5-р зураг дээрх диаграмм:

Дараагийн жишээ: Тэгш бус байдлыг шийд 0.6 2x - 3< 0,36 .

5-р зурагт үзүүлсэн схемийн дагуу бид олж авна
2x - 3> log 0.6 0.36,
2х - 3> 2,
2х> 5,
x> 2.5

Хариулт: (2,5; +∞) .

Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх сүүлчийн схемийг авч үзье a f (x)< b , цагт a> 0болон б<0 Зураг 6-д үзүүлэв:

Жишээлбэл, тэгш бус байдлыг шийдье:

Бид x-ийг ямар тоогоор орлуулахаас үл хамааран тэгш бус байдлын зүүн тал үргэлж тэгээс их, бидний илэрхийлэл -8-аас бага байдаг гэдгийг бид тэмдэглэж байна. ба тэг бол шийдэл байхгүй болно.

Хариулт: шийдэл байхгүй.

Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг хэрхэн шийддэгийг мэдэхийн тулд та үргэлжлүүлж болно экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Жишээ 1.

Тэгш бус байдлыг хангадаг хамгийн том бүхэл тоон утгыг ол

6 x нь тэгээс их (ямар ч x-ийн хувьд хуваагч арилдаггүй) тул тэгш бус байдлын хоёр талыг 6 x-ээр үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

440 - 2 6 2x> 8, тэгвэл
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

х< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Хариулт: 1.

Жишээ 2.

Тэгш бус байдлыг шийдэх 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

Бид 2 х-ээс y-г тэмдэглэж, y 2 - 3y + 2 ≤ 0 тэгш бус байдлыг олж авна, бид энэ квадрат тэгш бус байдлыг шийднэ.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 ба y 2 = 2.

Параболагийн мөчрүүд дээшээ чиглэсэн тул бид графикийг дүрслэх болно.

Тэгвэл тэгш бус байдлын шийдэл нь 1-р тэгш бус байдал юм< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Хариулт: (0; 1) .

Жишээ 3... Тэгш бус байдлыг шийдэх 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Тэгш бус байдлын нэг хэсэгт ижил суурьтай илэрхийллүүдийг цуглуулъя

5 х +1 - 2,5 х< 3 x +2 – 2·3 x –1

Тэгш бус байдлын зүүн талд 5 х, баруун талд 3 х-г гаргаж, тэгш бус байдлыг олж авна.

5 х (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 х< (25/3)·3 х

Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг 3 3 x илэрхийллээр хуваавал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, 3 3 x эерэг тоо тул бид тэгш бус байдлыг олж авна.

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Хариулт: (–∞; 2) .

Хэрэв танд экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх талаар асуух зүйл байвал эсвэл ижил төстэй жишээнүүдийг шийдвэрлэхийг хүсвэл миний хичээлд бүртгүүлээрэй. Багш Валентина Галиневская.

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Мөн өнөөдөр оновчтой тэгш бус байдал бүх зүйлийг шийдэж чадахгүй. Илүү нарийн, зөвхөн хүн бүр шийдэж чадахгүй. Цөөхөн хүн үүнийг хийж чадна.
Кличко

Энэ хичээл хэцүү байх болно. Зөвхөн Сонгогдсон хүмүүс л эцсээ хүртэл явах болно. Тиймээс уншиж эхлэхээсээ өмнө эмэгтэйчүүд, муур, жирэмсэн хүүхдүүд, ...

Алив, энэ үнэхээр энгийн. Та интервалын аргыг эзэмшсэн (хэрэв та үүнийг эзэмшээгүй бол буцаж очоод уншихыг зөвлөж байна) $ P \ left (x \ right) \ gt 0 $ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан гэж бодъё. $ P \ left (x \ right) $ нь олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнтийн үржвэр юм.

Жишээлбэл, ийм төрлийн тоглоомыг шийдэх нь танд хэцүү биш байх болно гэдэгт би итгэж байна (дашрамд хэлэхэд, халаалтанд зориулж үзээрэй):

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ баруун) \ зүүн (4x + 25 \ баруун) \ gt 0; \\ & x \ зүүн (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ баруун) \ зүүн (x-1 \ баруун) \ ge 0; \\ & \ зүүн (8x - ((x) ^ (4)) \ баруун) ((\ зүүн (x-5 \ баруун)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Одоо даалгаврыг бага зэрэг хүндрүүлж, зөвхөн олон гишүүнт биш, харин хэлбэрийн оновчтой бутархайг авч үзье.

$ P \ left (x \ баруун) $ ба $ Q \ зүүн (x \ баруун) $ нь $ ((а) _ (n)) ((x) ^ (n)) + хэлбэрийн ижил олон гишүүнтүүд юм. (( a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, эсвэл ийм олон гишүүнтүүдийн үржвэр.

Энэ нь оновчтой тэгш бус байдал байх болно. Үндсэн цэг бол хуваарьт $ x $ хувьсагч байгаа явдал юм. Жишээлбэл, эдгээр нь оновчтой тэгш бус байдал юм:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ зүүн (7x + 1 \ баруун) \ зүүн (11x + 2 \ баруун)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ зүүн (3-x \ баруун)) ^ (2)) \ зүүн (4 - ((x) ^ ( 2)) \ баруун)) \ ge 0. \\ \ төгсгөл (эгцлэх) \]

Энэ нь оновчтой биш, харин интервалын аргаар шийдэгддэг хамгийн нийтлэг тэгш бус байдал юм.

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

Урагшаа хараад би шууд хэлэх болно: оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх дор хаяж хоёр арга бий, гэхдээ тэдгээр нь бүгд ямар нэгэн байдлаар бидний мэддэг интервалын арга руу буурдаг. Тиймээс, эдгээр аргуудыг судлахаасаа өмнө хуучин баримтуудыг эргэн санацгаая, эс тэгвээс шинэ материалаас ямар ч утгагүй болно.

Та аль хэдийн мэдэх ёстой зүйлээ

Олон чухал баримтууд байдаггүй. Бидэнд ердөө дөрөв л хэрэгтэй.

Үржүүлэх товчилсон томъёо

Тийм ээ, тийм: тэд сургуулийн математикийн хичээлийн туршид биднийг зовоох болно. Мөн их сургуульд. Эдгээр томьёо цөөнгүй байгаа ч бидэнд дараах зүйл л хэрэгтэй.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & (а) ^ (2)) \ pm 2ab + ((б) ^ (2)) = ((\ зүүн (a \ pm b \ баруун)) ^ (2)); \\ & ((а) ^ (2)) - (б) ^ (2)) = \ зүүн (a-b \ баруун) \ зүүн (a + b \ баруун); \\ & ((а) ^ (3)) + ((б) ^ (3)) = \ зүүн (a + b \ баруун) \ зүүн (((а) ^ (2)) - ab + ((b) ) ^ (2)) \ баруун); \\ & ((а) ^ (3)) - ((б) ^ (3)) = \ зүүн (ab \ баруун) \ зүүн (((а) ^ (2)) + ab + ((б) ^ ( 2)) \ баруун). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Сүүлийн хоёр томъёонд анхаарлаа хандуулаарай - эдгээр нь кубуудын нийлбэр ба зөрүү юм (нийлбэр эсвэл зөрүү биш!). Хэрэв та эхний хаалтанд байгаа тэмдэг нь анхны илэрхийлэл дэх тэмдэгтэй тохирч байгааг анзаарсан бол тэдгээрийг санахад хялбар бөгөөд хоёр дахь нь анхны илэрхийлэл дэх тэмдгийн эсрэг байна.

Шугаман тэгшитгэл

Эдгээр нь $ ax + b = 0 $ хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд бөгөөд $ a $ ба $ b $ нь энгийн тоо бөгөөд $ a \ ne 0 $ байна. Энэ тэгшитгэлийг энгийнээр шийдэж болно:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & сүх + b = 0; \\ & сүх = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

$ a \ ne 0 $ учраас бид $ a $ коэффициентоор хуваах эрхтэй гэдгийг анхаарна уу. Энэ шаардлага нь нэлээд логик юм, учир нь $ a = 0 $ хувьд бид үүнийг олж авна:

Нэгдүгээрт, энэ тэгшитгэлд $ x $ хувьсагч байхгүй. Ерөнхийдөө энэ нь биднийг төөрөлдүүлэх ёсгүй (энэ нь геометрийн хувьд ихэвчлэн тохиолддог), гэхдээ бид шугаман тэгшитгэлтэй тулгарахаа больсон.

Хоёрдугаарт, энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь зөвхөн $ b $ коэффициентээс хамаарна. Хэрэв $ b $ мөн тэг бол бидний тэгшитгэл $ 0 = 0 $ хэлбэртэй байна. Энэ тэгш байдал үргэлж үнэн байдаг; иймээс $ x $ нь дурын тоо (ихэвчлэн ингэж бичдэг: $ x \ in \ mathbb (R) $). Хэрэв $ b $ коэффициент тэгтэй тэнцүү биш бол $ b = 0 $ тэгш байдал хэзээ ч хангагдахгүй, өөрөөр хэлбэл. хариулт алга (\ varnothing $ дотор $ x \ гэж бичээд "шийдлийн багц хоосон" гэж уншина уу).

Эдгээр бүх хүндрэлээс зайлсхийхийн тулд бид зүгээр л $ a \ ne 0 $ гэж тооцдог бөгөөд энэ нь бидний цаашдын сэтгэлгээг ямар ч байдлаар хязгаарладаггүй.

Квадрат тэгшитгэл

Үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя:

Энд зүүн талд хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт байгаа бөгөөд дахин $ a \ ne 0 $ (өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэлийн оронд шугаман тэгшитгэлийг авна). Дискриминантаар дараах тэгшитгэлийг шийднэ.

1. Хэрэв $ D \ gt 0 $ бол бид хоёр өөр үндэс авна;
2. Хэрэв $ D = 0 $ бол нэг үндэс байх болно, гэхдээ хоёр дахь үржвэрийн (энэ олон талт байдал гэж юу вэ, үүнийг хэрхэн анхаарч үзэх вэ - энэ талаар дараа нь). Эсвэл тэгшитгэл нь хоёр ижил үндэстэй гэж хэлж болно;
3. $ D \ lt 0 $-ын хувьд язгуур огт байхгүй бөгөөд дурын $ x $-ийн $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ олон гишүүнтийн тэмдэг $ коэффициентийн тэмдэгтэй давхцаж байна. доллар. Дашрамд хэлэхэд, энэ бол маш хэрэгтэй баримт бөгөөд яагаад ч юм тэд алгебрийн хичээл дээр ярихаа мартдаг.

Үндэс нь өөрсдийгөө сайн мэддэг томъёоны дагуу авч үздэг.

\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

Тиймээс, дашрамд хэлэхэд, ялгаварлагчийн хязгаарлалт. Эцсийн эцэст сөрөг тооны квадрат язгуур байдаггүй. Үндэсний хувьд олон оюутнуудын толгойд аймшигтай эмх замбараагүй байдаг тул би бүхэл бүтэн хичээлийг тусгайлан бичсэн: алгебрт үндэс гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн тоолох вэ - би үүнийг уншихыг зөвлөж байна. :)

Рационал бутархайтай үйлдлүүд

Дээр бичсэн бүх зүйлийг та интервалын аргыг судалж үзсэн эсэхээ аль хэдийн мэддэг болсон. Гэхдээ бидний одоо дүн шинжилгээ хийх зүйл урьд өмнө байгаагүй - энэ бол цоо шинэ баримт юм.

Тодорхойлолт. Рационал бутархай нь иймэрхүү илэрхийлэл юм

\ [\ frac (P \ зүүн (x \ баруун)) (Q \ зүүн (x \ баруун)) \]

Энд $ P \ зүүн (x \ баруун) $ ба $ Q \ зүүн (x \ баруун) $ олон гишүүнт байна.

Мэдээжийн хэрэг, ийм бутархайгаас тэгш бус байдлыг олж авах нь хялбар байдаг - баруун талд "илүү" эсвэл "бага" тэмдгийг өгөхөд л хангалттай. Цаашид бид ийм асуудлыг шийдэх нь таатай гэдгийг олж мэдэх болно, тэнд бүх зүйл маш энгийн байдаг.

Нэг илэрхийлэлд хэд хэдэн ийм бутархай байх үед асуудал эхэлдэг. Тэдгээрийг нийтлэг зүйл болгон багасгах хэрэгтэй - яг энэ мөчид олон тооны довтолгооны алдаа гарч байна.

Тиймээс оновчтой тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та хоёр ур чадварыг хатуу эзэмших хэрэгтэй.

1. $ P \ left (x \ баруун) $ олон гишүүнт хүчин зүйл;
2. Үнэн хэрэгтээ бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах.

Олон гишүүнтийг хэрхэн хүчин зүйл болгох вэ? Маш энгийн. Бидэнд олон гишүүнт хэлбэрийн олон гишүүн байна гэж бодъё

Бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж байна. Бид $ n $ -р зэргийн тэгшитгэлийг олж авна.

\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((а) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1)) x + ((а) _ (0)) = 0 \]

Бид энэ тэгшитгэлийг шийдэж, $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ үндсийг авлаа гэж бодъё (санаа зовох хэрэггүй: ихэнх тохиолдолд ийм байх болно. эдгээр үндэсийн хоёроос илүүгүй) ... Энэ тохиолдолд бидний анхны олон гишүүнтийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & P \ зүүн (x \ баруун) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((а) _ (n-1)) ((x) ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((а) _ (n)) \ зүүн ( x - ((x) _ (1)) \ баруун) \ cdot \ зүүн (x - ((x) _ (2)) \ баруун) \ cdot ... \ cdot \ зүүн (x - ((x) _) ( n)) \ баруун) \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Тэгээд л болоо! Анхаарна уу: тэргүүлэх коэффициент $ ((a) _ (n)) $ хаана ч алга болоогүй - энэ нь хаалтны өмнө тусдаа хүчин зүйл байх бөгөөд шаардлагатай бол эдгээр хаалтанд оруулж болно (дадлага харуулж байна). $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ -ийн хамт үндэснүүдийн дунд бараг үргэлж бутархай байдаг).

Даалгавар. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2х-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2)) (x + 2) \]

Шийдэл. Эхлээд хуваагчдыг харцгаая: тэдгээр нь бүгд шугаман биномууд бөгөөд үүнд тооцох зүйл байхгүй. Тиймээс тоологчдыг хасъя:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & (x) ^ (2)) + x-20 = \ зүүн (x + 5 \ баруун) \ зүүн (x-4 \ баруун); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ зүүн (x- \ frac (3) (2) \ баруун) \ зүүн (x-1 \ баруун) = \ зүүн (2x- 3 \ баруун) \ зүүн (x-1 \ баруун); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ зүүн (x + 2 \ баруун) \ зүүн (x- \ frac (2) (5) \ баруун) = \ зүүн (x +2 \ баруун) \ зүүн (2-5x \ баруун). \\\ төгсгөл (зохицуулах) \]

Анхаарна уу: хоёр дахь олон гишүүнтэд "2" тэргүүлэх коэффициент нь бидний схемийн дагуу эхлээд хаалтны өмнө гарч ирсэн бөгөөд дараа нь фракц гарч ирснээс хойш эхний хаалтанд оруулсан болно.

Гурав дахь олон гишүүнтэд ижил зүйл тохиолдсон бөгөөд зөвхөн тэнд нэр томъёоны дараалал бас андуурч байна. Гэсэн хэдий ч "−5" коэффициент нь хоёр дахь хаалтанд орсон (сан: та хүчин зүйлийг зөвхөн нэг хаалтанд оруулж болно!), Энэ нь биднийг бутархай язгууртай холбоотой эвгүй байдлаас аварсан.

Эхний олон гишүүнтийн хувьд энд бүх зүйл энгийн байдаг: түүний үндсийг дискриминантаар эсвэл Вьетагийн теоремоор дамжуулан стандарт аргаар хайдаг.

Анхны илэрхийлэл рүү буцаж, хүчин зүйлчилсэн тоонуудын тусламжтайгаар дахин бичье.

\ [\ эхлэл (матриц) \ frac (\ зүүн (x + 5 \ баруун) \ зүүн (x-4 \ баруун)) (x-4) - \ frac (\ зүүн (2x-3 \ баруун) \ зүүн ( x-1 \ баруун)) (2x-3) - \ frac (\ зүүн (x + 2 \ баруун) \ зүүн (2-5x \ баруун)) (x + 2) = \\ = \ зүүн (x + 5) \ баруун) - \ зүүн (x-1 \ баруун) - \ зүүн (2-5x \ баруун) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ төгсгөл (матриц) \]

Хариулт: $ 5x + $ 4.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. 7-8-р ангид бага зэрэг математик - тэгээд л болоо. Бүх өөрчлөлтүүдийн гол зорилго нь ажиллахад хялбар, төвөгтэй, аймшигтай илэрхийллээс энгийн зүйлийг олж авах явдал юм.

Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж тийм биш байх болно. Тиймээс одоо бид илүү ноцтой асуудлыг авч үзэх болно.

Гэхдээ эхлээд хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу хэрхэн авчрахыг олж мэдье. Алгоритм нь маш энгийн:

1. Хуваагчийг хоёуланг нь тооцох;
2. Эхний хуваагчийг авч үзээд эхний хуваарьт биш харин хоёр дахь хуваарьт байгаа хүчин зүйлсийг нэмнэ үү. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь нийтлэг зүйл байх болно;
3. Анхны бутархай тус бүрт ямар хүчин зүйл дутагдаж байгааг олж мэд, ингэснээр хуваагч нь ерөнхийтэй тэнцүү болно.

Магадгүй энэ алгоритм нь танд "олон үсэг" агуулсан текст мэт санагдаж магадгүй юм. Тиймээс бид бүх зүйлийг тодорхой жишээгээр шинжлэх болно.

Даалгавар. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\ [\ зүүн (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ баруун) \ cdot \ зүүн (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ баруун) \]

Шийдэл. Ийм том асуудлыг хэсэг хэсгээр нь шийдэх нь дээр. Эхний хаалтанд юу байгааг бичье.

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]

Өмнөх асуудлаас ялгаатай нь энд бүх зүйл хуваагчтай тийм ч хялбар биш юм. Тэдгээрийг тус бүрээр нь авч үзье.

$ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх боломжгүй (дискриминант нь сөрөг байна) ). Бид үүнийг өөрчлөхгүй үлдээдэг.

Хоёрдахь хуваагч - куб олон гишүүнт $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - нягт нямбай судалж үзэхэд шоо дөрвөлжингийн зөрүү бөгөөд үржүүлэх товчилсон томъёоны дагуу амархан задалж болно.

\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x)) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун) \]

Эхний хаалтанд шугаман бином байгаа тул хоёрдахь хаалтанд бодит үндэсгүй, бидэнд аль хэдийн танил болсон барилга байгууламж байгаа тул өөр юуг ч хүчин зүйлээр ангилж болохгүй.

Эцэст нь, гурав дахь хуваагч нь задрах боломжгүй шугаман бином юм. Тиймээс бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно.

\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) - \ frac (1) (x-2) \]

Нийтлэг хуваагч нь яг $ \ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун) $ байх нь ойлгомжтой бөгөөд түүнд бүх бутархайг багасгахын тулд, та эхний бутархайг $ \ зүүн (x-2 \ баруун) $, сүүлчийн хэсгийг $ \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун) $ болгон үржүүлэх хэрэгтэй. Дараа нь дараахь зүйлийг өгөхөд л үлддэг.

\ [\ эхлэл (матриц) \ frac (x \ cdot \ зүүн (x-2 \ баруун)) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) - \ frac (1 \ cdot \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ баруун)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ зүүн (x-2 \ баруун) + \ зүүн (((x) ^ (2)) + 8 \ баруун) - \ зүүн (((x) ) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)). \\ \ төгсгөл (матриц) \]

Хоёр дахь мөрөнд анхаарлаа хандуулаарай: хуваагч аль хэдийн нийтлэг болсон үед, i.e. Гурван тусдаа бутархайн оронд бид нэг томыг бичсэн тул та тэр даруй хашилтаас салж болохгүй. Нэмэлт мөр бичиж, гурав дахь бутархайн өмнө хасах тэмдэг байсан гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь хаашаа ч явахгүй, харин хаалтны өмнөх тоологч дээр "өлгөх" болно. Энэ нь таныг маш олон алдаанаас аврах болно.

За, сүүлийн мөрөнд тоологчийг задлах нь ашигтай. Түүгээр ч барахгүй энэ бол яг дөрвөлжин бөгөөд товчилсон үржүүлэх томъёонууд бидэнд дахин туслах болно. Бидэнд байгаа:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун)) = \ frac (((\ зүүн (x-2 \ баруун)) ^ (2))) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ баруун) ) = \ frac (x-2) ((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

Одоо хоёр дахь хаалттай ижил аргаар харьцъя. Энд би тэгш байдлын гинжин хэлхээг бичье:

\ [\ эхлэл (матриц) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (x + 2 \ баруун)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x)) ^ (2))) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (x + 2 \ баруун)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (x + 2 \ баруун)) + \ frac (2 \ cdot \ зүүн (x + 2 \ баруун)) (\ зүүн (x-2 \ баруун) ) \ cdot \ зүүн (x + 2 \ баруун)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ зүүн (x + 2 \ баруун)) (\ зүүн (x-2) \ баруун) \ зүүн (x + 2 \ баруун)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (x + 2 \ баруун) ). \\ \ төгсгөл (матриц) \]

Бид анхны асуудал руу буцаж очоод бүтээгдэхүүнийг харна уу:

\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ зүүн (x-2) \ баруун) \ зүүн (x + 2 \ баруун)) = \ frac (1) (x + 2) \]

Хариулт: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

Энэ даалгаврын утга нь өмнөхтэй ижил байна: хэрэв та хувиргахад ухаалгаар хандах юм бол оновчтой илэрхийллийг хичнээн хялбарчилж болохыг харуулах.

Одоо та энэ бүгдийг мэдэж байгаа тул өнөөдрийн хичээлийн гол сэдэв болох бутархай-рациональ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тухай ярилцъя. Түүнээс гадна, ийм бэлтгэл хийсний дараа тэгш бус байдал нь самар шиг хагарах болно. :)

Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга зам

Рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх дор хаяж хоёр арга байдаг. Одоо бид тэдгээрийн аль нэгийг нь авч үзэх болно - сургуулийн математикийн курст нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн нэгийг.

Гэхдээ эхлээд нэг чухал зүйлийг тэмдэглэе. Бүх тэгш бус байдлыг хоёр төрөлд хуваадаг.

1. Хатуу: $ f \ зүүн (x \ баруун) \ gt 0 $ эсвэл $ f \ зүүн (x \ баруун) \ lt 0 $;
2. Лакс: $ f \ зүүн (x \ баруун) \ ge 0 $ эсвэл $ f \ зүүн (x \ баруун) \ le 0 $.

Хоёрдахь төрлийн тэгш бус байдлыг эхнийх, мөн тэгшитгэл болгон хялбархан бууруулж болно.

Энэхүү жижиг "нэмэлт" $ f \ left (x \ баруун) = 0 $ нь дүүргэсэн цэгүүд гэх мэт таагүй зүйл рүү хөтөлдөг - бид тэдгээрийг хоорондын зайны аргаар дахин мэддэг болсон. Үгүй бол хатуу ба хатуу бус тэгш бус байдлын хооронд ямар ч ялгаа байхгүй тул бүх нийтийн алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе:

1. Тэг биш бүх элементийг тэгш бус тэмдгийн нэг талд цуглуул. Жишээлбэл, зүүн талд;
2. Бүх бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваач (хэрэв хэд хэдэн ийм бутархай байгаа бол), ижил төстэй зүйлийг авчир. Дараа нь боломжтой бол тоо болон хуваагчаар үржүүлээрэй. Нэг арга замаар бид $ \ frac (P \ зүүн (x \ баруун)) (Q \ зүүн (x \ баруун)) \ vee 0 $ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авдаг бөгөөд энд шалгах тэмдэг нь тэгш бус байдлын тэмдэг юм.
3. Тоолуурыг тэг болгож тохируулна уу: $ P \ left (x \ баруун) = 0 $. Бид энэ тэгшитгэлийг шийдэж $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... язгууруудыг авна. хуваагч тэгтэй тэнцүү биш байсан нь: $ Q \ left (x \ right) \ ne 0 $. Мэдээжийн хэрэг, бид $ Q \ left (x \ right) = 0 $ тэгшитгэлийг шийдэх ёстой бөгөөд бид $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) язгуурыг авна. $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (бодит асуудлуудад ийм язгуур гурваас илүү байх албагүй).
4. Бид эдгээр бүх үндсийг (одтой ба одгүй) нэг тооны мөрөнд тэмдэглэж, одгүй үндсийг будаж, одоор нь хайчилж авдаг.
5. Бид нэмэх ба хасах тэмдгийг байрлуулж, шаардлагатай интервалыг сонгоно. Хэрэв тэгш бус байдал нь $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ шиг байвал хариулт нь "нэмэх" гэж тэмдэглэгдсэн интервалууд байх болно. Хэрэв $ f \ зүүн (x \ баруун) \ lt 0 $ байвал "хасах" гэсэн интервалуудыг харна уу.

Дадлагаас харахад хамгийн их бэрхшээл нь 2 ба 4-р цэгүүд - чадварлаг хувиргалт, тоонуудыг өсөх дарааллаар зөв байрлуулахаас үүдэлтэй байдаг. Эцсийн шатанд маш болгоомжтой байгаарай: бид үргэлж найддаг тэмдгүүдийг байрлуулдаг тэгшитгэл рүү орохын өмнө хамгийн сүүлд бичсэн тэгш бус байдал... Энэ бол зайны аргаас удамшсан бүх нийтийн дүрэм юм.

Тиймээс, схем тэнд байна. Дасгал хийцгээе.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

Шийдэл. Бидний өмнө $ f \ left (x \ баруун) \ lt 0 $ хэлбэрийн хатуу тэгш бус байдал байна. Мэдээжийн хэрэг, бидний схемийн 1, 2-р цэгүүд аль хэдийн дууссан: тэгш бус байдлын бүх элементүүдийг зүүн талд цуглуулсан тул нийтлэг хуваагч руу юу ч авчрах шаардлагагүй. Тиймээс бид гурав дахь цэг рүү шууд очно.

Тоолуурыг тэг болгож тохируулна уу:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ төгсгөл (тэгцүүлэх) \]

Мөн хуваагч нь:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Олон хүмүүс энэ газрыг баримталдаг, учир нь онолын хувьд та ODZ-ийн шаардлагын дагуу $ x + 7 \ ne 0 $ гэж бичих хэрэгтэй (та тэгээр хувааж болохгүй, тэгээд л болоо). Гэхдээ ирээдүйд бид хуваагчаас ирсэн цэгүүдийг арилгах болно, тиймээс та тооцоогоо дахин хүндрүүлэх шаардлагагүй - хаа сайгүй тэнцүү тэмдэг бичиж, санаа зовох хэрэггүй. Үүний төлөө хэн ч оноогоо бууруулахгүй. :)

Дөрөв дэх цэг. Бид үүссэн үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх цэгүүд цоорсон

Жич: Анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх цэгүүд цоорсон байна... Мөн энд эдгээр цэгүүд тоологч эсвэл хуваагчаас ирсэн эсэх нь хамаагүй.

За, бид тэмдгүүдийг харж байна. $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $ гэсэн дурын тоог авна. Жишээлбэл, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (гэхдээ та $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ эсвэл $ ((x) _ (0) авч болно. ) = 1 \ 000 \ 000 $). Бид авах:

Тиймээс, бүх үндэсийн баруун талд бид эерэг талбартай байна. Мөн үндэс бүрээр дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг (энэ нь үргэлж тийм биш байх болно, гэхдээ дараа нь илүү ихийг хэлнэ). Тиймээс бид тав дахь цэг рүү шилжлээ: тэмдгүүдийг цэгцэлж, хэрэгтэйг нь сонго.

Бид тэгшитгэлийн шийдээс өмнөх сүүлчийн тэгш бус байдал руу буцна. Үнэндээ энэ нь анхныхтай давхцаж байна, учир нь бид энэ даалгаварт ямар ч өөрчлөлт хийгээгүй.

$ f \ left (x \ баруун) \ lt 0 $ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай тул би $ x \ интервалыг \ зүүн (-7; 3 \ баруун) $ -д сүүдэрлэсэн - энэ нь цорын ганц юм. хасах тэмдгээр тэмдэглэгдсэн. Энэ бол хариулт юм.

Хариулт: $ x \ in \ left (-7; 3 \ баруун) $

Тэгээд л болоо! Хэцүү байна уу? Үгүй ээ, хэцүү биш. Үнэн, даалгавар нь амархан байсан. Одоо номлолыг бага зэрэг хүндрүүлж, илүү "сайхан" тэгш бус байдлыг авч үзье. Үүнийг шийдэхдээ би ийм нарийвчилсан тооцоо хийхээ больсон - би зүгээр л гол санааг тоймлох болно. Ер нь бие даасан ажил, шалгалт дээр хийдэг шиг л зохион байгуулна. :)

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (\ зүүн (7x + 1 \ баруун) \ зүүн (11x + 2 \ баруун)) (13x-4) \ ge 0 \]

Шийдэл. Энэ нь $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ хэлбэрийн сул тэгш бус байдал юм. Бүх тэгээс бусад элементүүдийг зүүн талд цуглуулсан, өөр хуваагч байхгүй. Тэгшитгэл рүү шилжье.

Тоологч:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (7x + 1 \ баруун) \ зүүн (11x + 2 \ баруун) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

хуваагч:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Энэ асуудал ямар гажуудал байсныг би мэдэхгүй, гэхдээ үндэс нь тийм ч сайн ажиллаагүй: тэдгээрийг тооны мөрөнд байрлуулахад хэцүү байх болно. Хэрэв $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ үндэстэй бол бүх зүйл тодорхой эсвэл тодорхой байвал (энэ бол цорын ганц эерэг тоо - баруун талд байх болно), $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ ба $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ нэмэлт судалгаа шаарддаг: аль нь том уу?

Жишээлбэл, та дараахь зүйлийг олж мэдэх боломжтой.

\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2) )) \]

Яагаад тоон бутархай $ - (2) / (14) \ гэдгийг тайлбарлах шаардлагагүй гэж найдаж байна. \ gt - (2) / (11) \; $? Шаардлагатай бол бутархайтай үйлдлийг хэрхэн хийхийг санахыг зөвлөж байна.

Мөн бид бүх гурван үндэсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Тоолуурын цэгүүдийг дүүргэж, хуваагчаас нь хайчилж авав

Бид тэмдэг тавьдаг. Жишээлбэл, та $ ((x) _ (0)) = 1 $ авч, энэ үед тэмдгийг олж мэдэх боломжтой.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & f \ зүүн (x \ баруун) = \ frac (\ зүүн (7x + 1 \ баруун) \ зүүн (11x + 2 \ баруун)) (13x-4); \\ & f \ зүүн (1 \ баруун) = \ frac (\ зүүн (7 \ cdot 1 + 1 \ баруун) \ зүүн (11 \ cdot 1 + 2 \ баруун)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ төгсгөл (зохицуулах) \]

Тэгшитгэлийн өмнөх сүүлчийн тэгш бус байдал нь $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ байсан тул бид нэмэх тэмдгийг сонирхож байна.

Бид хоёр багц авсан: нэг нь энгийн сегмент, нөгөө нь тооны шулуун дээрх нээлттэй туяа юм.

Хариулт: $ x \ in \ left [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ баруун] \ bigcup \ left (\ frac (4) (13); + \ infty \ баруун ) $

Бид хамгийн баруун талын интервал дээрх тэмдгийг орлуулдаг тоонуудын талаархи чухал тэмдэглэл. Хамгийн баруун талын үндэстэй ойролцоо тоог орлуулах шаардлагагүй. Та хэдэн тэрбум эсвэл бүр "нэмэх хязгааргүй" -ийг авч болно - энэ тохиолдолд хаалт, тоологч эсвэл хуваагч дахь олон гишүүнтийн тэмдгийг зөвхөн тэргүүлэх коэффициентийн тэмдгээр тодорхойлно.

Сүүлийн тэгш бус байдлаас $ f \ left (x \ right) $ функцийг дахин харцгаая.

Түүний бичлэгт гурван олон гишүүнт байдаг:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & (P) _ (1)) \ зүүн (x \ баруун) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ зүүн (x \ баруун) = 11x + 2; \\ & Q \ зүүн (x \ баруун) = 13x-4. \ төгсгөл (тэгцүүлэх) \]

Эдгээр нь бүгд шугаман биномууд бөгөөд бүх тэргүүлэх коэффициентүүд (7, 11, 13 тоо) эерэг байна. Тиймээс маш их тоог орлуулах үед олон гишүүнтүүд нь эерэг байх болно. :)

Энэ дүрэм нь хэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж болох ч эхлээд бид маш хялбар асуудлыг шинжлэхэд л болно. Ноцтой тэгш бус байдлын үед нэмэх-хязгааргүй орлуулалт нь $ ((x) _ (0)) = 100 $ стандартаас хамаагүй хурдан тэмдгийг олох боломжийг бидэнд олгоно.

Бид тун удахгүй ийм сорилтуудтай тулгарах болно. Гэхдээ эхлээд бутархай-рациональ тэгш бус байдлыг шийдэх өөр аргыг авч үзье.

Альтернатив арга

Энэ аргыг нэг шавь маань надад санал болгосон. Би өөрөө үүнийг хэзээ ч ашиглаж байгаагүй, гэхдээ олон оюутнууд тэгш бус байдлыг ийм аргаар шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтой гэдгийг практикт харуулсан.

Тиймээс анхны өгөгдөл нь ижил байна. Бутархай-рациональ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай.

\ [\ frac (P \ зүүн (x \ баруун)) (Q \ зүүн (x \ баруун)) \ gt 0 \]

Ингээд бодоцгооё: $ Q \ зүүн (x \ баруун) $ олон гишүүнт $ P \ зүүн (x \ баруун) $ олон гишүүнээс яаж "муу" байна вэ? Яагаад бид тусдаа бүлгүүдийг үндэс болгон авч үзэх ёстой вэ (одтой ба одгүй), цоорсон цэгийн талаар бодох гэх мэт? Энэ нь энгийн: бутархай нь тодорхойлолтын мужтай бөгөөд гийгүүлэгч нь хуваагч нь тэгээс өөр байх үед л утга учиртай болно.

Үгүй бол тоологч ба хуваагч хоёрын хооронд ямар ч ялгаа ажиглагдахгүй: бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үндсийг хайж, дараа нь тоон мөрөнд тэмдэглэнэ. Тэгвэл яагаад бутархайн хэсгийг (үнэндээ хуваах тэмдэг) ердийн үржүүлгээр сольж, DHS-ийн бүх шаардлагыг тусдаа тэгш бус байдлын хэлбэрээр бичиж болохгүй гэж? Жишээлбэл, иймэрхүү:

\ [\ frac (P \ зүүн (x \ баруун)) (Q \ зүүн (x \ баруун)) \ gt 0 \ Баруун сум \ зүүн \ (\ эхлэх (зэрэгцүүлэх) & P \ зүүн (x \ баруун) \ cdot Q \ зүүн (x \ баруун) \ gt 0, \\ & Q \ зүүн (x \ баруун) \ ne 0. \\ \ төгсгөл (эгцлэх) \ баруун. \]

Анхаарна уу: энэ арга нь асуудлыг интервалын арга болгон багасгах боловч шийдлийг огт хүндрүүлэхгүй. Эцсийн эцэст бид $ Q \ зүүн (x \ баруун) $ олон гишүүнтийг тэгтэй тэнцүүлэх болно.

Энэ нь бодит ертөнцийн асуудлууд дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

Шийдэл. Тиймээс зайны арга руу шилжье:

\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Баруун сум \ зүүн \ (\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (x + 8 \ баруун) \ зүүн (x-11 \ баруун) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \ баруун. \]

Эхний тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хялбар. Бид зүгээр л хаалт бүрийг тэгтэй тэнцүүлнэ:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & x + 8 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (2)) = 11. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь бас энгийн:

Бид тоон мөрөнд $ ((x) _ (1)) $ ба $ ((x) _ (2)) $ цэгүүдийг тэмдэглэнэ. Тэгш бус байдал хатуу байгаа тул бүгдийг нь хайчилж авсан.

Зөв цэгийг хоёр удаа цооллоо. Энэ зүгээр.

$ x = 11 $ цэгийг анхаарч үзээрэй. Энэ нь "хоёр удаа цоорсон" нь харагдаж байна: нэг талаас, бид тэгш бус байдлын ноцтой байдлаас болж, нөгөө талаас DHS-ийн нэмэлт шаардлагын улмаас үүнийг гаргаж авдаг.

Ямар ч тохиолдолд энэ нь зүгээр л цоорсон цэг байх болно. Тиймээс бид тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээс өмнө хамгийн сүүлд харсан $ \ зүүн (x + 8 \ баруун) \ зүүн (x-11 \ баруун) \ gt 0 $ тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг байрлуулна.

Бид эерэг бүс нутгийг сонирхож байна, учир нь бид $ f \ left (x \ баруун) \ gt 0 $ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдэж, тэдгээрийг сүүдэрлээрэй. Хариултыг бичихэд л үлдлээ.

Хариулах. $ x \ in \ зүүн (- \ infty; -8 \ баруун) \ том аяга \ зүүн (11; + \ infty \ баруун) $

Энэхүү шийдлийг жишээ болгон ашигласнаар шинэхэн оюутнуудын дунд түгээмэл тохиолддог алдаанаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тухайлбал: тэгш бус байдлын хашилтыг хэзээ ч бүү өргөжүүл! Эсрэгээр, бүх зүйлийг хүчин зүйлээр тооцож үзээрэй - энэ нь шийдлийг хялбарчилж, танд маш олон асуудлыг хэмнэх болно.

Одоо арай илүү хэцүү зүйлийг туршиж үзье.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (\ зүүн (2х-13 \ баруун) \ зүүн (12х-9 \ баруун)) (15x + 33) \ le 0 \]

Шийдэл. Энэ нь $ f \ left (x \ right) \ le 0 $ хэлбэрийн сул тэгш бус байдал тул энд бөглөсөн цэгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Зайны арга руу шилжих:

\ [\ зүүн \ (\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (2x-13 \ баруун) \ зүүн (12x-9 \ баруун) \ зүүн (15x + 33 \ баруун) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ төгсгөл (эгцлэх) \ баруун. \]

Тэгшитгэл рүү шилжье:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (2x-13 \ баруун) \ зүүн (12x-9 \ баруун) \ зүүн (15x + 33 \ баруун) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Баруун сум ((x) ) _ (1)) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Бид нэмэлт шаардлагыг харгалзан үздэг:

Бид олж авсан бүх үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Хэрэв цэгийг нэгэн зэрэг цоолж, сүүдэрлэж байвал түүнийг цоорсон цэг гэж үзнэ.

Дахин хэлэхэд хоёр цэг бие биенээ "давхцдаг" - энэ бол хэвийн зүйл, үргэлж ийм байх болно. Цоорсон болон бөглөсөн цэг нь үнэхээр цоорсон гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Тэдгээр. "Нүхлэх" нь "будаг"-аас илүү хүчтэй үйлдэл юм.

Энэ нь туйлын логик юм, учир нь нүхлэх замаар бид функцийн тэмдэгт нөлөөлөх цэгүүдийг тэмдэглэдэг боловч хариултанд өөрсдөө оролцдоггүй. Хэрэв хэзээ нэгэн цагт энэ тоо бидэнд тохирохоо больсон бол (жишээлбэл, энэ нь ODZ-д орохгүй) бид асуудлыг эцэс хүртэл авч үзэхээс устгадаг.

Ер нь философи хийхээ боль. Бид тэмдгүүдийг байрлуулж, хасах тэмдгээр тэмдэглэсэн интервал дээр зурдаг.

Хариулах. $ x \ in \ зүүн (- \ infty; -2.2 \ баруун) \ bigcup \ зүүн [0.75; 6.5 \ баруун] $.

Дахин би энэ тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна:

\ [\ зүүн (2х-13 \ баруун) \ зүүн (12х-9 \ баруун) \ зүүн (15x + 33 \ баруун) = 0 \]

Дахин нэг удаа: ийм тэгшитгэлд хэзээ ч хаалт нээхгүй! Та зөвхөн өөртөө л хэцүү болгоно. Санаж байна уу: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь өмнөх асуудалд шийдсэн хэд хэдэн жижиг тэгшитгэлүүд болж "унадаг".

Үндэсийн олон талт байдлыг харгалзан үзэх

Өмнөх асуудлуудаас харахад сул тэгш бус байдал нь хамгийн хэцүү байдаг, учир нь тэдгээрт дүүргэсэн цэгүүдийг хянах хэрэгтэй.

Гэхдээ дэлхий дээр үүнээс ч илүү муу зүйл байдаг - эдгээр нь тэгш бус байдлын олон үндэс юм. Энд та аль хэдийн бөглөсөн цэгүүдийг дагаж мөрдөхгүй байх ёстой - энд тэгш бус байдлын тэмдэг нь эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөхөд гэнэт өөрчлөгдөхгүй байж магадгүй юм.

Бид энэ хичээлд үүнтэй төстэй зүйлийг авч үзээгүй (хэдийгээр үүнтэй төстэй асуудал интервалын аргад ихэвчлэн тулгардаг байсан). Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. $ ((\ зүүн (x-a \ баруун)) ^ (n)) = 0 $ тэгшитгэлийн үндэс нь $ x = a $-тэй тэнцүү бөгөөд $ n $ th үржвэрийн үндэс гэж нэрлэгддэг.

Үнэндээ бид олон талт байдлын яг үнэ цэнийг төдийлөн сонирхдоггүй. Чухал зүйл бол энэ $ n $ тоо тэгш эсвэл сондгой эсэх нь чухал юм. Учир нь:

1. Хэрэв $ x = a $ нь тэгш үржвэрийн язгуур бол функцийн тэмдэг түүгээр дамжин өнгөрөхөд өөрчлөгдөхгүй;
2. Мөн эсрэгээр, хэрэв $ x = a $ нь сондгой үржвэрийн үндэс бол функцийн тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Энэ хичээлээр хэлэлцсэн өмнөх бүх асуудлууд нь сондгой үржвэрийн язгуурын онцгой тохиолдол юм: хаа сайгүй олон талт нэгтэй тэнцүү байна.

Тэгээд цааш нь. Асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө би туршлагатай оюутанд ойлгомжтой мэт санагдах боловч олон эхлэгчдийг тэнэг байдалд оруулдаг нэг нарийн зүйлд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Тухайлбал:

$ n $ үржвэрийн үндэс нь илэрхийлэлийг бүхэлд нь ийм түвшинд хүргэх үед л үүсдэг: $ ((\ зүүн (xa \ баруун)) ^ (n)) $, харин $ \ үлдсэн (((x) ^ ( n) биш. )) - a \ right) $.

Дахин нэг удаа: $ ((\ зүүн (xa \ баруун)) ^ (n)) $ хаалт нь бидэнд $ x = a $ үржвэрийн $ n $ язгуурыг өгдөг, харин $ \ орхисон (((x) ^ ((x) хаалт) n)) -a \ right) $ эсвэл ихэвчлэн тохиолддог шиг, $ (a - ((x) ^ (n))) $ нь бидэнд язгуурыг (эсвэл $ n $ тэгш бол хоёр үндэс) өгдөг. $ n $-тэй тэнцүү байхаас үл хамааран эхний үржвэр.

Харьцуулах:

\ [((\ зүүн (x-3 \ баруун)) ^ (5)) = 0 \ Баруун сум x = 3 \ зүүн (5к \ баруун) \]

Энд бүх зүйл тодорхой байна: бүхэл хаалт нь тав дахь зэрэглэлд өргөгдсөн тул гаралтын үед бид тав дахь хүчний үндсийг авсан. Одоо:

\ [\ зүүн (((x) ^ (2)) - 4 \ баруун) = 0 \ Баруун сум ((x) ^ (2)) = 4 \ Баруун сум x = \ pm 2 \]

Бид хоёр үндэстэй боловч хоёулаа эхний үржвэртэй. Эсвэл энд өөр зүйл байна:

\ [\ зүүн (((x) ^ (10)) - 1024 \ баруун) = 0 \ Баруун сум ((x) ^ (10)) = 1024 \ Баруун сум x = \ pm 2 \]

Мөн арав дахь зэрэгтэй андуурч болохгүй. Хамгийн гол нь 10 бол тэгш тоо тул гаралт дээр бид хоёр үндэстэй бөгөөд хоёулаа дахин эхний үржвэртэй байна.

Ерөнхийдөө болгоомжтой байгаарай: олон талт байдал нь зөвхөн үед л тохиолддог зэрэг нь зөвхөн хувьсагчийг биш бүхэл хаалтанд хамаарна.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ зүүн (6-х \ баруун)) ^ (3)) \ зүүн (x + 4 \ баруун)) (((\ зүүн (x + 7) \ баруун)) ^ (5))) \ ge 0 \]

Шийдэл. Үүнийг өөр аргаар шийдэхийг хичээцгээе - тодорхой зүйлээс ажил руу шилжих замаар:

\ [\ зүүн \ (\ эхлэх (зэрэгцүүлэх) & ((x) ^ (2)) ((\ зүүн (6-х \ баруун)) ^ (3)) \ зүүн (x + 4 \ баруун) \ cdot ( (\ зүүн (x + 7 \ баруун)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ зүүн (x + 7 \ баруун)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ төгсгөл (эгцлэх) ) \ зөв. \]

Бид эхний тэгш бус байдлыг интервалын аргыг ашиглан шийддэг.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & (x) ^ (2)) ((\ зүүн (6-х \ баруун)) ^ (3)) \ зүүн (x + 4 \ баруун) \ cdot ((\ зүүн () x + 7 \ баруун)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Баруун сум x = 0 \ зүүн (2к \ баруун); \\ & ((\ зүүн (6-x \ баруун)) ^ (3)) = 0 \ Баруун сум x = 6 \ зүүн (3к \ баруун); \\ & x + 4 = 0 \ Баруун сум x = -4; \\ & ((\ зүүн (x + 7 \ баруун)) ^ (5)) = 0 \ Баруун сум x = -7 \ зүүн (5к \ баруун). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Нэмж дурдахад бид хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийддэг. Үнэн хэрэгтээ бид үүнийг аль хэдийн шийдсэн боловч шүүмжлэгчид шийдэлд алдаа олохгүйн тулд дахин шийдэх нь дээр.

\ [((\ зүүн (x + 7 \ баруун)) ^ (5)) \ ne 0 \ Баруун сум x \ ne -7 \]

Сүүлийн тэгш бус байдалд олон тал байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ: тооны шулуун дээрх $ x = -7 $ цэгийг хэдэн удаа таслах нь ямар ялгаатай вэ? Дор хаяж нэг удаа, дор хаяж тав - үр дүн нь ижил байх болно: цоорсон цэг.

Тооны мөрөнд авсан бүх зүйлээ тэмдэглэе.

Миний хэлсэнчлэн $ x = -7 $ цэг эцэст нь цоологдох болно. Интервалын аргаар тэгш бус байдлын шийдэлд үндэслэн үржвэрийг зохион байгуулдаг.

Тэмдгийг байрлуулахад хэвээр байна:

$ x = 0 $ цэг нь тэгш үржвэрийн үндэс учир түүгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгддөггүй. Үлдсэн цэгүүд нь сондгой олон талтай бөгөөд тэдгээртэй бүх зүйл энгийн байдаг.

Хариулах. $ x \ in \ зүүн (- \ infty; -7 \ баруун) \ том аяга \ зүүн [-4; 6 \ баруун] $

$ x = 0 $ дахин анхаарна уу. Олон талт байдлын улмаас сонирхолтой нөлөө гарч ирдэг: зүүн талд нь бүх зүйлийг, баруун талд нь будаж, цэг нь өөрөө бүрэн будсан байдаг.

Үүний үр дүнд хариу бичихдээ үүнийг тусгаарлах шаардлагагүй болно. Тэдгээр. $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ гэх мэт зүйлийг бичих шаардлагагүй (хэдийгээр албан ёсоор энэ хариулт зөв байх болно). Үүний оронд бид нэн даруй $ x \ гэж \ зүүн [-4; 6 \ баруун] $ гэж бичнэ.

Ийм үр нөлөө нь зөвхөн олон янзын үндэст боломжтой байдаг. Дараагийн даалгаварт бид энэ нөлөөний эсрэг "илэрхий"-тэй тулгарах болно. Бэлэн үү?

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (((\ зүүн (x-3 \ баруун)) ^ (4)) \ зүүн (x-4 \ баруун)) (((\ зүүн (x-1 \ баруун)) ^ (2)) \ зүүн (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ баруун)) \ ge 0 \]

Шийдэл. Энэ удаад бид стандарт схемийн дагуу явна. Тоолуурыг тэг болгож тохируулна уу:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & ((\ зүүн (x-3 \ баруун)) ^ (4)) \ зүүн (x-4 \ баруун) = 0; \\ & ((\ зүүн (x-3 \ баруун)) ^ (4)) = 0 \ Баруун сум ((x) _ (1)) = 3 \ зүүн (4к \ баруун); \\ & x-4 = 0 \ Баруун сум ((x) _ (2)) = 4. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Мөн хуваагч нь:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & ((\ зүүн (x-1 \ баруун)) ^ (2)) \ зүүн (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ баруун) = 0; \\ & ((\ зүүн (x-1 \ баруун)) ^ (2)) = 0 \ Баруун сум x_ (1) ^ (*) = 1 \ зүүн (2к \ баруун); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Баруун сум x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Бид $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ хэлбэрийн сул тэгш бус байдлыг шийдэж байгаа тул хуваагчаас (одтой) үндсийг цоолж, тоологчоос тэдгээрийг бөглөнө.

Бид "нэмэх" тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн тэмдэг, нүхний хэсгүүдийг байрлуулна.

$ x = 3 $ цэг тусгаарлагдсан байна. Энэ бол хариултын нэг хэсэг юм

Эцсийн хариултыг бичихийн өмнө зургийг анхааралтай ажиглана уу.

1. $ x = 1 $ цэг нь бүр олон талтай боловч өөрөө цоорсон байна. Тиймээс хариултанд үүнийг тусгаарлах шаардлагатай болно: та $ x \-д $ x \ биш харин \ зүүн (- \ infty; 1 \ баруун) \ bigcup \ left (1; 2 \ баруун) $ гэж бичих хэрэгтэй. \ зүүн (- \ infty; 2 \ баруун) $.
2. $ x = 3 $ цэг нь тэгш үржвэртэй бөгөөд нэгэн зэрэг бөглөнө. Тэмдгийн зохион байгуулалт нь тухайн цэг нь өөрөө бидэнд тохирсон, гэхдээ зүүн, баруун алхам гэдгийг харуулж байгаа бөгөөд бид өөрсдийгөө бидэнд тохирохгүй газар олж хардаг. Ийм цэгүүдийг тусгаарлагдсан гэж нэрлэдэг бөгөөд \ зүүн \ (3 \ баруун \) $ х \ гэж бичдэг.

Бид үүссэн бүх хэсгүүдийг нийтлэг багц болгон нэгтгэж, хариултыг бичнэ.

Хариулт: $ x \ in \ зүүн (- \ infty; 1 \ баруун) \ том аяга \ зүүн (1; 2 \ баруун) \ том аяга \ зүүн \ (3 \ баруун \) \ том аяга \ зүүн [4; 5 \ баруун) доллар

Тодорхойлолт. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний олон шийдлийг олох, эсвэл энэ багц хоосон гэдгийг нотлох.

Энэ нь: энд ойлгомжгүй зүйл юу байж болох вэ? Тийм ээ, үнэн хэрэгтээ багцуудыг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. Сүүлчийн асуудлын хариултыг дахин бичье.

Бид бичсэн зүйлийг шууд утгаараа уншдаг. "X" хувьсагч нь тодорхой багцад хамаарах бөгөөд үүнийг дөрвөн тусдаа багц ("U" тэмдэг) нэгтгэх замаар олж авдаг.

• $ \ left (- \ infty; 1 \ right) $ интервал нь шууд утгаараа "бүх тоо нэгээс бага, гэхдээ өөрөө биш" гэсэн утгатай;
• $ \ Зүүн (1; 2 \ баруун) $ хоорондын зай, i.e. "1-ээс 2 хүртэлх бүх тоо, гэхдээ 1 ба 2-ын тоо биш";
• багц $ \ зүүн \ (3 \ баруун \) $, нэг тоо бүрдсэн - гурван;
• $ \ зүүн [4; 5 \ баруун) $ интервал нь 4-ээс 5 хүртэлх бүх тоо, мөн дөрвийг өөрөө агуулдаг боловч тав биш.

Гурав дахь цэг нь энд сонирхолтой юм. Хязгааргүй тооны багцыг тодорхойлж, зөвхөн эдгээр олонлогуудын хил хязгаарыг заадаг интервалаас ялгаатай нь $ \ left \ (3 \ баруун \) $ багц нь тооллогоор яг нэг тоог зааж өгдөг.

Бид зүгээр л багцад багтсан тодорхой тоонуудыг жагсааж байгаа гэдгийг ойлгохын тулд (мөн хил хязгаар эсвэл бусад зүйлийг заагаагүй) буржгар хаалт ашигладаг. Жишээлбэл, $ \ зүүн \ (1; 2 \ баруун \) $ гэсэн тэмдэглэгээ нь яг "1 ба 2 гэсэн хоёр тооноос бүрдэх олонлог" гэсэн утгатай боловч 1-ээс 2 хүртэлх сегмент биш. Ямар ч тохиолдолд та эдгээр ойлголтыг андуурч болохгүй. .

Үржвэрийг нэмэх дүрэм

За, өнөөдрийн хичээлийн төгсгөлд Павел Бердовын бяцхан цагаан тугалга. :)

Анхааралтай оюутнууд асуултыг аль хэдийн асуусан байх: Хэрэв тоо болон хуваагч дээр ижил үндэс олдвол юу болох вэ? Тиймээс дараах дүрэм ажиллана.

Ижил язгуурын үржвэрүүд нэмэгдэнэ. Үргэлж байдаг. Энэ язгуур нь тоо болон хуваарийн аль алинд нь тохиолдсон ч гэсэн.

Заримдаа ярихаас шийдсэн нь дээр. Тиймээс бид дараах асуудлыг шийдэж байна.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ зүүн (((x) ^ (2)) - 16 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ баруун)) \ ge 0 \]

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Одоогоор онцгой зүйл алга. Хуваагчийг тэг болгож тохируулна уу:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (((x) ^ (2)) - 16 \ баруун) \ зүүн (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ баруун) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Баруун сум x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Баруун сум x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Хоёр ижил үндэс олсон: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ ба $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Хоёулаа эхний нугалаа. Тиймээс бид тэдгээрийг нэг язгуур $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, гэхдээ аль хэдийн 1 + 1 = 2 үржвэрээр солино.

Үүнээс гадна ижил язгуурууд байдаг: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ ба $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Тэд мөн эхний үржвэртэй тул 1 + 1 = 2 үржвэрийн зөвхөн $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ үлдэнэ.

Анхаарна уу: хоёр тохиолдолд бид яг "цоорсон" үндсийг орхисон бөгөөд "дүүргэсэн" нэгийг нь авч үзэхээс хассан. Учир нь хичээлийн эхэнд ч гэсэн бид тохиролцсон: хэрэв цэгийг цоолж, будсан бол бид үүнийг цоорсон гэж үздэг.

Үүний үр дүнд бид дөрвөн үндэстэй бөгөөд бүгдийг нь хайчилж авав.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ зүүн (2к \ баруун); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ зүүн (2к \ баруун). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Бид тэдгээрийг олон талт байдлыг харгалзан тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Бид сонирхож буй газруудад тэмдэг тавьж, буддаг.

Бүх зүйл. Тусгаарлагдсан цэг болон бусад гажуудал байхгүй. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулах. $ x \ in \ left (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left (4; + \ infty \ баруун) $.

Үржүүлэх дүрэм

Заримдаа бүр илүү тааламжгүй нөхцөл байдал үүсдэг: олон үндэстэй тэгшитгэл нь өөрөө тодорхой хүч хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд бүх эх үндэсийн олон талт байдал өөрчлөгддөг.

Энэ нь ховор тохиолддог тул ихэнх оюутнууд ийм асуудлыг шийдвэрлэх туршлагагүй байдаг. Мөн дүрэм нь дараах байдалтай байна.

Тэгшитгэлийг $ n $ хүртэл өсгөхөд түүний бүх язгуурын үржвэрүүд мөн $ n $ дахин нэмэгддэг.

Өөрөөр хэлбэл экспонентаци нь ижил хүчээр үржүүлсэн үржвэрт хүргэдэг. Энэ дүрмийг жишээгээр авч үзье.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (x ((\ зүүн (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ баруун)) ^ (2)) ((\ зүүн (x-4 \ баруун)) ^ (5)) ) (((\ зүүн (2-х \ баруун)) ^ (3)) ((\ зүүн (x-1 \ баруун)) ^ (2))) \ le 0 \]

Шийдэл. Тоолуурыг тэг болгож тохируулна уу:

Хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Эхний хүчин зүйлээр бүх зүйл тодорхой байна: $ x = 0 $. Гэхдээ дараа нь асуудлууд эхэлнэ:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & ((\ зүүн (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ баруун)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ зүүн (2к \ баруун); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ зүүн (2к \ баруун) \ зүүн (2к \ баруун) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ зүүн (4к \ баруун) \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Таны харж байгаагаар $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ тэгшитгэл нь хоёр дахь үржвэрийн нэг язгууртай: $ x = 3 $. Дараа нь тэгшитгэлийг бүхэлд нь квадрат болгоно. Тиймээс язгуурын үржвэр нь $ 2 \ cdot 2 = 4 $ байх болно, бид үүнийг эцэст нь бичсэн.

\ [((\ зүүн (x-4 \ баруун)) ^ (5)) = 0 \ Баруун сум x = 4 \ зүүн (5к \ баруун) \]

Хуваарийн хувьд ч асуудал байхгүй:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & ((\ зүүн (2-х \ баруун)) ^ (3)) ((\ зүүн (x-1 \ баруун)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ зүүн (2-х \ баруун)) ^ (3)) = 0 \ Баруун сум x_ (1) ^ (*) = 2 \ зүүн (3к \ баруун); \\ & ((\ зүүн (x-1 \ баруун)) ^ (2)) = 0 \ Баруун сум x_ (2) ^ (*) = 1 \ зүүн (2к \ баруун). \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Нийтдээ бид хоёр цоорсон, гурав дүүргэсэн таван оноо авсан. Тоолуур ба хуваагч дээр давхцах үндэс байхгүй тул бид тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ.

Бид тэмдгүүдийг олон талт байдлыг харгалзан зохион байгуулж, бидний сонирхсон интервал дээр зурдаг.

Дахин хэлэхэд нэг тусгаарлагдсан цэг, нэг цоорсон

Тэгш олон талт байдлын үндэсийн улмаас бид дахин хэд хэдэн "стандарт бус" элементүүдтэй болсон. Энэ нь $ x \ in \ left [0; 1 \ баруун) \ bigcup \ left (1; 2 \ баруун) $, харин $ x \ in \ left [0; 2 \ баруун) $, мөн тусгаарлагдсан цэг $ юм. x \ in \ left \ (3 \ баруун \) $.

Хариулах. $ x \ in \ зүүн [0; 1 \ баруун) \ том аяга \ зүүн (1; 2 \ баруун) \ том аяга \ зүүн \ (3 \ баруун \) \ том аяга \ зүүн [4; + \ infty \ баруун) $

Таны харж байгаагаар бүх зүйл тийм ч хэцүү биш юм. Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм. Энэ хичээлийн сүүлчийн хэсэг нь бидний хамгийн эхэнд авч үзсэн өөрчлөлтүүд дээр төвлөрдөг.

Урьдчилсан хөрвүүлэлтүүд

Энэ хэсэгт бидний авч үзэх тэгш бус байдал нь нарийн төвөгтэй биш юм. Гэсэн хэдий ч өмнөх даалгавруудаас ялгаатай нь энд та оновчтой бутархайн онолын ур чадварыг ашиглах хэрэгтэй болно - хүчин зүйлчлэл, нийтлэг хуваагч руу багасгах.

Өнөөдрийн хичээлийн эхэнд бид энэ асуудлыг нарийвчлан хэлэлцсэн. Хэрэв та энэ юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол буцаж очоод давтахыг зөвлөж байна. Учир нь бутархайг хувиргахдаа "хөвөгч" байвал тэгш бус байдлыг шийдэх аргуудыг шахах нь утгагүй юм.

Дашрамд хэлэхэд гэрийн даалгаварт ижил төстэй олон даалгавар байх болно. Тэдгээрийг тусдаа дэд хэсэгт байрлуулсан болно. Тэнд та маш энгийн бус жишээнүүдийг олох болно. Гэхдээ энэ нь гэрийн даалгаварт байх болно, одоо ийм тэгш бус байдлын хэд хэдэн шинж чанарыг авч үзье.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

Шийдэл. Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлэх:

\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

Бид нийтлэг хуваагч руу авчирч, хаалт нээж, тоологч дахь ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ frac (x \ cdot x) (\ зүүн (x-1 \ баруун) \ cdot x) - \ frac (\ зүүн (x-2 \ баруун) \ зүүн (x-1 \) баруун)) (x \ cdot \ зүүн (x-1 \ баруун)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ зүүн (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ баруун)) (x \ зүүн (x-1 \ баруун)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ зүүн (x-1 \ баруун)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ зүүн (x-1 \ баруун)) \ le 0. \\\ төгсгөл (зохицуулах) \]

Одоо бид сонгодог бутархай-рациональ тэгш бус байдал байгаа бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх нь хэцүү байхаа больсон. Би үүнийг өөр аргаар - интервалын аргаар шийдэхийг санал болгож байна.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (3x-2 \ баруун) \ cdot x \ cdot \ зүүн (x-1 \ баруун) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Хуваагчаас ирсэн хязгаарлалтыг бүү мартаарай:

Бид тоон мөрөнд бүх тоо, хязгаарлалтыг тэмдэглэнэ.

Бүх үндэс нь анхны үржвэртэй байдаг. Асуудалгүй. Бид зүгээр л шаардлагатай газруудад тэмдгүүдийг байрлуулж, буддаг.

Энэ бүгд. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулах. $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ баруун) $.

Мэдээжийн хэрэг, энэ бол зүгээр л нэг жишээ байсан. Тиймээс одоо бид асуудлыг илүү нухацтай авч үзэх болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ даалгаврын түвшин 8-р ангид энэ сэдвээр бие даасан болон хяналтын ажилтай нэлээд нийцэж байна.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

Шийдэл. Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлэх:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

Хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахын өмнө бид эдгээр хуваагчдыг хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй. Хэрэв ижил хаалтууд гарч ирвэл яах вэ? Эхний хуваагчтай бол энэ нь амархан:

\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x + 9 \ баруун) \]

Хоёр дахь нь арай илүү хэцүү. Бутархай гарч ирсэн хаалтанд тогтмол хүчин зүйлийг чөлөөтэй тавьж болно. Анхаарна уу: анхны олон гишүүнт бүхэл тооны коэффициенттэй байсан тул хүчин зүйлчлэл нь бүхэл тооны коэффициенттэй байх магадлал өндөр байдаг (үнэндээ ялгаварлагч нь иррациональ байхаас бусад тохиолдолд үргэлж ийм байх болно).

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x- \ frac (2) (3) \ баруун) = \\ & = \ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (3x-2 \ баруун) \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Таны харж байгаагаар нийтлэг хаалт байдаг: $ \ зүүн (x-1 \ баруун) $. Бид тэгш бус байдал руу буцаж, хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ frac (1) (\ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x + 9 \ баруун)) - \ frac (1) (\ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (3x-2 \ баруун)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ зүүн (3x-2 \ баруун) -1 \ cdot \ зүүн (x + 9 \ баруун)) (\ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x + 9 \ баруун) ) \ зүүн (3х-2 \ баруун)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x + 9 \ баруун) \ зүүн (3x-2 \ баруун)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x + 9 \ баруун) \ зүүн (3x-2 \ баруун)) \ ge 0; \\ \ төгсгөл (зохицуулах) \]

Хуваагчийг тэг болгож тохируулна уу:

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ зүүн (x-1 \ баруун) \ зүүн (x + 9 \ баруун) \ зүүн (3x-2 \ баруун) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ төгсгөл ( тэгшлэх) \]

Олон талт, давхцах үндэс байхгүй. Бид дөрвөн тоог шулуун дээр тэмдэглэнэ.

Бид тэмдэг тавьдаг:

Бид хариултаа бичнэ.

Хариулт: $ x \ in \ left (- \ infty; -9 \ баруун) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ;; 1 \ баруун) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ баруун) $.

Бүх зүйл! Тэгж байгаад энэ мөр хүртэл уншлаа. :)

Нийтлэлд бид авч үзэх болно тэгш бус байдлын шийдэл... Бид танд хүртээмжтэй байдлаар хэлэх болно тэгш бус байдлын шийдлийг хэрхэн бий болгох, тодорхой жишээнүүдээр!

Тэгш бус байдлын шийдлийг жишээн дээр авч үзэхээсээ өмнө үндсэн ойлголтуудыг авч үзье.

Тэгш бус байдлын талаархи ерөнхий мэдээлэл

Тэгш бус байдалфункцууд нь харилцааны тэмдгээр холбогдсон илэрхийлэл гэж нэрлэдэг>,. Тэгш бус байдал нь тоон болон цагаан толгойн аль аль нь байдаг.
Харилцааны хоёр шинж тэмдэг бүхий тэгш бус байдлыг давхар, гурвыг гурав дахин гэж нэрлэдэг. Жишээ нь:
a (x)> b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
a (x)> эсвэл тэмдгийг агуулсан тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхнь энэ тэгш бус байдлын үнэн болох өөрчлөлтийн аливаа утга юм.
"Тэгш бус байдлыг шийдэх"Энэ нь түүний бүх шийдлүүдийг олох шаардлагатай гэсэн үг юм. Янз бүрийн байдаг тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд... Учир нь тэгш бус байдлын шийдэлхязгааргүй тооны шугамыг ашигла. Тухайлбал, тэгш бус байдлын шийдэл x>3 нь 3-аас + хүртэлх интервал бөгөөд 3-ын тоо энэ интервалд ороогүй тул шулуун шугам дээрх цэгийг хоосон тойрог гэж тэмдэглэнэ. тэгш бус байдал хатуу байна.
+
Хариулт нь: x (3; +) байх болно.
x = 3 утга нь шийдлийн багцад ороогүй тул хаалт нь дугуй хэлбэртэй байна. Хязгааргүй байдлын тэмдэг нь үргэлж хаалтанд хүрээлэгдсэн байдаг. Энэ тэмдэг нь "харьяалах" гэсэн утгатай.
Өөр гарын үсэг зурсан жишээг ашиглан тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзье.
x 2
-+
X = 2 утга нь шийдлүүдийн багцад багтсан тул хаалт нь дөрвөлжин бөгөөд шугам дээрх цэгийг дүүргэсэн тойрогоор тэмдэглэнэ.
Хариулт нь: x. Шийдвэрийн багцын графикийг доор үзүүлэв.

Давхар тэгш бус байдал

Хоёр тэгш бус байдлыг үгээр холбоход болон, эсвэл, дараа нь энэ нь үүсдэг давхар тэгш бус байдал... Давхар тэгш бус байдал гэх мэт
-3 болон 2x + 5 ≤ 7
дуудсан холбогдсонашигладаг учраас болон... Бичих -3 Давхар тэгш бус байдлыг тэгш бус байдлыг нэмэх, үржүүлэх зарчмуудыг ашиглан шийдэж болно.

Жишээ 2Шийдэх -3 ШийдэлБидэнд байгаа

Шийдлийн багц (x | x ≤ -1 эсвэл x> 3). Мөн бид зайны тэмдэглэгээ болон тэмдэг ашиглан шийд бичиж болно нэгдэлэсвэл хоёр олонлогийн оруулга: (-∞ -1] (3, ∞). Уусмалын олонлогийн графикийг доор үзүүлэв.

Туршихын тулд y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, y 3 = 1 гэж зур. (x | x ≤ -1) эсвэл x> 3), y 1 ≤ y 2 эсвэл y 1> y 3.

Үнэмлэхүй утгатай тэгш бус байдал (модуль)

Тэгш бус байдал нь заримдаа модулийг агуулдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд дараах шинж чанаруудыг ашигладаг.
a> 0 ба алгебр илэрхийллийн хувьд:
| x | | x | > a нь x эсвэл x-тэй тэнцүү> a.
| x |-тэй төстэй мэдэгдлүүд ≤ a ба | x | ≥ a.

Тухайлбал,
| x | |у | ≥ 1 нь y ≤ -1-тэй тэнцүү байна эсвэл y ≥ 1;
ба | 2x + 3 | ≤ 4 нь -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4-тэй тэнцэнэ.

Жишээ 4Дараах тэгш бус байдал бүрийг шийд. Шийдлийн багцыг зур.
a) | 3x + 2 | б) | 5 - 2x | ≥ 1

Шийдэл
a) | 3x + 2 |