Obiective:

1. Învățământ general: pentru a sistematiza, generaliza, extinde cunoștințele și aptitudinile elevilor legate de aplicarea metodelor de rezolvare a inegalităților.
2. Dezvoltare: dezvoltarea capacității elevilor de a asculta o prelegere, notându-l concis într-un caiet.
3. Educațional: pentru a forma motivație cognitivă pentru studiul matematicii.

În timpul orelor

I. Conversație introductivă:

Am terminat subiectul „Rezolvarea ecuațiilor iraționale” și astăzi începem să învățăm cum să rezolvăm inegalitățile iraționale.

În primul rând, să ne amintim ce tipuri de inegalități puteți rezolva și prin ce metode?

Răspuns: Liniar, pătrat, rațional, trigonometric. Pe cele liniare le rezolvăm pe baza proprietăților inegalităților, le reducem pe cele trigonometrice la cele mai simple trigonometrice, rezolvate folosind cercul trigonometric, iar restul, în principal, prin metoda intervalelor.

Întrebare: Pe ce afirmație se bazează metoda de spațiere?

Răspuns: Pe o teoremă care afirmă că o funcție continuă care nu dispare pe un anumit interval își păstrează semnul pe acest interval.

II. Să considerăm o inegalitate irațională ca>

Întrebare: Este posibil să se aplice metoda intervalelor pentru a o rezolva?

Răspuns: Da, din moment ce funcţia y =- continuu pornit D (y).

Rezolvăm această inegalitate metoda intervalului .

Concluzie: am rezolvat destul de ușor această inegalitate irațională prin metoda intervalelor, de fapt, reducând-o la rezolvarea unei ecuații iraționale.

Să încercăm să rezolvăm o altă inegalitate cu această metodă.

3)f (x) continuu pe D (f)

4) Zerouri ale funcției:

• Căutare lungă D (f).
• Este dificil de calculat punctele de întrerupere.

Apare întrebarea: „Nu există alte modalități de a rezolva această inegalitate?”

Evident, există și acum îi vom cunoaște.

III. Asa de, subiect de azi lecția: „Metode de rezolvare a inegalităților iraționale”.

Lecția se va desfășura sub forma unei prelegeri, deoarece tutorialul nu oferă o analiză detaliată a tuturor metodelor. Prin urmare, sarcina noastră importantă este să compunem un rezumat detaliat al acestei prelegeri.

IV. Am vorbit deja despre prima metodă de rezolvare a inegalităților iraționale.

Acest - metoda intervalului , o metodă universală de rezolvare a tuturor tipurilor de inegalități. Dar nu întotdeauna duce la obiectiv într-un mod scurt și simplu.

V. La rezolvarea inegalităților iraționale, puteți folosi aceleași idei ca și atunci când rezolvați ecuații iraționale, dar deoarece verificarea simplă a soluțiilor este imposibilă (la urma urmei, soluțiile inegalităților sunt cel mai adesea intervale numerice întregi), este necesar să folosiți echivalența.

Prezentăm scheme de rezolvare a principalelor tipuri de inegalități iraționale metoda tranzițiilor echivalente de la o inegalitate la un sistem de inegalităţi.

2. Se poate dovedi în mod similar că

Să scriem aceste diagrame pe o placă de referință. Gândește-te acasă la dovezile de tipurile 3 și 4, le vom discuta în lecția următoare.

Vi. Să rezolvăm inegalitatea într-un mod nou.

Inegalitatea originală echivalează cu un set de sisteme.

Vii.Și există o a treia metodă care ajută adesea la rezolvarea inegalităților iraționale complexe. Am vorbit deja despre asta în legătură cu inegalitățile cu modul. Acest metoda de substituție a funcției (substituție cu multiplicatori)... Permiteți-mi să vă reamintesc că esența metodei de înlocuire este că diferența dintre valorile funcțiilor monotone poate fi înlocuită cu diferența dintre valorile argumentelor lor.

Luați în considerare o inegalitate irațională a formei<,

acesta este -< 0.

După teoremă, dacă p (x) crește pe un interval la care Ași b, și A>b, apoi inegalitățile p (a) - p (b)> 0 și a - b> 0 sunt echivalente cu D (p), acesta este

VIII. Să rezolvăm inegalitatea prin înlocuirea factorilor.

Prin urmare, această inegalitate este echivalentă cu sistemul

Astfel, am văzut că aplicarea metodei de schimb de factori pentru a reduce soluția unei inegalități la o metodă de interval reduce semnificativ cantitatea de muncă.

IX. Acum că am acoperit cele trei metode principale de rezolvare a ecuațiilor, să facem lucru independent cu autotestare.

Este necesar să se efectueze următoarele numere (conform manualului lui AM Mordkovich): 1790 (a) - rezolvați_ prin metoda_ tranzițiilor echivalente, _ 1791 (a) - rezolvați prin metoda înlocuirii factorilor Pentru a rezolva inegalitățile iraționale, se se propune utilizarea metodelor analizate anterior la rezolvarea ecuațiilor iraționale:

• modificarea variabilelor;
• utilizarea LDZ;
• folosind proprietăţile monotonităţii funcţiilor.

Finalizarea studiului temei este testul.

Analiza testului arată:

• greșelile tipice ale elevilor slabi, pe lângă cele aritmetice și algebrice, sunt tranziții echivalente incorecte la un sistem de inegalități;
• metoda de înlocuire a multiplicatorului a fost folosită cu succes doar de studenții puternici.

Orice inegalitate care include o funcție sub rădăcină este numită iraţional... Există două tipuri de astfel de inegalități:

În primul caz, rădăcina este mai mică decât funcția g (x); în al doilea, este mai mare. Dacă g (x) - constant, inegalitatea este drastic simplificată. Vă rugăm să rețineți: în exterior, aceste inegalități sunt foarte asemănătoare, dar schemele lor de soluție sunt fundamental diferite.

Astăzi vom învăța cum să rezolvăm inegalitățile iraționale de primul tip - acestea sunt cele mai simple și mai ușor de înțeles. Semnul de inegalitate poate fi strict sau non-strict. Următoarea afirmație este adevărată pentru ei:

Teorema. Orice inegalitate irațională a formei

Echivalent cu sistemul de inegalități:

Nu slab? Să aruncăm o privire la de unde provine un astfel de sistem:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - totul este clar aici. Aceasta este inegalitatea pătrată inițială;
2. f (x) ≥ 0 este ODZ a rădăcinii. Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina pătrată aritmetică există numai din nenegativ numere;
3. g (x) ≥ 0 este intervalul rădăcinii. Punând la pătrat inegalitatea, ardem contra. Ca rezultat, pot apărea rădăcini suplimentare. Inegalitatea g (x) ≥ 0 le întrerupe.

Mulți studenți „se fixează” pe prima inegalitate a sistemului: f (x) ≤ g 2 (x) - și le uită complet pe celelalte două. Rezultatul este previzibil: decizie greșită, puncte pierdute.

Deoarece inegalitățile iraționale sunt un subiect destul de complex, vom analiza 4 exemple deodată. De la elementar la cu adevărat complex. Toate problemele sunt preluate de la examenele de admitere la Universitatea de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

În fața noastră este clasicul inegalitatea irațională: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 este o constantă. Noi avem:

Dintre cele trei inegalități, doar două rămân până la sfârșitul soluției. Deoarece inegalitatea 2 ≥ 0 este întotdeauna valabilă. Intersectăm inegalitățile rămase:

Deci, x ∈ [−1,5; 0,5]. Toate punctele sunt umplute pentru că inegalitățile nu sunt stricte.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Aplicam teorema:

Rezolvăm prima inegalitate. Pentru a face acest lucru, să deschidem pătratul diferenței. Noi avem:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Acum să rezolvăm a doua inegalitate. Si acolo trinom pătrat:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1] ∪∪∪∪)