судалгаа, эхлэл нь жижиг долгионтой төстэй бөгөөд дараа нь систолын өсөлт ажиглагдаж байна. Жижиг долгион нь ихэвчлэн тосгуурын агшилтыг илтгэдэг. Өгсөх эхлэл нь аорт руу цусыг гадагшлуулах эхлэлтэй давхцдаг. Үүнтэй ижил соронзон хальс дээр та хагас сарны хавхлагыг хаах дохио болох өөр дээд оргилыг харж болно. Хамгийн их өсөлтийн өгөгдсөн сегментийн хэлбэр нь нэлээд олон янз байж болох бөгөөд энэ нь өөр өөр үр дүнд хүргэдэг. энэ судалгаа. Хамгийн их өсөлтийн дараа муруйн уналт байдаг бөгөөд энэ нь төгсгөл хүртэл үргэлжилдэг. Оройн кардиограммын энэ сегмент нь митрал хавхлагын нээлтийн хамт дагалддаг. Үүний дараа долгион бага зэрэг нэмэгддэг. Энэ нь хурдан дүүргэх хугацааг харуулж байна. Муруйн үлдсэн хэсгийг бүхэлд нь ховдолын идэвхгүй дүүргэх хугацаа гэж тодорхойлдог. Баруун ховдолын ийм үзлэг нь эмгэгийн эмгэгийг илтгэж болно.

Тригонометр бол тригонометрийн функц, тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн функцийг янз бүрийн өнцөг, гурвалжин, үечилсэн функцүүдийн шинж чанарыг тодорхойлоход ашигладаг. Тригонометрийг судлах нь эдгээр шинж чанарыг ойлгоход тусална. Сургуулийн үйл ажиллагаа болон бие даасан ажилТригонометрийн үндсийг эзэмшиж, олон үечилсэн үйл явцыг ойлгоход тусална.

Алхам

Тригонометрийн үндсийг сур

Гурвалжингийн тухай ойлголттой танилц.Үндсэндээ тригонометр бол гурвалжин дахь янз бүрийн харилцааг судалдаг шинжлэх ухаан юм. Гурвалжин гурван тал, гурван өнцөгтэй. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градус байна. Тригонометрийг судлахдаа гурвалжин болон холбогдох ойлголтуудыг мэддэг байх хэрэгтэй, тухайлбал:

• гипотенуз - хамгийн урт тал зөв гурвалжин;
• мохоо өнцөг - 90 градусаас дээш өнцөг;
• хурц өнцөг - 90 градусаас бага өнцөг.

1. Нэгж тойрог барьж сур.Нэгж тойрог нь гипотенуз нэгтэй тэнцүү байхаар ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах боломжтой болгодог. Энэ нь синус, косинус зэрэг тригонометрийн функцуудтай ажиллахад хэрэгтэй. Нэгж тойргийг эзэмшсэний дараа та тодорхой өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг хялбархан олж, эдгээр өнцөг бүхий гурвалжинтай холбоотой асуудлыг шийдэж чадна.

   • Жишээ 1. 30 градусын өнцгийн синус 0.50 байна. Энэ нь өгөгдсөн өнцгийн эсрэг талын хөлний урт нь гипотенузын уртын хагастай тэнцүү байна гэсэн үг юм.
   • Жишээ 2. Энэ хамаарлыг ашиглан 30 градусын өнцөгтэй гурвалжны гипотенузын уртыг тооцоолж, энэ өнцгийн эсрэг талын хөлний урт нь 7 сантиметр байна. Энэ тохиолдолд гипотенузын урт нь 14 сантиметр болно.

2. Тригонометрийн функцуудтай танилц.Тригонометрийг сурахдаа мэдэх шаардлагатай зургаан үндсэн тригонометрийн функц байдаг. Эдгээр функцууд нь тэгш өнцөгт гурвалжны өөр талуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг бөгөөд аливаа гурвалжны шинж чанарыг ойлгоход тусалдаг. Эдгээр зургаан функц нь:

   • синус (нүгэл);
   • косинус (cos);
   • шүргэгч (тг);
   • секант (сек);
   • косекант (косек);
   • котангенс (ctg).

3. Функцуудын хоорондын хамаарлыг санаарай.Тригонометрийг сурахдаа бүх тригонометрийн функцууд хоорондоо холбоотой гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм. Хэдийгээр синус, косинус, тангенс болон бусад функцуудыг янз бүрээр ашигладаг боловч тэдгээрийн хооронд тодорхой харилцаа холбоо байдаг тул өргөн хэрэглэгддэг. Эдгээр харилцааг нэгж тойргийг ашиглан ойлгоход хялбар байдаг. Ашиглаж сур нэгж тойрог, мөн түүний дүрсэлсэн харилцааны тусламжтайгаар та олон асуудлыг шийдэж чадна.

   Тригонометрийн хэрэглээ

   1. Тригонометрийг ашигладаг шинжлэх ухааны гол салбаруудын талаар олж мэдээрэй.Тригонометр нь математик болон бусад олон салбарт ашигтай байдаг нарийн шинжлэх ухаан. Тригонометрийн тусламжтайгаар та өнцөг ба шулуун сегментүүдийн утгыг олох боломжтой. Үүнээс гадна тригонометрийн функцууд нь ямар ч мөчлөгт үйл явцыг дүрслэх боломжтой.

      • Жишээлбэл, пүршний хэлбэлзлийг синусын функцээр тодорхойлж болно.

   2. Багц процессын талаар бод.Заримдаа математик болон бусад шинжлэх ухааны хийсвэр ойлголтуудыг ойлгоход хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч тэд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцөд байдаг бөгөөд энэ нь тэднийг ойлгоход хялбар болгодог. Эргэн тойрон дахь үе үе үзэгдлүүдийг сайтар ажиглаж, тэдгээрийг тригонометртэй холбохыг хичээ.

      • Сар нь урьдчилан таамаглах боломжтой мөчлөгтэй бөгөөд ойролцоогоор 29.5 хоног үргэлжилдэг.

   3. Байгалийн мөчлөгийг хэрхэн судалж болохыг төсөөлөөд үз дээ.Байгальд үе үе олон үйл явц байдгийг ойлгосны дараа эдгээр үйл явцыг хэрхэн судлах талаар бодож үзээрэй. График дээр ийм үйл явц хэрхэн харагдахыг оюун ухаанаараа төсөөл. График ашиглан та ажиглагдсан үзэгдлийг дүрсэлсэн тэгшитгэл үүсгэж болно. Энд тригонометрийн функцууд хэрэгтэй болно.

      • Далайн эрэг дээрх далайн түрлэгийг төсөөлөөд үз дээ. Өндөр түрлэгийн үед ус тодорхой түвшинд хүрч, дараа нь түрлэг ирж, усны түвшин буурдаг. Бага далайн түрлэгийн дараа дахин далайн түрлэг гарч, усны түвшин нэмэгддэг. Энэхүү мөчлөгт үйл явц нь тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилж болно. Үүнийг косинус гэх мэт тригонометрийн функцээр тодорхойлж болно.

   Материалыг урьдчилан судал

   1. Холбогдох хэсгийг уншина уу.Зарим хүмүүс тригонометрийн ойлголтыг анх удаа ойлгоход хэцүү байдаг. Хэрэв та хичээл эхлэхээс өмнө холбогдох материалтай танилцвал илүү сайн ойлгох болно. Судалж буй сэдвээ илүү олон удаа давтаж үзээрэй - ингэснээр та өөр өөр ойлголтууд болон тригонометрийн ойлголтуудын хоорондын харилцааг олж мэдэх болно.

      • Үүнээс гадна, энэ нь тодорхой бус цэгүүдийг урьдчилан тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

   2. Тэмдэглэл авах.Сурах бичгийг гүйлгэж үзэх нь юу ч биш байснаас дээр ч тригонометрийг сурах нь удаан, сайтар бодож уншихыг шаарддаг. Аливаа хэсгийг судлахдаа нарийвчилсан тэмдэглэл хөтөл. Тригонометрийн мэдлэг аажмаар хуримтлагддаг гэдгийг санаарай шинэ материалӨмнө нь сурсан зүйл дээрээ тулгуурладаг тул өмнө нь үзсэн зүйлээ тэмдэглэж авах нь таныг урагшлахад тусална.

      • Бусад зүйлсийн дотор багшаасаа асууж болох бүх асуултаа бичээрэй.

   3. Сурах бичигт өгөгдсөн бодлогуудыг шийдвэрлэх.Тригонометр нь танд хялбар байсан ч гэсэн та асуудлыг шийдэх хэрэгтэй. Сурсан материалаа үнэхээр ойлгож байгаа эсэхийг шалгахын тулд хичээл эхлэхээс өмнө хэд хэдэн асуудлыг шийдэж үзээрэй. Хэрэв танд үүнтэй холбоотой асуудал гарвал хичээлийн үеэр яг юуг олж мэдэх хэрэгтэйг тодорхойлох болно.

      • Олон сурах бичиг төгсгөлд нь асуудлын хариултыг өгдөг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та асуудлыг зөв шийдсэн эсэхээ шалгаж болно.

   4. Хичээлдээ хэрэгтэй бүх зүйлээ авчир.Тэмдэглэл, асуудлын шийдлийг бүү мартаарай. Эдгээр материалууд нь өмнө нь үзсэн зүйлийнхээ талаар санах ойг сэргээж, материалыг судлахад урагшлахад тусална. Мөн сурах бичгийг урьдчилан унших явцад гарч ирсэн асуултуудыг тодруулна уу.

Бусад хэсгүүд

Үг "тригонометр" Германы теологич, математикч Питискусын номны гарчигнаас анх олдсон (1505). Энэ үгийн гарал үүсэл нь Грек хэлнээс гаралтай: xpiyrovov - гурвалжин, tsetreso - хэмжүүр. Өөрөөр хэлбэл тригонометр бол гурвалжныг хэмжих шинжлэх ухаан юм. Хэдийгээр энэ нэр харьцангуй саяхан гарч ирсэн ч одоо тригонометртэй холбоотой олон ойлголт, баримтууд хоёр мянган жилийн өмнө мэдэгдэж байсан.

Энэхүү үзэл баримтлал нь урт удаан түүхтэйсинус Үнэн хэрэгтээ гурвалжин ба тойргийн сегментүүдийн янз бүрийн харьцаа (мөн үндсэндээ тригонометрийн функцууд) 3-р зуунд аль хэдийн олдсон. МЭӨ д. агуу математикчдын бүтээлүүдэд Эртний Грек- Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус. Ромын үед эдгээр харилцааг Менелаус (МЭ 1-р зуун) нэлээд системтэйгээр судалж байсан боловч тусгай нэр аваагүй байв.

Дараагийн үед математик урт хугацаандЭнэтхэг, Арабын эрдэмтэд хамгийн идэвхтэй боловсруулсан. IV-V зуунд. Ялангуяа Энэтхэгийн агуу эрдэмтэн Арьябхатагийн (476 - ойролцоогоор 550) одон орон судлалын бүтээлүүдэд тусгай нэр томъёо гарч ирсэн бөгөөд дэлхийн анхны Энэтхэгийн хиймэл дагуулыг түүний нэрээр нэрлэжээ. Тэрээр сегментийг ardhajiva гэж нэрлэсэн.

Хожим нь жива хэмээх богино нэрийг авсан. 9-р зууны Арабын математикчид. Жива (эсвэл жиба) гэдэг үгийг араб хэлний жаиб (гүдгэр) гэсэн үгээр сольсон. 12-р зуунд араб математикийн бичвэрүүдийг орчуулахдаа. энэ үгийг латинаар сольсонсинус (синус - нугалах, муруйлт).

Косинус гэдэг үг хамаагүй залуу.Косинус Энэ нь "нэмэлт синус" гэсэн латин хэллэгийн товчлол юм (эсвэл "нэмэлт нумын синус"; cos a = sin (90° - a) гэдгийг санаарай).

Шүргэх сүүдрийн уртыг тодорхойлох асуудлыг шийдэхтэй холбогдуулан үүссэн. Тангенс (түүнчлэн котангенс, секант, косекант) 10-р зуунд нэвтэрсэн. Арабын математикч Абул-Вафа, тангенс ба котангенс олох анхны хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Гэсэн хэдий ч эдгээр нээлтүүд Европын эрдэмтдэд удаан хугацааны туршид мэдэгдээгүй бөгөөд 14-р зуунд шүргэгч дахин нээгдэв. эхлээд Английн эрдэмтэн Т.Бравердин, дараа нь Германы математикч, одон орон судлаач Региомонтанус (1467).

Латин tanger (хүрэх) гэсэн үгнээс гаралтай "шүргэх" нэр нь 1583 онд гарч ирсэн. Тангенсыг "хүрэх" гэж орчуулдаг (шүргэх шугам нь нэгж тойрогт шүргэгч юм).

Орчин үеийн тэмдэглэгээarcsin болон arctg 1772 онд Венийн математикч Шерфер, Францын нэрт эрдэмтэн Лагранж нарын бүтээлүүдэд гарч ирсэн ч арай эрт Ж.Бернулли өөр өөр бэлгэдэл ашигласан гэж үздэг байсан. Гэхдээ эдгээр тэмдэглэгээг зөвхөн тухайн үед нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн XVIII сүүлолон зуун. "Нум" угтвар нь Латин хэлнээс гаралтай нум(нум, нум) нь ойлголтын утгатай нэлээд нийцдэг: arcsin x нь жишээлбэл, синус нь x-тэй тэнцүү өнцөг (мөн нум гэж хэлж болно) юм.

Удаан хугацааны туршид тригонометр нь геометрийн нэг хэсэг болгон хөгжиж ирсэн. Тригонометрийг хөгжүүлэх хамгийн том хөшүүрэг нь практик сонирхол ихтэй байсан одон орон судлалын асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой (жишээлбэл, хөлөг онгоцны байршлыг тодорхойлох, хиртэлтийг урьдчилан таамаглах гэх мэт) үүссэн байж магадгүй юм.

Одон орон судлаачид бөмбөрцөг дээр байрлах том тойргуудаас бүрдэх бөмбөрцөг гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг сонирхож байв.

Ямар ч байсан геометрийн хэлбэрээр тригонометрийн олон томьёог эртний Грек, Энэтхэг, Арабын математикчид нээж, дахин нээжээ. (Үнэн, тригонометрийн функцүүдийн ялгааны томъёог зөвхөн 17-р зуунд мэддэг болсон - тэдгээрийг Английн математикч Напиер тригонометрийн функцээр тооцооллыг хялбарчлах зорилгоор гаргаж авсан. Мөн синус долгионы анхны зураг 1634 онд гарч ирэв.)

К.Птолемейгийн синусын анхны хүснэгтийг эмхэтгэсэн нь (удаан хугацаанд үүнийг хөвчний хүснэгт гэж нэрлэдэг байсан) үндсэн ач холбогдолтой байсан: хэрэглээний хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэх практик хэрэгсэл, юуны түрүүнд одон орон судлалын асуудлууд гарч ирэв.

Тригонометрийн орчин үеийн хэлбэрийг 18-р зууны хамгийн агуу математикч өгсөнЛ . Эйлер(1707-1783), Швейцарь гаралтай, Орост олон жил ажилласан, Санкт-Петербургийн ШУА-ийн гишүүн байжээ. Анх Эйлер тригонометрийн функцүүдийн сайн мэддэг тодорхойлолтыг танилцуулж, дурын өнцгийн функцийг авч үзэж, багасгах томъёог олж авсан хүн юм. Энэ бүхэн юуны багахан хэсэг юм урт удаан амьдралЭйлер математикийн чиглэлээр маш их зүйлийг хийж чадсан: тэрээр 800 гаруй нийтлэл бичиж, математикийн янз бүрийн чиглэлээр сонгодог болсон олон теоремуудыг нотолсон. (1776 онд Эйлер хараагүй болсон ч гэсэн сүүлийн өдрүүдулам олон шинэ бүтээл туурвисаар байв.)

Эйлерийн дараа тригонометр нь тооцооллын хэлбэрийг олж авсан: тригонометрийн томъёог албан ёсоор хэрэглэх замаар янз бүрийн баримтууд нотлогдож эхэлсэн бөгөөд нотолгоо нь илүү нягт, хялбар болсон.

Тригонометрийн хамрах хүрээ нь математикийн төрөл бүрийн салбарууд, байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн зарим хэсгийг хамардаг.

Тригонометрийн хэд хэдэн төрөл байдаг:

Бөмбөрцөг тригонометр нь бөмбөрцөг гурвалжны судалгааг авч үздэг.


Шулуун буюу хавтгай тригонометр нь ихэвчлэн гурвалжинг судалдаг.

Эртний Грек, Эллинист эрдэмтэд тригонометрийг ихээхэн хөгжүүлсэн. Гэсэн хэдий ч Евклид, Архимед нарын бүтээлүүдэд тригонометрийг танилцуулсан болно геометрийн хэлбэр. Хөвчний уртын теоремуудыг синусын хуулиудад хэрэглэнэ. Архимедийн хөвчийг хуваах теорем нь нийлбэр ба өнцгийн зөрүүний синусын томъёотой тохирч байна.

Одоогийн байдлаар математикчид мэдэгдэж буй теоремуудын шинэ тэмдэглэгээг ашиглаж байна, жишээлбэл, sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Анхны тригонометрийн хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн гэж таамаглаж байна Никеагийн Гиппарх"Тригонометрийн эцэг" гэж зүй ёсоор тооцогддог. Тэрээр хэд хэдэн өнцгийн нуман ба хөвчний хэмжигдэхүүнүүдийн хураангуй хүснэгтийг бүтээсэн гавьяатай. Түүгээр ч барахгүй 360°-ийн тойргийг анх ашиглаж эхэлсэн хүн бол Никеагийн Гиппарх юм.

Клаудиус Птолемей Гиппархын сургаалийг ихээхэн хөгжүүлж, өргөжүүлсэн. Птолемейгийн теорем Цикл дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэр нь диагональуудын үржвэртэй тэнцүү байна. Птолемейгийн теоремын үр дагавар нь синус ба косинусын дөрвөн нийлбэр ба ялгааны томьёоны эквивалентыг ойлгох явдал байв. Нэмж дурдахад Птолемей хагас өнцгийн томъёог гаргаж авсан. Птолемей тригонометрийн хүснэгтийг эмхэтгэхдээ бүх үр дүнг ашигласан. Харамсалтай нь Гиппарх, Птолемей нарын жинхэнэ тригонометрийн хүснэгт өнөөг хүртэл хадгалагдаагүй байна.

Тригонометрийн тооцоолол нь геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт хэрэглээгээ олсон.
Тригонометрийн (гурвалжингийн техник) ашиглан та оддын хоорондох зай, газарзүйн тэмдэглэгээний хоорондох зайг хэмжиж, хиймэл дагуулын навигацийн системийг удирдах боломжтой.

Тригонометрийг навигацийн технологи, хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалын онол, статистик, биологи ба анагаах ухаан, хими ба тооны онол (криптографи), газар хөдлөлт судлал, цаг уур, далай судлал, зураг зүй, газарзүйн шинжлэх ухаанд амжилттай ашигладаг. мөн геодези, архитектур ба фонетик, механик инженерчлэл ба компьютер графикд.

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

дундаж иж бүрэн сургууль №10

бие даасан сэдвүүдийг гүнзгийрүүлэн судлах замаар

Төсөл дууссан:

Павлов Роман

10б ангийн сурагч

Удирдагч:

математикийн багш

Болдырева Н.А

Елец, 2012 он

1. Танилцуулга.

3. Тригонометрийн ертөнц.

· Физикийн тригонометр.

· Планиметрийн тригонометр.

· Урлаг, архитектур дахь тригонометр.

· Анагаах ухаан, биологийн тригонометр.

3.2 "Бяцхан сонирхолтой" тригонометрийн функцуудыг анхны муруй болгон хувиргах график дүрслэл (ашиглах). компьютерийн программ"Функц ба график").

· Туйлын координат дахь муруй (Rosettes).

· Декарт координат дахь муруй (Lissajous Curves).

· Математикийн гоёл чимэглэл.

4. Дүгнэлт.

5. Ашигласан материалуудын жагсаалт.

Төслийн зорилго - алгебрийн хичээл дээр "Тригонометр" сэдвийг судлах сонирхлыг хөгжүүлэх, судалж буй материалын хэрэглээний утгын призмээр дүн шинжилгээ хийх эхлэл; тригонометрийн функцуудыг агуулсан график дүрслэлийг өргөжүүлэх; физик, биологи зэрэг шинжлэх ухаанд тригонометрийн хэрэглээ. Энэ нь анагаах ухаанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд хамгийн сонирхолтой нь хөгжим, архитектур хүртэл үүнгүйгээр хийж чадахгүй.

Судалгааны объект - тригонометр

Судалгааны сэдэв - тригонометрийн хэрэглээний чиглэл; тригонометрийн томъёог ашиглан зарим функцийн график.

Судалгааны зорилго:

1. Тригонометрийн үүсэл хөгжлийн түүхийг авч үзье.

2. Төрөл бүрийн шинжлэх ухаанд тригонометрийн практик хэрэглээг тодорхой жишээн дээр харуулах.

3. Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан тригонометрийн функцийг ашиглах боломжийг илчлээрэй, энэ нь "бяцхан сонирхолтой" функцуудыг график нь маш анхны дүр төрхтэй функц болгон хувиргах боломжийг олгодог.

Таамаглал - таамаглал: Тригонометрийн гадаад ертөнцтэй холбоо, олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тригонометрийн ач холбогдол практик асуудлууд, тригонометрийн функцүүдийн график чадвар нь сургуулийн сурагчдын мэдлэгийг "материалжуулах" боломжийг олгодог. Энэ нь тригонометрийг судлах замаар олж авсан мэдлэгийн амин чухал хэрэгцээг илүү сайн ойлгох боломжийг олгодог бөгөөд энэ сэдвийг судлах сонирхлыг нэмэгдүүлдэг.

Судалгааны аргууд - энэ сэдвээр математикийн уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх; энэ сэдвээр тусгай хэрэглээний даалгавруудыг сонгох; компьютерийн загварчлалкомпьютерийн програм дээр суурилсан. Нээлттэй математик "Функц ба график" (Физикон).

1. Танилцуулга

“Нэг зүйл тодорхой хэвээр байна: дэлхий бүтэцтэй

аймшигтай, үзэсгэлэнтэй."

Н.Рубцов

Тригонометр бол гурвалжны өнцөг ба хажуугийн урт хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар бөгөөд тригонометрийн функцүүдийн алгебрийн ижил төстэй байдлыг судалдаг. Төсөөлөхөд бэрх ч бид энэ шинжлэх ухаантай зөвхөн математикийн хичээл дээр төдийгүй бидний хичээл дээр ч тааралддаг. Өдөр тутмын амьдрал. Та үүнийг сэжиглэж байгаагүй байх, гэхдээ тригонометр нь физик, биологи гэх мэт шинжлэх ухаанд байдаг, анагаах ухаанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг, хамгийн сонирхолтой нь хөгжим, архитектур хүртэл үүнгүйгээр хийж чадахгүй. Чухал үүрэгПрактик агуулгын асуудал нь математикийн хичээлээс олж авсан онолын мэдлэгийг практикт хэрэгжүүлэх чадварыг хөгжүүлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Математикийн оюутан бүр олж авсан мэдлэгээ хаана, хэрхэн ашиглахыг сонирхож байна. Энэхүү ажил нь энэ асуултын хариултыг өгдөг.

2. Тригонометрийн хөгжлийн түүх.

Үг тригонометр Энэ нь τρίγονον (тригонон-гурвалжин) ба μετρειν (metrein - хэмжих) гэсэн хоёр грек үгнээс бүтсэн. шууд орчуулгагэсэн үг гурвалжин хэмжих.

Энэ нь яг ийм даалгавар юм - гурвалжныг хэмжих эсвэл одоогийн хэлснээр гурвалжинг шийдэх, өөрөөр хэлбэл гурвалжны бүх тал ба өнцгийг түүний гурван мэдэгдэж буй элементээс (тал ба хоёр өнцөг, хоёр тал ба өнцөг, гурван тал) тодорхойлох. - Эрт дээр үеэс энэ нь тригонометрийн практик хэрэглээний үндэс болсон.

Бусад шинжлэх ухааны нэгэн адил тригонометр нь тодорхой практик асуудлыг шийдвэрлэх явцад хүний ​​практикт үүссэн. Тригонометрийн хөгжлийн эхний үе шатууд нь одон орон судлалын хөгжилтэй нягт холбоотой байдаг. Одон орон судлал ба нягт холбоотой тригонометрийн хөгжилд навигацийн хөгжлийн хэрэгцээ ихээхэн нөлөөлсөн бөгөөд энэ нь селестиел биетүүдийн байрлалаар ил далай дээрх хөлөг онгоцны чиглэлийг зөв тодорхойлох чадварыг шаарддаг. Тригонометрийн хөгжилд эмхэтгэх хэрэгцээ чухал үүрэг гүйцэтгэсэн газарзүйн газрын зурагмөн дэлхийн гадарга дээрх том зайг зөв тодорхойлох хэрэгцээтэй нягт холбоотой.

Эртний Грекийн одон орон судлаачийн бүтээлүүд нь тригонометрийн хөгжилд чухал ач холбогдолтой байсан. Гиппарх(МЭӨ 2-р зууны дунд үе). Шинжлэх ухаан болох тригонометрийг орчин үеийн утгаар нь зөвхөн Гиппарх төдийгүй эртний бусад эрдэмтэд ч олсонгүй, учир нь тэд өнцгийн үүргийн талаар ямар ч ойлголтгүй байсан бөгөөд ерөнхийд нь асуултыг ч тавьж байгаагүй. гурвалжны өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарал. Гэвч үндсэндээ тэд өөрсдийн мэддэг энгийн геометрийн хэрэгслийг ашиглан тригонометрийн асуудлыг шийдэж чадсан. Энэ тохиолдолд хүссэн үр дүнд хүрэх гол хэрэгсэл нь ердийн гурав, дөрөв, тав, арван өнцөгтийн талууд ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиус хоорондын мэдэгдэж буй хамаарал дээр үндэслэн дугуй хөвчний уртыг тооцоолох чадвар байв. .

Гиппарх хөвчний эхний хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн, өөрөөр хэлбэл тогтмол радиустай тойрог дахь янз бүрийн төв өнцгийн хөвчний уртыг илэрхийлсэн хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Эдгээр нь үндсэндээ хагас төвийн өнцгийн давхар синусын хүснэгтүүд байв. Гэсэн хэдий ч Гиппархын анхны хүснэгтүүд (түүний бичсэн бараг бүх зүйл шиг) бидэнд ирээгүй байгаа бөгөөд бид тэдгээрийн талаар голчлон "Их бүтээн байгуулалт" бүтээлээс олж авах боломжтой. Араб орчуулга) Алдарт одон орон судлаачийн "Алмагест" Клаудиус Птолемей, МЭ 2-р зууны дунд үед амьдарч байсан. д.

Птолемей тойргийг 360 градус, диаметрийг 120 хэсэгт хуваасан. Тэрээр радиусыг 60 хэсэг (60¢¢) гэж үзсэн. Тэрээр хэсэг тус бүрийг 60¢, минут бүрийг 60¢¢, секундийг 60¢¢¢ болгон, секундийг 60¢¢¢ болгон хуваасан хуваалтыг ашиглан Птолемей ердийн бичээстэй зургаан өнцөгт эсвэл нумын дагуух хөвчний талыг илэрхийлэв. 60°-ийн радиусын 60 хэсэг (60h) хэлбэртэй, бичээстэй квадратын тал эсвэл 90°-ийн хөвчийг 84h51¢10² тоотой тэнцүүлэв.120°-ийн хөвчийг бичээстэй тэгш өнцөгтийн тал гурвалжин - тэр 103h55¢23² гэх мэт тоог илэрхийлэв. Тойргийн диаметртэй тэнцүү гипотенуз бүхий тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд тэрээр Пифагорын теоремын үндсэн дээр бичжээ: (хөвч a)2+(chord|180-) a|)2=(диаметр)2 нь орчин үеийн sin2a+cos2a=1 томьёотой тохирч байна.

"Almagest" нь 0°-аас 180° хүртэлх хагас градус тутамд хөвчний хүснэгтийг агуулдаг бөгөөд энэ нь манайхтай байдаг. орчин үеийн цэг vision нь улирал тутамд 0 ° -аас 90 ° хүртэлх өнцгийн синусын хүснэгтийг үзүүлдэг.

Грекчүүдийн бүх тригонометрийн тооцоолол нь Гиппархын мэддэг Птолемейгийн теорем дээр үндэслэсэн байв. "Тойрог дотор дүрслэгдсэн дөрвөлжингийн диагональ дээр барьсан тэгш өнцөгт нь эсрэг талдаа барьсан тэгш өнцөгтүүдийн нийлбэртэй тэнцүү" (өөрөөр хэлбэл диагональуудын үржвэр нь эсрэг талын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү). Энэ теоремыг ашиглан Грекчүүд (Пифагорын теоремыг ашиглан) эдгээр өнцгийн нийлбэрийн хөвчийг (эсвэл ялгааны хөвчийг) эсвэл өгөгдсөн хагас өнцгийн хөвчийг хоёр өнцгийн хөвчөөс тооцоолох боломжтой байсан. хоёр өнцөг буюу хагас өнцгийн нийлбэр (эсвэл зөрүү)-ийн синусын томъёог ашиглан бид одоо олж авсан үр дүнг олж авах боломжтой.

Тригонометрийн хөгжлийн шинэ алхамууд нь ард түмний математикийн соёлын хөгжилтэй холбоотой юм Энэтхэг, Төв Ази, Европ (V-XII).

5-аас 12-р зууны хооронд урагшлах чухал алхамыг Хиндучууд хийсэн бөгөөд Грекчүүдээс ялгаатай нь харгалзах төв өнцгийн MM¢ хөвчийг (зураг харна уу) биш харин тооцоололд ашиглаж эхэлсэн. зөвхөн түүний хагас MR, өөрөөр хэлбэл бидний одоо төвийн өнцгийн хагасын синусын шугам гэж нэрлэдэг.

Синустай хамт индианчууд косинусыг тригонометрт нэвтрүүлж, илүү нарийвчлалтайгаар тооцоололдоо косинусын шугамыг ашиглаж эхэлсэн. (Косинус гэдэг нэр томьёо нь Европын эрдэмтдийн бүтээлүүдэд 16-р зууны төгсгөлд анх удаа "нөхөгчийн синус" буюу өгөгдсөн өнцгийг нөхөж байгаа өнцгийн синусаас нэлээд хожуу гарч ирсэн. 90°.“Синус комплемент” буюу (Латинаар) sinus complementi-г sinus co or co-sinus гэж товчилж эхэлсэн.

Тэд мөн cosa=sin(90°-a) ба sin2a+cos2a=r2 хамаарлыг мэддэг байсан ба нийлбэрийн синус болон хоёр өнцгийн зөрүүний томъёог мэддэг байжээ.

Тригонометрийн хөгжлийн дараагийн үе шат нь улс орнуудтай холбоотой байдаг

Төв Ази, Ойрхи Дорнод, Өвөр Кавказ(VII-XV зуун)

Одон орон, газарзүйтэй нягт уялдаатай хөгжиж байсан Төв Азийн математик нь "тооцооллын шинж чанартай" бөгөөд хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгдсэн байв. геометрийг хэмжихболон тригонометр, мөн тригонометр нь Төв Азийн эрдэмтдийн бүтээлүүдэд ихээхэн хэмжээгээр математикийн тусгай салбар болгон бүрдүүлсэн. Тэдний хийсэн хамгийн чухал амжилтуудын дунд бид юуны түрүүнд тригонометрийн бүх зургаан шугамыг оруулсныг тэмдэглэх нь зүйтэй: синус, косинус, тангенс, котангенс, секант, косекант, тэдгээрийн зөвхөн эхний хоёрыг Грекчүүд болон Хиндучууд мэддэг байсан.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj тодорхой урттай (a=12) шонгийн j= 1°,2°,3°……

Абу-л-Вафа 10-р зуунд (940-998) амьдарч байсан Хоросанаас үүнтэй төстэй “шүргэх хүснэгт” зохиосон, өөрөөр хэлбэл тодорхой урттай хэвтээ шонгоор цутгасан сүүдрийн b=a×=a×tgj уртыг тооцоолжээ. (a=60) босоо ханан дээр (зураг харна уу).

"Шүргэх" (шүргэх" гэсэн үг) ба "котангенс" гэсэн нэр томъёо нь өөрсдөө үүсэлтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Латин хэлЕвропт нэлээд хожуу (XVI-XVII зуун) гарч ирсэн. Төв Азийн эрдэмтэд харгалзах шугамуудыг "сүүдэр" гэж нэрлэдэг: котангенс - "эхний сүүдэр", шүргэгч - "хоёр дахь сүүдэр".

Абу-л-Вафа туйлын үнэн зөв өгсөн геометрийн тодорхойлолттригонометрийн тойрог дахь шүргэгч шугамууд ба шүргэгч ба котангенс шулуунууд дээр секант ба котангентын шугамуудыг нэмсэн. Тэрээр мөн бүх тригонометрийн функцүүдийн хоорондын алгебрийн хамаарлыг (амаар) илэрхийлсэн бөгөөд ялангуяа тойргийн радиустай холбоотой тохиолдолд. нэгтэй тэнцүү. Энэхүү онцгой чухал хэргийг Европын эрдэмтэд 300 жилийн дараа авч үзсэн. Эцэст нь Абул-Вафа 10¢ тутамд синусын хүснэгтийг эмхэтгэсэн.

Төв Азийн эрдэмтдийн бүтээлүүдэд тригонометри нь одон орон судлалд үйлчилдэг шинжлэх ухаанаас бие даасан сонирхолтой математикийн тусгай салбар болж хувирсан.

Тригонометр нь одон орон судлалаас салж, бие даасан шинжлэх ухаан болсон. Энэ хэлтэс нь ихэвчлэн Азербайжаны математикчийн нэртэй холбоотой байдаг Насиреддин Туси ().

Европын шинжлэх ухаанд анх удаа тригонометрийн эв нэгдэлтэй танилцуулгыг "Янз бүрийн гурвалжны тухай" номонд оруулсан болно. Иоганн Мюллер, математикт илүү сайн мэддэг бүс нутаг().Тэрээр тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдэх аргуудыг нэгтгэж, 0.0000001 нарийвчлалтай синусын хүснэгтүүдийг өгдөг. Түүгээр ч зогсохгүй тэрээр тойргийн радиусыг мильтэй тэнцүү гэж таамаглаж, өөрөөр хэлбэл тригонометрийн функцүүдийн утгыг илэрхийлсэн нь гайхалтай юм. аравтын бутархай, үнэндээ жижиг жижиг тооллын системээс аравтын нэг рүү шилжих.

14-р зууны Английн эрдэмтэн Брэдвардин ()Европт анх удаа тригонометрийн тооцоололд "шууд сүүдэр" гэж нэрлэгддэг котангенс, "урвуу сүүдэр" гэж нэрлэгддэг шүргэгчийг нэвтрүүлсэн.

17-р зууны босгон дээр. Тригонометрийн хөгжилд шинэ чиглэл гарч ирж байна - аналитик. Түүнээс өмнө бол гол зорилготригонометрийг гурвалжинг шийдвэрлэх, элементүүдийг тооцоолох гэж үздэг геометрийн хэлбэрүүдба тригонометрийн функцүүдийн сургаал нь геометрийн үндсэн дээр, дараа нь 17-19-р зуунд баригдсан. тригонометр нь аажмаар математик шинжилгээний бүлгүүдийн нэг болж байна. Би бас тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанарыг мэддэг байсан Вьетнам, эхлээд математикийн судалгааЭнэ нь тригонометртэй холбоотой.

Швейцарийн математикч Иоганн Бернулли ()тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийг аль хэдийн ашигласан.

19-р зууны эхний хагаст. Францын эрдэмтэн Ж. ФурьеАливаа үечилсэн хөдөлгөөнийг энгийн гармоник хэлбэлзлийн нийлбэрээр илэрхийлж болохыг баталсан.

Санкт-Петербургийн нэрт академичийн ажил тригонометрийн түүхэнд чухал ач холбогдолтой байв Леонхард Эйлер(),тэр тригонометрийг бүхэлд нь орчин үеийн дүр төрхтэй болгосон.

Эйлер "Шинжилгээний оршил" (1748) бүтээлдээ тригонометрийг тригонометрийн функцүүдийн шинжлэх ухаан болгон хөгжүүлж, хэд хэдэн үндсэн томъёоноос тригонометрийн томъёоны бүхэл бүтэн багцыг гаргаж авч, аналитик танилцуулга хийжээ.

Эйлер харьяалагддаг эцсийн шийдвэрТойргийн бүх хэсэгт тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүдийн талаархи асуулт, ерөнхий тохиолдлуудад багасгах томъёог гаргах.

Математикт тригонометрийн шинэ функцүүдийг нэвтрүүлснээр эдгээр функцийг хязгааргүй цуврал болгон өргөжүүлэх асуудлыг тавих нь зүйтэй болов. Ийм өргөтгөл хийх боломжтой болох нь харагдаж байна:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Эдгээр цувралууд нь тригонометрийн хэмжигдэхүүнүүдийн хүснэгтийг эмхэтгэх, тэдгээрийг ямар ч нарийвчлалтайгаар олоход илүү хялбар болгодог.

Эйлерийн эхлүүлсэн тригонометрийн функцийн онолын аналитик бүтээн байгуулалтын ажил дуусчээ. , Гаусс, Коши, Фурье болон бусад.

Лобачевский "Геометрийн бодол санаа нь тригонометрийн эхлэл хүртэл, тригонометрийн функцүүдийн өвөрмөц шинж чанарыг олж илрүүлэх хүртэл зайлшгүй шаардлагатай ... Эндээс тригонометр нь геометрээс бүрэн хамааралгүй болж, шинжилгээний бүх давуу талыг олж авдаг."

Өнөө үед тригонометрийг математикийн бие даасан салбар гэж үзэхээ больсон. Үүний хамгийн чухал хэсэг болох тригонометрийн функцүүдийн тухай сургаал нь нэгдмэл байр сууринаас баригдсан математик анализаар судлагдсан функцүүдийн тухай илүү ерөнхий сургаалын нэг хэсэг юм; нөгөө хэсэг нь гурвалжны шийдлийг геометрийн бүлэг гэж үздэг.

3. Тригонометрийн ертөнц.

3.1 Төрөл бүрийн шинжлэх ухаанд тригонометрийн хэрэглээ.

Тригонометрийн тооцооллыг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг.

Одон орон судлалын ойролцоох одод хүртэлх зай, газарзүйн тэмдэглэгээний хоорондох зайг хэмжих, хиймэл дагуулын навигацийн системийг хянах боломжийг олгодог гурвалжингийн техник нь маш чухал юм. Тригонометрийн хэрэглээг дараахь чиглэлээр ашиглах нь анхаарал татаж байна: навигацийн технологи, хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалын онол, статистик, биологи, анагаах ухаан (хэт авиан гэх мэт), компьютерийн томографи, эм зүй, хими, тооны онол, газар хөдлөлт, цаг уур, далай судлал, зураг зүй, физикийн олон салбар, байр зүй, геодези, архитектур, фонетик, эдийн засаг, электрон инженерчлэл, механик инженерчлэл, компьютер график, кристаллограф.

Физик дэх тригонометр.

Гармоник чичиргээ.

Цэг шулуун шугамаар нэг чиглэлд эсвэл нөгөө чиглэлд ээлжлэн хөдөлж байвал цэгийг хийсэн гэж нэрлэдэг хэлбэлзэл.

Хэлбэлзлийн хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг бол тойрог хэлбэрээр жигд эргэлддэг М цэгийн проекцын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн юм. Эдгээр хэлбэлзлийн хууль нь хэлбэртэй байна x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Ихэвчлэн энэ давтамжийн оронд бид авч үздэг мөчлөгийн давтамжw=,секундэд радианаар илэрхийлэгдсэн эргэлтийн өнцгийн хурдыг харуулав. Энэ тэмдэглэгээнд бид: x=Ручир нь(wt+a). (2)

Тоо адуудсан хэлбэлзлийн эхний үе шат.

Бүх төрлийн хэлбэлзлийг судлах нь маш чухал бөгөөд учир нь бид эргэн тойрныхоо ертөнцөд хэлбэлзлийн хөдөлгөөн эсвэл долгионтой байнга тулгардаг. гайхалтай амжилттэдгээрийг ашиглах ( дууны долгион, цахилгаан соронзон долгион).

Механик чичиргээ.

Механик чичиргээ нь цаг хугацааны ижил интервалаар яг (эсвэл ойролцоогоор) давтагдах биеийн хөдөлгөөн юм. Энгийн хэлбэлзлийн системийн жишээ бол пүрш эсвэл дүүжин дээрх ачаалал юм. Жишээлбэл, пүрш дээр дүүжлэгдсэн жинг (зураг харна уу) аваад доошоо түлхэж үзье. Жин доошоо дээшээ хэлбэлзэж эхэлнэ..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg" " align= "зүүн" өргөн "202 өндөр = 146" өндөр "146"> Савлуурын графикийг (2) зүүн тийш шилжүүлэх замаар дүүжин графикаас (1) авна

дээр. a тоог эхний үе гэж нэрлэдэг.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), хаана лдүүжингийн урт, j0 нь хазайлтын анхны өнцөг. Савлуур хэдий чинээ урт байна төдий чинээ удаан савлана.(Энэ нь 1-7-р хавсралт VIII-д тодорхой харагдаж байна). Зураг 8-16, Хавсралт VIII-аас та эхний хазайлтын өөрчлөлт нь савлуурын хэлбэлзлийн далайцад хэрхэн нөлөөлж байгааг тодорхой харж болно, харин хугацаа өөрчлөгддөггүй. Мэдэгдэж буй урттай дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг хэмжсэнээр дэлхийн гадаргуугийн янз бүрийн цэгүүдэд таталцлын хурдатгал g-г тооцоолж болно.

Конденсаторын цэнэггүйдэл.

Синусоидын хуулийн дагуу зөвхөн олон механик чичиргээ үүсдэггүй. Мөн цахилгаан хэлхээнд синусоид хэлбэлзэл үүсдэг. Загварын баруун дээд буланд үзүүлсэн хэлхээнд конденсаторын ялтсуудын цэнэг q = CU + (q0 – CU) cos ωt хуулийн дагуу өөрчлөгддөг бөгөөд C нь конденсаторын багтаамж, U нь хүчдэл юм. одоогийн эх үүсвэр дээр L нь ороомгийн индукц, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src="" >“Функц ба график” программд байгаа конденсаторын загварын ачаар та хэлбэлзлийн хэлхээний параметрүүдийг тохируулж, харгалзах g(t) болон I(t) графикуудыг байгуулах боломжтой. 1-4-р графикт хүчдэл өөрчлөлтөд хэрхэн нөлөөлж байгааг тодорхой харуулав. конденсаторын гүйдлийн хүч ба цэнэгийн хувьд мөн эерэг хүчдэлийн үед цэнэг нь мөн эерэг утгыг авах нь тодорхой байна.IX хавсралтын 5-8-р зурагт конденсаторын багтаамжийг өөрчлөх үед (ороомогийн индукцийг өөрчлөх үед) Хавсралт IX-ийн 9-14-р зурагт) ба бусад параметрүүдийг тогтмол байлгаснаар хэлбэлзлийн хугацаа өөрчлөгдөнө, тухайлбал хэлхээний гүйдлийн хэлбэлзлийн давтамж, конденсаторыг цэнэглэх давтамж өөрчлөгдөнө..(Хавсралт IX-ийг үзнэ үү).

Хоёр хоолойг хэрхэн яаж холбох вэ.

Өгөгдсөн жишээнүүд нь синусоидууд зөвхөн хэлбэлзэлтэй холбоотой байдаг гэсэн сэтгэгдэл төрүүлж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч тийм биш юм. Жишээлбэл, хоёр цилиндр хоолойг өөр хоорондоо өнцгөөр холбоход синус долгионыг ашигладаг. Хоёр хоолойг ийм байдлаар холбохын тулд та тэдгээрийг диагональ байдлаар таслах хэрэгтэй.

Хэрэв та ташуу зүссэн хоолойг задлах юм бол дээд хэсэгт нь синусоидоор хязгаарлагдах болно. Та лаагаа цаасаар боож, диагональ байдлаар хайчилж, цаасыг задлах замаар үүнийг шалгаж болно. Тиймээс, хоолойг жигд зүсэхийн тулд эхлээд синусоидын дагуу металл хуудсыг дээрээс нь хайчилж, хоолой болгон өнхрүүлж болно.

Солонгын онол.

Солонгын онолыг анх гаргаж өгсөн 1637 онд Рене Декарт. Тэрээр солонго нь борооны дусал дахь гэрлийн тусгал, хугаралтай холбоотой үзэгдэл гэж тайлбарлав.

Нарны гэрлийг хугарлын хуулийн дагуу агаарт дүүжлэгдсэн усны дуслууд хугардаг тул солонго үүсдэг.

Энд n1=1, n2≈1.33 нь агаар ба усны хугарлын индекс, α нь тусах өнцөг, β нь гэрлийн хугарлын өнцөг юм.

Хойд гэрэл

Нарны салхины цэнэгтэй тоосонцор гарагуудын агаар мандлын дээд давхаргад нэвтрэн орох нь харилцан үйлчлэлээр тодорхойлогддог. соронзон ороннарны салхитай гаригууд.

Соронзон талбарт хөдөлж буй цэнэгтэй бөөмд үйлчлэх хүчийг хүч гэнэ Лоренц.Энэ нь бөөмийн цэнэг ба талбайн вектор үржвэр, бөөмийн хурдтай пропорциональ байна

Практик агуулгатай тригонометрийн асуудлууд.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" өргөн "25" өндөр "41">.

Үрэлтийн коэффициентийг тодорхойлох.

А налуу өнцөг бүхий налуу хавтгай дээр P жинтэй биеийг байрлуулна. Бие нь өөрийн жингийн нөлөөн дор S хурдасгасан замыг т секундэд туулсан. k үрэлтийн коэффициентийг тодорхойлно.

Налуу хавтгай дээрх биеийн даралтын хүч =kPcosa.

Биеийг доош татах хүч нь F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa)-тай тэнцүү байна.(1)

Хэрэв бие нь хөдөлж байвал налуу хавтгай, дараа нь хурдатгал a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF; тиймээс, .(2)

(1) ба (2) тэгшитгэлээс харахад g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Планиметрийн тригонометр.

Тригонометр ашиглан геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн томъёо:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба өнцгийн харьцаа:

1) Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнанөгөө хөл нь эсрэг талын өнцгийн шүргэгч рүү.

2) Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенуз ба зэргэлдээ өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.

3) Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенуз ба зэргэлдээ өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

4) Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь нөгөө хөлийн үржвэр ба зэргэлдээ өнцгийн котангенстай тэнцүү байна.

Даалгавар 1:AB ба C тал дээрИжил хажуут трапецын DABCD цэгүүд M баN ийм байдлаар шулуун шугамMN нь трапецын суурьтай параллель байна. Үүссэн жижиг трапец бүрд нь мэдэгдэж байнаMBCN болонAMND бид тойрог бичиж болох бөгөөд эдгээр тойргийн радиус нь тэнцүү байнаr баҮүний дагуу R. Шалтгаануудыг олМЭ болонМЭӨ

Өгөгдсөн: ABCD-трапец, AB=CD, MєAB, NєCD, ​​MN||AD, r ба R радиустай тойргийг MBCN ба AMND трапецуудад тус тус бичиж болно.

Хай: МЭ ба МЭӨ.

Шийдэл:

O1 ба O2 нь жижиг трапец хэлбэрээр бичигдсэн тойргийн төвүүд байг. Шууд O1K||CD.

∆ O1O2K-д cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

∆O2FD тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2) болно. Учир нь AD=2DF=2R*ctg(α/2),

үүнтэй адил BC = 2r* tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α) /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), дараа нь AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), бид хариултыг олно.

Хариулт : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Асуудал 2:Гурвалжинд ABC-д танигдсан намууд б, c ба голч ба оройноос ирж буй өндрийн хоорондох өнцөг A. Гурвалжны талбайг тооцоол ABC.

Өгөгдсөн: ∆ ABC, AD-өндөр, AE-медиан, DAE=α, AB=c, AC=b.

Хай: S∆ABC.

Шийдэл:

CE=EB=x, AE=y, AED=γ гэж үзье. Косинусын теоремоор ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); ба ∆ACE-д косинусын теоремоор c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). 1-ээс 2-ын тэгш байдлыг хасвал c²-b²=4xy*cosγ(3) болно.

T.K. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), дараа нь 3 тэгшитгэлийг 4-т хуваавал: (c²-b²)/S=4*ctgγ, харин ctgγ=tgαb, тиймээс S∆ABC= ( с²) -b²)/4*tgα.

Хариулт: (s²- b² )/4*тг α .

Урлаг, архитектур дахь тригонометр.

Архитектур нь ашигладаг цорын ганц шинжлэх ухааны салбар биш юм тригонометрийн томъёо. Ихэнх найрлагын шийдвэр, зураг зурах нь геометрийн тусламжтайгаар яг нарийн хийгдсэн. Гэхдээ онолын өгөгдөл бага гэсэн үг. Урлагийн алтан үеийн Францын мастерын нэг баримал урласан жишээг хэлмээр байна.

Хөшөөг барихад пропорциональ харьцаа хамгийн тохиромжтой байсан. Гэтэл хөшөөг өндөр тавцан дээр босгохдоо муухай харагдсан. Уран барималч хэтийн төлөвт, тэнгэрийн хаяанд олон нарийн ширийн зүйлс багасч, доороос дээш харахад түүний хамгийн тохиромжтой гэсэн сэтгэгдэл төрөхөө больсон гэдгийг анхаарч үзээгүй. Өндөр өндрөөс авсан дүрс пропорциональ харагдахын тулд олон тооны тооцоолол хийсэн. Тэдгээр нь голчлон харах арга, өөрөөр хэлбэл нүдээр хэмжихэд үндэслэсэн байв. Гэсэн хэдий ч тодорхой хувь хэмжээний зөрүүний коэффициент нь зургийг хамгийн тохиромжтой байдалд ойртуулах боломжийг олгосон. Тиймээс хөшөөнөөс харах цэг хүртэлх ойролцоо зай, тухайлбал хөшөөний оройноос хүний ​​нүд хүртэлх зай, хөшөөний өндрийг мэдэж байгаа тул бид хүснэгтийг ашиглан үзэгдэх өнцгийн синусыг тооцоолж болно. Бид доод үзэл бодлын хувьд ижил зүйлийг хийж чадна), ингэснээр цэгийн алсын харааг олох болно (Зураг 1)

Нөхцөл байдал өөрчлөгдөнө (Зураг 2), хөшөөг АС өндөрт өргөж, NS нэмэгдэж байгаа тул бид C өнцгийн косинусын утгыг тооцоолж, хүснэгтээс харц тусах өнцгийг олох болно. . Процессын явцад та AN, түүнчлэн C өнцгийн синусыг тооцоолж болох бөгөөд энэ нь үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан үр дүнг шалгах боломжийг танд олгоно. cos 2a+нүгэл 2a = 1.

Эхний болон хоёр дахь тохиолдолд AN хэмжилтийг харьцуулах замаар пропорциональ байдлын коэффициентийг олж болно. Дараа нь бид зураг, дараа нь уран баримал авах болно, өргөх үед дүрс нь хамгийн тохиромжтой байдалд ойртох болно.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Анагаах ухаан, биологийн тригонометр.

Биоритмийн загвар

Биоритмуудын загварыг тригонометрийн функцуудыг ашиглан бүтээж болно. Биоритмийн загварыг бий болгохын тулд та тухайн хүний ​​төрсөн огноо, лавлагааны огноо (өдөр, сар, жил) болон урьдчилан таамаглах хугацааг (өдрийн тоо) оруулах хэрэгтэй.

Усан дахь загасны хөдөлгөөн Хэрэв та сүүлний цэгийг засаж, дараа нь хөдөлгөөний замналыг анхаарч үзвэл синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу үүсдэг. Усанд сэлэх үед загасны бие нь y=tgx функцийн графиктай төстэй муруй хэлбэртэй болдог.

Зүрхний томъёо

Ираны их сургуулийн оюутны хийсэн судалгааны үр дүнд Шираз, Вахид-Реза АббасиЭмч нар анх удаа зүрхний цахилгаан үйл ажиллагаа, өөрөөр хэлбэл электрокардиографитай холбоотой мэдээллийг зохион байгуулж чадсан.
Тегеран хэмээх томьёог Нидерландад болсон газарзүйн анагаах ухааны 14-р бага хурал, дараа нь зүрх судлалд компьютерийн технологийг ашиглах 28-р бага хурал дээр шинжлэх ухааны олон нийтэд танилцуулав. Энэ томъёо нь хэм алдагдалын үед тооцоолох хэд хэдэн нэмэлтийг багтаасан 8 илэрхийлэл, 32 коэффициент, 33 үндсэн параметрээс бүрдсэн цогц алгебр-тригонометрийн тэгшитгэл юм. Эмч нарын үзэж байгаагаар энэ томьёо нь зүрхний үйл ажиллагааны үндсэн үзүүлэлтүүдийг тайлбарлах үйл явцыг ихээхэн хөнгөвчлөх бөгөөд ингэснээр оношийг хурдасгаж, эмчилгээг өөрөө эхлүүлдэг.

Тригонометр нь бидний тархинд объект хүртэлх зайг тодорхойлоход тусалдаг.

Америкийн эрдэмтэд тархи нь дэлхийн болон харааны хавтгай хоорондын өнцгийг хэмжих замаар объект хүртэлх зайг тооцоолдог гэж мэдэгджээ. Хатуухан хэлэхэд "өнцгийг хэмжих" санаа нь шинэ зүйл биш юм. Илүү олон уран бүтээлчид Эртний Хятадтэд хэтийн төлөвийн хуулиудыг үл тоомсорлож, алсын харааны талбарт илүү өндөрт зурсан. Өнцгийг тооцоолох замаар зайг тодорхойлох онолыг 11-р зууны Арабын эрдэмтэн Алхазен боловсруулсан. Удаан хугацааны туршид мартагдсаны эцэст өнгөрсөн зууны дундуур сэтгэл судлаач Жеймс Гибсон энэ санааг сэргээж, цэргийн нисэхийн нисгэгчидтэй ажиллаж байсан туршлага дээрээ үндэслэн дүгнэлтээ гаргажээ. Гэсэн хэдий ч үүний дараа онолын талаар

дахиад мартчихлаа.

Шинэ судалгааны үр дүн нь роботуудад зориулсан навигацийн системийг зохион бүтээдэг инженерүүд, мөн хамгийн бодит виртуал загвар бүтээх чиглэлээр ажилладаг мэргэжилтнүүдэд сонирхолтой байх болно гэж таамаглаж байна. Тархины зарим хэсэгт гэмтэлтэй өвчтөнүүдийг нөхөн сэргээхэд анагаах ухааны салбарт ашиглах боломжтой.

3.2 "Бяцхан сонирхолтой" тригонометрийн функцуудыг анхны муруй болгон хувиргах график дүрслэл.

Туйлын координат дахь муруй.

-тай. 16 байна. 19 Сокетууд.

Туйлын координатуудад нэг сегментийг сонгоно э, O туйл ба туйлын тэнхлэг Ox. Аливаа М цэгийн байрлалыг OM туйлын радиус ба OM болон Ox туяанаас үүссэн j туйлын өнцгөөр тодорхойлно. OM-ийн уртыг илэрхийлсэн r тоо д(OM=re) ба тоон утгаградус буюу радианаар илэрхийлсэн j өнцгийг М цэгийн туйлын координат гэнэ.

О цэгээс бусад аль ч цэгийн хувьд 0≤j гэж үзэж болно<2p и r>0. Гэсэн хэдий ч r=f(j) хэлбэрийн тэгшитгэлд харгалзах муруйг байгуулахдаа j хувьсагчид (сөрөг ба 2p-ээс дээш утгыг оруулаад) ямар ч утгыг өгөх нь зүйн хэрэг бөгөөд r нь эерэг эсвэл аль аль нь байж болно. сөрөг.

(j, r) цэгийг олохын тулд бид O цэгээс Ox тэнхлэгтэй j өнцөг үүсгэсэн туяа зурж, түүн дээр (r>0 хувьд) эсвэл түүний үргэлжлэлийг эсрэг чиглэлд (r хувьд) зурна. >0) ½ r ½e сегмент.

Хэрэв та эхлээд e, 2e, 3e радиустай (төв нь O туйлтай) төвлөрсөн тойрог болон j = 0°, 10°, 20°, ... ,340°,350°; Эдгээр туяа нь j-д ч тохиромжтой байх болно<0°, и при j>360°; жишээ нь j=740° ба j=-340°-д бид j=20° байх туяан дээр унах болно.

График өгөгдлийг судлах нь тусалдаг "Функц ба график" компьютерийн програм. Энэ програмын боломжуудыг ашиглан бид тригонометрийн функцүүдийн сонирхолтой графикуудыг судлах болно.

1 .Тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруйг авч үзье.r=a+нүгэл3j

I. r=sin3j (шамрок ) (Зураг 1)

II. r=1/2+sin3j (Зураг 2), III. r=1+ sin3j (Зураг 3), r=3/2+ sin3j (Зураг 4) .

IV муруй нь хамгийн бага утгатай r=0.5 бөгөөд дэлбээ нь дуусаагүй дүр төрхтэй байна. Тиймээс, a > 1 үед модны дэлбээ нь дуусаагүй дүр төрхтэй болно.

2. Муруйг анхаарч үзээрэйa=0 үед; 1/2; 1;3/2

a=0 (зураг 1), a=1/2 (зураг 2), a=1 (зураг 3) үед дэлбээ нь дууссан дүр төрхтэй, a=3/2 үед дуусаагүй таван дэлбээтэй болно. ., (Зураг .4).

3. Ерөнхийдөө муруйr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), учир нь энэ салбарт 0°≤≤180°.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> нэг дэлбээний хувьд 360°-аас дээш "салбар" хэрэгтэй болно.

Зураг 1-4-т дэлбээний харагдах байдлыг =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width=-д харуулав. "16" өндөр "41 src=">.

4.Германы математикч, байгалийн судлаачийн олсон тэгшитгэл Хабенихтургамлын ертөнцөөс олдсон геометрийн хэлбэрүүдийн хувьд. Жишээлбэл, r=4(1+cos3j) ба r=4(1+cos3j)+4sin23j тэгшитгэлүүд нь 1.2-р зурагт үзүүлсэн муруйтай тохирч байна.

Декарт координат дахь муруй.

Лиссажугийн муруй.

Декарт координатаар олон сонирхолтой муруйг байгуулж болно. Параметр хэлбэрээр тэгшитгэл нь өгөгдсөн муруйнууд ялангуяа сонирхолтой харагдаж байна.

Энд t нь туслах хувьсагч (параметр). Жишээлбэл, ерөнхийд нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог Лиссажусын муруйг авч үзье.

Хэрэв бид цаг хугацааг t параметр болгон авбал Лиссажугийн дүрсүүд нь харилцан перпендикуляр чиглэлд хийгдсэн хоёр гармоник хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг нэмсний үр дүн болно. Ерөнхийдөө муруй нь 2a ба 2b талуудтай тэгш өнцөгт дотор байрладаг.

Дараах жишээнүүдийг ашиглан үүнийг харцгаая

I.x=sin3t; y=sin 5t (Зураг 1)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (Зураг 2)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(Зураг 3)

Муруй нь хаалттай эсвэл нээлттэй байж болно.

Жишээлбэл, I тэгшитгэлийг тэгшитгэлээр солих нь: x=sin 3t; y=sin5(t+3) нээлттэй муруйг битүү муруй болгож хувиргана.(Зураг 4)

Маягтын тэгшитгэлд тохирох шугамууд нь сонирхолтой бөгөөд өвөрмөц юм

цагт=arcsin(sin k(x-а)).

y=arcsin(sinx) тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

1) ба 2) siny=sinx.

Энэ хоёр нөхцөлд y=x функц хангагдана. (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> интервалд график зурснаар бид y=p-x байх болно, учир нь sin( p-x)=sinx ба энэ интервалд

. Энд графикийг BC сегментээр дүрсэлсэн болно.

sinx нь 2p үетэй үечилсэн функц тул (,) интервалд баригдсан эвдэрсэн ABC бусад хэсгүүдэд давтагдана.

y=arcsin(sinkx) тэгшитгэл нь цэг бүхий тасархай шугамтай тохирно https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

синусоид дээрх (тэдгээрийн хувьд y>sinx) ба y=-sinx муруйны доор нэгэн зэрэг орших цэгүүдийн координатыг хангана, өөрөөр хэлбэл системийн “шийдлийн талбай” нь 1-р зурагт сүүдэрлэсэн хэсгүүдээс бүрдэнэ.

2. Тэгш бус байдлыг авч үзье

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Энэ тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд бид эхлээд функцийн графикуудыг байгуулна: y=sinx; y=-sinx.

Дараа нь бид y>sinx болон нэгэн зэрэг y гэсэн хэсгүүдийг будна<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-синкс.

Энэ тэгш бус байдлыг 2-р зурагт сүүдэрлэсэн хэсгүүдээр хангана

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Дараах тэгш бус байдал руу шилжье.

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Энэ тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд эхлээд функцүүдийн графикийг байгуулна: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Боломжит шийдлүүдийн хүснэгтийг хийцгээе.

1 үржүүлэгч тэмдэгтэй	2 үржүүлэгч тэмдэгтэй	3 үржүүлэгч тэмдэгтэй	4 үржүүлэгч тэмдэгтэй

Дараа нь бид дараах системүүдийн шийдлүүдийг авч үзэж, сүүдэрлэдэг.

)| болон |y|>|sin(x-)|.

2) Хоёр дахь үржүүлэгч нь тэгээс бага, өөрөөр хэлбэл..gif" width="17" height="41">)|.

3) Гурав дахь хүчин зүйл нь тэгээс бага, i.e. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| болон |y|>|sin(x+Academic disciplinis" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">эрдмийн салбарууд, технологи, өдөр тутмын амьдралд.

"Функц ба график" загварчлалын програмыг ашиглах нь судалгаа хийх боломжийг ихээхэн өргөжүүлж, физикийн тригонометрийн хэрэглээг авч үзэхэд мэдлэгийг бодит болгох боломжийг олгосон. Энэхүү хөтөлбөрийн ачаар лабораторийн компьютерийн судалгаа хийгдсэн механик чичиргээДүүжингийн хэлбэлзэл, хэлбэлзлийн жишээг ашиглан цахилгаан хэлхээ. Компьютерийн программ ашиглах нь ашиглан тодорхойлсон сонирхолтой математикийн муруйг судлах боломжтой болсон тригонометрийн тэгшитгэлмөн туйлын болон декарт координатаар график зурах. График шийдэл тригонометрийн тэгш бус байдалсонирхолтой математикийн гоёл чимэглэлийг авч үзэхэд хүргэсэн.

5. Ашигласан уран зохиолын жагсаалт.

1. ., Атанасов математикийн асуудлуудпрактик агуулгатай: Ном. багшийн хувьд.-М.: Боловсрол, х.

2. Виленкин байгаль ба технологид: Ном. хичээлээс гадуурх уншлагын хувьд IX-X анги-М.: Гэгээрэл, 5с (Мэдлэгийн ертөнц).

3. Гэр ахуйн тоглоом, зугаа цэнгэл. муж ed. физик, математик ассан. М, 9 хуудас.

4. Техникийн сургуулиудад зориулсан Кожуровын тригонометр. муж ed. техник-онолын гэрэлтүүлэг. М., 1956

5. Ном. ахлах сургуульд математикийн хичээлээс гадуур уншихад зориулагдсан. муж боловсролын сурган хүмүүжүүлэх ed. Мин. Гэгээрэл RF, M., p.

6. ,Тараканова тригонометр. 10-р анги..-М.: Тодог, х.

7. Тригонометрийн тухай төдийгүй түүний тухай: 9-11-р ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага.-М.: Боловсрол, 1996-80х.

8. Математик заах практик агуулгатай Шапиро бодлого. Ном багшийн хувьд.-М.: Боловсрол, 1990-96 х.

Анагаах ухаан, биологийн тригонометр

Бор хэмнэлийн загвартригонометрийн функцуудыг ашиглан бүтээж болно. Биоритмийн загварыг бий болгохын тулд та тухайн хүний ​​төрсөн огноо, лавлагааны огноо (өдөр, сар, жил) болон урьдчилан таамаглах хугацааг (өдрийн тоо) оруулах хэрэгтэй.

Зүрхний томъёо. Ираны Ширазын их сургуулийн оюутан Вахид-Реза Аббасигийн хийсэн судалгааны үр дүнд эмч нар анх удаа зүрхний цахилгаан үйл ажиллагаа, өөрөөр хэлбэл электрокардиографитай холбоотой мэдээллийг зохион байгуулж чаджээ. Томъёо нь хэм алдагдалын үед тооцоолох хэд хэдэн нэмэлт параметрүүдийг багтаасан 8 илэрхийлэл, 32 коэффициент, 33 үндсэн параметрээс бүрдсэн цогц алгебр-тригонометрийн тэгшитгэл юм. Эмч нарын үзэж байгаагаар энэ томьёо нь зүрхний үйл ажиллагааны үндсэн үзүүлэлтүүдийг тайлбарлах үйл явцыг ихээхэн хөнгөвчлөх бөгөөд ингэснээр оношийг хурдасгаж, эмчилгээг өөрөө эхлүүлдэг.

Тригонометр нь бидний тархинд объект хүртэлх зайг тодорхойлоход тусалдаг.

1) Тригонометр нь бидний тархинд объект хүртэлх зайг тодорхойлоход тусалдаг.

Америкийн эрдэмтэд тархи нь дэлхийн болон харааны хавтгай хоорондын өнцгийг хэмжих замаар объект хүртэлх зайг тооцоолдог гэж мэдэгджээ. Хатуухан хэлэхэд "өнцгийг хэмжих" санаа нь шинэ зүйл биш юм. Эртний Хятадын зураачид ч гэсэн алсын хараатай объектуудыг илүү өндөр түвшинд зурж, хэтийн төлөвийн хуулийг үл тоомсорлодог байв. Өнцгийг тооцоолох замаар зайг тодорхойлох онолыг 11-р зууны Арабын эрдэмтэн Алхазен боловсруулсан. Өнгөрсөн зууны дундуур удаан хугацааны туршид мартагдсаны дараа энэ санааг сэтгэл судлаач Жеймс дахин сэргээжээ.

2)Усан дахь загасны хөдөлгөөнХэрэв та сүүлний цэгийг засаж, дараа нь хөдөлгөөний замналыг анхаарч үзвэл синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу үүсдэг. Усанд сэлэх үед загасны бие нь y=tg(x) функцийн графиктай төстэй муруй хэлбэртэй болдог.
5. Дүгнэлт

Гүйцэтгэлийн үр дүнд судалгааны ажил:

· Тригонометрийн түүхтэй танилцсан.

· Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх системчилсэн аргууд.

· Архитектур, биологи, анагаах ухаанд тригонометрийн хэрэглээний талаар олж мэдсэн.