Qëllimet:

1. Edukimi i përgjithshëm: të sistemojë, përgjithësojë, zgjerojë njohuritë dhe aftësitë e studentëve në lidhje me zbatimin e metodave për zgjidhjen e pabarazive.
2. Zhvillimi: zhvilloni aftësinë e studentëve për të dëgjuar një leksion, duke e shkruar atë në mënyrë të përmbledhur në një fletore.
3. Edukative: për të formuar motivimin njohës për studimin e matematikës.

Gjatë orëve të mësimit

I. Bisedë hyrëse:

Kemi përfunduar temën “Zgjidhja e ekuacioneve irracionale” dhe sot po fillojmë të mësojmë se si të zgjidhim pabarazitë irracionale.

Së pari, le të kujtojmë se cilat lloje të pabarazive mund të zgjidhni dhe me cilat metoda?

Përgjigju: Linear, katror, ​​racional, trigonometrik. Ato lineare i zgjidhim në bazë të vetive të pabarazive, ato trigonometrike i zvogëlojmë në ato më të thjeshtat trigonometrike, të zgjidhura duke përdorur rrethin trigonometrik dhe pjesën tjetër, kryesisht, me metodën e intervaleve.

Pyetje: Në cilin pohim bazohet metoda e ndarjes?

Përgjigju: Në një teoremë që pohon se një funksion i vazhdueshëm që nuk zhduket në ndonjë interval ruan shenjën e tij në këtë interval.

II. Le të shqyrtojmë një pabarazi iracionale si>

Pyetje: A është e mundur të zbatohet metoda e intervaleve për ta zgjidhur atë?

Përgjigju: Po, që nga funksioni y =- i vazhdueshëm aktiv D (y).

Ne e zgjidhim këtë pabarazi metoda e intervalit .

Përfundim: ne e zgjidhëm shumë lehtë këtë pabarazi iracionale me metodën e intervaleve, në fakt, duke e reduktuar atë në zgjidhjen e një ekuacioni irracional.

Le të përpiqemi të zgjidhim një pabarazi tjetër me këtë metodë.

3)f (x) i vazhdueshëm në D (f)

4) Zerot e funksionit:

• Kërkim i gjatë D (f).
• Vështirë për të llogaritur pikat e ndërprerjes.

Lind pyetja: "A nuk ka mënyra të tjera për të zgjidhur këtë pabarazi?"

Natyrisht, ka, dhe tani do t'i njohim ato.

III. Kështu që, temë e sotme mësimi: "Metodat për zgjidhjen e pabarazive irracionale".

Mësimi do të mbahet në formën e një leksioni, pasi tutoriali nuk ofron një analizë të detajuar të të gjitha metodave. Prandaj, detyra jonë e rëndësishme është të hartojmë një përmbledhje të detajuar të këtij leksioni.

IV. Ne kemi folur tashmë për metodën e parë për zgjidhjen e pabarazive irracionale.

kjo - metoda e intervalit , një metodë universale për zgjidhjen e të gjitha llojeve të pabarazive. Por jo gjithmonë të çon te qëllimi në një mënyrë të shkurtër dhe të thjeshtë.

V. Kur zgjidhni pabarazitë irracionale, mund të përdorni të njëjtat ide si kur zgjidhni ekuacione irracionale, por meqenëse verifikimi i thjeshtë i zgjidhjeve është i pamundur (në fund të fundit, zgjidhjet e pabarazive janë më shpesh intervale numerike të plota), është e nevojshme të përdoret ekuivalenca.

Ne paraqesim skema për zgjidhjen e llojeve kryesore të pabarazive irracionale metoda e tranzicioneve ekuivalente nga një pabarazi në një sistem pabarazish.

2. Ngjashëm mund të vërtetohet se

Le t'i shkruajmë këto diagrame në një tabelë referimi. Mendoni për provat e llojeve 3 dhe 4 në shtëpi, ne do t'i diskutojmë ato në mësimin tjetër.

Vi. Le ta zgjidhim pabarazinë në një mënyrë të re.

Pabarazia origjinale është e barabartë me një grup sistemesh.

Vii. Dhe ekziston një metodë e tretë që shpesh ndihmon në zgjidhjen e pabarazive komplekse irracionale. Ne kemi folur tashmë për të në lidhje me pabarazitë me një modul. Kjo metoda e zëvendësimit të funksionit (zëvendësimi i shumëzuesit)... Më lejoni t'ju kujtoj se thelbi i metodës së zëvendësimit është se ndryshimi në vlerat e funksioneve monotone mund të zëvendësohet nga ndryshimi në vlerat e argumenteve të tyre.

Konsideroni një pabarazi iracionale të formës<,

kjo eshte -< 0.

Sipas teoremës, nëse p (x) rritet gjatë një intervali në të cilin a dhe b, dhe a>b, pastaj pabarazitë p (a) - p (b)> 0 dhe a - b> 0 janë ekuivalente me D (p), kjo eshte

VIII. Le ta zgjidhim pabarazinë duke zëvendësuar faktorët.

Prandaj, kjo pabarazi është ekuivalente me sistemin

Kështu, ne kemi parë se aplikimi i metodës së shkëmbimit të faktorëve për të reduktuar zgjidhjen e një pabarazie në një metodë intervali redukton ndjeshëm sasinë e punës.

IX. Tani që kemi mbuluar tre metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve, le të bëjmë punë e pavarur me vetëtest.

Është e nevojshme të kryhen numrat e mëposhtëm (sipas tekstit shkollor të AM Mordkovich): 1790 (a) - zgjidh_ me metodën e_ tranzicioneve ekuivalente, _ 1791 (a) - zgjidh me metodën e zëvendësimit të faktorëve Për të zgjidhur pabarazitë irracionale, ai propozohet të përdoren metodat e analizuara më parë gjatë zgjidhjes së ekuacioneve irracionale:

• ndryshimi i variablave;
• përdorimi i LDZ-së;
• duke përdorur vetitë e monotonitetit të funksioneve.

Përfundimi i studimit të temës është test.

Analiza e testit tregon:

• gabimet tipike të nxënësve të dobët, përveç atyre aritmetike dhe algjebrike, janë kalime ekuivalente të pasakta në një sistem pabarazish;
• metoda e zëvendësimit të shumëzuesit është përdorur me sukses vetëm nga studentë të fortë.

Çdo pabarazi që përfshin një funksion nën rrënjë quhet irracionale... Ekzistojnë dy lloje të pabarazive të tilla:

Në rastin e parë, rrënja është më e vogël se funksioni g (x), në të dytën është më e madhe. Nëse g (x) - konstante, pabarazia është thjeshtuar në mënyrë drastike. Ju lutemi vini re: nga jashtë, këto pabarazi janë shumë të ngjashme, por skemat e tyre të zgjidhjes janë thelbësisht të ndryshme.

Sot do të mësojmë se si të zgjidhim pabarazitë irracionale të llojit të parë - ato janë më të thjeshtat dhe më të kuptueshmet. Shenja e pabarazisë mund të jetë e rreptë ose jo e rreptë. Deklarata e mëposhtme është e vërtetë për ta:

Teorema. Çdo pabarazi iracionale e formës

Ekuivalente me sistemin e pabarazive:

Jo i dobët? Le të hedhim një vështrim se nga vjen një sistem i tillë:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - gjithçka është e qartë këtu. Kjo është pabarazia origjinale në katror;
2. f (x) ≥ 0 është ODZ e rrënjës. Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja katrore aritmetike ekziston vetëm nga jo negative numrat;
3. g (x) ≥ 0 është diapazoni i rrënjës. Duke kuadruar pabarazinë, ne djegim të këqijat. Si rezultat, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Pabarazia g (x) ≥ 0 i prenë ato.

Shumë studentë "fiksojnë" pabarazinë e parë të sistemit: f (x) ≤ g 2 (x) - dhe harrojnë plotësisht dy të tjerët. Rezultati është i parashikueshëm: vendim i gabuar, pikë të humbura.

Meqenëse pabarazitë irracionale janë një temë mjaft komplekse, ne do të analizojmë 4 shembuj menjëherë. Nga elementare në shumë komplekse. Të gjitha problemet janë marrë nga provimet pranuese të Universitetit Shtetëror të Moskës. M.V. Lomonosov.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Para nesh është klasikja pabarazia irracionale: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 është një konstante. Ne kemi:

Nga tre pabarazitë, vetëm dy mbeten deri në fund të zgjidhjes. Sepse pabarazia 2 ≥ 0 vlen gjithmonë. Ne kryqëzojmë pabarazitë e mbetura:

Pra, x ∈ [−1,5; 0.5]. Të gjitha pikat janë mbushur sepse pabarazitë nuk janë strikte.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Zbatojmë teoremën:

Ne zgjidhim pabarazinë e parë. Për ta bërë këtë, le të hapim katrorin e diferencës. Ne kemi:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Tani le të zgjidhim pabarazinë e dytë. Atje gjithashtu trinomi katror:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1] ∪∪∪∪)