Secțiuni: Matematică

Obiectivele lecției:

Educațional: predați să rezolve sisteme de ecuații exponențiale; pentru a consolida abilitățile de rezolvare a ecuațiilor incluse în aceste sisteme

Educativ: educați curățenia.

Dezvoltarea: dezvoltarea unei culturi a scrisului și a vorbirii.

Echipament: calculator; proiector multimedia.

În timpul orelor

Organizarea timpului

Profesor. Astăzi vom continua studiul capitolului Funcție exponențială. Vom formula subiectul lecției puțin mai târziu. În timpul lecției, vei completa formularele de răspuns care se află pe mesele tale ( cm. Anexa nr. 1 ). Răspunsurile vor fi rezumate.

Actualizare de cunoștințe.

Elevii răspund la întrebări:

• Ce formă are funcția exponențială?

Lucru oral. Lucrați la diapozitivele de la 1 la 5.

• Ce ecuație se numește exponențială?
• Ce metode de rezolvare cunoașteți?

Lucrare orală pe diapozitivele de la 6 la 10.

• Ce proprietate a funcției exponențiale este folosită pentru a rezolva inegalitatea exponențială?

Lucrare orală pe diapozitivele de la 11 la 15.

Exercițiu. Înregistrați răspunsurile la aceste întrebări pe formularul de răspuns # 1. ( cm. Anexa nr. 1 ). (diapozitivele de la 16 la 31)

Verificarea temelor

.

Ne verificăm temele după cum urmează.

Înlocuiți rădăcinile ecuațiilor cu litera corespunzătoare și ghiciți cuvântul.

Elevii se uită la formularul de răspuns # 2 ( Anexa 1) ... Profesorul arată diapozitivul numărul 33

(Elevii numesc un cuvânt (diapozitivul 34)).

• Ce fenomene se desfășoară conform legilor acestei funcții?

Elevii sunt invitați să rezolve sarcini de la examenul B12 (diapozitivul 35) și să noteze soluția în formularul de răspuns nr. 3 ( Anexa 1).

În cursul verificării temelor și al rezolvării problemei B12, vom repeta metodele de rezolvare a ecuațiilor exponențiale.

Elevii constată că rezolvarea unei ecuații cu două variabile necesită o altă ecuație.

Apoi se formulează tema lecției (diapozitivul numărul 37).

Sistemul este înregistrat în caiete (diapozitivul numărul 38).

Pentru a rezolva acest sistem, repetăm ​​metoda substituției (diapozitivul 39).

Metoda de adăugare se repetă în timpul rezolvării sistemului (diapozitivul 38 până la 39).

Consolidarea primară a materialului studiat

:

Elevii rezolvă independent sisteme de ecuații în formularele de răspuns nr. 4 ( Anexa 1 ), primind sfaturi individuale de la un profesor.

Rezumând. Reflecţie.

Continuați frazele.

• Astăzi la lecție am repetat...
• Astăzi la lecție am reparat...
• Astăzi, la lecția pe care am învățat-o...
• Astăzi, la lecția pe care am învățat-o...

La sfârșitul lecției, elevii își notează temele, predau foile de răspuns

Lecții de făcut acasă:

Nr. 59 (par) și Nr. 62 (par).

Literatură

1. Toate sarcinile Examenului de stat unificat grupa 3000 de probleme - Editura „Examen” Moscova, 2011. Editat de A.L. Semenova, I.V. Iascenko.
2. S.A. Shestakov, P.I. Zakharov EGE 2010 problema de matematică C1 editată de A.L. Semenova, I.V. Editura Iascenko din Moscova „MCNMO”.
3. Tutorial Algebra și începutul analizei matematice, clasa a 10-a Yu.M. Kolyagin Moscova „Educație”, 2008.

Lecție și prezentare pe tema: „Ecuații exponențiale și inegalități exponențiale”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Tutorial interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Tutorial interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Determinarea ecuaţiilor exponenţiale

Băieți, am studiat funcțiile exponențiale, le-am învățat proprietățile și am construit grafice, am analizat exemple de ecuații în care au fost întâlnite funcții exponențiale. Astăzi vom studia ecuațiile exponențiale și inegalitățile.

Definiție. Ecuațiile de forma: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, unde $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ se numesc ecuații exponențiale.

Reamintind teoremele pe care le-am studiat la tema „Funcția exponențială”, putem introduce o nouă teoremă:
Teorema. Ecuația exponențială $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, unde $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, este echivalentă cu ecuația $ f (x) = g (x ) $.

Exemple de ecuații exponențiale

Exemplu.
Rezolvarea ecuatiilor:
a) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
b) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
c) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Soluţie.
a) Știm bine că 27 $ = 3 ^ 3 $.
Să ne rescriem ecuația: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Folosind teorema de mai sus, aflăm că ecuația noastră se reduce la ecuația $ 3x-3 = 3 $, rezolvând această ecuație, obținem $ x = 2 $.
Răspuns: $ x = 2 $.

B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Atunci ecuația noastră poate fi rescrisă: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Răspuns: $ x = 0 $.

C) Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ și $ x_2 = -3 $.
Răspuns: $ x_1 = 6 $ și $ x_2 = -3 $.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Soluţie:
Vom efectua secvențial o serie de acțiuni și vom aduce ambele părți ale ecuației noastre la aceleași baze.
Să efectuăm o serie de operații în partea stângă:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Să trecem la partea dreaptă:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 $ * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Răspuns: $ x = 0 $.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Soluţie:
Să ne rescriem ecuația: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Să facem schimbarea variabilelor, fie $ a = 3 ^ x $.
În noile variabile, ecuația va lua forma: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ și $ a_2 = 3 $.
Să efectuăm schimbarea inversă a variabilelor: $ 3 ^ x = -12 $ și $ 3 ^ x = 3 $.
În ultima lecție, am învățat că expresiile exponențiale pot lua doar valori pozitive, amintiți-vă graficul. Prin urmare, prima ecuație nu are soluții, a doua ecuație are o soluție: $ x = 1 $.
Răspuns: $ x = 1 $.

Să alcătuim o listă de verificare a modalităților de a rezolva ecuațiile exponențiale:
1. Metoda grafică. Reprezentăm ambele părți ale ecuației sub formă de funcții și construim graficele acestora, găsim punctele de intersecție ale graficelor. (Am folosit această metodă în ultima lecție).
2. Principiul egalității indicatorilor. Principiul se bazează pe faptul că două expresii cu aceleași baze sunt egale dacă și numai dacă gradele (indicatorii) acestor baze sunt egale. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Metoda de înlocuire variabilă. Această metodă ar trebui folosită dacă ecuația, la schimbarea variabilelor, își simplifică forma și este mult mai ușor de rezolvat.

Exemplu.
Rezolvați sistemul de ecuații: $ \ begin (cazuri) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ end (cazuri) $.
Soluţie.
Luați în considerare ambele ecuații ale sistemului separat:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Luați în considerare a doua ecuație:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Să folosim metoda schimbării variabilelor, fie $ y = 2 ^ (x + y) $.
Atunci ecuația va lua forma:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ și $ y_2 = -3 $.
Trecând la variabilele inițiale, din prima ecuație obținem $ x + y = 2 $. A doua ecuație nu are soluții. Atunci sistemul nostru inițial de ecuații este echivalent cu sistemul: $ \ begin (cazuri) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ end (cazuri) $.
Scăzând a doua ecuație din prima ecuație, obținem: $ \ begin (cazuri) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ end (cazuri) $.
$ \ begin (cazuri) y = -1, \\ x = 3. \ end (cazuri) $.
Răspuns: $ (3; -1) $.

Inegalități exponențiale

Să trecem la inegalități. Când rezolvați inegalitățile, este necesar să acordați atenție bazei gradului. Există două scenarii posibile pentru dezvoltarea evenimentelor la rezolvarea inegalităților.

Teorema. Dacă $ a> 1 $, atunci inegalitatea exponențială $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ este echivalentă cu inegalitatea $ f (x)> g (x) $.
Dacă 0 USD a ^ (g (x)) $ este echivalent cu inegalitatea $ f (x)

Exemplu.
Rezolvarea inegalităților:
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
b) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Soluţie.
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) În ecuația noastră, baza este mai mică decât 1 , apoi la înlocuirea unei inegalități cu una echivalentă, semnul trebuie schimbat.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

C) Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Să folosim metoda soluției pe intervale:
Răspuns: $ (- ∞; -5] U)