Hvis hvert naturlig tall n samsvarer med et reelt tall en n , så sier de at gitt nummerrekkefølge :
en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n , . . . .
Så en numerisk sekvens er en funksjon av et naturlig argument.
Nummer en 1 kalt det første medlemmet av sekvensen , Nummer en 2 — det andre medlemmet av sekvensen , Nummer en 3 — tredje etc. Nummer en n kalt nte medlem av sekvensen , og det naturlige tallet n — nummeret hans .
Fra to nabomedlemmer en n og en n +1 medlemssekvenser en n +1 kalt senere (mot en n ), a en n — tidligere (mot en n +1 ).
For å spesifisere en sekvens, må du spesifisere en metode som lar deg finne et sekvensmedlem med et hvilket som helst tall.
Ofte er rekkefølgen gitt med nth term formler , det vil si en formel som lar deg bestemme et sekvensmedlem etter nummeret.
For eksempel,
sekvensen av positive oddetall kan gis av formelen
en n= 2n- 1,
og sekvensen av alternerende 1 og -1 - formel
b n = (-1)n +1 . ◄
Rekkefølgen kan bestemmes tilbakevendende formel, det vil si en formel som uttrykker et hvilket som helst medlem av sekvensen, starter med noen, gjennom de forrige (ett eller flere) medlemmene.
For eksempel,
hvis en 1 = 1 , a en n +1 = en n + 5
en 1 = 1,
en 2 = en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
en 3 = en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
en 4 = en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
en 5 = en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Hvis en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , deretter settes de første syv medlemmene av den numeriske sekvensen som følger:
en 1 = 1,
en 2 = 1,
en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,
en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,
en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,
en 6 = en 4 + en 5 = 3 + 5 = 8,
en 7 = en 5 + en 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvenser kan være endelig og endeløs .
Sekvensen kalles ultimat hvis den har et begrenset antall medlemmer. Sekvensen kalles endeløs hvis den har uendelig mange medlemmer.
For eksempel,
sekvens av tosifrede naturlige tall:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
endelig.
Primtallssekvens:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endeløs. ◄
Sekvensen kalles økende , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er større enn det forrige.
Sekvensen kalles avtar , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er mindre enn det forrige.
For eksempel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en synkende sekvens. ◄
En sekvens hvis elementer ikke avtar med økende antall, eller omvendt, ikke øker, kalles monoton sekvens .
Monotoniske sekvenser, spesielt, er økende sekvenser og avtagende sekvenser.
Aritmetisk progresjon
Aritmetisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, som det samme tallet legges til.
en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n, . . .
er en aritmetisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:
en n +1 = en n + d,
hvor d - et nummer.
Dermed er forskjellen mellom de neste og de forrige medlemmene av en gitt aritmetisk progresjon alltid konstant:
en 2 - en 1 = en 3 - en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.
Nummer d kalt forskjellen på en aritmetisk progresjon.
For å angi en aritmetisk progresjon, er det nok å spesifisere det første leddet og forskjellen.
For eksempel,
hvis en 1 = 3, d = 4 , så finnes de første fem leddene i sekvensen som følger:
en 1 =3,
en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,
en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,
en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,
en 5 = en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
For en aritmetisk progresjon med første ledd en 1 og forskjell d henne n
en n = en 1 + (n- 1)d.
For eksempel,
finn det trettiende leddet i en aritmetisk progresjon
1, 4, 7, 10, . . .
en 1 =1, d = 3,
en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
en n-1 = en 1 + (n- 2)d,
en n= en 1 + (n- 1)d,
en n +1 = en 1 + nd,
da åpenbart
| en n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de foregående og påfølgende medlemmene.
tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en aritmetisk progresjon hvis og bare hvis en av dem er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre.
For eksempel,
en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progresjon.
La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:
en n = 2n- 7,
en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
en n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Derfor,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = en n,
|
| 2
| 2
|
◄
Noter det n -th medlem av en aritmetisk progresjon kan finnes ikke bare gjennom en 1 , men også alle tidligere en k
en n = en k + (n- k)d.
For eksempel,
til en 5 kan skrives
en 5 = en 1 + 4d,
en 5 = en 2 + 3d,
en 5 = en 3 + 2d,
en 5 = en 4 + d. ◄
en n = en n-k + kd,
en n = a n+k - kd,
da åpenbart
| en n=
| en n-k
+ a n+k
|
| 2
|
ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra den andre, er lik halvparten av summen av medlemmene av denne aritmetiske progresjonen med lik avstand fra den.
I tillegg, for enhver aritmetisk progresjon, er likheten sann:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
For eksempel,
i aritmetisk progresjon
1) en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (en 9 + en 11 )/2;
2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi
en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,
en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,
først n medlemmer av en aritmetisk progresjon er lik produktet av halvparten av summen av ekstremleddene med antall ledd:
Spesielt av dette følger det at dersom det er nødvendig å summere vilkårene
en k, en k +1 , . . . , en n,
da beholder den forrige formelen sin struktur:
For eksempel,
i aritmetisk progresjon 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Hvis en aritmetisk progresjon er gitt, så mengdene en 1 , en n, d, n ogS n koblet sammen med to formler:
Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.
En aritmetisk progresjon er en monoton sekvens. Hvori:
- hvis d > 0 , så øker det;
- hvis d < 0 , da er det minkende;
- hvis d = 0 , da vil sekvensen være stasjonær.
Geometrisk progresjon
geometrisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med samme tall.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
er en geometrisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:
b n +1 = b n · q,
hvor q ≠ 0 - et nummer.
Dermed er forholdet mellom det neste medlemmet av denne geometriske progresjonen til det forrige et konstant tall:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Nummer q kalt nevner for en geometrisk progresjon.
For å angi en geometrisk progresjon er det nok å spesifisere dens første ledd og nevner.
For eksempel,
hvis b 1 = 1, q = -3 , så finnes de første fem leddene i sekvensen som følger:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 og nevner q henne n -te ledd kan finnes ved formelen:
b n = b 1 · q n -1 .
For eksempel,
finn det syvende leddet i en geometrisk progresjon 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
da åpenbart
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
hvert medlem av den geometriske progresjonen, fra den andre, er lik det geometriske gjennomsnittet (proporsjonal) av de forrige og påfølgende elementene.
Siden det motsatte også er sant, gjelder følgende påstand:
tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet til en av dem er lik produktet av de to andre, det vil si at ett av tallene er det geometriske gjennomsnittet av de to andre.
For eksempel,
la oss bevise at sekvensen gitt av formelen b n= -3 2 n , er en geometrisk progresjon. La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Derfor,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
som beviser den nødvendige påstanden. ◄
Noter det n leddet i en geometrisk progresjon kan ikke bare finnes gjennom b 1 , men også en hvilken som helst tidligere periode b k , som det er tilstrekkelig å bruke formelen for
b n = b k · q n - k.
For eksempel,
til b 5 kan skrives
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
da åpenbart
b n 2 = b n - k· b n + k
kvadratet til ethvert medlem av en geometrisk progresjon, fra den andre, er lik produktet av medlemmene av denne progresjonen like langt fra den.
I tillegg, for enhver geometrisk progresjon, er likheten sann:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
For eksempel,
eksponensielt
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
først n medlemmer av en geometrisk progresjon med en nevner q ≠ 0 beregnet med formelen:
Og når q = 1 - i henhold til formelen
S n= n.b. 1
Merk at hvis vi trenger å summere vilkårene
b k, b k +1 , . . . , b n,
så brukes formelen:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
For eksempel,
eksponensielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Hvis en geometrisk progresjon er gitt, så mengdene b 1 , b n, q, n og S n koblet sammen med to formler:
Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.
For en geometrisk progresjon med første ledd b 1 og nevner q følgende finner sted monotoniske egenskaper :
- progresjonen øker hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
b 1 > 0 og q> 1;
b 1 < 0 og 0 < q< 1;
- En progresjon avtar hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
b 1 > 0 og 0 < q< 1;
b 1 < 0 og q> 1.
Hvis q< 0 , da er den geometriske progresjonen fortegnsvekslende: dens oddetallsledd har samme fortegn som dens første ledd, og partallsleddene har motsatt fortegn. Det er klart at en vekslende geometrisk progresjon ikke er monoton.
Produktet av den første n termer for en geometrisk progresjon kan beregnes ved formelen:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
For eksempel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Uendelig avtagende geometrisk progresjon
Uendelig avtagende geometrisk progresjon kalles en uendelig geometrisk progresjon hvis nevnermodul er mindre enn 1 , det er
|q| < 1 .
Merk at en uendelig avtagende geometrisk progresjon kanskje ikke er en avtagende sekvens. Dette passer til saken
1 < q< 0 .
Med en slik nevner er sekvensen fortegnsvekslende. For eksempel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon navngi tallet som summen av den første n vilkår for progresjonen med en ubegrenset økning i antallet n . Dette tallet er alltid endelig og uttrykkes med formelen
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
For eksempel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Sammenheng mellom aritmetiske og geometriske progresjoner
Aritmetiske og geometriske progresjoner er nært beslektet. La oss vurdere bare to eksempler.
en 1 , en 2 , en 3 , . . . d , deretter
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
For eksempel,
1, 3, 5, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell 2 og
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . er en geometrisk progresjon med en nevner 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . er en geometrisk progresjon med en nevner q , deretter
logg a b 1, logg a b 2, logg a b 3, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell logg aq .
For eksempel,
2, 12, 72, . . . er en geometrisk progresjon med en nevner 6 og
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell lg 6 . ◄
Hva er essensen av formelen?
Denne formelen lar deg finne noen VED HANS NUMMER" n" .
Selvfølgelig må du kunne første termin en 1 og progresjonsforskjell d, vel, uten disse parameterne kan du ikke skrive ned en spesifikk progresjon.
Det er ikke nok å huske (eller jukse) denne formelen. Det er nødvendig å assimilere essensen og bruke formelen i forskjellige problemer. Ja, og ikke glem til rett tid, ja ...) Hvordan ikke glem- Jeg vet ikke. Men hvordan huske Hvis det er nødvendig, skal jeg gi deg et hint. For de som mestrer leksjonen til slutten.)
Så, la oss ta for oss formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.
Hva er en formel generelt - vi forestiller oss.) Hva er en aritmetisk progresjon, et medlemsnummer, en progresjonsforskjell - er tydelig angitt i forrige leksjon. Ta en titt hvis du ikke har lest den. Alt er enkelt der. Det gjenstår å finne ut hva nte medlem.
Progresjonen generelt kan skrives som en serie tall:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....
en 1- betegner det første leddet i en aritmetisk progresjon, en 3- tredje medlem en 4- fjerde, og så videre. Hvis vi er interessert i den femte perioden, la oss si at vi jobber med en 5, hvis ett hundre og tjuende - fra en 120.
Hvordan definere generelt noen medlem av en aritmetisk progresjon, s noen Nummer? Veldig enkelt! Som dette:
en n
Det er det det er n-te medlem av en aritmetisk progresjon. Under bokstaven n skjules alle medlemstallene på en gang: 1, 2, 3, 4 og så videre.
Og hva gir en slik plate oss? Bare tenk, i stedet for et tall, skrev de ned en bokstav ...
Denne notasjonen gir oss et kraftig verktøy for å arbeide med aritmetiske progresjoner. Bruke notasjonen en n, kan vi raskt finne noen medlem noen aritmetisk progresjon. Og en haug med oppgaver å løse i progresjon. Du vil se videre.
I formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon:
| a n = a 1 + (n-1)d |
en 1- det første medlemmet av den aritmetiske progresjonen;
n- medlemsnummer.
Formelen kobler sammen nøkkelparametrene for enhver progresjon: a n ; a 1; d og n. Rundt disse parameterne kretser alle gåtene i progresjon.
Den n-te leddformelen kan også brukes til å skrive en spesifikk progresjon. For eksempel, i oppgaven kan det sies at progresjonen er gitt av tilstanden:
a n = 5 + (n-1) 2.
Et slikt problem kan til og med forvirre ... Det er ingen serie, ingen forskjell ... Men ved å sammenligne tilstanden med formelen, er det lett å finne ut at i denne progresjonen a 1 \u003d 5, og d \u003d 2.
Og det kan bli enda sintere!) Hvis vi tar samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, ja, åpne parentesene og gi lignende? Vi får en ny formel:
an = 3 + 2n.
Dette Bare ikke generelt, men for en spesifikk progresjon. Det er her fallgruven ligger. Noen tror at den første terminen er en treer. Selv om det første medlemmet i virkeligheten er en femmer ... Litt lavere vil vi jobbe med en slik modifisert formel.
I oppgaver for progresjon er det en annen notasjon - en n+1. Dette er, du gjettet riktig, "n pluss det første" leddet i progresjonen. Dens betydning er enkel og ufarlig.) Dette er et medlem av progresjonen, hvor tallet er større enn tallet n ganger en. For eksempel hvis i et problem vi tar for en n femte periode altså en n+1 blir det sjette medlemmet. Etc.
Oftest betegnelsen en n+1 forekommer i rekursive formler. Ikke vær redd for dette forferdelige ordet!) Dette er bare en måte å uttrykke et ledd i en aritmetisk progresjon på gjennom den forrige. Anta at vi får en aritmetisk progresjon i denne formen, ved å bruke den tilbakevendende formelen:
a n+1 = a n+3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Den fjerde - gjennom den tredje, den femte - gjennom den fjerde, og så videre. Og hvordan telle umiddelbart, si det tjuende begrepet, en 20? Men ingen måte!) Mens den 19. termen ikke er kjent, kan den 20. ikke telles. Dette er den grunnleggende forskjellen mellom den rekursive formelen og formelen til det n-te leddet. Rekursiv fungerer bare gjennom tidligere begrep, og formelen til n'te ledd - gjennom først og tillater med en gang finn et medlem etter nummeret. Ikke teller hele tallserien i rekkefølge.
I en aritmetisk progresjon kan en rekursiv formel lett gjøres om til en vanlig. Tell et par påfølgende ledd, beregn differansen d, finn om nødvendig første ledd en 1, skriv formelen i vanlig form, og jobb med den. I GIA finnes slike oppgaver ofte.
Anvendelse av formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.
La oss først se på den direkte anvendelsen av formelen. På slutten av forrige leksjon var det et problem:
Gitt en aritmetisk progresjon (a n). Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.
Dette problemet kan løses uten formler, ganske enkelt basert på betydningen av den aritmetiske progresjonen. Legg til, ja legg til ... En time eller to.)
Og i henhold til formelen vil løsningen ta mindre enn et minutt. Du kan time det.) Vi bestemmer.
Betingelsene gir alle data for bruk av formelen: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Det gjenstår å se hva n. Ikke noe problem! Vi må finne en 121. Her skriver vi:
Vær så snill, følg med! I stedet for en indeks n et spesifikt tall dukket opp: 121. Noe som er ganske logisk.) Vi er interessert i medlemmet av den aritmetiske progresjonen nummer hundre og tjueen. Dette blir vår n. Det er denne meningen n= 121 vil vi erstatte videre inn i formelen, i parentes. Bytt ut alle tallene i formelen og beregn:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Det er alt som skal til. Like raskt kunne man finne det fem hundre og tiende medlemmet, og det tusen og tredje, hvilket som helst. Vi setter i stedet nønsket nummer i indeksen til bokstaven " en" og i parentes, og vi vurderer.
La meg minne deg på essensen: denne formelen lar deg finne noen ledd for en aritmetisk progresjon VED HANS NUMMER" n" .
La oss løse problemet smartere. La oss si at vi har følgende problem:
Finn det første leddet i den aritmetiske progresjonen (a n) hvis a 17 =-2; d=-0,5.
Hvis du har noen problemer, vil jeg foreslå det første trinnet. Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon! Ja Ja. Skriv for hånd, rett i notatboken din:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Og nå, når vi ser på bokstavene i formelen, forstår vi hvilke data vi har og hva som mangler? Tilgjengelig d=-0,5, det er et syttende medlem ... Alt? Hvis du tror det er alt, så kan du ikke løse problemet, ja ...
Vi har også et nummer n! I tilstanden a 17 =-2 skjult to alternativer. Dette er både verdien av det syttende medlemmet (-2) og dets nummer (17). De. n=17. Denne "lille tingen" glir ofte forbi hodet, og uten den, (uten "den lille", ikke hodet!) kan ikke problemet løses. Selv om ... og uten hode også.)
Nå kan vi bare dumt erstatte dataene våre med formelen:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Å ja, en 17 vi vet det er -2. Ok, la oss legge det inn:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Det er i hovedsak alt. Det gjenstår å uttrykke det første leddet i den aritmetiske progresjonen fra formelen, og beregne. Du får svaret: a 1 = 6.
En slik teknikk - å skrive en formel og ganske enkelt erstatte kjente data - hjelper mye i enkle oppgaver. Vel, du må selvfølgelig kunne uttrykke en variabel fra en formel, men hva skal du gjøre!? Uten denne ferdigheten kan ikke matematikk studeres i det hele tatt ...
Et annet populært problem:
Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen (a n) hvis a 1 =2; a 15 = 12.
Hva gjør vi? Du vil bli overrasket, vi skriver formelen!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Tenk på hva vi vet: a1=2; a15=12; og (spesielt høydepunkt!) n=15. Erstatt gjerne i formelen:
12=2 + (15-1)d
La oss regne.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Dette er det riktige svaret.
Så, oppgaver en n, en 1 og d besluttet. Det gjenstår å lære hvordan du finner nummeret:
Tallet 99 er medlem av en aritmetisk progresjon (a n), hvor a 1 =12; d=3. Finn nummeret til dette medlemmet.
Vi erstatter de kjente mengdene i formelen til det n-te leddet:
a n = 12 + (n-1) 3
Ved første øyekast er det to ukjente mengder her: a n og n. Men en n er noen medlem av progresjonen med nummeret n... Og dette medlemmet av progresjonen kjenner vi! Det er 99. Vi vet ikke nummeret hans. n, så dette nummeret må også finnes. Bytt ut progresjonsleddet 99 med formelen:
99 = 12 + (n-1) 3
Vi uttrykker fra formelen n, vi tror. Vi får svaret: n=30.
Og nå et problem om samme emne, men mer kreativt):
Bestem om tallet 117 vil være medlem av en aritmetisk progresjon (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
La oss skrive formelen på nytt. Hva, det er ingen alternativer? Hm... Hvorfor trenger vi øyne?) Ser vi det første medlemmet av progresjonen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan trygt skrive: a 1 \u003d -3.6. Forskjell d kan bestemmes ut fra serien? Det er enkelt hvis du vet hva forskjellen på en aritmetisk progresjon er:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Ja, vi gjorde det enkleste. Det gjenstår å forholde seg til et ukjent nummer n og et uforståelig tall 117. I forrige oppgave var det i hvert fall kjent at det var terminen for progresjonen som ble gitt. Men her vet vi ikke engang det ... Hvordan være!? Vel, hvordan være, hvordan være... Slå på dine kreative evner!)
Vi anta at 117 tross alt er et medlem av vår progresjon. Med ukjent nummer n. Og, akkurat som i forrige oppgave, la oss prøve å finne dette nummeret. De. vi skriver formelen (ja-ja!)) og erstatter tallene våre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Igjen uttrykker vi fra formelenn, vi teller og får:
Oops! Tallet viste seg brøkdel! Hundre og en og en halv. Og brøktall i progresjoner Kan ikke være. Hvilken konklusjon trekker vi? Ja! Nummer 117 er ikke medlem av vår progresjon. Det er et sted mellom 101. og 102. medlem. Dersom tallet viste seg å være naturlig, dvs. positivt heltall, så vil tallet være et medlem av progresjonen med det funnet tallet. Og i vårt tilfelle vil svaret på problemet være: Nei.
Oppgave basert på en ekte versjon av GIA:
Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen:
a n \u003d -4 + 6,8n
Finn første og tiende ledd i progresjonen.
Her er progresjonen satt på en uvanlig måte. En slags formel ... Det skjer.) Men denne formelen (som jeg skrev ovenfor) - også formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon! Hun tillater også finn et medlem av progresjonen etter nummeret.
Vi ser etter det første medlemmet. Den som tenker. at første ledd er minus fire, er fatalt feil!) Fordi formelen i oppgaven er modifisert. Det første leddet i en aritmetisk progresjon i den skjult. Ingenting, vi finner det nå.)
Akkurat som i de tidligere oppgavene vikarerer vi n=1 inn i denne formelen:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Her! Første ledd er 2,8, ikke -4!
Tilsvarende ser vi etter den tiende termen:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Det er alt som skal til.
Og nå, for de som har lest opp til disse linjene, den lovede bonusen.)
Anta at du i en vanskelig kampsituasjon med GIA eller Unified State Exam har glemt den nyttige formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon. Noe kommer til tankene, men på en eller annen måte usikkert ... Om n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan være!?
Rolig! Denne formelen er lett å utlede. Ikke veldig streng, men definitivt nok for selvtillit og riktig avgjørelse!) For konklusjonen er det nok å huske den elementære betydningen av den aritmetiske progresjonen og ha et par minutter med tid. Du trenger bare å tegne et bilde. For klarhet.
Vi tegner en numerisk akse og markerer den første på den. andre, tredje osv. medlemmer. Og merk forskjellen d mellom medlemmene. Som dette:
Vi ser på bildet og tenker: hva er det andre leddet lik? Sekund en d:
en 2 =a 1 + 1 d
Hva er den tredje termen? Tredje termin er lik første termin pluss to d.
en 3 =a 1 + 2 d
Forstår du det? Jeg setter ikke noen ord med fet skrift for ingenting. Ok, ett steg til.)
Hva er fjerde termin? Fjerde termin er lik første termin pluss tre d.
en 4 =a 1 + 3 d
Det er på tide å innse at antall hull, dvs. d, alltid ett mindre enn antallet til medlemmet du leter etter n. Det vil si opp til antallet n, antall hull vil n-1. Så formelen vil være (ingen alternativer!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Generelt er visuelle bilder svært nyttige for å løse mange problemer i matematikk. Ikke overse bildene. Men hvis det er vanskelig å tegne et bilde, så ... bare en formel!) I tillegg lar formelen til det n-te leddet deg koble hele det kraftige arsenalet av matematikk til løsningen - likninger, ulikheter, systemer, etc. Du kan ikke sette et bilde inn i en ligning...
Oppgaver for selvstendig beslutning.
For oppvarming:
1. I aritmetisk progresjon (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Finn en 3.
Hint: ifølge bildet er problemet løst på 20 sekunder ... Ifølge formelen viser det seg vanskeligere. Men for å mestre formelen er den mer nyttig.) I seksjon 555 løses dette problemet både med bildet og formelen. Føl forskjellen!)
Og dette er ikke lenger en oppvarming.)
2. I aritmetisk progresjon (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Finn en 3 .
Hva, motvilje mot å tegne et bilde?) Likevel! Det er bedre i formelen, ja ...
3. Aritmetisk progresjon er gitt av tilstanden:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn det hundre og tjuefemte leddet i denne progresjonen.
I denne oppgaven gis progresjonen på en tilbakevendende måte. Men å telle opp til det hundre og tjuefemte ledd... Ikke alle kan gjøre en slik bragd.) Men formelen til det n. ledd er innenfor makten til alle!
4. Gitt en aritmetisk progresjon (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Finn tallet på det minste positive leddet i progresjonen.
5. I henhold til betingelsen i oppgave 4, finn summen av de minste positive og største negative medlemmene av progresjonen.
6. Produktet av femte og tolvte ledd av en økende aritmetisk progresjon er -2,5, og summen av tredje og ellevte ledd er null. Finn en 14.
Ikke den letteste oppgaven, ja ...) Her vil ikke metoden "på fingrene" fungere. Du må skrive formler og løse ligninger.
Svar (i uorden):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Skjedd? Det er fint!)
Ikke alt ordner seg? Det skjer. Forresten, i den siste oppgaven er det ett subtilt poeng. Oppmerksomhet når du leser problemet vil være nødvendig. Og logikk.
Løsningen på alle disse problemene er diskutert i detalj i seksjon 555. Og fantasielementet for det fjerde, og det subtile øyeblikket for det sjette, og generelle tilnærminger for å løse eventuelle problemer for formelen til det n-te leddet - alt er malt. Anbefale.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante sider for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)
du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.
Aritmetiske og geometriske progresjoner
Teoretisk informasjon
Teoretisk informasjon
Aritmetisk progresjon |
Geometrisk progresjon |
|
Definisjon |
Aritmetisk progresjon en n en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik det forrige medlemmet, lagt til med samme nummer d (d- progresjonsforskjell) |
geometrisk progresjon b n en sekvens av tall som ikke er null kalles, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet q (q- nevner for progresjon) |
Tilbakevendende formel |
For enhver naturlig n |
For enhver naturlig n |
nth term formel |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| karakteristisk egenskap |  |
|
| Summen av de første n leddene |  |
 |
Eksempler på oppgaver med kommentarer
Øvelse 1
I aritmetisk progresjon ( en n) en 1 = -6, en 2
I henhold til formelen til det n-te leddet:
en 22 = en 1+ d (22 - 1) = en 1+ 21d
Etter tilstand:
en 1= -6, altså en 22= -6 + 21d.
Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:
d= en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2
en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Svar : en 22 = -48.
Oppgave 2
Finn det femte leddet i den geometriske progresjonen: -3; 6;....
1. vei (bruker n-term formel)
I henhold til formelen til det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Fordi b 1 = -3,
2. vei (ved hjelp av rekursiv formel)
Siden nevneren for progresjonen er -2 (q = -2), så:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Svar : b 5 = -48.
Oppgave 3
I aritmetisk progresjon ( a n) a 74 = 34; en 76= 156. Finn det syttifemte leddet i denne progresjonen.
For en aritmetisk progresjon har den karakteristiske egenskapen formen 
.
Derfor:
.
Bytt ut dataene i formelen:
Svar: 95.
Oppgave 4
I aritmetisk progresjon ( a n ) a n= 3n - 4. Finn summen av de første sytten leddene.
For å finne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon, brukes to formler:
.
Hvilken av dem er mer praktisk å bruke i dette tilfellet?
Ved betingelse er formelen til det n-te medlemmet av den opprinnelige progresjonen kjent ( en n) en n= 3n - 4. Finnes umiddelbart og en 1, og en 16 uten å finne d. Derfor bruker vi den første formelen.
Svar: 368.
Oppgave 5
I aritmetisk progresjon en n) en 1 = -6; en 2= -8. Finn det tjueandre leddet i progresjonen.
I henhold til formelen til det n-te leddet:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = en 1+ 21d.
Etter betingelse, hvis en 1= -6, da en 22= -6 + 21d. Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:
d= en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2
en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Svar : en 22 = -48.
Oppgave 6
Flere påfølgende ledd av en geometrisk progresjon er registrert:
Finn leddet for progresjonen, angitt med bokstaven x .
Når vi løser, bruker vi formelen for n-te ledd b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 for geometriske progresjoner. Det første medlemmet av progresjonen. For å finne nevneren for progresjonen q, må du ta noen av disse termene for progresjonen og dele på den forrige. I vårt eksempel kan du ta og dele med. Vi får at q \u003d 3. I stedet for n, erstatter vi 3 i formelen, siden det er nødvendig å finne det tredje leddet i en gitt geometrisk progresjon.
Ved å erstatte de funnet verdiene i formelen får vi:
.
Svar : .
Oppgave 7
Fra de aritmetiske progresjonene gitt av formelen til det n-te leddet, velg den som betingelsen er oppfylt for en 27 > 9:
Siden den angitte betingelsen må være oppfylt for den 27. terminen av progresjonen, erstatter vi 27 i stedet for n i hver av de fire progresjonene. I den 4. progresjonen får vi:
.
Svar: 4.
Oppgave 8
I aritmetisk progresjon en 1= 3, d = -1,5. Spesifiser den største verdien av n som ulikheten gjelder for en n > -6.
Mange har hørt om en aritmetisk progresjon, men ikke alle er godt klar over hva det er. I denne artikkelen vil vi gi den tilsvarende definisjonen, og også vurdere spørsmålet om hvordan man finner forskjellen på en aritmetisk progresjon, og gi en rekke eksempler.
Matematisk definisjon
Så hvis vi snakker om en aritmetisk eller algebraisk progresjon (disse konseptene definerer det samme), så betyr dette at det er en tallserie som tilfredsstiller følgende lov: hvert to tilstøtende tall i rekken avviker med samme verdi. Matematisk er dette skrevet slik:
Her betyr n tallet på elementet a n i sekvensen, og tallet d er forskjellen på progresjonen (navnet følger av den presenterte formelen).
Hva betyr det å vite forskjellen d? Om hvor langt fra hverandre tilstøtende tall er. Kunnskap om d er imidlertid en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for å bestemme (gjenopprette) hele progresjonen. Du må vite ett tall til, som kan være absolutt et hvilket som helst element i serien som vurderes, for eksempel en 4, a10, men som regel brukes det første tallet, det vil si en 1.
Formler for å bestemme elementene i progresjonen
Generelt er informasjonen ovenfor allerede nok til å gå videre til å løse spesifikke problemer. Likevel, før en aritmetisk progresjon er gitt, og det vil være nødvendig å finne forskjellen, presenterer vi et par nyttige formler, og letter dermed den påfølgende prosessen med å løse problemer.
Det er lett å vise at ethvert element i sekvensen med nummer n kan finnes som følger:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d
Faktisk kan alle sjekke denne formelen med en enkel oppregning: hvis du erstatter n = 1, får du det første elementet, hvis du erstatter n = 2, så gir uttrykket summen av det første tallet og forskjellen, og så videre .
Betingelsene for mange problemer er kompilert på en slik måte at for et kjent tallpar, hvis numre også er gitt i sekvensen, er det nødvendig å gjenopprette hele tallserien (finn forskjellen og det første elementet). Nå skal vi løse dette problemet på en generell måte.
Så la oss si at vi får to elementer med tallene n og m. Ved å bruke formelen ovenfor, kan vi komponere et system med to ligninger:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
For å finne ukjente størrelser bruker vi en velkjent enkel metode for å løse et slikt system: vi trekker fra venstre og høyre del i par, mens likheten forblir gyldig. Vi har:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Dermed har vi eliminert en ukjent (en 1). Nå kan vi skrive det endelige uttrykket for å bestemme d:
d = (a n - a m) / (n - m), hvor n > m
Vi har fått en veldig enkel formel: for å beregne forskjellen d i samsvar med betingelsene for problemet, er det bare nødvendig å ta forholdet mellom forskjellene mellom elementene selv og deres serienumre. Oppmerksomhet bør rettes mot ett viktig punkt: forskjellene tas mellom "senior" og "junior" medlemmene, det vil si n> m ("senior" - som betyr å stå lenger fra begynnelsen av sekvensen, kan dens absolutte verdi være enten mer eller mindre mer "yngre" element).
Uttrykket for forskjellen d av progresjonen bør erstattes med en av ligningene i begynnelsen av løsningen av problemet for å få verdien av det første leddet.
I vår tid med utvikling av datateknologi prøver mange skoleelever å finne løsninger for oppgavene sine på Internett, så spørsmål av denne typen dukker ofte opp: Finn forskjellen på en aritmetisk progresjon på nettet. Ved en slik forespørsel vil søkemotoren vise en rekke nettsider, ved å gå til disse, må du legge inn data kjent fra tilstanden (det kan enten være to medlemmer av progresjonen eller summen av noen av dem) og få svar umiddelbart. Ikke desto mindre er en slik tilnærming til å løse problemet uproduktiv når det gjelder utviklingen av studenten og forståelsen av essensen av oppgaven som er tildelt ham.
Løsning uten å bruke formler
La oss løse det første problemet, mens vi ikke vil bruke noen av formlene ovenfor. La elementene i rekken gis: a6 = 3, a9 = 18. Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen.
Kjente elementer er nær hverandre på rad. Hvor mange ganger må forskjellen d legges til den minste for å få den største? Tre ganger (første gang vi legger til d, får vi det 7. elementet, andre gang - den åttende, til slutt tredje gang - den niende). Hvilket tall må legges til tre tre ganger for å få 18? Dette er nummer fem. Egentlig:
Dermed er den ukjente forskjellen d = 5.
Selvfølgelig kunne løsningen gjøres ved hjelp av passende formel, men dette ble ikke gjort med vilje. En detaljert forklaring av løsningen på problemet bør bli et tydelig og levende eksempel på hva en aritmetisk progresjon er.
En oppgave som ligner den forrige
La oss nå løse et lignende problem, men endre inndataene. Så du bør finne om a3 = 2, a9 = 19.
Selvfølgelig kan du ty igjen til metoden for å løse "på pannen". Men siden elementene i serien er gitt, som er relativt langt fra hverandre, blir en slik metode ikke veldig praktisk. Men å bruke den resulterende formelen vil raskt føre oss til svaret:
d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83
Her har vi rundet det endelige tallet. Hvor mye denne avrundingen førte til en feil kan bedømmes ved å sjekke resultatet:
a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98
Dette resultatet avviker kun med 0,1 % fra verdien gitt i betingelsen. Derfor kan avrunding til hundredeler som brukes, betraktes som et godt valg.
Oppgaver for å bruke formelen for et medlem
La oss vurdere et klassisk eksempel på problemet med å bestemme den ukjente d: finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen hvis a1 = 12, a5 = 40.
Når to tall i en ukjent algebraisk sekvens er gitt, og ett av dem er elementet a 1 , trenger du ikke tenke lenge, men du bør umiddelbart bruke formelen for a n-leddet. I dette tilfellet har vi:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Vi fikk det nøyaktige tallet ved deling, så det er ingen vits i å sjekke nøyaktigheten til det beregnede resultatet, slik det ble gjort i forrige avsnitt.
La oss løse et annet lignende problem: vi bør finne forskjellen i den aritmetiske progresjonen hvis a1 = 16, a8 = 37.
Vi bruker en lignende tilnærming til den forrige og får:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Hva annet du bør vite om aritmetisk progresjon
I tillegg til problemer med å finne en ukjent forskjell eller individuelle elementer, er det ofte nødvendig å løse problemer med summen av de første leddene i en sekvens. Betraktningen av disse problemene er utenfor rammen av artikkelens emne, men for fullstendig informasjon presenterer vi en generell formel for summen av n tall i serien:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Summen av en aritmetisk progresjon.
Summen av en aritmetisk progresjon er en enkel ting. Både i betydning og formel. Men det er alle slags oppgaver om dette emnet. Fra elementært til ganske solid.
La oss først ta for oss betydningen og formelen til summen. Og så bestemmer vi oss. For din egen fornøyelse.) Betydningen av summen er så enkel som å senke. For å finne summen av en aritmetisk progresjon, trenger du bare å legge til alle medlemmene nøye. Hvis disse begrepene er få, kan du legge til uten formler. Men hvis det er mye, eller mye ... tillegg er irriterende.) I dette tilfellet sparer formelen.
Sumformelen er enkel:
La oss finne ut hva slags bokstaver som er inkludert i formelen. Dette vil oppklare mye.
S n er summen av en aritmetisk progresjon. Tilleggsresultat alle medlemmer, med først på siste. Det er viktig. Legg sammen nøyaktig alle medlemmer på rad, uten hull og hopp. Og, akkurat, fra først. I problemer som å finne summen av tredje og åttende ledd, eller summen av ledd fem til tjuende, vil direkte anvendelse av formelen være skuffende.)
en 1 - først medlem av progresjonen. Alt er klart her, det er enkelt først radnummer.
en n- siste medlem av progresjonen. Det siste tallet i raden. Ikke et veldig kjent navn, men når det brukes på mengden, er det veldig egnet. Da vil du se selv.
n er nummeret til det siste medlemmet. Det er viktig å forstå at i formelen dette tallet sammenfaller med antall tilføyde termer.
La oss definere konseptet siste medlem en n. Utfyllende spørsmål: hva slags medlem vil siste, hvis gitt endeløs aritmetisk progresjon?
For et sikkert svar, må du forstå den grunnleggende betydningen av en aritmetisk progresjon og ... lese oppgaven nøye!)
I oppgaven med å finne summen av en aritmetisk progresjon, vises alltid siste ledd (direkte eller indirekte), som bør begrenses. Ellers et begrenset, spesifikt beløp eksisterer bare ikke. For løsningen spiller det ingen rolle hva slags progresjon som gis: endelig eller uendelig. Det spiller ingen rolle hvordan det er gitt: ved en rekke tall, eller ved formelen til det n-te medlemmet.
Det viktigste er å forstå at formelen fungerer fra første ledd i progresjonen til leddet med tallet n. Faktisk ser det fulle navnet på formelen slik ut: summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon. Antallet av disse aller første medlemmene, dvs. n, bestemmes utelukkende av oppgaven. I oppgaven er all denne verdifulle informasjonen ofte kryptert, ja ... Men ingenting, i eksemplene nedenfor vil vi avsløre disse hemmelighetene.)
Eksempler på oppgaver for summen av en aritmetisk progresjon.
Først av alt, nyttig informasjon:
Hovedvanskeligheten i oppgaver for summen av en aritmetisk progresjon er riktig bestemmelse av elementene i formelen.
Forfatterne av oppgavene krypterer nettopp disse elementene med grenseløs fantasi.) Hovedsaken her er å ikke være redd. For å forstå essensen av elementene, er det nok bare å tyde dem. La oss ta en titt på noen få eksempler i detalj. La oss starte med en oppgave basert på en ekte GIA.
1. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a n = 2n-3,5. Finn summen av de første 10 leddene.
Godt jobbet. Enkelt.) Hva trenger vi å vite for å bestemme mengden i henhold til formelen? Første medlem en 1, siste termin en n, ja nummeret på siste termin n.
Hvor får man tak i siste medlemsnummer n? Ja, på samme sted, i tilstanden! Det står finn summen første 10 medlemmer. Vel, hvilket nummer blir det siste, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, nummeret hans er tiende!) Derfor, i stedet for en n vi vil erstatte inn i formelen en 10, men istedet n- ti. Igjen er tallet på det siste medlemmet det samme som antallet medlemmer.
Det gjenstår å fastslå en 1 og en 10. Dette beregnes enkelt med formelen til det n-te leddet, som er gitt i problemstillingen. Vet du ikke hvordan du gjør det? Besøk forrige leksjon, uten dette - ingenting.
en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
en 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Vi fant ut betydningen av alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon. Det gjenstår å erstatte dem, og telle:
Det er alt som skal til. Svar: 75.
En annen oppgave basert på GIA. Litt mer komplisert:
2. Gitt en aritmetisk progresjon (a n), hvor forskjellen er 3,7; a 1 \u003d 2.3. Finn summen av de første 15 leddene.
Vi skriver umiddelbart sumformelen:
Denne formelen lar oss finne verdien til ethvert medlem etter nummeret. Vi ser etter en enkel erstatning:
a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
Det gjenstår å erstatte alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon og beregne svaret:
Svar: 423.
Forresten, hvis i sumformelen i stedet for en n bare erstatte formelen til det n-te leddet, får vi:
Vi gir lignende, vi får en ny formel for summen av medlemmer av en aritmetisk progresjon:
 |
Som du kan se, er det ikke nødvendig med n-te ledd her. en n. I noen oppgaver hjelper denne formelen mye, ja ... Du kan huske denne formelen. Og du kan ganske enkelt trekke den tilbake til rett tid, som her. Tross alt må formelen for summen og formelen for n-te ledd huskes på alle måter.)
Nå er oppgaven i form av en kort kryptering):
3. Finn summen av alle positive tosifrede tall som er multipler av tre.
Hvordan! Ingen første medlem, ingen siste, ingen progresjon i det hele tatt... Hvordan leve!?
Du må tenke med hodet og trekke ut fra betingelsen alle elementene i summen av en aritmetisk progresjon. Hva er tosifrede tall - vi vet. De består av to tall.) Hvilket tosifret tall vil først? 10, antagelig.) siste ting tosifret tall? 99, selvfølgelig! De tresifrede vil følge ham ...
Multipler av tre... Hm... Dette er tall som er jevnt delbare med tre, her! Ti er ikke delelig med tre, 11 er ikke delelig... 12... er delelig! Så noe er i ferd med å dukke opp. Du kan allerede skrive en serie i henhold til tilstanden til problemet:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Vil denne serien være en aritmetisk progresjon? Sikkert! Hvert begrep skiller seg strengt fra den forrige med tre. Hvis 2, eller 4, legges til begrepet, for eksempel resultatet, dvs. et nytt tall vil ikke lenger deles på 3. Du kan umiddelbart bestemme forskjellen mellom den aritmetiske progresjonen til haugen: d = 3. Nyttig!)
Så vi kan trygt skrive ned noen progresjonsparametere:
Hva blir nummeret n siste medlem? Alle som tror at 99 tar fatalt feil ... Tall – de går alltid på rekke og rad, og medlemmene våre hopper over topp tre. De stemmer ikke.
Det er to løsninger her. En måte er for de super hardtarbeidende. Du kan male progresjonen, hele tallserien, og telle antall ledd med fingeren.) Den andre måten er for de gjennomtenkte. Du må huske formelen for n'te ledd. Hvis formelen brukes på problemet vårt, får vi at 99 er det trettiende medlemmet av progresjonen. De. n = 30.
Vi ser på formelen for summen av en aritmetisk progresjon:
Vi ser og gleder oss.) Vi trakk ut alt nødvendig for å beregne beløpet fra tilstanden til problemet:
en 1= 12.
en 30= 99.
S n = S 30.
Det som gjenstår er elementær aritmetikk. Bytt ut tallene i formelen og beregn:
Svar: 1665
En annen type populære gåter:
4. En aritmetisk progresjon er gitt:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Finn summen av ledd fra den tjuende til trettifjerde.
Vi ser på sumformelen og ... vi er opprørte.) Formelen, la meg minne deg, beregner summen fra den første medlem. Og i oppgaven må du beregne summen siden det tjuende... Formelen vil ikke fungere.
Du kan selvfølgelig male hele progresjonen på rad, og sette medlemmene fra 20 til 34. Men ... på en eller annen måte blir det dumt og lenge, ikke sant?)
Det finnes en mer elegant løsning. La oss dele serien vår i to deler. Den første delen vil fra første termin til nittende. Andre del - tjue til trettifire. Det er klart at hvis vi beregner summen av vilkårene i den første delen S 1-19, la oss legge det til summen av medlemmene i den andre delen S 20-34, får vi summen av progresjonen fra første ledd til trettifjerde S 1-34. Som dette:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Dette viser at for å finne summen S 20-34 kan gjøres ved enkel subtraksjon
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Begge summene på høyre side vurderes fra den første medlem, dvs. standardsumformelen er ganske anvendelig for dem. Er vi i gang?
Vi trekker ut progresjonsparametrene fra oppgavetilstanden:
d = 1,5.
en 1= -21,5.
For å beregne summene av de første 19 og de første 34 leddene, trenger vi de 19. og 34. leddene. Vi teller dem i henhold til formelen til det n-te leddet, som i oppgave 2:
en 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
en 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Det er ingenting igjen. Trekk summen av 19 ledd fra summen av 34 ledd:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Svar: 262,5
En viktig merknad! Det er en veldig nyttig funksjon for å løse dette problemet. I stedet for direkte beregning det du trenger (S 20-34), vi telte det som, ser det ut til, ikke er nødvendig - S 1-19. Og så bestemte de seg S 20-34, og forkaster det unødvendige fra hele resultatet. En slik "finte med ørene" redder ofte i onde gåter.)
I denne leksjonen undersøkte vi problemer som det er nok å forstå betydningen av summen av en aritmetisk progresjon for. Vel, du må kunne et par formler.)
Praktiske råd:
Når du løser ethvert problem for summen av en aritmetisk progresjon, anbefaler jeg umiddelbart å skrive ut de to hovedformlene fra dette emnet.
Formel for det n-te medlemmet:
Disse formlene vil umiddelbart fortelle deg hva du skal se etter, i hvilken retning du skal tenke for å løse problemet. Hjelper.
Og nå oppgavene for uavhengig løsning.
5. Finn summen av alle tosifrede tall som ikke er delbare med tre.
Kult?) Hintet er skjult i notatet til oppgave 4. Vel, oppgave 3 vil hjelpe.
6. Aritmetisk progresjon er gitt av betingelsen: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn summen av de første 24 leddene.
Uvanlig?) Dette er en tilbakevendende formel. Du kan lese om det i forrige leksjon. Ikke ignorer lenken, slike gåter finnes ofte i GIA.
7. Vasya sparte opp penger til ferien. Så mye som 4550 rubler! Og jeg bestemte meg for å gi den mest elskede personen (meg selv) noen dager med lykke). Lev vakkert uten å nekte deg selv noe. Bruk 500 rubler på den første dagen, og bruk 50 rubler mer på hver påfølgende dag enn på den forrige! Helt til pengene tar slutt. Hvor mange dager med lykke hadde Vasya?
Er det vanskelig?) En tilleggsformel fra oppgave 2 vil hjelpe.
Svar (i uorden): 7, 3240, 6.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante sider for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)
du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.
