7.5. Электростатик талбайн суперпозиция зарчим

7.5.2 Боломжит байдлын хувьд суперпозиция зарчим

Боломжийн хувьд суперпозиция зарчимхэд хэдэн цэнэглэгдсэн объектоос үүссэн талбайн потенциалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэг дээр хэд хэдэн цэнэгээс үүссэн электростатик талбайн потенциал φ-ийг тус тусад нь цэнэг тус бүрээр үүсгэсэн талбайн потенциалын нийлбэрээр тооцно.

φ = φ 1 + φ 2 + … + φ n,

энд φ 1 нь эхний цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал; φ 2 - хоёр дахь цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал; ...; φ n нь n-р цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал юм.

Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэгт Q 1, Q 2, ..., Q n хэд хэдэн цэнэгийн үүсгэсэн талбайн потенциалыг тооцоолохын тулд дараах алгоритмыг ашиглана.

1) цэнэгийн тэмдгийг харгалзан Q 1, Q 2, ..., Q n цэнэг тус бүрээс үүссэн талбаруудын потенциалыг (тус тусад нь) тэмдэглэнэ.

φ 1, φ 2, …, φ n,

энд φ 1 нь эхний цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал; φ 2 - хоёр дахь цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал; ...; φ n - n-р цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал;

2) үүссэн талбайн потенциалыг дээр бичсэн потенциалуудын алгебрийн нийлбэрээр тооцоол.

φ = φ 1 + φ 2 + … + φ n.

Жишээ 12. Тэгш өнцөгт координатын xOy системийн (5; 0) ба (0; 2) цэгүүдэд q 1 = 5 μC ба q 2 = −2 μC хоёр цэгийн цэнэг байрлаж, x, y координатыг метрээр илэрхийлнэ. Хэрэв орчны диэлектрик дамжуулалт нь нэгдэлтэй тэнцүү бол координатын системийн эхэнд үүссэн талбайн потенциалыг тооцоол.

Шийдэл. Зурагт өгөгдсөн координат бүхий цэгүүдэд байрлах координатын систем ба цэнэгийг харуулав. Координатын системийн эхэнд үүссэн электростатик талбайн потенциал нь алгебрийн нийлбэр юм

φ = φ 1 + φ 2,

энд φ 1 нь эхний цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал; φ 2 нь хоёр дахь цэнэгээс үүссэн талбайн потенциал юм.

Дараах алгоритмыг ашиглан координатын системийн эхэнд үүссэн талбайн потенциалыг тооцоолъё.

1) цэнэг тус бүрээр үүсгэсэн талбайн потенциалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

φ 1 = k q 1 r 1,

Энд k - пропорциональ коэффициент, k = 9.0 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / Cl 2; q 1 - координаттай цэг дээр байрлах цэнэг (5; 0); r 1 - q 1 цэнэгээс координатын системийн эх хүртэлх зай, r 1 = 5 м;

φ 2 = k q 2 r 2,

Энд q 2 нь координаттай (0; 2) цэг дээр байрлах цэнэг (тэмдэгийг харгалзан үзэх); r 2 - q 2 цэнэгээс координатын системийн эх хүртэлх зай, r 2 = 2 м;

φ = φ 1 + φ 2 = φ 1 − | φ 2 | = k q 1 r 1 − k | q 2 | r 2.

Тооцоолол нь хүссэн боломжит утгыг өгдөг:

φ = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 − 6 5 − 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 2 = 0 В.

Гарал үүслийн үед үүссэн талбайн потенциал тэг байна.

Жишээ 13. 60 см талтай квадратын гурван оройд тус бүр нь 0.30 мкС эерэг цэнэгүүд байна. Талбайн дөрөв дэх оройд үүссэн талбайн потенциалыг ол. Цэнэгүүдийн систем байрладаг орчны диэлектрик тогтмол нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна.

Шийдэл. Зураг дээр гурван орой дээр ижил эерэг цэнэгтэй дөрвөлжин харагдаж байна. Үүссэн талбайн потенциалыг А орой дээр тодорхойлох шаардлагатай.

Алгоритмыг ашиглан квадратын дөрөв дэх оройд үүссэн талбайн потенциалыг тооцоолъё.

1) q 1, q 2 ба q 3 цэнэгээр А цэг дээр үүссэн талбайн потенциалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

• q 1 цэнэгээр үүссэн талбар, -

φ 1 = k q 1 r 1 = k q a,

Энд k - пропорциональ коэффициент, k = 9.0 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / Cl 2; q 1 = q ; r 1 - q 1-ээс А цэг хүртэлх зай, r 1 = a;

• q 2 цэнэгээс үүссэн талбар -

φ 2 = k q 2 r 2 = k q a 2,

Энд q 2 = q ; r 2 - q 2-аас А цэг хүртэлх зай, r 2 = a 2;

• q 3 цэнэгээр үүссэн талбар, -

φ 3 = k q 3 r 3 = k q a,

Энд q 3 = q; r 3 - q 3-аас А цэг хүртэлх зай, r 3 = a;

2) үүссэн талбайн потенциал нь дээр бичсэн потенциалуудын алгебрийн нийлбэр юм

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 = k q a + k q a 2 + k q a = k q a (2 + 1 2) = k q a ⋅ 4 + 2 2.

Тооцоолъё:

φ = 9.0 ⋅ 10 9 ⋅ 0.30 ⋅ 10 − 6 60 ⋅ 10 − 2 ⋅ 4 + 2 2 = 12 ⋅ 10 3 В = 12 кВ.

Талбайн дөрөв дэх оройн цахилгаан статик талбайн потенциал нь 12 кВ байна.

Жишээ 14. 0.25 ба 0.50 м радиустай хоёр төвлөрсөн бөмбөрцөг нь -0.80 ба 0.50 мкС цэнэгтэй жигд цэнэглэгддэг. Бөмбөрцгийн төвөөс 1.0 м зайд байрлах талбайн цэгийн потенциалыг ол. Төлбөрийн систем нь вакуумд байдаг.

Шийдэл. Асуудлын мэдэгдлийг тайлбарлая. Төвлөрсөн бөмбөрцөг нь нийтлэг төвтэй, жижиг радиус 1-тэй бөмбөрцөг сөрөг цэнэгтэй, 2-р радиус том бөмбөрцөг эерэг цэнэгээр цэнэглэгддэг.

М цэг дэх электростатик талбайн потенциал нь эхний φ 1 ба хоёр дахь φ 2 бөмбөрцөгөөс үүссэн талбайн потенциалуудын алгебрийн нийлбэр юм.

φ = φ 1 + φ 2.

Дараах алгоритмыг ашиглан үүссэн талбайн потенциалыг тооцоолъё.

1) дотоод болон гадаад бөмбөрцгийн гадаргуу дээр тус тус тархсан q 1 ба q 2 цэнэгээр M цэг дээр үүссэн талбайн потенциалыг дараахь томъёогоор тусад нь тодорхойлно.

• q 1 цэнэгээр үүссэн талбар, -

φ 1 = k q 1 r 1 = k q 1 л,

Энд k - пропорциональ коэффициент, k ≈ 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 /Cl 2; q 1 - дотоод бөмбөрцгийн гадаргуу дээр тархсан цэнэг, q 1 = −|q 1 |; r 1 - бөмбөрцгийн төвөөс M цэг хүртэлх зай, r 1 = l;

• q 2 цэнэгээс үүссэн талбар -

φ 2 = k q 2 r 2 = k q 2 л,

энд q 2 нь гаднах бөмбөрцгийн гадаргуу дээр тархсан цэнэг; r 2 - бөмбөрцгийн төвөөс M цэг хүртэлх зай, r 2 = r 1 = l;

2) үүссэн талбайн потенциал нь дээр бичсэн потенциалуудын алгебрийн нийлбэр юм

φ = φ 1 + φ 2 = k q 1 l + k q 2 l = k l (q 1 + q 2) = k l (− | q 1 | + q 2) .

Тооцоолъё:

φ = 9 ⋅ 10 9 1.0 (− 0.80 + 0.50) ⋅ 10 − 6 = − 2.7 ⋅ 10 3 В = − 2.7 кВ.

М цэгт үүссэн электростатик талбайн потенциал нь −2.7 кВ байна. Үр дүн нь бөмбөрцгийн радиусаас хамаардаггүй.

Векторын хувьд Гауссын теорем

Зүүн талд байгаа интегралыг интеграл хийгдсэн гадаргуугийн талбайн үржвэр болгон хувиргах үед тодорхой цэнэгийн тархалтын цахилгаан талбайн хүч чадал, потенциалыг тооцоолох үр дүнтэй хэрэгсэл болгон амжилттай ашиглаж болно. гадаргын хэвийн вектор бүрэлдэхүүн хэсэг, өөрөөр хэлбэл, хэзээ

.

Тооцоолох нь ойлгомжтой векторЭнэ нь нэгдүгээрт, хэзээ хангалттай байх болно векторгадаргуутай перпендикуляр. Тиймээс интеграцийн гадаргуу нь байх ёстой эквипотенциал гадаргуутооцоолсон талбар. Түүний хэлбэр урьдчилан мэдэх хэрэгтэй. Эцэст нь, хоёрдугаарт, энэ - эквипотенциал - гадаргуугийн бүх цэгүүдэд түүний хэвийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь ижил утгатай байх ёстой, эс тэгвээс үүнийг интеграл тэмдгийн доор авах боломжгүй бөгөөд зөвхөн эквипотенциал дээрх дундаж утгыг олох боломжтой болно. гадаргуу. Гадаргуугийн тэнцвэрт байдлын баримтаас, тухайлбал, гэдгийг бид онцолж байна

үүнийг огт дагаж мөрддөггүй

энэ гадаргуу дээрх цэгүүдэд. Урагшаа харахад, жишээлбэл, цэнэгтэй дамжуулагчийн гадаргуу дээр тэнцвэрт цэнэгийн тархалт байгаа тохиолдолд үргэлж эквипотенциал байдаг, гэхдээ энэ нь бөмбөрцөг биш, харин нарийн төвөгтэй хэлбэртэй биетэй бол цухуйсан хэсгүүдийн (цэгүүдийн) ойролцоо талбайн хүч нь гадаргуу дээрх хотгоруудын ойролцоохоос хэд дахин их байж болно. Байнгын шаардлага бол тусдаа шаардлага юм.

Дээр дурдсанаас харахад Гауссын теорем нь тухайн талбайг үүсгэж буй цэнэгийн тархалт нь өндөр тэгш хэмтэй байх тохиолдолд л үр дүнд хурдан бөгөөд энгийн байдлаар хүргэж болно (вектор ), үүний дагуу талбайн эквипотенциал гадаргуугийн хэлбэрийг мэддэг. урьдчилан болон эдгээр гадаргуу дээр гэдэгт итгэлтэй байна. Хэрэв энэ бүхэн тохиолдвол шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Цэнэгийн хуваарилалтын тэгш хэмийн дагуу гадаргууг сонгох, доторх цэнэгийг тооцоолоход л үлддэг.

Бөмбөрцөг тэгш хэм

Бөмбөрцөг тэгш хэмтэй цэнэгийн хуваарилалтаар үүссэн талбар нь мөн бөмбөрцөг тэгш хэмтэй байдаг. Ийм тэгш хэмтэй вектор (болон скаляр) талбаруудыг бас нэрлэдэг төвийн талбайнууд. Ерөнхий тохиолдолд төв тэгш хэмтэй талбарыг хэлбэрээр бичиж болно

Энд - талбайн тэгш хэмийн төвөөс эхэлдэг радиус вектор rнь түүний модуль, хамаарч талбайн хүч чадлын радиаль бүрэлдэхүүн хэсэг юм зөвхөнзайнаас түүний тэгш хэмийн төв хүртэл. Ийм талбайн боломж нь зөвхөн багаас хамаарна

Үүнээс гадна, дур зоргоороо хэвийн болгохын тулд талбайн потенциал нь дараах хэлбэртэй байна

Тиймээс хэрэглэх нөхцөл хангагдсан бөгөөд бид энэ хамаарлыг ашиглаж болно.

Зарим гүйдлийн радиусын эквипотенциал бөмбөрцөг гадаргууг авч үзье r, түүний талбай. Цэнэг хуваарилалтын хүлээгдэж буй тасралтгүй байдлын үүднээс бид дараах илэрхийллийг ашигладаг.

.

эзэлхүүний цэнэгийн нягт хаана байна. Дахин хэлэхэд, цэнэгийн хуваарилалтын бөмбөрцөг тэгш хэмийг харгалзан үзэх нь зөвхөн -ээс хамаарна, эзэлхүүний элементийн хувьд дотоод радиус, гадаад радиустай хязгааргүй нимгэн бөмбөрцөг давхаргыг авах нь байгалийн юм. Үүний үр дүнд бид ийм давхаргын эзэлхүүнийг олж авдаг

.

Эцэст нь, аливаа бөмбөрцөг тэгш хэмтэй цэнэгийн тархалтын хувьд , бид олж авна

Тооцооллыг үргэлжлүүлэхийн тулд цэнэгийн нягтын радиус векторын хэмжээнээс хамаарах хэлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай.

Талбай нь цэнэглэгдсэн бөмбөгний эзлэхүүний туршид жигд байна

Бөмбөлөг радиусын эзэлхүүн дэх цэнэгийн жигд тархалт (Зураг 1.41) нь түүний цэнэгийн нягт нь хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

Цагаан будаа. 1.41. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөгний цахилгаан талбайн шугамууд

Нөхцөлөөр бөмбөгний гадна ямар ч төлбөр байхгүй гэдгийг бид мартаж болохгүй.

Нэг цэгт цэнэгийн нягт огцом өөрчлөгддөг тул "зүүн талд" хязгаар нь тэгээс өөр байна. , мөн "баруун талд" хязгаар нь тэг байна , тооцоог хоёр үе шаттайгаар хийх шаардлагатай болно: эхлээд радиусын бөмбөрцөг гадаргуу (энэ нь бөмбөгний дотор байрладаг), дараа нь бөмбөрцөг радиустай гадаргуу (бөмбөгийг хамардаг). Эхний тохиолдолд

.

Үүний дагуу талбай

Бөмбөгний төв хүртэлх зай нэмэгдэх тусам шугаман нэмэгддэг бөгөөд үүнийг энгийнээр тайлбарладаг: гадаргуугийн талбай ба түүний доторх цэнэг.

Хоёрдахь тохиолдолд интеграл нь "дээрээс таслагдана":

Сүүлийн илэрхийлэл нь бөмбөгний нийт цэнэг хаана байгааг харгалзан үзнэ. Тиймээс бөмбөгний гадна талбар нь бөмбөгний нийт цэнэгтэй тэнцүү цэгийн цэнэгийн талбар бөгөөд энэ бөмбөгний төвд байрладаг.

.

Хоёр илэрхийлэлийг нэг томъёонд нэгтгэж болно. Хэрэв бид бөмбөгийг бүрэн цэнэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв бид бөмбөгний нийт цэнэгийн оронд цэнэгийн нягтыг параметр болгон ашигладаг бол эдгээр томъёо нь дараах хэлбэртэй болно (Зураг 1.42).

Цагаан будаа. 1.42. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөгний цахилгаан талбайн эрчмийн хуваарилалт

Томъёо болон ижил хамаарлыг илэрхийлдэг, тэдгээрийн тав тухыг ямар параметрүүдийг зааж өгсөнөөр тодорхойлно: эсвэл . Эдгээр томъёоноос харахад бөмбөгний гадаргуу дээр талбайн хүч тасралтгүй, өөрөөр хэлбэл тасалдалгүй байна. Энэ нь энэ тохиолдолд эхний төрлийн бөмбөгний гадаргуу дээрх цэнэгийн нягтын зөрүү нь хязгаарлагдмал хэмжээтэй байдагтай холбоотой юм: тэгээс тэг хүртэл. Тиймээс дээд ба доод томъёонд хоёуланд нь хатуу бус тэгш бус байдлын шинж тэмдэг илэрдэг. Ямар тохиолдолд талбайн хүч нь тасалдалтай болох нь дараах жишээнээс тодорхой болно.

Талбайн потенциалыг жишээ нь: -аас орлуулах, интеграцийг гүйцэтгэх замаар хялбархан олох боломжтой. Бид авах:

Энд ба нь интегралын тогтмолууд бөгөөд эдгээрийг дараах эргэцүүлэлээс олж болно. Тогтмолыг хэвийн болгох нөхцлөөс, жишээлбэл, хязгааргүй үед тэг хүртэл тодорхойлно

Хаана. Тогтмол нь бөмбөгний гадаргуу дээрх потенциалын тасралтгүй байдлын нөхцлөөс тодорхойлогдоно, өөрөөр хэлбэл:

Боломжит тасралтгүй байдлын шаардлагыг ихэвчлэн интерфейс дээр хоёр шийдлийн "оёдол" гэж нэрлэдэг гэдгийг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд энэ нь хоёр бүсийн хоорондох интерфейс юм: цэнэг байгаа бүс (бөмбөг дотор) болон байхгүй бүс (бөмбөгний гадна). "Давхар давхарга" гэж нэрлэгддэг нэгээс бусад тохиолдолд боломж нь үргэлжилдэг гэдгийг аль хэдийн тэмдэглэж болно. Нэг талд нь эерэг цэнэг нь нягтралтай, нөгөө талд нь сөрөг цэнэг нь нягтралтай тархсан гадаргууг төсөөлөөд үз дээ. Ийм гадаргууг давхар давхарга гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ гадаргуу дээр боломжийн завсарлага үүсдэг. Хавтгай конденсаторын хоёр хавтанг хязгааргүй ойртуулах замаар ийм (хавтгай) гадаргууг олж авч болно. Үүнтэй ижил зүйлийг ямар ч хэлбэрийн конденсатор, жишээлбэл, бөмбөрцөг эсвэл цилиндр хэлбэрээр хийж болно. Бусад бүх тохиолдолд боломж нь тасралтгүй байдаг.

Интеграцийн тогтмолуудын олж авсан утгыг орлуулснаар бид эцсийн үр дүнг хэлбэрээр бичнэ

Энэ нормчлолын үед бөмбөгний төв дэх потенциал тэгээс ялгаатай ба тэнцүү байна

.

Хүлээн авсан үр дүнг доорх Зураг 1.43-т үзүүлэв.

Цагаан будаа. 1.43. R радиустай жигд цэнэглэгдсэн бөмбөлгийн цахилгаан талбайн хүч (1) ба потенциал (2) нь түүний гадаргуу дээрх хүч ба потенциалын нэгжээр (r = R)

Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуугийн талбар

Бөмбөрцөг гадаргуу дээр цэнэгийн жигд тархалттай тохиолдолд өмнөхтэй адил бөмбөрцөг тэгш хэм явагддаг тул дээр дурдсан ерөнхий томъёог энд бас хэрэглэнэ. Гэсэн хэдий ч дараахь шалтгааны улмаас тэдэнд болгоомжтой хандах хэрэгтэй. Баруун талд байгаа эзэлхүүний цэнэгийн нягт нь энэ тохиолдолд дараах сонирхолтой байдлаар ажилладаг.

Цагаан будаа. 1.44. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн цахилгаан талбайн хүч

Үнэн хэрэгтээ зөвхөн төлбөртэй байдаг гадаргуу, өөрөөр хэлбэл, цагт, дотор хаа сайгүй, өөрөөр хэлбэл, гадна болон хаа сайгүй, өөрөөр хэлбэл, ямар ч төлбөр байхгүй. Юу эзэлхүүнтэйГадаргуу дээрх цэгүүдийн цэнэгийн нягт хязгааргүйд хүрдэг (эерэг цэнэгийн хувьд +∞, сөрөг цэнэгийн хувьд –∞) дараах байдлаар харуулж болно. Түүний хажууд байгаа зураг нь ямар нэг гадаргуугийн хэсгийг харуулж байна өнгөцхөнцэнэгийн нягтыг хуваарилдаг. Үнэ цэнийг тодорхойлохын тулд эзэлхүүнтэйгадаргуугийн тодорхой цэгт цэнэгийн нягтрал, цилиндрийг авч үзье (Зураг 1.45), дээд суурь нь гадаргуугаас дээш, доод суурь нь гадаргуугаас доогуур байна. Цилиндрийн суурийн талбай нь , өндөр нь , эзэлхүүн нь . Цилиндрийн доторх цэнэг, эзэлхүүний цэнэгийн нягт нь тодорхойлолтоор тодорхой эзэлхүүний дотор байрлах цэнэгийн харьцаа нь энэ эзлэхүүний утгатай тэнцүү байна, учир нь сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байдаг ("-тэй холбоотой бүх тайлбартай" физикийн хувьд хязгааргүй жижиг" хэмжээ). Бид авдаг

Цагаан будаа. 1.45. Гадаргуугийн цэнэгийн нягтрал

Гадаргуу дээрх нягтрал нь хязгааргүй байх нь чухал юм. Энэ төрлийн функцууд (нэг цэгээс бусад газар - тэг, энэ цэг дээр - хязгааргүй) нь ийм функцийг физикт анх нэвтрүүлсэн физикч Диракийн нэрэмжит Дирак функц гэж нэрлэгддэг ерөнхий функцүүдийн ангилалд багтдаг. квант механикийн хэрэгцээг хангах. Бид энд нарийвчлан судлахгүй бөгөөд тооцоололд ийм функцийг ашиглахгүй. Бидний зорилго бол албан ёсоор хязгааргүй нимгэн цэнэгтэй гадаргууг авч үзэх нь эзэлхүүний цэнэгийн нягтын (хязгааргүй) тасалдал үүсэхэд хүргэдэг бөгөөд энэ нь эргээд цахилгаан талбайн хүч чадалд ийм цэнэглэгдсэн гадаргуу дээр хязгааргүй тасалдал үүсгэдэг гэдгийг харуулах явдал юм. Талбайн боломж тасралтгүй хэвээр байгааг бид онцолж байна.

Гарах арга нь энгийн. Бид бүгдийн хувьд эхний томъёог ашиглан жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг бүрхүүл дотор талбар байхгүй болохыг олж мэдэв: . Бүгдийн хувьд хоёр дахь томьёо хүчинтэй байна. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөгний хувьд жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг бүрхүүлийн гадна талбар нь энэ бүрхүүлийн төвд байрлах цэгийн цэнэгийн талбай бөгөөд түүний нийт цэнэгтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд мэдээжийн хэрэг.

Эцсийн үр дүн нь:

Бөмбөрцөг гадаргуу дээр энэ тохиолдолд талбайн хүч нь тасалддаг. Бөмбөрцөг гадаргуугийн төв хүртэлх зайнаас радиаль талбайн бүрэлдэхүүн хэсгийн хамаарлыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.46.

Цагаан будаа. 1.46. Бөмбөрцөг бүрхүүлийн төв хүртэлх зайнаас талбайн хамаарал

Бөмбөрцөг бүрхүүлийн төв хүртэлх зайнаас потенциалын хамаарлыг нэгтгэх замаар олж авч болно. Хязгааргүй үед тэг хүртэл хэвийн болгоход үр дүн нь дараах байдалтай харагдана.

Хараат байдлыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.47.

Цагаан будаа. 1.47. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн потенциал

Хязгааргүй урт цилиндр гадаргуу дээр нэгэн төрлийн (нэгдмэл) цэнэгийн хуваарилалт (Зураг 1.48) нь цилиндр, хөрвүүлэх, толин тусгал тэгш хэмтэй байдаг. Энэ нь дараах гэсэн үг юм. Ийм цэнэгийн хуваарилалтыг цилиндр гадаргуугийн тэнхлэгийн эргэн тойронд ямар ч өнцгөөр эргүүлэх үед энэ нь өөртэйгөө давхцдаг. Ийм цэнэгийн хуваарилалтыг тэгш хэмийн тэнхлэгийн дагуу дурын зайд шилжүүлэх (шилжүүлэх) үед энэ нь мөн өөртэй нь давхцдаг. Эцэст нь, тэгш хэмийн тэнхлэгийн аль ч цэгээр дамжуулан бид тэнхлэгт перпендикуляр хавтгай зурж, толинд тусгах шиг цэнэгийн тархалтын "дээд" хэсгийг тусгавал "дээд" -ийн тусгал. ” хэсэг нь “доод” хэсэгтэй давхцах ба эсрэгээр “доод”-ын тусгал нь “дээд” хэсэгтэй давхцах болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ цэнэгийн хуваарилалт нь заасан хувиргалтуудын дагуу өөрчлөгддөггүй. Иймээс энэхүү цэнэгийн хуваарилалтаас үүссэн цахилгаан орон нь заасан хувиргалтын дагуу өөрчлөгддөггүй (өөртэйгөө давхцах) байх ёстой.

Цагаан будаа. 1.48. Хязгааргүй урт цилиндр гадаргуу

Цилиндр координатын системийг танилцуулъя: тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг, - тэгш хэмийн тэнхлэг хүртэлх зай, - азимутын өнцөг, тэгш хэмийн тэнхлэгийг тойрон эргэх өнцөг, - өмнөх шигээ талбайн потенциал.

Тэгш хэмийн шинж чанараас харахад талбайн потенциал нь координатаас хамаарахгүй - орчуулгын тэгш хэм эвдэрсэн, эсвэл координатаас - тэнхлэгийн (цилиндр) тэгш хэмээс хамаарна. Үлдсэн зүйл бол цилиндрийн тэнхлэг хүртэлх зайнаас хамаарах хамаарал юм. Тиймээс:

Тус тусад нь

цахилгаан орны хүч чадлын вектор нь тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр радиаль шугамын дагуу чиглэгддэг (Зураг 1.49), түүний утга нь зөвхөн тэнхлэг хүртэлх зайнаас хамаарна. Боломжит гадаргуу нь цэнэглэгдсэн цилиндр гадаргуутай коаксиаль цилиндр юм.

Цагаан будаа. 1.49. Цахилгаан орны хүч чадлын вектор нь радиаль шулуун шугамын дагуу чиглэнэ

Эдгээр нөхцөл байдлыг ашиглан бид Гауссын теоремын зүүн талд суурь радиустай, радиусын цэнэглэгдсэн цилиндр гадаргуутай коаксиаль өндөртэй цилиндрийн хаалттай гадаргуу дээр нэгтгэх болно. Цилиндрийн суурь дээр урсах урсгал нь тэг бөгөөд түүний хажуугийн гадаргуугаар дамжин өнгөрөх урсгал нь талбайн үржвэртэй тэнцүү байна: . Үүний дагуу нийт (харгалзан авч буй цилиндрийн бүх хаалттай гадаргуугаар) векторын урсгал нь тэнцүү байна.

At , цилиндр дотор байрлах цэнэг нь тэнцүү байна

шугаман цэнэгийн нягт нь цилиндр гадаргуугийн нэгж урт дахь цэнэгтэй тоогоор тэнцүү байна. Гауссын теоремын дагуу

бид хаанаас авдаг

Цилиндр дотор байх үед векторын урсгалыг гадаргуугаар нь тооцдог тул цэнэг байхгүй тул талбай нь тэг байна. Эдгээр хоёр үр дүнг нэгтгэснээр бид эцэст нь олж авна (Зураг 1.50):

Гадаргуугийн шинж чанараас шалтгаалан цэнэгийн хуваарилалтын (өмнөх тооцоог илүү дэлгэрэнгүй харна уу) хамгийн их цэнэглэгдсэн гадаргуу дээр, өөрөөр хэлбэл талбайн радиаль бүрэлдэхүүн хэсэгт тасалдал үүсдэг.

Цагаан будаа. 1.50. Нэг жигд цэнэглэгдсэн цилиндр гадаргуугийн цахилгаан талбайн хүч

Интеграл (1.51) (мөн (1.49)-ийг үзнэ үү), боломжит тасралтгүй байдлын шаардлага, хэвийн байдал нь цилиндр гадаргуугийн тэнхлэг хүртэлх зайнаас потенциалын дараахь хамааралд хүргэдэг.

Энэ тохиолдолд хязгааргүй том модулийн цэнэгийг хязгааргүй урт цилиндрт хуваарилах үед энэ нь хязгааргүй үед тэг хүртэл хэвийн болгох нь утгагүй тохиолдлуудад хамаарна. (1.52)-аас харахад тэнхлэг хүртэлх зайнаас потенциалын хамаарал нь логарифм, хязгааргүй үед тэг хүртэл хэвийн болгох нь (1.52) томъёоны хэлээр , гэхдээ, тэгвэл потенциал нь хязгааргүй их байх болно гэсэн үг юм. ямар ч үед үнэмлэхүй утгаараа эцсийнцэнэглэгдсэн гадаргуугийн тэнхлэгээс хол байх нь утгагүй юм. Потенциалыг тэгтэй тэнцүү гэж үзэхэд тохиромжтой тэгш хэмийн тэнхлэгээс хязгаарлагдмал зайг сонгох нь хүндрэл учруулахгүй бөгөөд асуудлын онцлогоор тодорхойлогддог. Жишээ нь, тавихад юу ч саад болохгүй, тэгвэл дотор болон хамгийн их цэнэглэгдсэн гадаргуу дээр хаа сайгүй потенциал тэг болно.

Хязгааргүй жигд талбай цэнэглэгдсэн онгоц

Гадаргуугийн цэнэгийн нягтыг байг . Хязгааргүй хавтгай дээрх цэнэгийн хуваарилалт нь түүний харагдах байдал нь дараахь зүйлээс хамаардаггүй гэдгээрээ онцлог юм: а) перпендикуляр хавтгайн аль ч тэнхлэгийн эргэн тойронд дурын өнцгөөр эргэх, б) хавтгайд байрлах шулуун шугамын дагуу дурын зайд шилжих, ямар ч чиглэл. Эцэст нь, в) өгөгдсөн цэнэгийн тархалтыг толинд тусгах нь хавтгайтай давхцах нь түүнийг өөрчлөхгүй байх болно.

Тэгш хэмийн шинжилгээнээс харахад хавтгайн гаднах аль ч цэгийн потенциал нь зөвхөн энэ цэгээс хавтгай хүртэлх зайнаас хамаарна гэдэг нь тодорхой харагдаж байна. Декартын координатын системийн тэнхлэгийг хавтгайд перпендикуляр чиглүүлж, тэнхлэгүүд нь өөрөө хавтгайд харьяалагдана.

Түүгээр ч барахгүй толин тусгал тэгш хэмийн улмаас онгоцны "урд" талбар нь онгоцны "арын" талбараас ялгаатай байдаг. зөвхөнвекторын чиглэл. Энэ нь хамаарал нь сондгой, потенциалын хамаарал нь тэгш байх ёстой гэсэн үг юм.

Эдгээрийг харгалзан үзсэний үндсэн дээр бид Гауссын теоремыг бичих хаалттай гадаргууг дараах хэлбэрээр авна (Зураг 1.51).

Цагаан будаа. 1.51. Цэнэглэгдсэн онгоцны цахилгаан орон

Энэ нь хавтгайд перпендикуляр хажуу гадаргуутай, хавтгайтай параллель суурьтай цилиндр юм. Цилиндрийн өндөр, суурийн талбай. Хамааралтай байдлын сондгой байдлыг харгалзан цилиндрийн суурийг хавтгайгаас ижил зайд байрлуулах нь тохиромжтой бөгөөд дараа нь суурийн урсгалд оруулах хувь нэмэр ижил байх болно. Суурийн талбайн хүч нь нэгдүгээрт, тэдгээрт перпендикуляр, хоёрдугаарт, энэ нь гадаад нормальтай хамт чиглэгддэг, гуравдугаарт, үнэмлэхүй утгаараа бүх цэгүүдэд ижил байна.

Хажуугийн гадаргуугаас векторын урсгалд оруулах хувь нэмэр тэг байна, учир нь хажуугийн гадаргуу дээр .

Тиймээс бүх хаалттай цилиндр гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь

Санаж буй цилиндр гадаргуу дотор цэнэг байдаг

онгоц дээрх цэнэгийн нягт хаана байна. Гауссын теоремоор

Тиймээс модуль цэнэглэгдсэн онгоцны талбайн хүчтэнцүү байна

Үр дүн нь авч үзэж буй цилиндрийн суурь байрлах хавтгайгаас хол байхаас хамаарахгүй гэдгийг бид онцолж байна. Үүнээс үзэхэд онгоцны хоёр тал дээр түүний үүсгэсэн цахилгаан талбар жигд байна.

Өмнө нь цэнэглэгдсэн хавтгайд перпендикуляр тэнхлэгийг ашигласнаар онгоцны хоёр талын талбарыг нэг томьёогоор тодорхойлж, хавтгай дээрх цэнэгийн аль ч шинж тэмдэгт тохирох болно.

Энд тэнхлэгийн нэгж вектор байна.

-тай нэгтгэж байна

Онгоцны талбайн потенциалаас хамаарахын тулд дараахь зүйлийг олж авахад хялбар байдаг.

Потенциал нь нөхцөлөөр хэвийн болдог. Хязгааргүй урт цэнэглэгдсэн цилиндр гадаргуутай жишээн дээрх шиг потенциал нь хязгааргүй хүртэлх зайд нэмэгддэг тул хязгааргүйд тэг хүртэл хэвийн болгох нь утгагүй юм.

Цэнэглэгдсэн онгоцны талбайн шугамыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.52 ба 1.53.

Цагаан будаа. 1.52. Эерэг цэнэгтэй онгоцны талбар

Цагаан будаа. 1.53. Сөрөг цэнэгтэй онгоцны талбар

Зэрэгцээ хавтантай конденсаторын талбар

Нэг жигд ба ялгаатай цэнэглэгдсэн хоёр хязгааргүй зэрэгцээ хавтгайн үүсгэсэн талбайн хүчийг тодорхойлъё. Хавтгай дээрх цэнэгийн нягт нь модулийн хувьд ижил бөгөөд тэнцүү байна: ба (хамгийн тохиромжтой хавтгай конденсатор). Зураг ашиглан. 1.54 Хавтгай хоорондын зайд тэдгээрийн үүсгэсэн талбарууд нь нэг чиглэлд чиглэгддэг тул нийт талбайн доторх талбар нь хавтгай тус бүрийн талбайгаас хоёр дахин их байдаг гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм. Онгоцны гадна талд тэдгээрийн үүсгэсэн талбарууд нь эсрэг чиглэлд чиглэгддэг тул хоёр хавтгайн нийт талбайн хэмжээ тэг байна (Зураг 1.55).

Цагаан будаа. 1.54. Зэрэгцээ хавтантай конденсаторын цахилгаан орон

Цагаан будаа. 1.55. Эсрэг цэнэгтэй онгоцны цахилгаан орон

Хавсралт 6-д тогтмол цахилгаан орон дахь цэнэгтэй бөөмийн хөдөлгөөний жишээг авч үзнэ.

Цэнэглэгдсэн дискний талбайн боломж

Нэгээс олон удаа тэмдэглэснээр, цэгийн цэнэгийн талбайн потенциалыг мэдэж, суперпозиция зарчмыг ашиглан зарчмын хувьд аливаа цэнэгийн тархалтаас үүссэн талбайн потенциалыг тооцоолох боломжтой байдаг.

Жишээлбэл, радиустай нимгэн дискний тэнхлэг дээр үүссэн цахилгаан орны потенциалыг олцгооё. Р, гадаргуугийн цэнэгийн нягтаар жигд цэнэглэгддэг (Зураг 1.57). Тэнхлэгийн тэгш хэмийн улмаас тэнхлэг дээрх цэгүүдэд тэнхлэгт перпендикуляр талбайн хүч чадлын хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэгтэй тэнцүү байна: , тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн талбарын бүрэлдэхүүн хэсгийг олох хэвээр байна.

Өргөтгөлийн эхний хоёр нөхцлөөр хязгаарлагдаж, цувралаар өргөжүүлж болно

Кулоны хууль ба орон зайн хэмжээс

Бидний амьдарч буй орон зай гурван хэмжээстэй. Өөрөөр хэлбэл, цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд гурван координат хэрэгтэй (жишээлбэл, декарт эсвэл бөмбөрцөг системд). А(Зураг 1.58). 3-ын тоо нь Кулоны хуулийн хэлбэртэй нягт холбоотой болох нь харагдаж байна. Остроградский-Гаусын теорем нь Кулоны хуулиас дагалддаг болохыг бид харсан. Үүний эсрэгээр бол Кулоны хуулийг Остроградский-Гаусын теоремоос гаргаж болно. Гэхдээ энэ теорем нь Кулоны хуулиас илүү ерөнхий юм. Ялангуяа энэ нь гуравтай тэнцүү байх албагүй хэмжээс бүхий орон зайд хамаарна.

Тиймээс хоёр хэмжээст орон зайд эзлэхүүний үүргийг манай талбай гүйцэтгэдэг. Үнэн хэрэгтээ бөмбөрцөг бол төвөөс ижил зайд байрлах орон зай дахь цэгүүдийн байрлал юм. Энэ тодорхойлолтын дагуу хоёр хэмжээст бөмбөрцөг нь хэмжээст ертөнцтэй пропорциональ хэмжээст ертөнц дэх радиустай тойрог юм.

Эндээс бид урвуу квадрат хууль (Куломын хууль) гарна. Үнэнийг хэлэхэд бид цахилгаан талбайн энэ зан үйлийг аль хэдийн мэддэг болсон. Хязгааргүй цэнэглэгдсэн цилиндрийн талбайн хувьд бид яг энэ хуулийг (10.17) гаргаж авсан. Хэрэв та анхааралтай бодож, цилиндрийн хүчний шугамуудын байршлыг санаж байвал цилиндрийн тэнхлэгийн дагуух координатаас юу ч хамаарахгүй нь тодорхой болно. Тиймээс энэ систем нь хоёр хэмжээст ертөнц дэх цахилгаан талбайг дуурайдаг. Одоо цэнэглэгдсэн онгоц нь нэг хэмжээст ертөнцөд цэгийн цэнэгийг дуурайдаг гэдгийг ойлгоход илүү хялбар болсон: бүх зүйл зөвхөн нэг координатаас хамаардаг - онгоц хүртэлх зай. Гэхдээ цахилгаан орон нь энэ зайнаас хамаардаггүй гэдгийг дээр дурдсан. Мөн (10.49) томъёоноос эрчмийн град ) нь цахилгаан талбайн хүчийг илэрхийлэх ёстой.

Энэ нь сонирхолтой дүгнэлтэд хүргэдэг. Нэг ба хоёр хэмжээст ертөнцөд потенциал хязгааргүй өсдөг тул хоёр татах цэнэгийг салгахын тулд хязгааргүй их хэмжээний ажил хийх шаардлагатай болдог. Энэ нь жижиг хэмжээст ертөнцөд зөвхөн хоёр татах биетийн (цэнэг, масс) хязгаарлагдмал хөдөлгөөн хийх боломжтой гэсэн үг юм. Орон зайн хязгаарлагдмал муж дахь хөдөлгөөнийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг гэдгийг санаарай. Иймээс атомыг ионжуулах боломжгүй, нарны аймгаас цааш хиймэл дагуул хөөргөх боломжгүй гэх мэт ийм ертөнцөд химийн урвал явагдахгүй, галактик, одод хувьсахгүй байх байсан. Нэг үгээр хэлбэл тэндхийн амьдрал уйтгартай байх болно.

Олон хэмжээст ертөнцөд илүү тааламжтай цагийг хүлээж байна. Харамсалтай нь энэ нь хуурмаг зүйл болж хувирав. Хөдөлгөөний тэгшитгэлийн судалгаа

Энэ нь мөн чанартаа хязгаарлагдмал хөдөлгөөн байдаггүй гэсэн дүгнэлтэд хүргэдэг: энэ нь зөвхөн дугуй тойрог замд л явагддаг, тэр ч байтугай тогтворгүй байдаг - өчүүхэн төдий эвдрэл нь электрон (гараг) татах төв рүү унах эсвэл түүнээс зугтахад хүргэдэг. хязгааргүй их зай. Ийм ертөнцөд атом, гаригийн систем болон бусад бүх зүйл огт үүсэх боломжгүй байсан нь харагдаж байна. Өндөр хэмжээст ертөнцөд тогтвортой байдал байхгүй - энэ нь "зогсонги" бага хэмжээст ертөнцийн өөр хувилбар юм. Зөвхөн үүгээр л тогтвортой хязгаарлагдмал, хязгааргүй хөдөлгөөн хийх боломжтой. Гурван хэмжээст орон зай бол материйн оршин тогтнох, хөдөлгөөний цорын ганц тохиромжтой хэлбэр бөгөөд бидний мэддэг, физикийн чиглэлээр судалдаг төрөл юм.

Нэмэлт мэдээлэл

http://hea.iki.rssi.ru/~nik/astro/spher.htm - бөмбөрцөг координатын систем;

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect3.ch2.tex - хязгаарлагдмал хөдөлгөөн, Кеплерийн асуудал.

Электростатик орон нь хүч (хүчдэл) ба энерги (боломж) гэсэн хоёр шинж чанартай байдаг. Хүчдэл ба потенциал нь талбайн нэг цэгийн өөр өөр шинж чанарууд тул тэдгээрийн хооронд холболт байх ёстой.

Нэг цэгийн эерэг цэнэгийг х тэнхлэгийн дагуу нэг цэгээс нөгөө цэг рүү шилжүүлэх ажил нь цэгүүд хоорондоо хязгааргүй ойрхон байрладаг ба x 1 – x 2 = dx бол qE x dx-тэй тэнцүү байна. Ижил ажил нь q(φ 1 - φ 2)= -dφq-тай тэнцүү байна. Хоёр илэрхийлэлийг тэнцүүлж, бид бичиж болно

Y ба z тэнхлэгүүдийн ижил төстэй үндэслэлийг давтаж, бид векторыг олж болно:

x,y,z координатын тэнхлэгүүдийн нэгж векторууд хаана байна.

Градиентийн тодорхойлолтоос харахад ийм байна

Эсвэл (12.31)

тэдгээр. талбайн хүч E нь хасах тэмдэг бүхий боломжит градиенттай тэнцүү байна. Хасах тэмдэг нь тодорхойлогддог хурцадмал векторЭ талбар нь потенциалыг бууруулахад чиглэгдэж байна.

Хүчдэл ба потенциалын хооронд тогтоосон холболт нь мэдэгдэж буй талбайн хүчийг ашиглан энэ талбайн дурын хоёр цэгийн боломжит зөрүүг олох боломжийг бидэнд олгодог.

Ø Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн талбар радиус R

Бөмбөрцгийн гаднах талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно

r 1 ба r 2 (r 1 >R; r 2 >R) цэгүүдийн потенциалын зөрүүг хамаарлыг ашиглан тодорхойлно.

Хэрэв r 1 = R, r 2 → ∞ бол бид бөмбөрцгийн потенциалыг олж авна:

Ø Нэг жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй урт цилиндрийн талбар

Цилиндрийн гадна талбайн хүчийг (r >R) томъёогоор тодорхойлно

(τ – шугаман нягт).

Цилиндрийн тэнхлэгээс r 1 ба r 2 (r 1 >R; r 2 >R) зайд орших хоёр цэгийн потенциалын зөрүү нь тэнцүү байна.

(12.32)

Ø Нэг жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбар

Энэ хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно

(σ - гадаргуугийн нягт).

Хавтгаас x 1 ба x 2 зайд орших цэгүүдийн потенциалын зөрүү нь тэнцүү байна

(12.33)

Ø Хоёр эсрэг цэнэгтэй хязгааргүй зэрэгцээ хавтгайн талбар

Эдгээр хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно

Онгоцуудын хоорондох боломжит зөрүү нь

(12.34)

(d - онгоц хоорондын зай).

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 12.1. Хажуугийн урттай тэгш талт гурвалжны орой дээр Q 1 =2nC, Q 2 =3nC, Q 3 =-4nC гурван цэгийн цэнэг байрлана. а=10см. Энэ системийн боломжит энергийг тодорхойл.

Өгөгдсөн: Q 1 =2nC=2∙10 -9 C; Q 2 =3nC=3∙10 -9 C; ба Q 3 =-4nC=4∙10 -9 С; а=10см=0,1м.

Олоорой: У.

Шийдэл: Цэнэгүүдийн системийн боломжит энерги нь харилцан үйлчилж буй хос цэнэг бүрийн харилцан үйлчлэлийн энергийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

U=U 12 +У 13 +У 23

зайд өөр цэнэгийн талбарт байрлах аль нэг цэнэгийн боломжит энерги Атүүнээс тэнцүү байна

; ; (2)

(2) томъёог (1) илэрхийлэлд орлуулж, цэнэгийн системийн хүссэн потенциал энергийг олъё.

Хариулт: U=-0.126 мкЖ.

Жишээ 12.2. Дотоод радиус R 1 = 30 см, гадаад радиус R 2 = 60 см цагираг дээр q = 5 nC цэнэг жигд тархсан бол түүний төв дэх потенциалыг тодорхойл.

Өгөгдсөн: R 1 =30см=0,3м; R 2 =60см=0,6м; q=5nC=5∙10 -9 С

Олно: φ.

Шийдэл:Бөгжийг дотоод радиус r, гадна радиус (r+dr) бүхий төвлөрсөн хязгааргүй нимгэн цагиргуудад хуваацгаая.

Харгалзан үзэж буй нимгэн цагирагийн талбай (зураг харна уу) dS=2πrdr.

Хязгааргүй нимгэн цагирагнаас үүссэн цагирагийн төв дэх потенциал,

гадаргуугийн цэнэгийн нягт хаана байна.

Бөгжний төв дэх потенциалыг тодорхойлохын тулд бүх хязгааргүй нимгэн цагиргуудаас dφ-ийг арифметик байдлаар нэмэх хэрэгтэй. Дараа нь

Цагирагийн цэнэг Q=σS, S= π(R 2 2 -R 1 2) нь цагирагийн талбай гэдгийг харгалзан бид цагирагийн төвд хүссэн потенциалыг олж авна.

Хариулт: φ=25V

Жишээ 12.3.Ижил нэртэй хоёр цэгийн цэнэг (q 1 = 2 nC ба q 2 = 5 nC) r 1 = 20 см зайд вакуумд байна. Тэднийг r 2 = 5 см зайд ойртуулахын тулд хийх ёстой А ажлыг тодорхойл.

Өгөгдсөн: q 1 =2nCl=2∙10 -9 Кл; q 2 =5nCl=5∙10 -9 Кл ; r 1 = 20см=0.2м; r 2 =5см=0,05м.

Олох.

Шийдэл: Q цэнэг φ 1 потенциалтай талбайн цэгээс φ 2 потенциалтай цэг рүү шилжихэд цахилгаан статик талбайн хүчний гүйцэтгэсэн ажил.

A 12 = q(φ 1 - φ 2)

Ижил нэртэй цэнэгүүд нийлэхэд гадны хүчнүүд ажил хийдэг тул эдгээр хүчний ажил хэмжээ нь тэнцүү боловч Кулоны хүчний ажлын шинж тэмдгийн эсрэг байна.

A= -q(φ 1 - φ 2)= q(φ 2 - φ 1). (1)

Электростатик талбайн 1 ба 2-р цэгийн боломжууд

Томьёог (2)-ыг илэрхийлэл (1)-д орлуулснаар бид төлбөрийг ойртуулахын тулд хийх шаардлагатай ажлыг олох болно.

Хариулт: A=1.35 мкЖ.

Жишээ 12.4.Эерэг цэнэглэгдсэн төгсгөлгүй утаснаас цахилгаан статик орон үүсдэг. r 1 = 2 см-ээс r 2 = 10 см зайд утаснаас суналтын шугамын дагуу цахилгаан статик талбайн нөлөөн дор хөдөлж буй протон хурдаа υ 1 = 1 мм/с-ээс υ 2 = 5 мм болгон өөрчилсөн. /с. Утасны шугаман цэнэгийн нягтыг τ тодорхойл..

Өгөгдсөн: q=1.6∙10 -19 С; м=1.67∙10 -27 кг; r 1 =2см=2∙10 -2 м; r 2 = 10см=0.1м; r 2 =5см=0,05м; υ 1 =1Мм/с=1∙10 6 м/с; υ 2 =5Мм/с=5∙10 6 м/с хүртэл.

Хай:τ .

Шийдэл:Протоныг φ 1 потенциалтай цэгээс φ 2 потенциалтай цэг рүү шилжүүлэхэд электростатик талбайн хүчний хийсэн ажил нь протоны кинетик энергийг нэмэгдүүлэхэд чиглэгддэг.

q(φ 1 - φ 2)=ΔT (1)

Утасны хувьд цахилгаан статик орон нь тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байдаг

Эсвэл dφ=-Эдр,

дараа нь утаснаас r 1 ба r 2 зайд байрлах хоёр цэгийн боломжит зөрүү,

(нэг жигд цэнэглэгдсэн төгсгөлгүй утаснаас үүссэн талбайн хүч нь ).

Томъёо (1)-д (2) илэрхийллийг орлуулж, үүнийг харгалзан үзнэ , бид авдаг

Утасны хүссэн шугаман цэнэгийн нягтыг хаанаас авдаг вэ?

Хариулт: τ = 4.33 мкС/м.

Жишээ 12.5.R = 8 см радиустай, ρ = 10 нС/м3 эзэлхүүний нягттай жигд цэнэглэгдсэн бөмбөлөгөөр вакуум орчинд цахилгаан статик орон үүсдэг. Бөмбөгний төвөөс байрлах энэ талбайн хоёр цэгийн хоорондох боломжит зөрүүг тодорхойл: 1) r 1 = 10 см ба r 2 = 15 см; 2) r 3 = 2см ба r 4 =5см.

Өгөгдсөн: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нС/м 3 =10∙10 -9 нС/м3; r 1 =10см=10∙10 -2 м;

r 2 =15см=15∙10 -2 м; r 3 = 2см=2∙10 -2 м; r 4 =5см=5∙10 -2 м.

Хай:1) φ 1 - φ 2; 2) φ 3 - φ 4.

Шийдэл: 1) Бөмбөгний төвөөс r 1 ба r 2 зайд байрлах хоёр цэгийн боломжит зөрүү.

(1)

Бөмбөлгийн гадна талд төвөөсөө r зайд байрлах дурын цэгт эзлэхүүний нягтрал ρ жигд цэнэглэгдсэн бөмбөгний үүсгэсэн талбайн хүч хаана байна.

Энэ илэрхийллийг (1) томъёонд орлуулж, нэгтгэснээр бид хүссэн боломжит зөрүүг олж авна

2) Бөмбөгний төвөөс r 3 ба r 4 зайд байрлах хоёр цэгийн потенциалын зөрүү,

(2)

Бөмбөгний төвөөс r зайд байрлах дурын цэгт эзлэхүүний нягтрал ρ жигд цэнэглэгдсэн бөмбөгний үүсгэсэн талбайн хүч хаана байна.

Энэ илэрхийллийг (2) томъёонд орлуулж, нэгтгэснээр бид хүссэн боломжит зөрүүг олж авна

Хариулт: 1) φ 1 - φ 2 =0.643 В; 2) φ 3 - φ 4 =0.395 В

Томъёо

өгөгдсөн боломжит талбайн боломжит функцийг олоход ашиглаж болно

a(x, y, z)=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Үүнийг хийхийн тулд бид M 0 (x 0, y 0, z 0) эхлэлийн цэгийг засч, холбоосууд нь зэрэгцээ байгаа M 0 ABM тасархай шугамын одоогийн M (x, y, z) цэгтэй холбоно. координатын тэнхлэгт, тухайлбал, M 0 A?Ox , АВ?Оу, ВМ?Оz (Зураг 6.2). Дараа нь томъёо (6.6) хэлбэрийг авна

Энд x, y, z нь интеграл хийгдэж буй тасархай шугамын сегментүүдийн одоогийн цэгийн координатууд юм.

Жишээ 6.7.Вектор талбар гэдгийг батал

a= (e + z)i + (x + z)j + (x + y)k

боломж байна, мөн түүний боломжийг олоорой.

Шийдэл. 1-р арга. a(M) талбайн потенциалын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол rot a(M) нь тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Манай тохиолдолд

өөрөөр хэлбэл талбар бол боломж юм. Бид (6.10) томъёог ашиглан энэ талбайн боломжийг олдог. О(0, 0, 0) координатын гарал үүслийг анхны тогтмол цэг болгон авъя. Дараа нь бид авна

Энд C нь дурын тогтмол юм.

2-р арга. Тодорхойлолтоор потенциал нь град φ=a байх скаляр функц юм. Энэ вектор тэгш байдал нь гурван скаляр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:

(6.12)-ыг x дээр нэгтгэснээр бид олж авна

Энд f(y, z) нь y ба z-ийн дурын дифференциал функц юм. (6.12)-ын хоёр талыг y-ээс ялгаж, (6.11)-ийг харгалзан үзээд тодорхойгүй f(y, z) функцийг олох хамаарлыг олж авна. Бидэнд байгаа

(6.16)-г y дээр нэгтгэснээр бид байна

Энд F(z) нь z-ийн хараахан тодорхойлогдоогүй функц юм. (6.17)-г (6.11)-д орлуулснаар бид гарч ирнэ

Сүүлчийн тэгшитгэлийг z-тэй харьцуулж, (6.12) хамаарлыг харгалзан үзээд бид F(z)-ийг олох тэгшитгэлийг олж авна.

Эндээс, тэгэхээр.

3 дахь арга. Функцийн нийт дифференциалын тодорхойлолтоор бид байна

(6.10), (6.11), (6.12) дахь хэсэгчилсэн деривативуудын оронд , , тэдгээрийн илэрхийллүүдийг орлуулснаар бид олж авна.

dφ =(y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz

эсвэл энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа

dφ=(ydx+xdy)+(zdx+xdz)+(ydz+zdy)=d(xy)+d(xz)+d(yz)=d(xy +xz +yz).

dφ=d(xy + yz + zx).

Үүнийг дагадаг

Ω муж нь төв нь O(0, 0, 0) эхтэй одтой тохиолдолд M(x, y, z) цэг дээрх вектор талбайн a=a(M) потенциал φ(M) байна. ) томъёогоор олж болно

Энд r(M)=xi + yj + zk нь M(x, y, z) цэгийн радиус вектор ба цэг. (tx,ty,tz)О ба М цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын OM сегментийг ажиллуулах үед.

Жишээ 6.8.Вектор талбайн потенциалыг ол

a= yzi + xzj + xyk.

Шийдэл. Rot a 0, өөрөөр хэлбэл энэ вектор талбар нь боломжит гэдгийг харахад хялбар байдаг. Энэ талбар нь О(0, 0, 0) координатуудын эхэнд төвтэй одтой гурван хэмжээст орон зайд бүхэлдээ тодорхойлогддог тул түүний потенциалыг олохын тулд (6.12) томъёог ашиглана. Энэ тохиолдолд хойш

а( )=a(tx, ty, tz)= t 2 yzi + t 2 xzj + t 2 xyk,

дараа нь векторуудын скаляр үржвэр а() Мөн r(M)тэнцүү байна

(а( ), r(M))=t 2 (xyz+xyz+xyz)=3t 2 xyz.

Боломжийг хайж байна

Электростатик талбайн аль ч цэг дэх боломжит φ нь энэ цэг дээр байрлуулсан нэгж эерэг цэнэгийн потенциалын энергиэр тодорхойлогддог физик хэмжигдэхүүн юм. Q цэгийн цэнэгийн үүсгэсэн талбайн потенциал нь тэнцүү байна

Потенциал гэдэг нь тухайн талбайн өгөгдсөн цэгээс хязгааргүйд шилжих үед нэгж эерэг цахилгаан цэнэгийг шилжүүлэхэд гүйцэтгэсэн ажлаар тодорхойлогддог физик хэмжигдэхүүн юм. Энэ ажил нь нэгж эерэг цэнэгийг хязгааргүйгээс тухайн талбайн өгөгдсөн цэг рүү шилжүүлэхийн тулд гадны хүчний (электростатик талбайн хүчний эсрэг) хийсэн ажилтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Потенциалын нэгж нь вольт (V): 1 В нь 1 С цэнэг нь 1 Ж потенциал энергитэй байх талбайн цэгийн потенциалтай тэнцүү (1 В = 1 Ж/С). Вольтийн хэмжээсийг харгалзан үзэхэд өмнө нь нэвтрүүлсэн электростатик талбайн хүч чадлын нэгж нь үнэхээр 1 В/м-тэй тэнцүү болохыг харуулж болно: 1 N/C=1 Н м/(С м)=1 Ж/(С). м)=1 В/м.

(3) ба (4) томъёоноос харахад хэрэв талбарыг хэд хэдэн цэнэгээр үүсгэсэн бол цэнэгийн системийн өгөгдсөн талбайн потенциал нь эдгээр бүх цэнэгийн талбайн потенциалын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цахилгаан талбайн аль ч цэг дэх эрчим нь эсрэг тэмдгээр авсан энэ цэг дэх боломжит градиенттай тэнцүү байна. Хасах тэмдэг нь E хүчдэл нь потенциал буурах чиглэлд чиглэгдэж байгааг харуулж байна.

E = - grad phi = - N phi.

Цахилгаан талбайн хүчний шинж чанар - эрч хүч ба түүний энергийн шинж чанар - потенциалын хоорондын холбоог тогтоохын тулд q цэгийн цэнэгийн хязгааргүй бага шилжилт дээрх цахилгаан орны хүчний үндсэн ажлыг авч үзье: dA = q E dl, ижил ажил цэнэгийн потенциал энергийн бууралттай тэнцүү q: dA = - dWп = - q dphi, энд dphi нь шилжилтийн урт dl-ийн цахилгаан орны потенциалын өөрчлөлт юм. Илэрхийллийн баруун талыг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна: E dl = -d phi эсвэл декартын координатын системд.

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

Энд Ex, Ey, Ez нь координатын системийн тэнхлэгүүд дээрх хурцадмал векторын проекцууд юм. Илэрхийлэл нь нийт дифференциал тул эрчим хүчний векторын проекцуудын хувьд бидэнд байна

Хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь боломжит phi-ийн градиент юм.

Талбайн үндсэн өмч болох суперпозиция зарчим. Координат бүхий цэгүүдэд байрлах цэгийн цэнэгийн системээр радиус вектор бүхий цэг дээр үүссэн талбайн хүч ба потенциалын ерөнхий илэрхийлэл (4-р зүйлийг үз).

Хэрэв бид суперпозиция зарчмыг хамгийн ерөнхий утгаар нь авч үзвэл, түүний дагуу бөөмс дээр үйлчилж буй гадны хүчний нөлөөллийн нийлбэр нь тэдгээрийн тус бүрийн утгын нийлбэр байх болно. Энэ зарчим нь янз бүрийн шугаман системд хамаарна, i.e. зан төлөвийг шугаман харилцаагаар тодорхойлж болох системүүд. Жишээ нь шугаман долгион нь тодорхой орчинд тархдаг энгийн нөхцөл байдал байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд долгионоос үүссэн эвдрэлийн нөлөөн дор ч түүний шинж чанар хадгалагдах болно. Эдгээр шинж чанарууд нь эв нэгдэлтэй бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн үр нөлөөний тодорхой нийлбэрээр тодорхойлогддог.

Суперпозиция зарчим нь дээр дурдсантай бүрэн тэнцэх бусад томъёог авч болно.

· Гурав дахь бөөмийг оруулахад хоёр бөөмийн харилцан үйлчлэл өөрчлөгдөхгүй бөгөөд энэ нь мөн эхний хоёртой харилцан үйлчилдэг.

· Олон бөөмсийн систем дэх бүх бөөмсийн харилцан үйлчлэлийн энерги нь ердөө л бүх боломжит хос бөөмсүүдийн хоорондын хос харилцан үйлчлэлийн энергийн нийлбэр юм. Системд олон бөөмсийн харилцан үйлчлэл байдаггүй.

· Олон бөөмсийн системийн зан төлөвийг тодорхойлсон тэгшитгэлүүд нь бөөмсийн тоогоор шугаман байна.

6 Хүчдэлийн векторын эргэлт нь нэг эерэг цэнэгийг L хаалттай зам дагуу хөдөлгөхөд цахилгаан хүчний хийсэн ажил юм.

Хаалттай гогцооны дагуух электростатик талбайн хүчний ажил тэг (боломжийн хүчний ажил) тул хаалттай гогцооны дагуух электростатик талбайн хүч чадлын эргэлт тэг байна.

Талбайн боломж. Цэнэглэгдсэн биеийг нэг цэгээс нөгөөд шилжүүлэхэд аливаа электростатик талбайн ажил нь жигд талбайн ажилтай адил траекторийн хэлбэрээс хамаардаггүй. Хаалттай траекторийн хувьд электростатик талбайн ажил үргэлж тэг байна. Ийм шинж чанартай талбайнуудыг потенциал гэж нэрлэдэг. Ялангуяа цэгийн цэнэгийн электростатик талбар нь боломжит шинж чанартай байдаг.
Боломжит талбайн ажлыг боломжит энергийн өөрчлөлтөөр илэрхийлж болно. Томъёо нь ямар ч электростатик талбайд хүчинтэй.

7-11Хэрэв эрчимтэй жигд цахилгаан орны талбайн шугамууд тодорхой S талбайд нэвтэрч байвал эрчимжилтийн векторын урсгалыг (өмнө нь бид тухайн талбайгаар дамжих талбайн шугамын тоог гэж нэрлэдэг байсан) дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энд En нь векторын үржвэр ба өгөгдсөн талбайн норм (Зураг 2.5).

Цагаан будаа. 2.5

S гадаргуугаар дамжин өнгөрөх хүчний шугамын нийт тоог энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрөх FU эрчмийн векторын урсгал гэж нэрлэдэг.

Вектор хэлбэрээр бид хоёр векторын скаляр үржвэрийг бичиж болно, энд вектор .

Тиймээс векторын урсгал нь скаляр бөгөөд α өнцгийн утгаас хамааран эерэг эсвэл сөрөг байж болно.

Зураг 2.6 ба 2.7-д үзүүлсэн жишээнүүдийг харцгаая.

	Цагаан будаа. 2.6	Цагаан будаа. 2.7

Зураг 2.6-ийн хувьд А1 гадаргуу нь эерэг цэнэгээр хүрээлэгдсэн бөгөөд энд урсгал нь гадагш чиглэсэн, өөрөөр хэлбэл. А2 гадаргуу нь сөрөг цэнэгээр хүрээлэгдсэн, энд дотогшоо чиглэсэн байдаг. А гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал тэг байна.

Зураг 2.7-ийн хувьд гадаргуугийн доторх нийт цэнэг тэг биш бол урсгал нь тэг болохгүй. Энэ тохиргооны хувьд А гадаргуугаар дамжих урсгал нь сөрөг байна (талбайн шугамын тоог тоол).

Тиймээс хүчдэлийн векторын урсгал нь цэнэгээс хамаарна. Энэ бол Остроградский-Гаусын теоремын утга юм.

Гауссын теорем

Туршилтаар тогтоосон Кулоны хууль ба суперпозицийн зарчим нь вакуум дахь өгөгдсөн цэнэгийн системийн электростатик талбайг бүрэн дүрслэх боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч цахилгаан статик талбайн шинж чанарыг цэгийн цэнэгийн Кулоны талбайн санааг ашиглахгүйгээр өөр, илүү ерөнхий хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Цахилгаан талбайн хүчийг тодорхойлдог шинэ физик хэмжигдэхүүнийг танилцуулъя - цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгалын Φ. Цахилгаан орон үүссэн орон зайд нэлээд жижиг ΔS талбай байг. Векторын модулийн үржвэрийг ΔS талбай ба вектор ба сайтын норм хоорондын α өнцгийн косинусын үржвэрийг ΔS сайтаар дамжин өнгөрөх эрчимжилтийн векторын элементар урсгал гэж нэрлэдэг (Зураг 1.3.1).

Одоо зарим дурын битүү гадаргууг авч үзье S. Хэрэв бид энэ гадаргууг ΔSi жижиг хэсгүүдэд хувааж, эдгээр жижиг хэсгүүдээр дамжин өнгөрөх талбайн ΔΦi элементар урсгалыг тодорхойлж, дараа нь нэгтгэн дүгнэвэл үр дүнд нь бид ΔSi-ийн урсгалыг олж авна. хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх вектор S (Зураг 1.3.2 ):

Гауссын теорем нь:

Дурын хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан статик талбайн хүч чадлын векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн дотор байрлах цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг цахилгаан тогтмол ε0-д хуваасантай тэнцүү байна.

Энд R нь бөмбөрцгийн радиус юм. Бөмбөрцөг гадаргуугаар дамжин өнгөрөх Φ урсгал нь E ба бөмбөрцгийн талбайн 4πR2-ийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Тиймээс,

Одоо цэгийн цэнэгийг дурын битүү S гадаргуугаар хүрээлж, R0 радиустай туслах бөмбөрцгийг авч үзье (Зураг 1.3.3).

Оройн хэсэгт ΔΩ жижиг хатуу өнцөгтэй конусыг авч үзье. Энэ конус нь бөмбөрцөг дээрх жижиг ΔS0 талбайг, S гадаргуу дээрх ΔS талбайг тодруулна. Эдгээр хэсгүүдээр дамжин өнгөрөх ΔΦ0 ба ΔΦ энгийн урсгалууд ижил байна. Үнэхээр,

Үүнтэй адилаар, хэрэв битүү гадаргуу S нь цэгийн цэнэгийг хамрахгүй бол урсгал Φ = 0. Ийм тохиолдлыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.3.2. Цэгэн цэнэгийн цахилгаан талбайн бүх хүчний шугамууд S хаалттай гадаргууг нэвтлэн нэвтэрнэ. S гадаргуу дотор цэнэг байхгүй тул энэ бүсэд талбайн шугамууд тасрахгүй, үүсэхгүй.

Гауссын теоремыг дурын цэнэгийн тархалтын тохиолдлыг нэгтгэх нь суперпозиция зарчмаас үүдэлтэй. Аливаа цэнэгийн тархалтын талбарыг цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн вектор нийлбэрээр илэрхийлж болно. Дурын хаалттай S гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цэнэгийн системийн урсгалын Φ нь тусдаа цэнэгийн цахилгаан талбайн Φi урсгалуудын нийлбэр болно. Хэрэв qi цэнэг нь S гадаргуугийн дотор байвал энэ цэнэг гадаргуугаас гадуур байвал урсгалд хувь нэмэр оруулдаг бол түүний цахилгаан талбайн урсгалд оруулах хувь нэмэр тэгтэй тэнцүү байна.

Ийнхүү Гауссын теорем батлагдлаа.

Гауссын теорем нь Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмын үр дагавар юм. Гэхдээ хэрэв бид энэ теоремд агуулагдсан мэдэгдлийг анхны аксиом гэж үзвэл түүний үр дагавар Кулоны хууль болно. Тиймээс Гауссын теоремыг заримдаа Кулоны хуулийн өөр томъёолол гэж нэрлэдэг.

Гауссын теоремыг ашиглан зарим тохиолдолд өгөгдсөн цэнэгийн тархалт тодорхой тэгш хэмтэй, талбайн ерөнхий бүтцийг урьдчилан таамаглах боломжтой бол цэнэглэгдсэн биеийн эргэн тойрон дахь цахилгаан орны хүчийг хялбархан тооцоолох боломжтой.

Жишээ нь, R радиустай нимгэн ханатай, хөндий, жигд цэнэглэгдсэн урт цилиндрийн талбайг тооцоолох асуудал юм. Энэ асуудал нь тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байна. Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас цахилгаан орон нь радиусын дагуу чиглэгдэх ёстой. Иймд Гауссын теоремыг хэрэглэхийн тулд r радиустай, l урттай коаксиаль цилиндр хэлбэртэй, хоёр төгсгөлд хаалттай S битүү гадаргууг сонгох нь зүйтэй (Зураг 1.3.4).

R ≥ R-ийн хувьд эрчмийн векторын бүх урсгал нь цилиндрийн хажуугийн гадаргуугаар дамжин өнгөрөх бөгөөд түүний талбай нь 2πrl-тэй тэнцүү, учир нь хоёр суурийн урсгал нь тэг юм. Гауссын теоремыг хэрэглэх нь:

Энэ үр дүн нь цэнэглэгдсэн цилиндрийн R радиусаас хамаарахгүй тул урт жигд цэнэглэгдсэн судлын талбарт мөн хамаарна.

Цэнэглэгдсэн цилиндр доторх талбайн хүчийг тодорхойлохын тулд r тохиолдолд хаалттай гадаргууг барих шаардлагатай.< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Үүнтэй адилаар цахилгаан талбайг тодорхойлохын тулд Гауссын теоремыг ашиглан цэнэгийн хуваарилалт нь ямар нэгэн тэгш хэмтэй, жишээлбэл, төв, хавтгай эсвэл тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байдаг. Эдгээр тохиолдол бүрт тохирох хэлбэрийн хаалттай Гауссын гадаргууг сонгох шаардлагатай. Жишээлбэл, төвийн тэгш хэмийн хувьд тэгш хэмийн цэг дээр төвтэй бөмбөрцөг хэлбэртэй Гауссын гадаргууг сонгох нь тохиромжтой. Тэнхлэгийн тэгш хэмийн хувьд хаалттай гадаргууг коаксиаль цилиндр хэлбэрээр сонгох ёстой бөгөөд хоёр төгсгөлд хаалттай байх ёстой (дээр дурдсан жишээн дээрх шиг). Хэрэв цэнэгийн тархалт нь тэгш хэмгүй, цахилгаан талбайн ерөнхий бүтцийг тааварлах боломжгүй бол Гауссын теоремыг ашиглах нь талбайн хүчийг тодорхойлох асуудлыг хялбарчилж чадахгүй.

Тэгш хэмтэй цэнэгийн хуваарилалтын өөр нэг жишээг авч үзье - жигд цэнэглэгдсэн онгоцны талбарыг тодорхойлох (Зураг 1.3.5).

Энэ тохиолдолд Гауссын гадаргуугийн S-ийг хоёр төгсгөлд хаалттай, тодорхой урттай цилиндр хэлбэрээр сонгох нь зүйтэй. Цилиндрийн тэнхлэг нь цэнэглэгдсэн хавтгайд перпендикуляр чиглэсэн бөгөөд түүний төгсгөлүүд нь түүнээс ижил зайд байрладаг. Тэгш хэмийн улмаас жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбар нь хаа сайгүй хэвийн дагуу чиглэгдэх ёстой. Гауссын теоремыг хэрэглэх нь:

Энд σ нь гадаргуугийн цэнэгийн нягт, өөрөөр хэлбэл нэгж талбайд ногдох цэнэг юм.

Нэг жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн цахилгаан талбайн илэрхийлэл нь хязгаарлагдмал хэмжээтэй хавтгай цэнэглэгдсэн талбайн хувьд мөн хамаарна. Энэ тохиолдолд талбайн хүчийг тодорхойлох цэгээс цэнэглэгдсэн хэсэг хүртэлх зай нь тухайн талбайн хэмжээнээс хамаагүй бага байх ёстой.

Мөн 7-11 цагийн хуваарь

1. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуугаас үүссэн цахилгаан статик талбайн эрчим.

R радиустай бөмбөрцөг гадаргуу (Зураг 13.7) жигд тархсан q цэнэгийг авч явцгаая, өөрөөр хэлбэл. Бөмбөрцгийн аль ч цэг дээрх гадаргуугийн цэнэгийн нягт ижил байна.

а. Бөмбөрцөг гадаргууг r>R радиустай тэгш хэмтэй S гадаргууд оруулъя. S гадаргуугаар дамжих суналтын векторын урсгал нь тэнцүү байх болно

Гауссын теоремоор

Тиймээс

в. Цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуу дотор байрлах B цэгээр r радиустай S бөмбөрцөг зуръя

2. Бөмбөгний цахилгаан статик талбай.

Эзлэхүүний нягтралтай жигд цэнэглэгдсэн R радиустай бөмбөгтэй болгоё.

Бөмбөгний гадна байрлах ямар ч цэгийн A нь төвөөсөө r зайд (r>R) түүний талбай нь бөмбөгний төвд байрлах цэгийн цэнэгийн талбайтай төстэй байна. Дараа нь бөмбөгнөөс гарна

(13.10)

ба түүний гадаргуу дээр (r=R)

(13.11)

Бөмбөлөгний төвөөс r зайд (r>R) байрлах В цэгт талбай нь зөвхөн r радиустай бөмбөрцөг доторх цэнэгээр тодорхойлогдоно. Энэ бөмбөрцөгөөр дамжих хүчдэлийн векторын урсгал нь тэнцүү байна

нөгөө талаас Гауссын теоремын дагуу

Сүүлийн илэрхийллүүдийн харьцуулалтаас харахад дараах байдалтай байна

(13.12)

Бөмбөлөг доторх диэлектрик тогтмол хаана байна. Бөмбөлөгний төв хүртэлх зайнаас цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг үүсгэсэн талбайн хүчээс хамаарлыг (Зураг 13.10) үзүүлэв.

Онгоц хязгааргүй хэмжээтэй байх ба нэгж талбайн цэнэгийг σ-тэй тэнцүү болго. Тэгш хэмийн хуулиас харахад талбар нь хавтгайд перпендикуляр хаа сайгүй чиглэгддэг бөгөөд хэрэв өөр гадны цэнэг байхгүй бол онгоцны хоёр талын талбарууд ижил байх ёстой. Цэнэглэгдсэн хавтгайн нэг хэсгийг төсөөлж буй цилиндр хайрцагт хязгаарлаж, хайрцгийг хагасаар нь зүсэж, бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь перпендикуляр, тус бүр нь S талбайтай хоёр суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель байна (Зураг 1.10).

Нийт вектор урсгал; хурцадмал байдал нь векторыг эхний суурийн S талбайгаар үржүүлсэнтэй тэнцүү ба векторын эсрэг талын суурийн урсгалыг нэмсэн. Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугаар дамжих хүчдэлийн урсгал нь тэг, учир нь хурцадмал шугамууд нь тэдгээрийг огтолдоггүй. Тиймээс, Нөгөө талаас Гауссын теоремын дагуу

Тиймээс,

(13.15)

Хавтангийн гадна талд тус бүрийн векторууд нь эсрэг чиглэлд чиглэгдэж, бие биенээ цуцалдаг. Тиймээс ялтсуудыг тойрсон орон зай дахь талбайн хүч нь тэг E=0 байна.

12. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн талбар.

Цэнэгээрээ цахилгаан орон үүсгэгээрэй Q, радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу дээр жигд тархсан Р(Зураг 190). Холын зайд байрлах дурын цэг дээрх талбайн потенциалыг тооцоолох rбөмбөрцгийн төвөөс нэгж эерэг цэнэгийг өгөгдсөн цэгээс хязгааргүй рүү шилжүүлэх үед талбайн гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоолох шаардлагатай. Өмнө нь бид түүний гаднах жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн талбайн хүч нь бөмбөрцгийн төвд байрлах цэгийн цэнэгийн талбайтай тэнцүү болохыг баталж байсан. Иймээс бөмбөрцгийн гадна талбарын потенциал нь цэгийн цэнэгийн талбайн потенциалтай давхцах болно.

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Ялангуяа бөмбөрцгийн гадаргуу дээр потенциал нь тэнцүү байна φ 0=Q 4πε 0Р. Бөмбөрцөг дотор цахилгаан статик орон байхгүй тул бөмбөрцөг дотор байрлах дурын цэгээс цэнэгийг гадаргуу руу шилжүүлэхэд хийсэн ажил тэг болно. А= 0, тиймээс эдгээр цэгүүдийн хоорондох потенциалын зөрүү нь мөн тэг Δ байна φ = -А= 0. Иймээс бөмбөрцөг доторх бүх цэгүүд нь түүний гадаргуугийн потенциалтай давхцаж ижил потенциалтай байна. φ 0=Q 4πε 0Р .

Тиймээс жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн талбайн потенциалын тархалт нь хэлбэртэй байна (Зураг 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0Р, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>Р . (2)

Бөмбөрцөг дотор талбар байхгүй, боломж нь тэг биш гэдгийг анхаарна уу! Энэ жишээ нь тухайн цэгээс хязгааргүй хүртэлх талбайн үнэ цэнээр потенциал тодорхойлогддогийн тод жишээ юм.