Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle presentasjonsalternativene. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Nøkkelord: integrert, krumlinjet trapes, område av figurer avgrenset av liljer

Utstyr: tavle, datamaskin, multimediaprojektor

Leksjonstype: leksjon-forelesning

Leksjonens mål:

• pedagogisk:å danne en kultur for mentalt arbeid, å skape en suksesssituasjon for hver elev, å danne positiv motivasjon for læring; utvikle evnen til å snakke og lytte til andre.
• utvikle: dannelsen av studentenes uavhengighet i anvendelsen av kunnskap i ulike situasjoner, evnen til å analysere og trekke konklusjoner, utviklingen av logikk, utviklingen av evnen til å stille spørsmål riktig og finne svar på dem. Forbedre dannelsen av databehandling, dataferdigheter, utvikling av studentenes tenkning i løpet av å fullføre de foreslåtte oppgavene, utvikling av algoritmisk kultur.
• pedagogisk: å danne konseptet med en krumlinjet trapes, en integral, mestre ferdighetene til å beregne arealene til flate figurer

Undervisningsmetode: forklarende og illustrerende.

I løpet av timene

I de forrige timene lærte vi å beregne arealene til former, hvis grenser er polygonale linjer. Det finnes metoder i matematikk som lar deg beregne arealene til figurer som er avgrenset av kurver. Slike former kalles kurvlineære trapeser, og deres areal beregnes ved hjelp av antiderivater.

Buet trapes ( lysbilde 1)

En kurvelinjeformet trapes er en figur avgrenset av grafen til en funksjon, ( schm.), rett x = a og x = b og abscissen

Ulike typer buede trapeser ( lysbilde 2)

Vi vurderer ulike typer krumlinjede trapeser og legger merke til: en av de rette linjene degenererer til et punkt, rollen til den begrensende funksjonen spilles av den rette linjen

Buet trapesområde (lysbilde 3)

Fest venstre ende av gapet en, og rett X vi vil endre, det vil si at vi flytter den høyre veggen til den buede trapesen og får en skiftende form. Arealet til en variabel kurvelinjeformet trapes, begrenset av grafen til funksjonen, er antideriverten F for funksjon f

Og på segmentet [ en; b] arealet av den buede trapesen dannet av funksjonen f, er lik økningen av antiderivatet til denne funksjonen:

Øvelse 1:

Finn arealet til en buet trapes avgrenset av grafen til funksjonen: f (x) = x 2 og rett y = 0, x = 1, x = 2.

Løsning: ( i henhold til algoritmen lysbilde 3)

La oss tegne en graf over funksjonen og linjene

Finn en av antiderivatene til funksjonen f (x) = x 2 :

Selvtest med lysbilde

Integral

Tenk på en buet trapes gitt av funksjonen f på segmentet [ en; b]. La oss dele dette segmentet inn i flere deler. Arealet til hele trapeset vil bli delt inn i summen av arealene til mindre buede trapeser. ( lysbilde 5)... Hver slik trapes kan grovt sett betraktes som et rektangel. Summen av arealene til disse rektanglene gir en omtrentlig ide om hele arealet til den buede trapesen. Jo mindre vi deler segmentet [ en; b], jo mer nøyaktig beregner vi arealet.

La oss skrive dette resonnementet i form av formler.

Del segmentet [ en; b] i n deler etter punkter x 0 = a, x1, ..., xn = b. Lengde k- th betegne med xk = xk - xk-1... La oss gjøre opp beløpet

Geometrisk er denne summen arealet av figuren som er skyggelagt i figuren ( m.)

Summer av formen kalles integralsummer for funksjonen f. (schm.)

Helsummer gir en omtrentlig verdi av arealet. Den nøyaktige verdien oppnås ved å gå til grensen. Tenk deg at vi avgrenser partisjonen til segmentet [ en; b] slik at lengdene til alle små segmenter har en tendens til null. Da vil området til den sammensatte figuren nærme seg området til den buede trapesen. Vi kan si at arealet til en krumlinjet trapes er lik grensen for integrerte summer, Sk.t. (schm.) eller en integral, dvs.

Definisjon:

Integralet av funksjonen f (x) fra en før b kalles grensen for integral summer

= (schm.)

Newton-Leibniz formel.

Husk at grensen for integrerte summer er lik arealet til en krumlinjet trapes, noe som betyr at du kan skrive:

Sk.t. = (schm.)

På den annen side beregnes arealet til en buet trapes ved hjelp av formelen

S K. t. (schm.)

Ved å sammenligne disse formlene får vi:

= (schm.)

Denne likheten kalles Newton-Leibniz-formelen.

For enkelhets skyld er formelen skrevet i formen:

= = (schm.)

Oppdrag: (schm.)

1. Beregn integralet med Newton-Leibniz-formelen: ( sjekk lysbilde 5)

2. Lag integralene i henhold til tegningen ( sjekk lysbilde 6)

3. Finn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Lysbilde 7)

Finne arealene til flate figurer ( lysbilde 8)

Hvordan finner du området med former som ikke er buede trapeser?

La det bli gitt to funksjoner, grafene som du ser på lysbildet ... (schm.) Det er nødvendig å finne området til den fylte figuren ... (schm.)... Den aktuelle figuren er en buet trapes? Og hvordan kan du finne området ved å bruke egenskapen arealtilsetning? Tenk på to buede trapeser og trekk fra arealet til den andre fra arealet til en av dem ( schm.)

La oss komponere en algoritme for å finne området ved animasjon på et lysbilde:

1. Plot funksjonsgrafer
2. Projiser skjæringspunktene til grafene på abscisseaksen
3. Skyggelegg figuren som er oppnådd ved skjæringspunktet mellom grafene
4. Finn buede trapeser hvis skjæringspunkt eller forening er en gitt figur.
5. Beregn arealet til hver av dem
6. Finn forskjellen eller summen av arealer

Muntlig oppgave: Hvordan få området til en skyggelagt figur (fortell ved hjelp av animasjon, lysbilde 8 og 9)

Hjemmelekser: Utarbeid synopsis, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografi

1. Algebra og begynnelsen av analysen: en lærebok for 9-11 klassetrinn på kvelds(skift)skolen / red. G.D. Glazer. - M: Utdanning, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen av analysen: en lærebok for 10-11 klassetrinn på ungdomsskolen / Bashmakov M.I. - M: Utdanning, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematikk: en lærebok for institusjoner tidlig. og onsdag. prof. utdanning / M.I. Bashmakov. - M: Akademiet, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra og begynnelsen av analysen: en lærebok for 10-11 klassetrinn. utdanningsinstitusjoner / A.N. Kolmogorov. - M: Utdanning, 2010.
5. S.L. Ostrovsky Hvordan lage en presentasjon for en leksjon? / S.L. Ostrovsky. - M .: 1. september 2010.

Eksempel 1 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 og x = 2

La oss konstruere en figur (se fig.) Vi bygger en rett linje x + 2y - 4 = 0 ved to punkter A (4; 0) og B (0; 2). Ved å uttrykke y til x får vi y = -0,5x + 2. Ved formel (1), hvor f (x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finner vi

S = = [-0,25 = 11,25 kvm. enheter

Eksempel 2. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 og y = 0.

Løsning. La oss bygge figuren.

Konstruer en rett linje x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B (0; 2).

Konstruer en rett linje x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, C (5; 0), x = 0, y = 5, D (0; 5).

Finn skjæringspunktet mellom linjene ved å løse likningssystemet:

x = 2, y = 3; M (2; 3).

For å beregne det nødvendige arealet deler vi AMC-trekanten i to trekanter AMN og NMC, siden når x endres fra A til N, begrenses arealet av en rett linje, og når x endres fra N til C, er det en rett linje

For trekant AMN har vi:; y = 0,5x + 2, dvs. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

For trekanten NMC har vi: y = - x + 5, dvs. f (x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Etter å ha beregnet arealet til hver av trekantene og lagt til resultatene, finner vi:

sq. enheter

sq. enheter

9 + 4,5 = 13,5 kvm. enheter Sjekk: = 0,5 АС = 0,5 kvm. enheter

Eksempel 3. Beregn arealet av en form avgrenset av linjer: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

I dette tilfellet er det nødvendig å beregne arealet til den buede trapesen avgrenset av parabelen y = x 2 , rette linjer x = 2 og x = 3 og okseaksen (se fig.) Ved formel (1) finner vi arealet til en krumlinjet trapes.

= = 6 kvm enheter

Eksempel 4. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer: y = - x 2 + 4 og y = 0

La oss bygge figuren. Det ønskede området er innelukket mellom parabelen y = - x 2 + 4 og okseaksen.

Finn skjæringspunktene mellom parabelen og okseaksen. Setter vi y = 0, finner vi x = Siden denne figuren er symmetrisk om Oy-aksen, beregner vi arealet av figuren som ligger til høyre for Oy-aksen, og resultatet vil bli doblet: = + 4x] sq. enheter 2 = 2 kvm. enheter

Eksempel 5. Beregn arealet av en form avgrenset av linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her er det nødvendig å beregne arealet til den krumlinjede trapesen avgrenset av den øvre grenen av parabelen y 2 = x, okseaksen og rette linjer x = 1 og x = 4 (se fig.)

Ved formel (1), hvor f (x) = a = 1 og b = 4 har vi = (= kvadratenheter.

Eksempel 6 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

Det nødvendige området er begrenset av halvbølgen til sinus- og okseaksen (se fig.).

Vi har - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enheter

Eksempel 7. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = - 6x, y = 0 og x = 4.

Figuren er plassert under okseaksen (se fig.).

Derfor finner vi arealet ved formelen (3)

= =

Eksempel 8. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = og x = 2. Tegn y =-kurven etter punkter (se fig.). Dermed finner vi arealet av figuren ved formelen (4)

Eksempel 9 .

X 2 + kl 2 = r 2 .

Her må du beregne arealet avgrenset av sirkelen x 2 + kl 2 = r 2 , det vil si arealet av en sirkel med radius r sentrert ved origo. La oss finne den fjerde delen av dette området, og ta grensene for integrasjon fra 0

dor; vi har: 1 = = [

Derfor, 1 =

Eksempel 10. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = x 2 og y = 2x

Denne figuren er avgrenset av parabelen y = x 2 og den rette linjen y = 2x (se fig.) For å bestemme skjæringspunktene til de gitte linjene, løser vi ligningssystemet: x 2 - 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved å bruke formel (5) for å finne arealet får vi

= = [erstatning:

] =

Derfor konvergerer den uriktige integralen og verdien er lik.

Skriv inn funksjonen du vil finne integralet for

Kalkulatoren gir en DETALJERT løsning på bestemte integraler.

Denne kalkulatoren løser det bestemte integralet av f (x) med gitte øvre og nedre grenser.

Eksempler av

Bruke graden
(kvadrat og terning) og brøker

(x ^ 2 - 1) / (x ^ 3 + 1)

Kvadratrot

Sqrt (x) / (x + 1)

Kubikkrot

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

Bruker sinus og cosinus

2 * sin (x) * cos (x)

Arcsine

X * arcsin (x)

Arccosine

X * arccos (x)

Logaritmeapplikasjon

X * log (x, 10)

Naturlig logaritme

Utstiller

Tg (x) * sin (x)

Cotangens

Ctg (x) * cos (x)

Irrasjonelle brøker

(sqrt (x) - 1) / sqrt (x ^ 2 - x - 1)

Arctangens

X * arctg (x)

Arccotangens

X * arсctg (x)

Hyberbolsk sinus og cosinus

2 * sh (x) * lm (x)

Hyberbolisk tangens og cotangens

Ctgh (x) / tgh (x)

Hyberbolsk arcsine og arccosine

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

Hyberbolisk lysbuetangens og lysbue-cotangens

X ^ 2 * arctgh (x) * arcctgh (x)

Regler for å legge inn uttrykk og funksjoner

Uttrykk kan bestå av funksjoner (betegnelser er gitt i alfabetisk rekkefølge): absolutt (x) Absolutt verdi x
(modul x eller | x |) arccos (x) Funksjon - invers cosinus av x arccosh (x) Arccosine hyperbolsk fra x arcsin (x) Arcsine av x arcsinh (x) Arcsine hyperbolsk av x arctg (x) Funksjon - arctangens av x arctgh (x) Arktangens hyperbolsk av x e e et tall som er omtrent 2,7 exp (x) Funksjon - eksponent fra x(som e^x) logg (x) eller ln (x) Naturlig logaritme av x
(For å oppnå log7 (x), må du skrive inn log (x) / log (7) (eller for eksempel for log10 (x)= logg (x) / logg (10)) pi Tallet er Pi, som er omtrent 3,14 synd (x) Funksjon - Sinus av x cos (x) Funksjon - Cosinus av x sinh (x) Funksjon - Sinus hyperbolsk fra x cosh (x) Funksjon - Cosinus hyperbolsk fra x sqrt (x) Funksjon - kvadratroten av x sqr (x) eller x ^ 2 Funksjon - Firkantet x tg (x) Funksjon - Tangent av x tgh (x) Funksjon - Tangent hyperbolsk fra x cbrt (x) Funksjon - terningrot av x

Følgende operasjoner kan brukes i uttrykk: Reelle tall skriv inn i skjemaet 7.5 , ikke 7,5 2 * x- multiplikasjon 3 / x- divisjon x ^ 3- eksponentiering x + 7- tillegg x - 6- subtraksjon
Andre funksjoner: etasje (x) Funksjon - avrunding x nedover (eksempel etasje (4.5) == 4.0) tak (x) Funksjon - avrunding x oppover (eksempel tak (4,5) == 5,0) tegn (x) Funksjon - Sign x erf (x) Feilfunksjon (eller sannsynlighetsintegral) laplace (x) Laplace funksjon

Denne artikkelen vil vise deg hvordan du finner arealet til en form avgrenset av linjer ved hjelp av integralberegninger. For første gang kommer vi over formuleringen av et slikt problem på videregående, når studiet av bestemte integraler nettopp har passert og det er på tide å starte en geometrisk tolkning av kunnskapen som er oppnådd i praksis.

Så, hva kreves for å lykkes med å løse problemet med å finne arealet til en figur ved å bruke integraler:

• Evne til kompetent å bygge tegninger;
• Evne til å løse en bestemt integral ved å bruke den velkjente Newton-Leibniz-formelen;
• Evnen til å "se" en mer fordelaktig løsning - det vil si, for å forstå hvordan det i dette eller det tilfellet vil være mer praktisk å gjennomføre integrasjonen? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
• Vel, hvor uten korrekte beregninger?) Dette inkluderer å forstå hvordan man løser den andre typen integraler og riktige numeriske beregninger.

Algoritme for å løse problemet med å beregne arealet til en figur avgrenset av linjer:

1. Vi bygger en tegning. Det anbefales å gjøre dette på et stykke papir i et bur, med stor skala. Vi signerer navnet på denne funksjonen med en blyant over hver graf. Signaturen til grafer gjøres utelukkende for å lette videre beregninger. Etter å ha mottatt grafen til ønsket figur, vil det i de fleste tilfeller være umiddelbart synlig hvilke grenser for integrasjon som vil bli brukt. Dermed løser vi problemet grafisk. Imidlertid har det seg slik at verdiene til grensene er brøkdeler eller irrasjonelle. Derfor kan du gjøre ytterligere beregninger, gå til trinn to.

2. Hvis grensene for integrasjon ikke er eksplisitt satt, så finner vi skjæringspunktene til grafene med hverandre, og ser om vår grafiske løsning sammenfaller med den analytiske.

3. Deretter må du analysere tegningen. Avhengig av hvordan funksjonsgrafene er plassert, er det forskjellige tilnærminger til å finne arealet til en figur. La oss vurdere forskjellige eksempler på å finne arealet til en figur ved å bruke integraler.

3.1. Den mest klassiske og enkle versjonen av problemet er når du trenger å finne området til en buet trapes. Hva er en buet trapes? Det er en flat figur avgrenset av x-aksen. (y = 0), rett x = a, x = b og eventuell kurve kontinuerlig på intervallet fra en før b... Dessuten er denne figuren ikke-negativ og ligger ikke under abscisseaksen. I dette tilfellet er arealet av den krumlinjede trapesen numerisk lik en bestemt integral beregnet av Newton-Leibniz-formelen:

Eksempel 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hva er linjene som avgrenser figuren? Vi har en parabel y = x2 - 3x + 3 som ligger over aksen ÅH, det er ikke-negativt, fordi alle punkter i denne parabelen er positive. Videre de rette linjene x = 1 og x = 3 som går parallelt med aksen OU, er avgrensningslinjene til formen til venstre og høyre. Vi vil y = 0, er det x-aksen, som begrenser figuren nedenfra. Den resulterende formen er skyggelagt som vist på bildet til venstre. I dette tilfellet kan du umiddelbart begynne å løse problemet. Vi har foran oss et enkelt eksempel på en krumlinjet trapes, som vi løser videre ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen.

3.2. I forrige avsnitt 3.1 analyserte vi tilfellet når den krumlinjede trapesen er plassert over x-aksen. Tenk nå på tilfellet når betingelsene for problemet er de samme, bortsett fra at funksjonen ligger under x-aksen. Et minus legges til standard Newton-Leibniz-formelen. Vi vil vurdere hvordan vi løser et lignende problem videre.

Eksempel 2 ... Beregn arealet av en form avgrenset av linjer y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

I dette eksemplet har vi en parabel y = x2 + 6x + 2 som stammer fra under aksen ÅH, rett x = -4, x = -1, y = 0... Her y = 0 avgrenser ønsket form ovenfra. Direkte x = -4 og x = -1 dette er grensene som en bestemt integral vil bli beregnet innenfor. Prinsippet for å løse problemet med å finne arealet til en figur sammenfaller nesten fullstendig med eksempel nummer 1. Den eneste forskjellen er at den gitte funksjonen ikke er positiv, og fortsatt er kontinuerlig i intervallet [-4; -1] ... Hva betyr ikke positivt? Som du kan se av figuren, har figuren, som er innenfor spesifisert x, utelukkende "negative" koordinater, som vi må se og huske når vi løser problemet. Vi ser etter området til figuren ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, bare med et minustegn i begynnelsen.

Artikkelen er ufullstendig.