Seksjoner: Matematikk

Leksjonens mål:

Pedagogisk: lære å løse systemer med eksponentielle ligninger; å konsolidere ferdighetene til å løse ligninger inkludert i disse systemene

Pedagogisk: utdanne ryddighet.

Utvikle: utvikle en kultur for å skrive og snakke.

Utstyr: datamaskin; multimedia projektor.

I løpet av timene

Organisering av tid

Lærer. I dag vil vi fortsette studiet av kapittelet Eksponentiell funksjon. Vi vil formulere temaet for leksjonen litt senere. I løpet av timen vil du fylle ut svarskjemaene som ligger på bordene dine ( cm. Vedlegg nr. 1 ). Svarene vil bli oppsummert.

Kunnskapsoppdatering.

Elevene svarer på spørsmål:

• Hvilken form har eksponentialfunksjonen?

Muntlig arbeid. Arbeid med lysbildene 1 til 5.

• Hvilken ligning kalles eksponentiell?
• Hvilke løsningsmetoder kjenner du til?

Muntlig arbeid på lysbilde 6 til 10.

• Hvilken egenskap til eksponentialfunksjonen brukes til å løse den eksponentielle ulikheten?

Muntlig arbeid på lysbilde 11 til 15.

Trening. Skriv ned svarene på disse spørsmålene på svarskjema #1. ( cm. Vedlegg nr. 1 ). (lysbilde 16 til 31)

Leksesjekk

.

Vi sjekker leksene våre som følger.

Bytt ut røttene til ligningene med den tilsvarende bokstaven og gjett ordet.

Elevene ser på svarskjema #2 ( Vedlegg 1) ... Læreren viser lysbilde nummer 33

(Elevene navngir et ord (lysbilde 34)).

• Hvilke fenomener fortsetter i henhold til lovene for denne funksjonen?

Studentene inviteres til å løse oppgaver fra eksamen B12 (lysbilde 35) og skrive ned løsningen i svarskjema nr. 3 ( Vedlegg 1).

I løpet av å sjekke lekser og løse oppgave B12 vil vi gjenta metodene for å løse eksponentialligningene.

Elevene finner ut at det å løse en likning i to variabler krever en annen likning.

Deretter formuleres temaet for timen (lysbilde nummer 37).

Systemet er registrert i notatbøker (lysbildenummer 38).

For å løse dette systemet gjentar vi substitusjonsmetoden (lysbilde 39).

Tilsetningsmetoden gjentas mens systemet løses (lysbilde 38 til 39).

Primær konsolidering av det studerte materialet

:

Elevene løser selvstendig ligningssystemer i svarskjema nr. 4 ( Vedlegg 1 ), motta individuelle råd fra en lærer.

Oppsummering. Speilbilde.

Fortsett fraser.

• I dag i leksjonen gjentok jeg...
• I dag i leksjonen fikset jeg...
• I dag i leksjonen lærte jeg...
• I dag i leksjonen lærte jeg...

På slutten av timen skriver elevene ned leksene sine, leverer svararkene

Hjemmeoppgave:

nr. 59 (jevn) og nr. 62 (jevn).

Litteratur

1. Alle oppgaver til Unified State Exam group 3000 problemer - Publishing House "Exam" Moskva, 2011. Redigert av A.L. Semenova, I.V. Jasjtsjenko.
2. S.A. Shestakov, P.I. Zakharov EGE 2010 matematikkoppgave C1 redigert av A.L. Semenova, I.V. Yashchenko Moskva forlag "MCNMO".
3. Tutorial Algebra og begynnelsen av matematisk analyse, klasse 10 Yu.M. Kolyagin Moskva "Education", 2008.

Leksjon og presentasjon om emnet: "Eksponentielle ligninger og eksponentielle ulikheter"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Interaktiv opplæring for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv opplæring for klasse 10-11 "Logarithms"

Bestemmelse av eksponentialligninger

Gutter, vi studerte eksponentielle funksjoner, lærte egenskapene deres og bygde grafer, analyserte eksempler på ligninger der eksponentielle funksjoner ble møtt. I dag skal vi studere eksponentielle ligninger og ulikheter.

Definisjon. Ligninger av formen: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, hvor $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ kalles eksponentialligninger.

Når vi husker teoremene som vi studerte i emnet "Eksponentiell funksjon", kan vi introdusere et nytt teorem:
Teorem. Eksponentialligningen $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, hvor $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, tilsvarer ligningen $ f (x) = g (x ) $.

Eksempler på eksponentialligninger

Eksempel.
Løs ligninger:
a) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
b) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
c) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Løsning.
a) Vi vet godt at $ 27 = 3 ^ 3 $.
La oss omskrive ligningen vår: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Ved å bruke teoremet ovenfor finner vi at ligningen vår reduseres til ligningen $ 3x-3 = 3 $, ved å løse denne ligningen får vi $ x = 2 $.
Svar: $ x = 2 $.

B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Deretter kan ligningen vår omskrives: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Svar: $ x = 0 $.

C) Den opprinnelige ligningen tilsvarer ligningen: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ og $ x_2 = -3 $.
Svar: $ x_1 = 6 $ og $ x_2 = -3 $.

Eksempel.
Løs ligningen: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Løsning:
Vi vil sekvensielt utføre en rekke handlinger og bringe begge sider av ligningen vår til samme base.
La oss utføre en rekke operasjoner på venstre side:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1)) (4))) ^ x $.
La oss gå videre til høyre side:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) $ 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Den opprinnelige ligningen tilsvarer ligningen:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Svar: $ x = 0 $.

Eksempel.
Løs ligningen: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Løsning:
La oss omskrive ligningen vår: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
La oss endre variablene, la $ a = 3 ^ x $.
I nye variabler vil ligningen ha formen: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ og $ a_2 = 3 $.
La oss utføre omvendt endring av variabler: $ 3 ^ x = -12 $ og $ 3 ^ x = 3 $.
I den siste leksjonen lærte vi at eksponentielle uttrykk bare kan ta positive verdier, husk grafen. Derfor har den første ligningen ingen løsninger, den andre ligningen har én løsning: $ x = 1 $.
Svar: $ x = 1 $.

La oss sette sammen en sjekkliste over måter å løse eksponentielle ligninger på:
1. Grafisk metode. Vi representerer begge sider av ligningen i form av funksjoner og bygger grafene deres, finner skjæringspunktene til grafene. (Vi brukte denne metoden i forrige leksjon).
2. Prinsippet om likhet av indikatorer. Prinsippet er basert på det faktum at to uttrykk med samme base er like hvis og bare hvis gradene (indikatorene) til disse basene er like. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Variabel erstatningsmetode. Denne metoden bør brukes hvis ligningen, når du endrer variabler, forenkler formen og er mye lettere å løse.

Eksempel.
Løs ligningssystemet: $ \ begynne (tilfeller) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ end (caser) $.
Løsning.
Vurder begge likningene til systemet separat:
$ 27 ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Tenk på den andre ligningen:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
La oss bruke metoden for endring av variabler, la $ y = 2 ^ (x + y) $.
Deretter vil ligningen ha formen:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ og $ y_2 = -3 $.
Går vi videre til de innledende variablene, fra den første ligningen får vi $ x + y = 2 $. Den andre ligningen har ingen løsninger. Da er vårt første ligningssystem ekvivalent med systemet: $ \ begin (tilfeller) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ end (caser) $.
Trekker vi den andre fra den første ligningen, får vi: $ \ begin (tilfeller) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ end (caser) $.
$ \ begynne (tilfeller) y = -1, \\ x = 3. \ end (caser) $.
Svar: $ (3; -1) $.

Eksponentielle ulikheter

La oss gå videre til ulikheter. Når du løser ulikheter, er det nødvendig å ta hensyn til grunnlaget for graden. Det er to mulige scenarier for utvikling av hendelser ved løsning av ulikheter.

Teorem. Hvis $ a> 1 $, så er den eksponentielle ulikheten $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ ekvivalent med ulikheten $ f (x)> g (x) $.
Hvis $0 a ^ (g (x)) $ er ekvivalent med ulikheten $ f (x)

Eksempel.
Løs ulikheter:
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
b) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Løsning.
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Vår ulikhet er ekvivalent med ulikheten:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) I vår ligning er grunntallet mindre enn 1 , så når du erstatter en ulikhet med en tilsvarende, må tegnet endres.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

C) Vår ulikhet er ekvivalent med ulikheten:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
La oss bruke intervallløsningsmetoden:
Svar: $ (- ∞; -5] U)