Тригонометрийн энгийн жишээнүүд. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Тригонометрийн энгийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг

"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын шуурхай шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн 4 төрөл байдаг.
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэгж тойрог дээрх янз бүрийн x байрлалыг харахаас гадна хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглана.
Жишээ 1. sin x = 0.866. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авах болно: x = π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: 2π/3. Санаж байна уу: бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе бөгөөд тэдгээрийн утгууд давтагддаг гэсэн үг юм. Жишээлбэл, sin x ба cos x-ийн үечлэл 2πn, tg x ба ctg x-ийн үечлэл πn байна. Тиймээс хариултыг дараах байдлаар бичнэ.
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Жишээ 2. cos x = -1/2. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авах болно: x = 2π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Жишээ 3. tg (x - π/4) = 0.
Хариулт: x = π/4 + πn.
Жишээ 4. ctg 2x = 1.732.
Хариулт: x = π/12 + πn.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хувиргалтууд.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувиргахын тулд алгебрийн хувиргалт (факторжуулалт, нэгэн төрлийн нэр томъёоны бууралт гэх мэт) болон тригонометрийн ижил төстэй байдлыг ашигладаг.
Жишээ 5: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тэгшитгэлийг 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 тэгшитгэлд хөрвүүлэв. Иймд дараах үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд гарч ирнэ. шийдвэрлэх шаардлагатай: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Мэдэгдэж буй функцийн утгыг ашиглан өнцгийг олох.
- Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахаасаа өмнө мэдэгдэж буй функцийн утгыг ашиглан өнцгийг хэрхэн олох талаар сурах хэрэгтэй. Үүнийг хөрвүүлэх хүснэгт эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.
- Жишээ нь: cos x = 0.732. Тооцоологч х = 42.95 градусын хариултыг өгнө. Нэгж тойрог нь нэмэлт өнцгийг өгөх бөгөөд косинус нь мөн 0.732 байна.
Нэгж тойрог дээр уусмалыг хойш тавь.
- Та тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг нэгж тойрог дээр зурж болно. Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь жирийн олон өнцөгтийн орой юм.
- Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/3 + πn/2 шийдлүүд квадратын оройг илэрхийлнэ.
- Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/4 + πn/3 шийдлүүд ердийн зургаан өнцөгтийн оройг илэрхийлнэ.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.
- Хэрэв өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал уг тэгшитгэлийг үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийд. Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлд хоёр ба түүнээс дээш тригонометрийн функц багтсан бол ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 арга байдаг (түүний хувиргалтын боломжоос хамааран).
  - Арга 1.
- Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга: f(x)*g(x)*h(x) = 0, f(x), g(x), h(x) нь үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд юм.
- Жишээ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Шийдэл. sin 2x = 2*sin x*cos x давхар өнцгийн томьёог ашиглан sin 2x-ийг орлуул.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Одоо cos x = 0 ба (sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
- Жишээ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг cos 2x(2cos x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2cos x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
- Жишээ 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Одоо хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд: cos 2x = 0 ба (2sin x + 1) = 0 .
  - Арга 2.
- Өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэлийг зөвхөн нэг тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл болгон хувирга. Дараа нь энэ тригонометрийн функцийг үл мэдэгдэх функцээр солино, жишээлбэл, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t гэх мэт).
- Жишээ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
- Шийдэл. Энэ тэгшитгэлд (cos^2 x)-г (1 - sin^2 x)-ээр солино (тодорхойлолтын дагуу). Хувиргасан тэгшитгэл нь:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-г t-ээр солино. Одоо тэгшитгэл нь: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Энэ нь t1 = -1 ба t2 = 9/5 гэсэн хоёр үндэстэй квадрат тэгшитгэл юм. Хоёрдахь үндэс t2 нь функцийн мужийг (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Жишээ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Шийдэл. tg x-г t-ээр солино. Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ үү: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Одоо t-ийг олоод дараа нь t = tan x-ийн хувьд х-г ол.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь: тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгож багасгах (тригонометрийн томьёо ашиглах), шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх, факторинг хийх. Тэдгээрийн хэрэглээг жишээн дээр авч үзье. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичих хэлбэрт анхаарлаа хандуулаарай.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэх зайлшгүй нөхцөл бол тригонометрийн томъёоны мэдлэг юм (6-р ажлын 13-р сэдэв).

Жишээ.

1. Хамгийн энгийн болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд.

1) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Хариулт:

2) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, сегментэд хамаарах.

Шийдэл:

Хариулт:

2. Квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: sin 2 x = 1 – cos 2 x томъёог ашиглан бид олж авна

Хариулт:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 томъёог ашиглан бид олж авна

Хариулт:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Хариулт:

3. Нэг төрлийн тэгшитгэл

1) 2sinx – 3cosx = 0 тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: cosx = 0, дараа нь 2sinx = 0 ба sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 гэсэн зөрчилтэй. Энэ нь cosx ≠ 0 гэсэн үг бөгөөд бид тэгшитгэлийг cosx-д хувааж болно. Бид авдаг

Хариулт:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Бид 1 = sin 2 x + cos 2 x, sin 2x = 2 sinxcosx томъёог ашиглан бид олж авна.

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

cosx = 0 байг, дараа нь sin 2 x = 0, sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 гэсэн зөрчилтэй.
Энэ нь cosx ≠ 0 гэсэн үг бөгөөд бид тэгшитгэлийг cos 2 x-т хувааж болно . Бид авдаг

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y гэж тэмдэглэе
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 к, к
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 к, к .

Хариулт: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к,к

4. Маягтын тэгшитгэл а sinx + б cosx = с, с≠ 0.

1) Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Хариулт:

5. Үржүүлгийн аргаар шийддэг тэгшитгэлүүд.

1) sin2x – sinx = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн үндэс е (X) = φ ( X) зөвхөн 0 тоогоор үйлчилнэ. Үүнийг шалгая:

cos 0 = 0 + 1 - тэгш байдал үнэн.

0 тоо нь энэ тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм.

Хариулт: 0.

"Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик конструктор 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосин, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэл юм.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтаж үзье.

1)Хэрэв |a|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |a|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: T(kx+m)=a, T нь зарим тригонометрийн функц юм.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n – n-ийн зэрэглэлд нэгийг хасна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Шийдэл:

A) Энэ удаад тэгшитгэлийн үндсийг шууд тооцоолоход шууд шилжье:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Арктан(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Тэгшитгэлээ ерөнхий хэлбэрээр шийдье: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k-д k=0, x= π/16 үед бид өгөгдсөн хэрчимд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад бид дахин цохилоо.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оносонгүй, энэ нь том k-ийн хувьд бид онохгүй нь тодорхой гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн боловч илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд бас байдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг оруулах аргыг ашиглана.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг гаргаж, үндсийг нь олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) орлуулалтыг танилцуулъя: 2t 2 -3t - 2 = 0

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь үндэс юм: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.

Тодорхойлолт: a sin(x)+b cos(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд cos(x)-д хуваана: Хэрэв косинус нь тэгтэй тэнцүү бол та хуваах боломжгүй, тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид зөрчилдөөнийг олж авдаг тул аюулгүйгээр хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ нь: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гаргая: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 үед x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a=0 бол бидний тэгшитгэл cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ өмнөх слайд дээр байна.

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийг өөрчилж тэгшитгэлийг авна.