Ligning av et rektangel. Rektangel. Formler og egenskaper til et rektangel. Sirkel omskrevet rundt et rektangel


Estimat av resten av formelen: , eller .

Tjenesteformål... Tjenesten er designet for online beregning av et bestemt integral ved hjelp av formelen for rektangler.

Instruksjon. Skriv inn integranden f (x), klikk på Løs. Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil. Den lager også en løsningsmal i Excel. Nedenfor er en videoopplæring.

Regler for oppføring av funksjoner

Eksempler av
≡ x ^ 2 / (1 + x)
cos 2 (2x + π) ≡ (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ x + (x-1) ^ (2/3) Dette er den enkleste kvadraturintegralformelen som bruker én funksjonsverdi
(1)
hvor ; h = x 1 -x 0.
Formel (1) er den sentrale formelen for rektangler. La oss beregne resten. La oss utvide funksjonen y = f (x) i en Taylor-serie ved punktet ε 0:
(2)
hvor e 1; x∈. La oss integrere (2):
(3)

I det andre leddet er integranden oddetall, og grensene for integrasjon er symmetriske med hensyn til punktet ε 0. Derfor er det andre integralet lik null. Av (3) følger således .
Siden den andre faktoren til integranden ikke endrer fortegn, får vi ved middelverditeoremet , hvor . Etter integrering får vi . (4)
Sammenligner vi med resten av den trapesformede formelen, ser vi at feilen til rektangelformelen er to ganger mindre enn feilen til trapesformelen. Dette resultatet er riktig hvis vi tar verdien av funksjonen ved midtpunktet i rektangelformelen.
Vi får rektangelformelen og resten for intervallet. La rutenettet x i = a + ih, i = 0,1, ..., n, h = x i + 1 -x i gis. Tenk på nettet ε i = ε 0 + ih, i = 1,2, .., n, ε 0 = a-h / 2. Deretter . (5)
Resterende termin .
Geometrisk kan formelen til rektangler representeres av følgende figur:

Hvis funksjonen f (x) er gitt i en tabell, brukes enten den venstresidige rektangelformelen (for et enhetlig rutenett)

eller rektangelformelen til høyre

.
Feilen til disse formlene estimeres gjennom den første deriverte. For intervallet er feilen

; .
Etter integrering får vi.

Et eksempel. Regn ut integralet for n = 5:
a) i henhold til trapesformelen;
b) ved formelen av rektangler;
c) i henhold til Simpson-formelen;
d) ved Gauss-formelen;
e) i henhold til Chebyshev-formelen.
Beregn feilen.
Løsning. For 5 integrasjonsnoder vil grid-trinnet være 0,125.
Ved løsning vil vi bruke tabellen over funksjonsverdier. Her f (x) = 1 / x.

x f (x)
x00.5 y02
x10.625 y11.6
x20.750 y21.33
x30.875 y31.14
x41.0 y41
a) trapesformel:
I = h / 2 ×;
I = (0,125 / 2) × = 0.696;
R = [- (b-a) / 12] x h x y ¢¢ (x);
f ¢¢ (x) = 2 / (x 3).
Den maksimale verdien av den andre deriverte av funksjonen på intervallet er 16: maks (f ¢¢ (x)), xÎ = 2 / (0,5 3) = 16, derfor
R = [- (1-0,5) / 12] × 0,125 × 16 = - 0.0833;
b) rektangelformel:
for den venstre formelen I = h × (y0 + y1 + y2 + y3);
I = 0,125 × (2 + 1,6 + 1,33 + 1,14) = 0.759;
R = [(b-a) / 6] x h 2 x y ¢¢ (x);
R = [(1-0,5) / 6] × 0,125 2 × 16 = 0.02;
c) Simpsons formel:
I = (2h / 6) × (y0 + y4 + 4 × (y1 + y3) + 2 × y2);
I = (2 × 0,125) / 6 × (2 + 1 + 4 × (1,6 + 1,14) + 2 × 1,33) = 0.693;
R = [- (b-a) / 180] x h 4 x y (4) (x);
f (4) (x) = 24 / (x 5) = 768;
R = [- (1-0,5) / 180] × (0,125) 4 × 768 = - 5.2 e-4;
d) Gauss formel:
I = (b-a) / 2 x;
x i = (b + a) / 2 + t i (b-a) / 2
(A i, t i - tabellverdier).
t (n = 5)A (n = 5)
x10.9765 y11.02 t 10.90617985 A 10.23692688
x20.8846 y21.13 t 20.53846931 A 20.47862868
x30.75 y31.33 t 30 A 30.56888889
x40.61 y41.625 t 4-0.53846931 A 40.47862868
x50.52 y51.91 t 5-0.90617985 En 50.23692688
I = (1-0,5) / 2 × (0,2416 + 0,5408 + 0,7566 + 0,7777 + 0,4525) = 0.6923;
e) Chebyshevs formel:
I = [(b-a) / n] × S f (x i), i = 1..n,
x i = (b + a) / 2 + [t i (b-a)] / 2 - den nødvendige reduksjonen av integrasjonsintervallet til intervallet [-1; 1].
For n = 5
t10.832498
t20.374541
t30
t4-0.374541
t5-0.832498
La oss finne verdiene til x og verdiene til funksjonen på disse punktene:
x10,958 f (x1)1,043
x20,844 f (x2)1,185
x30,75 f (x3)1,333
x40,656 f (x4)1,524
x50,542 f (x5)1,845
Summen av funksjonsverdiene er 6,927.
I = (1-0,5) / 5 × 6,927 = 0,6927.

Generelt venstre rektangelformel på segmentet følgende (21) :

I denne formelen x 0 = a, x n = b, siden enhver integral i generell form ser ut som: (se formelen 18 ).

h kan beregnes med formelen 19 .

y 0 , y 1 , ..., y n-1 x 0 , x 1 , ..., x n-1 (x Jeg = x i-1 + h).

    Formel for rett rektangler.

Generelt rett rektangelformel på segmentet følgende (22) :

I denne formelen x 0 = a, x n = b(se formel for venstre rektangler).

h kan beregnes med samme formel som for de venstre rektanglene.

y 1 , y 2 , ..., y n er verdiene til den tilsvarende funksjonen f (x) ved punktene x 1 , x 2 , ..., x n (x Jeg = x i-1 + h).

    Formel for medium rektangler.

Generelt middels rektangelformel på segmentet følgende (23) :

Hvor x Jeg = x i-1 + h.

I denne formelen, som i de foregående, er h nødvendig for å multiplisere summen av verdiene til funksjonen f (x), men ikke lenger bare erstatte de tilsvarende verdiene x 0 , x 1 , ..., x n-1 inn i funksjonen f (x), og legge til hver av disse verdiene h / 2(x 0 + h / 2, x 1 + h / 2, ..., x n-1 + h / 2), og deretter bare erstatte dem med den gitte funksjonen.

h kan beregnes med samme formel som for de venstre rektanglene. "[ 6 ]

I praksis implementeres disse metodene som følger:

    Mathcad ;

    utmerke .

    Mathcad ;

    utmerke .

For å beregne integralet med formelen til gjennomsnittlige rektangler i Excel, må du gjøre følgende:

    Fortsett å jobbe i det samme dokumentet som når du beregner integralet med formlene til venstre og høyre rektangler.

    Skriv inn teksten xi + h / 2 i celle E6, og f (xi + h / 2) i F6.

    Skriv inn i celle E7 formelen = B7 + $ B $ 4/2, kopier denne formelen ved å sveipe til celleområdet E8: E16

    Skriv inn i celle F7 formelen = ROT (E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8), kopier denne formelen ved å sveipe til celleområdet F8: F16

    Skriv inn formelen = SUM (F7: F16) i celle F18.

    Skriv inn formelen = B4 * F18 i celle F19.

    Skriv inn teksten til gjennomsnitt i celle F20.

Som et resultat får vi følgende:

Svar: verdien av det gitte integralet er 13,40797.

Basert på resultatene som er oppnådd, kan vi konkludere med at formelen for de midterste rektanglene er den mest nøyaktige enn formlene for høyre og venstre rektangler.

1. Monte Carlo-metoden

"Hovedideen til Monte Carlo-metoden er gjentatt repetisjon av tilfeldige tester. Et karakteristisk trekk ved Monte Carlo-metoden er bruken av tilfeldige tall (numeriske verdier av en tilfeldig variabel). Slike tall kan oppnås ved å bruke tilfeldige tallgeneratorer, for eksempel i programmeringsspråket Turbo Pascal er det standard funksjon tilfeldig, hvis verdier er tilfeldige tall jevnt fordelt på segmentet ... Dette betyr at hvis vi deler det angitte segmentet inn i et visst antall like intervaller og beregner verdien av den tilfeldige funksjonen et stort antall ganger, vil omtrent like mange tilfeldige tall falle inn i hvert intervall. I bassengets programmeringsspråk er en lignende sensor rnd-funksjonen. I MS Excel regnearkprosessor, funksjonen RAND returnerer et jevnt fordelt tilfeldig tall større enn eller lik 0 og mindre enn 1 (varierer med omregning) "[ 7 ].

For å beregne det, må du bruke formelen () :

Hvor (i = 1, 2, ..., n) - tilfeldige tall som ligger i intervallet .

For å få slike tall basert på en sekvens av tilfeldige tall x i, jevnt fordelt i intervallet, er det tilstrekkelig å utføre transformasjonen x i = a + (b-a) x i.

I praksis implementeres denne metoden som følger:

For å beregne integralet ved Monte Carlo-metoden i Excel, må du utføre følgende trinn:

    I celle B1 skriver du inn teksten n =.

    I celle B2 skriver du inn teksten a =.

    I celle B3 skriver du inn teksten b =.

Skriv inn tallet 10 i celle C1.

    Skriv inn tallet 0 i celle C2.

    Skriv inn tallet 3.2 i celle C3.

    I celle A5 skriver du inn I, i B5 - xi, i C5 - f (xi).

    Fyll cellene A6: A15 med tallene 1,2,3, ..., 10 - siden n = 10.

    Skriv inn i celle B6 formelen = RAND () * 3.2 (tall i området fra 0 til 3.2 genereres), kopier denne formelen ved å dra inn i celleområdet B7: B15.

    Skriv inn i celle C6 formelen = ROOT (B6 ^ 4-B6 ^ 3 + 8), kopier denne formelen ved å dra til celleområdet C7: C15.

    Skriv inn teksten "beløp" i celle B16, i B17 - "(b-a) / n", i B18 - "I =".

    Skriv inn formelen = SUM (C6: C15) i celle C16.

    Skriv inn formelen = (C3-C2) / C1 i celle C17.

    Skriv inn formelen = C16 * C17 i celle C18.

Som et resultat får vi:

Svar: verdien av det gitte integralet er 13.12416.

Rektangel Er en firkant, hvor hvert hjørne er rett.

Bevis

Egenskapen forklares av handlingen til attributt 3 til et parallellogram (det vil si \ vinkel A = \ vinkel C, \ vinkel B = \ vinkel D)

2. Motstående sider er like.

AB = CD, \ enspace BC = AD

3. Motstående sider er parallelle.

AB \ parallell CD, \ enspace BC \ parallell AD

4. Tilstøtende sider er vinkelrett på hverandre.

AB \ perp BC, \ enspace BC \ perp CD, \ enspace CD \ perp AD, \ enspace AD​\ perp AB

5. Diagonalene til rektangelet er like.

AC = BD

Bevis

I følge eiendom 1 rektangelet er et parallellogram, som betyr AB = CD.

Derfor er \ trekant ABD = \ trekant DCA i to ben (AB = CD og AD - ledd).

Hvis begge tallene - ABC og DCA er identiske, er hypotenusene deres BD og AC også identiske.

Derfor er AC = BD.

Bare rektangelet til alle figurene (bare parallellogrammene!) har like diagonaler.

Vi vil bevise dette også.

ABCD - parallellogram \ Høyrepil AB = CD, AC = BD etter tilstand. \ Høyrepil \ trekant ABD = \ trekant DCA allerede på tre sider.

Det viser seg at \ vinkel A = \ vinkel D (som vinklene til et parallellogram). Og \ vinkel A = \ vinkel C, \ vinkel B = \ vinkel D.

Det utleder vi \ vinkel A = \ vinkel B = \ vinkel C = \ vinkel D... De er alle 90 ^ (\ circ). Totalt - 360 ^ (\ circ).

Påvist!

6. Kvadraten til diagonalen er lik summen av kvadratene på de to tilstøtende sidene.

Denne egenskapen er gyldig i kraft av Pythagoras teorem.

AC ^ 2 = AD ^ 2 + CD ^ 2

7. Diagonalen deler rektangelet i to like rettvinklede trekanter.

\ trekant ABC = \ trekant ACD, \ enspace \ trekant ABD = \ trekant BCD

8. Skjæringspunktet mellom diagonalene deler dem i to.

AO = BO = CO = DO

9. Skjæringspunktet mellom diagonalene er midten av rektangelet og den omskrevne sirkelen.

10. Summen av alle vinkler er 360 grader.

\ vinkel ABC + \ vinkel BCD + \ vinkel CDA + \ vinkel DAB = 360 ^ (\ circ)

11. Alle hjørner av rektangelet er rette.

\ vinkel ABC = \ vinkel BCD = \ vinkel CDA = \ vinkel DAB = 90 ^ (\ circ)

12. Diameteren til en sirkel omskrevet rundt et rektangel er lik diagonalen til rektangelet.

13. Rundt et rektangel kan du alltid beskrive en sirkel.

Denne egenskapen er sann fordi summen av de motsatte hjørnene av rektangelet er 180 ^ (\ circ)

\ vinkel ABC = \ vinkel CDA = 180 ^ (\ circ), \ enspace \ vinkel BCD = \ vinkel DAB = 180 ^ (\ circ)

14. Et rektangel kan inneholde en innskrevet sirkel og bare én hvis den har samme sidelengder (er en firkant).

Definisjon.

Rektangel- dette er en firkant der to motsatte sider er like og alle fire hjørner er like.

Rektanglene skiller seg bare fra hverandre i forholdet mellom langsiden og kortsiden, men alle fire hjørner er rette, det vil si 90 grader.

Langsiden av rektangelet kalles lengden på rektangelet, og den korte - bredden på rektangelet.

Sidene av rektangelet er også dets høyder.


Grunnleggende egenskaper til et rektangel

Rektangelet kan være et parallellogram, kvadrat eller rombe.

1. Motstående sider av et rektangel har samme lengde, det vil si at de er like:

AB = CD, BC = AD

2. Motstående sider av rektangelet er parallelle:

3. Tilstøtende sider av rektangelet er alltid vinkelrett:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Alle fire hjørner av rektangelet er rette:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. Summen av vinklene til rektangelet er 360 grader:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. Diagonalene til rektangelet er av samme lengde:

7. Summen av kvadratene til rektangelets diagonal er lik summen av kvadratene til sidene:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Hver diagonal i rektangelet deler rektangelet i to identiske former, nemlig rettvinklede trekanter.

9. Diagonalene til rektangelet skjærer hverandre og er halvert i skjæringspunktet:

AO = BO = CO = DO = d
2

10. Skjæringspunktet mellom diagonalene kalles sentrum av rektangelet og er også sentrum av den omskrevne sirkelen

11. Diagonalen til et rektangel er diameteren til den omskrevne sirkelen

12. Rundt et rektangel kan du alltid beskrive en sirkel, siden summen av motsatte vinkler er 180 grader:

∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °

13. En sirkel kan ikke skrives inn i et rektangel hvis lengde ikke er lik bredden, siden summen av motsatte sider ikke er lik hverandre (en sirkel kan bare skrives inn i et spesielt tilfelle av et rektangel - en firkant).


Sidene av et rektangel

Definisjon.

Lengden på rektangelet er lengden på det lengre sideparet. Bredden på rektangelet er lengden på det kortere paret av sidene.

Formler for å bestemme lengdene på sidene i et rektangel

1. Formel for siden av et rektangel (lengde og bredde på rektangelet) gjennom diagonalen og den andre siden:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formel for siden av et rektangel (lengde og bredde på rektangelet) gjennom området og den andre siden:

b = d cosβ
2

Diagonal av et rektangel

Definisjon.

Diagonalt rektangel ethvert segment som forbinder to hjørner av motsatte hjørner av et rektangel kalles.

Formler for å bestemme lengden på diagonalen til et rektangel

1. Formelen for diagonalen til et rektangel gjennom de to sidene av et rektangel (gjennom Pythagoras teorem):

d = √ a 2 + b 2

2. Formel for diagonalen til et rektangel når det gjelder arealet og hvilken som helst side:

4. Formel for diagonalen til et rektangel i form av radiusen til den omskrevne sirkelen:

d = 2R

5. Formel for diagonalen til et rektangel gjennom diameteren til den omskrevne sirkelen:

d = D ca

6. Formel for diagonalen til et rektangel i form av sinusen til vinkelen ved siden av diagonalen, og lengden på siden motsatt av denne vinkelen:

8. Formel for diagonalen til et rektangel i form av sinusen til en spiss vinkel mellom diagonalene og arealet av rektangelet

d = √2S: synd β


Omkretsen av et rektangel

Definisjon.

Omkretsen av et rektangel kalt summen av lengdene til alle sidene av rektangelet.

Formler for å bestemme lengden på omkretsen til et rektangel

1. Formel for omkretsen av et rektangel gjennom to sider av rektangelet:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. Formel for omkretsen av et rektangel når det gjelder arealet og hvilken som helst side:

P =2S + 2a 2 = 2S + 2b 2
enb

3. Formel for omkretsen av et rektangel gjennom diagonalen og hvilken som helst side:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. Formel for omkretsen av et rektangel i form av radiusen til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

P = 2 (a + √4R 2 - en 2) = 2 (b + √4R 2 - b 2)

5. Formel for omkretsen av et rektangel når det gjelder diameteren til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

P = 2 (a + √D o 2 - en 2) = 2 (b + √D o 2 - b 2)


Rektangelområde

Definisjon.

Ved arealet av rektangelet kalles rommet avgrenset av sidene til rektangelet, det vil si innenfor rektangelets omkrets.

Formler for å bestemme arealet til et rektangel

1. Formel for arealet av et rektangel på to sider:

S = a b

2. Formel for arealet til et rektangel når det gjelder omkretsen og hvilken som helst side:

5. Formel for arealet til et rektangel i form av radiusen til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

S = a √4R 2 - en 2= b √4R 2 - b 2

6. Formel for arealet til et rektangel når det gjelder diameteren til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

S = a √D o 2 - en 2= b √D o 2 - b 2


Sirkel omskrevet rundt et rektangel

Definisjon.

Sirklet rundt et rektangel kalles en sirkel som går gjennom de fire toppunktene i et rektangel, hvis sentrum ligger i skjæringspunktet mellom diagonalene til rektangelet.

Formler for å bestemme radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel

1. Formel for radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel gjennom to sider:

Et av de grunnleggende begrepene i matematikk er omkretsen til et rektangel. Det er mange problemer om dette emnet, når man løser hvilke man ikke kan klare seg uten omkretsformelen og ferdighetene til å beregne den.

Enkle konsepter

Et rektangel er en firkant der alle hjørner er rette, og motsatte sider er like og parallelle i par. I livet vårt har mange figurer form av et rektangel, for eksempel overflaten av et bord, en notatbok og så videre.

La oss vurdere et eksempel: et gjerde må plasseres langs grensene til tomten. For å finne ut lengden på hver side, må du måle dem.

Ris. 1. Tomt i form av et rektangel.

Tomten har sider med en lengde på 2 m., 4 m., 2 m., 4 m. For for å finne ut den totale lengden på gjerdet, er det nødvendig å legge til lengdene på alle sider:

2 + 2 + 4 + 4 = 2 2 + 4 2 = (2 + 4) 2 = 12 m.

Det er denne verdien i det generelle tilfellet som kalles omkretsen. Dermed må alle sider av figuren brettes for å finne omkretsen. Bokstaven P brukes til å angi omkretsen.

For å beregne omkretsen til en rektangulær figur, trenger du ikke å dele den inn i rektangler, du må bare måle alle sidene av denne figuren med en linjal (målebånd) og finne summen deres.

Omkretsen til et rektangel måles i mm, cm, m, km og så videre. Om nødvendig blir dataene i oppgaven oversatt til samme målesystem.

Omkretsen til et rektangel måles i forskjellige enheter: mm, cm, m, km og så videre. Ved behov overføres dataene i oppgaven til ett målesystem.

Formel omkretsformel

Hvis vi tar i betraktning det faktum at de motsatte sidene av rektangelet er like, kan vi utlede formelen for rektangelets omkrets:

$ P = (a + b) * 2 $, hvor a, b er sidene av figuren.

Ris. 2. Et rektangel med motsatte sider angitt.

Det er en annen måte å finne omkretsen på. Hvis oppgaven bare er gitt én side og arealet av figuren, kan du bruke den til å uttrykke den andre siden gjennom området. Da vil formelen se slik ut:

$ P = ((2S + 2a2) \ over (a)) $, hvor S er arealet av rektangelet.

Ris. 3. Rektangel med sidene a, b.

Trening : Regn ut omkretsen til et rektangel hvis sidene er 4 cm og 6 cm.

Løsning:

Vi bruker formelen $ P = (a + b) * 2 $

$ P = (4 + 6) * 2 = 20 cm $

Dermed er omkretsen av figuren $ P = 20 cm $.

Siden omkretsen er summen av alle sidene av figuren, er halvomkretsen summen av bare én lengde og bredde. For å få omkretsen må du multiplisere halvomkretsen med 2.

Areal og omkrets er to grunnleggende konsepter for å måle enhver form. De bør ikke forveksles, selv om de er i slekt. Hvis du øker eller reduserer området, vil omkretsen følgelig øke eller reduseres.

Hva har vi lært?

Vi har lært hvordan man finner omkretsen til et rektangel. Og ble også kjent med formelen for beregningen. Dette emnet kan du møte ikke bare når du løser matematiske problemer, men også i det virkelige liv.

Test etter emne

Artikkelvurdering

Gjennomsnittlig rangering: 4.5. Totale vurderinger mottatt: 365.

LIGNENDE ARTIKLER