Энгийн таван өнцөгт нь таван шулуун шугамын огтлолцолоос үүссэн геометрийн дүрс бөгөөд таван тэгш өнцөг үүсгэдэг. Энэ тоог Пентагон гэдэг. Зураачдын бүтээл нь таван өнцөгттэй нягт холбоотой байдаг - тэдний зургууд нь ердийн геометрийн дүрс дээр суурилдаг. Үүнийг хийхийн тулд та Пентагоныг хэрхэн хурдан барихаа мэдэх хэрэгтэй.

Энэ тоо яагаад сонирхолтой вэ? Барилга нь Пентагон хэлбэртэй АНУ-ын Батлан ​​хамгаалах яам. Үүнийг нислэгийн өндрөөс авсан гэрэл зургуудаас харж болно. Байгальд хэлбэр нь таван өнцөгттэй төстэй талст, чулуу байдаггүй. Зөвхөн энэ зураг дээр нүүрний тоо нь диагональуудын тоотой давхцаж байна.

Энгийн таван өнцөгтийн параметрүүд

Тэгш өнцөгт таван өнцөгт нь геометрийн дүрс бүрийн нэгэн адил өөрийн гэсэн параметртэй байдаг. Шаардлагатай томьёог мэдсэнээр та эдгээр параметрүүдийг тооцоолж болох бөгөөд энэ нь пентагон барих үйл явцыг хөнгөвчлөх болно. Тооцооллын арга, томъёо:

• олон өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Ердийн таван өнцөгтийн хувьд бүх өнцөг нь тэнцүү, төв өнцгийг дараах байдлаар олно: 360/5 = 72 градус;
• дотоод өнцгийг дараах байдлаар олно: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градус. Бүх дотоод өнцгийн нийлбэр: 108*5 = 540 градус.

Асуудлын мэдэгдэлд аль хэдийн өгөгдсөн параметрүүдийг ашиглан таван өнцөгтийн талыг олно.

• Хэрэв тойрог нь таван өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн бөгөөд түүний радиус нь мэдэгдэж байвал талыг дараах томъёогоор олно: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1.1756*R .
• Хэрэв таван өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус нь мэдэгдэж байгаа бол олон өнцөгтийн талыг тооцоолох томъёо нь: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r. .
• Пентагоны диагональын мэдэгдэж буй хэмжээг харгалзан түүний талыг дараах байдлаар тооцоолно: a = D/1.618.

Пентагоны талбай ижил байна, түүний хажуугийн нэгэн адил аль хэдийн олдсон параметрүүдээс хамаарна:

• Бичсэн тойргийн мэдэгдэж буй радиусыг ашиглан талбайг дараах байдлаар олно: S = (n*a*r)/2 = 2.5*a*r.
• таван өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойрог нь дараах томъёог ашиглан талбайг олох боломжийг олгоно: S = (n*R2*sin α)/2 = 2.3776*R2.
• таван өнцөгтийн талаас хамаарч: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1.7205* a2.

Пентагоныг барьж байна

Та захирагч, луужин ашиглан ердийн таван өнцөгтийг дотор нь зурсан тойрог эсвэл аль нэг талд нь үндэслэн байгуулж болно.

Хэрхэн бичээстэй тойрог дээр тулгуурлан таван өнцөгт зурах вэ? Үүнийг хийхийн тулд та луужин, захирагч дээр нөөцөлж, дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

1. Эхлээд та төв O цэгтэй тойрог зурах хэрэгтэй, дараа нь үүн дээр цэг, A - таван өнцөгтийн оройг сонгох хэрэгтэй. Сегментийг төвөөс дээд тал руу нь зурсан.
2. Дараа нь OA шулуун шугамд перпендикуляр сегментийг байгуулж, энэ нь мөн тойргийн төв болох O-оор дамждаг. Түүний тойрогтой огтлолцох цэгийг B цэгээр тэмдэглэсэн. O.B сегментийг С цэгээр хагасаар хуваана.
3. С цэг нь А-г дайран өнгөрөх шинэ тойргийн төв болно. D цэг нь эхний зургийн хил доторх OB шулуун шугамтай огтлолцох цэг юм.
4. Үүний дараа D цэгээр гурав дахь тойрог зурсан бөгөөд түүний төв нь А цэг юм. Энэ нь эхний дүрстэй хоёр цэгээр огтлолцох бөгөөд тэдгээрийг E ба F үсгээр тэмдэглэсэн байх ёстой.
5. Дараагийн тойрог нь E цэг дээр төвтэй бөгөөд А цэгийг дайран өнгөрөх ба эхтэй огтлолцох нь шинэ G цэг дээр байна.
6. Энэ зургийн хамгийн сүүлийн тойрог нь F төвтэй А цэгээр дамжсан байна. Анхны тойрогтой огтлолцох хэсэгт Н цэгийг байрлуулна.
7. Эхний тойрог дээр бүх алхамуудыг хийсний дараа сегментээр холбох шаардлагатай таван цэг гарч ирэв. Ийнхүү энгийн таван өнцөгт AE GH F-ийг олж авав.

Ердийн таван өнцөгтийг өөр аргаар яаж барих вэ? Захирагч, луужин ашиглан та таван өнцөгтийг арай хурдан барьж чадна. Үүнийг хийхийн тулд танд хэрэгтэй:

1. Эхлээд та төв нь О цэг болох тойрог зурахын тулд луужин ашиглах хэрэгтэй.
2. OA радиусыг зурсан - тойрог дээр зурсан сегмент. Энэ нь В цэгээр хагасаар хуваагдана.
3. ОА радиустай перпендикуляр OS сегментийг зурж, В ба С цэгүүдийг шулуун шугамаар холбосон.
4. Дараагийн алхам бол төвийн шугам дээр луужин ашиглан BC сегментийн уртыг зурах явдал юм. D цэг нь OA сегментэд перпендикуляр харагдаж байна. B болон D цэгүүд хоорондоо холбогдож шинэ сегмент үүсгэнэ.
5. Пентагоны хажуугийн хэмжээг авахын тулд C ба D цэгүүдийг холбох шаардлагатай.
6. D-г луужин ашиглан тойрог руу шилжүүлж, E цэгээр тэмдэглэв. E ба C-г холбосноор та ердийн таван өнцөгтийн эхний талыг авч болно. Эдгээр зааврыг дагаснаар та эхнийх шиг үлдсэн талуудын барилгын ажлыг үргэлжлүүлж, тэнцүү талуудтай таван өнцөгтийг хэрхэн хурдан барьж сурах боломжтой.

Тэнцүү талуудтай таван өнцөгтийн диагональууд нь тэнцүү бөгөөд таван хошуут од үүсгэдэг бөгөөд үүнийг пентаграм гэж нэрлэдэг. Алтан харьцаа нь диагональ болон таван өнцөгтийн хажуугийн харьцаа юм.

Пентагон нь онгоцыг бүрэн дүүргэхэд тохиромжгүй юм. Энэ хэлбэрийн аливаа материалыг ашиглах нь цоорхойг үлдээх эсвэл давхцал үүсгэдэг. Хэдийгээр ийм хэлбэрийн байгалийн талстууд байгальд байдаггүй ч гөлгөр зэсийн бүтээгдэхүүний гадаргуу дээр мөс үүсэх үед гинжээр холбогдсон таван өнцөгт хэлбэртэй молекулууд гарч ирдэг.

Туузан цааснаас ердийн таван өнцөгтийг авах хамгийн хялбар арга бол үүнийг зангидаж, бага зэрэг дарах явдал юм. Энэ арга нь хүүхдүүддээ геометрийн дүрсийг танихыг заах хүсэлтэй сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдийн эцэг эхчүүдэд хэрэгтэй.

Видео

Та таван өнцөгтийг хэрхэн хурдан зурж болохыг хараарай.

5.3. Алтан Пентагон; Евклидийн барилга.

"Алтан харьцаа" -ын гайхалтай жишээ бол гүдгэр, од хэлбэртэй ердийн таван өнцөгт юм (Зураг 5).

Пентаграм барихын тулд ердийн таван өнцөгтийг бүтээх хэрэгтэй.

О-г тойргийн төв, А-г тойргийн цэг, Е-г ОА сегментийн дунд цэг гэж үзье. О цэг дээр сэргээгдсэн OA радиустай перпендикуляр нь D цэг дээр тойргийг огтолж байна. Луужин ашиглан диаметр дээр CE = ED хэрчмийг зур. Тойрог дотор бичсэн ердийн таван өнцөгтийн хажуугийн урт нь DC-тэй тэнцүү байна. Бид тойрог дээр DC сегментүүдийг зурж, ердийн таван өнцөгт зурах таван оноо авдаг. Бид таван өнцөгтийн булангуудыг диагональуудаар хооронд нь холбож, пентаграммыг авдаг. Пентагоны бүх диагональууд нь бие биенээ алтан харьцаагаар холбосон сегментүүдэд хуваадаг.

Таван өнцөгт одны төгсгөл бүр нь алтан гурвалжинг дүрсэлдэг. Хажуу талууд нь орой дээр 36 ° өнцгийг үүсгэдэг бөгөөд хажуу талд нь тавьсан суурь нь үүнийг алтан харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр хуваадаг.

Мөн алтан шоо хэлбэртэй байдаг - энэ нь 1.618, 1, 0.618 урттай ирмэг бүхий тэгш өнцөгт параллелепипед юм.

Одоо Элемент дэх Евклидийн санал болгосон нотолгоог авч үзье.

Одоо Евклид хэрхэн ашигладаг болохыг харцгаая алтан харьцаа 72 градусын өнцөг үүсгэхийн тулд яг энэ өнцгөөр ердийн таван өнцөгтийн тал харагдаж байна.

тойргийн төвөөс. -ээс эхэлье

сегмент ABE, дундаж болон хуваагдсан

Тэгэхээр AC=AE гэж үзье. EBC ба CEB өнцгүүдийг тэнцүү өнцгөөр тэмдэглэе. AC=AE тул ACE өнцөг нь мөн a-тэй тэнцүү байна. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү гэсэн теорем нь БҮХ өнцгийг олох боломжийг олгодог: энэ нь 180-2a-тай тэнцүү, EAC өнцөг нь 3a - 180. Харин дараа нь ABC өнцөг 180-тай тэнцүү байна. -а. ABC гурвалжны өнцгийг нэгтгэн дүгнэж үзвэл,

180=(3a -180) + (3а-180) + (180 - а)

Энд 5a=360 нь a=72 гэсэн үг.

Тэгэхээр WEIGHT гурвалжны суурийн өнцөг бүр оройн өнцгөөс хоёр дахин их буюу 36 градус байна. Иймд жирийн таван өнцөгтийг барихын тулд төвтэй Е цэгтэй, X цэг дээр EC, EB тал нь Y цэгт огтлолцох дурын тойрог зурахад л хангалттай: XY сегмент нь жирийн таван өнцөгтийн аль нэг талын үүрэг гүйцэтгэдэг. тойрог; Бүхэл бүтэн тойргийг тойрох замаар та бусад бүх талыг олох боломжтой.

Одоо AC = AE гэдгийг баталцгаая. С оройг BE сегментийн дунд N хэсэгтэй шугамаар холбосон гэж үзье. CB = CE тул CNE өнцөг зөв байна гэдгийг анхаарна уу. Пифагорын теоремын дагуу:

CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)

Эндээс бид (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2 байна.

Тэгэхээр AC = ja = jAB = AE, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм

5.4.Архимедийн спираль.

Алтан тэгш өнцөгтүүдээс төгсгөлгүй квадратуудыг дараалан таслах замаар эсрэг цэгүүдийг тойргийн дөрөвний нэгээр холбох бүрт бид нэлээд гоёмсог муруйг олж авдаг. Анхны анхаарлыг татсан хүн бол эртний Грекийн эрдэмтэн Архимед бөгөөд түүний нэрээр нэрлэгдсэн юм. Тэр үүнийг судалж, энэ спираль тэгшитгэлийг гаргажээ.

Одоогийн байдлаар Архимедийн спираль технологид өргөн хэрэглэгддэг.

6. Фибоначчийн тоо.

Фибоначчи (Фибоначчи - товчилсон filius Bonacci, өөрөөр хэлбэл Боначчийн хүү) хочоороо илүү алдартай Пизагийн Италийн математикч Леонардогийн нэр алтан харьцаатай шууд бусаар холбогддог.

1202 онд тэр "Liber abacci", өөрөөр хэлбэл "Абакусын ном" номыг бичсэн. "Liber abacci" бол тухайн үеийн бараг бүх арифметик, алгебрийн мэдээллийг агуулсан том бүтээл бөгөөд математикийн хөгжилд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. баруун Европдараагийн хэдэн зуунд. Ялангуяа энэ номноос Европчууд Хинду (“Араб”) тоонуудтай танилцсан юм.

Номонд дурдсан материалыг энэхүү судалгааны ажлын нэлээд хэсгийг бүрдүүлдэг олон тооны асуудлуудаар тайлбарласан болно.

Ийм нэг асуудлыг авч үзье:

“Нэг хосоос нэг жилд хэдэн хос туулай төрөх вэ?

Хэн нэгэн хос туулайг тодорхой газар байрлуулж, бүх талаараа ханаар хашсан бөгөөд энэ жил хэдэн хос туулай төрөх бол, хэрэв туулайн шинж чанар нь нэг сард нэг хос туулай гарахыг мэдэхийн тулд туулай өөр үржиж, туулай төрснөөс хойш хоёр дахь сараас эхлэн төллөнө."

Сарууд	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Хос туулай	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Одоо туулайгаас тоо руу шилжиж, дараахь зүйлийг авч үзье тооны дараалал:

u 1 , u 2 … u n

Үүнд нэр томъёо бүр өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү байна, i.e. ямар ч n>2 хувьд

u n =u n -1 +u n -2 .

Энэ дараалал нь асимптотик байдлаар (илүү удаан ойртож) ямар нэгэн тогтмол хамаарал руу чиглэдэг. Гэсэн хэдий ч энэ харьцаа нь иррациональ, өөрөөр хэлбэл бутархай хэсэгт аравтын оронтой тоонуудын хязгааргүй, урьдчилан тааварлашгүй дараалал бүхий тоо юм. Үүнийг нарийн илэрхийлэх боломжгүй юм.

Хэрэв Фибоначчийн дарааллын аль нэг гишүүнийг өмнөх үетэйгээ хуваавал (жишээ нь 13:8) үр дүн нь ойролцоогоор хэлбэлзэх утгатай болно. үндэслэлгүй утга 1.61803398875... тэгээд хааяа даваад л, хүрдэггүй.

Хэрэв дарааллын эхний хэдэн гишүүний харьцааг үзүүлбэл дарааллын асимптотик байдал ба иррационал Ф тооны эргэн тойрон дахь харьцааны уналттай хэлбэлзэл илүү ойлгомжтой болно. Энэ жишээ нь хоёр дахь нэр томъёоны эхнийх, гурав дахь нь хоёр дахь, дөрөв дэх нь гурав дахь гэх мэт харилцааг харуулж байна:

1:1 = 1.0000, энэ нь phi-ээс 0.6180-аар бага байна

2:1 = 2.0000, энэ нь phi-ээс 0.3820-оор их байна

3:2 = 1.5000, энэ нь phi-ээс 0.1180-аар бага байна

5:3 = 1.6667, энэ нь phi-ээс 0.0486-аар их байна

8:5 = 1.6000, энэ нь phi-ээс 0.0180-аар бага байна

Таныг Фибоначчийн нийлбэрийн дарааллаар шилжих үед шинэ нэр томъёо бүр дараагийнхыг хүрэх боломжгүй F-д илүү их, ойртуулах байдлаар хуваах болно.

Хүн ухамсартайгаар бурханлаг харьцааг эрэлхийлдэг: энэ нь түүний тайтгарлын хэрэгцээг хангахад шаардлагатай байдаг.

Фибоначчийн дарааллын аль нэг гишүүнийг дараагийнх руу нь хуваахад үр дүн нь ердөө л 1.618 (1: 1.618 = 0.618) урвуу болно. Гэхдээ энэ нь бас маш ер бусын, бүр гайхалтай үзэгдэл юм. Анхны харьцаа нь хязгааргүй бутархай тул энэ харьцаа нь мөн төгсгөлгүй байх ёстой.

Тоо бүрийг араас нь дараагийн тоонд хуваахад 0.382 гэсэн тоо гарна

Ийм байдлаар харьцааг сонгосноор бид Фибоначчийн харьцааны үндсэн багцыг олж авдаг: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Мөн 0.5-ыг дурдъя. Тэд бүгд тоглодог. онцгой үүрэгбайгальд, ялангуяа техникийн шинжилгээ.

Эрт дээр үед мэдэгдэж байсан тул Фибоначчи зөвхөн хүн төрөлхтөнд түүний дарааллыг сануулсан гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. эртний цаг үеАлтан харьцаа гэж нэрлэдэг.

Бидний харж байгаагаар алтан харьцаа нь ердийн таван өнцөгттэй холбоотой байдаг тул Фибоначчийн тоо нь гүдгэр ба од хэлбэртэй ердийн таван өнцөгттэй холбоотой бүх зүйлд үүрэг гүйцэтгэдэг.

Ургамал, амьтны ертөнцийн алтан хуваагдлыг судалдаг бүх судлаачид энэ цувралд алтны хуулийн арифметик илэрхийлэл болгон байнга ирдэг байсангүй бол Фибоначчийн цуврал зөвхөн математикийн тохиолдол хэвээр үлдэх байсан. хэлтэс. Эрдэмтэд Фибоначчийн тоо болон алтан харьцааны онолыг идэвхтэй хөгжүүлсээр байв. Ю.Матиясевич Фибоначчийн тоог ашиглан Гилбертын 10 дахь бодлогыг (диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай) шийддэг. Фибоначчийн тоо, алтан харьцааг ашиглан кибернетикийн олон асуудлыг (хайлтын онол, тоглоом, програмчлал) шийдвэрлэх гоёмсог аргууд гарч ирж байна. АНУ-д 1963 оноос хойш тусгай сэтгүүл гаргаж байсан Математик Фибоначчийн холбоо хүртэл байгуулагдаж байна.

Энэ салбарын нэг ололт бол Фибоначчийн ерөнхий тоо, ерөнхий алтан харьцааг нээсэн явдал юм. Фибоначчийн цуврал (1, 1, 2, 3, 5, 8) ба түүний нээсэн "хоёртын" цуврал тоо 1, 2, 4, 8, 16... (өөрөөр хэлбэл n хүртэлх тооны цуваа) , хаана байна натурал тоо, n-ээс бага тоог энэ цувралын зарим тоонуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно) нь харахад огт өөр юм. Гэхдээ тэдгээрийг бүтээх алгоритмууд нь хоорондоо маш төстэй байдаг: эхний тохиолдолд тоо бүр нь өмнөх тооны нийлбэр бөгөөд өөрөө 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., хоёрдугаарт - энэ нь өмнөх хоёр тооны нийлбэр 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Ерөнхий тоог олох боломжтой юу? Бид хоёртын цуваа ба Фибоначчийн цувааг олж авдаг математикийн томьёо?

0, 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн ямар ч утгыг авах боломжтой S тоон параметрийг тодорхойлъё... тооны цуврал, эхний гишүүний S + 1 нь нэг бөгөөд дараагийн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнээс S алхамаар тусгаарлагдсан өмнөх хоёр гишүүний нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв n-р улиралБид энэ цувралыг S (n) гэж тэмдэглэвэл бид олж авна ерөнхий томъёо S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

Энэ томъёоноос S = 0 үед бид "хоёртын" цуврал, S = 1 үед - Фибоначчийн цуврал, S = 2, 3, 4 үед - S-Фибоначчийн тоо гэж нэрлэгддэг шинэ цуврал тоонуудыг олж авах нь ойлгомжтой. .

Ерөнхийдөө алтан S-харьцаань x S+1 – x S – 1 = 0 алтан S огтлолын тэгшитгэлийн эерэг язгуур юм.

S = 0 үед сегментийг хагасаар хувааж, S = 1-д танил болсон сонгодог алтан харьцааг олж авахыг харуулахад хялбар байдаг.

Хөрш зэргэлдээх Фибоначчийн S тоонуудын харьцаа нь алтан S-пропорцтой хязгаарт үнэмлэхүй математик нарийвчлалтай давхцаж байна! Өөрөөр хэлбэл, алтан S-хэсэг нь Фибоначчийн S тоонуудын тоон инвариантууд юм.

7. Урлаг дахь алтан харьцаа.

7.1. Уран зураг дахь алтан харьцаа.

Уран зургийн "алтан харьцаа" -ын жишээнүүд рүү шилжихэд Леонардо да Винчигийн ажилд анхаарлаа хандуулахгүй байхын аргагүй юм. Түүний зан чанар бол түүхийн нууцуудын нэг юм. Леонардо да Винчи өөрөө: "Математикч биш хэн ч миний бүтээлүүдийг уншиж зүрхлэхийг бүү зөвшөөр" гэж хэлсэн байдаг.

Леонардо да Винчи бол агуу зураач байсан гэдэгт эргэлзэхгүй байна, үүнийг түүний үеийнхэн аль хэдийн хүлээн зөвшөөрсөн боловч түүний зан чанар, үйл ажиллагаа нь нууцлаг хэвээр байх болно, учир нь тэрээр хойч үедээ үзэл санаагаа уялдуулахгүй, зөвхөн олон тооны гараар бичсэнийг үлдээжээ. "дэлхий дээрх хүн бүрийн тухай" гэсэн тойм зураг, тэмдэглэл.

Монна Лизагийн хөрөг (La Gioconda) олон жилийн турш судлаачдын анхаарлыг татсаар ирсэн бөгөөд тэд зургийн бүтцэд ердийн од хэлбэртэй таван өнцөгтийн хэсэг болох алтан гурвалжинд тулгуурлан бүтээгдсэн болохыг олж мэдсэн.

Мөн алтан харьцааны хувь хэмжээ Шишкиний зураг дээр харагдаж байна. И.И.Шишкиний энэхүү алдарт зурагт алтан харьцааны хээнүүд тод харагдаж байна. Наранд хурц гэрэлтдэг нарс мод (урд талд зогсож байгаа) зурагны уртыг алтан харьцаагаар хуваадаг. Нарсны баруун талд наран туссан толгод байдаг. Зургийн баруун талыг алтан харьцаагаар хэвтээ байдлаар хуваана.

Рафаэлийн "Гэм буруугүй хүмүүсийн хядлага" зураг дээр алтан пропорцын өөр нэг элемент нь алтан спираль харагдаж байна. Рафаэлийн бэлтгэл тойм зурагт зохиолын утгын төвөөс дайчны хуруунууд хүүхдийн шагайг хаасан цэгээс хүүхдийн дүрс, түүнийг ойртуулсан эмэгтэй, сэлмээ өргөсөн дайчин, дараа нь ноорог зургийн баруун талд байгаа ижил бүлгийн дүрсүүдийн дагуу . Рафаэль алтан спираль барьсан уу эсвэл мэдэрсэн үү гэдэг нь тодорхойгүй байна.

Т.Күк Сандро Боттичеллигийн “Сугар гаригийн төрөлт” зургийг шинжлэхдээ алтан харьцааг ашигласан.

7.2. Алтан харьцааны пирамидууд.

Пирамидын эрүүл мэндийн шинж чанар, ялангуяа алтан харьцаа нь өргөн тархсан байдаг. Хамгийн нийтлэг үзэл бодлын дагуу ийм пирамид байрладаг өрөө нь илүү том, агаар нь илүү тунгалаг байдаг. Зүүд илүү сайн санаж эхэлдэг. Алтан харьцаа нь архитектур, уран барималд өргөн хэрэглэгддэг байсан нь мэдэгдэж байна. Үүний нэг жишээ бол Грек дэх Пантеон, Парфенон, архитектор Баженов, Малевич нарын барилгууд байв.

8. Дүгнэлт.

Алтан харьцаа нь бидний амьдралд маш их хэрэглэгддэг гэдгийг хэлэх ёстой.

Хүний бие алтан харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр хуваагддаг нь бүсний шугамаар батлагдсан.

Наутилус бүрхүүл нь алтан спираль шиг мушгирсан байдаг.

Алтан харьцааны ачаар Ангараг ба Бархасбадийн хоорондох астероидын бүс нээгдсэн - пропорцын дагуу тэнд өөр гариг ​​байх ёстой.

Алтан хуваалттай уялдуулан хуваах цэг дээр утсыг өдөөх нь утсыг чичиргээнд хүргэхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь нөхөн олговрын цэг юм.

Асаалттай нисэх онгоццахилгаан соронзон энергийн эх үүсвэрийн тусламжтайгаар алтан харьцаатай тэгш өнцөгт эсүүд үүсдэг.

Мона Лиза нь алтан гурвалжин дээр баригдсан бөгөөд Рафаэлийн "Гэм буруугүй хүмүүсийн хядлага" зурагт алтан спираль байдаг.

Энэ харьцааг Сандро Боттичеллигийн "Сугар гаригийн төрөлт" уран зургаас олж илрүүлжээ.

Алтан харьцаагаар барьсан архитектурын олон дурсгалт газрууд байдаг, тухайлбал Афин дахь Пантеон, Парфенон, архитектор Баженов, Малевич нарын барилгууд.

Таван зууны тэртээ амьдарч байсан Жон Кеплер: "Геометр хоёр агуу эрдэнэстэй. Эхнийх нь Пифагорын теорем, хоёр дахь нь хэрчмийг туйлын болон дундаж харьцаагаар хуваах явдал юм."

Ном зүй

1. Д.Пидоу. Геометр ба урлаг. - М.: Мир, 1979.

2. "Шинжлэх ухаан, технологи" сэтгүүл

3. "Квант" сэтгүүл, 1973, No8.

4. “Сургууль дахь математик” сэтгүүл, 1994, No2; №3.

5. Ковалев Ф.В. Уран зураг дахь алтан харьцаа. К.: Выща сургууль, 1989 он.

6. Стахов А. Алтан харьцааны кодууд.

7. Воробьев Н.Н. "Фибоначчийн тоо" - М.: Наука 1964

8. "Математик - Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг" М.: Аванта +, 1998 он.

9. Интернетээс авсан мэдээлэл.

Фибоначчийн матрицууд ба "алтан" матрицууд, компьютерийн шинэ арифметик, шинэ кодчиллын онол, шинэ криптографийн онол. Мөн чанар шинэ шинжлэх ухаан, Пифагороос эхлээд бүх математикийн алтан хэсгийн үүднээс авч үзвэл энэ нь мэдээжийн хэрэг онолын хувьд шинэ бөгөөд мэдээжийн хэрэг маш сонирхолтой математик үр дүнг авчрах болно. Практикаар бол "алтан" компьютержуулалт. Тэгээд хойш ...

Энэ үр дүнд нөлөөлөхгүй. Алтан пропорцын үндэс нь 4 ба 6-р рекурсив харилцааны инвариант юм. Энэ нь амьд материйн зохион байгуулалтын зарчмуудын нэг болох алтан хэсгийн "тогтвортой" байдлыг харуулж байна. Мөн алтан харьцааны суурь нь хоёр чамин рекурсив дарааллын шийдэл юм (Зураг 4.) Зураг. 4 рекурсив Фибоначчийн дараалал...

Чих нь j5, чихнээс титэм хүртэлх зай нь j6. Тиймээс энэ хөшөөнд бид харж байна геометрийн прогресс j хуваарьтай: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Зураг 9). Тиймээс алтан харьцаа нь эртний Грекийн урлагийн үндсэн зарчмуудын нэг юм. Зүрх ба тархины хэмнэл. Хүний зүрх жигд цохилдог - тайван үед минутанд 60 орчим цохилт. Зүрх минь яг л поршений цохилж байна...

Хэрэв танд луужин байхгүй бол таван туяатай энгийн од зурж, дараа нь эдгээр туяаг холбож болно. Доорх зурган дээрээс харахад туйлын ердийн таван өнцөгтийг олж авсан байна.

Математик бол нарийн төвөгтэй шинжлэх ухаан бөгөөд олон нууцтай, зарим нь нэлээд хөгжилтэй байдаг. Хэрэв та ийм зүйл сонирхож байгаа бол "Хөгжилтэй математик" номыг олж авахыг зөвлөж байна.

Зөвхөн луужин ашиглаад зогсохгүй тойрог зурж болно. Жишээлбэл, та харандаа, утас ашиглаж болно. Бид утас дээр шаардлагатай диаметрийг хэмждэг. Бид нэг үзүүрийг цаасан дээр сайтар хавчуулж, тойрог зурах болно. Мөн утасны нөгөө үзүүрт харандаа суулгаад хавсаргана. Одоо энэ нь луужин шиг ажилладаг: бид утсыг татаж, харандаагаар бага зэрэг дарж, тойргийг тойруулан тэмдэглэнэ.

Тойрог дотор бид тариачдыг төвөөс зурдаг: босоо шугам ба хэвтээ шугам. Босоо шугам ба тойргийн огтлолцлын цэг нь таван өнцөгтийн орой байх болно (цэг 1). Одоо бид хэвтээ шугамын баруун талыг хагасаар хуваана (цэг 2). Бид энэ цэгээс таван өнцөгтийн орой хүртэлх зайг хэмжиж, энэ сегментийг 2-р цэгийн зүүн талд (3-р цэг) байрлуулна. Утас, харандаа ашиглан 1-р цэгээс 3-р цэг хүртэл радиустай нум зурж, зүүн ба баруун талын эхний тойргийг огтолно - огтлолцлын цэгүүд нь таван өнцөгтийн орой болно. Тэднийг 4 ба 5-р цэг гэж нэрлэе.

Одоо 4-р цэгээс бид радиустай доод хэсэгт тойргийг огтолж буй нумыг хийдэг урттай тэнцүү 1-ээс 4-р цэг хүртэл - энэ нь 6-р цэг болно. Үүнтэй адилаар 5-р цэгээс - үүнийг 7-р цэг гэж нэрлэе.

Манай таван өнцөгтийг 1, 5, 7, 6, 4-р оройтой холбох л үлдлээ.

Би луужин ашиглан энгийн таван өнцөгтийг хэрхэн бүтээхийг мэддэг: тойрог барьж, таван цэгийг тэмдэглэж, тэдгээрийг холбоно. Бид тэнцүү талуудтай таван өнцөгт барьж болно, үүний тулд бидэнд дамжуулагч хэрэгтэй болно. Бид яг ижил 5 цэгийг протектор дээр тавьдаг. Үүнийг хийхийн тулд өнцгийг 72 градусаар тэмдэглэнэ. Дараа нь бид сегментүүдтэй холбогдож, шаардлагатай дүрсийг авдаг.

Ногоон тойргийг дурын радиусаар зурж болно. Бид энэ тойрогт ердийн таван өнцөгтийг бичнэ. Луужингүйгээр яг тойрог зурах боломжгүй, гэхдээ энэ шаардлагагүй. Тойрог болон цаашдын бүх бүтээн байгуулалтыг өөрийн гараар хийж болно. Дараа нь О тойргийн төвөөр дамжуулан харилцан перпендикуляр хоёр шулуун зурж, тойрогтой шугамын огтлолцох цэгүүдийн аль нэгийг А гэж тэмдэглэх хэрэгтэй. А цэг нь таван өнцөгтийн орой байх болно. Бид OB радиусыг хагасаар хувааж, C цэгийг байрлуулна.С цэгээс бид AC радиустай хоёр дахь тойрог зурна. А цэгээс бид AD радиустай гурав дахь тойрог зурна. Гурав дахь тойргийн эхнийхтэй (E ба F) огтлолцох цэгүүд нь мөн таван өнцөгтийн оройнууд байх болно. AE радиустай E ба F цэгүүдээс бид эхний тойрог дээр ховил хийж, G ба H таван өнцөгтийн үлдсэн оройг олж авна.



Хар урлагийн шүтэн бишрэгчид: таван өнцөгтийг энгийн, үзэсгэлэнтэй, хурдан зурахын тулд та пентаграмм (таван хошуут од) зөв, эв найртай суурь зурж, энэ одны цацрагийн төгсгөлийг шулуун, тэгш шугамаар холбох хэрэгтэй. Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол суурийн эргэн тойронд холбох шугам нь хүссэн таван өнцөгт байх болно.

(зураг дээр дууссан боловч бөглөөгүй таван хошуу байна)



Пентаграмын зөв эсэхэд эргэлзэж буй хүмүүсийн хувьд: Да Винчигийн Витрувийн хүнийг үндэс болгон аваарай (доороос үзнэ үү)



Хэрэв танд таван өнцөгт хэрэгтэй бол санамсаргүй байдлаар 5 оноо нудрахад тэдний гадна талын контур нь таван өнцөгт болно.

Хэрэв танд ердийн таван өнцөгт хэрэгтэй бол математикийн луужингүйгээр энэ барилгыг дуусгах боломжгүй, учир нь үүнгүйгээр хоёр ижил, гэхдээ зэрэгцээ биш сегментийг зурах боломжгүй юм. Хоёр ижил боловч зэрэгцээ бус сегментийг зурах боломжийг олгодог бусад хэрэгсэл нь математикийн луужинтай тэнцэнэ.



Эхлээд та тойрог зурж, дараа нь чиглүүлэгч, дараа нь хоёр дахь тасархай тойрог зурж, дээд цэгийг олж, дараа нь дээд хоёр буланг хэмжиж, доод хэсгийг нь зурах хэрэгтэй. Луужингийн радиус нь бүхэл бүтэн барилгын явцад ижил байна гэдгийг анхаарна уу.

Энэ бүхэн танд ямар таван өнцөгт хэрэгтэй байгаагаас хамаарна. Хэрэв байгаа бол таван цэг тавьж, тэдгээрийг хооронд нь холбоно уу (мэдээжийн хэрэг бид цэгүүдийг шулуун шугамд оруулахгүй). Хэрэв танд зөв хэлбэртэй таван өнцөгт хэрэгтэй бол уртын дагуу аль нэг тавыг (цаас, шүдэнз, харандаа гэх мэт) аваад таван өнцөгтийг байрлуулж, тоймыг нь зур.

Жишээлбэл, одноос таван өнцөгт зурж болно. Хэрэв та одыг хэрхэн зурахаа мэддэг ч таван өнцөгт зурахаа мэдэхгүй байгаа бол харандаагаар од зурж, одны зэргэлдээх хэсгүүдийг холбож, дараа нь одыг өөрөө арилга.

Хоёр дахь арга зам. Таван өнцөгтийн хүссэн талтай тэнцэх урттай, нарийн өргөнтэй, 0.5 - 1 см гэж хэлье.Загварын дагуу энэ туузны дагуу дахин дөрвөн ижил төстэй тууз хайчилж аваад нийт 5 ширхэгийг авна. .

Дараа нь цаасан хуудас тавь (дөрвөн товчлуур эсвэл зүүгээр ширээн дээр бэхлэх нь дээр). Дараа нь эдгээр 5 зураасыг цаасан дээр тавиад таван өнцөгт үүсгэнэ. Эдгээр 5 туузыг цаасан дээр зүү эсвэл зүүгээр зүүж, хөдөлгөөнгүй хэвээр үлдээнэ. Дараа нь үүссэн таван өнцөгтийг дугуйлж, хуудаснаас эдгээр судлуудыг арилгана.



Хэрэв танд луужин байхгүй бөгөөд таван өнцөгт барих шаардлагатай бол би дараах зүйлийг зөвлөж байна. Би өөрөө ийм байдлаар барьсан. Та ердийн таван хошуут од зурж болно. Үүний дараа таван өнцөгт авахын тулд одны бүх оройг холбоход л хангалттай. Ингэж л таван өнцөгттэй болно. Энэ бол бидний авах зүйл юм



Бид одны оройг шулуун хар шугамаар холбож, таван өнцөгттэй болсон.

2011 оны 6-р сарын 8

Эхний арга- энэ тал дээр S-ийг шилжүүлэгч ашиглан.

Шулуун шугамыг зурж, дээр нь AB = S-ийг тавь; Бид энэ шугамыг радиус болгон авч, энэ радиусыг А ба В цэгүүдийн нумуудыг дүрслэхдээ ашиглана.дараа нь протекторыг ашиглан бид эдгээр цэгүүдэд 108 ° өнцгийг барьж, талууд нь C ба D цэгүүдийн нумуудтай огтлолцох болно; AB = 5 радиустай эдгээр цэгүүдээс бид E цэгээр огтлолцох нумуудыг дүрсэлж, L, C, E, D, B цэгүүдийг шулуун шугамаар холбоно.

Үүссэн таван өнцөгт- хайсан.

Хоёр дахь арга зам. r радиустай тойрог зуръя. А цэгээс луужин ашиглан AM радиустай нумыг В ба С цэгүүдээр тойргийг огтолтол зурна. Бид B ба C хоёрыг огтлолцсон шугамаар холбодог хэвтээ тэнхлэг E цэг дээр.

Дараа нь E цэгээс бид О цэг дээр хэвтээ шугамыг огтлох нумыг зурна. Эцэст нь, F цэгээс бид тойрогтой H ба K цэгүүд дээр огтлолцох нумыг дүрсэлнэ. Тойргийн дагуух FO = FH = FK зайг зурсны дараа. таван удаа, хуваах цэгүүдийг шугамаар холбосноор бид ердийн таван өнцөгтийг авдаг.

Гурав дахь зам.Энэ тойрогт ердийн таван өнцөгтийг бич. Бид AB ба MC хоёр харилцан перпендикуляр диаметрийг зурна. AO радиусыг Е цэгээр хагасаар хуваа. E цэгээс төвөөс эхлэн EM радиустай тойргийн нумыг зурж, түүгээр F цэг дээр AB диаметрийг тэмдэглэнэ. MF сегмент. талтай тэнцүүхүссэн ердийн таван өнцөгт. MF-тэй тэнцүү луужингийн шийдлийг ашиглан бид N 1, P 1, Q 1, K 1 серифүүдийг хийж, тэдгээрийг шулуун шугамаар холбоно.

Зураг дээр энэ талын дагуу зургаан өнцөгтийг барьсан байна.

Шулуун шугам AB = 5, радиусын хувьд А ба В цэгүүдээс бид C цэгт огтлолцох нумуудыг дүрсэлдэг; Энэ цэгээс ижил радиустай, бид А В тал дээр 6 удаа тунадас оруулах тойргийг дүрсэлдэг.

Зургаан өнцөгт ADEFGB- хайсан.

"Засварын үеийн өрөөнүүдийн дизайн"
Н.П. Краснов

Барилга угсралтын эхний арга. Бид хэвтээ (AB) ба босоо (CD) тэнхлэгүүдийг зурж, тэдгээрийн огтлолцол M цэгээс хагас тэнхлэгийг зохих масштабаар зурна. Бид хагас жижиг тэнхлэгийг гол тэнхлэгийн M цэгээс E цэг хүртэл зурна. Барилгын эхний арга Эллипс. Бид BE-г 2 хэсэгт хувааж, M цэгээс нэгийг гол тэнхлэгийн (F эсвэл H хүртэл) зурна...

Будгийн үндэс нь хана, тааз болон бусад байгууламжийн бүрэн будсан гадаргуу юм; будах ажлыг өндөр чанартай цавуу, тосон будгаар хийдэг. Төгсгөлийн ноорог боловсруулж эхлэхдээ мастер нь бүхэл бүтэн найрлагыг дотоодын орчинд тодорхой төсөөлж, бүтээлч зорилгыг тодорхой ойлгох ёстой. Энэ үндсэн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л хүн зөв...

Тусгайлан заасан тохиолдлоос бусад тохиолдолд гүйцэтгэсэн ажлын хэмжилтийг бодитоор боловсруулсан гадаргуугийн талбайд үндэслэн түүний хөнгөвчлөх, боловсруулаагүй хэсгийг хасч тооцдог. Будгийн ажлын явцад бодит боловсруулсан гадаргууг тодорхойлохын тулд та хүснэгтэд өгөгдсөн хувиргах хүчин зүйлийг ашиглах хэрэгтэй. A. Модон цонхны төхөөрөмж (хэмжилтийг хүрээний гадна талын контурын дагуух нүхний талбайгаар хийдэг) Төхөөрөмжийн нэр Коэффицент ...

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

Ердийн таван өнцөгт(Грек πενταγωνον ) - геометрийн дүрс, таван талтай ердийн олон өнцөгт.

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Додекаэдр бол нүүр нь ердийн таван өнцөгт хэлбэртэй цорын ганц энгийн олон өнцөгт юм.
• АНУ-ын Батлан ​​хамгаалах яамны байр болох Пентагон нь ердийн таван өнцөгт хэлбэртэй.
• Энгийн таван өнцөгт нь хавтгай дээр нааж болохгүй хамгийн бага өнцөгтэй ердийн олон өнцөгт юм.
• Байгалийн хувьд ердийн таван өнцөгт хэлбэртэй нүүртэй талстууд байдаггүй.
• Бүх диагональ бүхий таван өнцөгт нь 4 симплексийн проекц юм.

бас үзнэ үү

"Ердийн Пентагон" нийтлэлийн талаар тойм бичнэ үү.

Тэмдэглэл

Талуудын тоогоор Зөв Гурвалжин Дөрвөн өнцөгт бас үзнэ үү

Олон өнцөгт Оддын олон өнцөгтүүд Онгоцонд паркет Ердийн олон талт бөөрөнхий паркет Кеплер-Пуинсотын олон талт Зөгийн сархинаг Дөрвөн хэмжээст олон талт

Энгийн Пентагоныг тодорхойлсон ишлэл

Петя энэ нь хэр удаан үргэлжилсэнийг мэдэхгүй байв: тэр таашаал авч, таашаал авахдаа үргэлж гайхаж, хэлэх хүн байхгүйд харамсдаг байв. Лихачевын эелдэг дуугаар түүнийг сэрээжээ.
-Бэлэн, эрхэм ээ, та харуулыг хоёр хуваана.
Петя сэрлээ.
- Аль хэдийн үүр цайж байна, үнэхээр үүр цайж байна! - тэр хашгирав.
Өмнө нь үл үзэгдэгч байсан морьд сүүл хүртэл харагдах болж, нүцгэн мөчрөөр нь усан гэрэл тусав. Петя сэгсэрч, үсрэн босч, халааснаасаа нэг рубль гаргаж ирээд Лихачевт өгөөд, даллаж, сэлэм оролдоод бүрээсэндээ хийв. Казакууд морьдыг тайлж, бүсийг чангалав.
"Энд командлагч байна" гэж Лихачев хэлэв. Денисов харуулын байрнаас гарч ирээд Петя руу дуудаж, бэлтгэл хийхийг тушаав.

Хагас харанхуйд хурдан морьдыг задалж, уяаг чангалж, багуудыг ялгав. Денисов харуулын байранд зогсоод сүүлчийн тушаалыг өгөв. Намын явган цэрэг зуун фут алгадаж, зам дагуу урагш алхаж, үүрийн манан дунд модны завсраар хурдан алга болов. Есаул казакуудад ямар нэгэн зүйл тушаажээ. Петя мориныхоо жолоог барьж, морины тушаалыг тэсэн ядан хүлээж байв. Хүйтэн усаар угаасан нүүр, ялангуяа нүд нь галд шатаж, нурууг нь жихүүдэс хүрч, бүх биед нь ямар нэгэн зүйл хурдан бөгөөд жигд чичирч байв.
- За, танд бүх зүйл бэлэн үү? - гэж Денисов хэлэв. - Бидэнд морь өгөөч.
Морь авчирсан. Бүсгүй сул байсан тул Денисов казакуудад уурлаж, загнаад суув. Петя дөрөөнөөс барив. Морь зуршлаасаа болж хөлөө хазахыг хүссэн боловч Петя жингээ мэдрээгүй тул эмээл рүү хурдан үсэрч, харанхуйд араас нь хөдөлж байсан хусар руу эргэж хараад Денисов руу явав.
- Василий Федорович, та надад ямар нэгэн зүйл даатгах уу? Гуйя... бурханы төлөө... - гэж тэр хэлэв. Денисов Петягийн оршин тогтнохыг мартсан бололтой. Тэр түүн рүү эргэж харав.
"Би чамаас нэг зүйлийн талаар асууж байна, надад дуулгавартай байж, хаана ч саад болохгүй" гэж тэр хатуу хэлэв.
Бүх аяллын туршид Денисов Петятай нэг ч үг хэлээгүй бөгөөд чимээгүйхэн мордов. Биднийг ойн захад ирэхэд талбай мэдэгдэхүйц хөнгөрч байв. Денисов Эсаултай шивнэж, казакууд Петя, Денисов хоёрын хажуугаар давхиж эхлэв. Бүгдийг өнгөрсний дараа Денисов морио хөдөлгөж, уруудаж явав. Морь хөл дээрээ суугаад гулгасаар, морьтондоо дагуулан жалга руу буув. Петя Денисовын хажууд мордов. Түүний бүх биеэр чичрэх нь улам ширүүсэв. Энэ нь илүү хөнгөн болж, зөвхөн манан нь алс холын объектуудыг нууж байв. Доошоо хөдөлж, эргэж харахад Денисов хажууд нь зогсож байсан казак руу толгойгоо дохив.
- Дохио! - тэр хэлсэн.
Казак гараа өргөөд буун дуу гарав. Яг тэр агшинд урдаа давхиж буй морьдын тэнэмэл чимээ сонсогдож, янз бүрийн талаас хашгирч, дахин буун дуу сонсогдов.
Дээш цохих, хашгирах анхны чимээ гарахтай зэрэгцэн Петя морио цохиж, жолоогоо суллаж, түүн рүү хашгирч байсан Денисовыг сонсоогүй тул урагш давхив. Буудлагын чимээ сонсогдсон тэр агшинд өдрийн дунд үе шиг гэнэт үүр цайх шиг Петяд санагдав. Тэр гүүр рүү давхив. Казакууд урдах зам дагуу давхиж байв. Гүүрэн дээр тэрээр хоцрогдсон казактай таарч, цааш явав. Урдах зарим хүмүүс - тэд франц хүн байсан байх - замын баруун талаас зүүн тийш гүйж байв. Нэг нь Петягийн морины хөл дор шаварт унав.
Казакууд нэг овоохойд бөөгнөрөн ямар нэгэн зүйл хийж байв. Олны дундаас аймшигтай хашгирах чимээ сонсогдов. Петя энэ олны өмнө давхиж очиход хамгийн түрүүнд цонхийж, чичирч байв доод эрүүЦурхайн голыг барьсан франц хүний ​​царай түүн рүү чиглэв.
"За!.. Залуус... манайх..." гэж Петя хашгираад хэт халсан морины жолоог өгөөд гудамжаар урагш давхилаа.
Урд буун дуу сонсогдов. Замын хоёр талаас гүйж ирсэн казакууд, хусарууд, ноорхой орос хоригдлууд бүгд ямар нэг юм чанга, эвгүй хашгирав. Малгайгүй, улаан, хөмсөг зангидсан царайтай, цэнхэр пальтотой царайлаг франц хүн жад барьсаар хусаруудтай тулалдав. Петя давхихад франц хүн аль хэдийн унасан байв. Би дахин хоцорч, Петя толгойд нь гялсхийж, тэр байнга буун дуу сонсогддог газар руу давхив. Өнгөрсөн шөнө Долоховтой хамт байсан эдлэнгийн хашаанд буун дуу сонсогдов. Францчууд бутаар ургасан өтгөн цэцэрлэгт хашааны ард сууж, хаалганы дэргэд цугларсан казакуудыг буудаж байв. Хаалга руу ойртож, нунтаг утаан дунд Петя цонхигор, ногоон царайтай Долоховыг хүмүүст ямар нэгэн зүйл хашгирч байхыг харав. “Тойруу замаар яв! Явган цэргийг хүлээж бай!" - гэж тэр хашгирах үед Петя түүн дээр очив.
"Хүлээгээрэй?.. Хураа!.." гэж Петя хашгирч, нэг минут ч эргэлзэлгүйгээр буун дуу сонсогдож, нунтаг утаа бүдүүн байсан газар руу давхив. Галт тэрэгний чимээ сонсогдож, хоосон сум хашгирч, ямар нэгэн зүйл оносон. Казакууд, Долохов нар Петягийн араас байшингийн хаалгаар давхив. Францчууд ганхсан өтгөн утаан дунд зарим нь зэвсгээ хаяж, бутнуудаас гарч гүйж, казакуудтай уулзахаар, зарим нь цөөрөм рүү уруудан гүйв. Петя мориныхоо хашааны дагуу давхиж, жолоогоо барихын оронд хачирхалтай бөгөөд хурдан хоёр гараа даллаж, эмээлээс нэг тал руугаа унав. Өглөөний гэрэлд дүрэлзэж буй гал руу гүйж байсан морь амарч, Петя нойтон газар хүчтэй унав. Толгой нь хөдөлдөггүй байсан ч гар, хөл нь хэр хурдан татагдаж байгааг казакууд харав. Сум түүний толгойг нэвт зүсэв.
Гэрийн цаанаас сэлмэндээ ороолт зүүж ирээд бууж өгч байгаагаа зарласан Францын ахлах офицертой ярилцсаны дараа Долохов мориноосоо бууж, хоёр гараа сунган хөдөлгөөнгүй хэвтэж байсан Петя руу дөхөв.
"Бэлэн" гэж тэр хөмсөг зангидан хэлээд хаалгаар орж, өөр рүүгээ ирж байсан Денисовтой уулзав.
- Алагдсан уу?! - гэж Денисов хашгирч, Петягийн цогцос байгаа танил, эргэлзээгүй амьгүй байрлалыг алсаас хараад.
"Бэлэн" гэж Долохов давтан хэлэхэд энэ үгийг хэлэх нь түүнд таашаал өгсөн мэт хурдан мориноос буусан казакуудаар хүрээлэгдсэн хоригдлууд руу явав. - Бид үүнийг авахгүй! гэж Денисов руу хашгирав.