Drejtëza y = 3x + 2 është tangjente me grafikun e funksionit y = -12x ^ 2 + bx-10. Gjeni b, duke pasur parasysh se abshisa e pikës së prekjes është më e vogël se zero.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Le të jetë x_0 abshisa e pikës në grafikun e funksionit y = -12x ^ 2 + bx-10, nëpër të cilën kalon tangjentja e këtij grafiku.

Vlera e derivatit në pikën x_0 është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes, pra y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Nga ana tjetër, pika tangjente i përket të dy grafikut të funksionit. dhe tangjenten, pra -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Marrim sistemin e ekuacioneve \ fillimi (rastet) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ fundi (rastet)

Duke zgjidhur këtë sistem, marrim x_0 ^ 2 = 1, që do të thotë ose x_0 = -1, ose x_0 = 1. Sipas kushtit, abshisa e pikës së prekjes është më e vogël se zero, prandaj x_0 = -1, pastaj b = 3 + 24x_0 = -21.

Përgjigju

gjendja

Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) (i cili është një vijë e thyer e përbërë nga tre segmente të drejtëza). Duke përdorur figurën, llogaritni F (9) -F (5), ku F (x) është një nga antiderivativët e f (x).

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Sipas formulës Newton-Leibniz, diferenca F (9) -F (5), ku F (x) është një nga antiderivativët e funksionit f (x), është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor të kufizuar. nga grafiku i funksionit y = f (x), nga drejtëzat y = 0 , x = 9 dhe x = 5. Sipas grafikut, ne përcaktojmë se trapezi i lakuar i treguar është një trapez me baza të barabarta me 4 dhe 3 dhe një lartësi 3.

Zona e saj është \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Figura tregon grafikun e y = f "(x) - derivati ​​i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (-4; 10). Gjeni intervalet e zvogëlimit të funksionit f (x). Në përgjigjuni, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Siç e dini, funksioni f (x) zvogëlohet në ato intervale në secilën pikë të të cilave derivati ​​f "(x) është më i vogël se zero. Duke marrë parasysh se është e nevojshme të gjendet gjatësia e më të madhit prej tyre, tre të tilla intervalet dallohen natyrshëm nga figura: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Gjatësia e më të madhit prej tyre - (5; 9) është e barabartë me 4.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Figura tregon grafikun e y = f "(x) - derivati ​​i funksionit f (x), i përcaktuar në intervalin (-8; 7). Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f (x) që i përkasin intervali [-6; -2].

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Grafiku tregon se derivati ​​f "(x) i funksionit f (x) ndryshon shenjën nga plus në minus (është në pika të tilla që do të ketë një maksimum) saktësisht në një pikë (midis -5 dhe -4) nga intervali [-6; -2 ] Prandaj, ekziston saktësisht një pikë maksimale në intervalin [-6; -2].

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x), të përcaktuar në intervalin (-2; 8). Përcaktoni numrin e pikave në të cilat derivati ​​i funksionit f (x) është 0.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Barazia me zero e derivatit në një pikë do të thotë që tangjentja me grafikun e funksionit, të vizatuar në këtë pikë, është paralele me boshtin Ox. Prandaj, gjejmë pika në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin Ox. Në këtë grafik, pika të tilla janë pika ekstreme (pikat maksimale ose minimale). Siç mund ta shihni, ka 5 pika ekstreme.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Drejtëza y = -3x + 4 është paralele me tangjenten me grafikun e funksionit y = -x ^ 2 + 5x-7. Gjeni abshisën e pikës së prekjes.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Pjerrësia e drejtëzës në grafikun e funksionit y = -x ^ 2 + 5x-7 në një pikë arbitrare x_0 është e barabartë me y "(x_0). Por y" = - 2x + 5, pra y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. Këndore koeficienti i drejtëzës y = -3x + 4, i specifikuar në kusht, është i barabartë me -3 Vijat paralele kanë të njëjtin pjerrësi Prandaj gjejmë një vlerë të tillë prej x_0 që = -2x_0 + 5 = -3.

Ne marrim: x_0 = 4.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për provimin-2017. Niveli i profilit ". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit y = f (x) dhe pikat -6, -1, 1, 4 janë shënuar në boshtin e abshisës. Në cilën nga këto pika është më e vogla vlera e derivatit? Tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.

Klasa master në matematikë

në klasën e 11-të

në këtë temë

"FUNKSIONI DERIVATIV

NË DETYRAT E PËRDORIMIT "

mësues matematike

Martynenko E.N.

Viti akademik 2017-2018

Qëllimi i klasës master: zhvillojnë aftësitë e nxënësvezbatimi i njohurive teorike me temën “Derivati ​​i funksionit” për zgjidhjen e problemave të provimit të unifikuar të shtetit.

Detyrat

Edukative:për të përmbledhur dhe sistemuar njohuritë e nxënësve për temën

"Derivat i një funksioni", konsideroni prototipet e problemeve të USE për këtë temë, u jepni studentëve mundësinë të testojnë njohuritë e tyre kur zgjidhin vetë problemet.

Zhvillimi: promovojnë zhvillimin e kujtesës, vëmendjes, vetëvlerësimit dhe aftësive të vetëkontrollit; formimi i kompetencave kryesore kryesore (krahasimi, krahasimi, klasifikimi i objekteve, përcaktimi i mënyrave adekuate për zgjidhjen e një problemi arsimor bazuar në algoritme të specifikuara, aftësia për të vepruar në mënyrë të pavarur në një situatë pasigurie, për të kontrolluar dhe vlerësuar aktivitetet e tyre, për të gjetur dhe eliminojnë shkaqet e vështirësive që kanë lindur).

Edukative: promovojnë:

Formimi i një qëndrimi të përgjegjshëm ndaj të mësuarit tek studentët;

zhvillimi i një interesi të qëndrueshëm në matematikë;

duke krijuar një motivim pozitiv të brendshëm për të studiuar matematikën.

Teknologjitë: të mësuarit individualisht të diferencuar, TIK.

Metodat e mësimdhënies: verbale, vizuale, praktike, problematike.

Format e punës: individuale, ballore, në çifte.

Pajisjet dhe materialet për mësimin:projektor, ekran, PC, simulator(Shtojca nr. 1), prezantim për mësimin(Shtojca nr. 2), individualisht - karta të diferencuara për punë të pavarur në çifte(Shtojca nr. 3), lista e faqeve të internetit, detyra shtëpie të diferencuara individualisht(Shtojca nr. 4).

Shpjegim për klasën master.

Kjo klasë master mbahet në klasën e 11-të për t'u përgatitur për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Synon zbatimin e materialit teorik me temën “Derivati ​​i një funksioni” në zgjidhjen e problemeve të provimit.

Kohëzgjatja e klasës master- 20 minuta.

Struktura e klasës master

I. Momenti organizativ -1 min.

II.Komunikimi i temës, qëllimet e master-klasës, motivimi i veprimtarive edukative - 1 min.

III. Puna frontale. Trajnimi “Detyrat Nr.14 BAZA Nr.7 PROFILI i Provimit të Unifikuar të Shtetit”. Analiza e punës me simulatorin - 7 min.

IV.Punë individuale - e diferencuar në dyshe. Zgjidhja e pavarur e problemave Nr. 12. (PROFILI) Kontroll i ndërsjellë - 9 min. Testimi on-line (BAZA) Analiza e rezultateve të testit - 8 min

V. Kontrolli i detyrave individuale të shtëpisë. -1 minutë.

Vi. Detyrë shtëpie individualisht - të diferencuara -1 min.

Vii. TEST PËR KONTROLLIN 20 MINUTA (4 OPCIONE)

Përparimi i klasës master

Unë .Ora e organizimit.

II Komunikimi i temës, qëllimet e klasës master, motivimi i aktiviteteve edukative.

(Rrëshqitjet 1-2, Shtojca # 2)

Tema e mësimit tonë është "Derivati ​​i një funksioni në detyrat e provimit". Të gjithë e dinë thënien "Bobina e vogël por e dashur". Një nga "bobinat" e tilla në matematikë është derivati. Derivati ​​përdoret në zgjidhjen e shumë problemeve praktike në matematikë, fizikë, kimi, ekonomi dhe disiplina të tjera. Kjo ju lejon të zgjidhni problemet thjesht, bukur dhe në mënyrë interesante.

Tema “Derivat” është paraqitur në detyrën nr.14 të nivelit bazë dhe në detyrat e nivelit të profilit nr.7,12,18 dhe provimin e unifikuar të shtetit.

Keni punuar me dokumente që rregullojnë strukturën dhe përmbajtjen e materialeve matëse të kontrollit të provimit të unifikuar të shtetit në matematikë 2018. Bëni një përfundim se çfarë njohurish dhe aftësish ju nevojiten për të zgjidhur me sukses problemet e USE në temën "Derivati".

(Rrëshqitjet 3-4, Shtojca # 2)

A keni mësuar "Kodifikuesi i elementeve të përmbajtjes në MATEMATIKË për përgatitjen e materialeve matëse të kontrollit për provimin e unifikuar të shtetit",

"Kodifikuesi i kërkesave për nivelin e formimit të maturantëve", "Specifikimi i materialeve matëse të kontrollit", "Versioni demonstrues i materialeve matëse të kontrollit të provimit të unifikuar të shtetit 2018" dhe kuptova çfarë njohurish dhe aftësish për funksionin dhe derivatin e tij nevojiten për zgjidhjen me sukses të problemeve në temën "Derivati".

E nevojshme

• DI

rregullat e llogaritjes së derivateve;

derivatet e funksioneve elementare themelore;

kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit;
ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit;
studimi i një funksioni duke përdorur një derivat.

• TE JESH I AFTE TE

kryejnë veprime me funksione (përshkruani sjelljen dhe vetitë e një funksioni sipas grafikut, gjeni vlerat më të larta dhe më të ulëta të tij).

• PËRDORIMI

njohuritë dhe aftësitë e fituara në praktikë dhe në jetën e përditshme.

Keni njohuri teorike për temën e Derivatit. Sot ne doMËSONI TË ZBATONI NJOHURI PËR FUNKSIONIN DERIVATIV PËR ZGJIDHJE TË PROBLEMEVE TË PËRDORIMIT.(Sllajdi 4, Shtojca nr. 2)

Nuk është për asgjë Kështu tha Aristoteli“MENDJA NUK ESHTE VETËM NË DIJE, POR EDHE NË AFTËSINË PËR TË ZBATUAR NJOHURINË NË PRAKTIKË”(Sllajdi 5, Shtojca nr. 2)

Në fund të orës së mësimit, do të kthehemi te qëllimi i mësimit tonë dhe do të zbulojmë nëse e kemi arritur atë?

III ... Puna frontale.Trajnimi "Detyrat Nr. 14 BAZA Nr. 7 PROFILI i Provimit të Unifikuar të Shtetit" ( Shtojca nr. 1). Analiza e punës me simulatorin.

Zgjidhni përgjigjen e saktë nga katër të sugjeruara.

Cila është, sipas jush, vështirësia e përfundimit të detyrës nr. 7?

Si mendoni, cilat janë gabimet tipike që bëjnë maturantët në provim kur zgjidhin këtë problem?

Kur u përgjigjeni pyetjeve të detyrës nr. 14 PROFILI BAZË DHE Nr. 7, duhet të jeni në gjendje të përshkruani sjelljen dhe vetitë e funksionit nga grafiku i derivatit, dhe nga grafiku i funksionit - sjelljen dhe vetitë e derivat i funksionit. Dhe kjo kërkon njohuri të mira teorike për temat e mëposhtme: “Kuptimi gjeometrik dhe mekanik i derivatit. Tangjente me grafikun e funksionit. Zbatimi i derivatit në studimin e funksioneve ".

Analizoni cilat detyra ju shkaktuan vështirësi?

Çfarë pyetjesh teorike duhet të dini?

IV. Testimi on-line në detyrat №14 (BASE)Analiza e rezultateve të testit.

Vendi për testim në mësim:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Kush nuk ka bërë gabime?

Kush përjetoi vështirësi në testim? Pse?

Në cilat detyra janë bërë gabime?

Përfundoni, cilat pyetje teorike duhet të dini?

Individualisht - punë e diferencuar në dyshe. Zgjidhja e pavarur e problemeve №12. (PROFILI)Verifikimi i ndërsjellë.(Shtojca # 3)

Mbani mend algoritmin për zgjidhjen e problemeve №12 të provimit për gjetjen e pikave ekstreme, ekstremet e një funksioni, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në intervalin duke përdorur derivatin.

Zgjidh problema me një derivat

Nxënësit përballen me një problem:

"Mendoni, a është e mundur të zgjidhni disa probleme # 12 në një mënyrë tjetër, pa përdorur një derivat?"

1 palë

2 palë

3 palë

4 palë

(Nxënësit mbrojnë zgjidhjen e tyre duke shkruar në dërrasë hapat kryesorë për zgjidhjen e problemave. Nxënësit ofrojnë dy mënyra për të zgjidhur problemin # 2).

Zgjidhja e një problemi. Përfundim për studentët:

“Disa problema nr.12 të provimit për gjetjen e vlerës më të vogël dhe më të madhe të një funksioni mund të zgjidhen pa përdorur derivatin, duke u mbështetur në vetitë e funksioneve”.

Analizoni çfarë gabimi keni bërë në detyrë?

Cilat pyetje teorike duhet të përsërisni?

V. Kontrolli i detyrave individuale të shtëpisë. (Slides 7-8, Shtojca nr. 2)

Vegelman V. iu dha detyra shtëpie individuale: nga manualet për përgatitjen për provimin numër 18.

(Studenti jep zgjidhjen e problemës, duke u mbështetur në metodën funksionale-grafike, si një nga metodat e zgjidhjes së problemave nr. 18 të provimit dhe jep një shpjegim të shkurtër për këtë metodë).

Vii. Detyrë shtëpie individualisht - të diferencuara

(Sllajdi 9, Shtojca nr. 2), (Shtojca # 4).

Unë kam përgatitur një listë të faqeve të internetit për t'u përgatitur për provimin. Ju gjithashtu mund të bëni testime online në këto sajte. Për mësimin e radhës duhet: 1) rishikoni materialin teorik me temën "Derivati ​​i një funksioni";

2) në faqen "Banka e hapur e detyrave në matematikë" (http://mathege.ru/ ) gjeni prototipet e detyrave Nr. 14 BAZË DHE Nr. 7 dhe 12 PROFILI dhe zgjidhni të paktën 10 problema PROFILI;

3) V. Vegelman, zgjidhni problema me parametra (SHTOJCA 4). detyrat 1-8 (opsioni 1).NJË NIVEL BAZË TË

VIII. Notat e mësimit.

Si do ta vlerësonit veten për një mësim?

Mendoni se mund të kishit bërë më mirë në mësim?

IX. Përmbledhja e mësimit. Reflektimi

Le të përmbledhim punën tonë. Cili ishte qëllimi i mësimit? Mendoni se është arritur?

Shikoni tabelën dhe me një fjali, duke zgjedhur fillimin e frazës, vazhdoni me fjalinë që ju përshtatet më shumë.

Ndjeva…

Une mesova…

Kam arritur …

Unë kam qenë në gjendje të ...

Do përpiqem …

U habita që …

Desha…

A mund të thoni se gjatë orës së mësimit pati një pasurim të stokut të njohurive tuaja?

Pra, ju përsëritët pyetjet teorike për derivatin e funksionit, zbatuat njohuritë tuaja në zgjidhjen e prototipave të detyrave USE (Nr. 14 NIVELI BAZË Nr. 7,12 NIVELI I PROFILIT) dhe V. Vegelman përfundoi detyrën nr. 18 me një parametër, i cili është detyrë e një shkalle të shtuar vështirësish.

Ishte kënaqësi për mua të punoja me ju dhe shpresoj se njohuritë e marra në mësimet e matematikës do të mund t'i zbatoni me sukses jo vetëm gjatë dhënies së Provimit të Unifikuar të Shtetit, por edhe në studimet tuaja të mëtejshme.

Do të doja ta mbyllja mësimin me fjalët e një filozofi italianThomas Aquinas“Dituria është një gjë aq e çmuar sa nuk është e turpshme ta marrësh atë nga çdo burim”.(Rrëshqitje 10, Shtojca # 2).

Ju uroj suksese në përgatitjen e provimit!

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni vetes një llogari (llogari) Google dhe hyni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Përgatitja për provim SIMULATOR në temën "Derivati" Detyra numër 14 niveli bazë, numri 7, niveli i profilit 12

f (x) f / (x) x Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit y = f (x), të specifikuar në intervalin (- 8; 8). Le të eksplorojmë vetitë e grafikut dhe do të jemi në gjendje t'u përgjigjemi shumë pyetjeve në lidhje me vetitë e funksionit, megjithëse grafiku i vetë funksionit nuk është i paraqitur! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Gjej pikë ku f / (x) = 0 (këto janë zerot e funksionit). + - - + +

DETYRA numër 14 Matematikë niveli bazë

Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit y = f (x) dhe pikat A, B, C dhe D janë shënuar në boshtin Ox. Duke përdorur grafikun, caktoni në secilën pikë karakteristikat e funksionit dhe derivatin e tij. ABCD 1) vlera e funksionit në pikë është negative, dhe vlera e derivatit të funksionit në pikë është pozitive 2) vlera e funksionit në pikë është pozitive dhe vlera e derivatit të funksionit në pikë është negative 3) vlera e funksionit në pikë është negative dhe vlera e derivatit të funksionit në pikë është negative 4) vlera e funksionit në pikë është pozitive dhe vlera e derivati ​​i funksionit në pikë është pozitiv

№ 1 Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) dhe pikat e shënuara A, B, C dhe D në boshtin Ox. Duke përdorur grafikun, caktoni në secilën pikë karakteristikat e funksionit dhe derivatin e tij. 1) vlera e funksionit në pikë është pozitive, dhe vlera e derivatit të funksionit në pikë është negative 2) vlera e funksionit në pikë është negative dhe vlera e derivatit të funksionit në pika është negative 3) vlera e funksionit në pikë është pozitive, dhe vlera e derivatit të funksionit në pikë është pozitive 4) vlera e funksionit në pikë është negative dhe vlera e derivatit i funksionit në pikë është pozitiv ABCD

Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f (x). Pikat a, b, c, d dhe e përcaktojnë intervalet në boshtin Ox. Duke përdorur grafikun, caktoni në çdo interval karakteristikën e funksionit ose derivatin e tij. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) vlerat e funksionit janë pozitive në çdo pikë të intervalit 2) vlerat i derivatit të funksionit janë negativë në çdo pikë të intervalit 3) vlerat e derivatit të funksionit janë pozitive në çdo pikë të intervalit 4) vlerat e funksionit janë negative në çdo pikë të intervalit

Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f (x). Numrat a, b, c, d dhe e përcaktojnë intervalet në boshtin Ox. Duke përdorur grafikun, caktoni në çdo interval karakteristikën e funksionit ose derivatin e tij. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) vlerat e funksionit janë pozitive në çdo pikë të intervalit 2) vlerat e funksionit janë negative në çdo pikë të intervalit 3) vlerat e funksioneve të derivateve janë negative në secilën pikë të intervalit 4) vlerat e derivatit të funksionit janë pozitive në çdo pikë të intervalit

Figura tregon një grafik të një funksioni dhe tangjentet e tërhequra ndaj tij në pikat me abshisa A, B, C dhe D. A B C D 1) - 1,5 2) 0,5 3) 2 4) - 0,3

Figura tregon një grafik të një funksioni dhe tangjentet e tërhequra ndaj tij në pikat me abshisa A, B, C dhe D. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

DETYRA numër 7 Niveli i profilit të matematikës

Probleme për kuptimin gjeometrik të derivatit

1) Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x) dhe tangjenten me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit në pikën x 0. -2 -0,5 2 0,5 Mendo! Mendoni! E drejtë! Mendoni! x 0 Kuptimi gjeometrik i derivatit: k = tg α Këndi i prirjes së tangjentes me boshtin Ox është i mpirë, pra k

5 11 8 2) Funksioni i vazhdueshëm y = f (x) vendoset në intervalin (-6; 7). Figura tregon grafikun e saj. Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralel me drejtëzën y ​​= 6. Kontrolloni y = f (x) y x 3 Mendoni! Mendoni! Mendoni! E drejtë! - 6 7 y = 6. Pika e ndërprerjes. Derivati ​​NUK ekziston në këtë pikë! О -4 3 5 1, 5

Detyrat për përcaktimin e karakteristikave të një funksioni nga grafiku i derivatit të tij

3) Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit y = f / (x), të dhënë në intervalin (- 6; 8). Shqyrtoni funksionin y = f (x) për ekstremin dhe tregoni numrin e pikave të tij ekstreme. 2 1 4 5 Gabim! Jo e vërtetë! E drejtë! Jo e vërtetë! Kontrollo (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Figura tregon grafikun e derivatit të një funksioni të specifikuar në intervalin [-5; 5]. Shqyrtoni funksionin për monotoni dhe tregoni pikën maksimale më të madhe. 3 2 4 5 Mendoni! Mendoni! E drejtë! Mendoni! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 Nga dy pikat maksimale, më e madhja x max = 3 max max y

7) Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit. Gjeni gjatësinë e intervalit në rritje të këtij funksioni. Kontrollo O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 MENDO! + MENDO! E DREJTË! MENDO! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Figura tregon grafikun e derivatit të një funksioni të vendosur në intervalin [-5; 5]. Shqyrtoni funksionin y = f (x) për monotoni dhe tregoni numrin e intervaleve të uljes. 3 2 4 1 Mendoni! Mendoni! E drejtë! Mendoni! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

Detyrat për përcaktimin e karakteristikave të një derivati ​​grafik të një funksioni.

Figura tregon grafikun e funksionit të diferencueshëm y = f (x). Në abshisë janë shënuar nëntë pika: x 1, x 2, ..., x 9. Gjeni të gjitha pikat e shënuara në të cilat derivati ​​i funksionit f (x) është negativ. Në përgjigje, tregoni numrin e këtyre pikave.

Figura tregon grafikun e funksionit y = f (x), të përcaktuar në intervalin (a; b). Përcaktoni numrin e pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit është pozitiv. a) b) Vendosni vetë! Zgjidhje. nëse rritet. Zgjidhje të plota për: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. Numri i tyre është 4. Zgjidhje të plota për: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. Numri i tyre është 5. Përgjigjja: 4. Përgjigjja: 5.

Probleme për kuptimin fizik të derivatit

Përgjigje: 3 Përgjigje: 14

DETYRA numër 12 Niveli i profilit të matematikës

Punë e pavarur në dyshe Detyra numër 12 Niveli i profilit

Pamja paraprake:

Shtojca 3 kartat individuale nr. 12

1. Gjeni pikën maksimale të funksionit1 Gjeni pikën minimale të funksionit

2.Gjeni pikën maksimale të funksionit2 Gjeni pikën minimale të funksionit

Linnik D. Vovnenko I

1.Gjeni vlerën më të vogël të funksionit1. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit në segment

në segment

Vegelman V.

A.

1. Gjeni pikën maksimale të funksionit1. Gjeni pikën minimale të funksionit

2. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit2. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit në segment

Në segmentin

Leontyeva A. Isaenko K.

PRAKTIKA JASHTË AUDITIMIT 2

Konvertoni grafikët e funksionit.

Synimi

Ndërtoni grafikët e funksioneve duke përdorur transformime të ndryshme, përgjigjuni pyetjes së problemit.

Përfundimi i punës

Udhëzime metodike

Puna është krijuar për 10 variante, numri i variantit përkon me shifrën e fundit të numrit serial në listë. Për shembull, 1, 11, 21, 31 ... kryeni 1 opsion, 2,12, 22 ... - 2 opsion, etj.

Puna përbëhet nga dy pjesë: pjesa e parë e detyrës 1 - 5, këto janë detyra që duhet të kryhen për të marrë një kredit, nëse këto detyra janë kryer me gabim, ato duhet të korrigjohen dhe duhet të dorëzohet puna. përsëri për verifikim. Pjesa e dytë përmban detyra, duke i plotësuar të cilat mund të fitoni një notë shtesë: pjesa kryesore +2 detyra - "4", pjesa kryesore +3 detyra - "5".

Detyra 1. Grafiku i një funksioni linear është një drejtëz, mjaftojnë dy pika për ta paraqitur atë. (ne marrim vlerat e argumentit x në mënyrë arbitrare, dhe vlerën e funksionit y, e numërojmë duke e zëvendësuar atë në formulë).

Për të kontrolluar nëse grafiku i funksionit kalon nëpër pikën e specifikuar, duhet të zëvendësoni koordinatat e pikës në vend të x dhe y, nëse merrni barazinë e saktë, atëherë vija e drejtë kalon nëpër pikën e specifikuar, përndryshe nuk ndodh .

Detyra 2, 3, 4. Grafikët e funksioneve të specifikuara janë marrë nga grafikët e funksioneve , duke përdorur një zhvendosje përgjatë boshtit x ose y.

, fillimisht ne grafikojmë funksionin ose , më pas zhvendoseni me njësi "a" djathtas ose majtas (+ a - majtas, - dhe djathtas), më pas zhvendoseni me njësi "b" lart ose poshtë (+ b - lart, -b - poshtë )

Po kështu me funksionet e tjera:

Detyra 5 Për të vizatuar një grafik funksioni: , ju duhet të: 1) vizatoni funksionin , 2) lëni të pandryshuar pjesën e grafikut që është mbi boshtin x, 3) pasqyroni pjesën e grafikut që është nën boshtin x.

Detyrat për një zgjidhje të pavarur.

Pjesa e detyrueshme

Detyra 1. Paraqitni një grafik të një funksioni linear, përcaktoni nëse grafiku i funksionit kalon nëpër pikën e specifikuar:

Detyra 2. Vizatoni një grafik të një funksioni kuadratik, specifikoni grupin e vlerave për këtë funksion.

Detyra 3. Ndërtoni një grafik të funksionit, përcaktoni nëse funksioni i specifikuar rritet apo zvogëlohet.

Detyra 4. Ndërtoni një grafik të funksionit, përgjigjuni pyetjes së problemës.

Detyra 5. Vizatoni grafikun e funksionit që përmban shenjën e modulit.

Detyrat për vlerësim shtesë.

Detyra 6. Paraqitni një grafik të një funksioni të dhënë pjesë-pjesë, përcaktoni nëse ka një pikë pushimi për këtë funksion:

Detyra 7. Përcaktoni sa zgjidhje ka sistemi i ekuacioneve, përgjigja është të arsyetoni. Nxirrni përfundime duke iu përgjigjur pyetjeve.

Çfarë funksionesh keni vizatuar në këtë vepër?

Cili është emri i grafikut të një funksioni linear?

Cili është emri i grafikut të një funksioni kuadratik?

Çfarë transformimesh grafike dini?

Si vendoset grafiku i një funksioni çift në sistemin koordinativ? Grafik i funksionit tek?

Derivati ​​i funksionit $ y = f (x) $ në një pikë të caktuar $ x_0 $ është kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen përkatëse të argumentit të tij, me kusht që ky i fundit të tentojë në zero:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

Diferencimi është operacioni i gjetjes së një derivati.

Tabela derivative e disa funksioneve elementare

Funksioni	Derivat
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (mëkat ^ 2x) $

Rregullat themelore të diferencimit

1. Derivati ​​i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

Gjeni derivatin e funksionit $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $

Derivati ​​i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. Derivat i veprës

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

Gjeni Derivatin $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. Derivati ​​i herësit

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

Gjeni Derivatin $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm nga derivati ​​i funksionit të brendshëm

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

Kuptimi fizik i derivatit

Nëse një pikë materiale lëviz drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit $ x (t) $, atëherë shpejtësia e menjëhershme e kësaj pike është e barabartë me derivatin e funksionit.

Pika lëviz përgjatë vijës së koordinatave sipas ligjit $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, ku $ x (t) $ është koordinata në kohën $ t $. Në cilën pikë të kohës shpejtësia e pikës do të jetë e barabartë me 12 $?

1. Shpejtësia është derivati ​​i $ x (t) $, kështu që gjejmë derivatin e funksionit të dhënë

$ v (t) = x "(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. Për të gjetur se në cilin moment kohor $ t $ shpejtësia ishte e barabartë me $ 12 $, hartoni dhe zgjidhni ekuacionin:

Kuptimi gjeometrik i derivatit

Kujtojmë se ekuacioni i një drejtëze jo paralele me boshtet e koordinatave mund të shkruhet në formën $ y = kx + b $, ku $ k $ është pjerrësia e drejtëzës. Koeficienti $ k $ është i barabartë me tangjenten e këndit të prirjes midis drejtëzës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $ Ox $.

Derivati ​​i funksionit $ f (x) $ në pikën $ x_0 $ është i barabartë me pjerrësinë $ k $ të tangjentes me grafikun në këtë pikë:

Prandaj, ne mund të hartojmë një barazi të përgjithshme:

$ f "(x_0) = k = tgα $

Në figurë, tangjentja e funksionit $ f (x) $ rritet, prandaj, koeficienti $ k> 0 $. Meqenëse $ k> 0 $, atëherë $ f "(x_0) = tgα> 0 $. Këndi $ α $ ndërmjet tangjentës dhe drejtimit pozitiv $ Ox $ është i mprehtë.

Në figurë, tangjentja me funksionin $ f (x) $ zvogëlohet; prandaj, koeficienti $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Në figurë, tangjentja e funksionit $ f (x) $ është paralele me boshtin $ Ox $, prandaj, koeficienti $ k = 0 $, pra, $ f "(x_0) = tan α = 0 $. pika $ x_0 $ në të cilën thirret $ f "(x_0) = 0 $ ekstreme.

Figura tregon grafikun e funksionit $ y = f (x) $ dhe tangjenten me këtë grafik, të vizatuar në pikën me abshisën $ x_0 $. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit $ f (x) $ në pikën $ x_0 $.

Vija tangjente me grafikun rritet, prandaj, $ f "(x_0) = tg α> 0 $

Për të gjetur $ f "(x_0) $, gjeni tangjentën e këndit të prirjes midis tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $ Ox $. Për ta bërë këtë, shtoni tangjenten në trekëndëshin $ ABC $.

Gjeni tangjenten e këndit $ BAC $. (Tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me këmbën ngjitur.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

Përgjigje: 0,25 dollarë

Derivati ​​përdoret gjithashtu për të gjetur intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese:

Nëse $ f "(x)> 0 $ në interval, atëherë funksioni $ f (x) $ rritet në këtë interval.

Nëse $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figura tregon grafikun e funksionit $ y = f (x) $. Gjeni midis pikave $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ ato pika në të cilat derivati ​​i funksionit është negativ.

Si përgjigje, shkruani numrin e pikëve të dhëna.

Në detyrën numër 13 të USE në matematikë të nivelit bazë, do t'ju duhet të demonstroni aftësitë dhe njohuritë e një prej koncepteve të sjelljes së një funksioni: derivatet në një pikë ose ritmet e rritjes ose uljes. Teoria do t'i shtohet kësaj detyre pak më vonë, por kjo nuk na pengon të analizojmë në detaje disa opsione tipike.

Analiza e opsioneve tipike për detyrat nr.14 të USE në matematikën e nivelit bazë

Opsioni 14MB1

Grafiku tregon varësinë e temperaturës nga koha gjatë ngrohjes së motorit të makinës së pasagjerëve. Boshti horizontal tregon kohën në minuta që ka kaluar nga fillimi i motorit; boshti vertikal është temperatura e motorit në gradë Celsius.

Duke përdorur grafikun, caktoni në çdo interval kohor karakteristikën e procesit të ngrohjes së motorit në këtë interval.

Në tabelë, nën secilën shkronjë, tregoni numrin përkatës.

Algoritmi i ekzekutimit:

1. Zgjidhni intervalin kohor gjatë të cilit temperatura ka rënë.
2. Aplikoni një vizore në 30 ° C dhe përcaktoni intervalin kohor gjatë të cilit temperatura ishte nën 30 ° C.

Zgjidhja:

Le të zgjedhim intervalin kohor gjatë të cilit ka rënë temperatura. Kjo zonë është e dukshme me sy të lirë, fillon 8 minuta nga momenti i ndezjes së motorit.

Aplikoni një vizore në 30 ° C dhe përcaktoni intervalin kohor në të cilin temperatura ishte nën 30 ° C.

Poshtë vizores do të ketë një seksion që korrespondon me intervalin kohor 0 - 1 min.

Duke përdorur një laps dhe një vizore, do të gjejmë se në çfarë intervali kohor temperatura ishte në intervalin nga 40 ° С deri në 80 ° С.

Le të heqim pingulet nga pikat që korrespondojnë me 40 ° С dhe 80 ° С në grafik, dhe nga pikat e marra do të heqim pingulet në boshtin e kohës.

Shohim që ky interval i temperaturës korrespondon me një interval kohor prej 3 - 6,5 minutash. Domethënë nga ato të dhëna në gjendjen 3 - 6 minuta.

Ne përdorim metodën e eliminimit për të zgjedhur përgjigjen që mungon.

Opsioni 14MB2

Zgjidhja:

Le të analizojmë grafikun e funksionit A. Nëse funksioni rritet, atëherë derivati ​​është pozitiv dhe anasjelltas. Derivati ​​i funksionit është i barabartë me zero në pikat ekstreme.

Së pari, funksioni A rritet, d.m.th. derivati ​​është pozitiv. Kjo korrespondon me grafikët e derivateve 2 dhe 3. Në pikën maksimale të funksionit x = -2, domethënë në këtë pikë derivati ​​duhet të jetë zero. Ky kusht plotësohet nga grafiku numër 3.

Së pari, funksioni B zvogëlohet, d.m.th. derivati ​​është negativ. Kjo korrespondon me grafikët e derivateve 1 dhe 4. Pika maksimale e funksionit është x = -2, domethënë, në këtë pikë derivati ​​duhet të jetë i barabartë me zero. Ky kusht plotësohet nga grafiku numër 4.

Së pari, funksioni B rritet, d.m.th. derivati ​​është pozitiv. Kjo korrespondon me grafikët e derivateve 2 dhe 3. Pika maksimale e funksionit x = 1, domethënë, në këtë pikë derivati ​​duhet të jetë i barabartë me zero. Ky kusht plotësohet nga grafiku numër 2.

Me metodën e eliminimit, mund të përcaktojmë që grafiku i funksionit Γ korrespondon me grafikun e derivatit në numrin 1.

Përgjigje: 3421.

Opsioni 14MB3

Algoritmi i ekzekutimit për secilin prej funksioneve:

1. Përcaktoni intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese.
2. Përcaktoni pikët maksimale dhe minimale të funksioneve.
3. Nxirrni përfundime, vendosni oraret e propozuara në përputhje.

Zgjidhja:

Le të analizojmë grafikun e funksionit A.

Nëse funksioni është në rritje, atëherë derivati ​​është pozitiv dhe anasjelltas. Derivati ​​i funksionit është i barabartë me zero në pikat ekstreme.

Pika ekstreme është pika në të cilën arrihet vlera maksimale ose minimale e një funksioni.

Së pari, funksioni A rritet, d.m.th. derivati ​​është pozitiv. Kjo korrespondon me grafikët e derivateve 3 dhe 4. Në pikën maksimale të funksionit x = 0, domethënë në këtë pikë derivati ​​duhet të jetë i barabartë me zero. Ky kusht plotësohet nga grafiku numër 4.

Le të analizojmë grafikun e funksionit B.

Së pari, funksioni B zvogëlohet, d.m.th. derivati ​​është negativ. Kjo korrespondon me grafikët e derivateve 1 dhe 2. Pika minimale e funksionit është x = -1, domethënë, në këtë pikë derivati ​​duhet të jetë i barabartë me zero. Ky kusht plotësohet nga grafiku numër 2.

Le të analizojmë grafikun e funksionit B.

Së pari, funksioni B zvogëlohet, d.m.th. derivati ​​është negativ. Kjo korrespondon me grafikët e derivateve 1 dhe 2. Pika minimale e funksionit x = 0, domethënë, në këtë pikë derivati ​​duhet të jetë i barabartë me zero. Ky kusht plotësohet nga grafiku numër 1.

Me metodën e eliminimit, mund të përcaktojmë që grafiku i funksionit Γ korrespondon me grafikun e derivatit në numrin 3.

Përgjigje: 4213.

Opsioni 14MB4

Figura tregon një grafik të një funksioni dhe tangjentet e tërhequra ndaj tij në pikat me abshisa A, B, C dhe D.Kolona e djathtë tregon vlerat e derivatit në pikat A, B, C dhe D. Duke përdorur grafikun, caktoni në secilën pikë vlerën e derivatit të funksionit në të.

PIKAT
A
V
ME
D

VLERAT E DERIVATIT
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Le të kujtojmë se çfarë do të thotë derivati, domethënë, vlera e tij në pikën - vlera e funksionit derivat në një pikë është e barabartë me tangjenten e pjerrësisë (koeficientit) të tangjentes.

Në përgjigje kemi dy opsione pozitive dhe dy negative. Siç kujtojmë, nëse koeficienti i një vije të drejtë (grafika y = kx + b) pozitive, atëherë drejtëza rritet, nëse është negative, atëherë vija e drejtë zvogëlohet.

Kemi dy drejtëza ngjitëse - në pikat A dhe D. Tani le të kujtojmë se çfarë do të thotë vlera e koeficientit k?

Koeficienti k tregon se sa shpejt rritet ose zvogëlohet funksioni (në fakt, vetë koeficienti k është derivat i funksionit y = kx + b).

Prandaj, k = 2/3 korrespondon me një vijë më të sheshtë - D, dhe k = 3 - A.

Në mënyrë të ngjashme, në rastin e vlerave negative: pika B korrespondon me një vijë të drejtë më të pjerrët me k = - 4, dhe pika C - -1/2.

Opsioni 14MB5

Në figurë, pikat tregojnë shitjet mujore të ngrohësve në dyqanin e pajisjeve shtëpiake. Muajt ​​tregohen horizontalisht dhe numri i ngrohësve të shitur vertikalisht. Për qartësi, pikat janë të lidhura me një vijë.

Duke përdorur figurën, përputhni secilën nga periudhat kohore të treguara me një karakteristikë shitjeje të ngrohësve.

Algoritmi i Ekzekutimit

Ne analizojmë pjesët e grafikut që u përgjigjen stinëve të ndryshme. Ne formulojmë situatat e shfaqura në grafik. Ne gjejmë opsionet më të përshtatshme të përgjigjes për ta.

Zgjidhja:

Në dimër, numri i shitjeve i kalonte 120 copë në muaj dhe ishte vazhdimisht në rritje. Kjo situatë korrespondon me përgjigjen numër 3. ato. marrim: A – 3.

Në pranverë, shitjet ranë gradualisht nga 120 ngrohës në muaj në 50. Opsioni 2 është më i afërti me këtë formulim. Ne kemi: B – 2.

Në verë, numri i shitjeve nuk ndryshoi dhe ishte minimal. Pjesa e dytë e këtij formulimi nuk pasqyrohet në përgjigje, dhe vetëm # 4 është i përshtatshëm për të parën. Prandaj kemi: NË 4.

Në vjeshtë, shitjet u rritën, por numri i tyre në asnjë nga muajt nuk i kaloi 100 njësi. Kjo situatë përshkruhet në opsionin # 1. Ne marrim: G – 1.

Opsioni 14MB6

Grafiku tregon varësinë e shpejtësisë së një autobusi të rregullt nga koha. Në aksin vertikal, shpejtësia e autobusit shënohet në km / orë, në boshtin horizontal - koha në minuta që nga fillimi i lëvizjes së autobusit.

Duke përdorur grafikun, çdo interval kohor caktoni karakteristikën e lëvizjes së autobusit në këtë interval.

Algoritmi i Ekzekutimit

1. Përcaktoni çmimin e ndarjes në shkallë horizontale dhe vertikale.
2. Ne analizojmë me radhë pohimet e propozuara 1–4 nga kolona e djathtë ("Karakteristikat"). I krahasojmë me intervalet kohore nga kolona e majtë e tabelës, gjejmë çiftet "shkronjë-numër" për përgjigjen.

Zgjidhja:

Ndarja në shkallën horizontale është 1 s, dhe shkalla vertikale është 20 km / orë.

1. Kur autobusi ndalon, shpejtësia e tij është 0. Autobusi kishte shpejtësi zero për 2 minuta rresht vetëm nga minuta e 9-të deri në të 11-tën. Kjo kohë bie në intervalin 8-12 minuta. Pra, ne kemi një palë për përgjigjen: B – 1.
2. Autobusi kishte një shpejtësi prej 20 km/h e më shumë për disa intervale kohore. Për më tepër, opsioni A nuk është i përshtatshëm këtu, sepse, për shembull, në minutën e 7-të shpejtësia ishte 60 km / orë, opsioni B - sepse tashmë është aplikuar, opsioni D - sepse në fillim dhe në fund të intervalit autobusi me shpejtësi zero... Në këtë rast, opsioni B është i përshtatshëm (12–16 min); në këtë interval, autobusi fillon të lëvizë me një shpejtësi prej 40 km / orë, më pas përshpejton në 100 km / m dhe më pas ul gradualisht shpejtësinë në 20 km / orë. Pra, ne kemi: NË 2.
3. Kufiri i shpejtësisë është vendosur këtu. Në të njëjtën kohë, ne nuk i konsiderojmë opsionet B dhe C. Intervalet e mbetura A dhe D janë të dyja të përshtatshme. Prandaj, do të ishte e saktë që fillimisht të shqyrtohej opsioni i 4-të, dhe më pas të ktheheshim përsëri te i treti.
4. Nga dy intervalet e mbetura, vetëm 4–8 minuta janë të përshtatshme për karakteristikën nr. 4, pasi ka pasur një ndalesë në këtë interval (në minutën e 6-të). Nuk pati ndalesa në intervalin 18-22 minuta. Ne marrim: A – 4... Nga kjo rrjedh se për karakteristikën nr.3 është e nevojshme të merret intervali Г, d.m.th. rezulton një çift G – 3.

Opsioni 14MB7

Shifra me pika tregon rritjen e popullsisë së Kinës nga viti 2004 në 2013. Horizontalisht tregon vitin, vertikalisht - rritjen e popullsisë si përqindje (rritje e popullsisë në krahasim me vitin e kaluar). Për qartësi, pikat janë të lidhura me një vijë.

Duke përdorur figurën, përputhni secilën nga periudhat e treguara kohore me karakteristikat e rritjes së popullsisë së Kinës gjatë kësaj periudhe..

Algoritmi i Ekzekutimit

1. Përcaktoni çmimin e ndarjes së shkallës vertikale të figurës. Gjendet si diferencë midis një çifti vlerash të shkallës ngjitur, pjesëtuar me 2 (pasi ka 2 ndarje midis dy vlerave ngjitur).
2. Ne analizojmë në mënyrë sekuenciale karakteristikat 1-4 të dhëna në kusht (kolona e majtë e tabelës). Ne e krahasojmë secilën prej tyre me një periudhë të caktuar kohore (kolona e tabelës djathtas).

Zgjidhja:

Ndarja e shkallës vertikale është 0.01%.

1. Rënia e rritjes vazhdoi vazhdimisht nga viti 2004 në 2010. Në 2010-2011, rritja ishte në mënyrë të qëndrueshme minimale dhe që nga viti 2012 filloi të rritet. ato. rritja ndaloi në vitin 2010. Ky vit është në periudhën 2009–2011. Prandaj, ne kemi: NË 1.
2. Linja e rënies "më e pjerrët" e grafikut në figurë duhet të konsiderohet rënia më e madhe e rritjes. I përket periudhës 2006-2007. dhe është 0,04% në vit (0,59-0,56 = 0,04% në 2006 dhe 0,56-0,52 = 0,04% në 2007). Nga këtu marrim: A – 2.
3. Rritja e treguar në karakteristikën nr.3 filloi në vitin 2007, vazhdoi në vitin 2008 dhe përfundoi në vitin 2009. Kjo korrespondon me periudhën kohore B, d.m.th. ne kemi: B – 3.
4. Rritja e popullsisë filloi të rritet pas vitit 2011, d.m.th. në 2012–2013 Prandaj, marrim: G-4.

Opsioni 14MB8

Figura tregon një grafik të një funksioni dhe tangjentet e tërhequra ndaj tij në pikat me abshisa A, B, C dhe D.

Kolona e djathtë tregon vlerat e derivatit të funksionit në pikat A, B, C dhe D. Duke përdorur grafikun, caktoni në secilën pikë vlerën e derivatit të funksionit në të.

Algoritmi i Ekzekutimit

1. Konsideroni një palë tangjente që kanë një kënd të mprehtë me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisë. Ne i krahasojmë ato, gjejmë një përputhje midis çiftit të vlerave përkatëse të derivateve.
2. Konsideroni një palë tangjente që formojnë një kënd të mpirë me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës. Ne i krahasojmë ato në vlerë absolute, përcaktojmë korrespondencën e tyre me vlerat e derivateve midis dy atyre që mbeten në kolonën e djathtë.

Zgjidhja:

Një kënd akut me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës formohet nga derivatet në pikën B dhe pikën C. Këto derivate kanë vlera pozitive. Prandaj, këtu duhet të zgjidhni midis vlerave nr. 1 dhe 3. Duke zbatuar rregullin që nëse këndi është më i vogël se 45 0, atëherë derivati ​​është më i vogël se 1, dhe nëse më shumë, atëherë më shumë se 1, përfundojmë: në pikën B, derivati ​​në modul është më i madh se 1, në pikën C - më i vogël se 1. Kjo do të thotë që ju mund të bëni çifte për përgjigjen: NË 3 dhe С – 1.

Derivatet në pikën A dhe në pikën D formojnë një kënd të mpirë me drejtimin pozitiv të abshisës. Dhe këtu zbatojmë të njëjtin rregull, duke e perifrazuar pak: sa më shumë të "shtypet" tangjentja në pikë në vijën e abshisës (në drejtimin negativ të saj), aq më e madhe është në vlerë absolute. Atëherë marrim: derivati ​​në pikën A është më i vogël në vlerë absolute se derivati ​​në pikën D. Prandaj kemi çifte për përgjigjen: A – 2 dhe D – 4.

Opsioni 14MB9

Në figurë, pikat tregojnë temperaturën mesatare ditore të ajrit në Moskë në janar 2011. Horizontalisht tregon ditën e muajit, vertikalisht - temperaturën në gradë Celsius. Për qartësi, pikat janë të lidhura me një vijë.

Duke përdorur figurën, përputhni secilën nga periudhat e treguara kohore me karakteristikën e ndryshimit të temperaturës.

Algoritmi i Ekzekutimit

Ne analizojmë në mënyrë sekuenciale karakteristikat 1-4 (kolona e djathtë), duke përdorur grafikun në figurë. Ne e vendosim secilën prej tyre në korrespondencë me një periudhë specifike kohore (kolona e majtë).

Zgjidhja:

1. Një rritje e temperaturës është vërejtur vetëm në fund të periudhës 22-28 janar. Këtu në datën 27 dhe 28 u rrit përkatësisht me 1 dhe 2 gradë. Në fund të periudhës 1–7 janar temperatura ka qenë e qëndrueshme (–10 gradë), në fund të 8–14 dhe 15–21 janar ka rënë (nga –1 në –2 dhe nga –11 në – 12 gradë, përkatësisht). Prandaj, marrim: G – 1.
2. Duke qenë se çdo periudhë kohore mbulon 7 ditë, temperatura duhet të analizohet duke filluar nga dita e 4-të e çdo periode. Temperatura ka mbetur e pandryshuar për 3-4 ditë vetëm nga data 4 deri në 7 janar. Prandaj, marrim përgjigjen: A – 2.
3. Temperatura minimale mujore është vërejtur më 17 janar. Ky numër është në periudhën 15-21 janar. Nga këtu kemi një palë: NË 3.
4. Temperatura maksimale ra më 10 janar dhe arriti në +1 gradë. Kjo datë bie mes 8-14 janarit. Prandaj, ne kemi: B – 4.

Opsioni 14MB10

Algoritmi i Ekzekutimit

1. Vlera e funksionit në një pikë është pozitive nëse kjo pikë ndodhet mbi boshtin Ox.
2. Derivati ​​në një pikë është më i madh se zero nëse tangjentja në këtë pikë formon një kënd të mprehtë me drejtimin pozitiv të boshtit Ox.

Zgjidhja:

Pika A. Është nën boshtin Ox, që do të thotë se vlera e funksionit në të është negative. Nëse vizatoni një tangjente në të, atëherë këndi midis tij dhe drejtimit pozitiv Ox do të jetë rreth 90 0, d.m.th. formon një kënd akut. Pra, në këtë rast, numri karakteristik 3 është i përshtatshëm. ato. ne kemi: A – 3.

Pika B. Ndodhet mbi boshtin Ox, d.m.th. pika ka një vlerë funksioni pozitiv. Vija tangjente në këtë pikë do të jetë mjaft afër boshtit të abshisës, duke formuar një kënd të mpirë (pak më pak se 180 0) me drejtimin e saj pozitiv. Prandaj, derivati ​​në këtë pikë është negativ. Kështu, karakteristika 1 është e përshtatshme këtu. Marrim përgjigjen: NË 1.

Pika C. Pika ndodhet nën boshtin Ox, tangjentja në të formon një kënd të madh të mpirë me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisë. ato. në pikën C, vlera e funksionit dhe e derivatit është negative, që korrespondon me karakteristikën nr. 2. Përgjigje: C – 2.

Pika D. Pika është mbi boshtin Ox dhe tangjentja në të formon një kënd të mprehtë me drejtimin pozitiv të boshtit. Kjo sugjeron që edhe vlera e funksionit edhe vlera e derivatit janë më të mëdha se zero këtu. Përgjigje: D – 4.

Opsioni 14MB11

Në figurë, pikat tregojnë shitjet mujore të frigoriferëve në dyqanin e pajisjeve shtëpiake. Muajt ​​shfaqen horizontalisht dhe numri i frigoriferëve të shitur vertikalisht. Për qartësi, pikat janë të lidhura me një vijë.

Duke përdorur figurën, përputhni secilën nga periudhat kohore të treguara me një karakteristikë shitjeje të frigoriferëve..