Multiplikasjon og divisjon av negative tall. Divisjon av negative tall: regel og eksempler Regler for å multiplisere positive og negative tall

I denne artikkelen vil vi gi en definisjon av å dele et negativt tall med et negativt, formulere og begrunne en regel, gi eksempler på å dele negative tall og analysere forløpet av løsningen deres.

Divisjon av negative tall. Regelen

La oss huske essensen av divisjonsoperasjonen. Denne handlingen er å finne en ukjent multiplikator med et kjent produkt og en kjent annen multiplikator. Tallet c kalles kvotienten av delingen av tallene a og b, hvis produktet c · b = a er sant. Dessuten er a ÷ b = c.

Regelen for å dele negative tall

Kvotienten for å dele et negativt tall med et annet negativt tall er lik kvotienten for å dele de absolutte verdiene til disse tallene.

La a og b være negative tall. Deretter

a ÷ b = a ÷ b.

Denne regelen reduserer deling av to negative tall til divisjon av positive tall. Det gjelder ikke bare for heltall, men også for rasjonelle og reelle tall. Resultatet av å dele et negativt tall med et negativt tall er alltid et positivt tall.

Her er en annen formulering av denne regelen, egnet for rasjonelle og reelle tall. Det er gitt ved hjelp av gjensidige tall og lyder: for å dele et negativt tall a med tallet udefinert, multipliser med tallet b - 1, det gjensidige av b.

a ÷ b = a b - 1.

Den samme regelen, som reduserer divisjon til multiplikasjon, kan også brukes til å dele tall med forskjellige fortegn.

Likheten a ÷ b = a b - 1 kan bevises ved å bruke egenskapen multiplikasjon av reelle tall og definisjonen av gjensidig inverse tall. La oss skrive likhetene:

a b - 1 b = a b - 1 b = a 1 = a.

I kraft av definisjonen av divisjonsoperasjonen, beviser denne likheten at det er en kvotient fra å dele et tall med et tall b.
La oss gå videre til å undersøke eksempler.

La oss starte med enkle saker og gå videre til mer komplekse.

Eksempel 1. Hvordan dele negative tall

Del - 18 med - 3.
Modulene til divisor og utbytte er henholdsvis 3 og 18. La oss skrive ned:

18 t - 3 = - 18 t - 3 = 18 t 3 = 6.

Eksempel 2. Hvordan dele negative tall

Del - 5 med - 2.
På samme måte skriver vi i henhold til regelen:

5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2.

Det samme resultatet vil oppnås hvis vi bruker den andre formuleringen av regelen med en gjensidig.

5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2.

Å dele rasjonelle brøktall er mest praktisk å representere dem i form av vanlige brøker. Imidlertid kan siste desimalbrøker også deles.

Eksempel 3. Hvordan dele negative tall

Del - 0,004 med - 0,25.

Først skriver vi modulene til disse tallene: 0, 004 og 0, 25.

Nå kan du velge en av to måter:

Del desimalbrøker på langs.
Gå til brøk og del.

La oss se på begge metodene.

1. Utfør kolonnedeling av desimalbrøker, flytt kommaet to sifre til høyre.

Svar: - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016

2. Nå gir vi løsningen med konvertering av desimalbrøker til vanlige.

0,004 = 4 1000; 0,25 = 25 100 0,004 ÷ 0,25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0,016

Resultatene er de samme.

Avslutningsvis bemerker vi at hvis utbyttet og divisoren er irrasjonelle tall og er spesifisert som røtter, potenser, logaritmer osv., skrives resultatet av divisjonen som et numerisk uttrykk, hvis omtrentlige verdi beregnes om nødvendig.

Eksempel 4. Hvordan dele negative tall

La oss beregne kvotienten for å dele tallene - 0, 5 og - 5.

0,5 ÷ - 5 = - 0,5 ÷ - 5 = 0,5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

La oss nå forholde oss til multiplikasjon og divisjon.

La oss si at vi ønsker å multiplisere +3 med -4. Hvordan gjøre det?

La oss vurdere en slik sak. Tre personer er i gjeld, og hver har $ 4 i gjeld. Hva er den totale gjelden? For å finne den må du legge sammen alle tre gjeldene: $4 + $4 + $4 = $12. Vi bestemte at tillegg av tre tall 4 er betegnet som 3 × 4. Siden vi snakker om gjeld i dette tilfellet, er det en "-" foran 4. Vi vet at den totale gjelden er $12, så problemet vårt ser nå ut som 3x (-4) = -12.

Vi vil få samme resultat hvis, ifølge problemformuleringen, hver av de fire personene har en gjeld på $3. Med andre ord, (+4) x (-3) = - 12. Og siden rekkefølgen på faktorene ikke spiller noen rolle, får vi (-4) x (+3) = - 12 og (+4) x (-3) = - 12.

La oss oppsummere resultatene. Når du multipliserer ett positivt og ett negativt tall, vil resultatet alltid være negativt. Den numeriske verdien av svaret vil være den samme som ved positive tall. Produkt (+4) x (+3) = + 12. Tilstedeværelsen av "-"-tegnet påvirker bare tegnet, men påvirker ikke den numeriske verdien.

Hvordan multipliserer du to negative tall?

Dessverre er det veldig vanskelig å komme med et passende eksempel fra livet om dette temaet. Det er lett å forestille seg en gjeld på $ 3 eller $ 4, men det er helt umulig å forestille seg en -4 eller -3 person gå i gjeld.

Kanskje vi går den andre veien. I multiplikasjon, når tegnet til en av faktorene endres, endres fortegnet til produktet. Hvis vi endrer tegnene til begge multiplikatorene, må vi endre to ganger arbeidsmerke, først fra positivt til negativt, og deretter omvendt, fra negativt til positivt, det vil si at produktet vil ha et innledende tegn.

Derfor er det ganske logisk, selv om det er litt merkelig, at (-3) x (-4) = + 12.

Plassering av skiltet når multiplisert, endringer som dette:

positivt tall x positivt tall = positivt tall;
negativt tall x positivt tall = negativt tall;
positivt tall x negativt tall = negativt tall;
negativt tall x negativt tall = positivt tall.

Med andre ord, multipliserer to tall med samme fortegn, får vi et positivt tall. Multipliserer to tall med forskjellige fortegn, får vi et negativt tall.

Den samme regelen gjelder for handlingen motsatt av multiplikasjon - for.

Du kan enkelt bekrefte dette ved å holde inne inverse multiplikasjonsoperasjoner... Hvis du i hvert av eksemplene ovenfor multipliserer kvotienten med divisor, får du utbyttet, og sørger for at den har samme fortegn, for eksempel (-3) x (-4) = (+ 12).

Siden vinteren kommer, er det på tide å tenke på hva du skal skifte skoene til jernhesten din, for ikke å skli på isen og føle deg trygg på vinterveier. Du kan for eksempel ta Yokohama-dekk på nettstedet: mvo.ru eller noen andre, det viktigste er at det er av høy kvalitet, du kan finne ut mer informasjon og priser på Mvo.ru-nettstedet.

I denne artikkelen skal vi formulere og forklare regelen for å multiplisere negative tall. Prosessen med å multiplisere negative tall vil bli diskutert i detalj. Eksemplene viser alle mulige tilfeller.

Multiplisere negative tall

Definisjon 1

Regelen for å multiplisere negative tall er at for å multiplisere to negative tall, må du multiplisere modulene deres. Denne regelen er skrevet som følger: for eventuelle negative tall - a, - b, anses denne likheten som sann.

(- a) (- b) = a b.

Over er regelen for å multiplisere to negative tall. Basert på det beviser vi uttrykket: (- a) (- b) = a b. Artikkelen multiplikasjon av tall med forskjellige fortegn forteller at likhetene a (- b) = - a b er rettferdige, samt (- a) b = - a b. Dette følger av egenskapen til motsatte tall, på grunn av hvilken likhetene vil bli skrevet som følger:

(- a) (- b) = (- a (- b)) = - (- (a b)) = a b.

Her kan du tydelig se beviset for regelen for å multiplisere negative tall. Ut fra eksemplene er det klart at produktet av to negative tall er et positivt tall. Når du multipliserer de absolutte verdiene til tall, er resultatet alltid et positivt tall.

Denne regelen gjelder for multiplikasjon av reelle tall, rasjonelle tall og hele tall.

La oss nå se nærmere på eksempler på å multiplisere to negative tall. Når du regner må du bruke regelen skrevet ovenfor.

Eksempel 1

Multipliser tallene - 3 og - 5.

Løsning.

Modulo dataene som multipliseres, to tall er lik positive tall 3 og 5. Produktet deres resulterer i 15. Det følger at produktet av de gitte tallene er 15

La oss kort skrive ned selve multiplikasjonen av negative tall:

(- 3) (- 5) = 3 5 = 15

Svar: (- 3) (- 5) = 15.

Når du multipliserer negative rasjonelle tall, ved å bruke den analyserte regelen, kan du mobilisere deg selv til å multiplisere brøker, multiplisere blandede tall, multiplisere desimalbrøker.

Eksempel 2

Beregn produktet (- 0, 125) · (- 6).

Løsning.

Ved å bruke regelen for å multiplisere negative tall, får vi at (- 0, 125) (- 6) = 0, 125 6. For å få resultatet må du multiplisere desimalbrøken med det naturlige antallet kolonner. Det ser slik ut:

Vi fikk at uttrykket vil ha formen (- 0, 125) · (- 6) = 0, 125 · 6 = 0,75.

Svar: (- 0, 125) (- 6) = 0, 75.

I tilfellet når faktorene er irrasjonelle tall, kan produktet deres skrives som et numerisk uttrykk. Verdien beregnes kun ved behov.

Eksempel 3

Det er nødvendig å multiplisere negativ - 2 med ikke-negativ log 5 1 3.

Løsning

Vi finner moduler med gitte tall:

2 = 2 og log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3.

Ved å følge reglene for å multiplisere negative tall får vi resultatet - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3. Dette uttrykket er svaret.

Svar: - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3.

For å fortsette å studere emnet, må du gjenta avsnittet om å multiplisere reelle tall.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

Denne artikkelen gir en detaljert oversikt over deling av tall med forskjellige fortegn... For det første er det en regel for å dele tall med forskjellige fortegn. Nedenfor er eksempler på å dele positive tall i negative og negative tall med positive.

Sidenavigering.

Regelen for å dele tall med forskjellige fortegn

I artikkelen dele heltall ble det innhentet en regel for å dele heltall med forskjellige fortegn. Det kan utvides til både rasjonelle tall og reelle tall ved å gjenta alle argumentene fra artikkelen ovenfor.

Så, regel for å dele tall med forskjellige fortegn har følgende formulering: for å dele et positivt tall med et negativt eller negativt tall med et positivt, må du dele utbyttet på divisormodulen, og sette et minustegn foran det resulterende tallet.

La oss skrive denne delingsregelen med bokstaver. Hvis tallene a og b har forskjellige fortegn, er følgende formel gyldig a: b = - | a |: | b | .

Fra den oppgitte regelen er det klart at resultatet av å dele tall med forskjellige fortegn er et negativt tall. Faktisk, siden modulen til utbyttet og modulen til divisoren er mer positive enn tallet, er kvotienten deres et positivt tall, og minustegnet gjør dette tallet negativt.

Merk at den betraktede regelen reduserer deling av tall med forskjellige fortegn til divisjon av positive tall.

Du kan gi en annen formulering av regelen for å dele tall med forskjellige fortegn: for å dele tallet a med tallet b, må du multiplisere tallet a med tallet b −1, det gjensidige av tallet b. Det er, a: b = a b −1 .

Denne regelen kan brukes når det er mulig å gå utover settet med heltall (siden ikke hvert heltall har en invers). Med andre ord, det er anvendelig på settet med rasjonelle tall, så vel som på settet med reelle tall.

Det er klart at denne regelen for å dele tall med forskjellige fortegn lar deg gå fra divisjon til multiplikasjon.

Den samme regelen gjelder ved deling av negative tall.

Det gjenstår å vurdere hvordan denne regelen for å dele tall med forskjellige tegn brukes når du løser eksempler.

Eksempler på å dele tall med forskjellige fortegn

Vurder løsninger på flere typiske eksempler på deling av tall med forskjellige fortegnå lære prinsippet om å bruke reglene fra forrige avsnitt.

Eksempel.

Del det negative tallet −35 med det positive tallet 7.

Løsning.

Regelen for å dele tall med forskjellige fortegn tilsier at du først finner modulene til utbyttet og divisoren. Modulen til -35 er 35, og modulen til 7 er 7. Nå må vi dele modulen til utbyttet med modulen til divisoren, det vil si at vi må dele 35 med 7. Når vi husker hvordan delingen av naturlige tall utføres, får vi 35: 7 = 5. Det siste trinnet i regelen for å dele tall med forskjellige fortegn gjenstår - sett et minus foran det resulterende tallet, vi har −5.

Her er hele løsningen:.

Det var mulig å gå ut fra en annen formulering av regelen for å dele tall med forskjellige fortegn. I dette tilfellet finner vi først den resiproke av divisor 7. Dette tallet er den vanlige brøken 1/7. På denne måten, . Det gjenstår å utføre multiplikasjon av tall med forskjellige tegn:. Det er klart at vi kom til samme resultat.

Svar:

(−35):7=−5 .

Eksempel.

Regn ut kvotienten 8: (- 60).

Løsning.

Ved regelen for å dele tall med forskjellige fortegn, har vi 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) ... Det resulterende uttrykket tilsvarer en negativ ordinær brøk (se divisjonstegnet som en linje av en brøk), du kan redusere brøken med 4, vi får .

La oss skrive ned hele løsningen kort:.

Svar:

Når du deler rasjonelle brøktall med forskjellige fortegn, blir deres utbytte og divisor vanligvis representert som vanlige brøker. Dette skyldes det faktum at det ikke alltid er praktisk å utføre divisjon med tall i en annen notasjon (for eksempel i desimal).

Eksempel.

Løsning.

Modulen til utbyttet er lik, og modulen til divisoren er 0, (23). For å dele modulen til den delbare med modulen til divisoren, går vi til vanlige brøker.

La oss oversette det blandede tallet til en vanlig brøk: , i tillegg til

Denne artikkelen fokuserer på deling av negative tall... Først er det gitt en regel for å dele et negativt tall med et negativt, dets begrunnelse er gitt, og deretter gis eksempler på å dele negative tall med en detaljert beskrivelse av løsninger.

Sidenavigering.

Regelen for å dele negative tall

Før vi gir regelen for å dele negative tall, la oss huske betydningen av divisjonshandlingen. Divisjon representerer i hovedsak å finne en ukjent faktor fra et kjent produkt og en kjent annen faktor. Det vil si at tallet c er kvotienten for å dele a med b når c b = a, og omvendt, hvis c b = a, så a: b = c.

Regelen for å dele negative tall følgende: kvotienten for å dele ett negativt tall med et annet er lik kvotienten for å dele telleren med modulen til nevneren.

La oss skrive ned den stemte regelen ved hjelp av bokstaver. Hvis a og b er negative tall, så er likheten a: b = | a |: | b | .

Likheten a: b = a b −1 er lett å bevise, med utgangspunkt i egenskaper ved multiplikasjon av reelle tall og definisjoner av gjensidig gjensidige tall. På dette grunnlaget kan vi faktisk skrive ned en kjede av likheter i formen (a b −1) b = a (b −1 b) = a 1 = a, som i kraft av betydningen av divisjon nevnt i begynnelsen av artikkelen, beviser at a · b −1 er kvotienten av divisjonen av a med b.

Og denne regelen lar deg gå fra å dele negative tall til multiplikasjon.

Det gjenstår å vurdere bruken av de vurderte reglene for å dele negative tall når du løser eksempler.

Eksempler på å dele negative tall

La oss analysere eksempler på å dele negative tall... La oss starte med enkle tilfeller hvor vi skal utarbeide delingsregelen.

Eksempel.

Del det negative tallet −18 med det negative tallet −3, og beregn deretter kvotienten (−5): (- 2).

Løsning.

I henhold til regelen om å dele negative tall, er kvotienten for å dele -18 med -3 lik kvotienten for å dele de absolutte verdiene til disse tallene. Siden | −18 | = 18 og | −3 | = 3, da (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , det gjenstår bare å utføre delingen av naturlige tall, vi har 18: 3 = 6.

Tilsvarende løser vi den andre delen av oppgaven. Siden | −5 | = 5 og | −2 | = 2, da (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 ... Denne kvotienten tilsvarer ordinær brøk 5/2, som kan skrives som et blandet tall.

De samme resultatene oppnås hvis du bruker en annen regel for å dele negative tall. Faktisk er tallet −3 omvendt tallet, da , nå utfører vi multiplikasjon av negative tall: ... På samme måte,.

Svar:

(−18): (- 3) = 6 og .

Når du deler rasjonelle brøktall, er det mest praktisk å jobbe med vanlige brøker. Men hvis det er praktisk, kan du dele de siste desimalbrøkene.

Eksempel.

Del −0,004 med −0,25.

Løsning.

Modulene til utbyttet og divisoren er henholdsvis 0,004 og 0,25, da har vi i henhold til regelen for å dele negative tall (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

eller utføre deling av desimalbrøker med en kolonne,
eller gå fra desimalbrøker til vanlige brøker, og del deretter de tilsvarende vanlige brøkene.

La oss ta en titt på begge tilnærmingene.

For å dele 0,004 med 0,25 i en kolonne, flytte først kommaet 2 sifrene til høyre, og dermed kommer vi til å dele 0,4 med 25. Nå gjør vi lang divisjon: