Një metodë racionalizimi për zgjidhjen e pabarazive logaritmike me një bazë të ndryshueshme. Metoda e racionalizimit Metoda e racionalizimit të ekuacioneve eksponenciale

Institucioni Arsimor Autonom Komunal "Shkolla e mesme Yarkovskaya"

Projekt studimor

Zgjidhja e pabarazive logaritmike me metodën e racionalizimit

MAOU "Shkolla e mesme Yarkovskaya"

Shanskikh Daria

Mbikëqyrës: mësues matematike

MAOU "Shkolla e mesme Yarkovskaya"

Yarkovo 2013

1) Hyrje ……………………………………………………………………………………………………………

2) Pjesa kryesore ……………………………………………… ..3

3) Përfundimi …………………………………………………… ..9

4) Lista e literaturës së përdorur …………… .10

5) Shtojcat ………………………………………………… 11-12

1. Prezantimi

Shpesh, gjatë zgjidhjes së detyrave USE nga pjesa "C", dhe veçanërisht në detyrat C3, ka pabarazi që përmbajnë shprehje logaritmike me një të panjohur në bazën e logaritmit. Për shembull, këtu është pabarazia standarde:

Si rregull, metoda klasike përdoret për të zgjidhur detyra të tilla, domethënë zbatohet kalimi në një grup ekuivalent sistemesh.

Me qasjen standarde, shembulli zgjidhet sipas skemës: produkti është më i vogël se zero, kur faktorët janë me shenja të kundërta. Kjo do të thotë, merret parasysh një grup prej dy sistemesh pabarazish, në të cilat çdo pabarazi ndahet në shtatë të tjera. Prandaj, mund të propozohet një metodë më pak e mundimshme për zgjidhjen e kësaj pabarazie standarde. Kjo është një teknikë racionalizimi e njohur në literaturën matematikore si dekompozim.

Gjatë përfundimit të projektit, unë vendosa qëllimet e mëposhtme :

1) Zotëroni këtë teknikë të vendimmarrjes

2) Të ushtrojë aftësitë e zgjidhjes së detyrave C3 nga punimet e trajnimit dhe diagnostikimit të vitit 2013.

Detyra e projektitështë studimi i bazës teorike të metodës së racionalizimit.

Rëndësiae punës qëndron në faktin se kjo metodë ju lejon të zgjidhni me sukses pabarazitë logaritmike të pjesës C3 të provimit në matematikë.

2. Pjesa kryesore

Konsideroni një pabarazi logaritmike të formës

madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e rreshtit: 150% ">, (1)

ku madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e rreshtit: 150% "> Metoda standarde për zgjidhjen e një pabarazie të tillë përfshin analizimin e dy rasteve në diapazonin e vlerave të pranueshme të pabarazisë.

Në rastin e parë kur bazat e logaritmave plotësojnë kushtin

madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e vijës: 150% ">, vizatohet shenja e pabarazisë: madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e rreshtit: 150%"> Në rastin e dytë kur baza e plotëson kushtin, ruhet shenja e pabarazisë:.

Në shikim të parë, gjithçka është logjike, ne do të shqyrtojmë dy raste dhe më pas do të kombinojmë përgjigjet. Vërtetë, kur merret parasysh rasti i dytë, lind një shqetësim i caktuar - duhet të përsërisni llogaritjet nga rasti i parë me 90 përqind (transformoni, gjeni rrënjët e ekuacioneve ndihmëse, përcaktoni intervalet e monotonitetit të shenjës). Shtrohet një pyetje e natyrshme - a është e mundur të kombinohen të gjitha këto disi?

Përgjigja për këtë pyetje gjendet në teoremën e mëposhtme.

Teorema 1. Pabarazia logaritmike

madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e rreshtit: 150% "> është e barabartë me sistemin e mëposhtëm të pabarazisë :

madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e rreshtit: 150% "> (2)

Dëshmi.

1. Le të fillojmë me faktin se katër pabarazitë e para të sistemit (2) përcaktojnë grupin e vlerave të pranueshme të pabarazisë logaritmike fillestare. Tani le ta kthejmë vëmendjen te pabarazia e pestë. Nëse madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e vijës: 150% ">, atëherë faktori i parë i kësaj pabarazie do të jetë negativ. Kur anuloni me të, do të duhet të ndryshoni shenjën e pabarazisë në të kundërtën, atëherë ju merrni pabarazinë .

Nëse , pastaj faktori i parë i pabarazisë së pestë është pozitiv, e anulojmë pa ndryshuar shenjën e pabarazisë, marrim pabarazinë madhësia e shkronjave: 14.0 pt; lartësia e rreshtit: 150% ">. Pra, pabarazia e pestë e sistemit përfshin të dy rastet e metodës së mëparshme.

Terem është e provuar.

Dispozitat kryesore të teorisë së metodës së racionalizimit.

Metoda e racionalizimit është të zëvendësojë një shprehje komplekse F (x ) në një shprehje më të thjeshtë G (x ) për të cilat pabarazia G (x ) SHQIP "style =" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "> F(x ) 0 në domenin e shprehjes F (x).

Le të theksojmë disa shprehje F dhe shprehjet e tyre racionalizuese përkatëse G, ku u, v,, p, q - shprehje me dy ndryshore ( u> 0; u ≠ 1; v> 0,> 0), a - numër fiks (a > 0, a ≠ 1).

	Shprehja F	Shprehja G
		(a -1) ( v - φ)

1 b

		)
2 b

Dëshmi

1. Le logav - logaφ> 0, kjo eshte logav> logaφ, për më tepër a> 0, a ≠ 1, v> 0,

φ > 0.

Nëse 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Prandaj, sistemi i pabarazive

a -1<0

v – φ < 0

Nga vjen pas pabarazia (a – 1)( v – φ ) > 0 e vërtetë në fushën e shprehjesF = logav - logaf.

Nëse a > 1, pastaj v > φ . Prandaj, pabarazia ( a – 1)( v – φ )> 0. Në të kundërt, nëse pabarazia ( a – 1)( v – φ )> 0 në diapazonin e vlerave të pranueshme ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ> 0),atëherë në këtë fushë është ekuivalente me një kombinim të dy sistemeve.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Çdo sistem nënkupton pabarazinëlogav > logaf, kjo eshte logav - logaf > 0.

Në mënyrë të ngjashme, ne konsiderojmë pabarazitë F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Lër disa numër a> 0 dhe a≠ 1, atëherë kemi

logo v- loguφ = SHQIP "style =" madhësia e shkronjave: 14.0pt; lartësia e linjës: 150% "> v - 1)( u- 1) (φ -u).

4.Nga pabarazia uv- uφ > 0 duhet uv > uφ. Le të a> 1, atëherëloga uv > logauφ ose

( u – φ) loga u > 0.

Prandaj, duke marrë parasysh zëvendësimin 1b dhe kushtina > 1 marrim

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Në mënyrë të ngjashme, pabarazitë F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Prova është e ngjashme me Provën 4.

6. Vërtetimi i zëvendësimit 6 rrjedh nga ekuivalenca e pabarazive | p | > | q | dhe p 2> q 2

(| p |< | q | и p 2 < q 2 ).

Le të krahasojmë vëllimin e zgjidhjeve me pabarazitë që përmbajnë një ndryshore në bazën e logaritmit duke përdorur metodën klasike dhe metodën e racionalizimit

3. konkluzioni

Besoj se janë realizuar detyrat që i kam vënë vetes gjatë kryerjes së punës. Projekti ka një rëndësi praktike, pasi metoda e propozuar në punim bën të mundur thjeshtimin e ndjeshëm të zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Si rezultat, numri i llogaritjeve që çojnë në përgjigjen është afërsisht përgjysmuar, gjë që jo vetëm që kursen kohë, por gjithashtu ju lejon të bëni më pak gabime aritmetike dhe "pavëmendje". Tani, kur zgjidh problemet C3, përdor këtë metodë.

4. Lista e literaturës së përdorur

1. , - Metodat për zgjidhjen e mosbarazimeve me një ndryshore. - 2011.

2. - Një udhëzues për matematikën. - 1972.

3. - Matematikë për aplikantin. Moskë: MCNMO, 2008.

Yezhova Elena Sergeevna
Pozicioni: mësues matematike
Institucion arsimor: MM "Shkolla e mesme nr. 77"
Lokaliteti: Saratov
Emri i materialit: zhvillimin metodik
Tema: Metoda e racionalizimit për zgjidhjen e pabarazive në përgatitjen për provim "
Data e publikimit: 16.05.2018
Kapitulli: arsim të plotë

Natyrisht, e njëjta pabarazi mund të zgjidhet në disa mënyra. Paç fat

në mënyrë të zgjedhur ose, siç thoshim, në mënyrë racionale, çdo

pabarazia do të zgjidhet shpejt dhe lehtë, zgjidhja e saj do të dalë e bukur dhe interesante.

Do të doja të shqyrtoja më në detaje të ashtuquajturën metodë racionalizimi për

zgjidhje e pabarazive logaritmike dhe eksponenciale, si dhe pabarazive që përmbajnë

ndryshore nën shenjën e modulit.

Ideja kryesore e metodës.

Metoda e zëvendësimit të faktorëve përdoret për të zgjidhur pabarazitë që reduktohen në formë

ku simboli "

» Tregon një nga katër shenjat e mundshme të pabarazisë:

Kur zgjidhim pabarazinë (1), na intereson vetëm shenja e ndonjë faktori në numërues

ose emëruesi, dhe jo vlera e tij absolute. Prandaj, nëse për ndonjë arsye ne

është e papërshtatshme të punosh me këtë shumëzues, mund ta zëvendësojmë me një tjetër

që përkon me të në fushën e përkufizimit të pabarazisë dhe duke pasur në këtë fushë

të njëjtat rrënjë.

Kjo përcakton idenë kryesore të metodës së zëvendësimit të shumëzuesit. Është e rëndësishme ta rregulloni atë

fakti që zëvendësimi i faktorëve kryhet vetëm nëse pabarazia

në formën (1), domethënë kur kërkohet të krahasohet produkti me zero.

Pjesa kryesore e zëvendësimit është për shkak të dy deklaratave ekuivalente të mëposhtme.

Pohimi 1. Funksioni f (x) është rreptësisht në rritje nëse dhe vetëm nëse për

çdo vlerë të t

) ndeshjet

shenjë me diferencën (f (t

)), domethënë f<=>(t

(↔ do të thotë rastësi)

Pohimi 2. Funksioni f (x) është rreptësisht zvogëlues nëse dhe vetëm nëse për

çdo vlerë të t

nga fusha e funksionit, diferenca (t

) ndeshjet

shenjë me diferencën (f (t

)), domethënë f ↓<=>(t

Arsyetimi i këtyre pohimeve rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i rreptësisht

funksion monoton. Sipas këtyre deklaratave mund të konstatohet se

Dallimi në shkallë përgjatë së njëjtës bazë përkon gjithmonë në shenjë me

produkti i ndryshimit midis treguesve të këtyre shkallëve nga devijimi i bazës nga një,

Dallimi në logaritme në të njëjtën bazë përkon gjithmonë në shenjë me

nga produkti i diferencës midis numrave të këtyre logaritmeve nga devijimi i bazës nga uniteti, atëherë

Fakti që diferenca e sasive jo negative përkon në shenjë me diferencën

katrorët e këtyre sasive, lejon zëvendësimet e mëposhtme:

Zgjidhja e pabarazisë

Zgjidhje.

Le të kalojmë në një sistem ekuivalent:

Nga pabarazia e parë marrim

Pabarazia e dytë vlen për të gjithë

Nga pabarazia e tretë marrim

Kështu, grupi i zgjidhjeve për pabarazinë origjinale:

Zgjidhja e pabarazisë

Zgjidhje.

Le të zgjidhim pabarazinë:

Përgjigje: (−4; −3)

Zgjidhja e pabarazisë

Le ta zvogëlojmë pabarazinë në një formë në të cilën diferenca në vlerat e logaritmisë

Zëvendësoni ndryshimin në vlerat e funksionit logaritmik me ndryshimin në vlerat e argumentit. V

funksioni rritet në numërues dhe zvogëlohet në emërues, pra shenja e pabarazisë

do të ndryshojë në të kundërtën. Është e rëndësishme të mos harroni të merrni parasysh shtrirjen e përkufizimit

funksioni logaritmik; prandaj, kjo pabarazi është ekuivalente me një sistem pabarazish.

Rrënjët numërues: 8; tetë;

Rrënja e emëruesit: 1

Zgjidhja e pabarazisë

Ne zëvendësojmë në numërues ndryshimin e vlerave absolute të dy funksioneve me diferencën e katrorëve të tyre, dhe në

emëruesi është ndryshimi i vlerave të funksionit logaritmik nga diferenca e argumenteve.

Në emërues, funksioni është në rënie, që do të thotë se shenja e pabarazisë do të ndryshojë në

e kundërt.

Në këtë rast, është e nevojshme të merret parasysh fusha e përcaktimit të logaritmikut

Ne zgjidhim pabarazinë e parë me metodën e intervaleve.

Rrënjët e numëruesit:

Rrënjët e emëruesit:

Zgjidhja e pabarazisë

Ne zëvendësojmë në numërues dhe emërues ndryshimin midis vlerave të funksioneve monotone me diferencën

vlerat e argumenteve, duke marrë parasysh fushën e përcaktimit të funksioneve dhe natyrën e monotonisë.

Rrënjët e numëruesit:

Rrënjët e emëruesit:

Zëvendësimet më të përdorura (duke përjashtuar O D Z).

a) Zëvendësimi i faktorëve të shenjës konstante.

b) Zëvendësimi i shumëzuesve jokonstant me modulin.

c) Zëvendësimi i faktorëve jokonstant me eksponencial dhe logaritmikë

shprehjet.

Zgjidhje. ODZ:

Zëvendësimi i shumëzuesve:

Ne kemi një sistem:

Në këtë pabarazi, faktorët

të konsiderohen si diferenca të madhësive jo negative, pasi shprehjet 1

ODZ mund të marrë vlera pozitive dhe negative.

Ne kemi një sistem:

Zëvendësimi i shumëzuesve:

Ne kemi një sistem:

Zëvendësimi i shumëzuesve:

Ne kemi një sistem:

Zëvendësimi i shumëzuesve:

Ne kemi një sistem:

Si rezultat kemi: x

Metoda e racionalizimit(metoda e dekompozimit, metoda e zëvendësimit të shumëzuesit, metoda e zëvendësimit

funksione, rregulli i shenjave) është zëvendësimi i shprehjes komplekse F (x) me një më shumë

një shprehje e thjeshtë G (x) për të cilën pabarazia G (x)

0 është ekuivalente me pabarazinë F (x

0 në fushën e shprehjes F (x).

Seksionet: Matematika

Praktika e kontrollit të fletëve të provimit tregon se vështirësia më e madhe për nxënësit e shkollës është zgjidhja e pabarazive transcendentale, veçanërisht e pabarazive logaritmike me bazë variabile. Prandaj, përmbledhja e mësimit të paraqitur në vëmendjen tuaj është një prezantim i metodës së racionalizimit (emrat e tjerë janë metoda e dekompozimit (Modenov VP), metoda e zëvendësimit të faktorëve (Golubev VI)), e cila ju lejon të zvogëloni komplekse logaritmike, eksponenciale , kombinoi pabarazitë në një sistem pabarazish racionale më të thjeshta. Si rregull, metoda e intervaleve e aplikuar për pabarazitë racionale deri në kohën e studimit të temës "Zgjidhja e pabarazive logaritmike" është zotëruar dhe përpunuar mirë. Prandaj, studentët me shumë interes dhe entuziazëm i perceptojnë ato metoda që u lejojnë atyre të thjeshtojnë zgjidhjen, ta bëjnë atë më të shkurtër dhe, në fund të fundit, të kursejnë kohë në provim për zgjidhjen e detyrave të tjera.

Objektivat e mësimit:

arsimore: përditësimi i njohurive bazë gjatë zgjidhjes së pabarazive logaritmike; prezantimi i një mënyre të re për zgjidhjen e pabarazive; përmirësimin e aftësive për zgjidhje
në zhvillim: zhvillimi i horizonteve matematikore, të folurit matematikor, të menduarit analitik
arsimore: edukimi i saktësisë dhe vetëkontrollit.

GJATË ORËSVE

1. Momenti organizativ. pershendetje. Përcaktimi i qëllimeve të mësimit.

2. Faza përgatitore:

Zgjidh pabarazitë:

3. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë(Nr. 11.81 * a)

Gjatë zgjidhjes së pabarazisë

Ju duhej të përdorni skemën e mëposhtme për zgjidhjen e pabarazive logaritmike me një bazë të ndryshueshme:

ato. Duhet të merren parasysh 2 raste: baza është më e madhe se 1 ose baza është më e vogël se 1.

4. Shpjegimi i materialit të ri

Nëse i shikoni me kujdes këto formula, do të vini re se shenja e ndryshimit g(x) – h(x) përputhet me shenjën e regjistrit të diferencës f(x) g(x) - log f(x) h(x) në rastin e një funksioni në rritje ( f(x)> 1, d.m.th. f(x) - 1> 0) dhe është e kundërt me shenjën e regjistrit të diferencës f(x) g(x) - log f(x) h(x) në rastin e një funksioni në rënie (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Prandaj, ky grup mund të reduktohet në një sistem pabarazish racionale:

Ky është thelbi i metodës së racionalizimit - të zëvendësohet shprehja më komplekse A me një shprehje më të thjeshtë B, e cila është racionale. Në këtë rast, pabarazia V V 0 do të jetë ekuivalente me pabarazinë A V 0 në domenin e shprehjes A.

Shembulli 1. Le ta rishkruajmë pabarazinë si një sistem ekuivalent të pabarazive racionale.

Vini re se kushtet (1) - (4) janë kushtet për domenin e pabarazisë, të cilat unë rekomandoj t'i gjeni në fillim të zgjidhjes.

Shembulli 2. Zgjidhja e pabarazisë me metodën e racionalizimit:

Fusha e pabarazisë përcaktohet nga kushtet:

Ne marrim:

Mbetet të shkruhet pabarazia (5)

Duke marrë parasysh fushën e përkufizimit

Përgjigje: (3; 5)

5. Konsolidimi i materialit të studiuar

I. Shkruaje pabarazinë si sistem pabarazish racionale:

II. Imagjinoni anën e djathtë të pabarazisë si logaritëm me bazën e kërkuar dhe shkoni te sistemi ekuivalent:

Mësuesi thërret në dërrasën e zezë nxënësit që kanë shkruar sistemet nga grupet I dhe II dhe ofron një nga nxënësit më të fortë të zgjidhë me racionalizim pabarazinë e brendshme (Nr. 11.81 * a).

6. Puna verifikuese

opsioni 1

Opsioni 2

1. Shkruani një sistem pabarazish racionale për zgjidhjen e pabarazive:

2. Zgjidhe pabarazinë me racionalizim

Kriteret e notimit:

3-4 pikë - "të kënaqshme";
5-6 pikë - "mirë";
7 pikë - "shkëlqyeshëm".

7. Reflektimi

Përgjigjuni pyetjes: cila nga metodat e njohura për zgjidhjen e pabarazive logaritmike me një bazë të ndryshueshme do t'ju lejojë të përdorni në mënyrë më efikase kohën tuaj në provim?

8. Detyrë shtëpie:№№ 11.80 * (a, b), 11.81 * (a, b), 11.84 * (a, b) për të zgjidhur metodën e racionalizimit.

Bibliografi:

Algjebra dhe fillimi i analizës: Teksti mësimor. Për 11 cl. arsimi i përgjithshëm. Institucionet / [S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] - botimi i 5-të. - M .: Arsimi, SHA "Librat shkollorë të Moskës", 2006.
A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev... Materialet e lëndës “Përgatitja e studentëve të mirë për Provimin e Unifikuar të Shtetit”: leksionet 1-4. - M .: Universiteti Pedagogjik "Shtatori i Parë", 2012.

Seksionet: Matematika

Shpesh, kur zgjidhen pabarazitë logaritmike, ka probleme me një bazë të ndryshueshme të logaritmit. Pra, një pabarazi e formës

është një pabarazi standarde shkollore. Si rregull, për ta zgjidhur atë, zbatohet një kalim në një grup ekuivalent sistemesh:

Disavantazhi i kësaj metode është nevoja për të zgjidhur shtatë pabarazi, pa llogaritur dy sisteme dhe një grup. Tashmë me funksione të dhëna kuadratike, zgjidhja e një grupi mund të marrë kohë.

Mund të propozohet një mënyrë alternative, më pak e mundimshme për zgjidhjen e kësaj pabarazie standarde. Për këtë, marrim parasysh teoremën e mëposhtme.

Teorema 1. Le të jetë një funksion në rritje të vazhdueshme në bashkësinë X. Atëherë në këtë bashkësi shenja e rritjes së funksionit do të përkojë me shenjën e rritjes së argumentit, d.m.th. , ku .

Shënim: nëse një funksion në rënie të vazhdueshme në bashkësinë X, atëherë.

Le të kthehemi te pabarazia. Le të shkojmë te logaritmi dhjetor (mund të shkoni në cilindo me një bazë konstante më të madhe se një).

Tani mund të përdorni teoremën, duke shënuar në numërues rritjen e funksioneve dhe në emërues. Pra është e vërtetë

Si rezultat, numri i llogaritjeve që çojnë në përgjigjen është afërsisht përgjysmuar, gjë që jo vetëm që kursen kohë, por gjithashtu ju lejon të bëni më pak gabime aritmetike dhe "pavëmendje".

Shembulli 1.

Duke krahasuar me (1) gjejmë , , .

Duke kaluar në (2) do të kemi:

Shembulli 2.

Duke krahasuar me (1) gjejmë,,.

Duke kaluar në (2) do të kemi:

Shembulli 3.

Meqenëse ana e majtë e pabarazisë është një funksion në rritje për dhe , atëherë përgjigja vendoset.

Grupi i shembujve në të cilët mund të zbatohet teorema 1 mund të zgjerohet lehtësisht nëse merret parasysh teorema 2.

Lëreni në set X funksionet,,, dhe mbi këtë grup shenjat dhe përkojnë, d.m.th. atëherë do të jetë e drejtë.

Shembulli 4.

Shembulli 5.

Me qasjen standarde, shembulli zgjidhet sipas skemës: produkti është më i vogël se zero, kur faktorët janë me shenja të kundërta. ato. merret parasysh grupi i dy sistemeve të pabarazive, në të cilat, siç u tregua në fillim, çdo pabarazi ndahet në shtatë të tjera.

Nëse marrim parasysh teoremën 2, atëherë secili nga faktorët, duke marrë parasysh (2), mund të zëvendësohet me një funksion tjetër që ka të njëjtën shenjë në këtë shembull O.D.Z.

Metoda e zëvendësimit të rritjes së një funksioni me një rritje të argumentit, duke marrë parasysh teoremën 2, rezulton të jetë shumë e përshtatshme kur zgjidh problemet tipike C3 të provimit.

Shembulli 6.

Shembulli 7.

... Le të shënojmë. marrim

... Vini re se zëvendësimi nënkupton:. Duke iu rikthyer ekuacionit, marrim .

Shembulli 8.

Në teoremat që përdorim, nuk ka kufizime në klasat e funksioneve. Në këtë artikull, për shembull, teoremat janë zbatuar për zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Shembujt e ardhshëm do të demonstrojnë premtimin e metodës për zgjidhjen e llojeve të tjera të pabarazive.

Metoda e racionalizimit ju lejon të lëvizni nga pabarazia që përmban komplekse eksponenciale, logaritmike, etj. shprehjet për pabarazinë ekuivalente të saj më të thjeshtë racionale.

Pra, para se të fillojmë të flasim për racionalizimin në pabarazi, le të flasim për ekuivalencën.

Ekuivalenca

Ekuivalente ose ekuivalente quhen ekuacione (pabarazi), bashkësitë e rrënjëve të të cilave përkojnë. Ekuivalente konsiderohen edhe ekuacionet (pabarazitë) që nuk kanë rrënjë.

Shembulli 1. Ekuacionet dhe janë ekuivalente, pasi kanë të njëjtat rrënjë.

Shembulli 2. Ekuacionet dhe janë gjithashtu ekuivalente, pasi zgjidhja për secilën prej tyre është bashkësia boshe.

Shembulli 3. Pabarazitë dhe janë ekuivalente, pasi zgjidhja për të dyja është shumë.

Shembulli 4. dhe - janë të pabarabarta. Zgjidhja e ekuacionit të dytë është vetëm 4, dhe zgjidhja për të parën është edhe 4 edhe 2.

Shembulli 5. Pabarazia është e barabartë me pabarazinë, pasi në të dyja pabarazitë - zgjidhja është 6.

Kjo do të thotë, pabarazitë (ekuacionet) ekuivalente në pamje mund të jenë shumë larg ngjashmërisë.

Në fakt, kur zgjidhim ekuacione (pabarazi) komplekse, të gjata si kjo, dhe marrim përgjigjen, nuk kemi në dorë asgjë më shumë se një ekuacion (pabarazi) që është ekuivalent me atë origjinal. Pamja është e ndryshme, por thelbi është i njëjtë!

Shembulli 6. Le të kujtojmë se si e trajtuam pabarazinë para se të njiheni me metodën e intervalit... Ne zëvendësuam pabarazinë origjinale me një grup prej dy sistemesh:

Kjo do të thotë, pabarazia dhe grupi i fundit janë ekuivalente me njëra-tjetrën.

Gjithashtu, mundemi, duke pasur në dorë agregatin

zëvendësojeni atë me një pabarazi, e cila mund të zgjidhet në asnjë kohë me metodën e intervaleve.

I jemi afruar metodës së racionalizimit në pabarazitë logaritmike.

Metoda e racionalizimit në pabarazitë logaritmike

Merrni parasysh pabarazinë.

Ne përfaqësojmë 4 si një logaritëm:

Kemi të bëjmë me një bazë të ndryshueshme të logaritmit, prandaj, në varësi të faktit nëse baza e logaritmit është më e madhe se 1 ose më e vogël se 1 (d.m.th. kemi të bëjmë me një funksion në rritje ose në rënie), shenja e pabarazisë do të mbetet ose ndryshoni në "". Prandaj, lind një kombinim (bashkim) i dy sistemeve:

Por, KUJDES, ky sistem duhet të zgjidhet duke marrë parasysh OHS! Unë qëllimisht nuk e ngarkova sistemin ODZ që të mos humbiste ideja kryesore.

Shikoni, tani ne do ta rishkruajmë sistemin tonë kështu (ne do të transferojmë gjithçka në secilën rresht të pabarazisë në anën e majtë):

A ju kujton kjo gjë? Për analogji me shembulli 6 ne e zëvendësojmë këtë grup sistemesh me pabarazinë:

Pasi të kemi zgjidhur këtë pabarazi në ODZ, do të marrim një zgjidhje për pabarazinë.

Le të gjejmë fillimisht ODV-në e pabarazisë origjinale:

Tani le të vendosim

Zgjidhja e pabarazisë së fundit, duke marrë parasysh DHS:

Pra, ja ku është, kjo tabelë "magjike":

Vini re se tabela funksionon sipas kushteve

ku janë funksionet e,

- funksioni ose numri,

- një nga shenjat

Vini re gjithashtu se rreshtat e dytë dhe të tretë të tabelës janë pasoja të të parit. Në rreshtin e dytë 1 është paraqitur më parë si, dhe në të tretën - 0 përfaqësohet si.

Dhe disa pasoja më të dobishme (shpresoj se mund ta kuptoni lehtësisht nga vijnë ato):

ku janë funksionet e,

- funksioni ose numri,

- një nga shenjat

Metoda e racionalizimit në pabarazitë eksponenciale

Le të zgjidhim pabarazinë.

Zgjidhja e pabarazisë origjinale është e barabartë me zgjidhjen e pabarazisë

Përgjigje:.

Tabela për racionalizimin në pabarazitë eksponenciale:

- funksionet nga, - funksioni ose numri, - një nga simbolet Tabela punon me kusht. Gjithashtu në rreshtat e tretë, të katërt - përveç kësaj -

Përsëri, në fakt, duhet të mësoni përmendësh rreshtat e parë dhe të tretë të tabelës. Rreshti i dytë është një rast i veçantë i të parit, dhe rreshti i katërt është një rast i veçantë i të tretit.