Acest articol este dedicat tehnicilor de rezolvare a diferitelor ecuații și inegalități care conțin
variabilă sub semnul modulului.

Dacă întâlniți o ecuație sau o inegalitate cu un modul la examen, o puteți rezolva prin
fără a cunoaște deloc metode speciale și folosind doar definiția modulului. Adevăr,
poate dura o oră și jumătate de timp prețios pentru examen.

Prin urmare, vrem să vă spunem despre tehnicile care simplifică rezolvarea unor astfel de probleme.

În primul rând, amintiți-vă că

Luați în considerare diferitele tipuri ecuații cu modul... (Vom trece la inegalități mai târziu.)

În stânga este modulul, în dreapta este numărul

Acesta este cel mai simplu caz. Să rezolvăm ecuația

Există doar două numere ale căror module sunt egale cu patru. Acestea sunt 4 și −4. Prin urmare, ecuația
este echivalent cu o combinație a două simple:

A doua ecuație nu are soluții. Soluții la prima: x = 0 și x = 5.

Răspuns: 0; 5.

Variabilă atât sub modul, cât și în afara modulului

Aici trebuie să extindeți modulul prin definiție. ... ... sau sa gandesti!

Ecuația se încadrează în două cazuri, în funcție de semnul expresiei sub modul.
Cu alte cuvinte, echivalează cu o combinație a două sisteme:

Rezolvarea primului sistem:. Al doilea sistem nu are soluții.
Raspunsul 1.

Primul caz: x ≥ 3. Scoateți modulul:

Numărul, fiind negativ, nu satisface condiția x ≥ 3 și, prin urmare, nu este o rădăcină a ecuației inițiale.

Să aflăm dacă numărul îndeplinește această condiție. Pentru a face acest lucru, compuneți diferența și determinați semnul acesteia:

Prin urmare, este mai mult de trei și, prin urmare, este rădăcina ecuației originale

Al doilea caz: x< 3. Снимаем модуль:

Număr . mai mare decât și, prin urmare, nu satisface condiția x< 3. Проверим :

Mijloace, . este rădăcina ecuației inițiale.

Eliminați modulul prin definiție? E înfricoșător chiar și să te gândești la asta, pentru că discriminantul nu este un pătrat complet. Să folosim mai bine următoarea considerație: o ecuație de forma | A | = B este echivalent cu combinația a două sisteme:

La fel, dar ușor diferit:

Cu alte cuvinte, rezolvăm două ecuații, A = B și A = −B, apoi selectăm rădăcini care îndeplinesc condiția B ≥ 0.

Să începem. În primul rând, rezolvăm prima ecuație:

Apoi rezolvăm a doua ecuație:

Acum, în fiecare caz, verificăm semnul din partea dreaptă:

Prin urmare, numai și sunt potrivite.

Ecuații cuadratice cu înlocuirea | x | = t

Să rezolvăm ecuația:

Deoarece, este convenabil să faceți înlocuirea | x | = t. Primim:

Răspuns: ± 1.

Modulul este egal cu modul

Vorbim despre ecuații de forma | A | = | B |. Acesta este un dar al destinului. Fără dezvăluiri de module prin definiție! E simplu:

De exemplu, luați în considerare ecuația:. Este echivalent cu următorul agregat:

Rămâne să rezolvi fiecare dintre ecuațiile mulțimii și să notezi răspunsul.

Două sau mai multe module

Să rezolvăm ecuația:

Să nu ne deranjam cu fiecare modul separat și să-l extindem prin definiție - vor fi prea multe opțiuni. Există o modalitate mai rațională - metoda intervalelor.

Expresiile modulului dispar în punctele x = 1, x = 2 și x = 3. Aceste puncte împart linia numerică în patru intervale (intervale). Marcam aceste puncte pe linia numerica si aranjam semnele pentru fiecare dintre expresii sub module la intervalele obtinute. (Ordinea semnelor este aceeași cu ordinea modulelor corespunzătoare din ecuație.)

Astfel, trebuie să luăm în considerare patru cazuri - când x este în fiecare dintre intervale.

Cazul 1: x ≥ 3. Toate modulele sunt eliminate „cu un plus”:

Valoarea rezultată x = 5 satisface condiția x ≥ 3 și, prin urmare, este rădăcina ecuației inițiale.

Cazul 2: 2 ≤ x ≤ 3. Ultimul modul este acum eliminat „cu minus”:

Valoarea rezultată a lui x este de asemenea bună - aparține intervalului luat în considerare.

Cazul 3: 1 ≤ x ≤ 2. Al doilea și al treilea modul sunt eliminate „cu minus”:

Am obținut egalitatea numerică corectă pentru orice x din intervalul considerat ca soluții pentru această ecuație.

Cazul 4: x ≤ 1 ≤ 1. Al doilea și al treilea modul sunt eliminate „cu minus”:

Nimic nou. Știm deja că x = 1 este o soluție.

Răspuns: ∪ (5).

Modul în modul

Să rezolvăm ecuația:

Începem prin a extinde modulul intern.

1) x ≤ 3. Se obține:

Expresia sub modulul dispare la. Acest punct aparține celor luate în considerare
interval. Prin urmare, trebuie să analizăm două subcazuri.

1.1) Obținem în acest caz:

Această valoare a lui x nu este validă deoarece nu aparține intervalului luat în considerare.

1.2). Atunci:

Această valoare x nu este, de asemenea, validă.

Deci, pentru x ≤ 3 nu există soluții. Să trecem la al doilea caz.

2) x ≥ 3. Avem:

Iată-ne cu noroc: expresia x + 2 este pozitivă în intervalul luat în considerare! Prin urmare, nu vor mai exista sub-cazuri: modulul este eliminat „cu un plus”:

Această valoare a lui x se află în intervalul considerat și, prin urmare, este rădăcina ecuației originale.

Așa se rezolvă toate sarcinile de acest tip - deschidem modulele imbricate unul câte unul, începând cu cel intern.

MBOU Scoala Gimnaziala Nr 17 Ivanov

« Ecuații cu modul "
Dezvoltare metodică

Compilat de

profesor de matematica

N.V. Lebedeva

20010 g.

Notă explicativă

Capitolul 1 Introducere

Secțiunea 2. Proprietăți de bază Secțiunea 3. Interpretarea geometrică a conceptului de modul al unui număr Secțiunea 4. Graficul funcției y = | x | Secțiunea 5. Convenții

Capitolul 2. Rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul

Secțiunea 1. Ecuații de forma |F (x) | = m (cel mai simplu) Secțiunea 2. Ecuații de forma F (| x |) = m Secțiunea 3. Ecuații de forma |F (x) | = G (x) Secțiunea 4. Ecuații de forma |F (x) | = ± F (x) (frumos) Secțiunea 5. Ecuații de forma |F (x) | = | G (x) | Secțiunea 6. Exemple de rezolvare a ecuațiilor nestandard Secțiunea 7. Ecuații de forma |F (x) | + | G (x) | = 0 Secțiunea 8. Ecuații de forma | a 1 x ± b 1 | ± | a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± în n | = m Secțiunea 9. Ecuații care conțin module multiple

Capitolul 3. Exemple de rezolvare a diverselor ecuații cu un modul.

Secțiunea 1. Ecuații trigonometrice Secțiunea 2. Ecuații exponențiale Secțiunea 3. Ecuații logaritmice Secțiunea 4. Ecuații iraționale Secțiunea 5. Sarcini de complexitate crescută Răspunsuri la exerciții Bibliografie

Notă explicativă.

Conceptul de valoare absolută (modul) a unui număr real este una dintre caracteristicile sale esențiale. Acest concept este larg răspândit în diferite ramuri ale științelor fizice, matematice și tehnice. În practica predării unui curs de matematică în școala secundară, în conformitate cu Programul Ministerului Apărării al Federației Ruse, conceptul de „valoarea absolută a unui număr” apare în mod repetat: în clasa a VI-a, definirea unui modul, este introdus sensul său geometric; în clasa a VIII-a se formează conceptul de eroare absolută, se are în vedere soluția celor mai simple ecuații și inegalități care conțin modulul, se studiază proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice; în clasa a XI-a conceptul se regăsește la secțiunea „Rădăcină n- gradul”. Experiența de predare arată că elevii se confruntă adesea cu dificultăți în rezolvarea sarcinilor care necesită cunoașterea acestui material și de multe ori sar înainte de a începe să le finalizeze. În textele sarcinilor de examen pentru cursul claselor a IX-a și a XI-a sunt incluse și sarcini similare. În plus, cerințele pe care universitățile le pun absolvenților de școală diferă, și anume, la un nivel superior cerințelor din programa școlară. Pentru viața în societatea modernă, este foarte important să se formeze un stil matematic de gândire, manifestat în anumite abilități mentale. În procesul de rezolvare a problemelor cu module, este necesară abilitatea de a aplica tehnici precum generalizarea și concretizarea, analiza, clasificarea și sistematizarea, analogia. Rezolvarea unor astfel de sarcini vă permite să verificați cunoștințele principalelor secțiuni ale cursului școlar, nivelul de gândire logică, abilitățile inițiale ale activității de cercetare. Această lucrare este dedicată uneia dintre secțiuni - rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul. Este format din trei capitole. Primul capitol prezintă conceptele de bază și cele mai importante calcule teoretice. În al doilea capitol sunt propuse nouă tipuri de bază de ecuații care conțin un modul, sunt luate în considerare metode de rezolvare a acestora, sunt analizate exemple de diferite niveluri de complexitate. Al treilea capitol oferă ecuații mai complexe și non-standard (trigonometrice, exponențiale, logaritmice și iraționale). Fiecare tip de ecuație are exerciții pentru rezolvare independentă (răspunsurile și indicațiile sunt atașate). Scopul principal al acestei lucrări este de a oferi asistență metodologică profesorilor în pregătirea lecțiilor și în organizarea cursurilor opționale. Materialul poate fi folosit și ca suport didactic pentru elevii de liceu. Sarcinile oferite în lucrare sunt interesante și nu întotdeauna ușor de rezolvat, ceea ce face posibilă conștientizarea motivației educaționale a elevilor, testarea abilităților acestora și îmbunătățirea nivelului de pregătire a absolvenților de școală pentru admiterea la universități. Selecția diferențiată a exercițiilor propuse presupune trecerea de la nivelul reproductiv al stăpânirii materialului la cel creativ, precum și posibilitatea de a preda cum să-ți aplici cunoștințele în rezolvarea unor probleme non-standard.

Capitolul 1 Introducere.

Secțiunea 1. Determinarea valorii absolute .

Definiție : Valoarea absolută (modulul) unui număr real A un număr nenegativ se numește: A sau -A. Desemnare: │ A │ Înregistrarea se citește după cum urmează: „modulul numărului a” sau „valoarea absolută a numărului a”

│ a, dacă a> 0

│a│ = │ 0 dacă a = 0 (1)

│ - a, dacă a
Exemple: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Extindeți modulul de expresie:

a) │x - 8│, dacă x> 12 b) │2x + 3│, dacă x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Secțiunea 2. Proprietăți de bază.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale valorii absolute. Proprietatea #1: Numerele opuse au module egale, adică │а│ = │- a│ Să arătăm că egalitatea este corectă. Să scriem definiția numărului - A : │- a│= (2) Să comparăm colecțiile (1) și (2). Evident, definițiile valorilor absolute ale numerelor Ași - A se potrivesc. Prin urmare, │а│ = │- a│
Când luăm în considerare următoarele proprietăți, ne limităm la formularea lor, deoarece demonstrația lor este dată în Proprietatea #2: Valoarea absolută a sumei unui număr finit de numere reale nu depășește suma valorilor absolute ale termenilor: │а 1 + а 2 + ... + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ + ... + │а n │ Proprietatea numarul 3: Valoarea absolută a diferenței dintre două numere reale nu depășește suma valorilor lor absolute: │а - в│ ≤│а│ + │в│ Proprietatea #4: Valoarea absolută a produsului unui număr finit de numere reale este egală cu produsul valorilor absolute ale factorilor: Proprietatea #5: Valoarea absolută a câtului numerelor reale este egală cu câtul valorilor lor absolute:

Secțiunea 3. Interpretarea geometrică a conceptului de modul al unui număr.

Fiecare număr real poate fi asociat cu un punct de pe dreapta numerică, care va fi imaginea geometrică a numărului real dat. Fiecare punct de pe dreapta numerică corespunde distanței sale de la origine, adică. lungimea segmentului de la origine la punctul dat. Această distanță este întotdeauna considerată o valoare nenegativă. Prin urmare, lungimea segmentului corespunzător va fi interpretarea geometrică a valorii absolute a numărului real dat

Ilustrația geometrică prezentată confirmă în mod clar proprietatea nr. 1, adică. modulele de numere opuse sunt egale. Prin urmare, validitatea egalității este ușor de înțeles: │x - a│ = │a - x│. De asemenea, soluția ecuației │х│ = m, unde m ≥ 0, și anume х 1,2 = ± m, devine mai evidentă. Exemple: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

Secțiunea 4. Graficul funcției y = │х│

Scopul acestei funcții este reprezentat de toate numerele reale.

Secțiunea 5. Convenții.

În viitor, când se vor lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor, se vor folosi următoarele convenții: (- semnul sistemului [- semnul totalității La rezolvarea sistemului de ecuații (inecuații) se găsește intersecția soluțiilor incluse în sistemul de ecuații (inegalități). La rezolvarea unei mulțimi de ecuații (inecuații) se găsește uniunea soluțiilor incluse în mulțimea de ecuații (inegalități).

Capitolul 2. Rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul.

În acest capitol, vom analiza modalități algebrice de a rezolva ecuații care conțin unul sau mai multe module.

Secțiunea 1. Ecuații de forma │F (x) │ = m

O ecuație de acest tip se numește cea mai simplă. Are o soluție dacă și numai dacă m ≥ 0. Prin definiția modulului, ecuația inițială este echivalentă cu o combinație de două ecuații: │ F(x) │ =m
Exemple:
№1. Rezolvați ecuația: │7x - 2│ = 9


Raspuns: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Răspuns: suma rădăcinilor este - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 notăm x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - ambele valori satisfac condiția m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Răspuns: numărul de rădăcini ale ecuației este 7. Exerciții:
№1. Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor: │х - 5│ = 3 №2 ... Rezolvați ecuația și indicați rădăcina mai mică: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Rezolvați ecuația și indicați rădăcina mai mare: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Rezolvați ecuația și indicați întreaga rădăcină: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Rezolvați ecuația și indicați numărul de rădăcini: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Secțiunea 2. Ecuații de forma F (│х│) = m

Argumentul funcției din partea stângă se află sub semnul modulului, iar partea dreaptă este independentă de variabilă. Luați în considerare două moduri de a rezolva ecuații de acest tip. Metoda 1: Prin definiția valorii absolute, ecuația originală este echivalentă cu combinația a două sisteme. În fiecare dintre care se impune o condiție expresiei unui submodul. F(│х│) =m
Deoarece funcția F (│х│) este pară pe întregul domeniu de definiție, rădăcinile ecuațiilor F (x) = m și F (- x) = m sunt perechi de numere opuse. Prin urmare, este suficient să rezolvi unul dintre sisteme (când se consideră exemple în acest fel, se va da soluția unui sistem). Metoda 2: Aplicarea metodei introducerii unei noi variabile. În acest caz, se introduce denumirea │х│ = a, unde a ≥ 0. Această metodă este mai puțin voluminoasă în proiectare.
Exemple: №1 ... Rezolvați ecuația: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Să folosim introducerea unei noi variabile. Notăm │x│ = a, unde a ≥ 0. Obținem ecuația 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Revenind la variabila inițială: │x │ = 1 și │х│ = 1/3. Fiecare ecuație are două rădăcini. Raspuns: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Rezolvați ecuația: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Să găsim soluția primului sistem al mulțimii: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Rețineți că x 2 nu satisface condiția x ≥ 0. Rezolvarea celui de-al doilea sistem va fi opusul lui x 1. Raspuns: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Rezolvați ecuația: x 4 - │х│ = 0 Notăm │х│ = a, unde a ≥ 0. Obținem ecuația a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Revenirea la variabila inițială: │х│ = 0 și │х│ = 1 х = 0; ± 1 Raspuns: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Exerciții: №6. Rezolvați ecuația: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de rădăcini: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați soluțiile întregi: x 4 + │x│ - 2 = 0

Secțiunea 3. Ecuații de forma │F (x) │ = G (x)

Partea dreaptă a unei ecuații de acest tip depinde de variabilă și, prin urmare, are o soluție dacă și numai dacă partea dreaptă este o funcție G (x) ≥ 0. Ecuația inițială poate fi rezolvată în două moduri : Metoda 1: Standard, se bazează pe dezvăluirea unui modul pe baza definiției acestuia și constă într-o tranziție echivalentă la o combinație de două sisteme. │ F(x) │ =G(X)

Este rațional să folosim această metodă în cazul unei expresii complexe pentru funcția G (x) și mai puțin complexă - pentru funcția F (x), deoarece se presupune soluția inegalităților cu funcția F (x). Metoda 2: Constă în trecerea la un sistem echivalent în care se impune o condiție în partea dreaptă. │ F(X)│= G(X)

Această metodă este mai convenabilă de utilizat dacă expresia pentru funcția G (x) este mai puțin complicată decât pentru funcția F (x), deoarece se presupune că inegalitatea G (x) ≥ 0. În plus, în cazul mai multe module, această metodă este recomandată pentru a aplica a doua opțiune. Exemple: №1. Rezolvați ecuația: │x + 2│ = 6 -2x
(1 sens) Răspuns: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 sensuri) Răspuns: produsul rădăcinilor este 3.
№3. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor:
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Răspuns: suma rădăcinilor este 4.
Exerciții: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de soluții: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați produsul rădăcinilor: │х + 3│ = х 2 + х - 6

Secțiunea 4. Ecuații de forma │F (x) │ = F (x) și │F (x) │ = - F (x)

Ecuațiile de acest fel sunt uneori numite „cele mai frumoase”. Deoarece partea dreaptă a ecuațiilor depinde de o variabilă, există soluții dacă și numai dacă partea dreaptă este nenegativă. Prin urmare, ecuațiile inițiale sunt echivalente cu inegalitățile:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 și │F (x) │ = - F (x) F (x) Exemple: №1 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați rădăcina întreagă mai mică: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Răspuns: x = 1№2. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați lungimea decalajului: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Răspuns: Lungimea decalajului este de 6.№3 . Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de soluții întregi: │2 + х - х 2 │ = 2 + х - х 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - х - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Răspuns: 4 soluții întregi.№4 . Rezolvați ecuația, în răspuns indicați cea mai mare rădăcină:
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Răspuns: x = 3.

Exerciții: №12. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați întreaga rădăcină: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de soluții întregi: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Rezolvați ecuația, în răspuns scrieți un număr întreg care nu este rădăcina ecuației:

Secțiunea 5. Ecuații de forma │F (x) │ = │G (x) │

Deoarece ambele părți ale ecuației sunt nenegative, soluția implică luarea în considerare a două cazuri: expresiile submodulului sunt egale sau opuse ca semn. Prin urmare, ecuația inițială este echivalentă cu o combinație a două ecuații: │ F(X)│= │ G(X)│
Exemple: №1. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați întreaga rădăcină: │x + 3│ = │2x - 1│
Răspuns: rădăcină întreagă x = 4.№2. Rezolvați ecuația: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Răspuns: x = 2.№3 . Rezolvați ecuația, în răspuns indicați produsul rădăcinilor:




Rădăcinile ecuației 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Răspuns: produsul rădăcinilor este egal cu - 0,25. Exerciții: №15 ... Rezolvați ecuația, scrieți întreaga soluție în răspunsul dvs.: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați rădăcina mai mică: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor:

Secțiunea 6. Exemple de rezolvare a ecuațiilor nestandard

În această secțiune, vom lua în considerare exemple de ecuații non-standard, atunci când rezolvăm care este dezvăluită prin definiție valoarea absolută a unei expresii. Exemple:

№1. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor: x │x│- 5x - 6 = 0
Răspuns: suma rădăcinilor este 1 №2. . Rezolvați ecuația, în răspuns indicați rădăcina mai mică: x 2 - 4x
- 5 = 0
Răspuns: rădăcină mai mică x = - 5. №3. Rezolvați ecuația:

Răspuns: x = -1. Exerciții: №18. Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Rezolvați ecuația: x 2 - 3x =

№20. Rezolvați ecuația:

Secțiunea 7. Ecuații de forma │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Este ușor de observat că în partea stângă a unei ecuații de acest tip se află suma valorilor nenegative. În consecință, ecuația originală are o soluție dacă și numai dacă ambii termeni sunt egali simultan cu zero. Ecuația este echivalentă cu un sistem de ecuații: │ F(X)│+│ G(X)│=0
Exemple: №1 ... Rezolvați ecuația:
Răspuns: x = 2. №2. Rezolvați ecuația: Răspuns: x = 1. Exerciții: №21. Rezolvați ecuația: №22 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor: №23 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de soluții:

Secțiunea 8. Ecuații de forma │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

Pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip se folosește metoda intervalelor. Dacă o rezolvăm prin extinderea secvențială a modulelor, atunci obținem n seturi de sisteme, ceea ce este foarte greoi și incomod. Să luăm în considerare algoritmul metodei intervalelor: 1). Găsiți valori variabile X la care fiecare modul este egal cu zero (zerouri de expresii ale submodulului):
2). Marcați valorile găsite pe linia numerică, care este împărțită în intervale (numărul de intervale, respectiv, este n+1 ) 3). Stabiliți semnul cu care se dezvăluie fiecare modul la fiecare dintre intervalele obținute (la realizarea unei soluții, puteți folosi o linie numerică prin marcarea semnelor pe ea) 4). Ecuația inițială este echivalentă cu totalitatea n+1 sisteme, fiecare dintre acestea indicând apartenența unei variabile X unul dintre intervale. Exemple: №1 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați cea mai mare rădăcină:
unu). Aflați zerourile expresiilor submodulului: x = 2; x = -3 2). Să marchem valorile găsite pe linia numerică și să determinăm semnul cu care fiecare modul este extins pe intervalele obținute:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- fără soluții Ecuația are două rădăcini. Răspuns: cea mai mare rădăcină x = 2. №2. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați întreaga rădăcină:
unu). Aflați zerourile expresiilor submodulului: x = 1,5; x = - 1 2). Să marchem valorile găsite pe linia numerică și să stabilim cu ce semn se dezvăluie fiecare modul pe intervalele obținute: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Ultimul sistem nu are soluții, prin urmare, ecuația are două rădăcini. În timpul rezolvării ecuației, ar trebui să acordați atenție semnului „-” din fața celui de-al doilea modul. Răspuns: rădăcină întreagă x = 7. №3. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor: 1). Aflați zerourile expresiilor submodulului: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Să marchem valorile găsite pe linia numerică și să stabilim cu ce semn se dezvăluie fiecare modul pe intervalele obținute: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Ecuația are două rădăcini x = 0 și 2. Răspuns: suma rădăcinilor este 2. №4 . Rezolvați ecuația: 1). Aflați zerourile expresiilor submodulului: x = 1; x = 2; x = 3,2). Să determinăm semnul cu care se dezvăluie fiecare modul pe intervalele obținute. 3).
Să combinăm soluțiile primelor trei sisteme. Răspuns: ; x = 5.
Exerciții: №24. Rezolvați ecuația:
№25. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor: №26. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați rădăcina mai mică: №27. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați rădăcina mai mare:

Secțiunea 9. Ecuații care conțin module multiple

Ecuațiile care conțin mai multe module presupun valori absolute în expresiile submodulelor. Principiul principal pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip este dezvăluirea secvențială a modulelor, începând cu cea „externă”. În cursul soluției, sunt utilizate tehnicile discutate în secțiunile №1, №3.

Exemple: №1. Rezolvați ecuația:
Răspuns: x = 1; - unsprezece. №2. Rezolvați ecuația:
Răspuns: x = 0; 4; - 4. №3. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați produsul rădăcinilor:
Răspuns: produsul rădăcinilor este - 8. №4. Rezolvați ecuația:
Să notăm ecuațiile mulțimii (1) și (2) și luați în considerare soluția fiecăruia dintre ele separat pentru comoditatea designului. Deoarece ambele ecuații conțin mai mult de un modul, este mai convenabil să se efectueze o tranziție echivalentă la seturi de sisteme. (1)

(2)


Răspuns:
Exerciții: №36. Rezolvați ecuația, în răspuns scrieți suma rădăcinilor: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Rezolvați ecuația, dacă sunt mai multe rădăcini, în răspuns indicați suma rădăcinilor: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Rezolvați ecuația: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de rădăcini prin: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Rezolvați ecuația, în răspuns indicați numărul de rădăcini:

Secțiunea 3. Ecuații logaritmice.

Înainte de a rezolva următoarele ecuații, este necesar să se repete proprietățile logaritmilor și ale funcției logaritmice. Exemple: №1. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați produsul rădăcinilor: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 caz: dacă x ≥ - 1, atunci log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - satisface condiția х ≥ - 1 2 caz: dacă х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - satisface condiția x - 1
Răspuns: produsul rădăcinilor este - 15.
№2. Rezolvați ecuația, în răspuns indicați suma rădăcinilor: lg
O.D.Z.

Răspuns: suma rădăcinilor este 0,5.
№3. Rezolvați ecuația: log 5
O.D.Z.

Răspuns: x = 9. №4. Rezolvați ecuația: │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Să folosim formula pentru trecerea la o altă bază. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Aflați zerourile expresiilor submodulului: x = 25; x = Aceste numere împart intervalul de valori permise în trei intervale, astfel încât ecuația este echivalentă cu combinația a trei sisteme.
Răspuns: )