"Bilder til lysbilder" - Valgfritt kurs "Verden av multimediateknologier". Bilder på lysbilder. C) du kan overføre tegningen ved å ta tak i midten med musen. Sett inn bilder på et lysbilde. Kommunal utdanningsinstitusjon, ungdomsskole nr. 5. 95% av informasjonen oppfattes av en person ved hjelp av synsorganene ...

"Funksjoner og deres grafer" - 3. Tangentfunksjonen. Trigonometrisk. Funksjonen er definert og kontinuerlig på hele settet med reelle tall. Definisjon: En numerisk funksjon gitt av formelen y = cos x kalles en cosinus. 4.Cotangens funksjon. Ved punktet x = a selv, kan funksjonen eksistere eller ikke eksistere. Definisjon 1. La funksjonen y = f (x) defineres på et intervall.

"Funksjoner av flere variabler" - De største og minste verdiene av funksjonen. Weierstrass teorem. Interiør og endepunkter. Grense for en funksjon av 2 variabler. Funksjonsgraf. Teorem. Kontinuitet. Begrenset areal. Åpent og lukket område. Høyere ordens derivater. Partielle derivater. Delvise økninger av en funksjon av 2 variabler.

"3d-tegninger på fortauet" - Kurt begynte å lage sine første verk i en alder av 16 i Santa Barbara, hvor han ble avhengig av gatekunst. 3d tegninger på asfalten. Kurt Wenner er en av de mest kjente gatekunstnerne som tegner 3D-tegninger på asfalt ved hjelp av vanlige fargestifter. USA. I ungdommen jobbet Kurt Wenner som illustratør ved NASA, hvor han laget de første bildene av fremtidige romskip.

«Temafunksjon» – Hvis elevene jobber på ulike måter, så bør læreren jobbe med dem på ulike måter. Det er nødvendig å finne ut ikke hva eleven ikke vet, men hva han vet. Generalisering. Syntese. Resultatene av eksamen i matematikk. Valgfritt kursprogram. Assosiasjon. Pedagogisk og tematisk plan (24 timer). Analogi. Hvis en elev har overgått læreren, er dette lærerens lykke.

Som praksis viser, forårsaker oppgaver for egenskapene og grafene til en kvadratisk funksjon alvorlige vanskeligheter. Dette er ganske rart, for den andregradsfunksjonen er bestått i 8. klasse, og så blir hele første kvartal av 9. klasse "tvunget ut" egenskapene til parablen og dens grafer plottes for ulike parametere.

Dette skyldes det faktum at ved å tvinge elevene til å bygge parabler, bruker de praktisk talt ikke tid til å "lese" grafer, det vil si at de ikke øver seg på å forstå informasjonen som er hentet fra bildet. Tilsynelatende antas det at etter å ha bygget et dusin grafer, vil en smart student selv oppdage og formulere forholdet mellom koeffisientene i formelen og utseendet til grafen. I praksis går ikke dette. For en slik generalisering kreves seriøs erfaring med matematisk miniforskning, noe de fleste niendeklassinger selvsagt ikke har. I mellomtiden foreslår GIA å bestemme tegnene til koeffisientene nøyaktig i henhold til tidsplanen.

Vi vil ikke kreve det umulige fra skolebarn og vil ganske enkelt tilby en av algoritmene for å løse slike problemer.

Altså en funksjon av skjemaet y = akse 2 + bx + c kalles kvadratisk, grafen er en parabel. Som navnet antyder, er hovedbegrepet øks 2... Det er en skal ikke være null, andre koeffisienter ( b og Med) kan være lik null.

La oss se hvordan tegnene på koeffisientene påvirker utseendet til en parabel.

Det enkleste forholdet for koeffisienten en... De fleste skoleelever svarer selvsikkert: "hvis en> 0, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis en < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой en > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

I dette tilfellet en = 0,5

Og nå for en < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I dette tilfellet en = - 0,5

Påvirkning av koeffisienten Med er også lett nok å spore. La oss forestille oss at vi ønsker å finne verdien av funksjonen ved punktet X= 0. Erstatt null i formelen:

y = en 0 2 + b 0 + c = c... Det viser seg at y = c... Det er Med er ordinaten til skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Vanligvis er dette punktet lett å finne på et diagram. Og avgjør om den ligger over null eller under. Det er Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Følgelig, hvis Med= 0, da vil parabelen nødvendigvis gå gjennom origo:

y = x 2 + 4x

Vanskeligere med parameteren b... Punktet vi vil finne det avhenger ikke bare av b men også fra en... Dette er toppen av parabelen. Abscissen (koordinat langs aksen X) finnes av formelen x i = - b / (2a)... På denne måten, b = - 2х в... Det vil si at vi handler som følger: på diagrammet finner vi toppen av parabelen, vi bestemmer tegnet på abscissen, det vil si at vi ser til høyre for null ( x inn> 0) eller til venstre ( x inn < 0) она лежит.

Dette er imidlertid ikke alt. Vi må også ta hensyn til koeffisientens tegn en... Det vil si å se hvor grenene til parablen er rettet. Og først etter det, i henhold til formelen b = - 2х в identifisere skiltet b.

La oss vurdere et eksempel:

Grenene er rettet oppover, som betyr en> 0, parablen krysser aksen på under null betyr Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inn> 0. Derfor b = - 2х в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: en > 0, b < 0, Med < 0.

Lineær funksjon kalles en funksjon av formen y = kx + b gitt på settet av alle reelle tall. Her k- skråning (reelt tall), b – fri termin (reelt tall), x Er den uavhengige variabelen.

I et spesielt tilfelle, hvis k = 0, får vi en konstant funksjon y = b, hvis graf er en rett linje parallelt med Ox-aksen som går gjennom et punkt med koordinater (0; b).

Hvis b = 0, så får vi funksjonen y = kx, som er direkte proporsjonalitet.

b – segmentlengde, som er avskåret av linjen langs Oy-aksen, regnet fra origo.

Den geometriske betydningen av koeffisienten k – vippevinkel en rett linje til den positive retningen til Ox-aksen, telles mot klokken.

Lineære funksjonsegenskaper:

1) Domenet til en lineær funksjon er hele den reelle aksen;

2) Hvis k ≠ 0, da er verdiområdet til den lineære funksjonen hele den reelle aksen. Hvis k = 0, så består verdiområdet til den lineære funksjonen av tallet b;

3) Jevnhet og oddelighet av en lineær funksjon avhenger av verdiene til koeffisientene k og b.

en) b ≠ 0, k = 0, derfor, y = b - jevn;

b) b = 0, k ≠ 0, derfor y = kx - oddetall;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, derfor y = kx + b er en generell funksjon;

d) b = 0, k = 0, derfor y = 0 - både partall og oddetall funksjon.

4) Den lineære funksjonen har ikke periodisitetsegenskapen;

5) Skjæringspunkter med koordinatakser:

Okse: y = kx + b = 0, x = -b / k, derfor (-b / k; 0)- skjæringspunktet med abscisseaksen.

Oi: y = 0k + b = b, derfor (0; b)- skjæringspunktet med ordinataksen.

Merk: Hvis b = 0 og k = 0, deretter funksjonen y = 0 forsvinner for en hvilken som helst verdi av variabelen X... Hvis b ≠ 0 og k = 0, deretter funksjonen y = b forsvinner ikke for noen verdi av variabelen X.

6) Intervallene for konstant fortegn avhenger av koeffisienten k.

en) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- er positiv til x fra (-b / k; + ∞),

y = kx + b- er negativ kl x fra (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- er positiv til x fra (-∞; -b / k),

y = kx + b- er negativ kl x fra (-b / k; + ∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b er positiv over hele definisjonsdomenet,

k = 0, b< 0; y = kx + b er negativ gjennom hele domenet.

7) Monotonisitetsintervallene til den lineære funksjonen avhenger av koeffisienten k.

k> 0, derfor y = kx + bøker over hele definisjonsdomenet,

k< 0 , derfor y = kx + b avtar over hele definisjonsdomenet.

8) Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. For å bygge en rett linje er det nok å vite to punkter. Plasseringen av den rette linjen på koordinatplanet avhenger av verdiene til koeffisientene k og b... Nedenfor er en tabell som tydelig illustrerer dette.

En lineær funksjon er en funksjon av formen y = kx + b, gitt på settet av alle reelle tall. Her er k helningen (reelt tall), b er frileddet (reelt tall), x er den uavhengige variabelen.

I det spesielle tilfellet, hvis k = 0, får vi en konstant funksjon y = b, hvis graf er en rett linje parallelt med Ox-aksen som går gjennom et punkt med koordinater (0; b).

Hvis b = 0, får vi funksjonen y = kx, som er en direkte proporsjonalitet.

Den geometriske betydningen av koeffisienten b er lengden på segmentet som er avskåret av den rette linjen langs Oy-aksen, regnet fra origo.

Den geometriske betydningen av koeffisienten k - helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til Ox-aksen, telles mot klokken.

Lineære funksjonsegenskaper:

1) Definisjonsdomenet for en lineær funksjon er hele den reelle aksen;

2) Hvis k ≠ 0, er verdiområdet til den lineære funksjonen hele den reelle aksen. Hvis k = 0, består verdiområdet til den lineære funksjonen av tallet b;

3) Jevnhet og oddelighet av en lineær funksjon avhenger av verdiene til koeffisientene k og b.

a) b ≠ 0, k = 0, derfor er y = b partall;

b) b = 0, k ≠ 0, derfor er y = kx oddetall;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, derfor er y = kx + b en generell funksjon;

d) b = 0, k = 0, derfor er y = 0 både partall og oddetallsfunksjon.

4) Den lineære funksjonen har ikke periodisitetsegenskapen;

Ox: y = kx + b = 0, x = -b / k, derfor er (-b / k; 0) skjæringspunktet med abscisseaksen.

Oy: y = 0k + b = b, derfor er (0; b) skjæringspunktet med y-aksen.

Merk: Hvis b = 0 og k = 0, forsvinner funksjonen y = 0 for enhver verdi av variabelen x. Hvis b ≠ 0 og k = 0, forsvinner ikke funksjonen y = b for noen verdier av variabelen x.

6) Intervallene for fortegnskonstans avhenger av koeffisienten k.

a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b - positiv for x fra (-b / k; + ∞),

y = kx + b - negativ for x fra (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - er positiv for x fra (-∞; -b / k),

y = kx + b - negativ for x fra (-b / k; + ∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b er positiv over hele domenet,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Monotonisitetsintervallene til den lineære funksjonen avhenger av koeffisienten k.

k> 0, derfor øker y = kx + b over hele domenet,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. For å bygge en rett linje er det nok å vite to punkter. Posisjonen til den rette linjen på koordinatplanet avhenger av verdiene til koeffisientene k og b. Nedenfor er en tabell som tydelig illustrerer dette i figur 1. (Figur 1)

Eksempel: Tenk på følgende lineære funksjon: y = 5x - 3.

3) Generell funksjon;

4) Ikke-periodisk;

5) Skjæringspunkter med koordinataksene:

Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, derfor er (3/5; 0) skjæringspunktet med abscisseaksen.

Oy: y = -3, derfor er (0; -3) skjæringspunktet med y-aksen;

6) y = 5x - 3 - positiv for x fra (3/5; + ∞),

y = 5x - 3 - negativ for x fra (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 økninger over hele definisjonsdomenet;

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

En lineær funksjon er en funksjon av formen y = kx + b, der x er en uavhengig variabel, k og b er alle tall.
Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.

1. For å plotte en funksjonsgraf, vi trenger koordinatene til to punkter som tilhører grafen til funksjonen. For å finne dem, må du ta to verdier av x, erstatte dem i ligningen til funksjonen, og fra dem beregne de tilsvarende verdiene til y.

For å plotte funksjonen y = x + 2 for eksempel, er det praktisk å ta x = 0 og x = 3, da vil ordinatene til disse punktene være lik y = 2 og y = 3. Vi får punktene A (0; 2) og B (3; 3). Vi kobler dem sammen og får grafen til funksjonen y = x + 2:

2. I formelen y = kx + b kalles tallet k proporsjonalitetskoeffisienten:
hvis k> 0, så øker funksjonen y = kx + b
hvis k
Koeffisienten b viser forskyvningen av funksjonsgrafen langs OY-aksen:
hvis b> 0, så hentes grafen til funksjonen y = kx + b fra grafen til funksjonen y = kx ved å flytte b enheter opp langs OY-aksen
hvis b
Figuren under viser grafene til funksjonene y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3

Merk at i alle disse funksjonene er koeffisienten k Over null, og funksjoner er økende. Dessuten, jo større verdien av k er, desto større er helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til OX-aksen.

I alle funksjoner b = 3 - og vi ser at alle grafer skjærer OY-aksen i punktet (0; 3)

Tenk nå på grafene til funksjonene y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

Denne gangen, i alle funksjoner, er koeffisienten k mindre enn null, og funksjoner avta. Koeffisient b = 3, og grafene, som i forrige tilfelle, skjærer OY-aksen i punktet (0; 3)

Tenk på grafene til funksjonene y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Nå i alle funksjonsligninger er koeffisientene k lik 2. Og vi fikk tre parallelle rette linjer.

Men b-koeffisientene er forskjellige, og disse grafene skjærer OY-aksen på forskjellige punkter:
Grafen til funksjonen y = 2x + 3 (b = 3) krysser OY-aksen i punktet (0; 3)
Grafen til funksjonen y = 2x (b = 0) skjærer OY-aksen i punktet (0; 0) - origo.
Grafen til funksjonen y = 2x-3 (b = -3) krysser OY-aksen i punktet (0; -3)

Så hvis vi kjenner tegnene til koeffisientene k og b, kan vi umiddelbart forestille oss hvordan grafen til funksjonen y = kx + b ser ut.
Hvis k 0

Hvis k> 0 og b> 0, så har grafen til funksjonen y = kx + b formen:

Hvis k> 0 og b, så har grafen til funksjonen y = kx + b formen:

Hvis k, så har grafen til funksjonen y = kx + b formen:

Hvis k = 0, så blir funksjonen y = kx + b til funksjonen y = b og grafen ser slik ut:

Ordinatene til alle punktene i grafen til funksjonen y = b er lik b If b = 0, så går grafen til funksjonen y = kx (direkte proporsjonalitet) gjennom origo:

3. Separat legger vi merke til grafen til ligningen x = a. Grafen til denne ligningen er en rett linje parallelt med OY-aksen, der alle punkter har en abscisse x = a.

For eksempel ser grafen til ligningen x = 3 slik ut:
Merk følgende! Ligningen x = a er ikke en funksjon, siden en verdi av argumentet tilsvarer forskjellige verdier av funksjonen, som ikke samsvarer med definisjonen av funksjonen.

4. Betingelsen for parallelliteten til to linjer:

Grafen til funksjonen y = k 1 x + b 1 er parallell med grafen til funksjonen y = k 2 x + b 2, hvis k 1 = k 2

5. Betingelsen for vinkelrettheten til to rette linjer:

Grafen til funksjonen y = k 1 x + b 1 er vinkelrett på grafen til funksjonen y = k 2 x + b 2 hvis k 1 * k 2 = -1 eller k 1 = -1 / k 2

6. Skjæringspunkter for grafen til funksjonen y = kx + b med koordinataksene.

Med OY-aksen. Abscissen til ethvert punkt som tilhører OY-aksen er null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OY-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for x. Vi får y = b. Det vil si at skjæringspunktet med OY-aksen har koordinater (0; b).

Med OX-akse: Ordinaten til ethvert punkt som tilhører OX-aksen er null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OX-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for y. Vi får 0 = kx + b. Derfor x = -b / k. Det vil si at skjæringspunktet med OX-aksen har koordinater (-b / k; 0):