Хаалтны гол үүрэг нь утгыг тооцоолохдоо үйлдлийн дарааллыг өөрчлөх явдал юм. Жишээлбэл, тоон илэрхийлэлд \(5·3+7\) эхлээд үржүүлэх, дараа нь нэмэх: \(5·3+7 =15+7=22\) гарна. Харин \(5·(3+7)\) илэрхийлэлд эхлээд хаалтанд байгаа нэмэгдлийг, дараа нь үржүүлэхийг тооцоолно: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Жишээ. Хаалтыг өргөжүүлнэ үү: \(-(4м+3)\).
Шийдэл : \(-(4м+3)=-4м-3\).

Жишээ. Хаалтыг онгойлгоод авчир ижил төстэй нэр томъёо\(5-(3х+2)+(2+3х)\).
Шийдэл : \(5-(3х+2)+(2+3х)=5-3х-2+2+3х=5\).

Жишээ. \(5(3-x)\) хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл : Хаалтанд \(3\) ба \(-x\) байгаа бөгөөд хаалтын өмнө тав байна. Энэ нь хаалтны гишүүн бүрийг \(5\) -аар үржүүлнэ гэсэн үг - Би танд сануулж байна Тоон ба хашилтын хоорондох үржүүлэх тэмдгийг математикт бичээгүй бөгөөд оруулгуудын хэмжээг багасгах болно..

Жишээ. \(-2(-3x+5)\) хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл : Өмнөх жишээний адил хаалтанд байгаа \(-3x\) ба \(5\)-г \(-2\) үржүүлнэ.

Жишээ. Илэрхийллийг хялбарчлах: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Шийдэл : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Сүүлчийн нөхцөл байдлыг авч үзэх хэвээр байна.

Хаалтыг хаалтаар үржүүлэхдээ эхний хаалтын гишүүн бүрийг хоёр дахь гишүүн бүрээр үржүүлнэ.

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Жишээ. \((2-x)(3x-1)\) хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл : Бидэнд хаалтны бүтээгдэхүүн байгаа бөгөөд үүнийг дээрх томъёог ашиглан нэн даруй өргөтгөх боломжтой. Гэхдээ төөрөлдөхгүйн тулд бүгдийг алхам алхмаар хийцгээе.
Алхам 1. Эхний хаалтыг хас - түүний нөхцөл бүрийг хоёр дахь хаалтаар үржүүлнэ:

Алхам 2. Дээр дурдсанчлан хаалт ба хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүнүүдийг өргөжүүлнэ үү.
-Эхний эхний зүйл...

Дараа нь хоёр дахь нь.

Алхам 3. Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог үржүүлж танилцуулж байна:

Бүх өөрчлөлтийг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй, та тэдгээрийг шууд үржүүлж болно. Гэхдээ хэрэв та хаалт нээж сурч байгаа бол дэлгэрэнгүй бичвэл алдаа гаргах магадлал бага байх болно.

Бүтэн хэсэгт анхаарна уу.Үнэн хэрэгтээ та бүх дөрвөн дүрмийг санах шаардлагагүй, зөвхөн нэгийг нь санах хэрэгтэй: \(c(a-b)=ca-cb\) . Яагаад? Учир нь хэрэв та c-ийн оронд нэгийг орлуулбал \((a-b)=a-b\) дүрмийг авна. Хэрэв бид хасах нэгийг орлуулбал \(-(a-b)=-a+b\) дүрмийг авна. За, хэрэв та c-ийн оронд өөр хаалтанд орвол сүүлчийн дүрмийг авч болно.

Хаалт доторх хаалт

Заримдаа практик дээр бусад хаалт дотор хаалтанд ороход асуудал гардаг. Ийм даалгаврын жишээ энд байна: илэрхийллийг хялбарчлах \(7x+2(5-(3x+y))\).

Ийм ажлуудыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.
- хаалтны үүрийг сайтар ойлгох - аль нь аль нь болохыг;
- жишээлбэл, хамгийн дотоодоос эхлэн хаалтуудыг дараалан нээ.

Энэ нь хаалтны аль нэгийг нээхэд чухал юм Үлдсэн илэрхийлэлд бүү хүр, зүгээр л байгаагаар нь дахин бичиж байна.
Дээр бичсэн даалгаврыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ. Хаалтыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө үү \(7x+2(5-(3x+y))\).
Шийдэл:

Жишээ. Хаалтыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө үү \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Шийдэл :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Энд хашилтын гурвалсан үүр байна. Хамгийн дотоодоос (ногооноор тодруулсан) эхэлцгээе. Хаалтны өмнө нэмэх зүйл байгаа тул зүгээр л унадаг.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Одоо та хоёр дахь хаалт, завсрын хаалтыг нээх хэрэгтэй. Гэхдээ үүнээс өмнө бид энэ хоёр дахь хаалтанд сүнстэй төстэй нэр томъёоны илэрхийллийг хялбарчлах болно.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Одоо бид хоёр дахь хаалтыг нээнэ (цэнхэрээр тодруулсан). Хаалт нь хүчин зүйл болохоос өмнө хаалтанд байгаа нэр томъёо бүрийг үржүүлнэ.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Тэгээд сүүлчийн хаалтыг нээ. Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа тул бүх тэмдгүүд эсрэгээрээ байна.

Хашилтыг тэлэх нь математикийн үндсэн ур чадвар юм. Энэ чадваргүй бол 8, 9-р ангид С-ээс дээш үнэлгээ авах боломжгүй. Тиймээс энэ сэдвийг сайн ойлгохыг зөвлөж байна.

Хаалт нь тоон, үсгийн болон хувьсах илэрхийлэлд үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг зааж өгөхөд ашиглагддаг. Хаалттай илэрхийллээс хаалтгүй ижил тэнцүү илэрхийлэл рүү шилжих нь тохиромжтой. Энэ техникийг нээх хаалт гэж нэрлэдэг.

Хашилтыг тэлэх гэдэг нь илэрхийллээс хашилтыг арилгана гэсэн үг.

Хаалт нээх үед шийдвэрийг бүртгэх онцлогтой холбоотой өөр нэг зүйлд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Бид хаалт бүхий анхны илэрхийлэл ба хаалтыг нээсний дараа гарсан үр дүнг тэгшитгэл болгон бичиж болно. Жишээ нь, илэрхийллийн оронд хашилтыг өргөжүүлсний дараа
3−(5−7) 3−5+7 илэрхийллийг авна. Бид эдгээр хоёр илэрхийллийг 3−(5−7)=3−5+7 тэгшитгэл гэж бичиж болно.

Бас нэг чухал зүйл. Математикийн хувьд тэмдэглэгээг богиносгохын тулд илэрхийлэл эсвэл хаалтанд эхлээд байвал нэмэх тэмдгийг бичихгүй байх заншилтай байдаг. Жишээлбэл, хэрэв бид долоо, гурав гэх мэт хоёр эерэг тоог нэмбэл долоо нь мөн адил байсан ч +7+3 биш, харин зүгээр л 7+3 гэж бичнэ. эерэг тоо. Үүний нэгэн адил, хэрэв та жишээ нь (5+x) илэрхийллийг харвал - хаалтны өмнө бичээгүй нэмэх тэмдэгтэй, тавын өмнө нэмэх +(+5+x) байгааг мэдэж аваарай.

Нэмэх үед хаалт нээх дүрэм

Хаалт нээх үед хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол хаалтны хамт энэ нэмэхийг хасна.

Жишээ. 2 + (7 + 3) илэрхийлэл дэх хаалтыг нээнэ үү. Хаалтны урд талд нэмэх тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалтанд байгаа тоонуудын өмнөх тэмдгийг өөрчлөхгүй гэсэн үг юм.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Хасах үед хаалт нээх дүрэм

Хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол энэ хасахыг хаалтны хамт орхисон боловч хаалтанд байсан нэр томъёо нь тэмдэгээ эсрэгээр өөрчилдөг. Хаалтанд эхний гишүүний өмнө тэмдэг байхгүй байгаа нь + тэмдгийг илэрхийлнэ.

Жишээ. 2 − (7 + 3) илэрхийлэл дэх хаалтыг дэлгэнэ үү.

Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалтанд байгаа тоонуудын өмнөх тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай гэсэн үг юм. Хаалтанд 7-ын тооноос өмнө тэмдэг байхгүй, энэ нь долоо эерэг гэсэн үг, урд нь + тэмдэгтэй гэж үздэг.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Хаалтуудыг нээхдээ бид жишээнээс хаалтны урд байсан хасах ба хаалт нь өөрөө 2 − (+ 7 + 3) хасагдаж, хаалтанд байсан тэмдгүүдийг эсрэгээр нь өөрчилнө.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Үржүүлэх үед хашилтыг тэлэх

Хэрэв хаалтны урд үржүүлэх тэмдэг байгаа бол хаалт доторх тоо бүрийг хаалтны урд талын хүчин зүйлээр үржүүлнэ. Энэ тохиолдолд хасахыг хасахаар үржүүлэхэд нэмэх, нэмэхийг хасах гэх мэт хасахыг нэмэх нь хасах болно.

Тиймээс бүтээгдэхүүн дэх хаалт нь үржүүлгийн хуваарилах шинж чанарын дагуу өргөжсөн байна.

Жишээ. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Хаалтыг хаалтаар үржүүлэхэд эхний хаалтанд байгаа гишүүн бүрийг хоёр дахь хаалтанд байгаа гишүүн бүртэй үржүүлнэ.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Үнэн хэрэгтээ бүх дүрмийг санах шаардлагагүй, зөвхөн нэгийг санахад хангалттай, энэ нь: c(a−b)=ca−cb. Яагаад? Учир нь хэрэв та c-ийн оронд нэгийг орлуулбал (a−b)=a−b дүрмийг авна. Хэрэв бид хасах нэгийг орлуулбал −(a−b)=−a+b дүрмийг авна. За, хэрэв та c-ийн оронд өөр хаалтанд орвол сүүлчийн дүрмийг авч болно.

Хуваах үед хаалт нээх

Хэрэв хаалтны дараа хуваах тэмдэг байгаа бол хаалт доторх тоо бүрийг хаалтны дараа хуваагчаар хуваана, мөн эсрэгээр.

Жишээ. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Оруулсан хашилтыг хэрхэн өргөтгөх вэ

Хэрэв илэрхийлэлд үүрлэсэн хаалт байгаа бол тэдгээрийг гадна эсвэл доторхоос эхлэн дарааллаар нь өргөжүүлнэ.

Энэ тохиолдолд хаалтны аль нэгийг нээхдээ үлдсэн хаалтанд хүрч болохгүй, зүгээр л байгаагаар нь дахин бичих нь чухал юм.

Жишээ. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - б) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Хаалт бүхий бүх тэгшитгэлийг ижил аргаар шийддэггүй. Мэдээжийн хэрэг, ихэнхдээ тэд хаалт нээх, ижил төстэй нэр томъёог авчрах шаардлагатай байдаг (гэхдээ хаалт нээх аргууд өөр өөр байдаг). Гэхдээ заримдаа хаалт нээх шаардлагагүй байдаг. Эдгээр бүх тохиолдлыг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

1. 5х - (3х - 7) = 9 + (-4х + 16).
2. 2x - 3(x + 5) = -12.
3. (x + 1)(7x - 21) = 0.

Тэгшитгэлийг хаалт нээх замаар шийдвэрлэх

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх энэ арга нь хамгийн түгээмэл боловч бүх нийтийн шинж чанартай байсан ч хаалт нээх аргаас хамааран дэд төрөлд хуваагддаг.

1) 5х - (3х - 7) = 9 + (-4х + 16) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Энэ тэгшитгэлд хаалтны өмнө хасах ба нэмэх тэмдэг байна. Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа эхний тохиолдолд хаалтыг нээхийн тулд хаалт доторх бүх тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх хэрэгтэй. Хоёрдахь хос хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалтанд байгаа тэмдгүүдэд нөлөөлөхгүй бөгөөд энэ нь тэдгээрийг зүгээр л орхиж болно гэсэн үг юм. Бид авах:

5х - 3х + 7 = 9 - 4х + 16.

x-тэй нөхцөлүүдийг тэгшитгэлийн зүүн талд, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлье (шилжүүлсэн нөхцлийн тэмдгүүд эсрэгээр өөрчлөгдөнө):

5х - 3х + 4х = 9 + 16 - 7.

Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:

Үл мэдэгдэх х хүчин зүйлийг олохын тулд 18 үржвэрийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 6-д хуваана.

x = 18/6 = 3.

2) 2x - 3(x + 5) = -12 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Энэ тэгшитгэлд та эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй, гэхдээ хуваарилах шинж чанарыг ашиглан: -3-ыг нийлбэрээр (x + 5) үржүүлэхийн тулд та хаалтанд байгаа гишүүн бүрээр -3-ыг үржүүлж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй.

2х - 3х - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Тэгшитгэлийг хаалт нээхгүйгээр шийдвэрлэх

Гурав дахь тэгшитгэл (x + 1)(7x - 21) = 0-ийг мөн хаалт нээх замаар шийдэж болно, гэхдээ ийм тохиолдолд үржүүлэх шинж чанарыг ашиглах нь илүү хялбар байдаг: хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь байвал үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. тэгтэй тэнцүү. гэсэн утгатай:

x + 1 = 0 эсвэл 7x - 21 = 0.

Нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа хэлбэрийг авна

ax + b = 0, энд a ба b нь дурын тоо, гэж нэрлэдэг шугаман тэгшитгэл үл мэдэгдэх нэгтэй. Өнөөдөр бид эдгээр шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг олж мэдэх болно.

Жишээлбэл, бүх тэгшитгэлүүд:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - шугаман.

Тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах үл мэдэгдэх утгыг нэрлэнэ шийдвэр эсвэл тэгшитгэлийн үндэс .

Жишээлбэл, 3x + 7 = 13 тэгшитгэлд үл мэдэгдэх х-ийн оронд 2-ын тоог орлуулбал 3 2 +7 = 13 зөв тэгшитгэлийг олж авна. Энэ нь x = 2 утга нь шийдэл эсвэл үндэс гэсэн үг юм. тэгшитгэлийн.

Мөн x = 3 утга нь 3x + 7 = 13 тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргахгүй, учир нь 3 2 +7 ≠ 13. Энэ нь x = 3 утга нь тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс биш гэсэн үг юм.

Аливаа шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг

ax + b = 0.

Тэгшитгэлийн зүүн талаас чөлөөт гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, b-ийн урд талын тэмдгийг эсрэгээр нь сольж үзье.

Хэрэв a ≠ 0 бол x = ‒ b/a болно .

Жишээ 1. 3x + 2 =11 тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн зүүн талаас 2-ыг баруун тийш шилжүүлж, 2-ын урд талын тэмдгийг эсрэгээр нь сольж, бид олж авна.
3x = 11 - 2.

Тэгвэл хасалтыг хийцгээе
3х = 9.

X-ийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл
x = 9:3.

Энэ нь x = 3 утга нь тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс гэсэн үг юм.

Хариулт: x = 3.

Хэрэв a = 0 ба b = 0 бол, тэгвэл бид 0x = 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй, учир нь бид дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0 гарах боловч b нь мөн 0-тэй тэнцүү. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын тоо юм.

Жишээ 2. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 тэгшитгэлийг шийд.

Хаалтуудыг өргөжүүлье:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Энд зарим ижил төстэй нэр томъёо байна:
0x = 0.

Хариулт: x - дурын тоо.

Хэрэв a = 0 ба b ≠ 0 бол, тэгвэл бид 0x = - b тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь бид дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0, харин b ≠ 0 болно.

Жишээ 3. x + 8 = x + 5 тэгшитгэлийг шийд.

Зүүн талд үл мэдэгдэх, баруун талд чөлөөт нэр томъёо агуулсан нэр томъёонуудыг бүлэглэе.
x – x = 5 – 8.

Энд зарим ижил төстэй нэр томъёо байна:
0х = ‒ 3.

Хариулт: шийдэл байхгүй.

Асаалттай Зураг 1 шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх диаграммыг үзүүлэв

Зохиоцгооё ерөнхий схемнэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ 4-ийн шийдлийг авч үзье.

Жишээ 4. Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

1) Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг 12-той тэнцүү хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлнэ.

2) Буурсны дараа бид авдаг
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Үл мэдэгдэх болон чөлөөт нэр томъёо агуулсан нэр томъёог салгахын тулд хаалт нээнэ үү:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Нэг хэсэгт үл мэдэгдэх нэр томьёо, нөгөө хэсэгт үнэ төлбөргүй нэр томъёог бүлэглэе.
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя:
- 22x = - 154.

6) - 22-т хуваавал бид авна
x = 7.

Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийн үндэс нь долоо юм.

Ерөнхийдөө ийм Дараах схемийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно:

a) тэгшитгэлийг бүхэл тоон хэлбэрт оруулах;

б) хаалтуудыг нээх;

в) тэгшитгэлийн нэг хэсэгт үл мэдэгдэх, нөгөө хэсэгт чөлөөт нэр томъёог агуулсан нэр томъёог бүлэглэх;

г) ижил төстэй гишүүдийг авчрах;

д) ижил төстэй нөхцлүүдийг авчирсны дараа олж авсан ах = b хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийд.

Гэсэн хэдий ч энэ схем нь тэгшитгэл бүрт шаардлагагүй юм. Олон энгийн тэгшитгэлийг шийдэхдээ та эхнийхээс биш, харин хоёр дахь хэсгээс эхлэх хэрэгтэй ( Жишээ. 2), гурав дахь ( Жишээ. 13) болон 5-р жишээн дээрх шиг тав дахь шатнаас хүртэл.

Жишээ 5. 2х = 1/4 тэгшитгэлийг шийд.

Үл мэдэгдэх x = 1/4: 2-г ол.
x = 1/8 .

Улсын үндсэн шалгалтаас олдсон зарим шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг харцгаая.

Жишээ 6. 2 (x + 3) = 5 – 6x тэгшитгэлийг шийд.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Хариулт: - 0.125

Жишээ 7.– 6 (5 – 3х) = 8х – 7 тэгшитгэлийг шийд.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Хариулт: 2.3

Жишээ 8. Тэгшитгэлийг шийд

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Жишээ 9. f (x + 2) = 3 7 бол f(6)-г ол

Шийдэл

Бид f(6)-г олох хэрэгтэй бөгөөд f (x + 2)-г мэдэж байгаа тул
дараа нь x + 2 = 6.

Бид x + 2 = 6 шугаман тэгшитгэлийг шийднэ.
бид x = 6 – 2, x = 4-ийг авна.

Хэрэв x = 4 бол
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Хариулт: 27.

Хэрэв танд асуулт байгаа бол тэгшитгэлийн шийдлийг илүү нарийвчлан ойлгохыг хүсч байна. Би танд туслахдаа баяртай байх болно!

TutorOnline нь шугаман тэгшитгэл болон бусад зүйлийг ойлгоход тань туслах багш Ольга Александровнагийн шинэ видео хичээлийг үзэхийг зөвлөж байна.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.