Si të gjeni rrënjët në një hendek në trigonometri. Gjetja e rrënjëve të ekuacionit që i përkasin segmentit. Mënyra të ndryshme për të zgjedhur rrënjët

Problemi numër 1

Logjika është e thjeshtë: do të veprojmë si më parë, pavarësisht se tani funksionet trigonometrike kanë një argument më kompleks!

Nëse do të zgjidhnim një ekuacion të formës:

Më pas do të shkruanim përgjigjen e mëposhtme:

Ose (meqenëse)

Por tani ne kemi shprehjen e mëposhtme në rolin tonë:

Atëherë mund të shkruani:

Qëllimi ynë me ju është që majtas të qëndrojë thjesht, pa asnjë “papastërti”!

Le t'i heqim qafe gradualisht!

Së pari, ne heqim emëruesin në: për këtë ne e shumëzojmë barazinë tonë me:

Tani le ta heqim qafe duke i ndarë të dyja pjesët në të:

Tani le të heqim qafe të tetën:

Shprehja që rezulton mund të shkruhet si 2 seri zgjidhjesh (për analogji me një ekuacion kuadratik, ku ose shtojmë ose zbresim diskriminuesin)

Duhet të gjejmë rrënjën më të madhe negative! Është e qartë se është e nevojshme të zgjidhet.

Konsideroni së pari serinë e parë:

Është e qartë se nëse marrim, atëherë si rezultat do të marrim numra pozitivë, dhe ata nuk janë me interes për ne.

Kështu që ju duhet ta merrni atë negativ. Le.

Kur rrënja është tashmë:

Dhe ne duhet të gjejmë negativin më të madh !! Do të thotë që nuk ka më kuptim të shkosh në drejtim negativ. Dhe rrënja më e madhe negative për këtë seri do të jetë.

Tani le të shohim serinë e dytë:

Dhe përsëri ne zëvendësojmë:, pastaj:

Jo i interesuar!

Atëherë nuk ka kuptim të rritet më! Do të zvogëlojmë! Atëherë le:

Përshtatet!

Le. Pastaj

Pastaj - rrënja më e madhe negative!

Përgjigje:

Problemi numër 2

Përsëri ne zgjidhim, pavarësisht nga argumenti kompleks i kosinusit:

Tani shprehemi përsëri majtas:

Ne i shumëzojmë të dyja anët

I ndajmë të dyja palët

Mbetet vetëm ta zhvendosni atë në të djathtë, duke ndryshuar shenjën e tij nga minus në plus.

Ne përsëri kemi 2 seri rrënjësh, njëra me dhe tjetra me.

Duhet të gjejmë rrënjën më të madhe negative. Konsideroni serinë e parë:

Është e qartë se do të marrim rrënjën e parë negative në, ajo do të jetë e barabartë me dhe do të jetë rrënja negative më e madhe në 1 seri.

Për serinë e dytë

Rrënja e parë negative do të merret gjithashtu në dhe do të jetë e barabartë me. Meqenëse, atëherë është rrënja negative më e madhe e ekuacionit.

Përgjigje: .

Problemi numër 3

Zgjidheni pavarësisht nga argumenti kompleks tangjent.

Duket se nuk është asgjë e komplikuar, apo jo?

Si më parë, ne shprehim në anën e majtë:

Epo, kjo është e mrekullueshme, ka vetëm një seri rrënjësh këtu! Gjeni sërish negativin më të madh.

Është e qartë se rezulton nëse vendosim. Dhe kjo rrënjë është e barabartë.

Përgjigje:

Tani përpiquni t'i zgjidhni vetë problemet e mëposhtme.

Detyrë shtëpie ose 3 detyra për një zgjidhje të pavarur.

Ekuacioni i vendimeve-shi-te.
Ekuacioni i vendimeve-shi-te.
Në ot-ve-ata na-pi-shi-te, po-li-tel-rrënja më e vogël.
Ekuacioni i vendimeve-shi-te.
Në ot-ve-ata na-pi-shi-te, po-li-tel-rrënja më e vogël.

Gati? Duke kontrolluar. Unë nuk do të përshkruaj në detaje të gjithë algoritmin e zgjidhjes, më duket se tashmë i është kushtuar vëmendje e mjaftueshme më lart.

Epo, a është gjithçka e saktë? Oh, ato sinuset e shëmtuara, gjithmonë ka disa telashe me ta!

Epo, tani mund të zgjidhni ekuacionet më të thjeshta trigonometrike!

Kontrolloni zgjidhjet dhe përgjigjet:

Problemi numër 1

Le të shprehemi

Rrënja pozitive më e vogël fitohet nëse vendosim, që atëherë

Përgjigje:

Problemi numër 2

Rrënja pozitive më e vogël fitohet kur.

Do të jetë e barabartë.

Përgjigje: .

Problemi numër 3

Kur marrim, kur marrim.

Përgjigje: .

Këto njohuri do t'ju ndihmojnë të zgjidhni shumë nga problemet me të cilat do të përballeni në provim.

Nëse po aplikoni për notën "5", atëherë thjesht duhet të shkoni te lexoni artikullin për niveli i mesëm, e cila do t'i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike më komplekse (detyra C1).

NIVELI MESATAR

Në këtë artikull do të përshkruaj zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të një lloji më kompleks dhe si të zgjidhni rrënjët e tyre. Këtu do të ndërtoj temat e mëposhtme:

Ekuacionet trigonometrike për nivelin e hyrjes (shih më lart).

Ekuacionet trigonometrike më komplekse janë baza e problemeve më komplekse. Në to, kërkohet si të zgjidhet vetë ekuacioni në formë të përgjithshme, ashtu edhe të gjenden rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin një intervali të caktuar të caktuar.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike zbret në dy nëndetyra:

Zgjidhja e ekuacionit
Përzgjedhja e rrënjëve

Duhet të theksohet se kjo e fundit nuk kërkohet gjithmonë, por megjithatë zgjedhja kërkohet në shumicën e shembujve. Dhe nëse nuk kërkohet, atëherë mund të simpatizoni më mirë - kjo do të thotë që ekuacioni është mjaft i ndërlikuar në vetvete.

Përvoja ime në analizimin e detyrave C1 tregon se ato zakonisht ndahen në këto kategori.

Katër kategori detyrash me kompleksitet të shtuar (më parë C1)

Ekuacione që reduktohen në faktorizim.
Ekuacionet që reduktohen në formë.
Ekuacionet e zgjidhura nga ndryshimi i ndryshores.
Ekuacionet që kërkojnë përzgjedhje shtesë të rrënjëve për shkak të irracionalitetit ose emëruesit.

Për ta thënë thjesht: nëse hasni një nga tre llojet e para të ekuacioneve atëherë konsiderojeni veten me fat. Për ta, si rregull, ju duhet gjithashtu të zgjidhni rrënjët që i përkasin një intervali të caktuar.

Nëse hasni në një ekuacion të tipit 4, atëherë jeni më pak me fat: duhet ta ndërhyni me të pak më gjatë dhe më nga afër, por mjaft shpesh nuk kërkon përzgjedhje shtesë të rrënjëve në të. Sidoqoftë, unë do të analizoj këtë lloj ekuacionesh në artikullin vijues, dhe ky do t'i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve të tre llojeve të para.

Ekuacionet e faktorizimit

Gjëja më e rëndësishme që duhet mbajtur mend për të zgjidhur ekuacionet e këtij lloji është

Siç tregon praktika, si rregull, kjo njohuri është e mjaftueshme. Le të shohim disa shembuj:

Shembulli 1. Ekuacioni duke reduktuar në faktorizim duke përdorur formulat e reduktimit dhe sinusin me kënd të dyfishtë

Ekuacioni Res-shi-te
Nay-di-te të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni

Këtu, siç premtova, formulat e kastit funksionojnë:

Atëherë ekuacioni im do të duket si ky:

Atëherë ekuacioni im do të marrë formën e mëposhtme:

Një student dritëshkurtër mund të thotë: dhe tani do t'i shkurtoj të dyja pjesët, do të marr ekuacionin më të thjeshtë dhe do ta shijoj jetën! Dhe do të jetë e gabuar!

KUJTOHUNI: ASNJËHERË MOS Zvogëlo TË DY PJESËT E EKUACIONIT TRIGONOMETRIK NGA NJË FUNKSION QË PËRMBAN NJË TË PANJOHUR! KËSHTU JU HUMBNI RRËNJET!

Pra cfare ben ti? Po, gjithçka është e thjeshtë, lëvizni gjithçka në një drejtim dhe hiqni faktorin e përbashkët:

Epo, ne e faktorizojmë atë në faktorë, shpejt! Tani vendosim:

Ekuacioni i parë ka rrënjët:

Dhe e dyta:

Kjo plotëson pjesën e parë të problemit. Tani duhet të zgjedhim rrënjët:

Hendeku është si ky:

Ose mund të shkruhet edhe kështu:

Epo, le të hedhim rrënjët:

Së pari, le të punojmë me serinë e parë (dhe është më e lehtë, çfarë mund të themi!)

Meqenëse intervali ynë është tërësisht negativ, nuk ka nevojë të marrim ato jo negative, megjithatë ato do të japin rrënjë jo negative.

Le të marrim, atëherë - pak më shumë, nuk përshtatet.

Le, atëherë - nuk goditi përsëri.

Një përpjekje tjetër - atëherë - ka, goditni! Rrënja e parë u gjet!

Unë qëlloj përsëri: pastaj - E godita përsëri!

Epo, edhe një herë:: - ky është tashmë një fluturim.

Pra, nga seria e parë 2 rrënjë i përkasin intervalit:.

Jemi duke punuar me serinë e dytë (po ndërtojmë në një shkallë sipas rregullit):

Nëngoditje!

Nëngoditje përsëri!

Përsëri nënfunksionim!

E kuptova!

Fluturim!

Kështu, rrënjët e mëposhtme i përkasin hapësirës sime:

Është me këtë algoritëm që ne do të zgjidhim të gjithë shembujt e tjerë. Le të praktikojmë së bashku me një shembull tjetër.

Shembulli 2. Një ekuacion që reduktohet në faktorizim duke përdorur formulat e reduktimit

Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhja:

Përsëri formulat famëkeqe të hedhjes:

Përsëri, mos u përpiqni të zvogëloni!

Ekuacioni i parë ka rrënjët:

Dhe e dyta:

Tani kërkoni përsëri rrënjët.

Do të filloj me serinë e dytë, tashmë di gjithçka për të nga shembulli i mëparshëm! Shikoni dhe sigurohuni që rrënjët që i përkasin hendekut janë si më poshtë:

Tani episodi i parë dhe është më i thjeshtë:

Nëse - përshtatet

Nëse - është gjithashtu e mirë

Nëse - tashmë një fluturim.

Atëherë rrënjët do të jenë si më poshtë:

Punë e pavarur. 3 ekuacione.

Epo, a është e qartë teknika për ju? Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike nuk duket më aq e vështirë? Pastaj shpejt zgjidhni vetë problemet e mëposhtme, dhe më pas ju dhe unë do të zgjidhim shembuj të tjerë:

Zgjidhe ekuacionin
Nay-di-ato janë të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni, të bashkangjitura me intervalin.
Ekuacioni Res-shi-te
Tregoni rrënjët e ekuacionit
Ekuacioni Res-shi-te
Nay-di-ato janë të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni-jo-niy, të bashkangjitura-mbi-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.

Ekuacioni 1.

Dhe përsëri formula e hedhjes:

Seria e parë e rrënjëve:

Seria e dytë e rrënjëve:

Fillimi i përzgjedhjes për hendekun

Përgjigje: ,.

Ekuacioni 2. Kontrollimi i punës së pavarur.

Një grupim mjaft i ndërlikuar në faktorë (do të përdor formulën e sinusit me kënd të dyfishtë):

atëherë ose

Kjo është një zgjidhje e përgjithshme. Tani duhet të zgjedhim rrënjët. Problemi është se ne nuk mund të tregojmë vlerën e saktë të këndit, kosinusi i të cilit është i barabartë me një të katërtën. Prandaj, nuk mund të shpëtoj thjesht nga arkozina - ky është një turp!

Ajo që mund të bëj është të kuptoj se çfarë dhe si, atëherë.

Le të bëjmë një tabelë: intervali:

Epo, përmes kërkimeve të dhimbshme, arritëm në përfundimin zhgënjyes se ekuacioni ynë ka një rrënjë në intervalin e treguar: \ arccos style display \ frac (1) (4) -5 \ pi

Ekuacioni 3. Kontrollimi i punës së pavarur.

Një ekuacion i frikshëm. Sidoqoftë, mund të zgjidhet thjesht duke aplikuar formulën e sinusit me kënd të dyfishtë:

Zvogëloni me 2:

Le të grupojmë termin e parë me të dytin dhe të tretën me të katërtin dhe të nxjerrim faktorët e përbashkët:

Është e qartë se ekuacioni i parë nuk ka rrënjë, dhe tani merrni parasysh të dytin:

Në përgjithësi, do të ndalesha në zgjidhjen e ekuacioneve të tilla pak më vonë, por meqenëse doli, atëherë nuk ka asgjë për të bërë, është e nevojshme të zgjidhet ...

Ekuacionet e formës:

Ky ekuacion zgjidhet duke i pjesëtuar të dyja pjesët me:

Kështu, ekuacioni ynë ka një seri të vetme rrënjësh:

Është e nevojshme të gjenden ato prej tyre që i përkasin intervalit:.

Le të ndërtojmë përsëri tabelën, siç bëra më parë:

Përgjigje:.

Ekuacionet që reduktohen në formën:

Epo, tani është koha për të kaluar në grupin e dytë të ekuacioneve, veçanërisht pasi unë kam thënë tashmë se çfarë përbëhet zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike të një lloji të ri. Por nuk do të jetë e tepërt të përsëritet se një ekuacion i formës

Zgjidhet duke i ndarë të dyja pjesët me kosinusin:

Ekuacioni Res-shi-te
Tregoni rrënjët e ekuacionit-jo-nia, kur-mbi-gënjyer-nga-prerja.
Ekuacioni Res-shi-te
Tregoni rrënjët e ekuacionit-jo-nia, kur-mbi-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.

Shembulli 1.

E para është shumë e thjeshtë. Lëvizni djathtas dhe aplikoni formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

Aha! Ekuacioni i formës:. Unë i ndaj të dyja pjesët

Bëjmë shoshitjen e rrënjëve:

Boshllëk:

Përgjigje:

Shembulli 2.

Gjithçka është gjithashtu mjaft e parëndësishme: le të zgjerojmë kllapat në të djathtë:

Identiteti bazë trigonometrik:

Sinus me kënd të dyfishtë:

Më në fund marrim:

Braktisja rrënjësore: boshllëk.

Përgjigje:.

Epo, si ju pëlqen teknika, a nuk është shumë e ndërlikuar? Shpresoj qe jo. Mund të bëjmë menjëherë një rezervë: në formën e tyre të pastër, ekuacionet, të cilat menjëherë reduktohen në një ekuacion për tangjentën, janë mjaft të rralla. Në mënyrë tipike, ky tranzicion (ndarja me kosinus) është vetëm një pjesë e një problemi më kompleks. Ja një shembull për t'u praktikuar:

Ekuacioni Res-shi-te
Nay-di-ato janë të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni-jo-nia, bashkangjitur-mbi-le-zha-shi-ku.

Le të kontrollojmë:

Ekuacioni zgjidhet menjëherë, mjafton që të dy pjesët të ndahen në:

Braktisja rrënjësore:

Përgjigje:.

Në një mënyrë ose në një tjetër, ne ende duhet të takohemi me ekuacione të llojit që sapo kemi analizuar. Megjithatë, është shumë herët për ne që ta rrumbullakojmë: ka edhe një “shtresë” ekuacionesh që nuk e kemi analizuar. Kështu që:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike duke ndryshuar një ndryshore

Gjithçka është transparente këtu: ne shikojmë nga afër ekuacionin, e thjeshtojmë sa më shumë që të jetë e mundur, bëjmë një zëvendësim, zgjidhim, bëjmë një zëvendësim të kundërt! Me fjalë, gjithçka është shumë e lehtë. Le të shohim në veprim:

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin:.
Nay-di-ato janë të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni-jo-nia, bashkangjitur-mbi-le-zha-shi-ku.

Epo, këtu vetë zëvendësimi lutet të jetë në duart tona!

Atëherë ekuacioni ynë do të kthehet në këtë:

Ekuacioni i parë ka rrënjët:

Dhe e dyta janë këto:

Tani do të gjejmë rrënjët që i përkasin intervalit

Përgjigje:.

Le të kalojmë së bashku një shembull pak më kompleks:

Ekuacioni Res-shi-te
Tregoni rrënjët e ekuacionit të dhënë-non-niy, kur-mbi-le-za-shi-n-e-zhut-ku.

Këtu zëvendësimi nuk është menjëherë i dukshëm, për më tepër, nuk është shumë i dukshëm. Le të mendojmë së pari: çfarë mund të bëjmë?

Për shembull, ne mund të imagjinojmë

Dhe në të njëjtën kohë

Atëherë ekuacioni im do të marrë formën:

Tani vëmendje, fokus:

Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me:

Papritur ju dhe unë morëm një ekuacion kuadratik për! Le të bëjmë një zëvendësim, atëherë marrim:

Ekuacioni ka rrënjët e mëposhtme:

Seria e dytë e keqe e rrënjëve, por nuk mund të ndihmohet! Ne zgjedhim rrënjët në interval.

Ne gjithashtu duhet ta kemi parasysh atë

Që atëherë dhe atëherë

Përgjigje:

Për t'u konsoliduar, përpara se t'i zgjidhni vetë problemet, ja një ushtrim tjetër për ju:

Ekuacioni Res-shi-te
Nay-di-ato janë të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni-jo-niy, të bashkangjitura-mbi-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.

Këtu duhet t'i mbani sytë hapur: tani kemi emërues që mund të jenë zero! Prandaj, duhet të jeni veçanërisht të vëmendshëm ndaj rrënjëve!

Para së gjithash, më duhet të transformoj ekuacionin në mënyrë që të mund të bëj një zëvendësim të përshtatshëm. Nuk mund të mendoj asgjë më të mirë tani sesa të rishkruaj tangjentën në termat e sinusit dhe kosinusit:

Tani do të kaloj nga kosinusi në sinus sipas identitetit bazë trigonometrik:

Dhe së fundi, unë do të sjell gjithçka në një emërues të përbashkët:

Tani mund të shkoj në ekuacionin:

Por në (që është, në).

Gjithçka tani është gati për zëvendësim:

Pastaj ose

Megjithatë, ju lutemi vini re se nëse, atëherë në të njëjtën kohë!

Kush vuan nga kjo? Problemi me tangjenten, është i papërcaktuar kur kosinusi është zero (pjestimi me zero).

Kështu, rrënjët e ekuacionit janë si më poshtë:

Tani shoshitim rrënjët në interval:


	- përshtatet
	- forcë e madhe

Kështu, ekuacioni ynë ka një rrënjë të vetme në interval, dhe është e barabartë me.

Ju shikoni: pamja e emëruesit (si dhe tangjentes, çon në disa vështirësi me rrënjët! Këtu duhet të keni më shumë kujdes!).

Epo, ju dhe unë pothuajse kemi përfunduar analizën e ekuacioneve trigonometrike, ka mbetur shumë pak - për të zgjidhur në mënyrë të pavarur dy probleme. Këtu ata janë.

Zgjidhe ekuacionin
Nay-di-ato janë të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni-jo-nia, bashkangjitur-mbi-le-zha-shi-ku.
Ekuacioni Res-shi-te
Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni, të bashkangjitur në prerje.

E vendosur? Jo shumë e vështirë? Le të kontrollojmë:

Ne punojmë sipas formulave të reduktimit:
Zëvendësoni në ekuacionin:
Le të rishkruajmë gjithçka për sa i përket kosinusit, në mënyrë që të jetë më i përshtatshëm për të bërë zëvendësimin:
Tani është e lehtë për të bërë zëvendësimin:
Është e qartë se kjo është një rrënjë e jashtme, pasi ekuacioni nuk ka zgjidhje. Pastaj:
Ne kërkojmë rrënjët që na duhen në interval
Përgjigje:.
Këtu zëvendësimi është i dukshëm menjëherë:
Pastaj ose

- përshtatet! - përshtatet!
- përshtatet! - përshtatet!
- shumë! - gjithashtu shumë!
Përgjigje:

Epo, tani kjo është ajo! Por zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike nuk mbaron me kaq, na mbeten rastet më të vështira: kur ka irracionalitet në ekuacione ose lloje të ndryshme "emëruesish kompleks". Ne do të shqyrtojmë se si t'i zgjidhim detyra të tilla në artikull për nivelin e avancuar.

NIVELI I AVANCUAR

Përveç ekuacioneve trigonometrike të diskutuara në dy artikujt e mëparshëm, ne do të shqyrtojmë një klasë tjetër ekuacionesh që kërkojnë analizë edhe më të kujdesshme. Këta shembuj trigonometrikë përmbajnë ose irracionalitet ose një emërues, gjë që i bën ata më të vështirë për t'u analizuar.... Sidoqoftë, mund t'i hasni këto ekuacione në Pjesën C të fletës së provimit. Sidoqoftë, ekziston një rreshtim argjendi: për ekuacione të tilla, si rregull, nuk shtrohet pyetja se cila prej rrënjëve të saj i përket një intervali të caktuar. Le të mos rrahim rreth shkurret, por vetëm shembuj trigonometrikë.

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin dhe gjeni rrënjët që i përkasin segmentit.

Zgjidhja:

Kemi një emërues që nuk duhet të jetë zero! Atëherë zgjidhja e këtij ekuacioni është e njëjtë me zgjidhjen e sistemit

Le të zgjidhim secilin nga ekuacionet:

Dhe tani e dyta:

Tani le t'i hedhim një sy serialit:

Është e qartë se opsioni nuk na përshtatet, pasi në këtë rast emëruesi është zero (shiko formulën për rrënjët e ekuacionit të dytë)

Nëse, megjithatë, atëherë gjithçka është në rregull, dhe emëruesi nuk është zero! Atëherë rrënjët e ekuacionit janë si më poshtë:,.

Tani zgjedhim rrënjët që i përkasin intervalit.


	- nuk përshtatet	- përshtatet
	- përshtatet	- përshtatet
	forcë e madhe	forcë e madhe

Atëherë rrënjët janë si më poshtë:

E shihni, edhe shfaqja e një zhurme të vogël në formën e një emëruesi ndikoi ndjeshëm në zgjidhjen e ekuacionit: hodhëm një seri rrënjësh që zero emëruesin. Situata mund të jetë edhe më e vështirë nëse hasni në shembuj trigonometrikë që kanë irracionalitet.

Shembulli 2.

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:

Epo, të paktën nuk ka nevojë të zgjidhni rrënjët, dhe kjo është mirë! Le të zgjidhim fillimisht ekuacionin, pavarësisht nga irracionaliteti:

A është kjo e gjitha? Jo, mjerisht, do të ishte shumë e lehtë! Duhet mbajtur mend se vetëm numrat jonegativë mund të jenë nën rrënjë. Pastaj:

Zgjidhja e kësaj pabarazie:

Tani mbetet për të zbuluar nëse disa nga rrënjët e ekuacionit të parë kanë arritur aksidentalisht atje ku pabarazia nuk plotësohet.

Për ta bërë këtë, mund të përdorni përsëri tabelën:


	: , por	Jo!
		Po!
		Po!

Kështu, njëra nga rrënjët më "ra"! Rezulton nëse e vendosni. Atëherë përgjigja mund të shkruhet si më poshtë:

Përgjigje:

E shihni, rrënja kërkon vëmendje edhe më të ngushtë! Për t'i komplikuar gjërat: tani më lejoni të kem një funksion trigonometrik nën rrënjë.

Shembulli 3.

Si më parë: së pari do ta zgjidhim secilin veç e veç dhe më pas do të mendojmë se çfarë kemi bërë.

Tani ekuacioni i dytë:

Tani gjëja më e vështirë është të zbuloni nëse vlerat negative nën rrënjën aritmetike merren nëse zëvendësojmë rrënjët nga ekuacioni i parë atje:

Numri duhet të kuptohet si radianë. Meqenëse radianët janë rreth gradë, radianët janë rreth gradë. Ky është këndi i tremujorit të dytë. Cila është shenja e kosinusit të tremujorit të dytë? Minus. Dhe sinusi? Nje plus. Pra, çfarë mund të thuhet për shprehjen:

Është më pak se zero!

Kjo do të thotë se nuk është rrënja e ekuacionit.

Tani është radha.

Le ta krahasojmë këtë numër me zero.

Kotangjentja është një funksion që zvogëlohet në 1 tremujor (sa më i vogël të jetë argumenti, aq më i madh është kotangjentja). radianët janë afërsisht gradë. Ne te njejten kohe

që atëherë, dhe kështu
,

Përgjigje:.

A mund të jetë edhe më e vështirë? Je i mirepritur! Do të jetë më e vështirë nëse funksioni trigonometrik është ende nën rrënjë, dhe pjesa e dytë e ekuacionit është përsëri funksioni trigonometrik.

Sa më shumë shembuj trigonometrikë, aq më mirë, shihni më tej:

Shembulli 4.

Rrënja nuk është e përshtatshme për shkak të kosinusit të kufizuar

Tani e dyta:

Në të njëjtën kohë, sipas përkufizimit të rrënjës:

Duhet të kujtojmë rrethin e njësisë: domethënë, ato katërshe ku sinusi është më i vogël se zero. Çfarë lagjesh janë ato? E treta dhe e katërta. Atëherë do të na interesojnë ato zgjidhje të ekuacionit të parë që shtrihen në tremujorin e tretë ose të katërt.

Seria e parë prodhon rrënjë në kryqëzimin e tremujorit të tretë dhe të katërt. Seria e dytë, e cila është diametralisht e kundërt me të, krijon rrënjë që shtrihen në kufirin e tremujorit të parë dhe të dytë. Prandaj, kjo seri nuk na përshtatet.

Përgjigje:,

Dhe perseri shembuj trigonometrikë me "irracionalitet të vështirë"... Jo vetëm që kemi përsëri funksionin trigonometrik nën rrënjë, por tani është edhe në emërues!

Shembulli 5.

Epo, asgjë nuk mund të bëhet - ne veprojmë si më parë.

Tani ne punojmë me emëruesin:

Unë nuk dua të zgjidh pabarazinë trigonometrike, dhe për këtë arsye do të veproj me dinakëri: do të marr dhe do ta zëvendësoj serinë e rrënjëve të mia në pabarazi:

Nëse - madje, atëherë kemi:

meqë, atëherë të gjitha këndet e pamjes shtrihen në tremujorin e katërt. Dhe përsëri pyetja e shenjtë: cila është shenja e sinusit në tremujorin e katërt? Negativ. Pastaj pabarazia

Nëse është e çuditshme, atëherë:

Në cilin lagje shtrihet këndi? Ky është këndi i tremujorit të dytë. Pastaj të gjitha qoshet janë përsëri qoshet e tremujorit të dytë. Sinusi është pozitiv atje. Vetëm ajo që ju nevojitet! Prandaj, seria:

Përshtatet!

Merreni me serinë e dytë të rrënjëve në të njëjtën mënyrë:

Ne zëvendësojmë në pabarazinë tonë:

Nëse - madje, atëherë

Këndet e çerekut të parë. Sinusi është pozitiv atje, kështu që seria është e përshtatshme. Tani nëse - tek, atëherë:

gjithashtu përshtatet!

Epo, tani shkruajmë përgjigjen!

Përgjigje:

Epo, ky ishte ndoshta rasti që kërkon më shumë kohë. Tani unë ju ofroj probleme për zgjidhjen tuaj.

Stërvitje

Zgjidhini dhe gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit që i përkasin segmentit.

Zgjidhjet:

Ekuacioni i parë:
ose
Rrënja ODZ:
Ekuacioni i dytë:
Përzgjedhja e rrënjëve që i përkasin hendekut
Përgjigje:

Ose
ose
Por

Konsideroni:. Nëse - madje, atëherë
- nuk përshtatet!
Nëse - tek,: - përshtatet!
Kjo do të thotë që ekuacioni ynë ka serinë e mëposhtme të rrënjëve:
ose
Zgjedhja e rrënjëve në interval:


	- nuk përshtatet	- përshtatet
	- përshtatet	- shumë
	- përshtatet	shumë

Përgjigje: ,.

Ose
Që, kur tangjentja nuk është e përcaktuar. Ne e hedhim menjëherë këtë seri rrënjësh!

Pjesa e dytë:

Në të njëjtën kohë, sipas ODZ, kërkohet që

Ne kontrollojmë rrënjët e gjetura në ekuacionin e parë:

Nëse shenja është:

Këndet e çerekut të parë ku tangjentja është pozitive. Nuk përshtatet!
Nëse shenja është:

Këndi i çerekut të katërt. Atje tangjentja është negative. Përshtatet. Ne shkruajmë përgjigjen:

Përgjigje: ,.

Ne kemi mbuluar shembuj kompleks trigonometrikë së bashku në këtë artikull, por ju duhet t'i zgjidhni vetë ekuacionet.

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE

Një ekuacion trigonometrik është një ekuacion në të cilin e panjohura është rreptësisht nën shenjën e funksionit trigonometrik.

Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike:

Mënyra e parë është përdorimi i formulave.

Mënyra e dytë është përmes rrethit trigonometrik.

Ju lejon të matni këndet, të gjeni sinuset, kosinuset e tyre dhe më shumë.

Përgatitja për nivelin e profilit të provimit të unifikuar të shtetit në matematikë. Materiale të dobishme për trigonometrinë, video leksione të mëdha teorike, video analiza të problemeve dhe një përzgjedhje detyrash nga vitet e kaluara.

Materiale të dobishme

Zgjedhje video dhe kurse online

Formulat trigonometrike

Ilustrimi gjeometrik i formulave trigonometrike

Funksionet e harkut. Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike

Ekuacionet trigonometrike

Teoria e nevojshme për zgjidhjen e problemeve.
a) Zgjidheni ekuacionin $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [- \ dfrac (7 \ pi) (2); - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $.
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [-3 \ pi; - \ pi \ djathtas] $.
Zgjidheni ekuacionin $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $.
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [- \ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $.
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $.
Zgjidheni ekuacionin $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $.
Zgjidheni ekuacionin $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ djathtas) $.
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ cos 2x = \ sin \ majtas (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ djathtas) $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $.
a) Zgjidhe ekuacionin $ 2 \ sin ^ 2 \ majtas (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ djathtas) = \ sqrt3 \ cos x $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ djathtas] $.

Analiza video e detyrave

b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ sqrt (3); \ sqrt (20) \ djathtas] $.

b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ djathtas] $.

b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ sqrt (3); \ sqrt (30) \ djathtas] $.

a) Zgjidhe ekuacionin $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ majtas (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ djathtas) $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ djathtas) $.

a) Zgjidheni ekuacionin $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ majtas (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas) = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ djathtas] $.

b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [\ log_5 2; \ log_5 20 \ djathtas] $.

a) Zgjidhe ekuacionin $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ majtas (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ djathtas) = 9 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ djathtas] $.

a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $.

a) Zgjidhe ekuacionin $ \ majtas (\ dfrac (1) (49) \ djathtas) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [\ dfrac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ djathtas] $.

a) Zgjidhe ekuacionin $ \ sin x + \ majtas (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ djathtas) \ majtas (\ cos \ dfrac (x) (2) + \ sin \ dfrac (x) (2) \ djathtas) = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $.

a) Zgjidheni ekuacionin $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit $ \ majtas [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $.

Një përzgjedhje detyrash nga vitet e kaluara

a) Zgjidhe ekuacionin $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala e hershme)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ sqrt (3); \ sqrt (30) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala e hershme, ditë rezervë)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ djathtas) = \ cos x $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-2 \ pi; - \ dfrac (\ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ djathtas) $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [3 \ pi; \ dfrac (9 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ sin x + 2 \ sin \ majtas (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ djathtas) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ djathtas) $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 2 \ sin \ majtas (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ djathtas) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $.
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ sqrt3 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ djathtas) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [2 \ pi; \ dfrac (7 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ sin \ majtas (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ djathtas) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ sqrt2 \ sin \ majtas (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ djathtas) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ sqrt2 \ sin \ majtas (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ djathtas) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (5 \ pi) (2); - \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ djathtas) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ djathtas) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (9 \ pi) (2); -3 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ sqrt2 \ sin \ majtas (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ djathtas) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-3 \ pi; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidhe ekuacionin $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $.
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ sqrt (3); \ sqrt (20) \ djathtas] $. (Përdorimi-2018. Vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (\ pi) (2); \ \ pi \ djathtas] $. (USE-2017, vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ log_2 0 (,) 2; \ \ log_2 5 \ djathtas] $. (USE-2017, vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ log_2 0 (,) 1; \ 12 \ sqrt (5) \ djathtas] $. (USE-2017, vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 0 (,) 4 ^ (\ sin x) + 2 (,) 5 ^ (\ sin x) = 2 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2017, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ log_8 \ majtas (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ djathtas) = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2017, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ log_4 \ majtas (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ djathtas) = x $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2017, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ log_2 ^ 2 \ majtas (\ sin x \ djathtas) - 5 \ log_2 \ majtas (\ sin x \ djathtas) - 3 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- 3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2017, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 81 ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- 4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2017, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 8 ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ djathtas] $. (Përdorimi-2017, vala e hershme)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ sqrt (10); \ \ sqrt (99) \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 6 \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [2; \ 2 (,) 5 \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ majtas (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas) + 1 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala kryesore, dita e rezervës)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ majtas (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ djathtas) $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-2 \ pi; \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 8 ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala e hershme)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ majtas (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ djathtas) = 0,25 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala e hershme)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2016, vala e hershme)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ majtas (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ djathtas)) = \ sqrt (2) $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas $. (Përdorimi-2015, vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ pi; \ 0 \ djathtas] $. (Përdorimi-2015, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2015, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2015, vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2015, vala e hershme)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2015, vala e hershme)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ djathtas] $. (USE-2014, vala kryesore)
a) Zgjidheni ekuacionin $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ majtas (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ djathtas) - \ sin 2x = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ djathtas] $. (USE-2014, vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ majtas (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ djathtas) + 1 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ djathtas] $. (USE-2014, vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ - \ sqrt (2) \ sin \ majtas (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ djathtas) \ cdot \ sin x = \ cos x $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [\ dfrac (9 \ pi) (2); \ 6 \ pi \ djathtas] $. (Përdorimi-2014, vala e hershme)
a) Zgjidhe ekuacionin $ \ sin 2x = \ sin \ majtas (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ djathtas) $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [- \ dfrac (7 \ pi) (2); \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ djathtas] $. (USE-2013, vala kryesore)
a) Zgjidhe ekuacionin $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ majtas (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ djathtas) - 2 = 0 $.
b) Tregoni rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit $ \ majtas [-5 \ pi; \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ djathtas] $. (Përdorimi-2012, vala e dytë)

Qëllimi i mësimit:

a) për të konsoliduar aftësinë për të zgjidhur ekuacionet më të thjeshta trigonometrike;

b) Mësoni të zgjidhni rrënjët e ekuacioneve trigonometrike nga një interval i caktuar

Gjatë orëve të mësimit.

1. Aktualizimi i njohurive.

a) Kontrollimi i detyrave të shtëpisë: klasës iu dha një detyrë shtëpie paraprake - të zgjidhë ekuacionin dhe të gjejë një mënyrë për të zgjedhur rrënjët nga një interval i caktuar.

1) cos x= -0,5, ku xI [-]. Përgjigje:.

2) mëkat x=, ku xI. Përgjigje: ; ...

3) co 2 x= -, ku хи. Përgjigje:

Nxënësit shkruajnë zgjidhjen në tabelë, dikush duke përdorur një grafik, dikush duke përdorur një metodë përzgjedhjeje.

Në këtë kohë klasa punon me gojë.

Gjeni kuptimin e shprehjes:

a) tg - sin + cos + sin. Përgjigje: 1.

b) 2 harqe 0 + 3 harqe 1. Përgjigje: ?

c) arcsin + arcsin. Përgjigje:.

d) 5 arctan (-) - arccos (-). Përgjigje: -.

- Le të kontrollojmë detyrat e shtëpisë, të hapim fletoret e detyrave të shtëpisë.

Disa prej jush kanë gjetur një zgjidhje me metodën e përshtatjes dhe disa me grafik.

2. Përfundim se si të zgjidhen këto detyra dhe deklarata e problemit, dmth., mesazhi i temës dhe qëllimi i orës së mësimit.

- a) Është e vështirë të zgjidhet me ndihmën e përzgjedhjes nëse jepet një interval i madh.

- b) Metoda grafike nuk jep rezultate të sakta, kërkon verifikim dhe kërkon shumë kohë.

- Prandaj, duhet të ketë të paktën një metodë më shumë, më universale - le të përpiqemi ta gjejmë atë. Pra, çfarë do të bëjmë sot në klasë? (Mësoni të zgjidhni rrënjët e një ekuacioni trigonometrik në një interval të caktuar.)

- Shembulli 1 (Nxënësi shkon në dërrasën e zezë)

cos x= -0,5, ku xI [-].

Pyetje: Nga çfarë varet përgjigja e kësaj detyre? (Nga zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit. Le ta shkruajmë zgjidhjen në formë të përgjithshme). Vendimi shkruhet në tabelë

х = + 2? k, ku k R.

- Le ta shkruajmë këtë zgjidhje në formën e një grupi:

- Si mendoni, për cilin regjistrim të zgjidhjes është i përshtatshëm të zgjidhni rrënjët në interval? (nga hyrja e dytë). Por kjo është përsëri një metodë përzgjedhjeje. Çfarë duhet të dimë për të marrë përgjigjen e duhur? (Duhet të dini vlerat e k).

(Le të bëjmë një model matematikor për të gjetur k).



meqenëse kI Z, atëherë k = 0, pra X= =	kjo pabarazi tregon se nuk ka vlera të plota të k.

konkluzioni: Për të zgjedhur rrënjët nga një interval i caktuar kur zgjidhni një ekuacion trigonometrik, ju duhet:

për të zgjidhur një ekuacion të formës sin x = a, cos x = aështë më e përshtatshme të shkruhen rrënjët e ekuacionit si dy seri rrënjësh.
për të zgjidhur ekuacionet e formës tg x = a, ctg x = a shkruani formulën e përgjithshme për rrënjët.
hartoni një model matematikor për secilën zgjidhje në formën e një mosbarazimi të dyfishtë dhe gjeni vlerën e plotë të parametrit k ose n.
zëvendësoni këto vlera në formulën rrënjësore dhe llogaritni ato.

3. Ankorimi.

Zgjidh shembujt 2 dhe 3 nga detyrat e shtëpisë duke përdorur algoritmin e marrë. Në të njëjtën kohë, dy studentë punojnë në dërrasën e zezë dhe më pas kontrollojnë punën.

Në këtë artikull do të përpiqem të shpjegoj 2 mënyra përzgjedhja e rrënjëve në ekuacionin trigonometrik: duke përdorur inekuacionet dhe duke përdorur rrethin trigonometrik. Le të shkojmë drejt e në një shembull ilustrues dhe të merremi me rastin.

A) Zgjidhe ekuacionin sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x)
b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin intervalit [-7Pi / 2; -2 Pi]

Le të zgjidhim pikën a.

Ne përdorim formulën e reduktimit për sinusesin (Pi / 2 + x) = cos (x)

Sqrt (2) cos ^ 2x = cosx

Sqrt (2) cos ^ 2x - cosx = 0

Cosx (sqrt (2) cosx - 1) = 0

X1 = Pi / 2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt (2) cosx - 1 = 0

Cosx = 1 / sqrt (2)

Cosx = sqrt (2) / 2

X2 = arccos (sqrt (2) / 2) + 2 Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi / 4 + 2 Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2 Pin, n ∈ Z

Le të zgjidhim pikën b.

1) Zgjedhja e rrënjëve duke përdorur pabarazitë

Këtu gjithçka bëhet thjesht, ne zëvendësojmë rrënjët e marra në intervalin e dhënë [-7Pi / 2; -2Pi], gjeni vlera të plota për n.

7Pi / 2 më pak ose e barabartë me Pi / 2 + Pin më pak ose e barabartë me -2Pi

Ndani gjithçka në Pi menjëherë

7/2 është më e vogël ose e barabartë me 1/2 + n është më e vogël ose e barabartë me -2

7/2 - 1/2 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -2 - 1/2

4 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -5/2

Numri i plotë n në këtë varg është -4 dhe -3. Pra, rrënjët që i përkasin këtij intervali do të jenë Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2, Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2

Në mënyrë të ngjashme, ne bëjmë edhe dy pabarazi të tjera

7Pi / 2 më pak se ose e barabartë me Pi / 4 + 2Pin më pak ose e barabartë me -2Pi
-15/8 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -9/8

Nuk ka numër të plotë n në këtë interval

7Pi / 2 më pak se ose e barabartë me -Pi / 4 + 2Pin më pak ose e barabartë me -2Pi
-13/8 më pak se ose e barabartë me n më pak se ose e barabartë me -7/8

Një numër i plotë n në këtë hapësirë është -1. Pra, rrënja e zgjedhur në këtë interval është -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4.

Pra, përgjigja në pikën b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) Zgjedhja e rrënjëve duke përdorur një rreth trigonometrik

Për të përdorur këtë metodë, duhet të kuptoni se si funksionon ky rreth. Do të përpiqem të shpjegoj me gjuhë të thjeshtë se si e kuptoj këtë. Mendoj se në shkolla në mësimet e algjebrës kjo temë shpjegohej shumë herë nga fjalët e zgjuara të mësuesit, formulimet komplekse në tekstet shkollore. Personalisht, unë e kuptoj këtë si një rreth që mund të përshkohet pafundësisht herë, për faktin se funksionet e sinusit dhe kosinusit janë periodike.

Le të shkojmë një herë në drejtim të kundërt të akrepave të orës

Le të shkojmë rreth 2 herë në të kundërt të akrepave të orës

Le të shkojmë rreth 1 herë në drejtim të akrepave të orës (vlerat do të jenë negative)

Le të kthehemi te pyetja jonë, duhet të zgjedhim rrënjët në intervalin [-7Pi / 2; -2 Pi]

Për të arritur te numrat -7Pi / 2 dhe -2Pi, duhet të shkoni rreth rrethit në drejtim të kundërt të orës dy herë. Për të gjetur rrënjët e ekuacionit në këtë interval, është e nevojshme të vlerësohen dhe të zëvendësohen.

Konsideroni x = Pi / 2 + Pin. Sa është vlera e përafërt e n që vlera e x të jetë diku në këtë interval? Duke zëvendësuar, le të themi -2, marrim Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, padyshim që kjo nuk përfshihet në intervalin tonë, kështu që marrim më pak se -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, përshtatet, le të provojmë -4 përsëri, Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 është gjithashtu i përshtatshëm.

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme për Pi / 4 + 2Pin dhe -Pi / 4 + 2Pin, gjejmë një rrënjë tjetër -9Pi / 4.

Krahasimi i dy metodave.

Metoda e parë (duke përdorur pabarazitë) është shumë më e besueshme dhe shumë më e lehtë për t'u kuptuar, por nëse merreni seriozisht me rrethin trigonometrik dhe metodën e dytë të përzgjedhjes, atëherë zgjedhja e rrënjëve do të jetë shumë më e shpejtë, mund të kurseni rreth 15 minuta në provimi.

a) Zgjidhe ekuacionin:.

b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit.

Zgjidhja e problemit

Ky mësim shqyrton një shembull të zgjidhjes së një ekuacioni trigonometrik, i cili mund të përdoret si shembull për zgjidhjen e problemeve të tipit C1 në përgatitjen për provimin në matematikë.

Para së gjithash, përcaktohet qëllimi i funksionit - të gjitha vlerat e lejuara të argumentit. Më pas, gjatë zgjidhjes, funksioni i sinusit trigonometrik shndërrohet në kosinus duke përdorur formulën e reduktimit. Më tej, të gjitha termat e ekuacionit transferohen në anën e majtë të tij, ku faktori i përbashkët nxirret nga kllapat. Çdo faktor është vendosur i barabartë me zero, gjë që ju lejon të përcaktoni rrënjët e ekuacionit. Pastaj rrënjët që i përkasin segmentit të caktuar përcaktohen me metodën e kthesave. Për ta bërë këtë, një lak shënohet në rrethin e njësisë së ndërtuar nga kufiri i majtë i segmentit të specifikuar në të djathtë. Më tej, rrënjët e gjetura në rrethin e njësisë lidhen me segmente me qendrën e tij dhe përcaktohen pikat në të cilat këto segmente kryqëzojnë lakin. Këto pika kryqëzimi janë përgjigja e dëshiruar për pjesën e dytë të problemit.