Denne videoopplæringen diskuterer egenskapene til funksjoner y =tgx, y = ctgx, viser hvordan man konstruerer grafene deres.

Videoopplæringen begynner med en titt på funksjonen y =tgx.

Egenskapene til funksjonen er uthevet.

1) Domene til funksjonen y =tgx alle reelle tall kalles, bortsett fra x =π/2 + 2 πk. De. det er ingen punkter på grafen som hører til linjen x =π/2 og x = -π/2, samt x = 3π/2 og så videre (med samme periodisitet). Så grafen til funksjonen y =tgx vil bestå av et uendelig antall grener som vil ligge i mellomrommene mellom de rette linjene x = - 3π/2 og x = -π/2 , x = -π/2 og x = π/2 og så videre.

2) Funksjon y =tgx er periodisk, hvor hovedperioden er π. Dette bekrefter likestilling tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Disse likhetene ble studert tidligere, forfatteren inviterer studentene til å huske dem, og påpeker at for enhver gyldig verdi t likhetene er gyldige:

tg(t+ π ) = tg t og c tg(t+π ) = ctg t. Konsekvensen av disse likhetene er at hvis en gren av grafen til funksjonen y = tan x mellom linjene X = - π/2 og X= π/2, så kan de resterende grenene oppnås ved å forskyve denne grenen langs x-aksen med π, 2π og så videre.

3) Funksjon y =tgx er rart, fordi . tg (- x) =- tg x.

La oss deretter gå videre til å konstruere en graf av funksjonen y =tgx. Som følger av egenskapene til funksjonen beskrevet ovenfor, funksjonen y =tgx periodisk og rart. Derfor er det nok å konstruere en del av grafen - en gren i ett intervall, og deretter bruke symmetri for overføring. Forfatteren gir en tabell der verdiene beregnes tgx til visse verdier x for mer nøyaktig plotting. Disse punktene er markert på koordinataksen og forbundet med en jevn linje. Fordi Hvis grafen er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen til koordinatene, er den samme grenen konstruert, symmetrisk med hensyn til opprinnelsen til koordinatene. Som et resultat får vi en gren av grafen y =tgx. Deretter, ved å bruke et skift langs x-aksen med π, 2 π, og så videre, oppnås en graf y =tgx.

Graf av en funksjon y =tgx kalles en tangentoid, og de tre grenene til grafen vist på figuren er hovedgrenene til tangentoiden.

4) Funksjon y =tgx ved hvert av intervallene (- + ; +) øker.

5) Funksjonsgraf y =tgx har ingen begrensninger over og under.

6) Funksjon y =tgx har ikke størst og minst verdi.

7) Funksjon y =tgx kontinuerlig på alle intervaller (- - π/2+π;π/2+π). Den rette linjen π/2+π kalles asymptoten til grafen til funksjonen y =tgx, fordi ved disse punktene blir grafen til funksjonen avbrutt.

8) Sett med funksjonsverdier y =tgx alle reelle tall kalles.

Videre i videoopplæringen er det gitt et eksempel: løs ligningen med tgx. For å løse, skal vi konstruere 2 grafer av funksjonen på og finn skjæringspunktene til disse grafene: dette er et uendelig sett med punkter hvis abscisser avviker med πk. Roten til denne ligningen vil være X= π/6 +πk.

Tenk på grafen til funksjonen y =ctgx. En funksjon kan tegnes på to måter.

Den første metoden innebærer å konstruere en graf som ligner på å konstruere en graf funksjoner y =tgx. La oss bygge en gren av funksjonsgrafen y = ctgx mellom linjene X= 0u X= π. Deretter vil vi, ved å bruke symmetri og periodisitet, konstruere andre grener av grafen.

Den andre metoden er enklere. Graf av en funksjon y = сtgx kan oppnås ved å transformere tangentene ved å bruke reduksjonsformelen Medtgx = - tg(x +π/2). For å gjøre dette, la oss flytte en gren av funksjonsgrafen y = tgx langs x-aksen med π/2 til høyre. De resterende grenene oppnås ved å forskyve denne grenen langs x-aksen med π, 2π, og så videre. Graf for funksjon y = ctg x kalles også en tangentoid, og grenen til grafen i intervallet (0;π) er hovedgrenen til tangentoiden.

TEKSTDEKODING:

Vi vil vurdere egenskapene til funksjonen y = tan x (y er lik tangent x), y = ctg x (y er lik cotangens x), og konstruere grafene deres. Tenk på funksjonen y = tgx

Før du plotter funksjonen y = tan x, la oss skrive ned egenskapene til denne funksjonen.

EIENDOM 1. Definisjonsdomenet til funksjonen y = tan x er alle reelle tall, bortsett fra tall på formen x = + πk (x er lik summen av pi over to og pi ka).

Dette betyr at på grafen til denne funksjonen er det ingen punkter som hører til linjen x = (vi får hvis k = 0 ka er lik null) og linjen x = (x er lik minus pi med to) (we få hvis k = - 1 ka er lik minus én), og den rette linjen x = (x er lik tre pi ganger to) (vi får hvis k = 1 er lik én), osv. Dette betyr at grafen av funksjonen y = tan x vil bestå av et uendelig antall grener som vil ligge i intervallene mellom rette linjer. Nemlig i båndet mellom x = og x =-; i stripen x = - og x = ; i stripen x = og x = og så videre i det uendelige.

EIENDOM 2. Funksjonen y = tan x er periodisk med hovedperioden π. (Siden den doble likheten er sann

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) tangens til x minus pi er lik tangens til x og lik tangens til x pluss pi). Vi vurderte denne likheten når vi studerte tangent og cotangens. La oss minne ham på:

For enhver tillatt verdi av t er likhetene gyldige:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Fra denne likheten følger det at etter å ha konstruert en gren av grafen til funksjonen y = tan x i intervallet fra x = - og x =, får vi de resterende grenene ved å forskyve den konstruerte grenen langs X-aksen med π, 2π , og så videre.

EIENDOM 3. Funksjonen y = tan x er en oddetallsfunksjon, siden likheten tg (- x) = - tan x er sann.

La oss plotte funksjonen y = tan x

Siden denne funksjonen er periodisk, består av et uendelig antall grener (i stripen mellom x = og x =, samt i stripen mellom x = og x = osv.) og oddetall, vil vi konstruere en del av grafer punkt for punkt i intervallet fra null til pi med to (), bruk deretter symmetrien til opprinnelsen og periodisiteten.

La oss bygge en tabell med tangentverdier for plotting.

Vi finner det første punktet: å vite at ved x = 0 tan x = 0 (x er lik null, tan x er også lik null); neste punkt: ved x = tan x = (x lik pi med seks, tangent x er lik roten av tre ganger tre); La oss legge merke til følgende punkter: ved x = tan x = 1 (x lik pi ganger fire tan x er lik én), og ved x = tg x = (x lik pi ved tre tan x er lik kvadratroten av tre). Merk de resulterende punktene på koordinatplanet og koble dem med en jevn linje (fig. 2).

Siden grafen til funksjonen er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen til koordinatene, vil vi konstruere den samme grenen symmetrisk med hensyn til opprinnelsen til koordinatene. (Fig. 3).

Og til slutt, ved å bruke periodisitet, får vi en graf av funksjonen y = tan x.

Vi har konstruert en gren av grafen til funksjonen y = tan x i stripen fra x = - og x =. Vi bygger de resterende grenene ved å forskyve den konstruerte grenen langs X-aksen med π, 2π, og så videre.

Plottet som lages kalles en tangentoid.

Den delen av tangentoiden vist i figur 3 kalles hovedgrenen til tangentoiden.

Basert på grafen vil vi skrive ned noen flere egenskaper ved denne funksjonen.

EGENSKAP 4. Funksjonen y = tan x øker på hvert av intervallene (fra minus pi med to pluss pi ka til pi med to pluss pi ka).

EIENDOM 5. Funksjonen y = tan x er ikke avgrenset verken over eller under.

EIENDOM 6. Funksjonen y = tan x har verken de største eller de minste verdiene.

EIENDOM 7. Funksjonen y = tan x er kontinuerlig på et hvilket som helst intervall i formen (fra minus pi med to pluss pi ka til pi med to pluss pi ka).

En rett linje av formen x = + πk (x er lik summen av pi over to og pi ka) er en vertikal asymptote av grafen til funksjonen, siden funksjonen i punktene på formen x = + πk lider av en diskontinuitet.

EIENDOM 8. Settet med verdier for funksjonen y = tan x er alle reelle tall, det vil si (e fra eff er lik intervallet fra minus uendelig til pluss uendelig).

EKSEMPEL 1. Løs ligningen tg x = (tangens x er lik roten av tre ganger tre).

Løsning. La oss konstruere grafer for funksjonene y = tan x i ett koordinatsystem

(yen er lik tangenten til x) og y = (yen er lik roten av tre delt på tre).

Vi oppnådde uendelig mange skjæringspunkter, hvis abscisse er forskjellig fra hverandre med πk (pi ka) Siden tg x = ved x =, så er abscissen til skjæringspunktet på hovedgrenen lik (pi med seks).

Vi skriver alle løsninger til denne ligningen med formelen x = + πk (x er lik pi ganger seks pluss pi ka).

Svar: x = + πk.

La oss bygge en graf av funksjonen y = сtg x.

La oss vurdere to konstruksjonsmetoder.

Første vei ligner på å plotte funksjonen y = tan x.

Siden denne funksjonen er periodisk, består av et uendelig antall grener (i båndet mellom x = 0 og x =π, samt i båndet mellom x =π og x = 2π osv.) og oddetall, vil vi konstruere en del av grafen punkt for punkt på intervallet fra null til pi med to (), så skal vi bruke symmetri og periodisitet.

La oss bruke tabellen med kotangensverdier for å bygge en graf.

Merk de resulterende punktene på koordinatplanet og koble dem med en jevn linje.

Siden grafen til funksjonen er relativt symmetrisk, vil vi konstruere den samme grenen symmetrisk.

La oss bruke periodisitet og få en graf av funksjonen y = сtg x.

Vi har konstruert en gren av grafen til funksjonen y = сtg x i stripen fra x = 0 og x =π. Vi konstruerer de resterende grenene ved å forskyve den konstruerte grenen langs x-aksen med π, - π, 2π, - 2π og så videre.

Andre vei plotte funksjonen y =сtg x.

Den enkleste måten å få en graf for funksjonen y =сtg x på er å transformere tangenten ved å bruke reduksjonsformelen (cotangens x er lik minus tangenten til summen av x og pi med to).

I dette tilfellet forskyver vi først grenen til grafen til funksjonen y =tg x langs abscisseaksen til høyre, vi får

y = tg (x+), og så utfører vi symmetrien til den resulterende grafen i forhold til abscisseaksen. Resultatet vil være en gren av grafen til funksjonen y =сtg x (fig. 4). Når vi kjenner én gren, kan vi bygge hele grafen ved å bruke periodisiteten til funksjonen. Vi konstruerer de resterende grenene ved å forskyve den konstruerte grenen langs x-aksen med π, 2π, og så videre.

Grafen til funksjonen y =сtg x kalles også en tangentoid, akkurat som grafen til funksjonen y =tg x. Grenen som ligger i intervallet fra null til pi kalles hovedgrenen til grafen til funksjonen y = сtg x.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - i et ord, på alle segmenter [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], hvor k Z, og avtar på alle segmenter

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], hvor n Z.

Oppgave 11.6. På hvilke segmenter øker funksjonen y = cos x og på hvilke avtar?

Oppgave 11.8. Ordne i stigende rekkefølge: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafer over tangent og cotangens

La oss plotte funksjonen y = tan x. La oss først konstruere det for tall x som tilhører intervallet (−π/2; π/2).

Hvis x = 0, så er tan x = 0; når x øker fra 0 til π/2, øker også tan x - dette kan sees hvis man ser på tangentaksen (fig. 12.1 a). Når x nærmer seg π/2, forblir mindre

Ris. 12.2. y = tan x.

π/2 øker verdien av tan x (punkt M i fig. 12.1 a går høyere og høyere) og kan selvsagt bli et vilkårlig stort positivt tall. På samme måte, når x synker fra 0 til −π/2, blir tan x et negativt tall hvis absolutte verdi øker når x nærmer seg −π/2. For x = π/2 eller −π/2 er funksjonen tan x udefinert. Derfor ser grafen y = tan x for x (−π/2; π/2) ut omtrent som i fig. 12,1 b.

Nær opprinnelsen til koordinatene er kurven vår nær den rette linjen y = x x: tross alt, for små spisse vinkler er den omtrentlige likheten tg x ≈ x sann. Vi kan si at linjen y = x berører grafen til funksjonen y = tan x ved origo. I tillegg er kurven i fig. 12.1 b symmetrisk om origo. Dette forklares med at funksjonen y = tan x er oddetall, det vil si at identiteten tg(−x) = − tan x holder.

For å plotte funksjonen y = tan x for alle x, husk at tan x er en periodisk funksjon med periode π. For å få en fullstendig graf av funksjonen y = tan x, er det derfor nødvendig å gjenta kurven i Fig. uendelig mange ganger. 12.1 b, flytte den langs abscissen til avstandene πn, der n er et heltall. Den endelige visningen av grafen for funksjonen y = tan x er i fig. 12.2.

I følge grafen ser vi nok en gang at funksjonen y = tan x

Ris. 12.3. y = hytte x.

er ikke definert for x = π/2 + πn, n Z, det vil si for de x der cos x = 0. Vertikale linjer med ligninger x = π/2, 3π/2,. . . , som grenene til grafen nærmer seg kalles asymptoter til grafen.

I samme fig. 12.2 viste vi løsninger til ligningen tg x = a.

La oss plotte funksjonen y = barneseng x. Den enkleste måten er å bruke reduksjonsformelen ctg x = tan(π/2 − x) for å få denne grafen fra grafen til funksjonen y = tan x ved å bruke transformasjoner som ligner på de vi beskrev i forrige avsnitt. Resultatet er vist i fig. 12.3

Oppgave 12.1. Grafen til funksjonen y = ctg x er hentet fra grafen til funksjonen y = tan x ved å bruke symmetri om en bestemt linje. Hvilken? Er det andre linjer med denne eiendommen?

Oppgave 12.2. Hvordan ser likningen til en rett linje som tangerer grafen til funksjonen y = cot x ut i et punkt med koordinater (π/2; 0)?

Oppgave 12.3. Sammenlign tallene: a) tg(13π/11) og tg 3,3π; b) tan 9,6π og ctg(−11,3π).

Oppgave 12.4. Ordne tallene i stigende rekkefølge: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Oppgave 12.5. Tegn grafiske funksjoner:

a) y = tan(2x − π/3);	b) y = 2 barneseng(π/4 − x).
Oppgave 12.6. Tegn grafiske funksjoner:
a) y = arktan x;	b) y = arcctg x.

Oppgave 12.7. Plott funksjonen y = arctan x + arctan(1/x).

§ 13. Hva er sin x + cos x lik?

I denne delen skal vi prøve å løse følgende problem: hva er den største verdien som uttrykket sin x + cos x kan ta?

Hvis du telte riktig, burde du ha funnet ut at av alle x inkludert i denne tabellen, er den største verdien sin x + cos x

oppnås for x nær 45◦, eller, i radianmål, til π/4.

Hvis x = π/4, er den nøyaktige verdien av sin x+cos x 2. Det viser seg at resultatet vårt oppnådd eksperimentelt, og i

er faktisk sant: for alle x er ulikheten sin x + cos x 6 sann

2, så 2 er den største verdien akseptert av dette uttrykket.

Vi har ennå ikke nok midler til å bevise denne ulikheten på den mest naturlige måten. Foreløpig vil vi vise hvordan vi kan redusere det til et planimetriproblem.

Hvis 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Derfor er oppgaven vår omformulert som følger: å bevise at summen av lengdene av bena i en rettvinklet trekant med hypotenusa 1 vil være maksimal hvis denne trekanten er likebenet.

Oppgave 13.1. Bevis denne uttalelsen.

Siden en likebenet rettvinklet trekant med hy-

Potenus 1, summen av lengdene på benene er lik 2√, resultatet av denne oppgaven innebærer ulikheten sin x + cos x 6 2 for alle x som ligger i intervallet (0; π/2). Herfra er det ikke vanskelig å konkludere med at denne ulikheten gjelder for alle x generelt.

Resultatet av oppgave 13.1 er ikke bare sant for rettvinklede trekanter.

Oppgave 13.2. Bevis at blant alle trekanter med gitte verdier av siden AC og vinkel B, vil den største summen AB + BC være for en likebenet trekant med basis AC.

La oss gå tilbake til trigonometri.

Oppgave 13.3. Ved hjelp av sinustabellen fra § 3, konstruer en punktvis graf av funksjonen y = sin x + cos x.

Merk. Husk at x må uttrykkes i radianer; For x-verdier utenfor intervallet, bruk reduksjonsformlene.

Hvis du gjorde alt riktig, bør du ha en kurve som ser ut som en sinusbølge. Senere vil vi se at denne kurven ikke bare er lik, men er en sinusformet. Vi vil også lære å finne de største verdiene av uttrykk som 3 sin x + 4 cos x (forresten, grafen til funksjonen y = 3 sin x + 4 cos x er også en sinusformet!).

Sentrert ved punkt A.
α er vinkelen uttrykt i radianer.

Tangent ( tan α) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det motsatte benet |BC| til lengden av det tilstøtende benet |AB| .

Cotangens ( ctg α) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det tilstøtende benet |AB| til lengden av motsatt ben |BC| .

Tangent

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur er tangent betegnet som følger:
.
;
;
.

Graf for tangentfunksjonen, y = tan x

Cotangens

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur er cotangens betegnet som følger:
.
Følgende notasjoner godtas også:
;
;
.

Graf over cotangensfunksjonen, y = ctg x

Egenskaper til tangent og cotangens

Periodisitet

Funksjoner y = tg x og y = ctg x er periodiske med periode π.

Paritet

Tangent- og cotangensfunksjonene er odde.

Definisjonsområder og verdier, økende, avtagende

Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( n- hel).

	y = tg x	y = ctg x
Omfang og kontinuitet
Rekkevidde av verdier	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Økende		-
Synkende	-
Ytterligheter	-	-
Null, y = 0
Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0	y = 0	-

Formler

Uttrykk som bruker sinus og cosinus

; ;
; ;
;

Formler for tangent og cotangens fra sum og differanse

De resterende formlene er enkle å få tak i, for eksempel

Produkt av tangenter

Formel for summen og differansen av tangenter

Denne tabellen presenterer verdiene til tangenter og cotangenter for visse verdier av argumentet.

Uttrykk som bruker komplekse tall

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

;
;

Derivater

; .

.
Derivert av n-te orden med hensyn til variabelen x i funksjonen:
.
Utlede formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler

Serieutvidelser

For å få utvidelsen av tangenten i potenser av x, må du ta flere ledd av utvidelsen i en potensserie for funksjonene synd x Og fordi x og dele disse polynomene med hverandre, . Dette gir følgende formler.

kl.

kl.
Hvor Bn- Bernoulli tall. De bestemmes enten fra gjentakelsesrelasjonen:
;
;
Hvor .
Eller i henhold til Laplaces formel:

Inverse funksjoner

De inverse funksjonene til tangent og cotangens er henholdsvis arctangent og arccotangent.

Arctangens, arctg

, Hvor n- hel.

Arccotangens, arcctg

, Hvor n- hel.

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.