Linia y = 3x + 2 este tangentă la graficul funcției y = -12x ^ 2 + bx-10. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Arată soluția

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y = -12x ^ 2 + bx-10, prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției. iar tangenta, adică -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Obținem sistemul de ecuații \ începe (cazuri) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ end (cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0 ^ 2 = 1, ceea ce înseamnă fie x_0 = -1, fie x_0 = 1. Conform condiției, abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero, deci x_0 = -1, apoi b = 3 + 24x_0 = -21.

Răspuns

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y = f (x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente de dreaptă). Folosind figura, calculați F (9) -F (5), unde F (x) este una dintre antiderivatele lui f (x).

Arată soluția

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F (9) -F (5), unde F (x) este una dintre antiderivatele funcției f (x), este egală cu aria trapezului curbiliniu mărginit prin graficul funcției y = f (x), prin liniile drepte y = 0 , x = 9 și x = 5. Conform graficului, determinăm că trapezul curbat indicat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și o înălțime de 3.

Zona sa este \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă graficul lui y = f "(x) - derivata funcției f (x), definită pe intervalul (-4; 10). Aflați intervalele de scădere ale funcției f (x). În răspuns, indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Arată soluția

Soluţie

După cum știți, funcția f (x) scade pe acele intervale în fiecare punct din care derivata f „(x) este mai mică decât zero. Ținând cont că este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre ele, trei astfel de intervalele se disting în mod natural de figură: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Lungimea celui mai mare dintre ele - (5; 9) este egală cu 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

În figura se prezintă graficul lui y = f "(x) - derivata funcției f (x), definită pe intervalul (-8; 7). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f (x) aparținând intervalul [-6; -2].

Arată soluția

Soluţie

Graficul arată că derivata f "(x) a funcției f (x) își schimbă semnul din plus în minus (în astfel de puncte va fi maxim) la exact un punct (între -5 și -4) din intervalul [-6; -2 ]. Prin urmare, există exact un punct maxim pe intervalul [-6; -2].

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

În figura este prezentat graficul funcției y = f (x), definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte la care derivata funcției f (x) este 0.

Arată soluția

Soluţie

Egalitatea la zero a derivatei într-un punct înseamnă că tangenta la graficul funcției, desenată în acest punct, este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe această diagramă, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte de maxim sau minim). După cum puteți vedea, există 5 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Linia y = -3x + 4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y = -x ^ 2 + 5x-7. Găsiți abscisa punctului de atingere.

Arată soluția

Soluţie

Panta dreptei către graficul funcției y = -x ^ 2 + 5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este egală cu y "(x_0). Dar y" = - 2x + 5, deci y "(x_0). ) = - 2x_0 + 5. Angular coeficientul dreptei y = -3x + 4, specificat în condiție, este egal cu -3. Dreptele paralele au aceeași pantă.De aceea, găsim o astfel de valoare a x_0 care = -2x_0 + 5 = -3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y = f (x) iar punctele -6, -1, 1, 4 sunt marcate pe axa absciselor. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mică? Indicați acest punct în răspunsul dvs.

Clasă de master în matematică

in clasa a 11-a

pe această temă

„FUNȚIA DERIVATĂ

ÎN SARCINIILE UTILIZĂRII "

profesor de matematică

Martynenko E.N.

Anul universitar 2017-2018

Scopul clasei de master: dezvolta abilitățile eleviloraplicarea cunoștințelor teoretice pe tema „Derivată a funcției” pentru rezolvarea problemelor examenului unificat de stat.

Sarcini

Educational:să sintetizeze și să sistematizeze cunoștințele elevilor pe tema

„Derivatul unei funcții”, luați în considerare prototipurile problemelor USE pe această temă, oferă studenților posibilitatea de a-și testa cunoștințele atunci când rezolvă singuri probleme.

În curs de dezvoltare: promovează dezvoltarea memoriei, a atenției, a stimei de sine și a abilităților de autocontrol; formarea competențelor cheie de bază (compararea, juxtapunerea, clasificarea obiectelor, determinarea modalităților adecvate de rezolvare a unei probleme educaționale pe baza unor algoritmi specificați, capacitatea de a acționa independent într-o situație de incertitudine, de a-și controla și evalua activitățile, de a găsi și eliminarea cauzelor dificultăților care au apărut).

Educational: promova:

Formarea unei atitudini responsabile față de învățare în rândul elevilor;

dezvoltarea unui interes susținut pentru matematică;

creând o motivație intrinsecă pozitivă pentru studiul matematicii.

Tehnologii: învăţare diferenţiată individual, TIC.

Metode de predare : verbal, vizual, practic, problematic.

Forme de lucru: individual, frontal, în perechi.

Echipamente și materiale pentru lecție:proiector, ecran, calculator, simulator(Anexa 1), prezentare pentru lecție(Anexa # 2), individual - cartonașe diferențiate pentru lucru independent în perechi(Anexa nr. 3), lista de site-uri de internet, teme diferențiate individual(Anexa #4).

Explicație pentru clasa de master.

Această clasă de master este ținută în clasa a 11-a pentru a se pregăti pentru examenul de stat unificat. Urmărește aplicarea materialului teoretic la tema „Derivată a unei funcții” în rezolvarea problemelor de examen.

Durata cursului de master- 20 de minute.

Structura clasei de master

I. Moment organizatoric -1 min.

II. Comunicarea temei, scopurile cursului de master, motivarea activităților educaționale - 1 min.

III. Lucru frontal. Training „Sarcini Nr. 14 BAZĂ, Nr. 7 PROFIL Examenului Unificat de Stat”. Analiza lucrului cu simulatorul - 7 min.

IV.Individual – lucru diferenţiat în perechi. Rezolvarea independentă a problemelor Nr. 12. (PROFIL) Verificare reciprocă - 9 min. Testare on-line (BASE) Analiza rezultatelor testelor - 8 min

V. Verificarea temelor individuale. -1 minut.

Vi. Individual - teme diferențiate -1 min.

Vii. TEST DE CONTROL 20 DE MINUTE (4 OPȚIUNI)

Progresul clasei de master

eu .Organizarea timpului.

II Comunicarea temei, scopurile master-classului, motivarea activităților educaționale.

(Diapozitive 1-2, Anexa # 2)

Tema lecției noastre este „Derivatul unei funcții în sarcinile examenului”. Toată lumea știe zicala „Bobină mică, dar dragă”. Unul dintre astfel de „bobine” din matematică este derivatul. Derivatul este folosit în rezolvarea multor probleme practice din matematică, fizică, chimie, economie și alte discipline. Vă permite să rezolvați problemele simplu, frumos și interesant.

Tema „Derivată” este prezentată în sarcina nr. 14 a nivelului de bază și în sarcinile nivelului de profil nr. 7,12, 18 și examenul de stat unificat.

Ați lucrat cu documente care reglementează structura și conținutul materialelor de măsurare de control ale examenului unificat de stat la matematică 2018. Faceți o concluzie despre ce cunoștințe și abilități aveți nevoie pentru a rezolva cu succes problemele USE pe tema „Derivată”.

(Diapozitivele 3-4, Anexa # 2)

Ai invatat? „Codificator al elementelor de conținut la MATEMATICĂ pentru pregătirea materialelor de măsurare de control pentru examenul unificat de stat”,

„Codificatorul cerințelor pentru nivelul de pregătire al absolvenților”, „Specificația materialelor de măsurare de control”, „Versiunea demonstrativă a materialelor de măsurare de control a examenului de stat unificat 2018” și aflat ce cunoștințe și abilități despre funcție și derivata ei sunt necesare pentru a rezolva cu succes probleme pe tema „Derivată”.

Necesar

• CUNOAȘTE

reguli de calcul derivate;

derivate ale funcțiilor elementare de bază;

sensul geometric și fizic al derivatului;
ecuația tangentei la graficul funcției;
studiul unei funcții folosind o derivată.

• A FI CAPABIL SĂ

efectuați acțiuni cu funcții (descrieți comportamentul și proprietățile unei funcții conform graficului, găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale acesteia).

• UTILIZARE

cunoștințe și abilități dobândite în practică și viața de zi cu zi.

Ai cunoștințe teoretice despre tema Derivate. Astăzi vom faceÎNVĂȚAȚI SĂ APLICĂ CUNOȘTINȚELE DESPRE FUNCȚIA DERIVATĂ PENTRU A SOLUȚIONA PROBLEMELOR DE UTILIZARE.(Slide 4, Anexa nr. 2)

Nu degeaba Aristotel a spus asta„MINTEA NU ESTE NUMAI ÎN CUNOAȘTERE, CI ȘI ÎN CAPACITATEA DE A APLICARE CUNOAȘTEREA ÎN PRACTICĂ”(Slide 5, Anexa nr. 2)

La sfârșitul lecției, ne vom întoarce la scopul lecției noastre și vom afla dacă l-am atins?

III ... Lucru frontal.Training „Sarcinile Nr. 14 BAZĂ Nr. 7 PROFIL Examenului Unificat de Stat” ( Anexa nr. 1). Analiza lucrului cu simulatorul.

Alegeți răspunsul corect dintre cele patru propuse.

Care este, în opinia dumneavoastră, dificultatea de a îndeplini sarcina #7?

Ce părere aveți, care sunt greșelile tipice pe care absolvenții le fac la examen atunci când rezolvă această problemă?

Când răspundeți la întrebările sarcinii Nr. 14 BAZĂ ȘI Nr. 7 PROFIL, trebuie să puteți descrie comportamentul și proprietățile funcției din graficul derivatei și din graficul funcției - comportamentul și proprietățile derivată a funcției. Și aceasta necesită cunoștințe teoretice bune pe următoarele teme: „Semnificația geometrică și mecanică a derivatei. Tangenta la graficul functiei. Aplicarea derivatei la studiul funcțiilor ”.

Analizați ce sarcini v-au cauzat dificultăți?

Ce întrebări teoretice trebuie să știi?

IV. Оn - testare de linie pe misiunile №14 (BASE)Analiza rezultatelor testelor.

Site pentru testare în lecție:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Cine nu a greșit?

Cine a întâmpinat dificultăți la testare? De ce?

În ce sarcini au fost făcute greșeli?

Încheiați, ce întrebări teoretice trebuie să știți?

Individual – lucru diferențiat în perechi. Rezolvarea independentă a problemelor №12. (PROFIL)Verificare reciprocă.(Anexa # 3)

Amintiți-vă de algoritmul de rezolvare a problemelor №12 din examenul de găsire a punctelor extreme, a extremelor unei funcții, a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe interval folosind derivata.

Rezolvați probleme cu o derivată

Elevii se confruntă cu o problemă:

"Gândește-te, este posibil să rezolvi unele probleme # 12 într-un mod diferit, fără a folosi un derivat?"

1 pereche

2 perechi

3 perechi

4 perechi

(Elevii își apără soluția scriind pașii principali pentru rezolvarea problemelor pe tablă. Elevii oferă două moduri de a rezolva problema #2).

Rezolvarea unei probleme. Concluzie pentru elevi:

„Unele probleme nr. 12 ale examenului pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori a unei funcții pot fi rezolvate fără a folosi derivata, bazându-se pe proprietățile funcțiilor.”

Analizați ce greșeală ați făcut în sarcină?

Ce întrebări teoretice trebuie să repetați?

V. Verificarea temelor individuale. (Slide-urile 7-8, Anexa nr. 2)

Vegelman V. a primit teme individuale: din manualele de pregătire pentru examenul numărul 18.

(Elevul dă soluția problemei, mizând pe metoda funcțional-grafică, ca una dintre metodele de rezolvare a problemelor nr. 18 ale examenului și dă o scurtă explicație a acestei metode).

Vii. Individual - teme diferențiate

(Slide 9, Anexa nr. 2), (Anexa # 4).

Am pregătit o listă de site-uri de internet pentru a mă pregăti pentru examen. De asemenea, puteți face teste online pe aceste site-uri. Pentru următoarea lecție, trebuie să: 1) revizuiți materialul teoretic pe tema „Derivată a unei funcții”;

2) pe site-ul „Banca deschisă de sarcini în matematică” (http://mathege.ru/ ) găsiți prototipuri ale sarcinilor Nr. 14 BAZĂ ȘI Nr. 7 și 12 PROFIL și rezolvați cel puțin 10 probleme PROFIL;

3) V. Vegelman, rezolva probleme cu parametri (ANEXA 4). sarcinile 1-8 (opțiunea 1).UN NIVEL DE BAZĂ DE

VIII. Notele lecției.

Cum te-ai evalua pentru o lecție?

Crezi că ai fi putut să faci mai bine la lecție?

IX. Rezumatul lecției. Reflecţie

Să rezumam munca noastră. Care a fost scopul lecției? Crezi că s-a realizat?

Privește tabla și într-o singură propoziție, alegând începutul frazei, continuă cu propoziția care ți se potrivește cel mai bine.

Am simțit…

Am invatat…

Am reușit …

Am fost capabil să ...

Voi incerca …

Am fost surprins că …

Am vrut…

Poți spune că în timpul lecției a avut loc o îmbogățire a stocului tău de cunoștințe?

Deci, ați repetat întrebările teoretice despre derivata funcției, ați aplicat cunoștințele în rezolvarea prototipurilor sarcinilor USE (Nr. 14 NIVEL DE BAZĂ Nr. 7, 12 NIVEL PROFIL), iar V. Vegelman a finalizat sarcina nr. 18 cu un parametru, care este o sarcină de dificultăți de grad crescut.

A fost o plăcere pentru mine să lucrez cu tine și sper că vei putea aplica cu succes cunoștințele dobândite la lecțiile de matematică nu doar la promovarea Examenului Unificat de Stat, ci și în studiile ulterioare.

Aș dori să închei lecția cu cuvintele unui filozof italianToma d'Aquino„Cunoașterea este un lucru atât de prețios încât nu este rușinos să o obții din orice sursă.”(Diapozitivul 10, Anexa # 2).

Vă doresc succes în pregătirea pentru examen!

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Pregătirea pentru examenul SIMULATOR pe tema „Derivată” Sarcina numărul 14 nivel de bază, numărul 7, 12 nivel de profil

f (x) f / (x) x Figura prezintă graficul derivatei funcției y = f (x), specificată pe intervalul (- 8; 8). Să explorăm proprietățile graficului și vom putea răspunde la multe întrebări despre proprietățile funcției, deși graficul funcției în sine nu este prezentat! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Găsiți puncte unde f / (x) = 0 (acestea sunt zerourile funcției). + - - + +

TESTA numărul 14 Matematică nivel de bază

Figura prezintă graficul funcției y = f (x) și punctele A, B, C și D sunt marcate pe axa Ox. Folosind graficul, atribuiți fiecărui punct caracteristicile funcției și derivata acesteia. ABCD 1) valoarea funcției în punct este negativă, iar valoarea derivatei funcției în punct este pozitivă 2) valoarea funcției în punct este pozitivă, iar valoarea derivatei funcției în punct este negativă 3) valoarea funcției în punct este negativă, iar valoarea derivatei funcției în punct este negativă 4) valoarea funcției în punct este pozitivă, iar valoarea derivata functiei in punct este pozitiva

№ 1 Figura prezintă graficul funcției y = f (x) și punctele marcate A, B, C și D pe axa Ox. Folosind graficul, atribuiți fiecărui punct caracteristicile funcției și derivata acesteia. 1) valoarea funcției în punct este pozitivă, iar valoarea derivatei funcției în punct este negativă 2) valoarea funcției în punct este negativă și valoarea derivatei funcției la punctul este negativ 3) valoarea funcției în punct este pozitivă, iar valoarea derivatei funcției în punct este pozitivă 4) valoarea funcției în punct este negativă, iar valoarea derivatei al funcției în punctul este ABCD pozitiv

Figura prezintă graficul funcției y = f (x). Punctele a, b, c, d și e definesc intervale pe axa Ox. Folosind graficul, atribuiți fiecărui interval caracteristica funcției sau derivata acesteia. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) valorile funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului 2) valorile ​derivate ale funcției sunt negative în fiecare punct al intervalului 3) valorile derivate ale funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului 4) valorile funcției sunt negative în fiecare punct al intervalului

Figura prezintă graficul funcției y = f (x). Numerele a, b, c, d și e definesc intervalele pe axa Ox. Folosind graficul, atribuiți fiecărui interval caracteristica funcției sau derivata acesteia. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) valorile funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului 2) valorile ​ale funcției sunt negative în fiecare punct al intervalului 3) valorile funcțiilor derivate sunt negative în fiecare punct al intervalului 4) valorile derivatei funcției sunt pozitive în fiecare punct al intervalului

Figura prezintă un grafic al unei funcții și tangentele trasate la aceasta în punctele cu abscisele A, B, C și D. A B C D 1) - 1,5 2) 0,5 3) 2 4) - 0,3

Figura prezintă un grafic al unei funcții și tangentele trasate la aceasta în punctele cu abscisele A, B, C și D. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

TEMA numărul 7 Nivel de profil matematică

Probleme pentru sensul geometric al derivatei

1) Figura prezintă graficul funcției y = f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei în punctul x 0. -2 -0,5 2 0,5 Gândește-te! Gândi! Dreapta! Gândi! x 0 Semnificația geometrică a derivatei: k = tg α Unghiul de înclinare al tangentei la axa Ox este obtuz, deci k

5 11 8 2) Funcția continuă y = f (x) este setată pe intervalul (-6; 7). Figura arată graficul ei. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = 6. Verificarea y = f (x) y x 3 Gândiți-vă! Gândi! Gândi! Dreapta! - 6 7 y = 6. Punct de întrerupere. Derivatul NU există în acest moment! О -4 3 5 1, 5

Sarcini pentru determinarea caracteristicilor unei funcții din graficul derivatei sale

3) În figura se prezintă graficul derivatei funcției y = f / (x), dat pe intervalul (- 6; 8). Examinați funcția y = f (x) pentru extremă și indicați numărul punctelor sale extreme. 2 1 4 5 Greșit! Neadevarat! Dreapta! Neadevarat! Verificați (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Figura prezintă graficul derivatei unei funcţii specificate în intervalul [-5; 5]. Examinați funcția pentru monotonitate și indicați cel mai mare punct maxim. 3 2 4 5 Gândește-te! Gândi! Dreapta! Gândi! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 Dintre cele două puncte maxime, cel mai mare x max = 3 max max y

7) Figura prezintă graficul derivatei funcției. Aflați lungimea intervalului crescător al acestei funcții. Verificați O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 Gândiți-vă! + Gândește-te! DREAPTA! GÂNDI! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) În figura este reprezentat graficul derivatei unei funcții multime în intervalul [-5; 5]. Examinați funcția y = f (x) pentru monotonitate și indicați numărul de intervale de scădere. 3 2 4 1 Gândește-te! Gândi! Dreapta! Gândi! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

Sarcini pentru determinarea caracteristicilor unei derivate grafice a unei funcții.

Figura prezintă graficul funcției diferențiabile y = f (x). Pe abscisă sunt marcate nouă puncte: x 1, x 2, ..., x 9. Găsiți toate punctele marcate la care derivata funcției f (x) este negativă. În răspuns, indicați numărul acestor puncte.

În figura este prezentat graficul funcției y = f (x), definită pe intervalul (a; b). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este pozitivă. a) b) Decideți singur! Soluţie. dacă crește. Soluții întregi pentru: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. Numărul lor este 4. Soluții întregi pentru: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. Numărul lor este 5. Răspuns: 4. Răspuns: 5.

Probleme pentru sensul fizic al derivatului

Răspuns: 3 Răspuns: 14

TEMA numărul 12 Nivel de profil matematică

Muncă independentă în perechi Sarcina numărul 12 Nivel de profil

Previzualizare:

Anexa 3 carduri individuale Nr. 12

1. Găsiți punctul maxim al funcției1 Găsiți punctul minim al funcției

2.Găsiți punctul maxim al funcției2Găsiți punctul minim al funcției

Linnik D. Vovnenko I

1.Găsiți cea mai mică valoare a funcției1. Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment

pe segment

Vegelman V.

A.

1. Găsiți punctul maxim al funcției1. Găsiți punctul minim al funcției

2. Găsiți cea mai mică valoare a funcției2. Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment

Pe segment

Leontyeva A. Isaenko K.

PRACTICA ÎN FĂRĂ AUDIT 2

Convertiți grafice de funcții.

Ţintă

Construiți grafice ale funcțiilor folosind diverse transformări, răspundeți la întrebarea problemei.

Finalizarea lucrării

Instrucțiuni metodice

Lucrarea este concepută pentru 10 variante, numărul variantei coincide cu ultima cifră a numărului de serie din listă. De exemplu, 1, 11, 21, 31 ... execută 1 opțiune, 2,12, 22 ... - 2 opțiune etc.

Lucrarea constă din două părți: prima parte a sarcinii 1 - 5, acestea sunt sarcini care trebuie îndeplinite pentru a obține un credit, dacă aceste sarcini sunt finalizate cu o eroare, acestea trebuie corectate și lucrarea trebuie depusă. din nou pentru verificare. A doua parte conține sarcini, prin finalizarea cărora puteți câștiga o notă suplimentară: partea principală +2 sarcini - „4”, partea principală +3 sarcini - „5”.

Sarcina 1. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă, două puncte sunt suficiente pentru a o reprezenta. (luăm în mod arbitrar valorile argumentului x, iar valoarea funcției y, o numărăm substituind-o în formulă).

Pentru a verifica dacă graficul funcției trece prin punctul specificat, trebuie să înlocuiți coordonatele punctului în loc de x și y, dacă obțineți egalitatea corectă, atunci linia dreaptă trece prin punctul specificat, altfel nu .

Sarcina 2, 3, 4. Graficele funcțiilor specificate sunt obținute din graficele funcțiilor , folosind o deplasare de-a lungul axei x sau y.

, mai întâi trasăm funcția sau , apoi îl deplasăm cu unitățile „a” la dreapta sau la stânga (+ a - la stânga, - și la dreapta), apoi îl deplasăm cu unitățile „c” în sus sau în jos (+ b - sus, -b - jos)

La fel și cu alte funcții:

Sarcina 5 Pentru a reprezenta graficul unei funcții: , trebuie să: 1) să grafici funcția , 2) lăsați neschimbată partea din grafic care se află deasupra axei x, 3) oglindită partea graficului care se află sub axa x.

Sarcini pentru o soluție independentă.

Parte obligatorie

Sarcina 1. Trasați un grafic al unei funcții liniare, stabiliți dacă graficul funcției trece prin punctul specificat:

Sarcina 2. Trasați un grafic al unei funcții pătratice, specificați setul de valori pentru această funcție.

Sarcina 3. Construiți un grafic al funcției, stabiliți dacă funcția specificată crește sau scade.

Sarcina 4. Construiți un grafic al funcției, răspundeți la întrebarea problemei.

Sarcina 5. Trasează graficul funcției care conține semnul modulului.

Sarcini pentru evaluare suplimentară.

Sarcina 6. Trasați un grafic al unei funcții dată pe bucăți, stabiliți dacă există un punct de întrerupere pentru această funcție:

Sarcina 7. Să se determine câte soluții are sistemul de ecuații, răspunsul este să se justifice. Trageți concluzii răspunzând la întrebări.

Ce funcții ați trasat în această lucrare?

Cum se numește graficul unei funcții liniare?

Cum se numește graficul unei funcții pătratice?

Ce transformări grafice cunoașteți?

Cum se află graficul unei funcții pare în sistemul de coordonate? Graficul funcției ciudate?

Derivata funcției $ y = f (x) $ la un punct dat $ x_0 $ este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul corespunzător al argumentului ei, cu condiția ca acesta din urmă să tinde spre zero:

$ f „(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

Diferențierea este operația de găsire a unei derivate.

Tabel derivat al unor funcții elementare

Funcţie	Derivat
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (sin ^ 2x) $

Reguli de bază pentru diferențiere

1. Derivata sumei (diferenței) este egală cu suma (diferenței) derivatelor

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

Găsiți derivata funcției $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

Derivata sumei (diferenței) este egală cu suma (diferenței) derivatelor.

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. Derivată a lucrării

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

Aflați derivata $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. Derivată a coeficientului

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

Aflați derivata $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei exterioare cu derivata functiei interioare

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

Sensul fizic al derivatului

Dacă un punct material se mișcă rectiliniu și coordonatele lui se modifică în funcție de timp conform legii $ x (t) $, atunci viteza instantanee a acestui punct este egală cu derivata funcției.

Punctul se deplasează de-a lungul dreptei de coordonate conform legii $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, unde $ x (t) $ este coordonata la momentul $ t $. În ce moment va fi viteza punctului egală cu $ 12 $?

1. Viteza este derivata lui $ x (t) $, deci găsim derivata funcției date

$ v (t) = x "(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. Pentru a afla în ce moment $ t $ viteza a fost egală cu $ 12 $, compuneți și rezolvați ecuația:

Sensul geometric al derivatului

Reamintim că ecuația unei drepte care nu este paralelă cu axele de coordonate poate fi scrisă sub forma $ y = kx + b $, unde $ k $ este panta dreptei. Coeficientul $ k $ este egal cu tangentei unghiului de înclinare dintre linia dreaptă și direcția pozitivă a axei $ Ox $.

Derivata funcției $ f (x) $ în punctul $ x_0 $ este egală cu panta $ k $ a tangentei la grafic în acest punct:

Prin urmare, putem întocmi o egalitate generală:

$ f "(x_0) = k = tgα $

În figură, tangenta la funcția $ f (x) $ crește, prin urmare, coeficientul $ k> 0 $. Deoarece $ k> 0 $, atunci $ f "(x_0) = tgα> 0 $. Unghiul $ α $ dintre tangentă și direcția pozitivă $ Ox $ este ascuțit.

În figură, tangenta la funcția $ f (x) $ scade; prin urmare, coeficientul $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

În figură, tangenta la funcția $ f (x) $ este paralelă cu axa $ Ox $, prin urmare, coeficientul $ k = 0 $, prin urmare, $ f "(x_0) = tan α = 0 $. punctul $ x_0 $ la care $ f "(x_0) = 0 $, numit extrem.

În figura se prezintă graficul funcției $ y = f (x) $ și tangenta la acest grafic, desenată în punctul cu abscisa $ x_0 $. Aflați valoarea derivatei funcției $ f (x) $ în punctul $ x_0 $.

Linia tangentă la grafic crește, prin urmare, $ f "(x_0) = tg α> 0 $

Pentru a găsi $ f "(x_0) $, găsiți tangenta unghiului de înclinare dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $ Ox $. Pentru aceasta, adăugați tangenta la triunghiul $ ABC $.

Aflați tangenta unghiului $ BAC $. (Tangentea unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

Răspuns: 0,25 USD

Derivata este, de asemenea, folosită pentru a găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare:

Dacă $ f "(x)> 0 $ în interval, atunci funcția $ f (x) $ crește în acest interval.

Dacă $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figura prezintă graficul funcției $ y = f (x) $. Găsiți printre punctele $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ acele puncte la care derivata funcției este negativă.

Ca răspuns, notați numărul de puncte acordat.

În sarcina numărul 13 din USE în matematică a nivelului de bază, va trebui să demonstrezi abilitățile și cunoștințele unuia dintre conceptele comportamentului unei funcții: derivate la un punct sau rate de creștere sau scădere. Teoria va fi adăugată la această sarcină puțin mai târziu, dar acest lucru nu ne împiedică să analizăm în detaliu câteva opțiuni tipice.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile nr. 14 din USE în matematică de nivel de bază

Opțiunea 14MB1

Graficul arată dependența temperaturii de timp în timpul încălzirii motorului unui autoturism. Axa orizontală arată timpul în minute scurs de la pornirea motorului; axa verticală este temperatura motorului în grade Celsius.

Folosind graficul, atribuiți fiecărui interval de timp caracteristica procesului de încălzire a motorului în acest interval.

În tabel, sub fiecare literă, indicați numărul corespunzător.

Algoritm de execuție:

1. Selectați intervalul de timp în care temperatura a scăzut.
2. Aplicați o riglă la 30 ° C și determinați intervalul de timp în care temperatura a fost sub 30 ° C.

Soluţie:

Să alegem intervalul de timp în care temperatura a scăzut. Aceasta zona este vizibila cu ochiul liber, incepe la 8 minute din momentul in care motorul este pornit.

Aplicați o riglă la 30 ° C și determinați intervalul de timp la care temperatura a fost sub 30 ° C.

Sub riglă va exista o secțiune corespunzătoare intervalului de timp 0 - 1 min.

Folosind un creion și o riglă, vom afla la ce interval de timp temperatura a fost în intervalul de la 40 ° С la 80 ° С.

Să omitem perpendicularele din punctele corespunzătoare la 40 ° C și 80 ° C graficului, iar din punctele obținute vom omite perpendicularele pe axa timpului.

Vedem ca acest interval de temperatura corespunde unui interval de timp de 3 - 6,5 minute. Adica din cele date in conditia 3 - 6 minute.

Folosim metoda eliminării pentru a selecta răspunsul lipsă.

Opțiunea 14MB2

Soluţie:

Să analizăm graficul funcției A. Dacă funcția crește, atunci derivata este pozitivă și invers. Derivata functiei este egala cu zero in punctele extreme.

În primul rând, funcția A crește, adică. derivata este pozitivă. Aceasta corespunde graficelor derivatelor 2 și 3. În punctul maxim al funcției x = -2, adică în acest punct derivata trebuie să fie zero. Această condiție este îndeplinită de graficul numărul 3.

În primul rând, funcția B scade, adică. derivata este negativă. Aceasta corespunde graficelor derivatelor 1 și 4. Punctul maxim al funcției este x = -2, adică în acest punct derivata trebuie să fie egală cu zero. Această condiție este îndeplinită de graficul numărul 4.

În primul rând, funcția B crește, adică. derivata este pozitivă. Aceasta corespunde graficelor derivatelor 2 și 3. Punctul maxim al funcției x = 1, adică în acest punct derivata trebuie să fie egală cu zero. Această condiție este îndeplinită de graficul numărul 2.

Prin metoda eliminării, putem determina că graficul funcției Γ corespunde graficului derivatei la numărul 1.

Răspuns: 3421.

Opțiunea 14MB3

Algoritm de execuție pentru fiecare dintre funcții:

1. Determinați intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
2. Determinați punctele maxime și minime ale funcțiilor.
3. Trageți concluzii, puneți programele propuse în linie.

Soluţie:

Să analizăm graficul funcției A.

Dacă funcția este în creștere, atunci derivata este pozitivă și invers. Derivata functiei este egala cu zero in punctele extreme.

Punctul extremum este punctul în care se atinge valoarea maximă sau minimă a unei funcții.

În primul rând, funcția A crește, adică. derivata este pozitivă. Aceasta corespunde graficelor derivatelor 3 și 4. În punctul maxim al funcției x = 0, adică în acest punct derivata trebuie să fie egală cu zero. Această condiție este îndeplinită de graficul numărul 4.

Să analizăm graficul funcției B.

În primul rând, funcția B scade, adică. derivata este negativă. Aceasta corespunde graficelor derivatelor 1 și 2. Punctul minim al funcției este x = -1, adică în acest punct derivata trebuie să fie egală cu zero. Această condiție este îndeplinită de graficul numărul 2.

Să analizăm graficul funcției B.

În primul rând, funcția B scade, adică. derivata este negativă. Aceasta corespunde graficelor derivatelor 1 și 2. Punctul minim al funcției x = 0, adică în acest punct derivata trebuie să fie egală cu zero. Această condiție este îndeplinită de graficul numărul 1.

Prin metoda eliminării, putem determina că graficul funcției Γ corespunde graficului derivatei la numărul 3.

Răspuns: 4213.

Opțiunea 14MB4

Figura prezintă un grafic al unei funcții și tangentele trasate la aceasta în punctele cu abscisele A, B, C și D.Coloana din dreapta arată valorile derivatei în punctele A, B, C și D. Folosind graficul, atribuiți fiecărui punct valoarea derivatei funcției din acesta.

PUNCTE
A
V
CU
D

VALORILE DERIVATULUI
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Să ne amintim ce înseamnă derivata, și anume, valoarea sa în punctul - valoarea funcţiei derivate într-un punct este egală cu tangentei pantei (coeficientului) tangentei.

În răspunsuri, avem două opțiuni pozitive și două negative. După cum ne amintim, dacă coeficientul unei linii drepte (grafică y = kx + b) pozitiv, atunci linia dreaptă crește, dacă este negativă, atunci linia dreaptă scade.

Avem două drepte ascendente - în punctele A și D. Acum să ne amintim ce înseamnă valoarea coeficientului k?

Coeficientul k arată cât de repede crește sau scade funcția (de fapt, coeficientul k însuși este derivata funcției y = kx + b).

Prin urmare, k = 2/3 corespunde unei linii mai plate - D și k = 3 - A.

În mod similar, în cazul valorilor negative: punctul B corespunde unei drepte mai abrupte cu k = - 4, iar punctul C - -1/2.

Opțiunea 14MB5

În figură, punctele arată vânzările lunare de încălzitoare din magazinul de electrocasnice. Lunile sunt afișate pe orizontală, iar numărul de încălzitoare vândute pe verticală. Pentru claritate, punctele sunt conectate cu o linie.

Folosind figura, potriviți fiecare dintre perioadele de timp indicate cu o caracteristică de vânzare a radiatoarelor.

Algoritmul de execuție

Analizăm părțile graficului corespunzătoare diferitelor anotimpuri. Formulăm situațiile afișate pe diagramă. Găsim cele mai potrivite variante de răspuns pentru ei.

Soluţie:

Iarna, numărul vânzărilor a depășit 120 buc/lună și era în continuă creștere. Această situație corespunde răspunsului numărul 3. Acestea. primim: A – 3.

În primăvară, vânzările au scăzut treptat de la 120 de încălzitoare pe lună la 50. Opțiunea 2 este cea mai apropiată de această formulare. Noi avem: B – 2.

Vara, numărul vânzărilor nu s-a schimbat și a fost minim. A doua parte a acestei formulări nu este reflectată în răspunsuri și doar # 4 este potrivit pentru prima. Prin urmare avem: LA 4.

În toamnă, vânzările au crescut, dar numărul lor în niciuna dintre luni nu a depășit 100 de unități. Această situație este descrisă în opțiunea # 1. Primim: G – 1.

Opțiunea 14MB6

Graficul arată dependența de timp a vitezei unui autobuz obișnuit. Pe axa verticală viteza autobuzului este marcată în km/h, pe axa orizontală - timpul în minute de la începutul deplasării autobuzului.

Folosind graficul, atribuiți fiecărui interval de timp caracteristica deplasării autobuzului în acest interval.

Algoritmul de execuție

1. Determinați prețul de divizare pe scalele orizontale și verticale.
2. Analizăm pe rând enunțurile 1–4 propuse din coloana din dreapta („Caracteristici”). Le comparăm cu intervalele de timp din coloana din stânga tabelului, găsim perechile „litera-număr” pentru răspuns.

Soluţie:

Diviziunea pe scara orizontală este de 1 s, iar scara verticală este de 20 km/h.

1. Când autobuzul face o oprire, viteza lui este 0. Autobuzul a avut viteză zero timp de 2 minute la rând doar din minutul 9 până în al 11-lea. Acest timp se încadrează în intervalul de 8-12 minute. Deci, avem o pereche pentru răspuns: B – 1.
2. Autobuzul a avut o viteză de 20 km/h și mai mult pentru mai multe intervale de timp. Mai mult decât atât, opțiunea A nu este potrivită aici, deoarece, de exemplu, la minutul 7 viteza era de 60 km/h, opțiunea B - pentru că a fost deja aplicată, opțiunea D - pentru că la începutul și sfârșitul intervalului autobuzul avea viteza zero... În acest caz, opțiunea B este potrivită (12–16 min); la acest interval, autobuzul începe să se deplaseze cu o viteză de 40 km/h, apoi accelerează până la 100 km/m și apoi reduce treptat viteza la 20 km/h. Deci avem: ÎN 2.
3. Limita de viteză este setată aici. În același timp, nu luăm în considerare opțiunile B și C. Intervalele rămase A și D sunt ambele adecvate. Prin urmare, ar fi corect să luăm în considerare mai întâi a 4-a opțiune, apoi să revenim la a 3-a din nou.
4. Din cele două intervale rămase, doar 4–8 minute sunt potrivite pentru caracteristica nr. 4, deoarece a existat o oprire la acest interval (la al 6-lea minut). Nu au fost opriri în intervalul de 18-22 de minute. Primim: A – 4... De aici rezultă că pentru caracteristica nr. 3 este necesar să se ia intervalul Г, adică. se dovedește un cuplu G – 3.

Opțiunea 14MB7

Cifra punctată arată creșterea populației Chinei din 2004 până în 2013. Pe orizontală indică anul, pe verticală - creșterea populației ca procent (creștere a populației față de anul trecut). Pentru claritate, punctele sunt conectate cu o linie.

Folosind cifra, potriviți fiecare dintre perioadele de timp indicate cu caracteristicile creșterii populației Chinei în această perioadă..

Algoritmul de execuție

1. Determinați prețul de împărțire a scării verticale a imaginii. Se găsește ca diferență între o pereche de valori de scară adiacente, împărțită la 2 (deoarece există 2 diviziuni între două valori adiacente).
2. Analizăm secvenţial caracteristicile 1–4 date în condiţie (coloana din stânga tabelului). Comparăm fiecare dintre ele cu o anumită perioadă de timp (coloana din dreapta tabelului).

Soluţie:

Diviziunea pe scară verticală este de 0,01%.

1. Scăderea creșterii a continuat continuu din 2004 până în 2010. În 2010–2011, creșterea a fost stabil minimă, iar din 2012 a început să crească. Acestea. creșterea s-a oprit în 2010. Anul acesta este în perioada 2009-2011. În consecință, avem: ÎN 1.
2. Cea mai „abruptă” linie de scădere a graficului din figură ar trebui considerată cea mai mare scădere a creșterii. Se incadreaza in perioada 2006-2007. și este de 0,04% pe an (0,59-0,56 = 0,04% în 2006 și 0,56-0,52 = 0,04% în 2007). De aici obținem: A – 2.
3. Creșterea indicată în caracteristica nr. 3 a început în 2007, a continuat în 2008 și s-a încheiat în 2009. Aceasta corespunde perioadei de timp B, adică. noi avem: B – 3.
4. Creșterea populației a început să crească după 2011, adică. în 2012–2013 Prin urmare, obținem: G-4.

Opțiunea 14MB8

Figura prezintă un grafic al unei funcții și tangentele trasate la aceasta în punctele cu abscisele A, B, C și D.

Coloana din dreapta arată valorile derivatei funcției în punctele A, B, C și D. Folosind graficul, atribuiți fiecărui punct valoarea derivatei funcției din acesta.

Algoritmul de execuție

1. Considerăm o pereche de tangente care au un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei absciselor. Le comparăm, găsim o potrivire între perechea de valori corespunzătoare ale derivatelor.
2. Luați în considerare o pereche de tangente care formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei absciselor. Le comparăm în valoare absolută, stabilim corespondența lor cu valorile derivatelor dintre cele două rămase în coloana din dreapta.

Soluţie:

Un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei absciselor este format din derivate în punctul B și punctul C. Aceste derivate au valori pozitive. Prin urmare, aici ar trebui să alegeți între valorile nr. 1 și 3. Aplicând regula conform căreia, dacă unghiul este mai mic de 45 0, atunci derivata este mai mică decât 1, iar dacă mai mult, atunci mai mult de 1, concluzionăm: în punctul B, derivata modulo este mai mare decât 1, în punctul C - mai mică decât 1. Aceasta înseamnă că puteți forma perechi pentru răspuns: LA 3și С – 1.

Derivatele din punctul A și punctul D formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a abscisei. Și aici aplicăm aceeași regulă, parafrazând-o puțin: cu cât tangenta din punct este mai „apasată” la linia axei absciselor (la direcția sa negativă), cu atât este mai mare în valoare absolută. Atunci obținem: derivata din punctul A este mai mică în valoare absolută decât derivata din punctul D. Prin urmare, avem perechi pentru răspuns: A – 2și D – 4.

Opțiunea 14MB9

În figură, punctele arată temperatura medie zilnică a aerului la Moscova în ianuarie 2011. Pe orizontală indică ziua lunii, pe verticală - temperatura în grade Celsius. Pentru claritate, punctele sunt conectate cu o linie.

Folosind figura, potriviți fiecare dintre perioadele de timp indicate cu caracteristica schimbării temperaturii.

Algoritmul de execuție

Analizăm secvenţial caracteristicile 1-4 (coloana din dreapta), folosind graficul din figură. Punem fiecare dintre ele în corespondență cu o anumită perioadă de timp (coloana din stânga).

Soluţie:

1. O creștere a temperaturii a fost observată abia la sfârșitul perioadei 22–28 ianuarie. Aici pe 27 și 28 a crescut cu 1, respectiv 2 grade. La sfârşitul perioadei 1–7 ianuarie, temperatura era stabilă (–10 grade), la sfârşitul lunilor 8–14 şi 15–21 ianuarie a scăzut (de la –1 la –2 şi de la –11 la – 12 grade, respectiv). Prin urmare, obținem: G – 1.
2. Deoarece fiecare perioadă de timp acoperă 7 zile, temperatura trebuie analizată începând cu a 4-a zi a fiecărei perioade. Temperatura a rămas neschimbată timp de 3-4 zile doar din 4 până în 7 ianuarie. Prin urmare, obținem răspunsul: A – 2.
3. Temperatura minimă lunară a fost observată pe 17 ianuarie. Acest număr este în perioada 15-21 ianuarie. De aici avem o pereche: LA 3.
4. Temperatura maximă a scăzut pe 10 ianuarie și s-a ridicat la +1 grade. Această dată se încadrează în perioada 8-14 ianuarie. Prin urmare, avem: B – 4.

Opțiunea 14MB10

Algoritmul de execuție

1. Valoarea funcției într-un punct este pozitivă dacă acest punct este situat deasupra axei Ox.
2. Derivata într-un punct este mai mare decât zero dacă tangenta la acest punct formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei Ox.

Soluţie:

Punctul A. Este sub axa Ox, ceea ce înseamnă că valoarea funcției din acesta este negativă. Dacă desenați o tangentă în ea, atunci unghiul dintre ea și direcția pozitivă Ox va fi de aproximativ 90 0, adică. formează un unghi ascuțit. Deci, în acest caz, numărul caracteristic 3 este potrivit. Acestea. noi avem: A – 3.

Punctul B. Este situat deasupra axei Ox, i.e. punctul are o valoare pozitivă a funcției. Linia tangentă în acest punct va fi destul de aproape de axa absciselor, formând un unghi obtuz (puțin mai mic de 180 0) cu direcția sa pozitivă. În consecință, derivata în acest moment este negativă. Astfel, aici este potrivită caracteristica 1. Obținem răspunsul: ÎN 1.

Punctul C. Punctul este situat sub axa Ox, tangenta din el formează un unghi obtuz mare cu direcția pozitivă a axei absciselor. Acestea. la punctul C, valoarea atât a funcției, cât și a derivatei este negativă, ceea ce corespunde caracteristicii nr. 2. Răspuns: C – 2.

Punctul D. Punctul este deasupra axei Ox, iar tangenta din acesta formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei. Acest lucru sugerează că atât valoarea funcției, cât și valoarea derivatei sunt mai mari decât zero aici. Răspuns: D – 4.

Opțiunea 14MB11

În figură, punctele arată vânzările lunare de frigidere din magazinul de electrocasnice. Lunile sunt afișate pe orizontală, iar numărul de frigidere vândute pe verticală. Pentru claritate, punctele sunt conectate cu o linie.

Folosind cifra, potriviți fiecare dintre perioadele de timp indicate cu o caracteristică de vânzare a frigiderelor..