Seksionet: Matematika

Objektivat e mësimit:

Edukative: të mësojë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve eksponenciale; për të konsoliduar aftësitë e zgjidhjes së ekuacioneve të përfshira në këto sisteme

Edukative: eduko rregullsinë.

Zhvillimi: zhvilloni një kulturë të të shkruarit dhe të folurit.

Pajisjet: kompjuter; projektor multimedial.

Gjatë orëve të mësimit

Koha e organizimit

Mësues. Sot do të vazhdojmë studimin tonë të kapitullit të Funksionit Eksponencial. Ne do ta formulojmë temën e mësimit pak më vonë. Gjatë mësimit, ju do të plotësoni formularët e përgjigjeve që gjenden në tabelat tuaja ( cm. Shtojca nr. 1 ). Përgjigjet do të përmblidhen.

Përditësimi i njohurive.

Nxënësit u përgjigjen pyetjeve:

• Çfarë forme ka funksioni eksponencial?

Punë gojore. Punoni në rrëshqitjet 1 deri në 5.

• Cili ekuacion quhet eksponencial?
• Cilat metoda të zgjidhjes dini?

Punë me gojë në rrëshqitjet 6 deri në 10.

• Cila veti e funksionit eksponencial përdoret për zgjidhjen e pabarazisë eksponenciale?

Punë me gojë në rrëshqitjet 11 deri në 15.

Ushtrimi. Regjistroni përgjigjet e këtyre pyetjeve në formularin e përgjigjeve # 1. ( cm. Shtojca nr. 1 ). (rrëshqitje nga 16 në 31)

Kontrolli i detyrave të shtëpisë

.

Ne kontrollojmë detyrat tona të shtëpisë si më poshtë.

Zëvendësoni rrënjët e ekuacioneve me shkronjën përkatëse dhe merrni me mend fjalën.

Nxënësit shikojnë formularin e përgjigjes nr. 2 ( Shtojca 1) ... Mësuesi demonstron rrëshqitjen numër 33

(Nxënësit emërtojnë një fjalë (rrëshqitje 34)).

• Cilat dukuri zhvillohen sipas ligjeve të këtij funksioni?

Studentët ftohen të zgjidhin detyra nga provimi B12 (rrëshqitje 35) dhe të shkruajnë zgjidhjen në formularin e përgjigjes nr. 3 ( Shtojca 1).

Gjatë kontrollit të detyrave të shtëpisë dhe zgjidhjes së problemit B12, ne do të përsërisim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.

Nxënësit zbulojnë se zgjidhja e një ekuacioni në dy ndryshore kërkon një ekuacion tjetër.

Më pas formulohet tema e mësimit (rrëshqitja numër 37).

Sistemi regjistrohet në fletore (numri i rrëshqitjes 38).

Për të zgjidhur këtë sistem, ne përsërisim metodën e zëvendësimit (rrëshqitje 39).

Metoda e mbledhjes përsëritet gjatë zgjidhjes së sistemit (rrëshqitja 38 në 39).

Konsolidimi parësor i materialit të studiuar

:

Nxënësit zgjidhin në mënyrë të pavarur sistemet e ekuacioneve në formularët e përgjigjeve nr. 4 ( Shtojca 1 ), duke marrë këshilla individuale nga një mësues.

Duke përmbledhur. Reflektimi.

Vazhdo frazat.

• Sot në mësim përsërita ...
• Sot në mësim rregullova ...
• Sot në mësimin që mësova ...
• Sot në mësimin që mësova ...

Në fund të orës së mësimit nxënësit shkruajnë detyrat e shtëpisë, dorëzojnë fletët e përgjigjeve

Detyrë në shtëpi:

Nr 59 (madje) dhe nr 62 (madje).

Letërsia

1. Të gjitha detyrat e grupit të Provimit të Unifikuar të Shtetit 3000 probleme - Shtëpia Botuese "Exam" Moskë, 2011. Redaktuar nga A.L. Semenova, I. V. Yashçenko.
2. S.A. Shestakov, P.I. Problemi i matematikës Zakharov EGE 2010 C1, redaktuar nga A.L. Semenova, I. V. Shtëpia botuese Yashchenko Moskë "MCNMO".
3. Tutorial Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore, klasa 10 Yu.M. Kolyagin Moskë "Edukimi", 2008.

Mësim dhe prezantim me temën: "Ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë eksponenciale"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 11
Tutorial interaktiv për klasat 9-11 "Trigonometria"
Tutorial interaktiv për klasat 10-11 "Logaritmet"

Përcaktimi i ekuacioneve eksponenciale

Djema, ne studiuam funksionet eksponenciale, mësuam vetitë e tyre dhe ndërtuam grafikët, analizuam shembuj të ekuacioneve në të cilat u ndeshën funksionet eksponenciale. Sot do të studiojmë ekuacionet eksponenciale dhe pabarazitë.

Përkufizimi. Ekuacionet e formës: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, ku $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ quhen ekuacione eksponenciale.

Duke kujtuar teoremat që kemi studiuar në temën "Funksioni eksponencial", mund të prezantojmë një teoremë të re:
Teorema. Ekuacioni eksponencial $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, ku $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, është ekuivalent me ekuacionin $ f (x) = g (x ) $.

Shembuj të ekuacioneve eksponenciale

Shembull.
Zgjidh ekuacionet:
a) 3 $ ^ (3x-3) = 27 $.
b) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
c) 5 $ ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Zgjidhje.
a) Ne e dimë mirë se 27 $ = 3 ^ 3 $.
Le të rishkruajmë ekuacionin tonë: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Duke përdorur teoremën e mësipërme, marrim se ekuacioni ynë reduktohet në ekuacionin $ 3x-3 = 3 $, duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim $ x = 2 $.
Përgjigje: $ x = 2 $.

B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Atëherë ekuacioni ynë mund të rishkruhet: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Përgjigje: $ x = 0 $.

C) Ekuacioni origjinal është i barabartë me ekuacionin: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ dhe $ x_2 = -3 $.
Përgjigje: $ x_1 = 6 $ dhe $ x_2 = -3 $.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) $.
Zgjidhja:
Ne do të kryejmë në mënyrë sekuenciale një sërë veprimesh dhe do të sjellim të dyja anët e ekuacionit tonë në të njëjtat baza.
Le të kryejmë një sërë operacionesh në anën e majtë:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ frak (1) (2))) = \ frak (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frak (1) (4 ^ x) = ((\ frak (1) (4))) ^ x $.
Le të kalojmë në anën e djathtë:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 $ * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frak (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Ekuacioni origjinal është i barabartë me ekuacionin:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Përgjigje: $ x = 0 $.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: 9 $ ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Zgjidhja:
Le të rishkruajmë ekuacionin tonë: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Le të bëjmë ndryshimin e variablave, le të $ a = 3 ^ x $.
Në variablat e reja, ekuacioni do të marrë formën: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ dhe $ a_2 = 3 $.
Le të bëjmë ndryshimin e kundërt të variablave: $ 3 ^ x = -12 $ dhe $ 3 ^ x = 3 $.
Në mësimin e fundit, mësuam se shprehjet eksponenciale mund të marrin vetëm vlera pozitive, mbani mend grafikun. Pra, ekuacioni i parë nuk ka zgjidhje, ekuacioni i dytë ka një zgjidhje: $ x = 1 $.
Përgjigje: $ x = 1 $.

Le të bëjmë së bashku një listë kontrolli të mënyrave për të zgjidhur ekuacionet eksponenciale:
1. Metoda grafike. Ne përfaqësojmë të dyja anët e ekuacionit në formën e funksioneve dhe ndërtojmë grafikët e tyre, gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve. (Këtë metodë e kemi përdorur në mësimin e fundit).
2. Parimi i barazisë së treguesve. Parimi bazohet në faktin se dy shprehje me baza të njëjta janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse shkallët (treguesit) e këtyre bazave janë të barabarta. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm. Kjo metodë duhet të përdoret nëse ekuacioni, kur ndryshon variablat, thjeshton formën e tij dhe është shumë më i lehtë për t'u zgjidhur.

Shembull.
Zgjidheni sistemin e ekuacioneve: $ \ fillojë (rastet) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ fundi (rastet) $.
Zgjidhje.
Konsideroni të dy ekuacionet e sistemit veçmas:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Merrni parasysh ekuacionin e dytë:
4 $ ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
2 $ ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Le të përdorim metodën e ndryshimit të variablave, le të $ y = 2 ^ (x + y) $.
Atëherë ekuacioni do të marrë formën:
$ y ^ 2-v-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ dhe $ y_2 = -3 $.
Duke kaluar në variablat fillestare, nga ekuacioni i parë marrim $ x + y = 2 $. Ekuacioni i dytë nuk ka zgjidhje. Atëherë sistemi ynë fillestar i ekuacioneve është ekuivalent me sistemin: $ \ fillojë (rastet) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ fundi (rastet) $.
Duke zbritur të dytën nga ekuacioni i parë, marrim: $ \ fillojë (rastet) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ fundi (rastet) $.
$ \ fillojë (rastet) y = -1, \\ x = 3. \ fundi (rastet) $.
Përgjigje: $ (3; -1) $.

Pabarazitë eksponenciale

Le të kalojmë tek pabarazitë. Gjatë zgjidhjes së pabarazive, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje bazës së shkallës. Ekzistojnë dy skenarë të mundshëm për zhvillimin e ngjarjeve gjatë zgjidhjes së pabarazive.

Teorema. Nëse $ a> 1 $, atëherë pabarazia eksponenciale $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ është ekuivalente me pabarazinë $ f (x)> g (x) $.
Nëse 0 dollarë a ^ (g (x)) $ është ekuivalente me pabarazinë $ f (x)

Shembull.
Zgjidh pabarazitë:
a) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
b) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Zgjidhje.
a) 3 $ ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Pabarazia jonë është e barabartë me pabarazinë:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Në ekuacionin tonë, baza është më e vogël se 1 , atëherë kur zëvendësohet një pabarazi me një ekuivalente, shenja duhet të ndryshohet.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

C) Pabarazia jonë është e barabartë me pabarazinë:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Le të përdorim metodën e zgjidhjes së intervalit:
Përgjigje: $ (- ∞; -5] U)