Mai întâi, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda de spațiere. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:
(x - 5) (x + 3)> 0
Care sunt optiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților este regulile „plus pentru plus este egal cu plus” și „minus pentru minus este egal cu plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul în care ambele paranteze sunt pozitive: x - 5> 0 și x + 3> 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x - 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga există o funcție pătratică, al cărei grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări ulterioare, trebuie să deschideți parantezele. Noi avem:
x 2 - 2x - 15> 0
Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficient a = 1> 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:
Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; + ∞) - acesta este răspunsul.
Vă rugăm să rețineți: imaginea arată exact diagrama functionala mai degrabă decât programul ei. Pentru că pentru un grafic real, trebuie să numărați coordonatele, să calculați offset-urile și alte prostii de care nu avem deloc nevoie acum.
De ce sunt aceste metode ineficiente?
Deci, ne-am uitat la două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi destul de greoaie. Apare prima soluție - doar gândește-te! - un set de sisteme de inegalităţi. A doua soluție nu este, de asemenea, deosebit de ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.
Era o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că factorii nu vor fi 2, ci cel puțin 4. De exemplu:
(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0
Cum poate fi abordată această inegalitate? Parcurgeți toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât putem găsi o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.
Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.
Care este metoda de spațiere
Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x)> 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Rezolvați ecuația f (x) = 0. Astfel, în loc de inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai ușor de rezolvat;
- Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia este împărțită în mai multe intervale;
- Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
- Marcați semnele pe intervalele rămase. Pentru a face acest lucru, este suficient să ne amintim că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.
Asta e tot! După aceea, rămâne doar să scriem intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu un semn „+” dacă inegalitatea a avut forma f (x)> 0, sau cu un semn „-” dacă inegalitatea are forma f (x)< 0.
La prima vedere, ar putea părea că metoda de spațiere este un fel de tablă. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Merită puțină practică - și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
(x - 2) (x + 7)< 0
Lucrăm după metoda intervalelor. Pasul 1: înlocuiți inegalitatea cu ecuația și rezolvați-o:
(x - 2) (x + 7) = 0
Produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:
x - 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Avem două rădăcini. Treceți la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Noi avem:
Acum pasul 3: găsiți semnul funcției în intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr care este mai mare decât numărul x = 2. De exemplu, luați x = 3 (dar nimeni nu interzice să luați x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:
f (x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 110 = 10;
Obținem că f (3) = 10> 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.
Trecând la ultimul punct - este necesar să marcați semnele pe intervalele rămase. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus în stânga.
Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, există un plus la stânga rădăcinii x = −7. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Noi avem:
Să revenim la inegalitatea inițială, care arăta astfel:
(x - 2) (x + 7)< 0
Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Prin urmare, ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Pasul 1: setați partea stângă la zero:
(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 - x = 0 ⇒ x = 1.
Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aceea avem dreptul de a echivala fiecare paranteză individuală cu zero.
Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:
Pasul 3: aflați semnul golului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:
f (x) = (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (−9) = - 1197;
f (10) = −1197< 0.
Pasul 4: aranjați restul semnelor. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:
Asta e tot. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:
(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0
Aceasta este o inegalitate de forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; + ∞)
Acesta este răspunsul.
O notă despre semnele de funcționare
Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalelor apar la ultimii doi pași, adică. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere trebuie luate și unde să pună semnele.
Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalelor, luați în considerare două note pe care este construită:
- O funcție continuă își schimbă semnul numai în acele puncte unde este zero... Astfel de puncte rup axa de coordonate în bucăți, în interiorul cărora semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) = 0 și marchem pe linie rădăcinile găsite. Numerele găsite sunt puncte „limită” care separă plusurile de minusurile.
- Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6), avem dreptul să luăm x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374, dacă vrem. De ce este important? Pentru că mulți studenți încep să roadă îndoieli. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 - un minus? Și nimic - asta nu se va întâmpla niciodată. Toate punctele din același interval dau același semn. Tine minte asta.
Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda de spațiere. Desigur, l-am analizat în cea mai simplă formă. Există inegalități mai complexe - inegalități laxe, fracționale și cu rădăcini repetate. Pentru ei, puteți folosi și metoda de spațiere, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.
Acum aș dori să analizez o tehnică avansată care simplifică dramatic metoda de spațiere. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calculul semnului de pe cea mai dreaptă bucată a dreptei. Din anumite motive, această tehnică nu funcționează în școli (cel puțin, nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - de fapt, acest algoritm este foarte simplu.
Deci, semnul funcției este în partea dreaptă a axei numerelor. Această piesă are forma (a; + ∞), unde a este cea mai mare rădăcină a ecuației f (x) = 0. Pentru a nu arunca în aer creierul, luați în considerare un exemplu specific:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x - 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 - x = 0 ⇒ x = 7;
Avem 3 rădăcini. Să le enumerăm în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.
Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:
Este necesar să găsiți semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. pe (7; + ∞). Dar, după cum am observat deja, pentru a determina semnul, puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - chiar tehnica care nu este folosită în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică + ∞.
„Ce ești, ai fost lapidat? Cum poți înlocui infinitul în funcție?” - s-ar putea să întrebi. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția este negativă pe acest interval. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.
De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)
Imaginează-ți că x este un număr foarte mare. Un miliard sau chiar un trilion. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.
Prima paranteză: (x - 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul este un număr care nu este foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. La fel și cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugăm un miliard la doi, obținem un miliard și un ban - acesta este un număr pozitiv. În sfârșit, a treia paranteză: (7 - x). Aici va fi un minus un miliard, din care au „mestecat” o bucată jalnică în formă de șapte. Acestea. numărul rezultat nu va diferi mult de minus miliard - va fi negativ.
Rămâne de găsit semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima, obținem următoarea construcție:
(+) · (+) · (−) = (−)
Semnul final este un minus! Nu contează cu ce valoarea funcției în sine este egală. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. intervalul din dreapta are semnul minus. Rămâne de efectuat al patrulea pas al metodei de spațiere: aranjați toate semnele. Noi avem:
Inegalitatea inițială a fost următoarea:
(x - 1) (2 + x) (7 - x)< 0
Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; + ∞)
Acesta este tot trucul pe care voiam să-ți spun. În concluzie - încă o inegalitate, care se rezolvă prin metoda intervalelor cu implicarea infinitului. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii extinse. Voi scrie doar ceea ce trebuie cu adevărat să scrieți atunci când rezolvați probleme reale:
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
x (2x + 8) (x - 3)> 0
Înlocuim inegalitatea cu ecuația și o rezolvăm:
x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3.
Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (imediat cu semne):
În partea dreaptă a axei de coordonate există un plus, deoarece functia arata asa:
f (x) = x (2x + 8) (x - 3)
Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar plusurile. Rămâne de scris răspunsul:
x ∈ (−4; 0) ∪ (3; + ∞)
Salut! Dragii mei studenți, în acest articol vom învăța cum să rezolvăm inegalitățile exponențiale cu voi. .
Oricât de complicată ți s-ar părea inegalitatea exponențială, după câteva transformări (vom vorbi despre ele puțin mai târziu) toate inegalitățile sunt reduse la rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale:
a x> b, un x< b și a x ≥ b, a x ≤ b.
Să încercăm să ne dăm seama cum se rezolvă astfel de inegalități.
Vom lua în considerare soluția inegalități stricte... Singura diferență în rezolvarea inegalităților nestricte este că rădăcinile corespunzătoare obținute sunt incluse în răspuns.
Să fie necesară rezolvarea unei inegalități de formă a f (x)> b, Unde a> 1și b> 0.
Priviți schema de rezolvare a unor astfel de inegalități (Figura 1):
Acum să ne uităm la un exemplu concret. Rezolvați inegalitatea: 5 x - 1> 125.
Deoarece 5> 1 și 125> 0, atunci
x - 1> log 5 125, adică
x - 1> 3,
x> 4.
Răspuns: (4; +∞) .
Și care va fi soluția la aceeași inegalitate a f (x)> b, dacă 0
Deci, diagrama din figura 2
Exemplu: Rezolvați inegalitatea (1/2) 2x - 2 ≥ 4
Aplicând regula (Figura 2), obținem
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ –2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.
Răspuns: (–∞; 0] .
Luați în considerare din nou aceeași inegalitate a f (x)> b, dacă a> 0și b<0 .
Deci, diagrama din figura 3:
Un exemplu de rezolvare a unei inegalități (1/3) x + 2> –9... După cum observăm, indiferent de numărul pe care îl înlocuim cu x, (1/3) x + 2 este întotdeauna mai mare decât zero.
Răspuns: (–∞; +∞) .
Dar cum sunt inegalitățile de formă a f (x)< b , Unde a> 1și b> 0?
Diagrama din figura 4:
Și următorul exemplu: 3 3 - x ≥ 8.
Din moment ce 3> 1 și 8> 0, atunci
3 - x> log 3 8, adică
–X> log 3 8 - 3,
X< 3 – log
3 8.
Răspuns: (0; 3 – log 3 8) .
Cum să schimbi soluția la inegalitate a f (x)< b
, la 0
Diagrama din figura 5:
Și următorul exemplu: Rezolvați inegalitatea 0,6 2x - 3< 0,36 .
Urmând schema din figura 5, obținem
2x - 3> log 0,6 0,36,
2x - 3> 2,
2x> 5,
x> 2,5
Răspuns: (2,5; +∞) .
Luați în considerare ultima schemă pentru rezolvarea unei inegalități de formă a f (x)< b , la a> 0și b<0 prezentat în figura 6:
De exemplu, să rezolvăm inegalitatea:
Observăm că indiferent de numărul pe care îl înlocuim cu x, partea stângă a inegalității este întotdeauna mai mare decât zero, iar expresia noastră este mai mică decât -8, adică. și zero, atunci nu există soluții.
Răspuns: fara solutii.
Știind cum sunt rezolvate cele mai simple inegalități exponențiale, se poate trece la rezolvarea inegalităților exponențiale.
Exemplul 1.
Găsiți cea mai mare valoare întreagă x care satisface inegalitatea
Deoarece 6 x este mai mare decât zero (pentru orice x numitorul nu dispare), înmulțim ambele părți ale inegalității cu 6 x, obținem:
440 - 2 6 2x> 8, atunci
- 2 6 2x> 8 - 440,
- 2 6 2x> - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,
X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.
Raspunsul 1.
Exemplul 2.
Rezolvați inegalitatea 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0
Notăm 2 x prin y, obținem inegalitatea y 2 - 3y + 2 ≤ 0, rezolvăm această inegalitate pătrată.
y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 și y 2 = 2.
Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, vom reprezenta graficul:
Atunci soluția inegalității este inegalitatea 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.
Răspuns: (0; 1) .
Exemplul 3... Rezolvați inegalitatea 5 x +1 - 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Să colectăm expresii cu aceleași baze într-o parte a inegalității
5 x +1 - 2,5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1
Scoatem 5 x în partea stângă a inegalității și 3 х în partea dreaptă a inegalității și obținem inegalitatea
5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х
Împărțim ambele părți ale inegalității cu expresia 3 3 x, semnul inegalității nu se modifică, deoarece 3 3 x este un număr pozitiv, obținem inegalitatea:
X< 2 (так как 5/3 > 1).
Răspuns: (–∞; 2) .
Dacă aveți întrebări despre rezolvarea inegalităților exponențiale sau doriți să exersați rezolvarea unor exemple similare, înscrieți-vă la lecțiile mele. Tutor Valentina Galinevskaya.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Și astăzi, inegalitățile raționale nu pot rezolva totul. Mai exact, nu numai toată lumea poate decide. Puțini pot face asta.
Klitschko
Această lecție va fi dură. Atât de greu încât doar Aleșii vor ajunge până la capăt. Prin urmare, înainte de a începe să citesc, recomand îndepărtarea femeilor, pisicilor, copiilor însărcinate și...
Haide, de fapt e simplu. Să presupunem că ați stăpânit metoda intervalelor (dacă nu ați stăpânit-o, vă recomand să vă întoarceți și să o citiți) și ați învățat cum să rezolvați inegalitățile de forma $ P \ left (x \ right) \ gt 0 $, unde $ P \ stânga (x \ dreapta) $ este un polinom sau un produs al polinoamelor.
Cred că nu vă va fi greu să rezolvați, de exemplu, acest gen de joc (apropo, încercați-l pentru încălzire):
\ [\ începe (aliniază) & \ stânga (2 ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ dreapta) \ stânga (4x + 25 \ dreapta) \ gt 0; \\ & x \ stânga (2 ((x) ^ (2)) - 3x-20 \ dreapta) \ stânga (x-1 \ dreapta) \ ge 0; \\ & \ stânga (8x - ((x) ^ (4)) \ dreapta) ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (6)) \ le 0. \\ \ end (aliniere) \]
Acum să complicăm puțin sarcina și să luăm în considerare nu doar polinoamele, ci și așa-numitele fracții raționale ale formei:
unde $ P \ left (x \ right) $ și $ Q \ left (x \ right) $ sunt toate aceleași polinoame de forma $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + (( a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $ sau produsul unor astfel de polinoame.
Aceasta va fi inegalitatea rațională. Punctul fundamental este prezența variabilei $ x $ în numitor. De exemplu, acestea sunt inegalități raționale:
\ [\ începe (aliniază) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ stânga (7x + 1 \ dreapta) \ stânga (11x + 2 \ dreapta)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ stânga (3-x \ dreapta)) ^ (2)) \ stânga (4 - ((x) ^ ( 2)) \ dreapta)) \ ge 0. \\ \ end (aliniere) \]
Și aceasta nu este o inegalitate rațională, ci cea mai comună, care este rezolvată prin metoda intervalelor:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]
Privind în perspectivă, voi spune imediat: există cel puțin două moduri de a rezolva inegalitățile raționale, dar toate se reduc cumva la metoda intervalelor deja cunoscută nouă. Prin urmare, înainte de a examina aceste metode, să ne amintim faptele vechi, altfel nu va avea sens din noul material.
Ce trebuie să știi deja
Nu sunt multe fapte importante. Avem nevoie de doar patru.
Formule de înmulțire prescurtate
Da, da: ne vor bântui pe tot parcursul curriculumului școlar de matematică. Și la universitate. Există destul de multe dintre aceste formule, dar avem nevoie doar de următoarele:
\ [\ begin (align) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ stânga (a-b \ dreapta) \ stânga (a + b \ dreapta); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ stânga (a + b \ dreapta) \ stânga (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ) ^ (2)) \ dreapta); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ stânga (ab \ dreapta) \ stânga (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ ( 2)) \ dreapta). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Atenție la ultimele două formule - acestea sunt suma și diferența cuburilor (nu suma sau cubul diferențelor!). Sunt ușor de reținut dacă observați că semnul din prima paranteză se potrivește cu semnul din expresia originală, iar în a doua este opusul semnului din expresia originală.
Ecuatii lineare
Acestea sunt cele mai simple ecuații de forma $ ax + b = 0 $, unde $ a $ și $ b $ sunt numere obișnuite, cu $ a \ ne 0 $. Această ecuație poate fi rezolvată simplu:
\ [\ începe (aliniază) & ax + b = 0; \\ & ax = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Rețineți că avem dreptul de a împărți la coeficientul $ a $, deoarece $ a \ ne 0 $. Această cerință este destul de logică, deoarece pentru $ a = 0 $ obținem asta:
În primul rând, nu există nicio variabilă $ x $ în această ecuație. În general, acest lucru nu ar trebui să ne încurce (așa se întâmplă, să zicem, în geometrie și destul de des), dar cu toate acestea nu ne mai aflăm în fața unei ecuații liniare.
În al doilea rând, soluția acestei ecuații depinde numai de coeficientul $ b $. Dacă $ b $ este și zero, atunci ecuația noastră are forma $ 0 = 0 $. Această egalitate este întotdeauna adevărată; prin urmare, $ x $ este orice număr (de obicei este scris astfel: $ x \ in \ mathbb (R) $). Dacă coeficientul $ b $ nu este egal cu zero, atunci egalitatea $ b = 0 $ nu este niciodată satisfăcută, adică. nici un răspuns (scrieți $ x \ în \ varnothing $ și citiți „mulțimea soluțiilor este goală”).
Pentru a evita toate aceste complicații, presupunem pur și simplu $ a \ ne 0 $, ceea ce nu limitează în niciun fel gândirea noastră ulterioară.
Ecuații cuadratice
Permiteți-mi să vă reamintesc că aceasta se numește ecuație pătratică:
Aici în stânga este un polinom de gradul doi și din nou $ a \ ne 0 $ (altfel, în loc de o ecuație pătratică, obținem una liniară). Următoarele ecuații sunt rezolvate prin discriminant:
- Dacă $ D \ gt 0 $, obținem două rădăcini diferite;
- Dacă $ D = 0 $, atunci va exista o singură rădăcină, dar a celei de-a doua multiplicități (ce este această multiplicitate și cum să o luăm în considerare - mai multe despre aceasta mai târziu). Sau putem spune că ecuația are două rădăcini identice;
- Pentru $ D \ lt 0 $, nu există deloc rădăcini, iar semnul polinomului $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ pentru orice $ x $ coincide cu semnul coeficientului $ un $. Apropo, acesta este un fapt foarte util, despre care din anumite motive uită să vorbească în lecțiile de algebră.
Rădăcinile în sine sunt considerate conform formulei binecunoscute:
\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]
De aici, de altfel, și restricțiile asupra discriminantului. La urma urmei, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu există. În ceea ce privește rădăcinile, mulți elevi au o mizerie groaznică în cap, așa că am notat special o lecție întreagă: ce este o rădăcină în algebră și cum să o numere - recomand cu căldură să o citești. :)
Acțiuni cu fracții raționale
Tot ce a fost scris mai sus, știi deja dacă ai studiat metoda intervalelor. Dar ceea ce vom analiza acum nu are analogi în trecut - acesta este un fapt complet nou.
Definiție. O fracție rațională este o expresie ca
\ [\ frac (P \ stânga (x \ dreapta)) (Q \ stânga (x \ dreapta)) \]
unde $ P \ stânga (x \ dreapta) $ și $ Q \ stânga (x \ dreapta) $ sunt polinoame.
Evident, este ușor să obțineți o inegalitate dintr-o astfel de fracție - este suficient doar să atribuiți semnul „mai mult” sau „mai puțin” la dreapta. Si putin mai departe vom descoperi ca este o placere sa rezolvi astfel de probleme, acolo totul este foarte simplu.
Problemele încep atunci când există mai multe astfel de fracții într-o expresie. Ele trebuie reduse la un numitor comun - și tocmai în acest moment se comit un număr mare de greșeli ofensive.
Prin urmare, pentru a rezolva cu succes ecuații raționale, trebuie să stăpâniți ferm două abilități:
- Factorizarea polinomului $ P \ stânga (x \ dreapta) $;
- De fapt, reducerea fracțiilor la un numitor comun.
Cum se factorizează un polinom? Foarte simplu. Să presupunem că avem un polinom de forma
Îl echivalăm cu zero. Obținem ecuația gradului $ n $ --lea:
\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = 0 \]
Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am obținut rădăcinile $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (nu vă alarmați: în cele mai multe cazuri vor exista nu mai mult de două dintre aceste rădăcini)... În acest caz, polinomul nostru original poate fi rescris după cum urmează:
\ [\ începe (aliniază) & P \ stânga (x \ dreapta) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ stânga ( x - ((x) _ (1)) \ dreapta) \ cdot \ stânga (x - ((x) _ (2)) \ dreapta) \ cdot ... \ cdot \ stânga (x - ((x) _ (n)) \ dreapta) \ end (aliniere) \]
Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: coeficientul principal $ ((a) _ (n)) $ nu a dispărut nicăieri - va fi un factor separat înaintea parantezelor și, dacă este necesar, poate fi introdus în oricare dintre aceste paranteze (practica arată că cu $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ există aproape întotdeauna fracții printre rădăcini).
Sarcină. Simplificați expresia:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]
Soluţie. În primul rând, să ne uităm la numitori: toate sunt binoame liniare și nu este nimic de luat în considerare. Deci, să luăm în calcul numărătorii:
\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ stânga (x- \ frac (3) (2) \ dreapta) \ stânga (x-1 \ dreapta) = \ stânga (2x- 3 \ dreapta) \ stânga (x-1 \ dreapta); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ stânga (x + 2 \ dreapta) \ stânga (x- \ frac (2) (5) \ dreapta) = \ stânga (x +2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta). \\\ sfârşitul (alinierea) \]
Atenție: în al doilea polinom, coeficientul de conducere „2”, în deplină conformitate cu schema noastră, a apărut mai întâi în fața parantezei, apoi a fost introdus în prima paranteză, deoarece fracția a ieșit acolo.
Același lucru s-a întâmplat și în al treilea polinom, doar că acolo se confundă și ordinea termenilor. Totuși, coeficientul „−5” a ajuns în a doua paranteză (rețineți: puteți introduce factorul într-o singură paranteză!), ceea ce ne-a scutit de neplăcerile asociate rădăcinilor fracționale.
Cât despre primul polinom, totul este simplu acolo: rădăcinile lui sunt căutate fie în mod standard prin discriminant, fie prin teorema lui Vieta.
Să ne întoarcem la expresia originală și să o rescriem cu numărătorii factorizați:
\ [\ începe (matrice) \ frac (\ stânga (x + 5 \ dreapta) \ stânga (x-4 \ dreapta)) (x-4) - \ frac (\ stânga (2x-3 \ dreapta) \ stânga ( x-1 \ dreapta)) (2x-3) - \ frac (\ stânga (x + 2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta)) (x + 2) = \\ = \ stânga (x + 5 \ dreapta) - \ stânga (x-1 \ dreapta) - \ stânga (2-5x \ dreapta) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ final (matrice) \]
Răspuns: $ 5x + $ 4.
După cum puteți vedea, nimic complicat. Un pic de matematică în clasele 7-8 - asta-i tot. Scopul tuturor transformărilor este de a obține ceva simplu dintr-o expresie complexă și înfricoșătoare cu care este ușor de lucrat.
Cu toate acestea, acest lucru nu va fi întotdeauna cazul. Prin urmare, acum vom lua în considerare o problemă mai serioasă.
Dar mai întâi, să ne dăm seama cum să aducem două fracții la un numitor comun. Algoritmul este extrem de simplu:
- Factorizați ambii numitori;
- Luați în considerare primul numitor și adăugați la el factorii care sunt în al doilea numitor, dar nu în primul. Produsul rezultat va fi numitorul comun;
- Aflați ce factori lipsesc pentru fiecare dintre fracțiile originale, astfel încât numitorii să devină egali cu generalul.
Poate că acest algoritm ți se va părea doar un text în care sunt „multe litere”. Prin urmare, vom analiza totul cu un exemplu concret.
Sarcină. Simplificați expresia:
\ [\ stânga (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ dreapta) \ cdot \ stânga (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ dreapta) \]
Soluţie. Este mai bine să rezolvați probleme atât de mari în părți. Să scriem ce este în prima paranteză:
\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]
Spre deosebire de problema anterioară, aici totul nu este atât de simplu cu numitorii. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.
Trinomul pătratic $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ nu poate fi factorizat, deoarece ecuația $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ nu are rădăcini (discriminantul este negativ). ). O lasam neschimbata.
Al doilea numitor - polinomul cubic $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - la o examinare atentă este diferența de cuburi și poate fi descompus cu ușurință conform formulelor de înmulțire abreviate:
\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta) \]
Nimic altceva nu poate fi factorizat, deoarece în prima paranteză există un binom liniar, iar în a doua există o construcție deja familiară nouă, care nu are rădăcini reale.
În cele din urmă, al treilea numitor este un binom liniar care nu poate fi descompus. Astfel, ecuația noastră va lua forma:
\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) - \ frac (1) (x-2) \]
Este destul de evident că numitorul comun va fi exact $ \ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ right) $ și pentru a reduce toate fracțiile la el, trebuie să înmulțiți prima fracție la $ \ stânga (x-2 \ dreapta) $, iar ultima la $ \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta) $. Apoi, rămâne doar să dați următoarele:
\ [\ începe (matrice) \ frac (x \ cdot \ stânga (x-2 \ dreapta)) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) - \ frac (1 \ cdot \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ dreapta)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ stânga (x-2 \ dreapta) + \ stânga (((x) ^ (2)) + 8 \ dreapta) - \ stânga (((x) ) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)). \\ \ final (matrice) \]
Atenție la a doua linie: când numitorul este deja comun, i.e. în loc de trei fracții separate, am scris una mare, nu ar trebui să scapi imediat de paranteze. Este mai bine să scrieți o linie suplimentară și să rețineți că, să zicem, a existat un minus în fața celei de-a treia fracții - și nu va merge nicăieri, ci se va „atârna” în numărător în fața parantezei. Acest lucru vă va scuti de multe greșeli.
Ei bine, în ultima linie, este util să factorizezi numărătorul. Mai mult, acesta este un pătrat exact, iar formulele de înmulțire prescurtate ne vin din nou în ajutor. Noi avem:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta)) = \ frac (((\ stânga (x-2 \ dreapta)) ^ (2))) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ dreapta) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]
Acum să ne ocupăm de a doua paranteză în același mod. Aici voi scrie doar un lanț de egalități:
\ [\ începe (matrice) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)) + \ frac (2 \ cdot \ stânga (x + 2 \ dreapta)) (\ stânga (x-2 \ dreapta) ) \ cdot \ stânga (x + 2 \ dreapta)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ stânga (x + 2 \ dreapta)) (\ stânga (x-2) \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta) ). \\ \ final (matrice) \]
Revenim la problema inițială și ne uităm la produs:
\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ stânga (x-2) \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)) = \ frac (1) (x + 2) \]
Răspuns: \ [\ frac (1) (x + 2) \].
Sensul acestei sarcini este același cu cel al celei anterioare: să arate cât de mult pot fi simplificate expresiile raționale dacă abordezi cu înțelepciune transformarea lor.
Și acum că știți toate acestea, să trecem la subiectul principal al lecției de astăzi - rezolvarea inegalităților fracționale-raționale. Mai mult, după o astfel de pregătire, inegalitățile în sine vor crăpa ca nucile. :)
Principala modalitate de a rezolva inegalitățile raționale
Există cel puțin două abordări pentru rezolvarea inegalităților raționale. Acum vom lua în considerare una dintre ele - cea care este general acceptată în cursul de matematică din școală.
Dar mai întâi, să notăm un detaliu important. Toate inegalitățile sunt împărțite în două tipuri:
- Strict: $ f \ stânga (x \ dreapta) \ gt 0 $ sau $ f \ stânga (x \ dreapta) \ lt 0 $;
- Lax: $ f \ stânga (x \ dreapta) \ ge 0 $ sau $ f \ stânga (x \ dreapta) \ le 0 $.
Inegalitățile de al doilea tip pot fi ușor reduse la primul, precum și ecuația:
Această mică „adăugare” $ f \ stânga (x \ dreapta) = 0 $ duce la un lucru atât de neplăcut precum punctele umplute - am ajuns să le cunoaștem din nou în metoda spațierii. În caz contrar, nu există diferențe între inegalitățile stricte și non-strictive, așa că haideți să analizăm algoritmul universal:
- Colectați toate elementele diferite de zero de pe o parte a semnului de inegalitate. De exemplu, în stânga;
- Aduceți toate fracțiile la un numitor comun (dacă există mai multe astfel de fracții), aduceți unele similare. Apoi, dacă este posibil, factorizează-l în numărător și numitor. Într-un fel sau altul, obținem o inegalitate de forma $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $, unde bifa este semnul inegalității.
- Setați numărătorul la zero: $ P \ stânga (x \ dreapta) = 0 $. Rezolvăm această ecuație și obținem rădăcinile $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... Apoi avem nevoie de că numitorul nu era egal cu zero: $ Q \ stânga (x \ dreapta) \ ne 0 $. Desigur, de fapt, trebuie să rezolvăm ecuația $ Q \ stânga (x \ dreapta) = 0 $ și obținem rădăcinile $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (în problemele reale cu greu vor fi mai mult de trei astfel de rădăcini).
- Marcam toate aceste rădăcini (cu și fără asteriscuri) pe o singură linie numerică, iar rădăcinile fără stele sunt pictate peste, iar cu stele sunt scoase.
- Asezam semnele plus si minus, alegem intervalele de care avem nevoie. Dacă inegalitatea arată ca $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $, atunci răspunsul vor fi intervalele marcate cu „plus”. Dacă $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $, atunci priviți intervalele cu „minusuri”.
Practica arată că cele mai mari dificultăți sunt cauzate de punctele 2 și 4 - transformări competente și aranjarea corectă a numerelor în ordine crescătoare. Ei bine, și la ultimul pas, fiți extrem de atenți: punem mereu semne, bazându-ne pe cea mai recentă inegalitate scrisă înainte de a trece la ecuații... Aceasta este o regulă universală moștenită din metoda spațierii.
Deci, schema este acolo. Sa exersam.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]
Soluţie. Avem în fața noastră o inegalitate strictă de forma $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $. Evident, punctele 1 și 2 din schema noastră au fost deja completate: toate elementele inegalității sunt adunate în stânga, nimic nu trebuie adus la un numitor comun. Prin urmare, trecem direct la al treilea punct.
Setați numărătorul la zero:
\ [\ începe (aliniază) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ end (aliniere) \]
Și numitorul:
\ [\ începe (aliniază) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Mulți oameni se țin de acest loc, deoarece, în teorie, trebuie să scrieți $ x + 7 \ ne 0 $, așa cum este cerut de ODZ (nu puteți împărți la zero, asta-i tot). Dar la urma urmei, în viitor vom scoate punctele care au venit de la numitor, așa că nu trebuie să vă complicați încă o dată calculele - scrieți un semn egal peste tot și nu vă faceți griji. Nimeni nu va reduce punctele pentru asta. :)
Al patrulea punct. Marcăm rădăcinile rezultate pe linia numerică:
Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă
Notă: toate punctele sunt perforate, deoarece inegalitatea originală este strictă... Și aici nu contează dacă aceste puncte au venit de la numărător sau de la numitor.
Ei bine, ne uităm la semne. Luați orice număr $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. De exemplu, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (dar ați putea la fel de bine să luați $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ sau $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). Primim:
Deci, în dreapta tuturor rădăcinilor, avem o zonă pozitivă. Și atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă (nu va fi întotdeauna cazul, dar mai multe despre asta mai târziu). Prin urmare, trecem la al cincilea punct: aranjați semnele și alegeți-l pe cel de care aveți nevoie:
Revenim la ultima inegalitate, care era înainte de soluția ecuațiilor. De fapt, coincide cu cea originală, deoarece nu am efectuat nicio transformare în această sarcină.
Deoarece este necesar să se rezolve o inegalitate de forma $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $, am umbrit intervalul $ x \ in \ left (-7; 3 \ right) $ - este singurul marcat cu semnul minus. Acesta este răspunsul.
Răspuns: $ x \ în \ stânga (-7; 3 \ dreapta) $
Asta e tot! Este dificil? Nu, nu e greu. Adevărat, iar sarcina a fost ușoară. Acum să complicăm puțin misiunea și să luăm în considerare o inegalitate mai „fantezică”. Când o rezolv, nu voi mai da astfel de calcule detaliate - voi doar să subliniez punctele cheie. În general, îl vom aranja în același mod în care s-ar face la o muncă sau un examen independent. :)
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (\ stânga (7x + 1 \ dreapta) \ stânga (11x + 2 \ dreapta)) (13x-4) \ ge 0 \]
Soluţie. Aceasta este o inegalitate liberă de forma $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Toate elementele diferite de zero sunt colectate în stânga, nu există numitori diferiți. Să trecem la ecuații.
Numărător:
\ [\ începe (aliniază) & \ stânga (7x + 1 \ dreapta) \ stânga (11x + 2 \ dreapta) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Numitor:
\ [\ începe (aliniază) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Nu știu ce fel de pervers a fost această problemă, dar rădăcinile nu au funcționat prea bine: ar fi dificil să le plasezi pe linia numerică. Și dacă cu rădăcina $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ totul este mai mult sau mai puțin clar (acesta este singurul număr pozitiv - va fi în dreapta), atunci $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ și $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ necesită cercetări suplimentare: care dintre ele e mai mare?
Puteți afla, de exemplu, astfel:
\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2) )) \]
Sper că nu este nevoie să explic de ce fracția numerică $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Dacă este necesar, vă recomand să vă amintiți cum să efectuați acțiuni cu fracții.
Și marchem toate cele trei rădăcini pe linia numerică:
Punctele de la numărător sunt completate, de la numitor - scoate
Punem semne. De exemplu, puteți lua $ ((x) _ (0)) = 1 $ și puteți afla semnul în acest moment:
\ [\ begin (align) & f \ left (x \ right) = \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4); \\ & f \ stânga (1 \ dreapta) = \ frac (\ stânga (7 \ cdot 1 + 1 \ dreapta) \ stânga (11 \ cdot 1 + 2 \ dreapta)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ end (align) \]
Ultima inegalitate dinaintea ecuațiilor a fost $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, deci ne interesează semnul plus.
Avem două seturi: unul este un segment obișnuit, iar celălalt este o rază deschisă pe linia numerică.
Răspuns: $ x \ in \ stânga [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ dreapta] \ bigcup \ stânga (\ frac (4) (13); + \ infty \ dreapta ) $
O notă importantă despre numerele pe care le înlocuim cu semnul din intervalul din dreapta. Nu este deloc necesar să înlocuiți un număr apropiat de rădăcina din dreapta. Puteți lua miliarde sau chiar „plus-infinit” - în acest caz, semnul polinomului din paranteză, numărător sau numitor este determinat exclusiv de semnul coeficientului principal.
Să aruncăm o altă privire la funcția $ f \ left (x \ right) $ din ultima inegalitate:
Există trei polinoame în înregistrarea ei:
\ [\ începe (aliniază) & ((P) _ (1)) \ stânga (x \ dreapta) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ stânga (x \ dreapta) = 11x + 2; \\ & Q \ stânga (x \ dreapta) = 13x-4. \ end (aliniere) \]
Toate sunt binoame liniare, iar toți coeficienții conducători (numerele 7, 11 și 13) sunt pozitivi. Prin urmare, atunci când înlocuiți numere foarte mari, polinoamele în sine vor fi și ele pozitive. :)
Această regulă poate părea excesiv de complicată, dar numai la început, când analizăm probleme foarte ușoare. În inegalitățile grave, substituția plus-infinit ne va permite să descoperim semnele mult mai rapid decât standardul $ ((x) _ (0)) = 100 $.
Ne vom confrunta foarte curând cu astfel de provocări. Dar mai întâi, să ne uităm la o modalitate alternativă de a rezolva inegalitățile fracționale-raționale.
Mod alternativ
Această tehnică mi-a fost sugerată de unul dintre elevii mei. Eu însumi nu l-am folosit niciodată, dar practica a arătat că mulți studenți sunt cu adevărat mai convenabil să rezolve inegalitățile în acest fel.
Deci, datele inițiale sunt aceleași. Este necesar să se rezolve inegalitatea fracționară-rațională:
\ [\ frac (P \ stânga (x \ dreapta)) (Q \ stânga (x \ dreapta)) \ gt 0 \]
Să ne gândim: cum este polinomul $ Q \ stânga (x \ dreapta) $ „mai rău” decât polinomul $ P \ stânga (x \ dreapta) $? De ce trebuie să luăm în considerare grupuri separate de rădăcini (cu și fără asterisc), să ne gândim la punctele de puncție etc.? Este simplu: o fracție are un domeniu de definiție, a cărui consoană fracția are sens numai atunci când numitorul ei este diferit de zero.
În caz contrar, nu pot fi urmărite diferențe între numărător și numitor: îl echivalăm și cu zero, căutăm rădăcini, apoi le notăm pe linia numerică. Deci, de ce să nu înlocuiți bara fracțională (de fapt, semnul diviziunii) cu înmulțirea obișnuită și să scrieți toate cerințele DHS sub forma unei inegalități separate? De exemplu, așa:
\ [\ frac (P \ stânga (x \ dreapta)) (Q \ stânga (x \ dreapta)) \ gt 0 \ Săgeată la dreapta \ stânga \ (\ începe (aliniază) & P \ stânga (x \ dreapta) \ cdot Q \ stânga (x \ dreapta) \ gt 0, \\ & Q \ stânga (x \ dreapta) \ ne 0. \\ \ end (alinierea) \ dreapta. \]
Vă rugăm să rețineți: această abordare va reduce problema la metoda intervalelor, dar nu va complica deloc soluția. La urma urmei, vom echivala în continuare polinomul $ Q \ stânga (x \ dreapta) $ cu zero.
Să vedem cum funcționează acest lucru în problemele din lumea reală.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]
Soluţie. Deci, să trecem la metoda de spațiere:
\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Săgeată la dreapta \ stânga \ (\ începe (aliniază) & \ stânga (x + 8 \ dreapta) \ stânga (x-11 \ dreapta) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (aliniere) \ dreapta. \]
Prima inegalitate este ușor de rezolvat. Echivalăm fiecare paranteză cu zero:
\ [\ începe (aliniază) & x + 8 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (2)) = 11. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
A doua inegalitate este, de asemenea, simplă:
Marcam punctele $ ((x) _ (1)) $ și $ ((x) _ (2)) $ pe dreapta numerică. Toate sunt eliminate, deoarece inegalitatea este strictă:
Punctul potrivit a fost perforat de două ori. Este în regulă.Observați punctul $ x = 11 $. Se dovedește că este „perforat de două ori”: pe de o parte, îl scoatem din cauza gravității inegalității și, pe de altă parte, din cauza cerinței suplimentare a DHS.
În orice caz, va fi doar un punct de puncție. Prin urmare, aranjam semnele pentru inegalitatea $ \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 $ - ultimul pe care l-am văzut înainte de a începe rezolvarea ecuațiilor:
Suntem interesați de regiunile pozitive, deoarece rezolvăm o inegalitate de forma $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ - și le umbrim. Rămâne doar să scrieți răspunsul.
Răspuns. $ x \ în \ stânga (- \ infty; -8 \ dreapta) \ bigcup \ stânga (11; + \ infty \ dreapta) $
Folosind această soluție ca exemplu, aș dori să vă avertizez împotriva unei greșeli comune în rândul studenților începători. Și anume: nu extinde niciodată parantezele în inegalități! Dimpotrivă, încercați să factorizați totul - va simplifica soluția și vă va economisi o mulțime de probleme.
Acum hai să încercăm ceva mai dificil.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (\ stânga (2x-13 \ dreapta) \ stânga (12x-9 \ dreapta)) (15x + 33) \ le 0 \]
Soluţie. Aceasta este o inegalitate liberă de forma $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, așa că trebuie să acordați o atenție deosebită punctelor umplute aici.
Trecând la metoda de spațiere:
\ [\ stânga \ (\ începe (aliniază) & \ stânga (2x-13 \ dreapta) \ stânga (12x-9 \ dreapta) \ stânga (15x + 33 \ dreapta) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ capăt (aliniere) \ dreapta. \]
Să trecem la ecuație:
\ [\ începe (aliniază) & \ stânga (2x-13 \ dreapta) \ stânga (12x-9 \ dreapta) \ stânga (15x + 33 \ dreapta) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x ) _ (1)) = 6,5; \\ & 12x-9 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (2)) = 0,75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Luăm în considerare o cerință suplimentară:
Marcam toate rădăcinile obținute pe linia numerică:
Dacă un punct este perforat și umbrit în același timp, este considerat un punct perforat.Din nou, două puncte se „suprapun” unul pe celălalt - acest lucru este normal, așa va fi întotdeauna. Este important doar să înțelegeți că punctul marcat atât perforat, cât și completat este de fapt perforat. Acestea. „Gouging” este o acțiune mai puternică decât „pictura”.
Acest lucru este absolut logic, deoarece prin tăiere, marchem puncte care afectează semnul funcției, dar nu participă ei înșiși la răspuns. Și dacă la un moment dat numărul nu ne mai convine (de exemplu, nu intră în ODZ), îl ștergem din considerare până la sfârșitul problemei.
În general, încetează să filosofezi. Punem semne și pictăm peste acele intervale care sunt marcate cu semnul minus:
Răspuns. $ x \ în \ stânga (- \ infty; -2,2 \ dreapta) \ bigcup \ stânga [0,75; 6,5 \ dreapta] $.
Și din nou aș dori să vă atrag atenția asupra acestei ecuații:
\ [\ stânga (2x-13 \ dreapta) \ stânga (12x-9 \ dreapta) \ stânga (15x + 33 \ dreapta) = 0 \]
Încă o dată: nu deschideți niciodată parantezele în astfel de ecuații! Îți vei face doar mai greu. Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. În consecință, această ecuație pur și simplu „se destramă” în câteva mai mici, pe care le-am rezolvat în problema anterioară.
Ținând cont de multiplicitatea rădăcinilor
Este ușor de observat din problemele anterioare că inegalitățile laxe sunt cele mai dificile, pentru că în ele trebuie să ții evidența punctelor umplute.
Dar există un rău și mai mare în lume - acestea sunt rădăcini multiple în inegalități. Aici trebuie deja să urmăriți nu niște puncte umplute acolo - aici semnul inegalității s-ar putea să nu se schimbe brusc atunci când treceți prin aceleași puncte.
Nu am luat în considerare așa ceva în această lecție (deși o problemă similară a fost adesea întâlnită în metoda intervalelor). Prin urmare, introducem o nouă definiție:
Definiție. Rădăcina ecuației $ ((\ stânga (x-a \ dreapta)) ^ (n)) = 0 $ este egală cu $ x = a $ și se numește rădăcina multiplicității $ n $.
De fapt, nu ne interesează în mod deosebit valoarea exactă a multiplicității. Singurul lucru care contează este dacă acest număr $ n $ este par sau impar. Pentru că:
- Dacă $ x = a $ este o rădăcină a multiplicității pare, atunci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin ea;
- Și invers, dacă $ x = a $ este o rădăcină a multiplicității impare, atunci semnul funcției se va schimba.
Toate problemele anterioare discutate în această lecție sunt un caz special al rădăcinii multiplicității impare: peste tot multiplicitatea este egală cu unu.
Și mai departe. Înainte de a începe să rezolvăm probleme, aș dori să vă atrag atenția asupra unei subtilități care va părea evidentă unui student cu experiență, dar care îi conduce pe mulți începători într-o stupoare. Și anume:
Rădăcina multiplicității $ n $ apare numai atunci când întreaga expresie este ridicată la această putere: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $, și nu $ \ left (((x) ^ ( n) )) - a \ dreapta) $.
Încă o dată: paranteza $ ((\ stânga (xa \ dreapta)) ^ (n)) $ ne oferă rădăcina $ x = a $ de multiplicitate $ n $, dar paranteza $ \ stânga (((x) ^ ( n)) -a \ dreapta) $ sau, așa cum este adesea cazul, $ (a - ((x) ^ (n))) $ ne oferă rădăcina (sau două rădăcini, dacă $ n $ este par) prima multiplicitate, indiferent de ceea ce este egal cu $ n $.
Comparaţie:
\ [((\ stânga (x-3 \ dreapta)) ^ (5)) = 0 \ Săgeată la dreapta x = 3 \ stânga (5k \ dreapta) \]
Totul este clar aici: întregul suport a fost ridicat la puterea a cincea, așa că la ieșire am obținut o rădăcină a puterii a cincea. Si acum:
\ [\ stânga (((x) ^ (2)) - 4 \ dreapta) = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) ^ (2)) = 4 \ Săgeată la dreapta x = \ pm 2 \]
Avem două rădăcini, dar ambele au prima multiplicitate. Sau iată altul:
\ [\ stânga (((x) ^ (10)) - 1024 \ dreapta) = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) ^ (10)) = 1024 \ Săgeată la dreapta x = \ pm 2 \]
Și nu vă confundați cu gradul al zecelea. Principalul lucru este că 10 este un număr par, așa că la ieșire avem două rădăcini și ambele au din nou prima multiplicitate.
În general, fiți atenți: multiplicitatea apare numai când gradul se referă la întreaga paranteză, nu doar la variabilă.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ stânga (6-x \ dreapta)) ^ (3)) \ stânga (x + 4 \ dreapta)) (((\ stânga (x + 7) \ dreapta)) ^ (5))) \ ge 0 \]
Soluţie. Să încercăm să o rezolvăm într-un mod alternativ - prin trecerea de la particular la muncă:
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) ((\ left (6-x \ right)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ right) \ cdot ( (\ stânga (x + 7 \ dreapta)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ stânga (x + 7 \ dreapta)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ end (aliniați ) \ dreapta. \]
Ne ocupăm de prima inegalitate folosind metoda intervalului:
\ [\ începe (aliniază) & ((x) ^ (2)) ((\ stânga (6-x \ dreapta)) ^ (3)) \ stânga (x + 4 \ dreapta) \ cdot ((\ stânga ( x + 7 \ dreapta)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Săgeată la dreapta x = 0 \ stânga (2k \ dreapta); \\ & ((\ stânga (6-x \ dreapta)) ^ (3)) = 0 \ Săgeată la dreapta x = 6 \ stânga (3k \ dreapta); \\ & x + 4 = 0 \ Săgeată la dreapta x = -4; \\ & ((\ stânga (x + 7 \ dreapta)) ^ (5)) = 0 \ Săgeată la dreapta x = -7 \ stânga (5k \ dreapta). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
În plus, rezolvăm a doua inegalitate. De fapt, am rezolvat-o deja, dar pentru ca recenzenții să nu găsească defectul soluției, este mai bine să o rezolvăm:
\ [((\ stânga (x + 7 \ dreapta)) ^ (5)) \ ne 0 \ Săgeată la dreapta x \ ne -7 \]
Vă rugăm să rețineți că nu există multiplicități în ultima inegalitate. Într-adevăr: ce diferență are de câte ori se taie punctul $ x = -7 $ pe dreapta numerică? Cel puțin o dată, cel puțin cinci - rezultatul va fi același: un punct perforat.
Să notăm tot ce am primit pe linia numerică:
După cum am spus, punctul $ x = -7 $ va fi în cele din urmă perforat. Multiplicitățile sunt aranjate pe baza soluției inegalității prin metoda intervalelor.
Rămâne de plasat semnele:
Deoarece punctul $ x = 0 $ este o rădăcină a multiplicității pare, semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Restul punctelor au o multiplicitate ciudată și totul este simplu cu ele.
Răspuns. $ x \ în \ stânga (- \ infty; -7 \ dreapta) \ bigcup \ stânga [-4; 6 \ dreapta] $
Rețineți din nou $ x = 0 $. Datorită multiplicității uniforme, apare un efect interesant: în stânga acestuia, totul este pictat peste, și în dreapta, iar punctul în sine este complet pictat peste.
În consecință, nu trebuie să fie izolat atunci când înregistrați un răspuns. Acestea. nu este nevoie să scrieți ceva de genul $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ (deși formal acest răspuns va fi, de asemenea, corect). În schimb, scriem imediat $ x \ în \ stânga [-4; 6 \ dreapta] $.
Astfel de efecte sunt posibile numai pentru rădăcini de multiplicitate pară. Iar în sarcina următoare ne vom confrunta cu „manifestarea” opusă a acestui efect. Gata?
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (((\ stânga (x-3 \ dreapta)) ^ (4)) \ stânga (x-4 \ dreapta)) (((\ stânga (x-1 \ dreapta)) ^ (2)) \ stânga (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ dreapta)) \ ge 0 \]
Soluţie. De data aceasta vom merge conform schemei standard. Setați numărătorul la zero:
\ [\ begin (align) & ((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) \ left (x-4 \ right) = 0; \\ & ((\ stânga (x-3 \ dreapta)) ^ (4)) = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (1)) = 3 \ stânga (4k \ dreapta); \\ & x-4 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x) _ (2)) = 4. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Și numitorul:
\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (x-1 \ dreapta)) ^ (2)) \ stânga (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ dreapta) = 0; \\ & ((\ stânga (x-1 \ dreapta)) ^ (2)) = 0 \ Săgeată la dreapta x_ (1) ^ (*) = 1 \ stânga (2k \ dreapta); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Săgeată la dreapta x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Deoarece rezolvăm o inegalitate slabă de forma $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $, rădăcinile de la numitor (care sunt cu asteriscuri) vor fi perforate, iar de la numărător se vor completa.
Amplasăm semne și zonele marcate cu „plus”:
Punctul $ x = 3 $ este izolat. Aceasta este o parte a răspunsului
Înainte de a scrie răspunsul final, aruncați o privire atentă asupra imaginii:
- Punctul $ x = 1 $ are multiplicitate pară, dar el însuși este perforat. Prin urmare, va trebui să fie izolat în răspuns: trebuie să scrieți $ x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $ și nu $ x \ in \ stânga (- \ infty; 2 \ dreapta) $.
- Punctul $ x = 3 $ are și el o multiplicitate pară și se completează în același timp. Dispunerea semnelor indică faptul că punctul în sine ni se potrivește, dar un pas în stânga și în dreapta - și ne aflăm într-o zonă care cu siguranță nu ni se potrivește. Astfel de puncte se numesc izolate și sunt scrise ca $ x \ în \ stânga \ (3 \ dreapta \) $.
Combinăm toate piesele rezultate într-un set comun și notăm răspunsul.
Răspuns: $ x \ in \ stânga (- \ infty; 1 \ dreapta) \ bigcup \ stânga (1; 2 \ dreapta) \ bigcup \ stânga \ (3 \ dreapta \) \ bigcup \ stânga [4; 5 \ dreapta) $
Definiție. Rezolvarea inegalității înseamnă găsi multe dintre toate soluțiile lui, sau dovediți că acest set este gol.
S-ar părea: ce poate fi de neînțeles aici? Da, adevărul este că seturile pot fi specificate în moduri diferite. Să scriem încă o dată răspunsul la ultima problemă:
Citim literalmente ceea ce este scris. Variabila „x” aparține unei anumite mulțimi, care se obține prin combinarea (semnul „U”) a patru mulțimi separate:
- Intervalul $ \ left (- \ infty; 1 \ right) $, care înseamnă literal „toate numerele mai mici decât unu, dar nu pe cel în sine”;
- $ \ Stânga (1; 2 \ dreapta) $ spațiere, adică „Toate numerele din intervalul de la 1 la 2, dar nu numerele 1 și 2 în sine”;
- Mulțimea $ \ stânga \ (3 \ dreapta \) $, constând dintr-un singur număr - trei;
- Interval $ \ stânga [4; 5 \ dreapta) $, care conține toate numerele din intervalul de la 4 la 5, precum și cele patru în sine, dar nu cele cinci.
Al treilea punct este de interes aici. Spre deosebire de intervale, care definesc seturi infinite de numere și denotă doar limitele acestor mulțimi, mulțimea $ \ stânga \ (3 \ dreapta \) $ specifică exact un număr prin enumerare.
Pentru a înțelege că enumeram doar anumite numere incluse în set (și nu stabilim limite sau orice altceva), sunt folosite bretele. De exemplu, notația $ \ stânga \ (1; 2 \ dreapta \) $ înseamnă exact „o mulțime formată din două numere: 1 și 2”, dar nu un segment de la 1 la 2. În niciun caz nu trebuie să confundați aceste concepte .
Regula de adunare a multiplicităților
Ei bine, in incheierea lectiei de azi, o mica conserva de la Pavel Berdov. :)
Elevii atenți probabil și-au pus deja întrebarea: ce se va întâmpla dacă aceleași rădăcini se găsesc la numărător și numitor? Deci, următoarea regulă funcționează:
Se adaugă multiplicitățile acelorași rădăcini. Este mereu. Chiar dacă această rădăcină apare atât la numărător, cât și la numitor.
Uneori este mai bine să decizi decât să vorbești. Prin urmare, rezolvăm următoarea problemă:
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ stânga (((x) ^ (2)) - 16 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ dreapta)) \ ge 0 \]
\ [\ începe (aliniază) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Nimic special încă. Setați numitorul la zero:
\ [\ începe (aliniază) & \ stânga (((x) ^ (2)) - 16 \ dreapta) \ stânga (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ dreapta) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Săgeată la dreapta x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Săgeată la dreapta x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
S-au găsit două rădăcini identice: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ și $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Ambele sunt prima pliază. Prin urmare, le înlocuim cu o rădăcină $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, dar deja cu multiplicitatea 1 + 1 = 2.
În plus, există și rădăcini identice: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ și $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Ele sunt și de prima multiplicitate, deci rămân doar $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ de multiplicitate 1 + 1 = 2.
Vă rugăm să rețineți: în ambele cazuri, am lăsat exact rădăcina „înțepată”, iar cea „umplută” a fost scoasă din considerare. Pentru că și la începutul lecției am fost de acord: dacă un punct este și găurit și pictat, atunci tot îl considerăm perforat.
Ca rezultat, avem patru rădăcini și toate au fost scoase:
\ [\ începe (aliniază) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ stânga (2k \ dreapta); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ stânga (2k \ dreapta). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Le marchem pe linia numerică, ținând cont de multiplicitatea:
Amplasăm semne și pictăm peste zonele care ne interesează:
Tot. Fără puncte izolate și alte perversiuni. Puteți nota răspunsul.
Răspuns. $ x \ în \ stânga (- \ infty; -7 \ dreapta) \ bigcup \ stânga (4; + \ infty \ dreapta) $.
Regula înmulțirii
Uneori apare o situație și mai neplăcută: o ecuație cu rădăcini multiple este ea însăși ridicată la o anumită putere. În acest caz, multiplicitățile tuturor rădăcinilor originale se schimbă.
Acest lucru este rar, motiv pentru care majoritatea studenților nu au experiență în rezolvarea unor astfel de probleme. Și regula este următoarea:
Când ecuația este ridicată la puterea $ n $, multiplicitățile tuturor rădăcinilor sale cresc și ele de $ n $ ori.
Cu alte cuvinte, exponentiația duce la înmulțiri înmulțite cu aceeași putere. Să luăm în considerare această regulă cu un exemplu:
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (x ((\ stânga (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ dreapta)) ^ (2)) ((\ stânga (x-4 \ dreapta)) ^ (5)) ) (((\ stânga (2-x \ dreapta)) ^ (3)) ((\ stânga (x-1 \ dreapta)) ^ (2))) \ le 0 \]
Soluţie. Setați numărătorul la zero:
Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Cu primul factor, totul este clar: $ x = 0 $. Dar apoi încep problemele:
\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ dreapta)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ stânga (2k \ dreapta); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ stânga (2k \ dreapta) \ stânga (2k \ dreapta) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ stânga (4k \ dreapta) \\ \ end (align) \]
După cum puteți vedea, ecuația $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ are o singură rădăcină a celei de-a doua multiplicități: $ x = 3 $. Apoi întreaga ecuație este la pătrat. Prin urmare, multiplicitatea rădăcinii va fi $ 2 \ cdot 2 = 4 $, pe care am notat-o în cele din urmă.
\ [((\ stânga (x-4 \ dreapta)) ^ (5)) = 0 \ Săgeată la dreapta x = 4 \ stânga (5k \ dreapta) \]
Nu există probleme nici cu numitorul:
\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (2-x \ dreapta)) ^ (3)) ((\ stânga (x-1 \ dreapta)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ stânga (2-x \ dreapta)) ^ (3)) = 0 \ Săgeată la dreapta x_ (1) ^ (*) = 2 \ stânga (3k \ dreapta); \\ & ((\ stânga (x-1 \ dreapta)) ^ (2)) = 0 \ Săgeată la dreapta x_ (2) ^ (*) = 1 \ stânga (2k \ dreapta). \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
În total, am obținut cinci puncte: două perforate și trei umplute. Nu există rădăcini coincidente în numărător și numitor, așa că le marchem doar pe linia numerică:
Aranjam semnele ținând cont de multiplicitățile și pictăm pe intervalele care ne interesează:
Din nou, un punct izolat și unul perforat
Datorită rădăcinilor chiar și a multiplicității, am primit din nou câteva elemente „non-standard”. Acesta este $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $, nu $ x \ in \ left [0; 2 \ right) $ și, de asemenea, punctul izolat $ x \ în \ stânga \ (3 \ dreapta \) $.
Răspuns. $ x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; + \ infty \ right) $
După cum puteți vedea, totul nu este atât de dificil. Principalul lucru este atenția. Ultima secțiune a acestei lecții se concentrează pe transformări - chiar pe cele pe care le-am discutat la început.
Preconversii
Inegalitățile pe care le discutăm în această secțiune nu sunt complexe. Totuși, spre deosebire de sarcinile anterioare, aici va trebui să aplicați abilități din teoria fracțiilor raționale - factorizarea și reducerea la un numitor comun.
Am discutat această problemă în detaliu chiar la începutul lecției de astăzi. Dacă nu sunteți sigur că înțelegeți despre ce este vorba, vă recomand cu tărie să vă întoarceți și să repetați. Pentru că nu are rost să înghesuim metode de rezolvare a inegalităților dacă „plutiți” în transformarea fracțiilor.
La teme, apropo, vor exista și multe sarcini similare. Ele sunt plasate într-o subsecțiune separată. Și acolo vei găsi exemple foarte non-triviale. Dar asta va fi în teme, iar acum să analizăm câteva astfel de inegalități.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]
Soluţie. Mutați totul spre stânga:
\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]
Aducem la un numitor comun, deschidem parantezele, dăm termeni similari la numărător:
\ [\ începe (aliniază) & \ frac (x \ cdot x) (\ stânga (x-1 \ dreapta) \ cdot x) - \ frac (\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x-1 \ dreapta)) (x \ cdot \ stânga (x-1 \ dreapta)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ stânga (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ dreapta)) (x \ stânga (x-1 \ dreapta)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ stânga (x-1 \ dreapta)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ stânga (x-1 \ dreapta)) \ le 0. \\\ sfârşitul (alinierea) \]
Acum avem o inegalitate fracțională-rațională clasică, a cărei soluție nu mai este dificilă. Îmi propun să o rezolv printr-o metodă alternativă - prin metoda intervalelor:
\ [\ begin (align) & \ left (3x-2 \ right) \ cdot x \ cdot \ left (x-1 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Nu uita de constrângerea care a venit de la numitor:
Marcam toate numerele și restricțiile pe linia numerică:
Toate rădăcinile au prima multiplicitate. Nici o problema. Punem doar semnele și pictăm peste zonele de care avem nevoie:
E tot. Puteți nota răspunsul.
Răspuns. $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ right) $.
Desigur, acesta a fost doar un exemplu. Prin urmare, acum vom lua în considerare problema mai serios. Și, apropo, nivelul acestei sarcini este destul de consistent cu munca independentă și de control pe acest subiect în clasa a 8-a.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]
Soluţie. Mutați totul spre stânga:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]
Înainte de a reduce ambele fracții la un numitor comun, factorăm acești numitori. Ce se întâmplă dacă ies aceleași paranteze? Cu primul numitor, este ușor:
\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x + 9 \ dreapta) \]
Al doilea este puțin mai dificil. Simțiți-vă liber să puneți un factor constant în paranteză în care apare fracția. Amintiți-vă: polinomul original avea coeficienți întregi, deci există o mare probabilitate ca factorizarea să aibă și coeficienți întregi (de fapt, așa va fi întotdeauna, cu excepția cazului în care discriminantul este irațional).
\ [\ începe (aliniază) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x- \ frac (2) (3) \ dreapta) = \\ & = \ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (3x-2 \ dreapta) \ final (alinierea) \]
După cum puteți vedea, există o paranteză comună: $ \ stânga (x-1 \ dreapta) $. Revenim la inegalitate și aducem ambele fracții la un numitor comun:
\ [\ începe (aliniază) & \ frac (1) (\ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x + 9 \ dreapta)) - \ frac (1) (\ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (3x-2 \ dreapta)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ stânga (3x-2 \ dreapta) -1 \ cdot \ stânga (x + 9 \ dreapta)) (\ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x + 9 \ dreapta) ) \ stânga (3x-2 \ dreapta)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x + 9 \ dreapta) \ stânga (3x-2 \ dreapta)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x + 9 \ dreapta) \ stânga (3x-2 \ dreapta)) \ ge 0; \\ \ sfârşitul (alinierea) \]
Setați numitorul la zero:
\ [\ începe (aliniază) & \ stânga (x-1 \ dreapta) \ stânga (x + 9 \ dreapta) \ stânga (3x-2 \ dreapta) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ end ( aliniază) \]
Fără multiplicități sau rădăcini coincidente. Marcam patru numere pe linie dreaptă:
Punem semne:
Scriem răspunsul.
Răspuns: $ x \ in \ left (- \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ left ((2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ dreapta) $.
Tot! Așa, apoi am citit pe această linie. :)
În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților... Vă vom spune într-un mod accesibil despre cum se construiește o soluție la inegalități, cu exemple clare!
Înainte de a lua în considerare soluția inegalităților folosind exemple, să înțelegem conceptele de bază.
Informații generale despre inegalități
Inegalitate se numește o expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație>,. Inegalitățile sunt atât numerice, cât și alfabetice.
Inegalitățile cu două semne ale relației se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a (x)> b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
a (x) Inegalitățile care conțin semnul> sau sau nu sunt stricte.
Rezolvarea inegalității este orice valoare a schimbării la care această inegalitate este adevărată.
"Rezolvați inegalitatea„înseamnă că este necesar să găsim multe dintre toate soluțiile sale. Sunt diverse metode de rezolvare a inegalităților... Pentru soluții la inegalitate utilizați linia numerică, care este infinită. De exemplu, solutie a inegalitatii x> 3 este un interval de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, prin urmare un punct de pe o dreaptă este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă. 
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x = 3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna înconjurat de o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Luați în considerare cum să rezolvați inegalitățile folosind un alt exemplu cu semn:
x 2
-
+
Valoarea x = 2 este inclusă în setul de soluții, prin urmare paranteza este pătrată și un punct de pe linie este notat cu un cerc umplut.
Răspunsul va fi: x. Graficul setului de decizie este prezentat mai jos. 
Inegalități duble
Când două inegalități sunt legate printr-un cuvânt și, sau, apoi se formează dubla inegalitate... Dubla inegalitate ca
-3
și 2x + 5 ≤ 7
numit conectat pentru ca foloseste și... Scrierea -3 Inegalitățile duble pot fi rezolvate folosind principiile adunării și înmulțirii inegalităților.
Exemplul 2 Rezolvați -3 Soluţie Noi avem
Mulțimea soluțiilor (x | x ≤ -1 sau x> 3). De asemenea, putem scrie o soluție folosind notația de spațiere și un simbol pentru amalgamări sau incluziuni ale ambelor multimi: (-∞ -1] (3, ∞). Graficul multimii solutii este prezentat mai jos. 
Pentru a testa, desenați y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 și y 3 = 1. Rețineți că pentru (x | x ≤ -1 sau x> 3), y 1 ≤ y 2 sau y 1> y 3. 
Inegalități cu valoare absolută (modul)
Inegalitățile conțin uneori module. Următoarele proprietăți sunt folosite pentru a le rezolva.
Pentru a> 0 și o expresie algebrică x:
| x | | x | > a este echivalent cu x sau x> a.
Afirmații similare pentru | x | ≤ a și | x | ≥ a.
De exemplu,
| x | | y | ≥ 1 este echivalent cu y ≤ -1 sau y ≥ 1;
și | 2x + 3 | ≤ 4 este echivalent cu -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Exemplul 4 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Trasează setul de soluții.
a) | 3x + 2 | b) | 5 - 2x | ≥ 1
Soluţie
a) | 3x + 2 |
b) | 5 - 2x | ≥ 1
Mulțimea soluției este (x | x ≤ 2 sau x ≥ 3), sau (-∞, 2])
