Konvertering av uttrykk som inneholder aritmetiske kvadratrøtter

Hensikten med leksjonen: skape forutsetninger for dannelse av ferdigheter, forenkle uttrykk som inneholder aritmetiske kvadratrøtter i løpet av arbeidet i skiftlag.

Leksjonens mål: sjekk den teoretiske opplæringen til elever, evnen til å trekke ut kvadratroten av et tall, danne ferdighetene til å korrekt reprodusere kunnskapen og ferdighetene deres, utvikle beregningsevner, få opp evnen til å jobbe i par og ta ansvar for en felles sak.

I løpet av timene.

JEG. Organisering av tid. "KLAR TABELL "

Fastsette beredskapsnivået for begynnelsen av leksjonen.

25 kort i rødt (5 poeng), gult (4 poeng), blått

farger (3 poeng).

Beredskapstabell

5 poeng (jeg vil vite, gjøre, bestemme)

4 poeng (jeg er klar til å gå)

3 poeng (Jeg føler meg ikke bra, jeg forstår ikke materialet, jeg trenger hjelp)

II ... Individuelt arbeid med kort

Kort 1

Fjern faktoren fra rottegnet:

Kort 2

Skriv inn multiplikatoren under rottegnet:

Kort 3

Forenkle:
en)
b)
v)

(Sjekker etter å ha sjekket lekser)

III ... Leksesjekk.

nr. 166, 167 muntlig frontalt

(egenvurdering ved hjelp av signalkort: grønt - alt er riktig, rødt - det er en feil)

IV ... Lære nytt stoff. Arbeid i skiftlag.

Studer materialet på egenhånd, slik at du senere kan forklare det for gruppemedlemmene. Klassen er delt inn i 6 grupper på 4 personer.

1, 2 og 3 grupper - elever med gjennomsnittlig evne

Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk? La oss vurdere den generelle saken og spesifikke eksempler.

Hvis tallet eller uttrykket under kvadratrottegnet i nevneren er en av faktorene, for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren, multipliseres både telleren og nevneren av brøken med kvadratroten av dette tallet eller uttrykket:

Eksempler.

1) ;

2) .

Gruppe 4, 5 og 6 - elever med evner over gjennomsnittet.

Hvis nevneren til brøken er summen eller differansen av to uttrykk som inneholder kvadratroten, for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren, multipliserer vi både telleren og nevneren med den konjugerte radikalen:

Eksempler. Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken:

Arbeid i nye grupper (4 grupper à 6 personer, fra hver gruppe 1 person).

Forklare materialet som ble lært for medlemmene i den nye gruppen. (gjensidig påskjønnelse - kommenter elevens forklaring av stoffet)

V ... Kontroll av assimilering av teoretisk materiale.Elever som ikke forklarer denne delen av teoristoffet svarer på spørsmålene.

1) Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk hvis tallet eller uttrykket under kvadratrottegnet i nevneren er en av faktorene?

2) Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk, hvis nevneren til brøken er summen eller differansen av to uttrykk som inneholder kvadratroten?

3) hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk

4) Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk

VI ... Konsolidering av det studerte materialet. Testing av selvstendig arbeid.

# 81 ("Algebra" klasse 8, A. Abylkassymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z, Zhumagulova)

nr. 170 (1,2,3,5,6) ("Algebra" grad 8, A. Shynybekov)

Evalueringskriterier:

Nivå A - nr. 81 eksempler 1-5 merk "3"

Nivå B - nr. 81 eksempler 6-8 og nr. 170 eksempler 5,6 merk "4"

Nivå C - nr. 170 eksempler 1-6 merk "5"

(egenvurdering, sjekk mot prøve i flippover)

Vii ... Hjemmelekser.

№ 218

VIII. Speilbilde. "Telegram"

Alle inviteres til å fylle ut et telegramskjema etter å ha mottatt følgende instruksjon: "Hva synes du om den siste leksjonen? Hva var viktig for deg? Hva har du lært? Hva likte du? Hva er fortsatt uklart? I hvilken retning bør vi gå videre? Skriv meg en kort melding om dette - et 11-ords telegram. Jeg vil vite din mening for å ta den i betraktning i fremtidig arbeid."

Leksjonssammendrag.

Løse ligninger med brøker La oss se på eksempler. Eksemplene er enkle og illustrerende. Med deres hjelp vil du kunne lære på den mest forståelige måten.
For eksempel vil du løse en enkel ligning x / b + c = d.

Ligninger av denne typen kalles lineære, fordi nevneren inneholder kun tall.

Løsningen utføres ved å multiplisere begge sider av ligningen med b, så har ligningen formen x = b * (d - c), dvs. nevneren til brøken til venstre annulleres.

For eksempel, hvordan løse en brøkligning:
x / 5 + 4 = 9
Vi multipliserer begge deler med 5. Vi får:
x + 20 = 45
x = 45 - 20 = 25

Et annet eksempel, når det ukjente er i nevneren:

Ligninger av denne typen kalles brøkrasjonelle eller ganske enkelt brøkdeler.

Vi løser en brøklikning ved å kvitte oss med brøker, hvoretter denne likningen som oftest blir til en lineær eller kvadratisk, som løses på vanlig måte. Du bør bare vurdere følgende punkter:

• verdien av en variabel som snur nevneren til 0 kan ikke være en rot;
• du kan ikke dividere eller multiplisere en ligning med uttrykket = 0.

Her trer i kraft et slikt konsept som området for tillatte verdier (ODV) - dette er verdiene til røttene til ligningen som ligningen gir mening for.

Dermed, ved å løse ligningen, er det nødvendig å finne røttene, og deretter sjekke dem for samsvar med ODZ. De røttene som ikke samsvarer med vår ODZ er ekskludert fra svaret.

For eksempel må du løse en brøkligning:

Basert på regelen ovenfor kan ikke x være = 0, dvs. ODZ i dette tilfellet: x - enhver annen verdi enn null.

Vi kvitter oss med nevneren ved å multiplisere alle leddene i ligningen med x

Og vi løser den vanlige ligningen

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Svar: x = 1/3

La oss løse en mer komplisert ligning:

ODZ er også tilstede her: x -2.

Ved å løse denne ligningen vil vi ikke overføre alt til én side og redusere brøker til en fellesnevner. Vi vil umiddelbart multiplisere begge sider av ligningen med et uttrykk som vil oppheve alle nevnerne på en gang.

For å redusere nevnerne må du multiplisere venstre side med x + 2, og høyre side - med 2. Derfor må begge sider av ligningen multipliseres med 2 (x + 2):

Dette er den vanligste multiplikasjonen av brøker, som vi allerede har diskutert ovenfor.

La oss skrive den samme ligningen, men på en litt annen måte

Venstre side er kansellert med (x + 2), og høyre med 2. Etter avbrytelse får vi den vanlige lineære ligningen:

x = 4 - 2 = 2, som tilsvarer vår ODZ

Svar: x = 2.

Løse ligninger med brøker ikke så vanskelig som det kan virke. I denne artikkelen har vi vist dette med eksempler. Hvis du har noen problemer med det, hvordan løse likninger med brøker, så avslutt abonnementet i kommentarfeltet.

Når du transformerer et brøkalgebraisk uttrykk, i nevneren som et irrasjonelt uttrykk er skrevet i, streber de vanligvis etter å representere brøken slik at dens nevner er rasjonell. Hvis A, B, C, D, ... er noen algebraiske uttrykk, kan du spesifisere reglene for å bli kvitt de radikale tegnene i nevneren for uttrykkene til formen

I alle disse tilfellene gjøres frigjøring fra irrasjonalitet ved å multiplisere telleren og nevneren til brøken med en faktor valgt slik at produktets produkt med nevneren til brøken er rasjonell.

1) Å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren til en brøkdel av formen. I multipliser telleren og nevneren med

Eksempel 1.

2) Når det gjelder brøker av skjemaet. Multiplisere telleren og nevneren med en irrasjonell faktor

henholdsvis, det vil si til det konjugerte irrasjonelle uttrykket.

Betydningen av den siste handlingen er at i nevneren konverteres produktet av summen med differansen til forskjellen av kvadrater, som allerede vil være et rasjonelt uttrykk.

Eksempel 2. Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til et uttrykk:

Løsning, a) Multipliser telleren og nevneren til brøken med uttrykket. Vi får (forutsatt at)

3) Når det gjelder uttrykk som

nevneren betraktes som summen (forskjellen) og multipliseres med det ufullstendige kvadratet av differansen (summen) for å få summen (forskjellen) av kubene ((20.11), (20.12)). Telleren multipliseres med samme faktor.

Eksempel 3. Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren av uttrykk:

Løsning, a) Betrakt nevneren til denne brøken som summen av tall og 1, multipliser telleren og nevneren med det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse tallene:

eller til slutt:

I noen tilfeller er det nødvendig å utføre en transformasjon av motsatt natur: å frigjøre brøken fra irrasjonalitet i telleren. Det utføres på nøyaktig samme måte.

Eksempel 4. Bli kvitt irrasjonalitet i telleren til en brøk.

Uttrykk, uttrykkskonvertering

Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren? Metoder, eksempler, løsninger

I klasse 8, i algebratimer, innenfor rammen av temaet transformasjon av irrasjonelle uttrykk, kommer en samtale om frigjøring fra irrasjonalitet i nevneren til en brøk... I denne artikkelen vil vi analysere hva slags transformasjon det er, vurdere hvilke handlinger som lar deg kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren til brøken, og gi løsninger på typiske eksempler med detaljerte forklaringer.

Sidenavigering.

Hva vil det si å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren til en brøk?

Først må du finne ut hva irrasjonalitet er i nevneren og hva det betyr å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk. Informasjon fra skolebøkene vil hjelpe oss med dette. Følgende punkter fortjener oppmerksomhet.

Når du skriver en brøk inneholder et rottegn (radikal) i nevneren, så sier de at nevneren inneholder irrasjonalitet... Dette skyldes sannsynligvis at tall skrevet med rottegn ofte er det. Som et eksempel gir vi brøker, , åpenbart inneholder nevnerne til hver av dem rottegnet, og derav irrasjonaliteten. På videregående skole, et uunngåelig møte med brøker, hvis irrasjonalitet i nevnerne introduseres ikke bare av tegnene på kvadratrøtter, men også tegn på kuberøtter, røtter av fjerde grad, etc. Her er eksempler på slike brøker: .

Med tanke på informasjonen som er gitt og betydningen av ordet "gratis", oppfattes følgende definisjon veldig naturlig:

Definisjon.

Frihet fra irrasjonalitet i nevneren til en brøk Er en transformasjon der en brøk med irrasjonalitet i nevneren erstattes med en identisk lik brøk som ikke inneholder fortegnene til røttene i nevneren.

Du kan ofte høre at de sier ikke å frigjøre deg selv, men å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren til en brøk. Dette endrer ikke betydningen.

Hvis vi for eksempel går fra en brøk til en brøk, hvis verdi er lik verdien av den opprinnelige brøken og nevneren ikke inneholder rotens tegn, så kan vi slå fast at vi har frigjort oss fra irrasjonalitet i nevneren til brøken. Et annet eksempel: å erstatte en brøk med en identisk lik brøk det er en frigjøring fra irrasjonalitet i brøkens nevner.

Så den første informasjonen er mottatt. Det gjenstår å finne ut hva som må gjøres for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken.

Måter å bli kvitt irrasjonalitet, eksempler

Vanligvis, for å bli kvitt irrasjonalitet, brukes to i nevneren til en brøk. brøkkonvertering: multiplisere telleren og nevneren med et tall eller uttrykk som ikke er null, og konvertere uttrykket i nevneren. Nedenfor skal vi se på hvordan disse brøkkonverteringene brukes innenfor rammen av hovedmåtene for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk. La oss berøre følgende tilfeller.

I de enkleste tilfellene er det nok å transformere uttrykket i nevneren. Et eksempel er en brøk med roten ni i nevneren. I dette tilfellet vil nevneren frigjøres fra irrasjonalitet ved å erstatte den med en verdi på 3.

I mer komplekse tilfeller må du først multiplisere telleren og nevneren til brøken med et tall eller uttrykk som ikke er null, som senere lar deg konvertere nevneren til brøken til en form som ikke inneholder rottegn. For eksempel, etter å ha multiplisert telleren og nevneren til en brøk med, tar brøken formen , og så kan uttrykket i nevneren erstattes med et uttrykk uten fortegn på røttene x + 1. Etter frigjøring fra irrasjonalitet i nevneren, antar således brøken formen.

Hvis vi snakker om det generelle tilfellet, så for å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren til brøken, må man ty til forskjellige tillatte transformasjoner, noen ganger ganske spesifikke.

Og nå i detalj.

Konvertere et uttrykk til nevneren av en brøk

Som allerede nevnt, er en av måtene å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk å transformere nevneren. La oss vurdere løsninger av eksempler.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk .

Løsning.

Ved å utvide parentesene i nevneren kommer vi til uttrykket ... Så la oss gå til brøken ... Etter å ha beregnet verdiene under tegnene til røttene, har vi ... Selvfølgelig kan du i det resulterende uttrykket, som gir en brøk som er lik 1/16. Slik ble vi kvitt irrasjonaliteten i nevneren.

Vanligvis er løsningen skrevet kort uten forklaring, siden handlingene som utføres er ganske enkle:

Svar:

.

Eksempel.

Løsning.

Da vi snakket om transformasjon av irrasjonelle uttrykk ved å bruke egenskapene til røttene, la vi merke til at for ethvert uttrykk A for selv n (i vårt tilfelle n = 2) kan uttrykket erstattes med uttrykket | A | på hele ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket. Derfor kan du utføre følgende konvertering av en gitt brøk: , som frigjør fra irrasjonalitet i nevneren.

Svar:

.

Multiplisere telleren og nevneren med roten

Når uttrykket i nevneren til brøken har formen der uttrykket A ikke inneholder fortegnene til røttene, så kan du multiplisere telleren og nevneren med å bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren. Denne handlingen er mulig, siden den ikke forsvinner på ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket. I dette tilfellet oppnås et uttrykk i nevneren som enkelt kan konverteres til en form uten rottegn: ... La oss vise bruken av denne tilnærmingen med eksempler.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken: a), b).

Løsning.

a) Ved å multiplisere telleren og nevneren av brøken med kvadratroten av tre får vi .

b) For å bli kvitt kvadratrottegnet i nevneren, multipliser telleren og nevneren til brøken med, og utfør deretter transformasjonene i nevneren:

Svar:

a), b) .

I tilfelle når nevneren inneholder faktorer eller, der m og n er noen naturlige tall, må telleren og nevneren multipliseres med en slik faktor slik at uttrykket i nevneren deretter kan konverteres til formen eller, hvor k er noe naturlig tall, henholdsvis. Da er det lett å gå over til en brøk uten irrasjonalitet i nevneren. La oss vise bruken av den beskrevne metoden for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren med eksempler.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken: a), b).

Løsning.

a) Det nærmeste naturlige tallet større enn 3 og delelig med 5 er 5. For å gjøre indeksen på seks lik fem, må uttrykket i nevneren multipliseres med. Følgelig vil uttrykket som telleren og nevneren må multipliseres med bidra til frigjøringen fra irrasjonalitet i nevneren til brøken:

b) Det nærmeste naturlige tallet som overstiger 15 og er delelig med 4 uten rest er åpenbart 16. For å få eksponenten i nevneren ble lik 16, må du multiplisere uttrykket som ligger der med. Å multiplisere telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med (merk at verdien av dette uttrykket ikke er lik null for hvilken reell x) vil dermed bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren:

Svar:

en) , b) .

Multiplikasjon med et konjugert uttrykk

Den neste måten å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk dekker tilfeller når nevneren inneholder uttrykk for formen,,,, eller. I disse tilfellene, for å bli kvitt irrasjonalitet i brøkens nevner, må brøkens teller og nevner multipliseres med s.k. konjugert uttrykk.

Det gjenstår å finne ut hvilke uttrykk som er konjugerte for ovennevnte. For et uttrykk er det konjugerte uttrykket, og for et uttrykk er det konjugerte uttrykket. På samme måte, for et uttrykk, er det konjugert, og for et uttrykk er det konjugert. Og for uttrykk er det konjugert, og for uttrykk er det konjugert. Så uttrykket konjugert til dette uttrykket skiller seg fra det i fortegn før det andre leddet.

La oss se hva resultatet av å multiplisere et uttrykk med dets konjugerte uttrykk. Tenk for eksempel på arbeidet ... Det kan erstattes av forskjellen på kvadrater, det vil si hvorfra du kan gå videre til uttrykket a - b, som ikke inneholder tegnene til røttene.

Nå blir det klart hvordan å multiplisere telleren og nevneren til en brøk med et uttrykk konjugert til nevneren lar deg bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til en brøk. La oss vurdere løsninger på typiske eksempler.

Eksempel.

Se for deg uttrykket som en brøk, hvis nevner ikke inneholder en radikal: a), b).

Løsning.

a) Uttrykket konjugert til nevneren er. La oss multiplisere telleren og nevneren med det, noe som vil tillate oss å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken:

b) For et uttrykk er det konjugert. Multipliserer telleren og nevneren med det, får vi

Du kan først ta ut minustegnet fra nevneren, og deretter multiplisere telleren og nevneren med uttrykket konjugert til nevneren:

Svar:

en) , b) .

Vennligst merk: når du multipliserer telleren og nevneren til en brøk med et uttrykk med variabler konjugert til nevneren, må du passe på at den ikke forsvinner for noen sett med variabelverdier fra LDZ for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken.

Løsning.

La oss først finne rekkevidden av tillatte verdier (ODV) til variabelen x. Det bestemmes av betingelsene x≥0 og, hvorfra vi konkluderer med at ODZ er settet x≥0.

Uttrykket konjugert til nevneren er. Vi kan multiplisere telleren og nevneren til brøken med den, forutsatt at, som på ODZ er ekvivalent med betingelsen x ≠ 16. Dessuten har vi

Og for x = 16 har vi .

Således, for alle verdier av variabelen x fra ODZ, bortsett fra x = 16, , og for x = 16 har vi.

Svar:

Bruke formler for sum av kuber og forskjellskuber

Fra forrige avsnitt lærte vi at multiplikasjonen av telleren og nevneren av en brøk med et uttrykk konjugert til nevneren utføres for å anvende formelen for kvadratforskjellen ytterligere og dermed bli kvitt irrasjonalitet i nevneren. I noen tilfeller er andre forkortede multiplikasjonsformler også nyttige for å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren. For eksempel er formelen forskjellen mellom kuber a 3 −b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2) lar deg bli kvitt irrasjonalitet når nevneren til brøken inneholder uttrykk med kubiske røtter av formen eller hvor A og B er noen tall eller uttrykk. For å gjøre dette, multipliseres telleren og nevneren til brøken med det ufullstendige kvadratet av summen eller av forskjellen, henholdsvis. På samme måte prøves formelen for summen av terninger a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −a b + b 2).

Eksempel.

Bli kvitt irrasjonalitet i nevneren til brøken: a), b) .

Løsning.

a) Det er lett å gjette at i dette tilfellet multiplisere telleren og nevneren med et ufullstendig kvadrat av summen av tall, og siden dette i fremtiden vil tillate deg å transformere uttrykket i nevneren i henhold til formelen, forskjellen av kuber, lar deg bli kvitt irrasjonaliteten i nevneren:

b) Uttrykk i brøkens nevner kan representeres som , hvorfra det tydelig sees at dette er et ufullstendig kvadrat av forskjellen mellom tallene 2 og. Således, hvis telleren og nevneren til brøken multipliseres med summen, kan nevneren transformeres ved hjelp av formelsummen av terninger, som vil frigjøre en fra irrasjonalitet i brøkens nevner. Dette kan gjøres under betingelsen som er ekvivalent med betingelsen og videre x ≠ −8:

Og etter å ha erstattet x = −8 i den opprinnelige brøken, har vi .

For alle x fra GCD for startbrøken (i dette tilfellet er dette mengden R), bortsett fra x = −8, har vi altså , og for x = 8 har vi .

Svar:

Ved å bruke forskjellige metoder

I mer kompliserte eksempler er det vanligvis ikke mulig å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren i én handling, men man må konsekvent bruke metode etter metode, inkludert de som er diskutert ovenfor. Noen ganger kan det hende du trenger noen ikke-standardløsninger. Ganske interessante oppgaver om emnet under diskusjon finnes i læreboken skrevet av Yu.N. Kolyagin. Bibliografi.

1. Algebra: studere. for 8 cl. allmennutdanning. institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008 .-- 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. A. G. Mordkovich Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utgave, slettet. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 s .: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning. institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; utg. A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M.: Utdanning, 2010.- 368 s. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Det finnes flere typer irrasjonalitet brøker i nevneren. Det er assosiert med tilstedeværelsen i den av en algebraisk rot av en eller forskjellige grader. Å bli kvitt irrasjonalitet, er det nødvendig å utføre visse matematiske handlinger avhengig av situasjonen.

Bruksanvisning

1. Før du blir kvitt irrasjonalitet brøker i nevneren bør du bestemme typen, og avhengig av dette fortsette løsningen. Faktisk følger enhver irrasjonalitet fra den enkle tilstedeværelsen av røtter; forskjellige kombinasjoner og grader av dem antyder forskjellige algoritmer.

2. Nevner kvadratrot, et uttrykk som en /? B Angi en tilleggsfaktor lik? B. For at brøken ikke skal endres, er det nødvendig å multiplisere både telleren og nevneren: a /?B? (a? b) /b. Eksempel 1: 10 /? 3? (10? 3) / 3.

3. Tilstedeværelse under streken brøker en rot av en brøkpotens av formen m / n, og n> m Dette uttrykket ser videre: a /? (b ^ m / n).

4. Bli kvitt den lignende irrasjonalitet også ved å legge inn en faktor, denne gangen vanskeligere: b ^ (n-m) / n, dvs. fra eksponenten til selve roten, er det nødvendig å trekke fra graden av uttrykket under tegnet. Da vil bare den første graden stå igjen i nevneren: a / (b ^ m / n)? a? (b ^ (n-m) / n) / b. Eksempel 2: 5 / (4 ^ 3/5)? 5? (4 ^ 2/5) / 4 = 5? (16 ^ 1/5) / 4.

5. Summen av kvadratrøtter Multipliser begge brøker med en lignende forskjell. Deretter, fra den irrasjonelle addisjonen av røttene, transformeres nevneren til forskjellen av uttrykk / tall under rottegnet: a / (? B +? C)? a (? b -? c) / (b - c) Eksempel 3: 9 / (? 13 +? 23)? 9 (? 13 -? 23) / (13 - 23) = 9 (? 23 -? 13) / 10.

6. Sum / differanse av terningerøtter Velg som en tilleggsfaktor det ufullstendige kvadratet av differansen hvis nevneren inneholder en sum, og følgelig et ufullstendig kvadrat av summen for differansen av røttene: a / (? B ±? C)? a (? b??? (bc) +? c?) / ((? b ±? c)? b? (bc) +? c?)? a (? b? (bc) +? c?) / (b ± c) Eksempel 4: 7 / (? 5 +? 4)? 7 (? 25-? 20 +? 16) / 9.

7. Hvis oppgaven inneholder både kvadrat- og terningsrøtter, del opp løsningen i to trinn: trekk kvadratroten trinnvis fra nevneren, og deretter terningsroten. Dette gjøres i henhold til metodene som er mer kjent for deg: i den første handlingen må du foretrekke multiplikatoren av differansen / summen av røtter, i den andre - en ufullstendig kvadrat av summen / differansen.

Tips 2: Hvordan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren

Riktig representasjon av et brøktall inneholder ikke irrasjonalitet v nevner... En slik post er lettere å forstå i utseende, derfor når irrasjonalitet v nevner smart å bli kvitt det. I dette tilfellet kan irrasjonalitet gå til telleren.

Bruksanvisning

1. For en start, la oss se et primitivt eksempel - 1 / sqrt (2). Kvadratroten av 2 er et irrasjonelt tall i nevner I dette tilfellet må du multiplisere telleren og nevneren til brøken med nevneren. Dette vil gi et rimelig antall nevner... Faktisk, sqrt (2) * sqrt (2) = sqrt (4) = 2. Å multiplisere 2 identiske kvadratrøtter med hverandre vil resultere i det som er under alle røttene: i dette tilfellet to. Som et resultat: 1 / sqrt (2) = (1 * sqrt (2)) / (sqrt (2) * sqrt (2)) = sqrt (2) / 2. Denne algoritmen er også egnet for brøker i nevner som roten multipliseres med et rimelig tall. I dette tilfellet må telleren og nevneren multipliseres med roten som ligger i nevner.Eksempel: 1 / (2 * sqrt (3)) = (1 * sqrt (3)) / (2 * sqrt (3) * sqrt (3)) = sqrt (3) / (2 * 3) = sqrt ( 3) / 6.

2. Det er utvilsomt nødvendig å gjøre det samme hvis du er i nevner det er ikke en kvadratrot, men for eksempel en kubikkrot eller en hvilken som helst annen grad. Rot inn nevner det er nødvendig å multiplisere med samme rot, og telleren med samme rot. Deretter går roten til telleren.

3. I et vanskeligere tilfelle i nevner det er en sum eller forskjellen mellom et irrasjonelt og et rimelig tall eller 2 irrasjonelle tall. Når det gjelder en sum (forskjell) av 2 kvadratrøtter eller en kvadratrot og et rimelig tall, kan du bruke den berømte formelen (x) + y) (xy) = (x ^ 2 ) - (y ^ 2). Hun vil hjelpe med å bli kvitt irrasjonalitet v nevner... Hvis i nevner forskjell, så må telleren og nevneren multipliseres med summen av de samme tallene, hvis summen da er differansen. Denne multipliserte summen eller differansen vil bli kalt konjugert til uttrykket som står i nevner Resultatet av dette opplegget er utmerket synlig i eksemplet: 1 / (sqrt (2) +1) = (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) (sqrt (2) -1) = ( sqrt (2 ) -1) / ((sqrt (2) ^ 2) - (1 ^ 2)) = (sqrt (2) -1) / (2-1) = sqrt (2) -1.

4. Hvis i nevner det er en sum (forskjell) der roten er tilstede i større grad, da blir situasjonen ikke-triviell og frigjøring fra irrasjonalitet v nevner ikke alltid tillatt

Tips 3: Hvordan frigjøre deg fra irrasjonalitet i nevneren til en brøk

En brøk består av telleren øverst på linjen og nevneren, med den den deler, nederst. Et irrasjonelt tall er et tall som ikke kan representeres som brøker med heltall i telleren og naturlig i nevner... Slike tall er for eksempel kvadratroten av 2 eller pi. Tradisjonelt, når man snakker om irrasjonalitet i nevner, er roten underforstått.

Bruksanvisning

1. Bli kvitt irrasjonalitet ved å multiplisere med nevneren. Dermed vil irrasjonalitet overføres til telleren. Når telleren og nevneren multipliseres med samme tall, vil verdien brøker endres ikke. Bruk dette alternativet hvis hver nevner er en rot.

2. Multipliser telleren og nevneren med nevneren så mange ganger som nødvendig, avhengig av roten. Hvis roten er kvadratisk, så en gang.

3. Tenk på et eksempel med kvadratrot. Ta brøken (56-y) / √ (x + 2). Den har en teller (56-y) og en irrasjonell nevner √ (x + 2), som er kvadratroten.

4. Multipliser telleren og nevneren brøker ved nevneren, det vil si ved √ (x + 2). Det originale eksemplet (56-y) / √ (x + 2) blir ((56-y) * √ (x + 2)) / (√ (x + 2) * √ (x + 2)). Resultatet er ((56-y) * √ (x + 2)) / (x + 2). Nå er roten i telleren, og i nevner ingen irrasjonalitet.

5. Nevneren er ikke ufravikelig brøker alle er under roten. Bli kvitt irrasjonalitet ved å bruke formelen (x + y) * (x-y) = x²-y².

6. Tenk på et eksempel med brøken (56-y) / (√ (x + 2) -√y). Dens irrasjonelle nevner inneholder forskjellen på 2 kvadratrøtter. Fullfør nevneren til formelen (x + y) * (x-y).

7. Multipliser nevneren med summen av røttene. Multipliser med samme teller slik at verdien brøker har ikke endret seg. Brøken blir ((56-y) * (√ (x + 2) + √y)) / ((√ (x + 2) -√y) * (√ (x + 2) + √y)).

8. Dra nytte av den nevnte egenskapen (x + y) * (x-y) = x²-y² og frigjør nevneren fra irrasjonalitet. Sluttresultatet er ((56-y) * (√ (x + 2) + √y)) / (x + 2-y). Nå er roten i telleren, og nevneren har kvittet seg med irrasjonalitet.

9. I vanskelige tilfeller, gjenta begge disse alternativene, og bruk etter behov. Vær oppmerksom på at det ikke alltid er tillatt å bli kvitt irrasjonalitet i nevner .

En algebraisk brøk er et uttrykk på formen A/B, hvor bokstavene A og B betegner ethvert numerisk eller bokstavelig uttrykk. Ofte er telleren og nevneren i algebraiske brøker massive, men operasjoner med slike brøker bør gjøres etter de samme reglene som operasjoner med vanlige, der telleren og nevneren er positive heltall.

Bruksanvisning

1. Hvis det gis blandet brøker, oversett dem til feil (en brøk der telleren er større enn nevneren): multipliser nevneren med en heltallsdel og legg sammen telleren. Så tallet 2 1/3 blir 7/3. For å gjøre dette, multipliser 3 med 2 og legg til én.

2. Hvis du trenger å konvertere en desimalbrøk til en feil, så forestill deg det som å dele et tall uten komma med én med like mange nuller som det er tall etter kommaet. La oss si at 2,5 er 25/10 (hvis du kutter det ned, får du 5/2), og 3,61 er 361/100. Det er ofte lettere å håndtere uekte brøker enn med blandede eller desimaler.

3. Hvis brøkene har identiske nevnere, og du må legge dem til, så legg til tellerne primitivt; nevnerne forblir uendret.

4. Hvis du trenger å trekke fra brøker med identiske nevnere fra telleren til den første brøken, trekker du fra telleren til den andre brøken. I dette tilfellet endres heller ikke nevnerne.

5. Hvis du trenger å legge til brøker eller trekke en brøk fra en annen, og de har forskjellige nevnere, bring brøkene til en fellesnevner. For å gjøre dette, finn et tall som vil være det minste felles multiplum (LCM) av begge nevnerne, eller flere, hvis brøkene er større enn 2. LCM er tallet som skal deles på nevnerne til alle gitte brøker. For eksempel, for 2 og 5, er dette tallet 10.

6. Etter likhetstegnet, tegn en horisontal linje og skriv dette tallet (LCM) i nevneren. Legg til flere faktorer til hele leddet - tallet som du må gange både telleren og nevneren med for å få LCM. Multipliser tellerne med tilleggsfaktorer trinnvis, behold fortegnet for addisjon eller subtraksjon.

7. Beregn totalen, forkort den om nødvendig, eller velg hele delen. Trenger du for eksempel å legge til? og?. LCM for begge brøkene er 12. Da er tilleggsfaktoren til den første brøken 4, til den andre - 3. Totalt:? +? = (1 · 4 + 1 · 3) / 12 = 7/12.

8. Hvis et eksempel er gitt for multiplikasjon, multipliser tellerne (dette vil være telleren av totalen) og nevnerne (nevneren av totalen). I dette tilfellet trenger de ikke bringes til en fellesnevner.

9. For å dele en brøk i en brøk, må du velte den andre brøken "opp ned" og gange brøkene. Det vil si a / b: c / d = a / b d / c.

10. Faktorer telleren og nevneren etter behov. For eksempel, overfør den felles faktoren utenfor parentesen, eller dekomponer i henhold til de forkortede multiplikasjonsformlene, slik at det etter det var tillatt å redusere telleren og nevneren med GCD - minste felles divisor.

Merk!
Legg tall til tall, bokstaver av samme type med bokstaver av samme type. For eksempel er det umulig å legge til 3a og 4b, noe som betyr at summen eller differansen deres forblir i telleren - 3a ± 4b.

I hverdagen, oftere enn alle andre, er det ikke reelle tall: 1, 2, 3, 4, etc. (5 kg. Poteter), og brøkdeler, ikke-heltall (5,4 kg. Løk). Mange av dem er presentert i formen desimalbrøker. Men representer desimalbrøken i formen brøker ganske enkelt.

Bruksanvisning

1. La oss si at det gitte tallet er "0,12". Hvis du ikke reduserer denne desimalbrøken og presenterer den som den er, vil den se slik ut: 12/100 ("tolv hundredeler"). For å bli kvitt hundrevis i nevneren, er det nødvendig å dele både telleren og nevneren med et tall som deler dem i hele tall. Dette er nummer 4. Deretter deler man telleren og nevneren, får man tallet: 3/25.

2. Hvis vi ser mer på hjemmemiljøet, så kan det ofte på prislappen på produktene ses at vekten for eksempel er 0,478 kg eller så videre.Et slikt tall er også lett å representere i formen brøker: 478/1000 = 239/500. Denne brøken er ganske stygg, og hvis det var en sannsynlighet, ville denne desimalbrøken få lov til å reduseres ytterligere. Og alt på samme måte: å velge et tall som deler både telleren og nevneren. Dette tallet omtales som den største felles faktoren. Faktoren er kalt "størst" fordi det er mye mer behagelig å dele både telleren og nevneren med 4 (som i det første eksemplet) enn å dele to ganger på 2.

Relaterte videoer

Desimal brøkdel- variasjon brøker, som har et "rundt" tall i nevneren: 10, 100, 1000 osv., la oss si brøkdel 5/10 har en desimalnotasjon på 0,5. Basert på denne oppgaven, brøkdel kan representeres som en desimal brøker .

Bruksanvisning

1. Mulig, må representeres som desimal brøkdel 18/25. Først må du gjøre det slik at et av de "runde" tallene vises i nevneren: 100, 1000 osv. For å gjøre dette må du gange nevneren med 4. Men du må gange både telleren og nevneren med 4.

2. Ved å multiplisere telleren og nevneren brøker 18/25 med 4 er 72/100. Dette brøkdel i desimalform slik: 0,72.

Når du deler 2 desimalbrøker, når en kalkulator ikke er for hånden, har mange problemer. Faktisk er det ikke noe vanskelig her. Desimal brøker kalles slike hvis nevneren inneholder et multiplum av 10. Som vanlig skrives slike tall på én linje og har et komma som skiller brøkdelen fra helheten. Tilsynelatende på grunn av tilstedeværelsen av brøkdelen, som også er forskjellig i antall sifre etter kommaet, forstår mange ikke hvordan man gjør matematiske operasjoner med slike tall uten en kalkulator.

Du vil trenge

• ark papir, blyant

Bruksanvisning

1. Det viser seg at for å dele en desimalbrøk med en annen, må du se på begge tallene og finne ut hvilken av dem som har flere sifre etter kommaet. Vi multipliserer begge tallene med et multiplum av 10, dvs. 10, 1000 eller 100000, antallet nuller der er lik det største antallet desimaler etter ett av våre to frøtall. Nå begge desimaler brøker omgjort til vanlige heltall. Ta et ark med en blyant og del de to resulterende tallene med et "hjørne". Vi får resultatet.

2. La oss si at vi må dele tallet 7,456 med 0,43. Det første tallet har flere desimaler (3 desimaler), derfor multipliserer vi begge tallene ikke 1000 og får to primitive heltall: 7456 og 430. Nå deler vi 7456 på 430 med et "hjørne" og vi får det hvis 7,456 deles på 0,43 vil det være omtrent 17,3.

3. Det er en annen delingsmetode. Skrive desimaler brøker i form av primitive brøker med teller og nevner, for vårt tilfelle er de 7456/1000 og 43/100. Senere skriver vi ned uttrykket for å dele 2 primitive brøker: 7456 * 100/1000 * 43, deretter reduserer vi tiere, vi får: 7456/10 * 43 = 7456/430 I den endelige utgangen får vi igjen divisjonen av 2 primitive tall 7456 og 430, som har lov til å produsere "hjørne".

Relaterte videoer

Nyttige råd
Dermed er måten å dele desimalbrøker på å konvertere dem til hele tall med støtte for å multiplisere hver av dem med samme tall. Å utføre operasjoner med heltall, som vanlig, forårsaker ingen vanskeligheter for noen.

Relaterte videoer