Koordinatna metoda je zelo učinkovit in vsestranski način iskanja kakršnih koli kotov ali razdalj med stereometričnimi objekti v prostoru. Če je vaš učitelj matematike visoko kvalificiran, potem bi moral to vedeti. Sicer pa ti svetujem, da zamenjaš mentorja za "C" del. Moja priprava na izpit iz matematike C1-C6 običajno vključuje analizo spodaj opisanih osnovnih algoritmov in formul.

Kot med ravnima a in b

Kot med ravnimi črtami v prostoru je kot med vsemi sekajočimi se ravnimi črtami, ki so vzporedne z njimi. Ta kot je enak kotu med vektorjema smeri teh ravnih črt (ali ga dopolnjuje do 180 stopinj).

Kateri algoritem uporablja učitelj matematike za iskanje kota?

1) Izberite poljubne vektorje in ima smeri ravnih črt a in b (vzporedni z njima).
2) Določite koordinate vektorjev in z ustreznimi koordinatami njihovih začetkov in koncev (koordinate začetka je treba odšteti od koordinat konca vektorja).
3) Najdene koordinate nadomestimo v formulo:
... Če želite najti sam kot, morate najti inverzni kosinus rezultata.

Normalno na ravnino

Vsak vektor, pravokoten na to ravnino, se imenuje normalen na ravnino.
Kako najti normalno? Da bi našli koordinate normale, je dovolj, da poiščemo koordinate vseh treh točk M, N in K, ki ležijo v dani ravnini. S temi koordinatami najdemo koordinate vektorjev in ter zahtevamo izpolnjevanje pogojev in. Če skalarni produkt vektorjev izenačimo z nič, sestavimo sistem enačb s tremi spremenljivkami, iz katerih najdemo koordinate normale.

Opomba učitelja matematike : Sistema sploh ni treba rešiti v celoti, ker je dovolj izbrati vsaj enega normalnega. Če želite to narediti, lahko nadomestite katero koli število (na primer eno) namesto katere koli njegove neznane koordinate in rešite sistem dveh enačb s preostalima dvema neznankama. Če nima rešitev, potem to pomeni, da v družini normalnih ni nobene, ki bi jo imela za izbrano spremenljivko. Nato zamenjajte eno z drugo spremenljivko (drugo koordinato) in rešite nov sistem. Če spet zgrešite, bo vaša normalna imela eno v zadnji koordinati, sama pa se bo izkazala, da je vzporedna z neko koordinatno ravnino (v tem primeru jo je enostavno najti brez sistema).

Recimo, da sta nam s koordinatami smernega vektorja in normale dani ravno črto in ravnino
Kot med ravno črto in ravnino se izračuna po naslednji formuli:

Pustiti in biti poljubni dve normali na dane ravnine. Potem je kosinus kota med ravninama enak modulu kosinusa kota med normalama:

Enačba ravnine v prostoru

Točke, ki izpolnjujejo enakost, tvorijo ravnino z normalo. Koeficient je odgovoren za količino odstopanja (vzporednega premika) med dvema ravninama z isto določeno normalo. Če želite napisati enačbo ravnine, morate najprej najti njeno normalo (kot je opisano zgoraj), nato pa v enačbo nadomestiti koordinate katere koli točke na ravnini skupaj s koordinatami najdene normale in poiskati koeficient.

Če želite uporabiti koordinatno metodo, morate dobro poznati formule. Obstajajo trije izmed njih:

Na prvi pogled je videti grozeče, a le malo vaje in vse bo delovalo odlično.

Naloga. Poiščite kosinus kota med vektorjema a = (4; 3; 0) in b = (0; 12; 5).

Rešitev. Ker so nam dane koordinate vektorjev, jih nadomestimo s prvo formulo:

Naloga. Naredite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) in K = (2; 1; 0), če je znano, da ne poteka skozi poreklo.

Rešitev. Splošna enačba ravnine: Ax + By + Cz + D = 0, ker pa želena ravnina ne poteka skozi izhodišče koordinat - točko (0; 0; 0) - potem postavimo D = 1. Ker je ta ravnina poteka skozi točke M, N in K, potem bi morale koordinate teh točk spremeniti enačbo v pravilno numerično enakost.

Namesto x, y in z koordinate točke M = (2; 0; 1). Imamo:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Podobno za točki N = (0; 1; 1) in K = (2; 1; 0) dobimo enačbe:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Torej imamo tri enačbe in tri neznanke. Sestavimo in rešimo sistem enačb:

Dobili smo, da ima enačba ravnine obliko: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Naloga. Ravnina je podana z enačbo 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Poišči koordinate vektorja, pravokotnega na dano ravnino.

Rešitev. S tretjo formulo dobimo n = (7; - 2; 4) - to je vse!

Izračunavanje koordinat vektorjev

Kaj pa, če v problemu ni vektorjev - obstajajo samo točke, ki ležijo na ravnih črtah, in morate izračunati kot med temi ravnimi črtami? Preprosto je: če poznate koordinate točk - začetek in konec vektorja - lahko izračunate koordinate samega vektorja.

Če želite najti koordinate vektorja, odštejte koordinate začetka od koordinat njegovega konca.

Ta izrek deluje na enak način tako na ravnini kot v prostoru. Izraz "odštej koordinate" pomeni, da se koordinata x druge točke odšteje od x koordinate ene točke, nato je treba enako narediti s koordinatama y in z. Tukaj je nekaj primerov:

Naloga. V prostoru obstajajo tri točke, ki jih podajajo njihove koordinate: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) in C = (- 4; 3; - 2). Poiščite koordinate vektorjev AB, AC in BC.

Razmislite o vektorju AB: njegov izvor je v točki A, njegov konec pa v točki B. Zato je treba za iskanje njegovih koordinat od koordinat točke B odšteti koordinate točke A:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Podobno je začetek vektorja AC še vedno ista točka A, konec pa je točka C. Zato imamo:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Končno, da bi našli koordinate vektorja BC, morate od koordinat točke C odšteti koordinate točke B:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Odgovor: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Bodite pozorni na izračun koordinat zadnjega vektorja BC: veliko ljudi dela napake pri delu negativne številke... To se nanaša na spremenljivko y: točka B ima y = - 1, točka C y = 3. Dobimo natančno 3 - (- 1) = 4 in ne 3 - 1, kot mnogi verjamejo. Ne delajte tako neumnih napak!

Izračun smernih vektorjev za ravne črte

Če pozorno preberete problem C2, boste presenečeni ugotovili, da tam ni vektorjev. Obstajajo samo ravne črte in ravnine.

Začnimo z ravnimi črtami. Tukaj je vse preprosto: na kateri koli ravni črti sta vsaj dve različni točki in, nasprotno, kateri koli dve različni točki določata eno ravno črto ...

Ali kdo razume, kaj piše v prejšnjem odstavku? Sam tega nisem razumel, zato bom lažje razložil: v problemu C2 so ravne črte vedno podane s parom točk. Če vnesemo koordinatni sistem in upoštevamo vektor z začetkom in koncem na teh točkah, dobimo tako imenovani vektor smeri za ravno črto:

Zakaj je ta vektor potreben? Bistvo je v tem, da je kot med dvema ravnima kot med njunima smernima vektorjema. Tako prehajamo od nerazumljivih ravnih črt do določenih vektorjev, katerih koordinate je enostavno izračunati. Kako enostavno je? Oglejte si primere:

Naloga. V kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sta narisani premici AC in BD 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev teh premic.

Ker dolžina robov kocke v pogoju ni določena, postavimo AB = 1. Uvedemo koordinatni sistem z izhodiščem v točki A in osemi x, y, z, usmerjenimi vzdolž premic AB, AD in AA 1, oz. Segment enote je enak AB = 1.

Zdaj bomo našli koordinate vektorja smeri za premico AC. Potrebujemo dve točki: A = (0; 0; 0) in C = (1; 1; 0). Od tu dobimo koordinate vektorja AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - to je vektor smeri.

Zdaj pa se ukvarjamo z ravno črto BD 1. Ima tudi dve točki: B = (1; 0; 0) in D 1 = (0; 1; 1). Dobimo vektor smeri BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Odgovor: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Naloga. V pravilni trikotni prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta narisani premici AB 1 in AC 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev teh premic.

Uvedemo koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x sovpada z AB, os z sovpada z AA 1, os y tvori ravnino OXY z osjo x, ki sovpada z ravnino ABC .

Najprej se ukvarjamo z ravno črto AB 1. Tukaj je vse preprosto: imamo točki A = (0; 0; 0) in B 1 = (1; 0; 1). Dobimo vektor smeri AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Zdaj bomo našli vektor smeri za AC 1. Vseeno - edina razlika je v tem, da ima točka C 1 iracionalne koordinate. Torej, A = (0; 0; 0), torej imamo:

Odgovor: AB 1 = (1; 0; 1);

Majhna, a zelo pomembna opomba o zadnjem primeru. Če izvor vektorja sovpada z izhodiščem, so izračuni močno poenostavljeni: koordinate vektorja so preprosto enake koordinatam konca. Žal to velja samo za vektorje. Na primer, pri delu z letali prisotnost izvora na njih samo oteži izračune.

Izračunavanje normalnih vektorjev za ravnine

Normalni vektorji niso vektorji, ki delajo ali delajo dobro. Po definiciji je normalni vektor (normala) na ravnino vektor, pravokoten na to ravnino.

Z drugimi besedami, normala je vektor, pravokoten na kateri koli vektor v dani ravnini. Zagotovo ste že srečali takšno definicijo - vendar smo namesto vektorjev govorili o ravnih črtah. Vendar je bilo tik zgoraj prikazano, da lahko v problemu C2 operirate s katerim koli priročnim predmetom - tudi z ravno črto, celo z vektorjem.

Naj vas še enkrat spomnim, da je katera koli ravnina v prostoru definirana z enačbo Ax + By + Cz + D = 0, kjer so A, B, C in D nekateri koeficienti. Brez izgube splošnosti rešitve lahko predpostavimo, da je D = 1, če ravnina ne gre skozi izhodišče, ali D = 0, če gre. V vsakem primeru so koordinate vektorja normale na to ravnino n = (A; B; C).

Torej, ravnino lahko uspešno nadomestimo tudi z vektorjem - enako normalo. Vsaka ravnina je v prostoru določena s tremi točkami. Kako najti enačbo ravnine (in torej normale), smo že razpravljali na samem začetku članka. Vendar pa ta postopek mnogim povzroča težave, zato bom dal še nekaj primerov:

Naloga. Odsek A 1 BC 1 je narisan v kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Poiščite vektor normale za ravnino tega odseka, če je izhodišče v točki A in osi x, y in z sovpadajo z robovi AB, AD in AA 1.

Ker ravnina ne gre skozi izhodišče, je njena enačba videti takole: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. koeficient D = 1. Ker ta ravnina poteka skozi točke A 1, B in C 1, koordinate teh točk spremenijo enačbo ravnine v pravilno numerično enakost.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Podobno za točke B = (1; 0; 0) in C 1 = (1; 1; 1) dobimo enačbe:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Toda koeficienta A = - 1 in C = - 1 že poznamo, zato je treba najti koeficient B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Dobimo enačbo ravnine: - A + B - C + 1 = 0, Zato so koordinate normalnega vektorja enake n = (- 1; 1; - 1).

Naloga. Presek AA 1 C 1 C je narisan v kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Poiščite vektor normale za ravnino tega preseka, če je izhodišče v točki A in osi x, y in z sovpadajo z robovi AB, AD in AA 1.

V tem primeru ravnina poteka skozi izhodišče, zato je koeficient D = 0, ravninska enačba pa izgleda takole: Ax + By + Cz = 0. Ker ravnina poteka skozi točki A1 in C, so koordinate teh točk spremenimo ravninsko enačbo v pravilno numerično enakost.

Namesto x, y in z koordinate točke A 1 = (0; 0; 1). Imamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Podobno za točko C = (1; 1; 0) dobimo enačbo:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Postavimo B = 1. Potem je A = - B = - 1, enačba celotne ravnine pa ima obliko: - A + B = 0, Zato so koordinate normalnega vektorja enake n = (- 1; 1; 0).

Na splošno je pri zgornjih problemih treba sestaviti sistem enačb in ga rešiti. Na voljo bodo tri enačbe in tri spremenljivke, v drugem primeru pa bo ena od njih prosta, t.j. sprejme poljubne vrednosti. Zato imamo pravico postaviti B = 1 – brez poseganja v splošnost rešitve in pravilnost odgovora.

Zelo pogosto je pri problemu C2 potrebno delati s točkami, ki delijo segment na polovico. Koordinate takšnih točk se zlahka izračunajo, če so znane koordinate koncev segmenta.

Torej, naj je segment definiran s svojimi konci - točki A = (x a; y a; z a) in B = (x b; y b; z b). Potem lahko koordinate središča segmenta - označujemo ga s točko H - najdemo s formulo:

Z drugimi besedami, koordinate središča segmenta so aritmetična sredina koordinat njegovih koncev.

Naloga. Enotna kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je postavljena v koordinatni sistem tako, da so osi x, y in z usmerjene vzdolž robov AB, AD in AA 1, izhodišče pa sovpada s točko A. Točka K je središče roba A 1 B ena . Poiščite koordinate te točke.

Ker je točka K središče odseka A 1 B 1, so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Zapišimo koordinate koncev: A 1 = (0; 0; 1) in B 1 = (1; 0; 1). Zdaj poiščimo koordinate točke K:

Naloga. Enotna kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je postavljena v koordinatni sistem tako, da so osi x, y in z usmerjene vzdolž robov AB, AD in AA 1, izhodišče pa sovpada s točko A. Poiščite koordinate točke L, kjer sekajo diagonale kvadrata A 1 B 1 C 1 D 1.

Iz tečaja planimetrije je znano, da je presečišča diagonal kvadrata enako oddaljena od vseh njegovih oglišč. Zlasti A 1 L = C 1 L, tj. točka L je središče segmenta A 1 C 1. Toda A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), torej imamo:

Odgovor: L = (0,5; 0,5; 1)

Lekcija geometrije v 11

Tema: " Metoda koordinat v prostoru".

Cilj: Preveriti teoretično znanje študentov, njihove spretnosti in zmožnosti uporabe tega znanja pri reševanju problemov z uporabo vektorskih, vektorsko-koordinatnih metod.

Naloge:

1 .Ustvariti pogoje za kontrolo (samonadzor, medsebojni nadzor) za usvajanje znanja in veščin.

2. Razvijati matematično razmišljanje, govor, pozornost.

3. Spodbujati aktivnost, mobilnost, komunikacijske sposobnosti, splošno kulturo študentov.

Oblika vodenja: Delo v skupinah.

Oprema in viri informacij: platno, multimedijski projektor, obračunska miza znanja, kreditne kartice, testi.

Med poukom

1 mobilizacijski trenutek.

Lekcija o CSR; študenti so razdeljeni v 3 dinamične skupine, v katerih so študenti s sprejemljivo, optimalno in napredno stopnjo. V vsaki skupini je izbran koordinator, ki vodi delo celotne skupine.

2 ... Samoodločanje učencev na podlagi predvidevanja.

naloga:postavljanje ciljev po shemi: zapomni si - uči se - zmoži.

Vstopni preizkus - Izpolnite praznine (v izpisih)

Vstopni preizkus

Zapolni vrzeli…

1. Skozi točko v prostoru so potegnjene tri pravokotne črte v paru.

so izbrani, na vsakem od njih je izbrana smer in merska enota segmentov,

potem pravijo, da je nastavljeno …………. v vesolju.

2. Ravne črte z izbranimi smermi se imenujejo …………… ..,

in njihova skupna točka je …………. ...

3. V pravokotnem koordinatnem sistemu je vsaka točka M v prostoru povezana s trojko števil, ki jo imenujejo ……………… ..

4. Koordinate točke v prostoru se imenujejo ……………… ..

5. Vektor, katerega dolžina je enaka eni, se imenuje ………… ..

6. Vektorji jazykse imenujejo ………….

7. Kvote xyz v razgradnji a= xjaz + yj + zk poklical

…………… vektorji a .

8. Vsaka koordinata vsote dveh ali več vektorjev je enaka …………… ..

9. Vsaka koordinata razlike dveh vektorjev je enaka ……………….

10. Vsaka koordinata produkta vektorja in števila je enaka ……………… ..

11.Vsaka koordinata vektorja je enaka …………….

12. Vsaka koordinata sredine odseka je enaka ……………….

13. Dolžina vektorja a { xyz) se izračuna po formuli ……………………

14. Razdalja med točkami М 1 (x 1 ; y 1; z 1) in M 2 (x 2; y 2 ; z2) izračunano po formuli …………………

15. Skalarni produkt dveh vektorjev se imenuje …………… ..

16. Skalarni produkt vektorjev, ki niso nič, je enak nič ……………… ..

17. Točkovni produkt vektorjeva{ x 1; y 1; z 1} b { x 2 ; y 2 ; z 2) v je izražena s formulo …………………

Navzkrižno preverjanje vhodnega testa. Odgovori na testne naloge na zaslonu.

Merila za ocenjevanje:

1-2 napaki - "5"

3-4 napake - "4"

5-6 napak - "3"

V drugih primerih - "2"

3. Izvajanje dela. (po kartah).

Vsaka kartica vsebuje dve nalogi: št. 1 - teoretično z dokazi, št. 2 vključuje naloge.

Pojasnite stopnjo zahtevnosti nalog, vključenih v delo. Skupina opravi eno nalogo, vendar ima 2 dela. Koordinator skupine vodi delo celotne skupine. Pogovor o eni informaciji z več partnerji povečuje odgovornost ne le za lastne uspehe, temveč tudi za rezultate kolektivnega dela, kar pozitivno vpliva na mikroklimo v timu.

KARTICA št. 1

1. Izpeljite formule, ki izražajo koordinate središča segmenta v smislu koordinat njegovih koncev.

2. Problem: 1) Dani točki A (-3; 1; 2) in B (1; -1; 2)

Najti:

a) koordinate sredine odseka AB

b) koordinate in dolžina vektorja AB

2) Dana je kocka ABSDA1 B1 C1 D1. S koordinatno metodo poiščite kot

med ravnima AB1 in A1 D.

KARTICA št. 2

Izpišite formulo za izračun dolžine vektorja po njegovih koordinatah.

Problem: 1) Dane točke M (-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Poiščite razdaljo od izhodišča do sredine odseka MN.

→ → → → →

2) Dani vektorji a in b... Najti b (a + b),če a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

KARTICA št. 3

Izpišite formulo za izračun razdalje med točkami z danimi koordinatami.

Problem: 1) Dane točke A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4).

Dokaži, da je ∆ABC enakokraki, in poišči dolžino srednje črte trikotnika, ki povezuje središča stranskih stranic.

2) Izračunaj kot med ravnima AB in SD, če je A (1; 1; 0),

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0).

KARTICA št. 4

Izpišite formule za kosinus kota med vektorji, ki niso nič, z danimi koordinatami.

Problem: 1) Podane so koordinate treh vozlišč paralelograma AVSD:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4). Poiščite koordinate točke D.

2) Poiščite kot med ravnima AB in SD, če je A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KARTICA št. 5

Povej mi, kako izračunati kot med dvema črtama v prostoru z uporabo vektorjev smeri teh premic. →→

Problem: 1) Poiščite pik produkt vektorjeva in b, če:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 jaz +2 k

2) Podane so točke A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) in D (2; 4; 4). Dokaži, da je AVSD romb.

4. Preverjanje dela dinamičnih skupin po kartah.

Prisluhnemo nastopu predstavnikov skupin. Delo skupin ocenjuje učitelj ob sodelovanju učencev.

5. Refleksija. Ocene za kompenzacijo.

Končni test z več izbirami (izpisi).

1) Dani vektorji a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─; 1). Poiščite koordinate vektorja

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Dani vektorji a(4; -3; 5) in b(-3; 1; 2). Poiščite koordinate vektorja

C=2 a – 3 b

a) (7; -2; 3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Izračunajte pik produkt vektorjevm in n, če m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - bče | a|=2 , ‌| b |=3, (ab) = 60 °, c ┴ a , c ┴ b.

a) -1; b) -27; v 1; d) 35.

4) Dolžina vektorja a { xyz) je enak 5. Poiščite koordinate vektorja a, čex=2, z=-√5

a) 16; b) 4 ali -4; ob 9; d) 3 ali -3.

5) Poiščite površino ∆ABS, če je A (1; -1; 3); B (3; -1; 1) in C (-1; 1; -3).

a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.

Navzkrižno preverjanje testa. Kode odgovorov za testne predmete na zaslonu: 1 (b); 2 (c);

3 (a); 4 (b); 5 (c).

Merila za ocenjevanje:

Vse je pravilno - "5"

1 napaka - "4"

2 napaki - "3"

V drugih primerih - "2"

Tabela znanja študentov

Delati na

kartice

Konec

test

Ocena za prehod

Naloge

teorijo

praksa

1. skupina

2. skupina

3. skupina

Ocena pripravljenosti študenta na kredit.

Če želite uporabiti predogled predstavitev, si ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Pravokotni koordinatni sistem v prostoru. Vektorske koordinate.

Pravokotni koordinatni sistem

Če skozi točko v prostoru potegnemo tri pravokotne premice v paru, na vsaki od njih izberemo smer in izberemo mersko enoto segmentov, potem pravijo, da je podan pravokotni koordinatni sistem v prostoru

Ravne črte z izbranimi smermi na njih imenujemo koordinatne osi, njihova skupna točka pa je izhodišče. Običajno je označena s črko O. Koordinatne osi so označene na naslednji način: Ox, Oy, O z - in imajo imena: abscisna os, ordinatna os, apliktna os.

Celoten koordinatni sistem je označen z Oxy z. Ravnine, ki potekajo skozi koordinatne osi Ox in Oy, Oy in O z, O z in Ox, se imenujejo koordinatne ravnine in jih označujemo z Oxy, Oy z, O z x.

Točka O razdeli vsako od koordinatnih osi na dva žarka. Žarek, katerega smer sovpada s smerjo osi, imenujemo pozitivna polos, drugi žarek pa negativna polos.

V pravokotnem koordinatnem sistemu je vsaka točka M v prostoru povezana s trojko števil, ki se imenujejo njene koordinate.

Slika prikazuje šest točk A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F (0; 0; -3).

Vektorske koordinate

Vsak vektor je mogoče razširiti v koordinatne vektorje, torej predstaviti v obliki, kjer so ekspanzijski koeficienti x, y, z enolično določeni.

Koeficienti x, y in z pri razširitvi vektorja v koordinatne vektorje imenujemo koordinate vektorja v danem koordinatnem sistemu.

Razmislite o pravilih, ki omogočajo iskanje koordinat njihove vsote in razlike ter koordinate produkta danega vektorja z danim številom po koordinatah teh vektorjev.

10 . Vsaka koordinata vsote dveh ali več vektorjev je enaka vsoti ustreznih koordinat teh vektorjev. Z drugimi besedami, če sta a (x 1, y 1, z 1) in b (x 2, y 2, z 2) ta vektorja, ima vektor a + b koordinate (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2).

dvajset . Vsaka koordinata razlike dveh vektorjev je enaka razliki ustreznih koordinat teh vektorjev. Z drugimi besedami, če sta a (x 1, y 1, z 1) in b (x 2 y 2; z 2) ta vektorja, ima vektor a - b koordinate (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

trideset . Vsaka koordinata produkta vektorja s številom je enaka zmnožku ustrezne koordinate vektorja s tem številom. Z drugimi besedami, če je a (x; y; x) dani vektor, α je dano število, ima vektor α a koordinate (αх; αу; α z).

Na temo: metodološki razvoj, predstavitve in zapiski

Didaktični izroček "Nabor povzetkov za učence na temo" Metoda koordinat v prostoru "za izvajanje pouka v obliki predavanj. Geometrija 10-11 razred ....

Namen ure: Preveriti znanje, spretnosti in sposobnosti študentov na temo "Uporaba metode koordinat v prostoru za reševanje nalog C2 izpita". Načrtovani učni rezultati: Dijaki pokažejo: ...