Cum se schimbă distanța de la un punct la o linie? Distanța de la un punct la o dreaptă în spațiu - teorie, exemple, soluții. Determinarea distanței de la un punct la o linie dreaptă

Lăsa să intre spatiu tridimensional sistem de coordonate dreptunghiular fix Oxyz, punct dat, linie Ași este necesar să se găsească distanța de la punct DAR spre drept A.

Vom arăta două moduri de a calcula distanța de la un punct la o linie în spațiu. În primul caz, găsirea distanței de la un punct M 1 spre drept A se rezumă la găsirea distanței de la un punct M 1 până la punctul H 1 , Unde H 1 - baza perpendicularei coborâtă din punct M 1 direct A. În al doilea caz, distanța de la un punct la un plan va fi găsită ca înălțimea unui paralelogram.

Asadar, haideti sa începem.

Prima modalitate de a găsi distanța de la un punct la o dreaptă a în spațiu.

Deoarece, prin definiție, distanța de la un punct M 1 spre drept A este lungimea perpendicularei M 1 H 1 , apoi, după ce au determinat coordonatele punctului H 1 , putem calcula distanța dorită ca distanță dintre puncte Și conform formulei .

Astfel, problema se reduce la găsirea coordonatelor bazei perpendicularei construite din punct M 1 la o linie dreaptă A. Este destul de ușor de făcut: punct H 1 este punctul de intersecție al dreptei A cu un avion care trece printr-un punct M 1 perpendicular pe linie A.

Prin urmare, un algoritm care vă permite să determinați distanța de la un punct spre dreptA in spatiu, este:

A doua metodă, care vă permite să găsiți distanța de la un punct la o linie a în spațiu.

Deoarece în starea problemei ni se dă o linie dreaptă A, atunci putem determina vectorul său de direcție și coordonatele unui punct M 3 culcat pe o linie dreaptă A. Apoi, după coordonatele punctelor și putem calcula coordonatele unui vector:

Lăsați vectorii deoparte iar din punct de vedere M 3 și construiți un paralelogram pe ele. Desenați o înălțime în acest paralelogram M 1 H 1 .

Evident, înălțimea M 1 H 1 paralelogramul construit este egal cu distanța dorită de la punct M 1 spre drept A. Sa gasim .

Pe de o parte, aria paralelogramului (o notăm S) poate fi găsit prin produsul vectorial al vectorilor iar conform formulei . Pe de altă parte, aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre lungimea laturii sale și înălțimea, adică , Unde - lungimea vectorului , egală cu lungimea laturii paralelogramului luat în considerare. Prin urmare, distanța de la punct dat M 1 la o linie dată A poate fi găsită din egalitate Cum .

Asa de, pentru a afla distanța de la un punct spre dreptA necesare în spațiu

Rezolvarea problemelor privind găsirea distanței de la un punct dat la o dreaptă dată în spațiu.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți distanța de la un punct spre drept .

Soluţie.

Prima cale.

Să scriem ecuația planului care trece prin punctul M 1 perpendiculara pe o dreapta data:

Aflați coordonatele unui punct H 1 - punctele de intersecție ale planului și dreptei date. Pentru a face acest lucru, efectuăm trecerea de la ecuațiile canonice ale dreptei la ecuațiile a două plane care se intersectează.

după care rezolvăm sistemul de ecuații liniare Metoda lui Cramer:

În acest fel, .

Rămâne de calculat distanța necesară de la punct la linie ca distanță dintre puncte Și : .

A doua cale.

Numerele din numitorii fracțiilor din ecuațiile canonice ale dreptei sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al acestei drepte, adică - vector directie drept . Să-i calculăm lungimea: .

Evident, linia dreaptă trece printr-un punct , apoi vectorul cu originea în punct și se termină într-un punct mânca . Găsiți produsul încrucișat al vectorilor Și :
atunci lungimea acestui produs încrucișat este .

Acum avem toate datele pentru a folosi formula pentru a calcula distanța de la un punct dat la un plan dat: .

Răspuns:

Dispunerea reciprocă a liniilor în spațiu

Formula pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dintr-un plan

Dacă este dată ecuația dreptei Ax + By + C = 0, atunci distanța de la punctul M(M x , M y) la linie poate fi găsită folosind următoarea formulă

Exemple de sarcini pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dintr-un plan

Exemplul 1

Aflați distanța dintre dreapta 3x + 4y - 6 = 0 și punctul M(-1, 3).

Soluţie.Înlocuiți în formulă coeficienții dreptei și coordonatele punctului

Răspuns: distanța de la un punct la o dreaptă este de 0,6.

ecuația unui plan care trece prin puncte perpendiculare pe un vector Ecuația generală a unui plan

Se numește un vector diferit de zero perpendicular pe un plan dat vector normal (sau, pe scurt, normal ) pentru acest avion.

Lăsați spațiul de coordonate (într-un sistem de coordonate dreptunghiular) dat:

un punct ;

b) un vector diferit de zero (Fig. 4.8, a).

Este necesar să scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector Sfârșitul probei.

Să luăm acum în considerare diferite tipuri de ecuații ale unei linii drepte într-un plan.

1) Ecuația generală a planuluiP .

Din derivarea ecuaţiei rezultă că în acelaşi timp A, BȘi C nu este egal cu 0 (explicați de ce).

Punctul aparține avionului P numai dacă coordonatele sale satisfac ecuaţia planului. În funcție de coeficienți A, B, CȘi D avion P ocupă o poziţie sau alta.

- planul trece prin originea sistemului de coordonate, - planul nu trece prin originea sistemului de coordonate,

- planul este paralel cu axa X,

- planul este paralel cu axa Y,

- planul nu este paralel cu axa Y,

- planul este paralel cu axa Z,

- planul nu este paralel cu axa Z.

Demonstrați singur aceste afirmații.

Ecuația (6) este ușor derivată din ecuația (5). Într-adevăr, lăsați punctul să se afle pe plan P. Atunci coordonatele sale satisfac ecuația Scăzând ecuația (7) din ecuația (5) și grupând termenii, obținem ecuația (6). Luați în considerare acum doi vectori cu coordonate, respectiv. Din formula (6) rezultă că produsul lor scalar este egal cu zero. Prin urmare, vectorul este perpendicular pe vector Începutul și sfârșitul ultimului vector sunt, respectiv, în puncte care aparțin planului P. Prin urmare, vectorul este perpendicular pe plan P. Distanța de la punct la plan P, a cărui ecuație generală este este determinat de formula Dovada acestei formule este complet similară cu demonstrarea formulei pentru distanța dintre un punct și o dreaptă (vezi Fig. 2).
Orez. 2. La derivarea formulei pentru distanța dintre un plan și o dreaptă.

Într-adevăr, distanța dîntre o linie și un plan este

unde este un punct situat pe un avion. De aici, ca și în prelegerea nr. 11, se obține formula de mai sus. Două plane sunt paralele dacă vectorii lor normali sunt paraleli. De aici obținem condiția paralelismului a două plane - cote ecuații generale avioane. Două plane sunt perpendiculare dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari, deci obținem condiția de perpendicularitate a două plane dacă ecuațiile lor generale sunt cunoscute

Injecţie fîntre două plane este egal cu unghiul dintre vectorii lor normali (vezi Fig. 3) și, prin urmare, poate fi calculat din formula
Determinarea unghiului dintre planuri.

(11)

Distanța de la un punct la un avion și cum să o găsiți

Distanța de la punct la avion este lungimea perpendicularei coborâte dintr-un punct în acest plan. Există cel puțin două moduri de a găsi distanța de la un punct la un plan: geometricȘi algebric.

Cu metoda geometrică mai întâi trebuie să înțelegeți cum este situată perpendiculara de la un punct la un plan: poate se află într-un plan convenabil, este o înălțime într-un triunghi convenabil (sau nu așa) sau poate că această perpendiculară este în general o înălțime într-o piramidă. .

După această primă și cea mai dificilă etapă, problema se descompune în câteva probleme planimetrice specifice (poate în planuri diferite).

Cu modul algebric pentru a găsi distanța de la un punct la un plan, trebuie să introduceți un sistem de coordonate, să găsiți coordonatele punctului și ecuația planului și apoi să aplicați formula pentru distanța de la punct la plan.

155*. Determinați dimensiunea reală a segmentului AB al unei drepte în poziție generală (Fig. 153, a).

Soluţie. După cum știți, proiecția unui segment de linie dreaptă pe orice plan este egală cu segmentul în sine (ținând cont de scara desenului), dacă este paralel cu acest plan

(Fig. 153, b). De aici rezultă că prin conversia desenului este necesar să se realizeze paralelismul acestui segment pl. V sau pl. H sau completați sistemul V, H cu un alt plan perpendicular pe pătrat. V sau la pl. H și în același timp paralel cu segmentul dat.

Pe fig. 153, c arată introducerea unui plan suplimentar S, perpendicular pe pătrat. H și paralel cu segmentul AB dat.

Proiecția a s b s este egală cu valoarea naturală a segmentului AB.

Pe fig. 153, d prezintă o altă metodă: segmentul AB este rotit în jurul unei drepte care trece prin punctul B și perpendicular pe pătrat. H, la o poziție paralelă

mp V. În acest caz, punctul B rămâne pe loc, iar punctul A ocupă o nouă poziţie A 1 . Orizont in noua pozitie. proiecție a 1 b || axa x. Proiecția a „1 b” este egală cu valoarea naturală a segmentului AB.

156. Este dată piramida SABCD (Fig. 154). Determinați dimensiunea naturală a muchiilor piramidei AS și CS folosind metoda de schimbare a planurilor de proiecție, iar muchiile BS și DS folosind metoda rotației și luați axa de rotație perpendiculară pe pătrat. H.

157*. Determinați distanța de la punctul A la dreapta BC (Fig. 155, a).

Soluţie. Distanța de la un punct la o dreaptă este măsurată de un segment de perpendiculară trasat de la un punct la o dreaptă.

Dacă linia este perpendiculară pe orice plan (Fig. 155.6), atunci distanța de la punct la linie se măsoară prin distanța dintre proiecția punctului și punctul de proiecție al dreptei pe acest plan. Dacă linia ocupă în sistemul V, H pozitia generala, apoi pentru a determina distanța de la un punct la o dreaptă prin schimbarea planurilor de proiecție, este necesar să se introducă două plane suplimentare în sistemul V, H.

Mai întâi (Fig. 155, c) intrăm în pătrat. S, paralel cu segmentul BC (noua axă S/H este paralelă cu proiecția bс), și construim proiecțiile b s c s și a s . Apoi (Fig. 155, d) introducem un alt pătrat. T perpendicular pe dreapta BC (nouă axă T/S perpendiculară pe b s c s). Construim proiecții ale unei drepte și a unui punct - cu t (b t) și a t. Distanța dintre punctele a t și c t (b t) este egală cu distanța l de la punctul A la dreapta BC.

Pe fig. 155e, aceeași sarcină este îndeplinită prin metoda rotației în forma sa, care se numește metoda mișcării paralele. În primul rând, linia BC și punctul A, păstrându-și poziția reciprocă neschimbată, se rotesc în jurul unei linii (neindicate în desen) perpendiculară pe pătrat. H, astfel încât dreapta BC să fie paralelă cu pătratul. V. Acest lucru este echivalent cu mutarea punctelor A, B, C în planuri paralele cu pătratul. H. În același timp, orizontul. proiecția unui sistem dat (BC + A) nu se modifică nici în mărime, nici în configurație, se modifică doar poziția acestuia față de axa x. Stabilește un orizont. proiecția dreptei BC paralelă cu axa x (poziția b 1 c 1) și determinați proiecția a 1, lăsând deoparte c 1 1 1 \u003d c-1 și a 1 1 1 \u003d a-1 și a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Desenând linii drepte b „b” 1, a „a” 1, c „c” 1 paralele cu axa x, găsim frontul pe ele. proiecțiile b "1, a" 1, c "1. Apoi, mutați punctele B 1, C 1 și A 1 în plane paralele cu pătratul V (tot fără a le schimba poziție relativă), astfel încât să se obțină B 2 C 2 ⊥ pl. H. În acest caz, proiecția dreptei în față va fi perpendiculară pe axele x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, iar pentru a construi proiecția a" 2, trebuie să luați b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, desenați 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 și pune deoparte a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Acum, glisând de la 1 la 2 și de la 1 la 2 || x 1 obținem proiecțiile b 2 c 2 și a 2 și distanța dorită l de la punctul A la dreapta BC. Puteți determina distanța de la A la BC rotind planul definit de punctul A și dreapta BC în jurul orizontalei acestui plan în poziția T || mp H (Fig. 155, e).

În planul dat de punctul A și dreapta BC, trasăm o linie orizontală A-1 (Fig. 155, g) și rotim în jurul ei punctul B. Punctul B se deplasează în pătrat. R (dată în desenul următor R h), perpendicular pe A-1; în punctul O este centrul de rotație al punctului B. Acum determinăm valoarea naturală a razei de rotație a lui VO, (Fig. 155, c). În poziția cerută, adică atunci când pl. T definit de punctul A și linia BC va deveni || mp H, punctul B va ieși pe R h la o distanță Ob 1 de punctul O (poate fi o altă poziție pe aceeași cale R h, dar de cealaltă parte a lui O). Punctul b 1 este orizontul. proiecția punctului B după mutarea acestuia în poziția B 1 în spațiu, când planul definit de punctul A și dreapta BC a luat poziția T.

După ce am tras (Fig. 155 și) linia dreaptă b 1 1, obținem orizontul. proiecția dreptei BC, deja localizată || mp H este în același plan cu A. În această poziție, distanța de la a la b 1 1 este egală cu distanța dorită l. Planul P, în care se află elementele date, poate fi combinat cu pătratul. H (Fig. 155, j), rotind pătratul. P în jurul orizontului ei. urmă. Trecând de la stabilirea planului prin punctul A și dreapta BC la stabilirea dreptelor BC și A-1 (Fig. 155, l), găsim urmele acestor drepte și trasăm urmele P ϑ și Ph h prin ele. Construim (Fig. 155, m) combinat cu pătratul. Poziția H față. urmă - P ϑ0 .

Desenați orizontul prin punctul a. proiecție frontală; frontalul combinat trece prin punctul 2 de pe traseul Р h paralel cu Р ϑ0 . Punctul A 0 - combinat cu pl. H este poziția punctului A. În mod similar, găsim punctul B 0 . Soare direct în combinat cu pl. Poziția H trece prin punctul B 0 și punctul m (urma orizontală a unei drepte).

Distanța de la punctul A 0 la dreapta B 0 C 0 este egală cu distanța dorită l.

Este posibil să se realizeze construcția indicată prin găsirea unei singure urme P h (Fig. 155, n și o). Întreaga construcție este similară cu întoarcerea în jurul orizontalei (vezi Fig. 155, g, c și): urma R h este una dintre liniile orizontale ale pătratului. R.

Dintre metodele de conversie a unui desen date pentru a rezolva această problemă, este de preferat metoda de rotație în jurul unei orizontale sau frontale.

158. Este dată piramida SABC (Fig. 156). Determinați distanțele:

a) de la vârful B al bazei până la latura sa AC prin metoda mișcării paralele;

b) de la vârful S al piramidei până la laturile BC și AB ale bazei prin rotire în jurul orizontalei;

c) de la vârful S spre latura AC a bazei prin schimbarea planurilor de proiecție.

159. Dată o prismă (Fig. 157). Determinați distanțele:

a) între muchiile AD și CF prin schimbarea planurilor de proiecție;

b) între coastele BE și CF prin rotație în jurul față;

c) între muchiile AD şi BE prin metoda mişcării paralele.

160. Determinați dimensiunea reală a patrulaterului ABCD (Fig. 158) combinând cu pătratul. N. Folosiți doar urma orizontală a planului.

161*. Determinați distanța dintre liniile care se intersectează AB și CD (Fig. 159, a) și construiți proiecții ale perpendicularei comune pe acestea.

Soluţie. Distanța dintre liniile de încrucișare este măsurată de segmentul (MN) al perpendicularei pe ambele linii (Fig. 159, b). Evident, dacă una dintre linii este plasată perpendicular pe orice pătrat. T atunci

segmentul MN al perpendicularei pe ambele drepte va fi paralel cu pătratul. Proiecția sa pe acest plan va afișa distanța dorită. Proiecție unghi drept maenad MN n AB pe pătrat. De asemenea, T se dovedește a fi un unghi drept între m t n t și a t b t , deoarece una dintre laturile unghiului drept AMN și anume MN. paralel cu pătratul. T.

Pe fig. 159, c și d, distanța dorită l se determină prin metoda de schimbare a planurilor de proiecție. Mai întâi, introducem un pătrat suplimentar. proiecțiile S, perpendiculare pe pătrat. H și paralel cu linia dreaptă CD (Fig. 159, c). Apoi introducem un alt pătrat suplimentar. T, perpendicular pe pătrat. S și perpendicular pe aceeași linie CD (Fig. 159, d). Acum puteți construi o proiecție a perpendicularei comune desenând m t n t din punctul c t (d t) perpendicular pe proiecția a t b t . Punctele m t și n t sunt proiecții ale punctelor de intersecție ale acestei perpendiculare cu dreptele AB și CD. Din punctul m t (Fig. 159, e) găsim m s pe a s b s: proiecția m s n s trebuie să fie paralelă cu axa T / S. Mai departe, din m s și n s găsim m și n pe ab și cd, iar din ele m „și n” pe un „b” și c „d”.

Pe fig. 159, în arată soluția acestei probleme prin metoda mișcărilor paralele. Mai întâi, punem linia dreaptă CD paralelă cu pătratul. V: proiecție c 1 d 1 || X. În continuare, mutăm liniile CD și AB din pozițiile C 1 D 1 și A 1 B 1 în pozițiile C 2 B 2 și A 2 B 2 astfel încât C 2 D 2 să fie perpendicular pe H: proiecția c "2 d" 2 ⊥ X. Segmentul perpendicularei dorite este situat || mp H, și, prin urmare, m 2 n 2 exprimă distanța necesară l între AB și CD. Găsim poziția proiecțiilor m „2, și n” 2 pe un „2 b” 2 și c „2 d” 2, apoi proiecțiile și m 1 și m „1, n 1 și n” 1, în final, proiecțiile m „și n”, m și n.

162. Este dată piramida SABC (Fig. 160). Determinați distanța dintre muchia SB și latura AC a bazei piramidei și construiți proiecțiile perpendicularei comune pe SB și AC, folosind metoda schimbării planurilor de proiecție.

163. Este dată piramida SABC (Fig. 161). Determinați distanța dintre muchia SH și latura BC a bazei piramidei și construiți proiecțiile perpendicularei comune pe SX și BC folosind metoda deplasării paralele.

164*. Determinaţi distanţa de la punctul A la plan în cazurile în care planul este dat: a) de triunghiul BCD (Fig. 162, a); b) urme (Fig. 162, b).

Soluţie. După cum știți, distanța de la un punct la un plan este măsurată prin mărimea perpendicularei trasate de la punct la plan. Această distanță este proiectată pe orice pătrat. proiecții în mărime naturală, dacă planul dat este perpendicular pe pătrat. proiecții (Fig. 162, c). Această situație poate fi realizată prin conversia desenului, de exemplu, prin schimbarea pătratului. proiecții. Să introducem pătratul. S (Fig. 16ts, d), perpendicular pe pătrat. triunghiul BCD. Pentru a face acest lucru, petrecem în pătrat. triunghiul orizontal B-1 și poziționați axa proiecțiilor S perpendiculară pe orizontală proiecției b-1. Construim proiecții ale unui punct și unui plan - a s și a unui segment c s d s . Distanța de la a s la c s d s este egală cu distanța dorită l a punctului față de plan.

Pe Rio. 162, d se aplică metoda mișcării paralele. Deplasăm întregul sistem până când orizontala B-1 a planului devine perpendiculară pe planul V: proiecția b 1 1 1 trebuie să fie perpendiculară pe axa x. În această poziție, planul triunghiului va deveni proiectat în față, iar distanța l de la punctul A la acesta se va dovedi pătrată. V fără distorsiuni.

Pe fig. 162b planul este dat de urme. Introducem (Fig. 162, e) un pătrat suplimentar. S, perpendicular pe pătrat. P: axa S/H este perpendiculară pe Ph . Restul este clar din desen. Pe fig. 162, bine problema se rezolvă cu ajutorul unei singure deplasări: pl. P merge în poziţia P 1, adică devine proiectat în faţă. Urmări. P 1h este perpendicular pe axa x. Construim un front în această poziție a avionului. urma orizontalei este punctul n "1, n 1. Urma P 1ϑ va trece prin P 1x și n 1. Distanța de la a" 1 la P 1ϑ este egală cu distanța dorită l.

165. Este dată piramida SABC (vezi fig. 160). Determinați distanța de la punctul A la fața SBC a piramidei folosind metoda deplasării paralele.

166. Este dată piramida SABC (vezi fig. 161). Determinați înălțimea piramidei folosind metoda deplasării paralele.

167*. Determinați distanța dintre liniile care se intersectează AB și CD (vezi Fig. 159, a) ca distanță dintre planele paralele trasate prin aceste drepte.

Soluţie. Pe fig. 163, iar planele P și Q sunt prezentate paralele între ele, dintre care pl. Q este trasat prin CD paralel cu AB și pl. P - prin AB paralel cu pătratul. Q. Distanța dintre astfel de planuri este considerată a fi distanța dintre liniile oblice AB și CD. Cu toate acestea, vă puteți limita la construirea unui singur plan, de exemplu Q, paralel cu AB, și apoi determinați distanța cel puțin de la punctul A la acest plan.

Pe fig. 163c prezintă planul Q prin CD paralel cu AB; în proiecțiile ținute cu „e” || a"b" și se || ab. Folosind metoda de schimbare a pătratului. proiecții (Fig. 163, c), introducem un pătrat suplimentar. S, perpendicular pe pătrat. V şi în acelaşi timp

perpendicular pe pătrat. Q. Pentru a desena axa S / V, luăm frontalul D-1 în acest plan. Acum desenăm S / V perpendicular pe d "1" (Fig. 163, c). pl. Q va fi afișat pe pătrat. S ca o linie dreaptă cu s d s . Restul este clar din desen.

168. Este dată piramida SABC (vezi Fig. 160). Determinați distanța dintre muchiile SC și AB Aplicați: 1) metoda de modificare a zonei. proiecții, 2) o metodă de mișcare paralelă.

169*. Determinați distanța dintre plane paralele, dintre care unul este dat de drepte AB și AC, iar celălalt de drepte DE și DF (Fig. 164, a). Efectuați și construcția pentru cazul în care planurile sunt date prin urme (Fig. 164, b).

Soluţie. Distanța (Fig. 164, c) dintre planele paralele poate fi determinată prin trasarea unei perpendiculare din orice punct al unui plan pe alt plan. Pe fig. 164, g a introdus un pătrat suplimentar. S perpendicular pe pătrat. H și la ambele planuri date. Axa S.H este perpendiculară pe orizont. proiectia unei linii orizontale trasate intr-unul din planuri. Construim o proiecție a acestui plan și puncte Într-un alt plan pe Sq. 5. Distanţa punctului d s la dreapta l s a s este egală cu distanţa dorită între plane paralele.

Pe fig. 164, d se dă o altă construcţie (după metoda mişcării paralele). Pentru ca planul exprimat prin dreptele care se intersectează AB și AC să fie perpendicular pe pătrat. V, orizont. stabilim proiecția orizontală a acestui plan perpendicular pe axa x: 1 1 2 1 ⊥ x. Distanța dintre față. proiecţia d "1 a punctului D şi dreapta a" 1 2 "1 (proiecţia frontală a planului) este egală cu distanţa dorită dintre plane.

Pe fig. 164, e arată introducerea unui pătrat suplimentar. S, perpendicular pe pl.H și pe planurile date P și Q (axa S/H este perpendiculară pe urmele Ph h și Q h). Construim urmele Р s , și Q s . Distanța dintre ele (vezi Fig. 164, c) este egală cu distanța dorită l dintre planele P și Q.

Pe fig. 164, g arată deplasarea planelor P 1 n Q 1, către poziţia P 1 şi Q 1 când orizontul. urmele se dovedesc a fi perpendiculare pe axa x. Distanța dintre noul front. urmele P 1ϑ și Q 1ϑ este egală cu distanța necesară l.

170. Având în vedere un paralelipiped ABCDEFGH (Fig. 165). Determinaţi distanţele: a) între bazele paralelipipedului - l 1; b) între feţele ABFE şi DCGH - l 2 ; c) între feţele ADHE şi BCGF-l 3.

Introducere

În acest curs, am luat în considerare tema „distanța de la un punct la o linie”: este dată definiția distanței de la un punct la o linie, sunt oferite ilustrații grafice. Se analizează găsirea distanței de la un punct la o dreaptă în plan și în spațiu prin metoda coordonatelor. După fiecare bloc sunt prezentate teoriile soluții detaliate exemple și sarcini privind găsirea distanței de la un punct la o dreaptă.

Distanța de la un punct la o linie - definiție

Fie o dreaptă a și un punct M 1 care nu se află pe dreapta a să fie date într-un plan sau într-un spațiu tridimensional. Să trasăm o dreaptă b prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a. Să notăm punctul de intersecție al dreptelor a și b ca H 1 . Segmentul M 1 H 1 se numește perpendiculară trasată de la punctul M 1 la dreapta a.

Definiție.

Distanţa de la punctul M 1 la dreapta a este distanţa dintre punctele M 1 şi H 1 .

Cu toate acestea, este mai frecventă definirea distanței de la un punct la o dreaptă, în care apare lungimea perpendicularei.

Definiție.

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la o dreaptă dată.

Această definiție este echivalentă cu prima definiție a distanței de la un punct la o linie.

Poza 1

Rețineți că distanța de la un punct la o linie este cea mai mică dintre distanța de la acel punct la punctele de pe linia dată. Să o arătăm.

Luați un punct Q pe dreapta a care nu coincide cu punctul M 1 . Segmentul M 1 Q se numește oblic, trasat din punctul M 1 la dreapta a. Trebuie să arătăm că perpendiculara trasată de la punctul M 1 la dreapta a este mai mică decât orice oblică trasă de la punctul M 1 la dreapta a. Acest lucru este adevărat: triunghiul M 1 QH 1 este dreptunghic cu ipotenuza M 1 Q, iar lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât lungimea oricăruia dintre catete, prin urmare, .

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei de la punct la linie. În geometria descriptivă, se determină grafic conform algoritmului de mai jos.

Algoritm

Linia dreaptă este transferată într-o poziție în care va fi paralelă cu orice plan de proiecție. Pentru a face acest lucru, aplicați metodele de transformare a proiecțiilor ortogonale.
Desenați o perpendiculară de la un punct la o dreaptă. Această construcție se bazează pe teorema proiecției în unghi drept.
Lungimea unei perpendiculare este determinată prin conversia proiecțiilor acesteia sau folosind metoda triunghiului dreptunghic.

Următoarea figură prezintă un desen complex al punctului M și al dreptei b definite de segmentul de dreaptă CD. Trebuie să găsiți distanța dintre ele.

Conform algoritmului nostru, primul lucru de făcut este să mutați linia într-o poziție paralelă cu planul de proiecție. Este important să înțelegeți că, după transformări, distanța reală dintre punct și linie nu ar trebui să se schimbe. De aceea, este convenabil să folosiți metoda de înlocuire a avionului aici, care nu implică mutarea figurilor în spațiu.

Rezultatele primei etape de construcții sunt prezentate mai jos. Figura arată cum este introdus un plan frontal suplimentar P4 paralel cu b. În noul sistem (P 1 , P 4) punctele C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 sunt la aceeași distanță de axa X 1 ca C"", D"", M"" de la axa x.

Efectuând a doua parte a algoritmului, de la M"" 1 coborâm perpendiculara M"" 1 N"" 1 la dreapta b"" 1, deoarece unghiul drept MND între b și MN este proiectat pe planul P 4 în dimensiune completă. Determinăm poziția punctului N" de-a lungul liniei de comunicație și desenăm proiecția M"N" a segmentului MN.

În etapa finală, este necesar să se determine valoarea segmentului MN prin proiecțiile sale M"N" și M"" 1 N"" 1 . Pentru asta construim triunghi dreptunghic M"" 1 N"" 1 N 0 , al cărui picior N"" 1 N 0 este egal cu diferența (Y M 1 – Y N 1) de îndepărtare a punctelor M" și N" de pe axa X 1. Lungimea ipotenuzei M"" 1 N 0 a triunghiului M"" 1 N"" 1 N 0 corespunde distanței dorite de la M la b.

A doua modalitate de a rezolva

Paralel cu CD introducem un nou plan frontal П 4 . El intersectează P 1 de-a lungul axei X 1 și X 1 ∥C"D". În conformitate cu metoda de înlocuire a planurilor, determinăm proiecțiile punctelor C "" 1, D"" 1 și M"" 1, așa cum se arată în figură.
Perpendicular pe C "" 1 D "" 1 construim un plan orizontal suplimentar P 5 pe care linia dreaptă b este proiectată în punctul C" 2 \u003d b" 2.
Distanța dintre punctul M și linia dreaptă b este determinată de lungimea segmentului M „2 C” 2 marcat cu roșu.