бүдгэрсэн хөдөлгөөний эффект нэмэх, фрактал цэгүүдийн хоорондох хурц шилжилтийг жигдрүүлэх, 3D дүрсийг дуурайх гэх мэт.

⇡ Фрактал томруулагч: авсаархан фрактал үүсгэгч

Бусад фрактал дүрс үүсгэгчтэй харьцуулахад хэд хэдэн давуу талтай. Нэгдүгээрт, энэ нь маш жижиг хэмжээтэй бөгөөд суулгах шаардлагагүй. Хоёрдугаарт, энэ нь зургийн өнгөт палитрыг тодорхойлох чадварыг хэрэгжүүлдэг. Та RGB, CMYK, HVS, HSL өнгөт загварт сүүдэр сонгох боломжтой.

Өнгөний сүүдэрийг санамсаргүй байдлаар сонгох сонголт, зурган дээрх бүх өнгийг эргүүлэх функцийг ашиглах нь бас маш тохиромжтой. Өнгийг тохируулахын тулд сүүдэрийг мөчлөгөөр сонгох функц байдаг - та тохирох горимыг асаахад програм нь дүрсийг анивчуулж, дээрх өнгийг үе үе өөрчилдөг.

Фрактал томруулагч нь 85 өөр фрактал функцийг дүрслэн харуулах боломжтой бөгөөд програмын цэсэнд томъёог тодорхой харуулсан болно. Хөтөлбөрт зургийн дараа боловсруулалт хийх шүүлтүүрүүд байдаг, гэхдээ бага хэмжээгээр байдаг. Томилогдсон шүүлтүүр бүрийг хүссэн үедээ цуцалж болно.

⇡ Mandelbulb3D: 3D фрактал засварлагч

"Фрактал" гэсэн нэр томъёог ашиглахдаа энэ нь ихэвчлэн хавтгай, хоёр хэмжээст дүрсийг хэлдэг. Гэсэн хэдий ч фрактал геометр нь 2D хэмжээсээс давж гардаг. Байгалийн хувьд та хавтгай фрактал хэлбэрийн жишээ, тухайлбал, аянгын геометр, гурван хэмжээст эзэлхүүний дүрсийг хоёуланг нь олж болно. Фрактал гадаргуу нь гурван хэмжээст байж болох ба өдөр тутмын амьдрал дахь 3D фракталуудын маш тод жишээ бол байцааны толгой юм. Фракталыг харах хамгийн сайн арга бол цэцэгт байцаа, цэцэгт байцааны эрлийз болох Романеско сорт юм.

Та мөн энэ фракталыг идэж болно

Mandelbulb3D програм нь ижил төстэй дүрс бүхий гурван хэмжээст объектыг бүтээх боломжтой. Фрактал алгоритмыг ашиглан 3 хэмжээст гадаргууг олж авахын тулд энэхүү програмын зохиогч Даниел Уайт, Пол Найландер нар Манделбротын олонлогийг бөмбөрцөг координат болгон хувиргасан. Тэдний бүтээсэн Mandelbulb3D программ нь өөр өөр хэлбэрийн фрактал гадаргууг загварчлах жинхэнэ гурван хэмжээст засварлагч юм. Бид байгальд фрактал хэв маягийг байнга ажигладаг тул зохиомлоор бий болгосон гурван хэмжээст фрактал объект нь үнэхээр бодитой, бүр "амьд" мэт санагддаг.

Энэ нь ургамалтай төстэй байж магадгүй, энэ нь хачин амьтан, гариг эсвэл өөр зүйлтэй төстэй байж болно. Энэхүү эффектийг дэвшилтэт дүрслэх алгоритмаар сайжруулсан бөгөөд энэ нь бодит тусгал авах, ил тод байдал, сүүдрийг тооцоолох, талбайн гүнийн нөлөөг дуурайх гэх мэт боломжтой болгодог. Mandelbulb3D нь маш олон тооны тохиргоо болон дүрслэх сонголтуудтай. Та гэрлийн эх үүсвэрийн сүүдэрийг хянах, загварчилсан объектын дэвсгэр болон нарийвчилсан түвшинг сонгох боломжтой.

Incendia фрактал засварлагч нь давхар дүрсийг тэгшитгэхийг дэмждэг, тавин өөр гурван хэмжээст фракталуудын санг агуулсан, үндсэн дүрсийг засах тусдаа модультай.

Энэхүү програм нь фрактал скриптийг ашигладаг бөгөөд үүний тусламжтайгаар та шинэ төрлийн фрактал дизайныг бие даан дүрслэх боломжтой. Incendia нь бүтэц, материалын засварлагчтай бөгөөд дүрслэх хөдөлгүүр нь эзэлхүүний манангийн эффект болон янз бүрийн сүүдэр ашиглах боломжийг олгодог. Хөтөлбөр нь урт хугацааны дүрслэл хийх явцад буфер хадгалах сонголтыг хэрэгжүүлж, хөдөлгөөнт дүрс үүсгэхийг дэмждэг.

Incendia нь фрактал загварыг алдартай 3D график формат руу экспортлох боломжийг олгодог - OBJ болон STL. Incendia-д фрактал гадаргууг 3 хэмжээст загварт экспортлох тусгай хэрэгсэл болох Geometrica хэмээх жижиг хэрэглүүр багтдаг. Энэ хэрэгслийг ашиглан та 3D гадаргуугийн нарийвчлалыг тодорхойлж, фрактал давталтын тоог зааж өгч болно. Экспортолсон загваруудыг Blender, 3ds max болон бусад 3D редакторуудтай ажиллахдаа 3D төслүүдэд ашиглаж болно.

Сүүлийн үед Инсендиа төслийн ажил бага зэрэг удааширчээ. Одоогоор зохиогч уг хөтөлбөрийг боловсруулахад нь туслах ивээн тэтгэгч хайж байна.

Хэрэв танд энэ программ дээр үзэсгэлэнтэй гурван хэмжээст фрактал зурах хангалттай төсөөлөл байхгүй бол энэ нь хамаагүй. INCENDIA_EX\parameters хавтсанд байгаа параметрийн санг ашиглана уу. PAR файлуудыг ашигласнаар та хамгийн ер бусын фрактал дүрс, түүний дотор хөдөлгөөнт дүрсийг хурдан олох боломжтой.

⇡ Aural: фракталууд хэрхэн дуулдаг

Бид ихэвчлэн дөнгөж ажиллаж байгаа төслүүдийн талаар ярьдаггүй, гэхдээ энэ нь маш ер бусын програм тул бид онцгой тохиолдол гаргах ёстой. Aural нэртэй төслийг Инсендиаг бүтээсэн хүн зохион бүтээжээ. Гэхдээ энэ удаад программ нь фрактал багцыг дүрслэн харуулахгүй, харин дуугаргаж, электрон хөгжим болгон хувиргасан. Энэ санаа нь ялангуяа фракталуудын ер бусын шинж чанарыг харгалзан үзэх нь маш сонирхолтой юм. Aural бол фрактал алгоритм ашиглан аялгуу үүсгэдэг аудио засварлагч бөгөөд энэ нь үндсэндээ аудио синтезатор-sequencer юм.

Энэ программын дагуу гарч буй дуу чимээний дараалал нь ер бусын бөгөөд ... үзэсгэлэнтэй юм. Энэ нь орчин үеийн хэмнэлийг бичихэд тустай байж болох бөгөөд бидний үзэж байгаагаар телевиз, радио нэвтрүүлгийн дэлгэцийн амраагчдад зориулсан дуу, компьютер тоглоомын арын хөгжмийн "гогцоо" үүсгэхэд маш тохиромжтой юм шиг санагддаг. Рамиро програмынхаа үзүүлэнг хараахан өгөөгүй байгаа ч Aural-тай ажиллахын тулд та фрактал онолыг судлах шаардлагагүй - дараалал үүсгэх алгоритмын параметрүүдтэй тоглоход л хангалттай гэж амлаж байна. тэмдэглэлийн. Фракталууд хэрхэн сонсогдож байгааг сонсоорой.

Фракталууд: хөгжмийн завсарлага

Үнэн хэрэгтээ фракталууд нь програм хангамжгүйгээр ч гэсэн хөгжим бичихэд тусална. Гэхдээ үүнийг байгалийн эв найрамдлын үзэл санааг жинхэнэ утгаар нь шингээсэн, азгүй "тэнэг" болж хувираагүй хүн л хийж чадна. Бусад зүйлсээс гадна Popular Science сэтгүүлд зохиол бичдэг Жонатан Култон хэмээх хөгжимчний жишээг дагах нь утга учиртай юм. Бусад жүжигчдээс ялгаатай нь Колтон өөрийн бүх бүтээлийг Creative Commons Attribution-Арилжааны бус лицензийн дагуу (арилжааны бус зорилгоор ашигласан тохиолдолд) үнэ төлбөргүй хуулбарлах, түгээх, бусдад шилжүүлэх, түүнчлэн өөрчлөх боломжийг олгодог. үүсмэл бүтээлүүдийг бий болгох), ингэснээр үүнийг таны даалгаварт тохируулна.

Жонатан Колтон мэдээж фракталуудын тухай дуутай.

⇡ Дүгнэлт

Бидний эргэн тойронд байгаа бүх зүйлд бид эмх замбараагүй байдлыг ихэвчлэн хардаг боловч үнэн хэрэгтээ энэ нь санамсаргүй тохиолдол биш, харин фракталуудыг ялгахад тусалдаг хамгийн тохиромжтой хэлбэр юм. Байгаль бол хамгийн сайн архитектор, хамгийн тохиромжтой барилгачин, инженер юм. Энэ нь маш логик бүтэцтэй бөгөөд хэрэв бид хаа нэгтээ хэв маягийг олж харахгүй бол энэ нь бид үүнийг өөр масштабаар хайх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Хүмүүс үүнийг илүү сайн ойлгож, байгалийн хэлбэрийг олон талаар дуурайхыг хичээдэг. Инженерүүд бүрхүүл хэлбэртэй чанга яригч системийг зохион бүтээх, цасан ширхгүүдийн антеннуудыг бүтээх гэх мэт. Фракталууд олон нууцыг агуулж байгаа бөгөөд тэдгээрийн ихэнхийг нь хүмүүс хараахан нээж амжаагүй байгаа гэдэгт бид итгэлтэй байна.