Эсрэг дериватив. Дифференциал тооцооллын бодлого: өгөгдсөн функц өгөгдсөн бол түүний уламжлалыг ол. Интеграл тооцооллын бодлого: түүний уламжлалыг мэддэг функцийг ол. Хэрэв энэ интервалаас аль ч х-ийн хувьд F ʹ (x)=f(x) тэгшитгэл үнэн бол F(x) функцийг өгөгдсөн интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг дериватив гэнэ.

Теорем. Хэрэв F(x) функц нь тодорхой интервал дахь f(x) функцийн эсрэг дериватив бол энэ функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог нь F(x)+C хэлбэртэй байх ба энд C R. y x 0 Геометрийн хувьд: F (x)+C нь op-amp-ийн тэнхлэгийн дагуу параллель дамжуулалтаар тус бүрээс олж авсан гэр бүлийн муруй юм. C интеграл муруй

Жишээ 2. Бүх эсрэг дериватив функцийг f(x)=2x-ийг олоод геометрийн аргаар дүрсэл. у х

Интеграл функц - интеграл илэрхийлэл - тэмдэг тодорхойгүй интеграл x – интегралын хувьсагч F(x)+C – бүх эсрэг деривативуудын олонлог С – интегралын тогтмол Эсрэг үүсмэл функцийг олох үйл явцыг интеграл, математикийн салбарыг интеграл тооцоо гэнэ.

Тодорхой бус интегралын шинж чанарууд Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү, тодорхойгүй интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

Интеграцийн үндсэн аргууд. Шууд нэгтгэх арга. Шууд интеграл гэдэг нь тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарыг ашиглах замаар тэдгээрийг хүснэгтэн хэлбэрт оруулдаг интегралуудыг тооцоолох арга юм. Энэ тохиолдолд интеграл функц нь ихэвчлэн зохих ёсоор өөрчлөгддөг.

GBOU SPO "Навашинскийн тэнгисийн механик коллеж" Үгүй тодорхой интеграл. Тооцооллын аргууд

Книдын Евдокс в. 408 - ойролцоогоор. МЭӨ 355 он д. Интеграл тооцоолол нь эртний хөгжлийн үед гарч ирсэн математикийн шинжлэх ухаанмөн математикчдын боловсруулсан ядрах аргаас эхэлсэн Эртний Грек, мөн Книдын Евдокс боловсруулсан дүрэм журмын багц байв. Эдгээр дүрмийг ашиглан талбай, эзлэхүүнийг тооцоолсон

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) ∫ тэмдгийг Лейбниц (1675) нэвтрүүлсэн. Энэ тэмдэг нь латин S үсгийн өөрчлөлт (summa гэдэг үгийн эхний үсэг).

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) Исаак Ньютон (1643 - 1727) Ньютон, Лейбниц нар Ньютон-Лейбницийн томьёо гэгддэг баримтыг бие даан нээсэн.

Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 1897) Коши, Вейерштрасс нарын бүтээлүүд интеграл тооцооллын олон зуун жилийн хөгжлийг дүгнэсэн байдаг.

Оросын математикчид интеграл тооцоолол боловсруулахад оролцсон: M.V. Остроградский (1801 – 1862) В.Я. Буняковский (1804 - 1889) П.Л. Чебышев (1821-1894)

INDEMNITE INTEGRAL -ийн тодорхойгүй интеграл тасралтгүй функц(a; b) интервал дээрх f(x) нь түүний эсрэг дериватив функцүүдийн аль нэг юм. Энд C нь дурын тогтмол (const) юм.

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2. F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx захидал харилцааг тохируулна уу. Өгөгдсөн функцэд тохирох антидеривативын ерөнхий хэлбэрийг ол. tg x +C

Интегралын шинж чанарууд

Интегралын шинж чанарууд

Интеграцийн үндсэн аргууд Хүснэгт. 2. Интегралыг нийлбэр эсвэл ялгавар болгон хувиргах замаар хүснэгтэнд буулгах. 3. Хувьсагчийн орлуулалт (орлуулалт) ашиглан нэгтгэх. 4.Хэсгээр нь нэгтгэх.

Ф(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ функцийн эсрэг деривативыг ол. + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x

Энэ үнэн үү: a) c) b) d)

Жишээ 1. Илэрхийллийн нийлбэрийн интеграл нь эдгээр илэрхийллүүдийн интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү.Тогтмол хүчин зүйлийг интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно.

Жишээ 2. Уусмалыг шалга Шийдлийг бичнэ үү.

Жишээ 3. Уусмалыг шалга Шийдлийг бич.

Жишээ 4. Шийдлийг шалгана уу Шийдлийг бичнэ үү: Шинэ хувьсагч оруулж, дифференциалуудыг илэрхийлнэ үү.

Жишээ 5. Уусмалыг шалга Шийдлийг бичнэ үү.

C бие даасан ажил Тодорхой бус интегралыг олох Шийдвэрийг шалгах “А” түвшин (“3” дээр) “В” түвшин (“4” дээр) “С” түвшин (“5” дээр)

Даалгавар захидал харилцаа тогтоох. Өгөгдсөн функцэд тохирох антидеривативын ерөнхий хэлбэрийг ол.

Аношина О.В.

Үндсэн уран зохиол

1. Шипачев V. S. Дээд математик. Үндсэн курс: сурах бичиг ба
бакалаврын семинар [ОХУ-ын Боловсролын яамны төрийн тэмдэг] / В.С.
Шипачев; засварласан А.Н. Тихонова. - 8 дахь хэвлэл, шинэчилсэн. болон нэмэлт Москва: Юрайт, 2015. - 447 х.
2. Шипачев V. S. Дээд математик. Бүрэн курс: сурах бичиг
академичийн хувьд Бакалаврын зэрэг [Гриф УМО] / V. S. Шипачев; засварласан А.
Н.Тихонова. - 4-р хэвлэл, илч. болон нэмэлт - Москва: Юрайт, 2015. - 608
-тай
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Дээд математик
дасгал, даалгаварт. [Текст] / П.Э. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевникова. 2 цагт - М.: төгссөн сургууль, 2007. – 304+415c.

Тайлан мэдээлэх

1.
Туршилт. Үүний дагуу гүйцэтгэнэ:
Даалгавар ба удирдамжхяналтын ажил явуулах
"ХЭРЭГЛЭЭНИЙ МАТЕМАТИК" чиглэлээр, Екатеринбург, Холбооны улсын автономит боловсролын байгууллага
VO "Оросын улсын мэргэжлийн сурган хүмүүжүүлэгч
Их сургууль, 2016 - 30 х.
Сонголт туршилтын ажилтооны сүүлийн цифрээр сонгоно уу
ангийн дэвтэр.
2.
Шалгалт

Тодорхой бус интеграл, түүний шинж чанар, тооцоо Антидериватив ба тодорхойгүй интеграл

Тодорхойлолт. F x функцийг дуудна
эсрэг дериватив функц f x дээр тодорхойлогдсон
зарим интервал, хэрэв F x f x for
энэ интервалаас х бүр.
Жишээлбэл, cos x функц нь
sin x функцийн эсрэг дериватив, оноос хойш
cos x sin x .

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв F x нь эсрэг дериватив бол
f x функц, дараа нь F x C, энд C нь тогтмол байна
f x функцийн эсрэг дериватив.
Хэрэв F x нь эсрэг дериватив бол
функцууд f x , дараа нь хэлбэрийн дурын функц
Ф x F x C бас байна
эсрэг дериватив функц f x ба дурын
эсрэг деривативыг энэ хэлбэрээр төлөөлж болно.

Тодорхойлолт. Бүгдийн нийлбэр
f x функцийн эсрэг деривативууд,
заримд нь тодорхойлсон
интервал гэж нэрлэдэг
тодорхойгүй интеграл
Энэ интервал дээр f x функцууд ба
f x dx гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв F x нь функцийн эсрэг дериватив бол
f x , дараа нь тэд f x dx F x C бичнэ, гэхдээ
f x dx F x C гэж бичих нь илүү зөв байх болно.
Тогтсон уламжлалын дагуу бид бичих болно
f x dx F x C.
Тиймээс ижил тэмдэг
f x dx нь бүхэлд нь илэрхийлнэ
f x функцийн эсрэг деривативуудын багц,
мөн энэ багцын аль ч элемент.

Интегралын шинж чанарууд

Тодорхой бус интегралын дериватив нь тэнцүү байна
интеграл функц ба түүний дифференциал интеграл илэрхийлэл. Үнэхээр:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Интегралын шинж чанарууд

3. -ийн тодорхойгүй интеграл
тасралтгүй дифференциал (x)
дифференциалагдах функц нь өөртэй нь тэнцүү байна
тогтмол хүртэл энэ функц:
d (x) (x)dx (x) C,
(х) нь (х)-ийн эсрэг дериватив учраас.

Интегралын шинж чанарууд

4. f1 x ба f 2 x функцууд байвал
эсрэг деривативууд бол f1 x f 2 x функц болно
мөн эсрэг деривативтай, ба
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
а
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
гэм х
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Тодорхой бус интегралын хүснэгт

11.
dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
а
а
а х
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
арксин С..
а
dx
1
ха
ln
C
2
2
2a x a
ха
dx
1
а х
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C.
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x

Дифференциалуудын шинж чанарууд

Интеграцид ашиглахад тохиромжтой
шинж чанарууд: 1
1. dx d (сүх)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Жишээ

Жишээ. cos 5xdx-ийг тооцоол.
Шийдэл. Интегралын хүснэгтээс бид олдог
cos xdx sin x C .
Энэ интегралыг хүснэгт болгон хувиргацгаая.
давуу талыг ашиглан d ax adx .
Дараа нь:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= нүгэл 5 х С.
5

Жишээ

Жишээ. х-г тооцоол
3x x 1 dx.
Шийдэл. Интеграл тэмдгийн дор
нь дөрвөн гишүүний нийлбэр юм
интегралыг дөрвийн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ
интеграл:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
xC
3
4
2

Хувьсагчийн төрлөөс хамаарах бие даасан байдал

Интегралыг тооцоолохдоо энэ нь тохиромжтой
дараах шинж чанаруудыг ашиглана уу
интеграл:
Хэрэв f x dx F x C байвал
f x b dx F x b C .
Хэрэв f x dx F x C байвал
1
f ax b dx F ax b C .
а

Жишээ

Тооцоод үзье
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Интеграцийн аргууд Хэсэгээр нь нэгтгэх

Энэ арга нь udv uv vdu томьёо дээр суурилдаг.
Хэсэгчилсэн интегралчлалын аргыг ашиглан дараах интегралуудыг авна.
a) x n sin xdx, энд n 1,2...k;
b) x n e x dx, энд n 1,2...k;
в) x n arctgxdx, энд n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, энд n 0, 1, 2,... k.
a) ба b) интегралыг тооцоолохдоо оруулна
n 1
тэмдэглэгээ: x n u , дараа нь du nx dx , мөн жишээ нь
sin xdx dv , дараа нь v cos x .
Интегралыг тооцоолохдоо c), d), u функцээр тэмдэглэнэ
arctgx, ln x, мөн dv-ийн хувьд x n dx-ийг авна.

Жишээ

Жишээ. x cos xdx-ийг тооцоол.
Шийдэл.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Жишээ

Жишээ. Тооцоол
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 х
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Хувьсагчийг солих арга

f x dx , ба олох шаардлагатай байг
эсрэг деривативыг шууд сонгоно
f x-ийн хувьд бид чадахгүй, гэхдээ бид үүнийг мэднэ
тэр байдаг. Ихэнхдээ олох боломжтой байдаг
шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар эсрэг дериватив,
томъёоны дагуу
f x dx f t t dt , энд x t ба t шинэ байна
хувьсагч

Квадрат гурвалсан гишүүн агуулсан функцүүдийг нэгтгэх

Интегралыг авч үзье
сүх б
dx,
x px q
-д квадрат гурвалж агуулсан
интегралын хуваагч
илэрхийллүүд. Ийм интегралыг бас авч болно
хувьсагчдыг орлуулах аргаар,
өмнө нь хуваарилж байсан
хуваагч нь төгс квадрат юм.
2

Жишээ

Тооцоол
dx
.
x 4x5
Шийдэл. x 2 4 x 5-ийг хувиргацгаая.
2
a b 2 a 2 2ab b 2 томъёог ашиглан бүтэн квадратыг сонгох.
Дараа нь бид:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Жишээ

Хай
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 т
2
dt
1 т
1 т
d(t 2 1)
т
2
1
2
2тдт
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 т 2 1
1 т
2
dt

Тодорхой интеграл, түүний үндсэн шинж чанарууд. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Тодорхой интегралын хэрэглээ.

Тодорхой интеграл гэсэн ойлголтод хүргэдэг
муруй шугамын талбайг олох асуудал
трапецууд.
Тодорхой интервалаар өгье
тасралтгүй функц y f (x) 0
Даалгавар:
Графикийг нь барьж, зургийн талбайг F-г ол.
энэ муруйгаар хязгаарлагдсан хоёр шулуун x = a ба x
= b, доор нь - цэгүүдийн хоорондох абсцисса тэнхлэгийн сегмент
x = a ба x = b.

aABb дүрсийг нэрлэнэ
муруй трапец

Тодорхойлолт

б
f(x)dx
Тодорхой интеграл дор
а
өгөгдсөн тасралтгүй функцээс f(x) хүртэл
Энэ сегментийг ойлгож байна
түүний харгалзах өсөлт
эсрэг дериватив, өөрөөр хэлбэл
F (б) F (а) F (х) /
б
а
a ба b тоонууд - интеграцийн хязгаар,
- интеграцийн интервал.

Дүрэм:

Тодорхой интеграл нь зөрүүтэй тэнцүү байна
эсрэг дериватив интегралын утгууд
дээд ба доод хязгаарт зориулсан функцууд
интеграци.
Ялгааны тэмдэглэгээг оруулснаар
б
F(b)F(a)F(x)/a
б
f (x)dx F (b) F (a)
а
Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд.

1) Тодорхой интегралын утга нь хамаарахгүй
интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээ, i.e.
б
б
а
а
f (x)dx f (t)dt
Энд x ба t нь дурын үсэг юм.
2) Ижилтэй тодорхой интеграл
гадна
интеграци нь тэг байна
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а

3) Интеграцийн хязгаарыг дахин зохицуулах үед
тодорхой интеграл тэмдэгээ эсрэгээр өөрчилнө
б
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
б
(нэмэлт шинж чанар)
4) Хэрэв интервал нь төгсгөлтэй тоонд хуваагдвал
хэсэгчилсэн интервал, дараа нь тодорхой интеграл,
интервал дээр авсан, тодорхой нийлбэртэй тэнцүү байна
бүх хэсэгчилсэн интервалууд дээр авсан интегралууд.
б
в
б
f (x)dx f (x)dx
в
а
а
f(x)dx

5) Тогтмол үржүүлэгчийг тохируулах боломжтой
тодорхой интегралын тэмдгийн хувьд.
6) Алгебрийн тодорхой интеграл
хязгаарлагдмал тооны тасралтгүй тоонуудын нийлбэр
функцууд нь ижил алгебртай тэнцүү байна
эдгээрийн тодорхой интегралуудын нийлбэр
функцууд.

3. Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт.

3. Тодорхой хэмжээнд хувьсагчийг орлуулах
интеграл.
б
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
Хаана
хувьд t [ ; ] , (t) ба (t) функцууд тасралтгүй дээр;
5
Жишээ:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Буруу интеграл.

Буруу интеграл.
Тодорхойлолт. f(x) функц дээр тодорхойлогдоно
хязгааргүй интервал, энд b< + . Если
байдаг
б
лим
f(x)dx,
б
а
тэгвэл энэ хязгаарыг зохисгүй гэж нэрлэдэг
интервал дээрх f(x) функцийн интеграл
}