Ахлах сургуулийн математикийн ихэнх асуудлыг шийдэхийн тулд пропорцийг тодорхойлох мэдлэг шаардлагатай. Энэхүү энгийн ур чадвар нь сурах бичгээс нарийн төвөгтэй дасгалуудыг хийхээс гадна математикийн шинжлэх ухааны мөн чанарыг судлахад тусална. Пропорцийг яаж хийх вэ? Одоо үүнийг олж мэдье.

Хамгийн энгийн жишээ бол гурван параметрийг мэддэг, дөрөв дэхийг нь олох шаардлагатай асуудал юм. Пропорцууд нь мэдээжийн хэрэг өөр өөр байдаг ч ихэнхдээ та хувь хэмжээг ашиглан зарим тоог олох хэрэгтэй болдог. Жишээлбэл, хүү нийт арван алимтай байв. Дөрөв дэх хэсгийг ээждээ өгсөн. Хүүд хэдэн алим үлдсэн бэ? Энэ бол пропорцийг үүсгэх хамгийн энгийн жишээ юм. Хамгийн гол нь үүнийг хийх явдал юм. Эхэндээ арван алим байсан. 100% байг. Бид түүний бүх алимыг тэмдэглэв. Тэр дөрөвний нэгийг өгсөн. 1/4=25/100. Энэ нь тэр явсан гэсэн үг: 100% (энэ нь анх байсан) - 25% (тэр өгсөн) = 75%. Энэ зураг нь үлдсэн жимсний хэмжээг анх олж авсан хэмжээтэй харьцуулахад хэдэн хувийг харуулж байна. Одоо бидэнд пропорцийг аль хэдийн шийдэж болох гурван тоо байна. 10 алим - 100%, Xалим - 75%, энд x нь шаардлагатай жимсний хэмжээ юм. Пропорцийг яаж хийх вэ? Энэ нь юу болохыг та ойлгох хэрэгтэй. Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна. Таныг ойлгохын тулд тэнцүү тэмдгийг тавьсан.

10 алим = 100%;

х алим = 75%.

10/x = 100%/75 болж байна. Энэ бол пропорцын гол шинж чанар юм. Эцсийн эцэст, x том байх тусам энэ тооны хувь нь анхныхаас их байх болно. Бид энэ пропорцийг шийдэж, x = 7.5 алим болохыг оллоо. Хүү яагаад бүхэл тоо өгөхөөр шийдсэнийг бид мэдэхгүй. Одоо та пропорцийг хэрхэн яаж хийхийг мэддэг болсон. Хамгийн гол нь хоёр харилцааг олох явдал бөгөөд тэдгээрийн нэг нь үл мэдэгдэх зүйлийг агуулдаг.

Пропорцийг шийдэх нь ихэвчлэн энгийн үржүүлэх, дараа нь хуваах явдал юм. Сургуулиуд хүүхдүүдэд яагаад ийм байдгийг тайлбарладаггүй. Хэдийгээр пропорциональ харьцаа нь математикийн сонгодог, шинжлэх ухааны мөн чанар гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Пропорцийг шийдэхийн тулд та бутархайг зохицуулах чадвартай байх хэрэгтэй. Жишээлбэл, та ихэвчлэн хувийг бутархай болгон хувиргах хэрэгтэй болдог. Өөрөөр хэлбэл, 95% -ийг бүртгэх нь ажиллахгүй болно. Хэрэв та нэн даруй 95/100 гэж бичвэл үндсэн тооцоог эхлүүлэхгүйгээр мэдэгдэхүйц бууралт хийж болно. Хэрэв таны хувь хэмжээ хоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй байвал үүнийг шийдэх боломжгүй гэдгийг шууд хэлэх нь зүйтэй. Энд ямар ч профессор танд туслахгүй. Таны даалгавар нь зөв үйлдлүүдийн илүү төвөгтэй алгоритмтай байх магадлалтай.

Ямар ч хувь байхгүй өөр жишээг авч үзье. Автомашины жолооч 5 литр бензинийг 150 рублиэр худалдаж авсан. 30 литр шатахууныг хэдэн төгрөгөөр авах вэ гэж бодсон. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд шаардлагатай мөнгөний хэмжээг х-ээр тэмдэглэе. Та энэ асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь хариултыг шалгаж болно. Хэрэв та пропорцийг хэрхэн яаж хийхээ хараахан ойлгоогүй байгаа бол хараарай. 5 литр бензин 150 рубль байна. Эхний жишээн дээр бид 5л - 150р гэж бичдэг. Одоо гурав дахь тоог олъё. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь 30 литр юм. Энэ нөхцөлд 30 л - x рубльтэй хос тохирохыг зөвшөөрч байна. Математик хэл рүү шилжье.

5 литр - 150 рубль;

30 литр - х рубль;

Энэ пропорцийг шийдье:

x = 900 рубль.

Тиймээс бид шийдсэн. Даалгавардаа хариултын хангалттай эсэхийг шалгахаа бүү мартаарай. Буруу шийдвэрээр машинууд цагт 5000 км-ийн бодит бус хурдтай болдог. Одоо та пропорцийг хэрхэн яаж хийхийг мэддэг болсон. Та бас шийдэж чадна. Таны харж байгаагаар энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Хэрэв та тоологч/хуваагч хэсэгт хувьсагчтай бутархай илэрхийллийг харвал математикт рационал тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг илэрхийлэл байна. Ерөнхийдөө нэг рационал илэрхийлэл агуулсан бүх тэгшитгэлийг рационал тэгшитгэл гэж нэрлэж болно. Рационал тэгшитгэлийн шийдлүүдийн хувьд тэдгээрийг дараах байдлаар шийддэг: хувьсагчийг нэг талдаа тусгаарлахгүй байх мөч хүртэл зүүн ба баруун талд үйлдлүүд хийгддэг. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх хоёр арга байдаг:

Хөндлөн үржүүлэх;

LCD (хамгийн бага нийтлэг хуваагч).

Хэрэв тэгшитгэлийг дахин бичсэний дараа тал бүр дээр нэг бутархай үүссэн бол эхний аргыг хэрэглэнэ. Жишээлбэл:

\[\frac (x+3)(4)- \frac(x)(2)= 0\]

Хөндлөн үржүүлэх аргыг ашиглахын тулд тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай.

\[\frac (x+3)(4)= \frac (x)(-2)\]

Хоёрдахь аргыг 3/илүү бутархайтай тэгшитгэлтэй үед ашиглаж болно. Жишээлбэл:

\[\frac (x)(3)+ \frac (1)(2)=\frac(3x+1)(6) \]

Энэ тэгшитгэлийн хувьд хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 бөгөөд энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.

Рационал тэгшитгэлийг онлайнаар хаана үнэгүй шийдэж болох вэ?

Та манай https://site вэбсайтаас онлайнаар оновчтой тэгшитгэлийг шийдлээр шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн манай вэбсайтаас видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Энэ бол хийн динамикийг тооцоолох хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн зөв нэгэн төрлийн ялгааны схем юм. Түүний загварыг Зураг дээр үзүүлэв. 98; радиусын утгыг сүлжээний зангилаанд, хурдны утгыг хагас бүхэл давхаргад орон зайн интервалын хил хязгаарт, нягтрал, даралт, дотоод энергийн утгыг бүх давхарга дахь интервалын дунд хэсэгт хуваарилдаг.

Хэлхээний бүтэц нь акустик "загалмай" -тай төстэй юм. Тэмдэглэгээг хялбар болгохын тулд бид масс, цаг хугацааны хувьд жигд байх алхам ба t-ийг сонгож, системийг дараахь ялгаа тэгшитгэлээр ойртуулна.

Эдгээр тэгшитгэлийг тооцоолоход тохиромжтой дарааллаар бичсэн болно.

Наалдамхай даралтын зөрүүний илэрхийлэлийг авч үзье (65). Ялгаатай схемээс хийн динамикийн тэгшитгэл рүү хязгаарлах шилжилтийг хийхийн тулд эхлээд тогтмол зуурамтгай чанар бүхий коэффициентийг тэг рүү чиглүүлж, дараа нь -ийн хязгааргүй буурах утгуудын ийм хязгаарын цуврал шийдлүүдийг бий болгох хэрэгтэй. Гэхдээ энэ нь маш их хөдөлмөр шаарддаг. Тиймээс практик дээр эдгээр хязгаарын шилжилтийг нэг нийтлэг зүйл болгон нэгтгэдэг боловч ийм журмын хууль ёсны байдал нотлогдоогүй байна (нягтралыг томъёонд оруулсан бөгөөд ингэснээр коэффициентүүд хэмжээсгүй болно).

Тиймээс наалдамхай даралт (65) хэлбэрийг авдаг

дууны хурд хаана байна. Илэрхийлэл (67) нь онгоцны тохиолдолд бичигдсэн; гэхдээ энэ нь ихэвчлэн асуудлын аль ч тэгш хэмд ашиглагддаг.

Ойролцоо. Зураг дээрх загвараас. 98 ба схемийг (66) тэгш хэмтэй бичихэд шахалтгүй урсгалд псевдовискоз чанар (67) тэг болох үед "хөндлөн" схем нь орон нутгийн ойролцоо утгатай болохыг анзаарахад хялбар байдаг.

Шахалт бүхий урсгалд (цочролын долгионыг оруулаад) псевдовискоз чанар нь тэгээс өөр байна. Үнэн, (67a) дахь квадрат нэр томъёо нь магнитудтай, харин шугаман гишүүнчлэл нь магнитудтай бөгөөд ингэснээр ойртох дарааллыг улам дордуулдаг. Үүнээс гадна наалдамхай нэр томъёог цаг хугацаанд нь бүрэн тэгш хэмтэй бичдэггүй. Үүний үр дүнд ойртох нь мууддаг

Ялгаатай шийдлийг олох. Схем (66) нь тодорхой байна; түүн дээрх тооцоог дараах байдлаар гүйцэтгэнэ. Анхны давхарга дээрх бүх хэмжигдэхүүнийг мэдэгдээрэй. Дараа нь импульсийн зөрүүний тэгшитгэлээс (66a) бид бүх интервалд олно; дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс (66б) тодорхойлох ба (66в) тэгшитгэлээс - .

Эрчим хүчний тэгшитгэл (66d) хамгийн сүүлд шийдэгдсэн. Албан ёсоор энэ нь өгөгдсөн интервал дахь тодорхойлолтын далд алгебрийн тэгшитгэл юм. Гэхдээ индексийн утга бүрийн хувьд тэгшитгэлүүд (66d) нь хосолсон тэгшитгэлийн системийг үүсгэхгүйгээр бие даан шийдэгддэг тул ялгааны схем нь үндсэндээ тодорхой хэвээр байна.

Тайлбар 1. (66) дахь энергийн тэгшитгэлийг зөвхөн анхны давхаргын утгыг ашиглан тодорхой болгож болно.

Энэ нь тооцооллыг бага зэрэг хөнгөвчлөх бөгөөд тогтвортой байдалд нөлөөлөхгүй боловч гөлгөр урсгалд ойртох алдаа нь жигд болдог тул нарийвчлалыг мэдэгдэхүйц дордуулдаг. Энэ сонголтыг бараг ашигладаггүй.

Хэлхээний тогтвортой байдлыг хувьсагчдыг салгах, хэлхээг шугаман болгох, коэффициентийг хөлдөөх аргаар судалж болно. Хэцүү тооцоолол нь Courant төрлийн тогтвортой байдалд хүргэдэг.

Жишээлбэл, тэг зуурамтгай чанар бүхий гөлгөр урсгалд схем нь тогтвортой байна

Тохиромжтой хийн хувьд нөхцөл (69) нь дууны адиабат хурд гэсэн хэлбэртэй байна. Тэг биш зуурамтгай чанар бүхий урсгалын хувьд алхамын хязгаарлалт нь арай илүү хүчтэй байдаг; квадрат зуурамтгай чанарт тогтвортой байдлын нөхцөл хэлбэрийг авна

цочролын долгион дээрх хурдны үсрэлт хаана байна. Хэдийгээр энэ судалгаа нь хатуу биш боловч тогтвортой байдлын энэ нөхцөл байдал практик дээр сайн батлагдсан.

Тиймээс "загалмай" бол нөхцөлт тогтвортой схем юм. Сонирхолтой нөхцөл байдлыг тэмдэглэе. Гөлгөр урсгалыг тооцоолохын тулд зуурамтгай чанар шаардлагагүй. Хэрэв бид цочролын долгионыг зуурамтгай чанаргүйгээр тооцвол ((70) нөхцөлийг хангасан жижиг хэсгийг сонговол бид Зураг дээр үзүүлсэн "сул"-ыг авна. 99. Цаг хугацаа өнгөрөх тусам хэлбэлзлийн далайц нэмэгдэхгүй тул энэ тооцоо тогтвортой байна. Гэвч тасалдал дээр ойртож алдагддаг тул физикийн хувьд зөв шийдэлд ойртох зүйл байхгүй.

Хийн динамик "загалмай" схемийн нэгдэл нь нотлогдоогүй байна. Гэсэн хэдий ч энэ схемийг ойролцоогоор 1950 оноос хойш тооцоололд амжилттай ашиглаж ирсэн бөгөөд тодорхой шийдлүүд нь мэдэгдэж байсан олон хэцүү асуудлууд дээр туршиж үзсэн. Алхамууд тэг болох хандлагатай байсан тул алхмууд тогтвортой байдлын нөхцлийг хангасан тохиолдолд зөв шийдэлд ойртох нь ажиглагдсан.

Тайлбар 2. Схем (66) нь консерватив бус; Гэсэн хэдий ч түүний тэнцвэргүй байдал тэг болох хандлагатай байдаг

Тайлбар 3. Маш нимгэн давхаргатай хий-динамик асуудлуудыг тооцоолоход ялангуяа хэцүү байдаг. Үнэн хэрэгтээ хэрэв , дараа нь (66c) томъёог ашиглан хангалттай нарийвчлалтай тооцоолохын тулд та компьютер дээрх дугуйралтын алдаатай харьцуулахуйц маш өндөр нарийвчлалтай радиусыг мэдэх хэрэгтэй. Ийм асуудалд заримдаа хоёр оронтой тоогоор тооцоолол хийх эсвэл ялгааны схемийг тусгайлан өөрчлөх шаардлагатай болдог.

Өнөөдөр бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын хувийн асуудалд зориулсан цуврал видео хичээлүүдийг үргэлжлүүлж байна. Ялангуяа бид Улсын нэгдсэн шалгалтын хоёр маш бодитой асуудлыг шинжлэх бөгөөд асуудлын нөхцөлийг анхааралтай уншиж, зөв ​​тайлбарлах нь хичнээн чухал болохыг дахин нэг удаа харах болно.

Тиймээс, эхний даалгавар:

Даалгавар. Зөвхөн 95% буюу 37500 хотын төгсөгчид В1 асуудлыг зөв шийдвэрлэсэн байна. В1 асуудлыг хичнээн хүн зөв шийдсэн бэ?

Өнгөцхөн харвал энэ нь тагнуулчдад зориулсан ямар нэгэн даалгавар юм шиг санагддаг. Үүнд:

Даалгавар. Модон дээр 7 шувуу сууж байв. Тэдний 3 нь ниссэн. Хэдэн шувуу ниссэн бэ?

Гэсэн хэдий ч одоо хүртэл тоолъё. Бид пропорцын аргыг ашиглан шийдэх болно. Тэгэхээр бид 37500 оюутантай - энэ нь 100% гэсэн үг. Мөн B1 асуудлыг зөв шийдсэн азтай хүмүүсийн 95% -ийг бүрдүүлдэг тодорхой тооны x сурагч байдаг. Үүнийг бичье:

37 500 — 100%
X - 95%

Та пропорц гаргаж, х-г олох хэрэгтэй. Бид авах:

Бидний өмнө сонгодог пропорциональ байгаа, гэхдээ үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, хөндлөн үржүүлэхийн өмнө би тэгшитгэлийн хоёр талыг 100-д ​​хуваахыг санал болгож байна. Өөрөөр хэлбэл, бутархай бүрийн тоологч дээр хоёр тэгийг хасъя. Гарсан тэгшитгэлийг дахин бичье:

Пропорцын үндсэн шинж чанарын дагуу туйлын гишүүний үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл:

x = 375 95

Эдгээр нь нэлээд том тоо тул та тэдгээрийг баганад үржүүлэх хэрэгтэй болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тооны машин ашиглахыг хатуу хориглоно гэдгийг сануулъя. Бид авах:

x = 35,625

Нийт хариулт: 35,625. Анхны 37,500 хүнээс яг хэдэн хүн В1 бодлогыг зөв шийдсэн байна. Таны харж байгаагаар эдгээр тоо маш ойрхон байгаа нь 95% нь 100% дөхөж байгаа тул утга учиртай юм. Ерөнхийдөө эхний асуудал шийдэгдсэн. Хоёрдахь зүйл рүүгээ явцгаая.

Хүүгийн асуудал №2

Даалгавар. Хотын 45,000 төгсөгчдийн дөнгөж 80% нь В9-ийн асуудлыг зөв шийдсэн. В9 асуудлыг хэдэн хүн буруу шийдсэн бэ?

Бид ижил схемийн дагуу шийддэг. Анх 45,000 төгсөгч байсан - энэ нь 100% юм. Дараа нь энэ тооноос та анхны тооны 80% -ийг бүрдүүлэх ёстой x төгсөгчийг сонгох хэрэгтэй. Бид пропорцийг гаргаж, шийддэг:

45 000 — 100%
x - 80%

2-р бутархайн хуваагч ба хуваарьт тус бүр нэг тэгийг бууруулъя. Үүссэн бүтээн байгуулалтыг дахин бичье:

Пропорцын үндсэн шинж чанар: туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна. Бид авах:

45,000 8 = x 10

Энэ бол хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл юм. Үүнээс x хувьсагчийг илэрхийлье:

x = 45,000 8:10

Бид 45,000 ба 10-ыг нэг тэгээр бууруулж, хуваагч нь нэг хэвээр байгаа тул бидэнд хэрэгтэй бүх зүйл бол илэрхийллийн утгыг олох явдал юм.

x = 4500 8

Мэдээжийн хэрэг, та сүүлийн удаа хийсэнтэй ижил зүйлийг хийж, эдгээр тоог баганад үржүүлж болно. Гэхдээ амьдралаа хүндрүүлэхгүй байцгаая, багананд үржүүлэхийн оронд наймыг хүчин зүйл болгон авч үзье.

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36,000

Одоо бол хичээлийн эхэнд миний ярьсан хамгийн чухал зүйл. Та ажлын нөхцлийг анхааралтай унших хэрэгтэй!

Бид юу мэдэх хэрэгтэй вэ? В9 асуудлыг хэдэн хүн шийдсэн бэ буруу. Тэгээд зөв шийдсэн хүмүүсийг бид олсон. Эдгээр нь анхны дугаарын 80% болж хувирсан, өөрөөр хэлбэл. 36,000. Энэ нь эцсийн хариултыг авахын тулд анхны оюутны тооноос 80% -ийг хасах шаардлагатай гэсэн үг юм. Бид авах:

45 000 − 36 000 = 9000

Гарсан 9000 тоо нь асуудлын хариулт юм. Энэ хотод нийтдээ 45000 төгсөгчдөөс 9000 хүн В9 асуудлыг буруу шийдсэн байна. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.

Энэхүү видео нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бие даан бэлтгэж буй хүмүүст тусална гэж найдаж байна. Энэ бол миний хувьд. Павел Бердов тантай хамт байсан. Дараа уулзая! :)

Асуудлыг шийдвэрлэх арга зүй
ашиглах шийдлүүдийн хувьд
загалмайн дүрэм

Химийн хичээлийг судлах олон чухал асуудлыг хэд хэдэн шалтгааны улмаас сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс хасдаг. Тэдгээрийн дотор эквивалентийн хууль, уусмалын концентрацийг илэрхийлэх янз бүрийн арга замууд, загалмайн дүрэм болон бусад олон зүйл байдаг. Гэсэн хэдий ч хичээлээс гадуурх ангиудад хүүхдүүдийг олимпиадад бэлтгэхдээ тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй. Мөн тэдгээр нь хүүхдүүдэд, ялангуяа ирээдүйн мэргэжлээ химитэй (үйлдвэрийн лаборатори, эмийн сан, эрдэм шинжилгээний ажил, өдөр тутмын амьдралдаа зүгээр л хими) холбох хүмүүст хэрэгтэй болно.
Энэ талаар залуу багш нарын хувьд энэ нь ялангуяа хэцүү байдаг - хуучин багш нарын сургуульд хэдэн арван жилийн турш хуримтлуулсан нэмэлт уран зохиол байдаггүй бөгөөд орчин үеийн ном хэвлэх үйлдвэр юу хэвлэдэгийг хүн бүр мэддэг. Тиймээс, загалмайн дүрмийг ашиглан шийдлүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд санал болгож буй арга нь энэ асуудалд залуу хамт олонд бага зэрэг туслах болно.

"Пирсоны дугтуй"

Лабораторийн практикт болон олимпиадын асуудлыг шийдвэрлэхдээ ууссан бодисын тодорхой масстай уусмал бэлтгэх, өөр өөр концентрацитай хоёр уусмалыг холих, эсвэл хүчтэй уусмалыг усаар шингэлэх тохиолдол маш их тохиолддог. Зарим тохиолдолд нэлээд төвөгтэй арифметик тооцоолол хийх боломжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нь үр дүнгүй юм. Үүний тулд холих дүрмийг ("Пирсон дугтуйны" диагональ загвар эсвэл ижил төстэй загалмайн дүрэм) хэрэглэх нь илүү дээр юм.
Шаардлагатай хэмжээнээс их, бага концентрацитай хоёр уусмалыг эзэмшиж, тодорхой концентрацийн уусмал бэлтгэх хэрэгтэй гэж бодъё. Дараа нь, хэрэв бид эхний уусмалын массыг дараах байдлаар тэмдэглэвэл м 1, хоёр дахь нь - дамжуулан м 2, дараа нь холих үед хольцын нийт масс нь эдгээр массын нийлбэр байх болно. Эхний уусмал дахь ууссан бодисын массын хувийг 1, хоёрдугаарт - 2, тэдгээрийн хольцод - 3 байна. Дараа нь хольц дахь ууссан бодисын нийт масс нь анхны уусмал дахь ууссан бодисын массаас бүрдэнэ.

м 1 1 +м 2 2 = 3 (м 1 + м 2) .

Эндээс

m 1 ( 1 – 3) = м 2 ( 3 – 2),

м 1 /м 2 = ( 3 – 2)/( 1 – 3).

Эндээс харахад эхний уусмалын массын хоёр дахь уусмалын масстай харьцуулсан харьцаа нь холимог дахь ууссан бодисын массын фракцын зөрүү ба хоёр дахь уусмал дахь харгалзах утгуудын зөрүүтэй харьцуулсан харьцаа юм. эхний уусмал ба холимогт.

Өөр өөр концентрацитай шийдлүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхдээ холих дүрмийн диагональ схемийг ихэвчлэн ашигладаг. Тооцоолохдоо анхны уусмал дахь ууссан бодисын массын хувийг нэг нэгээр нь, тэдгээрийн баруун талд - бэлтгэх уусмал дахь массын хувийг бичиж, томоос нь диагональаар бага утгыг хасна. Тэдний хасалтын ялгаа нь хүссэн уусмалыг бэлтгэхэд шаардлагатай эхний болон хоёр дахь уусмалын массын бутархайг харуулж байна.

Энэ дүрмийг тайлбарлахын тулд бид эхлээд хамгийн энгийн асуудлыг шийддэг.

ДААЛГАВАР 1

Аливаа давсны 150 г 30% ба 250 г 10% -ийн уусмалыг нэгтгэх замаар олж авсан уусмалын концентрацийг тодорхойлно.

Өгөгдсөн:

м 1 = 150 гр,
м 2 = 250 гр,
1 = 30%,
2 = 10%.

Олно:

Шийдэл

1-р арга (пропорцын арга).

Уусмалын нийт масс:

м 3 = м 1 + м 2 = 150 + 250 = 400 гр.

Тодорхойлолт дээр үндэслэн бид эхний уусмал дахь бодисын массыг пропорцын аргыг ашиглан олно: уусмалын хувийн концентраци нь 100 г уусмалд хэдэн грамм ууссан бодис байгааг харуулна.

100 г 30% уусмал - 30 г шингэн,

150 гр 30% уусмал - Xхот,

X= 150 30/100 = 45 гр.

Хоёрдахь шийдлийн хувьд бид үүнтэй төстэй харьцааг гаргадаг:

100 г 10% уусмал - 10 г шингэн,

250 гр 10% уусмал - yхот,

y= 250 10/100 = 25 гр.

Тиймээс 400 г шинэ уусмалд 45 + 25 = 70 г ууссан бодис агуулагдана.

Одоо та шинэ уусмалын концентрацийг тодорхойлж болно:

400 гр уусмал - 70 гр шингэн,

100 гр уусмал - zхот,

z= 100 70/400 = 17.5 гр буюу 17.5%.

2-р арга (алгебрийн).

м 1 1 + м 2 2 = 3 (м 1 + м 2).

3 = (м 1 1 + м 2 2)/(м 1 + м 2).

Үүний үр дүнд бид олдог:

3 = (150 30 + 250 10)/(150 + 250) = 17,5%.

3-р арга (загалмайн дүрэм).

( 3 – 10)/(30 – 3) = 150/250.

(30 – 3) 150 = ( 3 – 10) 250,

4500 – 150 3 = 250 3 – 2500,

4500 – 2500 = 250 3 – 150 3 ,

7000 = 400 3 , 3 = 7000/400 = 17,5%.

Хариулах. Авсан уусмалуудыг нэгтгэх үед 3 = 17.5% -ийн концентрацитай шинэ уусмал гарна.

Одоо илүү хэцүү асуудлуудыг шийдье.

ДААЛГАВАР 2

500 гр 20% уусмал бэлтгэхийн тулд давсны 10%, ижил давсны 30% -ийн уусмалыг хэр их хэмжээгээр авах шаардлагатайг тодорхойл.

Өгөгдсөн:

1 = 10%,
2 = 30%,
3 = 20%,
м 3 = 500 гр.

Олно:

м 1 , м 2 .

Шийдэл

Бид загалмайн дүрмийг ашигладаг.

500 г 20% давсны уусмал бэлтгэхийн тулд та анхны концентрацийн уусмалын 10 хэсгийг авах хэрэгтэй.
1 хэсэг нь 500/(10 + 10) = 25 г-тэй тэнцүү гэдгийг харгалзан шийдлийн зөв эсэхийг шалгацгаая.

250 гр 10% уусмал - Xг давс,

X= 250 10/100 = 25 гр.

250 гр 30% уусмал - yг давс,

100 гр 30% -ийн уусмал - 30 гр давс,

y= 250 30/100 = 75 гр.

м(уусмал) = 250 + 250 = 500 гр.

м(давс) = 25 + 75 = 100 гр.

Эндээс бид 3-ыг олно:

500 гр уусмал - 100 гр давс,

100 гр уусмал - 3 гр давс,

3 = 100 100/500 = 20 гр буюу 20%.

Хариулт. 500 гр 20% уусмал бэлтгэхийн тулд 250 гр анхны уусмал авах шаардлагатай.
(м 1 = 250 гр, м 2 = 250 гр).

ДААЛГАВАР 3

25% -ийн концентрацитай 300 г уусмал бэлтгэхийн тулд 60% ба 10% -ийн концентрацитай хэдэн давсны уусмал авах шаардлагатайг тодорхойл.

Өгөгдсөн:

1 = 60%,
2 = 10%,
3 = 25%,
3 = 300 гр.

Олно:

м 1 , м 2 .

Шийдэл

Нэг хэсгийн жин: 300/50 = 6 гр.

м 1 = 6 15 = 90 гр, м 2 = 6 35 = 210 гр.

100 гр 60% уусмал - 60 гр давс,

90 гр 60% уусмал - Xг давс,

X= 54 гр.

100 гр 10% -ийн уусмал - 10 гр давс,

210 гр 30% уусмал - yг давс,

y= 21 жил

м(давс) = 54 + 21 = 75 гр.

Шинэ уусмалын концентрацийг ол:

300 гр уусмал - 75 гр давс,

100 гр уусмал - zг давс,

z= 100 75/300 = 25 гр буюу 25%.

Хариулт. м 1 = 90 гр, м 2 = 210 гр.

Одоо бүр илүү төвөгтэй ажлууд руу шилжье.

ДААЛГАВАР 4

Уусмалын массыг тодорхойлно уу Na 2 CO 3 Хуурай талст гидратын 10% концентраци ба жин Na 2 CO 3 10H 2 O 15% -ийн концентрацитай 540 г уусмал бэлтгэхийн тулд та үүнийг авах хэрэгтэй.

Өгөгдсөн:

1 = 10%,
3 = 15%,
м 3 = 540 гр.

Олно:

м 1 , м 2 .

Шийдэл

1-р арга (хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системээр дамжуулан).

540 г 15%-ийн уусмал дахь Na 2 CO 3 давсны массыг тодорхойл.

100 гр 15% -ийн уусмал - 15 гр давс,

540 гр 15% уусмал - zг давс,

z= 540 15/100 = 81 гр.

Тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:

Молийн массыг олох:

Шаардлагагүй үл мэдэгдэх зүйлсээс салах:

м 2 = 286y/106;

100 гр 10% -ийн уусмал - 10 гр давс,

м 1 г 10% уусмал - Xг давс,

м 1 = 100X/10 = 10X.

Орлуулж үзье м 2 ба м 1 тэгшитгэлийн системд:

Үүнийг харгалзан үзвэл X = 81 – y, бид хоёр дахь үл мэдэгдэх зүйлээс салж байна:

10(81 – y) + 286y/106 = 540.

y= 270/7.3 = 37 гр.

Дараа нь м 2 = 286y/106 = 2.7 37 100 г нь Na 2 CO 3 10H 2 O талст гидрат шаардлагатай хэмжээний масс юм.
Дараа нь бид олдог: X = 81 – y= 81 – 37 = 44 г – энэ нь 10%-ийн уусмалын давсны масс юм.
10%-ийн уусмалын массыг ол:

100 гр 10% -ийн уусмал - 10 гр давс,

м 1 г 10% -ийн уусмал - 44 г давс,

м 1 = 100 44/10 = 440 гр.

Энэ асуудлыг ийм аргаар шийдэж болох нь тодорхой байна - найдвартай арга, гэхдээ харамсалтай нь нэлээд урт, төвөгтэй, төвөгтэй. Үүнийг логик сэтгэлгээ хангалттай хөгжсөн оюутнууд амжилттай ашиглаж болно. Бусад хүмүүсийн хувьд энэ нь хэцүү байх болно.

2-р арга (загалмайн дүрэм).

Na 2 CO 3 10H 2 O нь "хуурай уусмал" (эцэст нь ус агуулдаг) гэж үзье. Дараа нь бид түүний "төвлөрлийг" олно:

286 гр - 106 гр давс,

100 гр - Xг давс,

X= 100 106/286 = 37 гр буюу 37%.

Бид загалмайн дүрмийг хэрэгжүүлдэг.

Нэг хэсгийн масс ба бодисын массыг ол.

м 1 = 20 22 = 440 гр, м 2 = 20 5 = 100 гр.

Хариулах. 15% -ийн концентрацитай 540 г Na 2 CO 3 уусмал бэлтгэхийн тулд 440 г 10% уусмал, 100 г талст гидрат авах шаардлагатай.
Тиймээс загалмайн дүрмийг хэрэглэх нь ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү хялбар бөгөөд хялбар байдаг. Энэ арга нь илүү их цаг хугацаа хэмнэж, хөдөлмөр бага зарцуулдаг.
Загалмайн дүрмийг илүү их концентрацитай уусмалыг усаар шингэлж бага концентрацитай уусмал авах эсвэл анхны уусмал дээр хуурай хольц нэмж илүү төвлөрсөн уусмал авах шаардлагатай тохиолдолд хэрэглэж болно. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

ДААЛГАВАР 5

250 г давсны уусмалын концентрацийг 45% -иас 10% хүртэл бууруулахын тулд хичнээн хэмжээний ус нэмэх вэ?

Өгөгдсөн:

1 = 45%,
3 = 10%,
м 1 = 250 гр.

Олно:

Шийдэл

Бид нэмсэн усны концентрацийг 2 = 0% гэж үздэг. Бид загалмайн дүрмийг ашигладаг.

Эхний уусмалаар бид нэг хэсгийн массыг тодорхойлно: 250/10 = 25 г.
Дараа нь шаардагдах усны масс нь:

м 2 = 25 35 = 875 гр.

Шийдлийн зөв эсэхийг шалгацгаая.
Шинэ уусмалын жин:

м 3 = 250 + 875 = 1125 гр.

250 гр 45% уусмал - Xг давс,

100 гр 45% -ийн уусмал - 45 гр давс,

X= 250 45/100 = 112.5 гр.

Бид 3-ыг олдог:

1125 гр уусмал - 112.5 гр давс,

100 гр уусмал - yг давс,

y= 100 112.5/1125 = 10 гр буюу 10%.

Хариулт. м 2 = 875 гр.

ДААЛГАВАР 6

250 г 10%-ийн концентрацитай уусмалд хэр хэмжээний хуурай давс нэмж, 45% болгох вэ?

Өгөгдсөн:

1 = 10%,
м 1 = 250 гр,
3 = 45%.

Олно:

м(s.s.).

Шийдэл

Бид хуурай давсыг 2 = 100% -ийн уусмал гэж үздэг. Бид загалмайн дүрмийг ашигладаг.

Эхний уусмалаар бид нэг хэсгийн массыг тодорхойлно: 250/55 = 4.5 г.
Хуурай давсны массыг тодорхойлно уу:

м(s.s.) = 4.5 35 = 158 гр.

Бид шийдлийн зөв эсэхийг шалгадаг.
Шинэ уусмалын жин:

м 3 = 250 + 158 = 408 гр.

Анхны уусмал дахь давсны масс:

100 гр 10% -ийн уусмал - 10 гр давс,

250 гр 10% уусмал - Xг давс,

X= 250 10/100 = 25 гр.

Шинэ уусмал дахь давсны нийт масс:

25 + 158 = 183 гр.

Шинэ шийдлийн концентраци:

408 гр уусмал - 183 гр давс,

100 гр уусмал - yг давс,

y= 100 183/408 = 45 гр буюу 45%.

Хариулт. м(s.s.) = 158 гр.

Туршлагатай багш аливаа асуудлыг шийдэх хэд хэдэн арга замыг үргэлж хайж олдог юм шиг санагддаг. Гэхдээ миний анхны химийн багш Клавдия Макаровна надад Эрхүү хотын 17-р сургуульд зааж байсан тул би шавь нартаа: асуудлыг үргэлж гүнзгий бодож, химийн мөн чанарыг ойлгож, түүнийг шийдвэрлэх хамгийн оновчтой арга замыг хайж олохыг хичээж сургахыг хичээдэг. Энэ нь сурах бичгийн төгсгөлд байгаа хариулт юм.