Leksjonen vil introdusere konseptet med en kvadratisk ligning, vurdere dens to typer: komplett og ufullstendig. Spesiell oppmerksomhet i leksjonen vil bli gitt til variantene av ufullstendige kvadratiske ligninger; i andre halvdel av leksjonen vil mange eksempler bli vurdert.

Emne:Kvadratiske ligninger.

Lekse:Kvadratiske ligninger. Enkle konsepter

Definisjon.Kvadratisk ligning kalles en formlikning

Faste reelle tall som definerer en andregradsligning. Disse tallene har spesifikke navn:

Senior koeffisient (multiplikator på);

Andre koeffisient (multiplikator ved);

Fri termin (tall uten variabel multiplikator).

Kommentar. Det skal forstås at den spesifiserte sekvensen for å skrive begrepene i den kvadratiske ligningen er standard, men ikke obligatorisk, og når det gjelder deres permutasjon, er det nødvendig å kunne bestemme de numeriske koeffisientene ikke ved deres ordinære arrangement, men ved å som tilhører variabler.

Definisjon. Uttrykket heter kvadratisk trinomium.

Eksempel 1. Kvadratisk ligning gitt ... Dens koeffisienter:

Senior koeffisient;

Andre koeffisient (merk at koeffisienten er angitt med et fortegn);

Gratis medlem.

Definisjon. Hvis, så kalles andregradsligningen ikke redusert, og hvis, så kalles andregradsligningen gitt.

Eksempel 2. Ta med en andregradsligning ... La oss dele begge deler av det i 2: .

Kommentar. Som du kan se fra forrige eksempel, ved å dele med den ledende koeffisienten, endret vi ikke ligningen, men endret formen (gjorde den redusert), på samme måte kunne den multipliseres med et tall som ikke er null. Dermed er ikke andregradsligningen gitt av en enkelt trippel av tall, men de sier at er spesifisert opp til et sett med koeffisienter som ikke er null.

Definisjon.Redusert andregradsligning hentet fra den ikke-reduserte ved å dele på den ledende koeffisienten, og den har formen:

.

Følgende betegnelser vedtas:. Deretter redusert andregradsligning ser ut som:

.

Kommentar... I den reduserte formen av den andregradsligningen kan det sees at den andregradsligningen kan settes med bare to tall:.

Eksempel 2 (forts.). Vi angir koeffisientene som definerer den reduserte kvadratiske ligningen ... ,. Disse koeffisientene er også indikert under hensyntagen til tegnet. De samme to tallene definerer den tilsvarende ikke-reduserte kvadratiske ligningen .

Kommentar... De tilsvarende ureduserte og reduserte kvadratiske ligningene er de samme, dvs. har samme sett med røtter.

Definisjon... Noen av koeffisientene i ikke-redusert form eller i redusert form av kvadratisk ligning kan være lik null. I dette tilfellet kalles andregradsligningen ufullstendig... Hvis alle koeffisientene ikke er null, kalles andregradsligningen fullstendig.

Det finnes flere typer ufullstendige kvadratiske ligninger.

Hvis vi ennå ikke har vurdert løsningen av den fulle andregradsligningen, kan vi enkelt løse den ufullstendige med metodene vi allerede kjenner.

Definisjon.Løs kvadratisk ligning- betyr å finne alle verdiene til variabelen (røttene til ligningen) der den gitte ligningen blir til riktig numerisk likhet, eller å fastslå at det ikke finnes slike verdier.

Eksempel 3. Tenk på et eksempel på den angitte typen ufullstendige kvadratiske ligninger. Løs ligningen.

Løsning. La oss ta ut den felles faktoren. Vi er i stand til å løse likninger av denne typen etter følgende prinsipp: produktet er lik null hvis og bare hvis en av faktorene er lik null, og den andre eksisterer for denne verdien av variabelen... På denne måten:

Svar.; .

Eksempel 4. Løs ligningen.

Løsning. 1 vei. La oss faktorisere med formelen for forskjellen av kvadrater

, derfor i likhet med forrige eksempel, eller.

Metode 2. Flytt frileddet til høyre og trekk ut kvadratroten av begge sider.

Svar. .

Eksempel 5. Løs ligningen.

Løsning. Flytt friterminen til høyre, men , dvs. i ligningen er et ikke-negativt tall likestilt med et negativt, noe som ikke gir mening for noen verdier av variabelen, derfor er det ingen røtter.

Svar. Det er ingen røtter.

Eksempel 6.Løs ligningen.

Løsning... Del begge sider av ligningen med 7: .

Svar. 0.

Tenk på eksempler der du først må bringe den kvadratiske ligningen til standardform, og deretter løse den.

Eksempel 7... Løs ligningen.

Løsning... For å redusere den kvadratiske ligningen til standardformen, er det nødvendig å overføre alle ledd i én retning, for eksempel til venstre, og bringe lignende.

Det oppnås en ufullstendig andregradsligning, som vi allerede vet hvordan vi skal løse, vi får det eller .

Svar. .

Eksempel 8 (tekstoppgave)... Produktet av to påfølgende naturlige tall er to ganger kvadratet av det minste av dem. Finn disse tallene.

Løsning... Som regel løses ordproblemer i henhold til følgende algoritme.

1) Sammenstilling av en matematisk modell... På dette stadiet er det nødvendig å oversette teksten til problemet til språket til matematiske symboler (lag en ligning).

La et bestemt første naturlige tall betegnes med et ukjent, så vil det neste etter det (påfølgende tall) være det. Det minste av disse tallene er et tall, vi skriver ligningen i henhold til tilstanden til problemet:

, hvor . Den matematiske modellen er kompilert.

Klasse: 8

Tenk på standarden (studert i matematikkkurset) og ikke-standardteknikker for å løse andregradsligninger.

1. Dekomponering av venstre side av kvadratisk ligning i lineære faktorer.

La oss vurdere noen eksempler:

3) x 2 + 10x - 24 = 0.

6 (x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - = 0;

x (x -) + (x -) = 0;

x (x -) (x +) = 0;

= ; – .

Svar: ; -.

For selvstendig arbeid:

Løs kvadratiske ligninger ved å lineær faktorisere venstre side av en kvadratisk ligning.

a) x 2 - x = 0; d) x 2 - 81 = 0; g) x 2 + 6x + 9 = 0;

b) x 2 + 2 x = 0; e) 4x2 - = 0; h) x 2 + 4x + 3 = 0;

c) 3x 2 - 3x = 0; f) x 2 - 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x - 3 = 0.

a) 0; en

b) -2; 0

c) 0; en

2. Metoden for å velge en komplett firkant.

La oss vurdere noen eksempler:

For selvstendig arbeid.

Løs kvadratiske ligninger ved å bruke metoden for valg av full kvadrat.

3. Løsning av andregradsligninger med formelen.

ax 2 + in + c = 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4av + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2b + 2 - 2 + 4ac = 0;

2 = 2 - 4ac; = ±;

La oss se på noen eksempler.

For selvstendig arbeid.

Løs kvadratiske ligninger ved å bruke formelen x 1,2 =.

4. Løse kvadratiske ligninger ved å bruke Vietas teorem (forover og bakover)

x 2 + px + q = 0 - redusert andregradsligning

etter Vietas teorem.

Hvis den ligningen har to identiske røtter i tegn og det avhenger av koeffisienten.

Hvis p da .

Hvis p da .

For eksempel:

Hvis så ligningen har to røtter med forskjellig fortegn, og roten med den største absolutte verdien vil være hvis p og vil være hvis p.

For eksempel:

For selvstendig arbeid.

Uten å løse den kvadratiske ligningen, bruk den inverse Vietas teorem for å bestemme tegnene til røttene:

a, b, k, l - forskjellige røtter;

c, d, h - negativ;

d, f, g, u, m - positiv;

5. Løsning av andregradsligninger ved "overføring"-metoden.

For selvstendig arbeid.

Løs kvadratiske ligninger ved å bruke flip-metoden.

6. Løsning av andregradsligninger ved å bruke egenskapene til koeffisientene.

I. ax 2 + bx + c = 0, hvor a 0

1) Hvis a + b + c = 0, så er x 1 = 1; x 2 =

Bevis:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Etter Vietas teorem

Ved betingelse a + b + c = 0, så er b = -a - c. Så får vi

Av dette følger det at x 1 = 1; x 2 =. Q.E.D.

2) Hvis a - b + c = 0 (eller b = a + c), så er x 1 = - 1; x 2 = -

Bevis:

Etter Vietas teorem

Ved betingelse a - b + c = 0, dvs. b = a + c. Da får vi:

Derfor er x 1 = - 1; x 2 = -.

La oss se på noen eksempler.

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.

a + b + c = 345 - 137 - 208 = 0

x 1 = 1; x 2 = =

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 = =

Svar: 1;

For selvstendig arbeid.

Ved å bruke egenskapene til koeffisientene til den kvadratiske ligningen, løs likningene

II. ax 2 + bx + c = 0, hvor a 0

x 1,2 =. La b = 2k, dvs. til og med. Så får vi

x 1,2 = = = =

La oss vurdere et eksempel:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

D 1 = (-7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1

x 1 = = 2; x 2 =

Svar: 2;

For selvstendig arbeid.

a) 4x 2 - 36x + 77 = 0

b) 15x 2 - 22x - 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Svar:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

La oss vurdere et eksempel:

x 2 - 14x - 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 = -1; x 2 = 15.

Svar: -1; 15.

For selvstendig arbeid.

a) x 2 - 8x - 9 = 0

b) x 2 + 6x - 40 = 0

c) x 2 + 18x + 81 = 0

d) x 2 - 56x + 64 = 0

7. Løse en andregradsligning ved hjelp av grafer.

a) x 2 - 3x - 4 = 0

Svar: -1; 4

b) x 2 - 2x + 1 = 0

c) x 2 - 2x + 5 = 0

Svar: ingen løsninger

For selvstendig arbeid.

Løs kvadratiske ligninger grafisk:

8. Løse andregradsligninger ved hjelp av et kompass og en linjal.

ax 2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 og x 2 er røtter.

La A (0; 1), C (0;

Ved sekantsteoremet:

ОВ · ОД = ОА · ОS.

Derfor har vi:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

К (; 0), hvor = -

F (0;) = (0;) =)

1) Konstruer punkt S (-;) - sentrum av sirkelen og punkt A (0; 1).

2) Tegn en sirkel med radius R = SA /

3) Abscissen til skjæringspunktene til denne sirkelen med x-aksen er røttene til den opprinnelige kvadratiske ligningen.

Det er 3 mulige tilfeller:

1) R> SK (eller R>).

Sirkelen skjærer x-aksen i punktet B (x 1; 0) og D (x 2; 0), hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (eller R =).

Sirkelen berører okseaksen i angst B 1 (x 1; 0), der x 1 er roten til kvadratisk ligning

ax 2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Sirkelen har ingen punkter til felles med okseaksen, dvs. ingen løsninger.

1) x 2 - 2x - 3 = 0.

Senter S (-;), dvs.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = - 1.

(1; - 1) er sentrum av sirkelen.

Tegn en sirkel (S; AS), hvor A (0; 1).

9. Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram

For løsningen, bruk de firesifrede matematiske tabellene til V.M. Bradis (tabell XXII, s. 83).

Nomogrammet tillater, uten å løse den kvadratiske ligningen x 2 + px + q = 0, ved sine koeffisienter å bestemme røttene til ligningen. For eksempel:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

Begge røttene er negative. Derfor gjør vi endringen: z 1 = - t. Vi får en ny ligning:

t 2 - 4t + 3 = 0.

ti = 1; t 2 = 3

z 1 = - 1; z 2 = - 3.

Svar: - 3; - en

6) Hvis koeffisientene p og q er utenfor skalaen, utføres substitusjonen z = k · t og ligningen løses ved hjelp av nomogrammet: z 2 + pz + q = 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k er tatt med forventning om at ulikheter finner sted:

For selvstendig arbeid.

2 + 6y - 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, | + 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Svar: -8; 2

For selvstendig arbeid.

Løs geometrisk likningen y 2 - 6y - 16 = 0.

Kommunal utdanningsinstitusjon
"Kosinskaya grunnskole"

Leksjon med bruk av IKT

Løse andregradsligninger ved hjelp av formelen.

Utvikler:
Cherevina Oksana Nikolaevna
matematikklærer

Mål:
fikser løsningen av kvadratiske ligninger med formelen,
bidra til utvikling av studentenes ønske og behov for generalisering av de studerte fakta,
utvikle selvstendighet og kreativitet.

Utstyr:
matematisk diktat (presentasjon 1),
kort med flernivåoppgaver for selvstendig arbeid,
en tabell med formler for å løse andregradsligninger (i hjørnet "For å hjelpe med leksjonen"),
en utskrift av "Gamletidsproblemet" (antall studenter),
poengvurderingstabell på tavlen.

Overordnet plan:
Leksesjekk
Matematisk diktat.
Muntlige øvelser.
Løsning av styrkeøvelser.
Selvstendig arbeid.
Historiereferanse.

I løpet av timene.
Organisatorisk øyeblikk.

Leksesjekk.
- Gutter, hvilke ligninger møtte vi i de siste timene?
- Hvilke metoder kan brukes for å løse andregradsligninger?
– Hjemme måtte man løse 1 ligning på to måter.
(Ligningen ble gitt i 2 nivåer, beregnet for svake og sterke elever)
- La oss sjekke med meg. hvordan håndterte du oppgaven.
(på tavlen noterer læreren løsningen på hjemmeoppgaven før timen)
Elevene sjekker og konkluderer: ufullstendige andregradsligninger er lettere å løse ved faktorisering eller på vanlig måte fullføre de med en formel.
Læreren understreker: det er ikke forgjeves at måten å løse apt. ligninger med formelen kalles universelle.

Gjentakelse.

I dag i leksjonen vil vi fortsette å jobbe med deg om å løse andregradsligninger. Leksjonen vår vil være uvanlig, for i dag vil ikke bare jeg evaluere deg, men deg selv. Du må tjene så mange poeng som mulig for å få en god karakter og gjøre det bra i selvstendig arbeid. Ett punkt om gangen tror jeg du allerede har tjent på å fullføre leksene dine.
- Og nå vil jeg at du skal huske og igjen gjenta definisjonene og formlene vi studerte om dette emnet.(Elevenes svar vurderes med 1 poeng for riktig svar, og 0 poeng for feil)
– Og nå, folkens, skal vi fullføre en matematisk diktat, lese oppgaven nøye og raskt på dataskjermen. (Presentasjon 1)
Elevene får jobben gjort og bruker nøkkelen til å evaluere prestasjonene sine.

Matematisk diktat.

En andregradsligning er en ligning av formen ...
I en kvadratisk ligning er 1. koeffisient ..., 2. koeffisient er ..., frileddet er ...
En andregradsligning kalles redusert hvis ...
Skriv en formel for å beregne diskriminanten til en kvadratisk ligning
Skriv en formel for å beregne roten til en kvadratisk ligning hvis roten i ligningen er én.
Under hvilke betingelser har en kvadratisk ligning ingen røtter?

(selvtest ved bruk av PC, for hvert riktig svar - 1 poeng).

Muntlige øvelser. (på baksiden av tavlen)
- Hvor mange røtter har hver ligning? (oppgaven er også beregnet til 1 poeng)
1. (x - 1) (x +11) = 0;
2. (x - 2) ² + 4 = 0;
3. (2x - 1) (4 + x) = 0;
4. (x - 0,1) x = 0;
5.x² + 5 = 0;
6. 9x² - 1 = 0;
7,x² - 3x = 0;
8,x + 2 = 0;
9,16x² + 4 = 0;
10,16x² - 4 = 0;
11.0.07x² = 0.

Løsningen av øvelser for å konsolidere materialet.

Av ligningene som er foreslått på PC-skjermen, utføres de uavhengig (CD-7), når de sjekker, rekker elevene som fullførte beregningene opp hendene riktig (1 poeng); på dette tidspunktet løser svakere elever én ligning på tavlen og de som klarte oppgaven på egenhånd får 1 poeng.

Selvstendig arbeid i 2 versjoner.
De som fikk 5 eller flere poeng starter selvstendig arbeid fra nr. 5.
Hvem scoret 3 eller mindre - fra nummer 1.

Valg 1.

a) 3x² + 6x - 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.

#2. Fortsett å beregne diskriminanten D til den kvadratiske ligningen ax² + bx + c = 0 ved å bruke formelen D = b² - 4ac.

a) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-7²) - 4 5 2 = 49 - 40 =…;
b) x² - x - 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1) ² - 4 1 (-2) = ...;

nr. 3. Fullfør å løse ligningen
3x² - 5x - 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5) ² - 4 3 (-2) = 49.
x = ...

nr. 4. Løs ligningen.

a) (x - 5) (x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0

a) (x-3) ^ 2 = 3x-5; b) (x + 4) (2x-1) = x (3x + 11)

nr. 6. Løs ligningen x2 + 2√2 x + 1 = 0
nr. 7. Ved hvilken verdi av a har ligningen x² - 2ax + 3 = 0 én rot?

Alternativ 2.

# 1. For hver ligning av formen ax² + bx + c = 0, skriv inn verdiene a, b, c.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.

#2. Fortsett å beregne diskriminanten D til den kvadratiske ligningen ax² + bx + c = 0 ved å bruke formelen D = b² - 4ac.

a) 5x² + 8x - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² - 4 5 (- 4) = 64 - 60 =…;

b) x² - 6x + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 =…;

3 #. Fullfør å løse ligningen
x² - 6x + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = 16.
x = ...

nr. 4. Løs ligningen.

a) (x + 4) (x - 6) = 0; b) 4x² - 5x + 1 = 0

nr. 5. Kvaddra ligningen og løs den:

a) (x-2) ^ 2 = 3x-8; b) (3x-1) (x + 3) + 1 = x (1 + 6x)

nr. 6. Løs ligningen x2 + 4√3 x + 12 = 0

nr. 7. Ved hvilken verdi av a har ligningen x² + 3ax + a = 0 én rot.

Leksjonssammendrag.
Oppsummerer resultatene fra poengvurderingstabellen.

Historisk bakgrunn og oppgave.
Problemer for kvadratiske ligninger har blitt møtt så tidlig som i 499. I det gamle India var offentlig konkurranse for å løse vanskelige problemer vanlig. En av de gamle indiske bøkene sier: "Som solen formørker stjernene med sin glans, slik vil en lærd person formørke en annens herlighet i populære forsamlinger, foreslå og løse algebraiske problemer." De var ofte i poetisk form. Her er en av oppgavene til den berømte indiske matematikeren Bhaskara fra 1100-tallet:
Frisk flokk med apekatter
Jeg spiste meg mett av moro,
Del åttende i rute
Jeg moret meg i lysningen.
Og 12 vinstokker...
De begynte å hoppe mens de hang.
Hvor mange aper var det
Fortell meg, i denne pakken?

Vii. Hjemmelekser.
Det foreslås å løse dette historiske problemet og ordne det på separate ark med en tegning.

BLINDTARM

Nei. Fullt navn
studentaktiviteter TOTALT
Lekser Diktat Muntlige øvelser Styrking av stoffet
PC-arbeid Tavlearbeid
1 Ivanov I.
2 Fedorov G.
3 Yakovleva J.
…

Maksimalt antall er 22-23 poeng.
Minimum - 3-5 poeng

3-10 poeng - score "3",
11-20 poeng - score "4",
21-23 poeng - score "5"

Denne videoopplæringen forklarer hvordan du løser en kvadratisk ligning. Løsningen av andregradsligninger startes vanligvis i en omfattende skole, klasse 8. Røttene til den kvadratiske ligningen finnes ved hjelp av en spesiell formel. La det gis en andregradsligning på formen ax2 + bx + c = 0, der x er en ukjent, a, b og c er koeffisienter som er reelle tall. Først må du bestemme diskriminanten med formelen D = b2-4ac. Etter det gjenstår det å beregne røttene til den kvadratiske ligningen ved å bruke den velkjente formelen. La oss nå prøve å løse et spesifikt eksempel. Vi tar x2 + x-12 = 0 som startligningen, dvs. koeffisient a = 1, b = 1, c = -12. En velkjent formel kan brukes til å bestemme diskriminanten. Deretter, ved å bruke formelen for å finne røttene til ligningen, beregner vi dem. I vårt tilfelle vil diskriminanten være 49. Det faktum at verdien av diskriminanten er et positivt tall forteller oss at denne andregradsligningen vil ha to røtter. Etter noen enkle beregninger får vi at x1 = -4, x2 = 3. Dermed har vi løst andregradsligningen ved å beregne røttene. Videoleksjon «Løse andregradsligninger (8. klasse). Vi finner røtter etter formelen "du kan se på nettet når som helst gratis. Lykke til!