En rasjonaliseringsmetode for å løse logaritmiske ulikheter med variabel base. Metode for rasjonalisering Metode for rasjonalisering av eksponentialligninger

Kommunal autonom utdanningsinstitusjon "Yarkovskaya ungdomsskole"

Studieprosjekt

Løse logaritmiske ulikheter ved rasjonaliseringsmetode

MAOU "Yarkovskaya ungdomsskole"

Shanskikh Daria

Veileder: mattelærer

MAOU "Yarkovskaya ungdomsskole"

Yarkovo 2013

1) Introduksjon ………………………………………………………………… .2

2) Hoveddel ………………………………………………… ..3

3) Konklusjon ………………………………………………………… ..9

4) Liste over brukt litteratur …………… .10

5) Vedlegg ………………………………………………………… 11-12

1. Introduksjon

Ofte, når man løser BRUK-oppgaver fra del "C", og spesielt i oppgaver C3, er det ulikheter som inneholder logaritmiske uttrykk med en ukjent i bunnen av logaritmen. For eksempel, her er standardulikheten:

Som regel brukes den klassiske metoden for å løse slike oppgaver, det vil si at overgangen til et ekvivalent sett med systemer brukes

Med standardtilnærmingen løses eksemplet i henhold til skjemaet: produktet er mindre enn null, når faktorene er av motsatte fortegn. Det vil si at et sett med to ulikheter vurderes, der hver ulikhet deler seg i syv til. Derfor kan en mindre arbeidskrevende metode for å løse denne standardulikheten foreslås. Dette er en rasjonaliseringsteknikk kjent i matematisk litteratur som dekomponering.

Når jeg fullførte prosjektet satte jeg meg følgende mål :

1) Mestre denne beslutningsteknikken

2) Å øve ferdighetene til løsning på oppgave C3 fra opplærings- og diagnosearbeidene i 2013.

Prosjektets oppgaveer studiet av det teoretiske grunnlaget for rasjonaliseringsmetoden.

Relevansav arbeidet ligger i det faktum at denne metoden lar deg løse de logaritmiske ulikhetene til C3-delen av eksamen i matematikk.

2. Hoveddel

Tenk på en logaritmisk ulikhet i formen

skriftstørrelse: 14,0 pkt; linjehøyde: 150 % ">, (1)

hvor font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> Standardmetoden for å løse en slik ulikhet innebærer å analysere to tilfeller på rekkevidden av akseptable verdier av ulikheten.

I det første tilfellet når basene til logaritmene tilfredsstiller betingelsen

skriftstørrelse: 14,0 pkt; line-height: 150% ">, tegnet ulikhet: font-size: 14.0pt; line-height: 150%"> I det andre tilfellet når basen tilfredsstiller betingelsen, ulikhetstegnet er bevart:.

Ved første øyekast er alt logisk, vi vil vurdere to tilfeller og deretter kombinere svarene. Riktignok oppstår et visst ubehag når du vurderer det andre tilfellet - du må gjenta beregningene fra det første tilfellet med 90 prosent (transformere, finne røttene til hjelpeligninger, bestemme intervallene for monotonisitet av tegnet). Et naturlig spørsmål dukker opp - er det mulig å kombinere alt dette på en eller annen måte?

Svaret på dette spørsmålet finnes i følgende teorem.

Teorem 1. Logaritmisk ulikhet

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> tilsvarer følgende ulikhetssystem :

skriftstørrelse: 14,0 pkt; linjehøyde: 150 % "> (2)

Bevis.

1. La oss starte med det faktum at de fire første ulikhetene i systemet (2) definerer settet med tillatte verdier for den innledende logaritmiske ulikheten. La oss nå rette oppmerksomheten mot den femte ulikheten. Hvis skriftstørrelse: 14,0 pkt; line-height: 150% ">, så vil den første faktoren for denne ulikheten være negativ. Når du kansellerer med det, må du endre tegnet på ulikheten til det motsatte, da får du ulikheten .

Hvis , deretter den første faktoren til den femte ulikheten er positiv, vi kansellerer den uten å endre tegnet på ulikheten, vi oppnår ulikheten font-size: 14.0pt; line-height: 150% ">. Så den femte ulikheten i systemet inkluderer begge tilfellene av den forrige metoden.

Terem er bevist.

De viktigste bestemmelsene i teorien om metoden for rasjonalisering.

Rasjonaliseringsmetoden er å erstatte et komplekst uttrykk F (x ) til et enklere uttrykk G (x ) som ulikheten for G (x ) EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "> F(x ) 0 i domenet til uttrykket F (x).

La oss fremheve noen uttrykk F og deres tilsvarende rasjonaliserende uttrykk G, hvor u, v,, p, q - uttrykk med to variabler ( u> 0; u ≠ 1; v> 0,> 0), en - fast nummer (en > 0, en ≠ 1).

	Uttrykk F	Uttrykk G
		(a –1) ( v - φ)

1 b

		)
2 b

Bevis

1. La logav - logaφ> 0, det er logav> logaφ, dessuten a> 0, a ≠ 1, v> 0,

φ > 0.

Hvis 0< en < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Derfor systemet med ulikheter

en -1<0

v – φ < 0

Hvorfra følger ulikheten (en – 1)( v – φ ) > 0 sant på domenet til uttrykketF = logav - logaφ.

Hvis en > 1, deretter v > φ . Derfor ulikheten ( en – 1)( v – φ )> 0. Omvendt, hvis ulikheten ( en – 1)( v – φ )> 0 på rekkevidden av tillatte verdier ( en > 0, en ≠ 1, v> 0, φ> 0),så i dette området tilsvarer det kombinasjonen av to systemer.

en – 1<0 en – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Hvert system innebærer ulikhetlogav > logaφ, det er logav - logaφ > 0.

På samme måte vurderer vi ulikhetene F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. La noen tall en> 0 og en≠ 1, så har vi

logu v- loguφ = EN-US "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150% "> v - 1)( u- 1) (φ -u).

4.Fra ulikhet uv- uφ > 0 bør uv > uφ. La da > 1loga uv > logauφ eller

( u – φ) loga u > 0.

Ta derfor hensyn til substitusjonen 1b og betingelsenen > 1 vi får

( v – φ)( en – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. På samme måte ulikhetene F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Beviset ligner på Proof 4.

6. Beviset for erstatning 6 følger av ekvivalensen av ulikhetene | p | > | q | og p 2> q 2

(| p |< | q | и p 2 < q 2 ).

La oss sammenligne volumet av løsninger med ulikheter som inneholder en variabel ved bunnen av logaritmen ved å bruke den klassiske metoden og metoden for rasjonalisering

3. Konklusjon

Jeg tror at oppgavene jeg satte meg selv mens jeg gjorde arbeidet er oppnådd. Prosjektet er av praktisk betydning, siden metoden som er foreslått i arbeidet gjør det mulig å betydelig forenkle løsningen av logaritmiske ulikheter. Som et resultat er antallet beregninger som fører til svaret omtrent halvert, noe som ikke bare sparer tid, men også lar deg potensielt gjøre færre aritmetiske og "uoppmerksomhets" feil. Nå, når jeg løser problemer C3, bruker jeg denne metoden.

4. Liste over brukt litteratur

1. , - Metoder for å løse ulikheter med én variabel. - 2011.

2. - En guide til matematikk. - 1972.

3. - Matematikk for søkeren. Moskva: MCNMO, 2008.

Yezhova Elena Sergeevna
Posisjon: matematikklærer
Utdanningsinstitusjon: MOU "Videregående skole nr. 77"
Lokalitet: Saratov
Materialnavn: metodisk utvikling
Emne: Rasjonaliseringsmetoden for å løse ulikheter som forberedelse til eksamen "
Utgivelsesdato: 16.05.2018
Kapittel: fullføre utdanning

Den samme ulikheten kan åpenbart løses på flere måter. Lykke til

på den valgte måten eller, som vi pleide å si, på en rasjonell måte, evt

ulikhet vil bli løst raskt og enkelt, løsningen vil vise seg å være vakker og interessant.

Jeg vil gjerne vurdere nærmere den såkalte rasjonaliseringsmetoden for

løsning av logaritmiske og eksponentielle ulikheter, samt ulikheter som inneholder

variabel under modultegnet.

Hovedideen til metoden.

Metoden for å erstatte faktorer brukes til å løse ulikheter som er redusert til formen

Hvor symbolet "

»Betegner ett av fire mulige ulikhetstegn:

Når vi løser ulikhet (1), er vi kun interessert i tegnet til en hvilken som helst faktor i telleren

eller nevneren, og ikke dens absolutte verdi. Derfor, hvis vi av en eller annen grunn

det er upraktisk å jobbe med denne multiplikatoren, vi kan erstatte den med en annen

sammenfallende med det i domenet for ulikhetsdefinisjon og har i dette domenet

de samme røttene.

Dette bestemmer hovedideen til multiplikatorerstatningsmetoden. Det er viktig å fikse det

det faktum at utskifting av faktorer utføres bare hvis ulikheten

til skjemaet (1), det vil si når det er nødvendig å sammenligne produktet med null.

Hoveddelen av utskiftingen skyldes følgende to likeverdige utsagn.

Utsagn 1. Funksjonen f (x) er strengt økende hvis og bare hvis for

noen verdier av t

) fyrstikker

tegn med differansen (f (t

)), det vil si f<=>(t

(↔ betyr tilfeldighet)

Utsagn 2. Funksjonen f (x) er strengt avtagende hvis og bare hvis for

noen verdier av t

fra domenet til funksjonen, forskjellen (t

) fyrstikker

tegn med differansen (f (t

)), det vil si f ↓<=>(t

Begrunnelsen for disse utsagnene følger direkte av definisjonen av strengt

monoton funksjon. I følge disse uttalelsene kan det fastslås at

Forskjellen i grader langs samme base sammenfaller alltid i fortegn med

produktet av forskjellen mellom indikatorene for disse gradene ved avviket til basen fra en,

Forskjellen i logaritmer i samme base sammenfaller alltid i fortegn med

ved produktet av forskjellen mellom tallene til disse logaritmene ved avviket til basen fra enhet, da

Det faktum at forskjellen på ikke-negative mengder sammenfaller i fortegn med forskjellen

kvadrater av disse mengdene, tillater følgende erstatninger:

Løs ulikhet

Løsning.

La oss gå videre til et tilsvarende system:

Fra den første ulikheten vi oppnår

Den andre ulikheten gjelder for alle

Fra den tredje ulikheten får vi

Dermed settet med løsninger på den opprinnelige ulikheten:

Løs ulikhet

Løsning.

La oss løse ulikheten:

Svar: (−4; −3)

Løs ulikhet

La oss redusere ulikheten til en form der forskjellen i verdiene til logaritmikken

Erstatt forskjellen i verdiene til den logaritmiske funksjonen med forskjellen i verdiene til argumentet. V

funksjonen øker i telleren, og avtar i nevneren, derfor ulikhetstegnet

vil endre seg til det motsatte. Det er viktig å ikke glemme å vurdere omfanget av definisjon

logaritmisk funksjon; derfor er denne ulikheten ekvivalent med et system av ulikheter.

Tellerrøtter: 8; åtte;

Nevnerrot: 1

Løs ulikhet

Vi erstatter i telleren forskjellen mellom de absolutte verdiene til to funksjoner med forskjellen av deres kvadrater, og i

nevneren er forskjellen mellom verdiene til den logaritmiske funksjonen med forskjellen mellom argumentene.

I nevneren er funksjonen avtagende, noe som betyr at tegnet på ulikheten vil endres til

motsatte.

I dette tilfellet er det nødvendig å ta hensyn til definisjonsdomenet til logaritmikken

Vi løser den første ulikheten ved hjelp av intervallmetoden.

Tellerrøtter:

Nevnerrøtter:

Løs ulikhet

Vi erstatter i telleren og nevneren forskjellen mellom verdiene til monotone funksjoner med forskjellen

verdier av argumenter, tatt i betraktning domenet for definisjon av funksjoner og monotoniens natur.

Tellerrøtter:

Nevnerrøtter:

De mest brukte substitusjonene (unntatt O D Z).

a) Utskifting av konstante fortegnsfaktorer.

b) Utskifting av ikke-konstante multiplikatorer med modulen.

c) Erstatning av ikke-konstante faktorer med eksponentiell og logaritmisk

uttrykkene.

Løsning. ODZ:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

I denne ulikheten er faktorene

betraktes som forskjeller av ikke-negative størrelser, siden uttrykk 1

ODZ kan ta både positive og negative verdier.

Vi har et system:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

Erstatte multiplikatorer:

Vi har et system:

Som et resultat har vi: x

Metode for rasjonalisering(dekomponeringsmetode, multiplikatorerstatningsmetode, erstatningsmetode

funksjoner, regelen for tegn) er å erstatte det komplekse uttrykket F (x) med et mer

et enkelt uttrykk G (x) for hvilket ulikheten G (x)

0 er ekvivalent med ulikheten F (x

0 i domenet til uttrykket F (x).

Seksjoner: Matematikk

Praksisen med å sjekke eksamensoppgaver viser at den største vanskeligheten for skolebarn er løsningen av transcendentale ulikheter, spesielt logaritmiske ulikheter med variabel base. Derfor er sammendraget av leksjonen presentert for din oppmerksomhet en presentasjon av rasjonaliseringsmetoden (andre navn er dekomponeringsmetoden (Modenov VP), metoden for å erstatte faktorer (Golubev VI)), som lar deg redusere kompleks logaritmisk, eksponentiell , kombinerte ulikheter til et system med enklere rasjonelle ulikheter. Som regel er metoden for intervaller som brukes på rasjonelle ulikheter innen studiet av emnet "Løse logaritmiske ulikheter" godt mestret og gjennomarbeidet. Derfor aksepterer studenter med stor interesse og entusiasme de metodene som lar dem forenkle løsningen, gjøre den kortere og til slutt spare tid på eksamen for å løse andre oppgaver.

Leksjonens mål:

Pedagogisk: oppdatering av grunnleggende kunnskap ved løsning av logaritmiske ulikheter; introduksjon av en ny måte å løse ulikheter på; forbedre løsningsevnen
Utvikler: utvikling av matematiske horisonter, matematisk tale, analytisk tenkning
Pedagogisk: opplæring av nøyaktighet og selvkontroll.

UNDER KLASSENE

1. Organisatorisk øyeblikk. Hilsener. Sette mål for leksjonen.

2. Forberedende stadium:

Løs ulikheter:

3. Sjekke lekser(Nr. 11,81 * a)

Når du løser ulikheten

Du måtte bruke følgende skjema for å løse logaritmiske ulikheter med en variabel base:

De. 2 tilfeller må vurderes: basen er større enn 1 eller basen er mindre enn 1.

4. Forklaring av det nye materialet

Hvis du ser nøye på disse formlene, vil du legge merke til at tegnet på forskjellen g(x) – h(x) samsvarer med tegnet til forskjellsloggen f(x) g(x) - Logg f(x) h(x) ved økende funksjon ( f(x)> 1, dvs. f(x) - 1> 0) og er motsatt av tegnet til differanseloggen f(x) g(x) - Logg f(x) h(x) i tilfelle av en avtagende funksjon (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Derfor kan dette settet reduseres til et system med rasjonelle ulikheter:

Dette er essensen av rasjonaliseringsmetoden – å erstatte det mer komplekse uttrykket A med et enklere uttrykk B, som er rasjonelt. I dette tilfellet vil ulikheten V V 0 være ekvivalent med ulikheten A V 0 på domenet til uttrykket A.

Eksempel 1. La oss omskrive ulikheten som et ekvivalent system av rasjonelle ulikheter.

Merk at betingelsene (1) - (4) er betingelsene for ulikhetsdomenet, som jeg anbefaler å finne i begynnelsen av løsningen.

Eksempel 2. Løs ulikhet med rasjonaliseringsmetode:

Ulikhetsdomenet er spesifisert av betingelsene:

Vi får:

Det gjenstår å skrive ulikheten (5)

Tar hensyn til definisjonsdomenet

Svar: (3; 5)

5. Konsolidering av det studerte materialet

I. Skriv ulikheten som et system av rasjonelle ulikheter:

II. Se for deg høyre side av ulikheten som logaritmen til basen som kreves, og gå til det ekvivalente systemet:

Læreren kaller elevene som har skrevet ned systemene fra gruppe I og II til tavlen og tilbyr en av de sterkeste elevene å løse huslig ulikhet (nr. 11.81 * a) ved rasjonalisering.

6. Verifikasjonsarbeid

valg 1

Alternativ 2

1. Skriv ned et system med rasjonelle ulikheter for å løse ulikheter:

2. Løs ulikhet ved rasjonalisering

Karakterkriterier:

3-4 poeng - "tilfredsstillende";
5-6 poeng - "bra";
7 poeng - "utmerket".

7. Refleksjon

Svar på spørsmålet: hvilken av de kjente metodene for å løse logaritmiske ulikheter med en variabel base vil tillate deg å bruke tiden din på eksamen mer effektivt?

8. Lekser:№№ 11,80 * (a, b), 11,81 * (a, b), 11,84 * (a, b) for å løse metoden for rasjonalisering.

Bibliografi:

Algebra og begynnelsen av analysen: Lærebok. For 11 cl. allmennutdanning. Institusjoner / [S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] - 5. utg. - M .: Education, JSC "Moskva lærebøker", 2006.
A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev... Kursmateriell "Forberede gode studenter til Unified State Exam": forelesninger 1-4. - M .: Pedagogisk universitet "September First", 2012.

Seksjoner: Matematikk

Ofte, når man løser logaritmiske ulikheter, er det problemer med en variabel base av logaritmen. Altså en ulikhet i formen

er en standard skoleulikhet. Som regel, for å løse det, brukes en overgang til et ekvivalent sett med systemer:

Ulempen med denne metoden er behovet for å løse syv ulikheter, uten å telle to systemer og ett sett. Allerede med gitte kvadratiske funksjoner kan det være tidkrevende å løse et sett.

En alternativ, mindre arbeidskrevende måte å løse denne standardulikheten på kan foreslås. For dette tar vi hensyn til følgende teorem.

Teorem 1. La en kontinuerlig økende funksjon på mengden X. Da vil fortegnet for inkrementet til funksjonen på dette settet falle sammen med fortegnet for inkrementet til argumentet, dvs. , hvor .

Merk: hvis en kontinuerlig synkende funksjon på settet X, da.

La oss gå tilbake til ulikhet. La oss gå til desimallogaritmen (du kan gå til hvilken som helst med en konstant base større enn én).

Nå kan du bruke teoremet, og notere inkrementet til funksjonene i telleren og i nevneren. Så det er sant

Som et resultat er antallet beregninger som fører til svaret omtrent halvert, noe som ikke bare sparer tid, men også lar deg potensielt gjøre færre aritmetiske og "uoppmerksomhets" feil.

Eksempel 1.

Sammenligning med (1) finner vi , , .

Ved å overføre til (2) vil vi ha:

Eksempel 2.

Ved å sammenligne med (1) finner vi,,.

Ved å overføre til (2) vil vi ha:

Eksempel 3.

Siden venstre side av ulikheten er en økende funksjon for og , så er svaret satt.

Settet med eksempler der setning 1 kan brukes kan enkelt utvides hvis setning 2 tas i betraktning.

La på settet X funksjoner,,, og på dette settet er skiltene og sammenfallende, dvs. da blir det rettferdig.

Eksempel 4.

Eksempel 5.

Med standardtilnærmingen løses eksemplet i henhold til skjemaet: produktet er mindre enn null, når faktorene er av motsatte fortegn. De. settet med to systemer av ulikheter vurderes, der, som angitt i begynnelsen, hver ulikhet deler seg i syv flere.

Hvis vi tar hensyn til teorem 2, kan hver av faktorene, tatt i betraktning (2), erstattes av en annen funksjon som har samme fortegn i dette eksemplet O.D.Z.

Metoden for å erstatte økningen av en funksjon med en økning av argumentet, tatt i betraktning Teorem 2, viser seg å være veldig praktisk når du løser typiske problemer C3 i eksamen.

Eksempel 6.

Eksempel 7.

... La oss betegne. Vi får

... Merk at erstatningen innebærer:. Tilbake til ligningen får vi .

Eksempel 8.

I teoremene vi bruker er det ingen begrensning på funksjonsklassene. I denne artikkelen har for eksempel teoremene blitt brukt for å løse logaritmiske ulikheter. De neste eksemplene vil demonstrere løftet om metoden for å løse andre typer ulikheter.

Rasjonaliseringsmetoden lar deg flytte fra ulikhet som inneholder kompleks eksponentiell, logaritmisk, etc. uttrykk for dens tilsvarende enklere rasjonelle ulikhet.

Så før vi begynner å snakke om rasjonalisering i ulikheter, la oss snakke om ekvivalens.

Ekvivalens

Tilsvarende eller tilsvarende ligninger (ulikheter) kalles, hvis røtter sett sammenfaller. Ligninger (ulikheter) som ikke har røtter regnes også som likeverdige.

Eksempel 1. Ligningene og er ekvivalente, siden de har samme røtter.

Eksempel 2. Ligningene og er også ekvivalente, siden løsningen til hver av dem er den tomme mengden.

Eksempel 3. Ulikheter og er likeverdige, siden løsningen på begge er mange.

Eksempel 4. og - er ulik. Løsningen til den andre ligningen er bare 4, og løsningen til den første er både 4 og 2.

Eksempel 5. Ulikhet er ekvivalent med ulikhet, siden i begge ulikheter - løsningen er 6.

Det vil si at ekvivalente ulikheter (ligninger) i utseende kan være ganske langt fra likhet.

Faktisk, når vi løser komplekse, lange ligninger (ulikheter) som dette, og vi får svaret, har vi i våre hender ikke noe mer enn en ligning (ulikhet) som tilsvarer den opprinnelige. Utsikten er annerledes, men essensen er den samme!

Eksempel 6. La oss huske hvordan vi håndterte ulikhet før du blir kjent med intervallmetoden... Vi erstattet den opprinnelige ulikheten med et sett med to systemer:

Det vil si at ulikhet og det siste settet er likeverdige med hverandre.

Det kunne vi også ha i våre hender aggregatet

erstatte den med en ulikhet, som kan løses på kort tid ved hjelp av intervallmetoden.

Vi har kommet nær metoden for rasjonalisering i logaritmiske ulikheter.

Rasjonaliseringsmetode i logaritmiske ulikheter

Tenk på ulikheten.

Vi representerer 4 som en logaritme:

Vi har å gjøre med en variabel basis av logaritmen, derfor, avhengig av om basen til logaritmen er større enn 1 eller mindre enn 1 (det vil si at vi har å gjøre med en økende eller minkende funksjon), vil ulikhetstegnet forbli eller endre til "". Derfor oppstår en kombinasjon (union) av to systemer:

Men, OBS, dette systemet må løses under hensyntagen til OHS! Jeg har bevisst ikke lastet inn ODZ-systemet slik at hovedideen ikke skulle gå tapt.

Se, nå vil vi omskrive systemet vårt slik (vi vil overføre alt i hver linje med ulikhet til venstre side):

Minner dette deg om noe? I analogi med eksempel 6 vi erstatter dette settet med systemer med ulikheten:

Etter å ha løst denne ulikheten på ODZ, vil vi få en løsning på ulikheten.

La oss først finne ODV for den opprinnelige ulikheten:

La oss nå bestemme

Løsning av den siste ulikheten, tatt i betraktning DHS:

Så her er den, denne "magiske" tabellen:

Merk at bordet fungerer under betingelsen

hvor er funksjonene til,

- funksjon eller tall,

- et av skiltene

Merk også at den andre og tredje linjen i tabellen er konsekvenser av den første. I den andre linjen er 1 representert før som, og i den tredje er 0 representert som.

Og et par nyttige konsekvenser til (jeg håper du lett kan forstå hvor de kommer fra):

hvor er funksjonene til,

- funksjon eller tall,

- et av skiltene

Rasjonaliseringsmetode i eksponentielle ulikheter

La oss løse ulikheten.

Å løse den opprinnelige ulikheten tilsvarer å løse ulikheten

Svar: .

Tabell for rasjonalisering i eksponentielle ulikheter:

- funksjoner fra, - funksjon eller tall, - ett av symbolene Tabellen fungerer på betingelse. Også i tredje, fjerde linje - i tillegg -

Igjen, faktisk må du huske den første og tredje linjen i tabellen. Den andre linjen er et spesialtilfelle av den første, og den fjerde linjen er et spesialtilfelle av den tredje.