La x være en vilkårlig punktis i et eller annet nabolag til et fast punkt x 0. forskjellen x - x 0 kalles vanligvis inkrementet til den uavhengige variabelen (eller inkrementet til argumentet) i punktet x 0 og er betegnet med Δx. På denne måten,

Δx = x –x 0,

hvor det følger det

Funksjonsøkning - forskjellen mellom de to verdiene til funksjonen.

La funksjonen på = f (x), definert når verdien av argumentet er lik X 0. Gi argumentet en økning D X, ᴛ.ᴇ. vurdere verdien av argumentet lik x 0 + D X... Anta at denne argumentverdien også er innenfor omfanget av denne funksjonen. Så forskjellen D y = f (x 0 + D X) – f (x 0) det er vanlig å kalle funksjonen inkrement. Funksjonsøkning f(x) på punktet x er en funksjon vanligvis betegnet med Δ x f på den nye variabelen Δ x definert som

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Finn økningen til argumentet og økningen av funksjonen ved punktet x 0, if

Eksempel 2. Finn økningen til funksjonen f (x) = x 2, hvis x = 1, ∆x = 0,1

Løsning: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Finn økningen til funksjonen ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Ved å erstatte verdiene x = 1 og ∆х = 0,1 får vi ∆f = 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 = 0,2 + 0,01 = 0,21

Finn økningen til argumentet og økningen av funksjonen ved punktet x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0,8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Definisjon: Avledet funksjon på et punkt, er det vanlig å kalle grensen (hvis den eksisterer og er endelig) for forholdet mellom funksjonsøkningen og argumentøkningen, forutsatt at sistnevnte har en tendens til null.

Følgende derivatbetegnelser er mest brukt:

På denne måten,

Å finne den deriverte kalles vanligvis differensiering ... Introdusert definisjon av differensierbar funksjon: En funksjon f som har en derivert i hvert punkt i et bestemt intervall kalles vanligvis differensierbar på et gitt intervall.

La en funksjon være definert i et eller annet område av et punkt; U(x 0) kan representeres som

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)

hvis det finnes.

Bestemmelse av den deriverte av en funksjon i et punkt.

La funksjonen f (x) definert i intervallet (a; b), og er punktene i dette intervallet.

Definisjon... Derivativ funksjon f (x) på et tidspunkt er det vanlig å kalle grensen for forholdet mellom funksjonen inkrement til argumentet inkrement ved. Det er indikert.

Når den siste grensen får en bestemt sluttverdi, snakker de om eksistensen den endelige deriverte på punktet... Hvis grensen er uendelig, så sier de det avledet er uendelig på et gitt punkt... Hvis grensen ikke finnes, da den deriverte av funksjonen eksisterer ikke på dette tidspunktet.

Funksjon f (x) kalles differensierbar på et punkt når den har en endelig derivert.

Hvis funksjonen f (x) differensierbar på hvert punkt i et eller annet intervall (a; b), så kalles funksjonen differensierbar på dette intervallet. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, hvilket som helst punkt x i mellom (a; b) vi kan assosiere verdien av den deriverte av funksjonen på dette tidspunktet, det vil si at vi har muligheten til å definere en ny funksjon, som kalles den deriverte av funksjonen f (x) på intervallet (a; b).

Operasjonen med å finne en derivert kalles vanligvis differensiering.

1. argumentøkning og funksjonsøkning.

La en funksjon gis. La oss ta to verdier av argumentet: initial og modifisert, som vanligvis betegnes
, hvor - verdien som argumentet endres med når det går fra den første verdien til den andre, kalles det ved å øke argumentasjonen.

Argumentverdier og tilsvarer spesifikke funksjonsverdier: initial og modifisert
, verdien , som verdien av funksjonen endres når argumentet endres med et beløp, kalles med funksjonsøkningen.

2. konseptet med grensen for en funksjon i et punkt.

Nummer kalt grensen for funksjonen
når du pleier hvis for et hvilket som helst nummer
det er et slikt tall
det for alle
tilfredsstiller ulikheten
, ulikheten
.

Andre definisjon: Et tall kalles grensen for en funksjon som har en tendens til, hvis det for et hvilket som helst tall er et nabolag av punktet slik at for noen av dette nabolaget. Angitt
.

3. uendelig store og uendelige små funksjoner i et punkt. En infinitesimal funksjon i et punkt er en funksjon hvis grense når den tenderer til et gitt punkt er null. En uendelig stor funksjon i et punkt er en funksjon hvis grense når den tenderer til et gitt punkt er lik uendelig.

4. hovedteoremer om grenser og deres konsekvenser (uten bevis).

konsekvens: konstantfaktoren kan tas ut av grensetegnet:

Hvis sekvensene og konverger og grensen for sekvensen er ikke null, da

konsekvens: konstantfaktoren kan tas ut av grensetegnet.

11.hvis det er grenser for funksjoner
og
og grensen for funksjonen er ikke null,

så er det også en grense for deres forhold, lik forholdet mellom grensene for funksjoner og:

.

12.hvis
, deretter
, det motsatte er også sant.

13. teorem om grensen for mellomsekvensen. Hvis sekvensene
konvergerer, og
og
deretter

5. grensen for funksjonen ved uendelig.

Tallet a kalles grensen for en funksjon ved uendelig (som x har en tendens til uendelig) hvis for en hvilken som helst sekvens som tenderer mot uendelig
det tilsvarer en sekvens av verdier som har en tendens til tallet en.

6. g er grensene for en numerisk sekvens.

Nummer en kalles grensen for en numerisk sekvens hvis for et positivt tall det er et naturlig tall N slik at for alle n> N ulikheten holder
.

Dette er symbolsk definert som følger:
rettferdig .

Det faktum at antallet en er sekvensgrensen, angitt som følger:

.

7. tallet "e". naturlige logaritmer.

Nummer "E" representerer grensen for en tallsekvens, n- hvis medlem
, dvs.

.

Naturlig logaritme - logaritme med grunntall e. naturlige logaritmer er angitt
uten å spesifisere grunnlaget.

Nummer
lar deg bytte fra desimal til naturlig logaritme og tilbake.

, kalles det overgangsmodulen fra naturlige logaritmer til desimal.

8.bemerkelsesverdige grenser
,

.

Første bemerkelsesverdige grense:

altså kl

ved den mellomliggende sekvensgrensesetningen

andre bemerkelsesverdige grense:

.

For å bevise eksistensen av grensen
bruk lemmaet: for et hvilket som helst reelt tall
og
ulikheten er sann
(2) (for
eller
ulikhet blir til likhet.)

Sekvens (1) kan skrives som følger:

.

Vurder nå en hjelpesekvens med en felles term
sørg for at den minker og er avgrenset nedenfra:
hvis
, da reduseres sekvensen. Hvis
, så er sekvensen avgrenset nedenfra. La oss vise dette:

på grunn av likestilling (2)

dvs.
eller
... Det vil si at sekvensen er avtagende, siden sekvensen er avgrenset nedenfra. Hvis sekvensen er avtagende og avgrenset nedenfra, har den en grense. Deretter

har en grense og rekkefølge (1), siden

og
.

L. Euler kalte denne grensen .

9. ensidige grenser, funksjonsgap.

nummer A er venstre grense hvis følgende er sant for en hvilken som helst sekvens:.

nummer A er rett grense hvis følgende er sant for en hvilken som helst sekvens:.

Hvis på punktet en som tilhører definisjonsdomenet for funksjonen eller dens grense, brytes funksjonens kontinuitetsbetingelse, så punktet en kalles et diskontinuitetspunkt eller diskontinuitet for en funksjon.

12. summen av medlemmene av en uendelig avtagende geometrisk progresjon. En geometrisk progresjon er en sekvens der forholdet mellom neste og forrige medlemmer forblir uendret, dette forholdet kalles nevneren for progresjonen. Summen av den første n medlemmer av en geometrisk progresjon uttrykkes med formelen
det er praktisk å bruke denne formelen for en avtagende geometrisk progresjon - en progresjon der den absolutte verdien av nevneren er mindre enn null. - det første medlemmet; - nevneren for progresjonen; - nummeret til det tatt medlem av sekvensen. Summen av en uendelig avtagende progresjon er et tall som summen av de første medlemmene av en synkende progresjon nærmer seg uendelig med en ubegrenset økning i antallet.
deretter. Summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon er .

Definisjon 1

Hvis for hvert par $ (x, y) $ av verdier av to uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ z $, så sies $ z $ å være en funksjon av to variabler $ (x, y) $. Notasjon: $ z = f (x, y) $.

Med hensyn til funksjonen $ z = f (x, y) $, vurder begrepene generelle (hele) og partielle inkrementer av en funksjon.

La en funksjon $ z = f (x, y) $ av to uavhengige variabler $ (x, y) $ gis.

Merknad 1

Siden variablene $ (x, y) $ er uavhengige, kan en av dem endres, mens den andre forblir konstant.

La oss gi variabelen $ x $ en økning på $ \ Delta x $, mens verdien av variabelen $ y $ holdes uendret.

Da vil funksjonen $ z = f (x, y) $ motta en inkrement, som vil bli kalt den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til variabelen $ x $. Betegnelse:

På samme måte, la oss gi variabelen $ y $ en økning på $ \ Delta y $, mens verdien av variabelen $ x $ holdes uendret.

Da vil funksjonen $ z = f (x, y) $ motta en inkrement, som vil bli kalt den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til variabelen $ y $. Betegnelse:

Hvis argumentet $ x $ er gitt inkrementet $ \ Delta x $, og argumentet $ y $ - inkrementet $ \ Delta y $, så er hele inkrementet til den gitte funksjonen $ z = f (x, y) $ oppnådd. Betegnelse:

Dermed har vi:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Eksempel 1

Løsning:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ er den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ i forhold til $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Eksempel 2

Beregn kvotienten og den totale økningen av funksjonen $ z = xy $ i punktet $ (1; 2) $ for $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ i forhold til $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ y $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Derfor,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Merknad 2

Den totale økningen av en gitt funksjon $ z = f (x, y) $ er ikke lik summen av dens partielle inkrementer $ \ Delta _ (x) z $ og $ \ Delta _ (y) z $. Matematisk notasjon: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Eksempel 3

Sjekk påstandsanmerkning for funksjon

Løsning:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (oppnådd i eksempel 1)

Finn summen av de partielle inkrementene til den gitte funksjonen $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definisjon 2

Hvis for hver trippel $ (x, y, z) $ av verdier av tre uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ w $, så sies $ w $ å være en funksjon av tre variabler $ ( x, y, z) $ i dette området.

Notasjon: $ w = f (x, y, z) $.

Definisjon 3

Hvis for hver samling $ (x, y, z, ..., t) $ av verdier av uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ w $, så sies $ w $ å være en funksjon av variablene $ (x, y, z, ..., t) $ i dette domenet.

Notasjon: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

For en funksjon av tre eller flere variabler, på samme måte som for en funksjon av to variabler, bestemmes partielle inkrementer for hver av variablene:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ ved $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z, ..., t) $ med $ t $.

Eksempel 4

Skriv kvotienten og den totale økningen til en funksjon

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ z $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - full økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ .

Eksempel 5

Beregn kvotienten og den totale økningen av funksjonen $ w = xyz $ i punktet $ (1; 2; 1) $ for $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ z $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - full økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $.

Derfor,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Fra et geometrisk synspunkt er den totale økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ (per definisjon, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) er lik inkrementet til plottapplikasjonsfunksjonen $ z = f (x, y) $ når du går fra punkt $ M (x, y) $ til punkt $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (fig. 1).

Bilde 1.

i medisinsk og biologisk fysikk

FOREDRAG nr. 1

DERIVAT- OG DIFFERENSIALFUNKSJON.

PRIVATE DERIVATER.

1. Konseptet med et derivat, dets mekaniske og geometriske betydning.

en ) Argumenter og funksjoner.

La funksjonen y = f (x) gis, hvor x er verdien av argumentet fra funksjonens domene. Hvis vi velger to verdier av argumentet xo og x fra et visst intervall av domenet til funksjonen, kalles forskjellen mellom de to verdiene til argumentet økningen av argumentet: x - xo = ∆x .

Verdien av argumentet x kan bestemmes gjennom x 0 og dets inkrement: x = x o + ∆x.

Forskjellen mellom to verdier av funksjonen kalles inkrementet til funksjonen: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Økningen av argumentet og funksjonen kan representeres grafisk (fig. 1). Argumentøkninger og funksjonsøkninger kan være enten positive eller negative. Som det følger av figur 1 geometrisk, er inkrementet til argumentet ∆х avbildet av inkrementet til abscissen, og inkrementet til funksjonen ∆у er representert ved inkrementet til ordinaten. Beregningen av funksjonsøkningen bør utføres i følgende rekkefølge:

gi argumentet en økning ∆x og få verdien - x + ∆x;

2) vi finner verdien av funksjonen for verdien av argumentet (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) vi finner inkrementet til funksjonen ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Eksempel: Bestem økningen av funksjonen y = x 2 hvis argumentet har endret seg fra x o = 1 til x = 3. For punktet x o verdien av funksjonen f (x o) = x² o; for punktet (x о + ∆х) verdien av funksjonen f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = x² о + 2х о ∆х + ∆х 2, hvorav ∆f = f (x о + ∆х) –f (x о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Oppgaver som fører til begrepet et derivat. Definisjon av et derivat, dets fysiske betydning.

Konseptet med et argument- og funksjonsvekst er nødvendig for å introdusere konseptet med en derivativ, som historisk oppsto fra behovet for å bestemme hastigheten til visse prosesser.

Vurder hvordan du kan bestemme hastigheten på rettlinjet bevegelse. La kroppen bevege seg rettlinjet i henhold til loven: ∆Ѕ =  · ∆t. For jevn bevegelse:  = ∆Ѕ / ∆t.

For variabel bevegelse bestemmer verdien av ∆Ѕ / ∆t verdien av av. , dvs. jfr. = ∆Ѕ / ∆t. Men gjennomsnittshastigheten gjør det ikke mulig å reflektere egenskapene til kroppens bevegelser og gi en ide om den sanne hastigheten på tidspunktet t. Med en nedgang i tidsintervallet, dvs. ved ∆t → 0, tenderer gjennomsnittshastigheten til sin grense - den øyeblikkelige hastigheten:

 øyeblikkelig =
 Ons =
∆Ѕ / ∆t.

Den øyeblikkelige hastigheten til en kjemisk reaksjon bestemmes på samme måte:

 øyeblikkelig =
 Ons =
∆х / ∆t,

hvor x er mengden stoff som dannes under en kjemisk reaksjon i løpet av tiden t. Lignende oppgaver for å bestemme hastigheten til ulike prosesser førte til introduksjonen av konseptet med den deriverte av en funksjon i matematikk.

La en kontinuerlig funksjon f (x) gis, definert på intervallet] a, i [og dens inkrement ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
er en funksjon av ∆x og uttrykker den gjennomsnittlige endringshastigheten til funksjonen.

Forholdsgrense , når ∆х → 0, forutsatt at denne grensen eksisterer, kalles den deriverte av funksjonen :

y "x =

.

Den deriverte er betegnet:
- (primtall x slag); f " (x) - (eff slag med x) ; y "- (strek); dy / dх – (de igrek po de iks); - (spill med en prikk).

Basert på definisjonen av den deriverte, kan vi si at den øyeblikkelige hastigheten for rettlinjet bevegelse er den tidsderiverte av banen:

 øyeblikkelig = S "t = f " (t).

Dermed kan vi konkludere med at den deriverte av funksjonen med hensyn til argumentet x er den øyeblikkelige endringshastigheten til funksjonen f (x):

y "x = f " (x) =  øyeblikk.

Dette er den fysiske betydningen av derivatet. Prosessen med å finne en derivert kalles differensiering, så uttrykket "differensiere en funksjon" tilsvarer uttrykket "finn den deriverte av en funksjon".

v)Den geometriske betydningen av derivatet.

P
den deriverte av funksjonen y = f (x) har en enkel geometrisk betydning assosiert med konseptet med en tangent til en buet linje på et eller annet punkt M. Dessuten er tangenten, dvs. en rett linje uttrykkes analytisk som y = kx = tanx, hvor – hellingsvinkelen til tangenten (rett linje) til X-aksen La oss representere en kontinuerlig kurve som funksjon av y = f (x), ta et punkt M på kurven og et punkt M 1 nær denne og gi en sekant gjennom dem. Helningen til sek = tan β = Hvis punktet М 1 bringes nærmere M, vil inkrementet til argumentet ∆х vil tendere til null, og sekanten ved β = α vil ta posisjonen til tangenten. Fra fig. 2 følger: tgα =
tgβ =
= y "x. Men tgα er lik helningen til tangenten til grafen til funksjonen:

k = tgα =
= y "x = f " (X). Så helningen til tangenten til grafen til funksjonen ved et gitt punkt er lik verdien av dens deriverte ved tangenspunktet. Dette er den geometriske betydningen av derivatet.

G)Generell regel for å finne den deriverte.

Basert på definisjonen av et derivat, kan prosessen med å differensiere en funksjon representeres som følger:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

finn økningen til funksjonen: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

utgjør forholdet mellom funksjonen inkrement og argumentet inkrement:

;

Eksempel: f (x) = x 2; f " (x) = ?.

Men som det kan sees selv fra dette enkle eksempelet, er anvendelsen av den spesifiserte sekvensen når du tar derivater en arbeidskrevende og kompleks prosess. Derfor, for ulike funksjoner, introduseres generelle formler for differensiering, som presenteres i form av en tabell "Grunnleggende formler for differensiering av funksjoner".

Definisjon 1

Hvis for hvert par $ (x, y) $ av verdier av to uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ z $, så sies $ z $ å være en funksjon av to variabler $ (x, y) $. Notasjon: $ z = f (x, y) $.

Med hensyn til funksjonen $ z = f (x, y) $, vurder begrepene generelle (hele) og partielle inkrementer av en funksjon.

La en funksjon $ z = f (x, y) $ av to uavhengige variabler $ (x, y) $ gis.

Merknad 1

Siden variablene $ (x, y) $ er uavhengige, kan en av dem endres, mens den andre forblir konstant.

La oss gi variabelen $ x $ en økning på $ \ Delta x $, mens verdien av variabelen $ y $ holdes uendret.

Da vil funksjonen $ z = f (x, y) $ motta en inkrement, som vil bli kalt den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til variabelen $ x $. Betegnelse:

På samme måte, la oss gi variabelen $ y $ en økning på $ \ Delta y $, mens verdien av variabelen $ x $ holdes uendret.

Da vil funksjonen $ z = f (x, y) $ motta en inkrement, som vil bli kalt den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til variabelen $ y $. Betegnelse:

Hvis argumentet $ x $ er gitt inkrementet $ \ Delta x $, og argumentet $ y $ - inkrementet $ \ Delta y $, så er hele inkrementet til den gitte funksjonen $ z = f (x, y) $ oppnådd. Betegnelse:

Dermed har vi:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Eksempel 1

Løsning:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ er den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ i forhold til $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Eksempel 2

Beregn kvotienten og den totale økningen av funksjonen $ z = xy $ i punktet $ (1; 2) $ for $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ i forhold til $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ y $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Derfor,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Merknad 2

Den totale økningen av en gitt funksjon $ z = f (x, y) $ er ikke lik summen av dens partielle inkrementer $ \ Delta _ (x) z $ og $ \ Delta _ (y) z $. Matematisk notasjon: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Eksempel 3

Sjekk påstandsanmerkning for funksjon

Løsning:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (oppnådd i eksempel 1)

Finn summen av de partielle inkrementene til den gitte funksjonen $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definisjon 2

Hvis for hver trippel $ (x, y, z) $ av verdier av tre uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ w $, så sies $ w $ å være en funksjon av tre variabler $ ( x, y, z) $ i dette området.

Notasjon: $ w = f (x, y, z) $.

Definisjon 3

Hvis for hver samling $ (x, y, z, ..., t) $ av verdier av uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ w $, så sies $ w $ å være en funksjon av variablene $ (x, y, z, ..., t) $ i dette domenet.

Notasjon: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

For en funksjon av tre eller flere variabler, på samme måte som for en funksjon av to variabler, bestemmes partielle inkrementer for hver av variablene:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ ved $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z, ..., t) $ med $ t $.

Eksempel 4

Skriv kvotienten og den totale økningen til en funksjon

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ z $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - full økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ .

Eksempel 5

Beregn kvotienten og den totale økningen av funksjonen $ w = xyz $ i punktet $ (1; 2; 1) $ for $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ z $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - full økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $.

Derfor,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Fra et geometrisk synspunkt er den totale økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ (per definisjon, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) er lik inkrementet til plottapplikasjonsfunksjonen $ z = f (x, y) $ når du går fra punkt $ M (x, y) $ til punkt $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (fig. 1).

Bilde 1.