Физики из Австрии и Польши получили новые экспериментальные подтверждения парадоксальных с точки зрения классической физики свойств квантовых объектов. Об этом говорится в статье профессора Венского университета Антона Цайлингера (Anton Zeilinger) и его коллег, которая 19 апреля появилась в журнале Nature .

Эта работа продолжает теперь уже четвертьвековую традицию экспериментов по проверке так называемых неравенств Белла, начатую в 1982 году французским физиком Аленом Аспе (Alain Aspect). В 1964 году работавший в ЦЕРНе ирландский физик Джон Белл (John Bell) указал на возможность экспериментальной проверки принципа локального реализма, который Альберт Эйнштейн полагал обязательным атрибутом любой разумной физической теории. Эйнштейн считал, что результаты определения любых измеримых параметров физической системы, во-первых, полностью заданы ее состоянием до акта измерения и, во-вторых, не могут меняться под воздействием каких-либо удаленных событий, если те заранее не сообщают о себе сигналами, скорость которых не превышает скорость света. С точки зрения Эйнштейна, первое требование выражает идею реализма физического описания, а второе — требование локальности.

Белл первым понял, что принцип локального реализма допускает строгую опытную проверку. Он доказал фундаментальной важности теорему (см. теорема Белла), из которой вытекает, что при соблюдении этого принципа корреляции между измеримыми физическими величинами должны удовлетворять определенным соотношениям, которые сейчас называют неравенствами Белла. Со временем в теоретической физике возникло целое направление, посвященное поиску новых вариантов этой теоремы и вытекающих из нее неравенств.

Экспериментальная проверка теоремы Белла сильно затянулась из-за множества технических трудностей. Лишь в 1982 году аспирант Парижского университета, а ныне профессор Высшей политехнической школы Франции академик Ален Аспе провел серию прецизионных опытов с попарно связанными друг с другом световыми квантами, которые продемонстрировали нарушение неравенств Белла (измеряемыми параметрами служили направления линейной поляризации этих квантов). Позднее аналогичные опыты не раз повторялись другими физиками, причем не только с фотонами — и с совершенно такими же результатами. В конечном счете среди физиков восторжествовало мнение, что квантовомеханические объекты, в отличие от классических, не допускают описания посредством теорий, одновременно удовлетворяющих требованиям реализма и локальности.

Однако опытная проверка теоремы Белла и ее позднейших модификаций отнюдь не закрыла проблему интерпретации глубинного смысла квантовомеханического описания реальности — напротив, она перевела ее на новый уровень. Если квантовые теории не могут одновременно быть реалистичными и локальными, то что из этого следует? Возможно ли сохранить в квантовой механике локальность, пожертвовав реализмом? Или сохранить реализм, отбросив локальность (а это, напомню, запрет на воздействия, распространяющиеся со сверхсветовой скоростью)? Или надо пойти еще дальше, отказавшись и от реализма, и от локальности? Или, что не исключено, этот выбор — просто дело вкуса?

Цайлингер и его коллеги не нашли выхода из этого концептуального лабиринта, но всё же продвинулись в этом направлении. Подобно Аспе, они тоже работали с парами неразделимо взаимосвязанных (как говорят физики, спутанных) фотонов, измеряя параметры их поляризации. При этом они исходили из такого определения полноты физического описания, которое явно не содержало требования локальности. Это определение включает три положения, первым из которых служит требование реализма. Второй пункт: любая система световых квантов является статистической смесью фотонных ансамблей с определенными значениями поляризации. Третий пункт: параметры поляризации этих ансамблей удовлетворяют классическому закону Малюса (этот закон утверждает, что интенсивность линейно поляризованного света после прохождения через анализатор меняется пропорционально квадрату косинуса угла между плоскостями поляризации падающего света и анализатора). Авторы статьи в Nature показали, что из этих требований тоже вытекают определенные неравенства, которым должны удовлетворять измеряемые на опыте корреляции между поляризационными характеристиками света. Однако эти неравенства оказались сложнее белловских, и для их проверки следовало экспериментировать с эллиптически поляризованным светом. Такие измерения технически куда сложнее экспериментов Аспе с линейно поляризованными фотонами.

Цайлингер и его коллеги обнаружили, что модифицированные неравенства также не выполняются. Это означает, что в мире квантовой механики реализм несовместим не только с локальностью, но и с весьма широким классом нелокальных описаний. Правда, не исключено, что существуют какие-то формы нелокальности, которые не вступают в противоречие с реализмом. Однако авторы статьи в Nature делают альтернативный вывод. По их мнению, эксперимент с эллиптически поляризованным светом показал, что несовместимость между квантовой механикой и идеалом классического реализма куда сильнее, чем считало и считает большинство физиков. Например, можно полагать, что каждый фотон из изучаемого ансамбля как-то поляризован, однако при этом ему нельзя приписать никакого конкретного параметра поляризации.

Чтобы понять, насколько этот вывод противоречит нашему обыденному опыту, представим себе его классический аналог: продавец говорит покупателю, что может предложить несколько конкретных марок вин, но в принципе не способен прочесть ярлык ни на одной бутылке. Физики из группы Цайлингера даже не исключают необходимости отказа от таких постулатов науки, как аристотелевская логика или невозможность влиять на прошлое. Во всяком случае, как отметил сам Аспе в комментарии, опубликованном в том же выпуске Nature , результаты группы Цайлингера могут стать началом «более глубокого понимания великих тайн квантовой механики».

Источники:
1) Simon Gröblacher et al. An experimental test of non-local realism // Nature . V. 446. P. 871-875.
2) Alain Aspect. Quantum mechanics: To be or not to be local // Nature . V. 446. P. 866-867.

Алексей Левин

Ален Аспект использовал синглетный тип корреляции между двумя фотонами для доказательства наличия не опосредуемого сигналами влияния, действующего между двумя скоррелированными квантовыми объектами. Он подтвердил, что измерение одного фотона воздействует на поляризационно-скоррелированный с ним другой фотон без всякого обмена локальными сигналами между ними.

Представьте себе следующую экспериментальную обстановку: атомный источник испускает пары фотонов, и два фотона каждой пары движутся в противоположных направлениях. Каждая пара фотонов скоррелирована по поляризации - оси их поляризации лежат на одной линии. Таким образом, если вы видите один фотон через поляризующие очки с вертикальной осью поляризации (как их обычно носят), то ваш друг, находящийся на расстоянии по другую сторону от атомного источника, будет видеть второй скоррелированный фотон, только если он тоже носит поляризующие очки с вертикальной осью. Если он наклонит голову так, что ось поляризации его очков станет горизонтальной, то не сможет видеть свой фотон. Если он наклонит голову так, что это позволит ему видеть его фотон, то вы не будете способны видеть второй фотон скоррелированной пары, так как ось поляризации ваших очков не соответствует оси поляризации очков вашего друга.

Разумеется, сами лучи фотонов не поляризованы. Они не имеют конкретной поляризации, пока вы не наблюдаете их с помощью поляризующих очков; все направления лучей имеют одинаковую вероятность проявления. Каждый фотон представляет собой когерентную суперпозицию поляризаций «вдоль» и «поперек» каждого направления; именно наше наблюдение схлопывает фотон с определенной поляризацией - продольной или поперечной. В длинном ряду коллапсов будет столько же коллапсов с так называемой продольной поляризацией, сколько и с поперечной.

Предположим, что вначале оси поляризации очков у вас обоих вертикальны, так что каждый из вас может видеть один из скоррелированных фотонов (рис. 30); но затем вы внезапно наклоняете голову, так что ось поляризации ваших очков становится не вертикальной, а горизонтальной. Своим действием (поскольку вы видите фотон, только если он поляризован горизонтально) вы заставили фотон, который вы видите, принять горизонтальную поляризацию. Однако, как ни странно, ваш друг больше не видит второй фотон пары, если только одновременно не перевернет свои очки, поскольку этот скоррелированный фотон тоже принял горизонтальную поляризацию в результате вашего действия. Это нелокальный коллапс, не так ли?

Рис. 30. Наблюдения поляризационно-скоррелированных фотонов

Если вы действительно верите в материальный реализм, то видите в этом квантово-теоретическом построении событий нечто странное, поскольку то, что вы делаете с одним фотоном, одновременно влияет на его удаленного партнера. В каком бы направлении вы ни поворачивали свои поляризационные очки, чтобы видеть фотон, скоррелированный партнер этого фотона всегда принимает направление поляризации вдоль той же оси, независимо от того, где и как далеко от вас он находится. Каким образом фотон знает, куда поворачивается, если только он, в каком-то смысле, не узнает об этом от своего партнера? Как он может узнавать мгновенно, игнорируя ограничение скорости любых сигналов величиной скорости света?

Эрвин Шрёдингер в 1935 г. писал: «Весьма неудобно, что [квантовая] теория должна позволять экспериментатору по своей прихоти вводить или направлять систему в то или иное состояние, несмотря на то что он не имеет к ней никакого доступа».

Материальных реалистов в течение последних пятидесяти лет беспокоили следствия таких сильных корреляций между квантовыми объектами для их философии. До недавнего времени они все еще могли доказывать, что влияние опосредуется неведомым нам локальным сигналом между фотонами и что оно, вследствие этого, строго подчиняется принципу реализма. Однако Ален Аспект и его сотрудники в своем революционном эксперименте доказали, что влияние передается мгновенно, и без каких бы то ни было промежуточных локальных сигналов.

В качестве примера предположите, что вы по очереди вытягиваете карты из колоды. Ваш друг, сидящий спиной к вам, говорит людям, какую карту вы вытягиваете, - и каждый раз оказывается прав. Поначалу эта корреляция между вами могла бы сбивать зрителей с толку. Однако со временем люди бы сообразили, что вы каким-то образом подаете своему другу локальный сигнал. Именно так работают многие так называемые магические фокусы. Теперь предположите, что в силу обстоятельств для обмена локальным сигналом между вами и вашим другом просто нет времени. Тем не менее магия корреляции продолжает действовать - вы вытягиваете карту, и ваш друг правильно ее называет. Таков странный и чрезвычайно важный результат эксперимента Алена Аспекта.

Аспект использовал поляризационно-скоррелированные фотоны, испускаемые в противоположных направлениях атомами кальция. На пути каждого пучка фотонов был установлен детектор. Решающей особенностью эксперимента - которая делала его вывод неопровержимым - было использование переключателя, менявшего настройку поляризации одного из детекторов через каждую одну десятимиллиардную долю секунды (это время короче, чем требуется свету или другому локальному сигналу для прохождения расстояния между двумя детекторами). Но даже в этом случае изменение настройки поляризации детектора переключателем изменяло результат измерения в другом месте - как и должно было быть, согласно квантовой механике.

Как информация об изменении настройки детектора доходила от одного фотона до его скоррелирован-ного партнера? Несомненно, не с помощью локальных сигналов. Для этого было недостаточно времени.

Как это можно объяснить? Возьмем принадлежащее Пагелсу сравнение реальности с колодой карт. Результаты эксперимента Аспекта подобны тому, чтобы карты, вытягиваемые в Нью-Йорке, были тождественны картам, вытягиваемым в Токио. Остается вопрос: заключена ли тайна нелокальности в самих картах, или сознание наблюдателя тоже вступает в игру?

Материальные реалисты неохотно признают, что квантовые объекты имеют нелокальные корреляции и что если принимать сценарий коллапса всерьез, то квантовый коллапс должен быть нелокальным. Однако они отказываются видеть значение этого и потому упускают самое важное в новой физике.

Один способ разрешения парадокса ЭПР состоит в том, чтобы постулировать, что за сценой пространства-времени существует эфир, в котором допускается передача сигналов быстрее скорости света. Это решение также означало бы отказ от локальности и материализма, и потому было бы неприемлемым для большинства физиков. Кроме того, сверхсветовые сигналы делали бы возможным путешествие во времени в прошлое; такая перспектива беспокоит людей, и не без оснований.

Я предпочитаю очевидную интерпретацию эксперимента Аспекта. Согласно идеалистической интерпретации, в этом эксперименте именно ваше наблюдение коллапсирует волновую функцию одного из двух скоррелированных фотонов, заставляя его принимать определенную поляризацию. Волновая функция его скоррелированного партнера тоже немедленно схлопывается. Сознание, способное мгновенно схлопывать волновую функцию фотона на расстоянии, само должно быть нелокальным, или трансцендентным. Таким образом, вместо того чтобы считать нелокальность свойством, опосредуемым сверхсветовыми сигналами, идеалист утверждает, что нелокальность - неотъемлемый аспект коллапса волновой функции скоррелированной системы и, значит, атрибут сознания.

Итак, подозрение Эйнштейна в отношении неполноты квантовой механики, которое было рабочей гипотезой парадокса ЭПР, привело к поразительным результатам. Интуиция гения нередко оказывается плодотворной неожиданным образом, не имеющим отношения к подробностям его теории.

Это напоминает мне одну суфийскую историю. Мулла Насреддин однажды столкнулся с бандой мошенников, которые хотели завладеть его туфлями. Стараясь обмануть муллу, один из мошенников сказал, указывая на дерево: «Мулла, на это дерево невозможно залезть».

«Конечно, возможно. Я покажу вам», - сказал мулла, поддавшись на провокацию. Сперва он собирался оставить свои туфли на земле, пока он будет лезть на дерево, но потом передумал, связал их и прикрепил к поясу. Затем он начал подниматься.

Парни были обескуражены. «Зачем ты берешь свои туфли с собой?» - воскликнул один из них.

«Ох, я не знаю, возможно, наверху есть дорога, и они могут мне понадобиться!» - отозвался мулла.

Интуиция муллы подсказывала ему, что мошенники могут попытаться украсть его туфли. Интуиция Эйнштейна говорила ему, что квантовая теория должна быть неполной, поскольку она не может объяснить скоррелированные электроны. В конце концов, что, если бы мулла обнаружил, что на вершине дерева есть дорога! По существу, это и показало проведенное Аспектом экспериментальное исследование парадокса ЭПР.

Квантовая Магия, том 4, вып. 2, стр. 2135-2147, 2007

Теорема Белла: наивный взгляд экспериментатора

Ален Аспект

Избранные главы. Перевод с англ.: Путенихин П.В.

Перевод разделов 2–5 статьи «Bell’s theorem: the naive view of an experimentalist», Alain Aspect. Статья тесно связана с другой работой Алена Аспекта – описанием знаменитого эксперимента 1982 года : « Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analysers». Рассматриваемая работа Аспекта содержит подробное и доходчивое описание теоретической части эксперимента – выявление противоречия квантовой механики и теории локального реализма, описание концептуальной модели теории дополнительного параметра в свете теоремы Белла: невозможно найти теорию дополнительного параметра, которая воспроизводит все предсказания квантовой механики. Наглядно выведено известное неравенство Белла в версии Клаузера – Хорна – Шимони – Хольта: CHSH - неравенство.

2. ПОЧЕМУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ? МЫСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ЭЙНШТЕЙНА-ПОДОЛЬСКОГО-РОЗЕНА-БОМА

2.1. Схема эксперимента

Давайте рассмотрим оптический вариант мысленного эксперимента ЭПР в версии Бома (рис. 1). Источник S испускает пару фотонов с различными частотами v 1 и v 2 , разлетающихся противоположно по оси Oz . Предположим, что вектор состояния поляризации, описывающий пару:

(1)

где |x> и |y> - линейные состояния поляризации. Это состояние замечательно: не может быть разложено на два состояния, привязанных к каждому фотону, так что мы не можем приписать никакого определенного состояния каждому фотону. В частности мы не можем назначать никакую поляризацию для каждого фотона. Такое состояние, описывающее систему нескольких объектов, о которых можно думать только глобально, является запутанным состоянием .

Мы производим линейные измерения поляризации на этих двух фотонах анализаторами I и II. Анализатор I в направлении a снабжен двумя датчиками и дает результаты + или -, если встречена линейная поляризации параллельная или перпендикулярная к a . Анализатор II в направлении b действует аналогично ‡ .

Рис. 1. Мысленный эксперимент Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома с фотонами . Два фотона v 1 и v 2 , испускаемый в состоянии из уравнения (1), проанализированы линейными поляризаторами в направлениях a и b . Можно измерять вероятности одинарного или парного обнаружения в каналах поляризаторов.

Легко получить квантово-механические предсказания для этих измерений поляризации одинарных или парных. Рассмотрим сначала одиночные вероятности P ± (a ) получения результатов ± для фотона v 1 , и точно так же одиночные вероятности P ± (b ) получения результатов ± на фотоне v 2 . Квантовая механика предсказывает:

‡ Есть непосредственное соответствие с мысленным экспериментом ЭПР в версии Бома, имеющим дело с парой частиц со спином 1/2 в синглетном состоянии, проанализированном двумя фильтрами Штерна-Герлаха.

(Q . M .)(2)

Эти результаты находятся в согласии с замечанием, что мы не можем назначить поляризацию каждому фотону так, чтобы каждое индивидуальное измерение поляризации дало случайный результат. Теперь позвольте нам рассмотреть вероятности P ±± (a , b ) совместных обнаружений v 1 и v 2 в каналах + или - поляризаторов I или II в направлениях a и b . Квантовая механика предсказывает:

(Q . M .)(3)

Мы собираемся показать, что эти квантово-механические предсказания имеют далеко идущие последствия.

2.2. Корреляции

Рассмотрим сначала специфическую ситуацию (a , b )=0, когда поляризаторы параллельны. Квантовые Механические предсказания для вероятностей совместного обнаружения (уравнение 3):

(4)

Согласно этому результату и принимая во внимание (2) мы заключаем, что когда фотон v 1 н айден в + канале поляризатора I , v 2 найден с достоверностью в + канале II (аналочично для каналов -). Для параллельных поляризаторов, таким образом, установлена полная корреляция между индивидуальными случайными результатами измерений поляризации двух фотонов v 1 и v 2 .

Удобным способом измерения величины корреляции между случайными величинами является вычисление коэффициента корреляции. Для измерений поляризации, рассмотренных выше, он равен

(5) *

Используя предсказание (3) Квантовой Механики, мы находим коэффициент корреляции

(6)

В специфическом случае параллельных поляризаторов ((a,b )=0), мы находим E QM (0)=1: это подтверждает, что корреляция полная.

Итак, квантово-механические вычисления показывают, что хотя каждое идивидуальное измерение дает случайные результаты, эти случайные результаты коррелированы, как показывает уравнение (6). Для параллельной (или перпендикулярной) ориентации поляризаторов корреляция полная (| E QM |= 1).

2.3. Трудность представления формализма Квантовой Механики

Как наивный физик я люблю поднимать вопрос поиска простых образов, чтобы понять эти сильные корреляции. Наиболее естественный способ найти образное представление, состоит, возможно, в квантово-механических вычислениях, ведущих к (3). Фактически есть несколько способов сделать эти вычисления. Очень прямой должен проектировать вектор соостояния (1) в собственные векторы состояния результата. Это дает немедленно объединенные вероятности (3). Однако так как это вычисление опирается на векторы состояния, описывающие глобально эти два фотона, я не знаю, как построить картину в нашем обычном пространстве.

Чтобы преодолеть эту проблему и идентифицировать отдельно эти два измерения, произведенные на обоих концах эксперимента, мы можем разделить объединенное измерение на два шага. Предположим, например, что сначала имеет место измерение на фотонеv 1 и дает результат + на поляризаторе I в направлении a . Результат + (связанный с состоянием поляризации |a> ) имеет вероятность 1/2. Чтобы продолжать вычисление, мы должны тогда использовать постулат о редукции вектора состояния, который заявляет что после этого измерения, новый вектор состояния , описания пары получен проектированием начального вектора состояния (уравнение 1) на собственное пространство, привязанное к результату +: это двухмерное собственное пространство имеет основание {| a , x >,| a , y >} . Используя соответствующий проектор, мы найдем после небольшой алгебры

(7)

Это означает, что немедленно после первого измерения фотонv 1 получает поляризацию |a> : это очевидно, потому что это было измерено поляризатором, ориентированным по a , и был получен + результат. Более удивительно, отдаленный фотонv 2 , который еще не взаимодействовал ни с каким поляризатором, также спроектировался в состояние |a > с определенной поляризацией, параллельной той, которая найдена для фотонаv 1 . Это удивительное заключение, однако, ведет к правильному заключительному результату (3), начиная с прямого применения закона Малуса, что последующее измерение, выполненное по b на фотонеv 2 будет вести к

(8)

Поэтому вычисление в два шага дает тот же самый результат, что и прямое вычисление. При измерении в два шага возникает следующая картина:

i.Фотонv 1 , который не имел явно определенной поляризации перед ее измерением, получает поляризацию, связанную с полученным результатом, во время его измерения: это не удивительно.

ii.Когда измерение на v 1 сделано, фотон v 2 , который не имел определенной поляризация перед этим измерением, проектируется в состояние поляризации, параллельное результату измерения на v 1 . Это очень удивительно, потому что это изменение в описание v 2 происходит мгновенно, безотносительно расстояния между v 1 и v 2 в момент первого измерения.

Эта картина находится в противоречии с относительностью. Согласно Эйнштейну, событие в данной области пространства-времени не может находиться под влиянием события, произошедшего в пространстве-времени, которое отделено пространственно-подобным интервалом. Неразумно пытаться найти более приемлемые картины, чтобы «понять» ЭПР-корреляции. Это такая картина, которую мы рассматриваем теперь.

2.4. Дополнительные параметры

Корреляции между отдаленными измерениями на двух разделенных системах, которые предварительно взаимодействовали, обычны в классическом мире. Например, если механический объект с нулевым линейным (или угловым) импульсом раздроблен на две части некоторым внутренним процессом, линейный (или угловой) импульсы двух отдельных частей остаются равными и противоположными в случае свободного развития. В общем случае, когда каждый фрагмент подвержен некоторому воздействию, эти два импульса остаются коррелироваными, так как они в момент определения получили начальные значения, которые имели совершенно определенную сумму.

Заманчиво использовать такую классическую картину, чтобы вести счет ЭПР-корреляции в термине общих свойств этих двух систем. Позвольте нам снова рассмотреть полную корреляцию измерений поляризации в случае параллельных поляризаторов (a ,b )=0. Когда мы находим + дляv 1 , мы уверены, что найдем + также и дляv 2 . Таким образом, мы можем признать, что есть некоторая сущность (Эйнштейн сказал «элемент физической реальности»), имеющая отношение к этой специфической паре и определению результата ++. Для другой пары, когда результаты --, мы можем аналогично призвать общую сущность, определяющую результат --. Тогда достаточно признать, что половина пар испускается с сущностью ++, а половина - с сущностью --, чтобы воспроизвести все результаты измерения в этой конфигурации. Обратите внимание, что в этих свойствах, отличающихся от одной пары к другой, не принят во внимание квантово-механический вектор состояния , который является одним и тем же для всех пар. Это - то, почему мы можем заключить с Эйнштейном, что Квантовая Механика - не полна . И это - то, почему такие дополнительные свойства названы «дополнительными параметрами » или «скрытыми переменными » *

* Эйнштейн на самом деле не говорил о «скрытых переменных» или «дополнительных параметрах», а скорее об «элементах физической реальности». Соответственно, многие авторы говорят скорее о «реалистических теориях», а не о «теориях со скрытыми переменными» или«теориях дополнительных переменных».

Как заключение, кажется возможно «понять» ЭПР-корреляции как классически выглядящую картину, привлекая дополнительные параметры, отличающиеся от пары к паре. Можно надеяться возвратить статистические квантово-механические предсказания, когда усреднение производится по дополнительным параметрам. Кажется, что таковой была позиция Эйнштейна . Обратите внимание, что в этой стадии рассуждений признание этих положений не вступает в противоречие с квантовой механикой: нет никаких логических проблем полностью принять предсказания квантовой механики и применить дополнительные параметры, дающие приемлемую картину ЭПР-корреляций. Это предполагает рассмотрение Квантовой Механики как описание Статистической Механики более глубокого уровня.

3. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА

3.1. Формализм

Тремя десятилетиями после статьи ЭПР, Белл перевел в математику предшествующее обсуждение и явно представил дополнительные параметры,обозначив их l . Их распределение на ансамбле испускаемых пар определено вероятностью распределение r ( l ) , такой что

(9)

Для данной пары, характеризуемой данным дополнительным параметром l , результаты измерения задаются двузначными функциями

(10)

Специфическая Теория Дополнительных Параметров полностью определена явной формой функций r ( l ), A( l , a ) и B ( l , b ) . Отсюда легко выразить вероятности различных результатов измерений. Например, отметим, что функция принимает значение +1 для + результата и 0 иначе (и аналогично принимает значение +1 для - результата и 0 иначе), мы можем записать

(11)

Точно так же функция корреляции принимает простую форму

(12)

3.2. Пример (наивный) теории дополнительного параметра

Как пример Теории Дополнительного Параметра мы представляем модель, где каждый фотон, путешествующий вдоль 0 z , как предполагается, имеет явно определенную линейную поляризацию, определенный его углом (l 1 или l 2 ) с осью X . Чтобы объяснять сильную корреляцию, мы предполагаем, что два фотона одной пары испускаются с одной и той же линейный поляризацией, определенной общим углом l (рис. 2).

Рис.2 - Наивный пример . Каждая пара фотонов имеет «направление поляризации», определенное l , которое является дополнительным параметром модели. Поляризатор I делает поляризационное измерение по a , под углом q 1 от оси X.

Поляризации различных пар беспорядочно распределены, согласно вероятности распределение r ( l ) , поэтому мы берем вращательный инвариант:

(13)

Чтобы закончить нашу модель, мы должны явно задать форму для функций А( λ ,a ) и B ( λ , b ). Мы берем следующую форму

(14)**

где углы q I и q II указывают ориентации поляризаторов. Обратите внимание, что эти формы очень разумны: А( λ ,a ) принимает значение +1, когда поляризация фотона v 1 образует угол меньше чем p / 4 с направлением анализа a , и -1 для дополнительного случая (поляризция ближе к перпендикуляру к a ).

С этой явной моделью, мы можем использовать уравнения (11), чтобы вычислить вероятности различных измерений. Мы находим, например, одиночные вероятности

,(15)

идентичные квантово-механическим результатам. Модель также позволяет нам вычислить объединенные вероятности, или эквивалентно функцию корреляции, и мы находим, используя (12):

(16)

Это - замечательный результат. Сначала обратите внимание, что E(a,b ) зависит только от относительного угла (a,b ), как квантово-механическое предсказание (6). Кроме того, как показано на рисунке 3, различие между предсказаниями модели простых дополнительных параметров и предсказаниями квантовой механики всегда маленькие, и точно совпадает для углов 0 и , то есть случаев полной корреляции. Этот результат, полученный с помощью чрезвычайно простой модели дополнительных параметров, является очень ободрительным, и можно было бы надеяться, что более сложная модель могла быть способна точно воспроизвести предсказания квантовой механики. Открытие Белла - факт, что поиск таких моделей является безнадежным , что мы собираемся теперь показать.

Рис.3 - Коэффициент поляризационной корреляции, как функция относительной ориентации поляризаторов: (i) Пунктирная линия: КМ предсказание; (ii) сплошная линия: наивная модель.

3.3. Неравенства Белла

Есть много различных форм и демонстраций неравенств Белла. Мы даем здесь очень простую демонстрацию, ведущую к форме, непосредственно применимой к экспериментам ** .

Давайте рассмотрим выражение

Помня, что эти четыре величины А и B принимают только значение ±1, простой осмотр второй строки (17) показывает, что

(18)

Среднее значение s по λ поэтому заключено между + 2 и – 2

Согласно (12), мы можем переписазть эти неравенства

ЭтоBCHSH - неравенства, то есть неравенства Белла, выведенные Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом. Они относятся к комбинации S из четырех коэффициентов корреляции поляризации, привязанным к двум направлениям анализа для каждого поляризатора (a иb ’ для поляризатора I , b и b’ для поляризатора II ). Обратите внимание, что они применимы к любой теории Дополнительного Параметра самой общей формы, определенной в секции 3.1 (уравнения 9, 10, и 12), из которых наша наивная модель является только примером.

** Важно видеть различие между неравенствами, которые показывают математическое противоречие между квантовой механикой, но без возможности экспериментального испытания с (обязательно) несовершенным аппаратом, и неравенства, позволяющие экспериментальное испытание при условии, что экспериментальное несовершенство остается в некоторых (допустимых) пределах.

4. КОНФЛИКТ С КВАНТОВОЙ МЕХАНИКОЙ

4.1. Очевидное

Мы можем использовать предсказания (6) квантовой механики для ЭПР-пар, чтобы оценить величину S(a, a ",b,b" ), определенную уравнением (21). Для специфического набора ориентаций, показанных на рис. 4.a, результат

(22)

Это квантово-механическое предсказание определенно находится в противоречии с неравенством Белла (20) которое имеет силу для любой теории Дополнительного Параметра общей формы, определенной в §3.1.

Таким образом, мы нашли ситуацию, где квантово-механические предсказания не могут быть воспроизведены (mimicked ) в соответствии с теориями дополнительного параметра. Это – сущность теоремы Белла: невозможно найти теорию дополнительного параметра, генеральная форма которой определена в §3.1, которая воспроизводит все предсказания квантовой механики. Это утверждение, как обобщенно показано на рис.3, - для специфической модели дополнительного параметра, рассматриваемой в §3.2: модель точно воспроизводит предсказания квантовой механики для некоторых специфических углов (0, p /4, p /2), но несколько отклоняется от него под другими углами. Важность теоремы Белла состоит в том, что она – не ограничена специфической моделью теории дополнительного параметра, а является всеобщей.

Рис.4 – Направления, дающие самый большой конфликт между неравенствами Белла и Квантовой Механикой.

.

4.2. Максимальный конфликт

Интересно увидеть максимальное нарушение неравенствами Белла предсказаний квантовой механики. Возьмем квантово механическое значение S

(23) равны

(26)

(27)

Эти значение - решения (25). Соответствующие наборы ориентаций показаны на рис.4. Они дают максимальные нарушения неравенств Белла.

Более обобщенно на рис.5 показано, что есть полный диапазон ориентаций, ведущих к конфликту с неравенствами Белла. Однако, также ясно, что есть много наборов ориентаций, для которых нет никакого конфликта.

Рис.5 - S (q ), как предсказано квантовой механикой для ЭПР-пар. Конфликт с неравенством Белла происходит, когда |S| больше 2, и это - максимум для наборов ориентаций, приведенных на рис.4.

5. ОБСУЖДЕНИЕ: ЛОКАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ

Сформулируем теорему Белла в следующем виде: квантовая механика находится в противоречии с любой теорией дополнительного параметра, как определено в §3.1, так как это нарушает выводы (неравенства Белла) любой такой теории. На этой стадии интересно увидеть гипотезы, лежащие в основе формализма, представленного в §3.1. Тогда можно надеяться указать определенная гипотезу, ответственную за конфликт. Поэтому мы теперь исследуем различные гипотезы, лежащие в основе теорий дополнительного параметра, представленных в секции 3.1.

Первая гипотеза - существование дополнительных параметров. Как мы видели, они были введены, чтобы осуществить учет корреляций на расстоянии. Эта гипотеза настоятельно связана с концепцией реальности, как выражено Эйнштейном, где понятие отдельных физических реальностей для резделенных частиц является значащим. Можно даже получить существование дополнительных параметров из общих утверждений о физической реальности в духе идей Эйнштейна . Кажется, что гипотезы в этом духе абсолютно неизбежно приводят к неравенствам, находящимся в противоречии с квантовой механикой.

Вторая гипотеза предполагает детерминизм. Фактически, формализм секции 3.1 детерминирован: как только l установлен, результаты A (l ,a ) и B (l ,b ) измерения поляризации стали определены. Кто-то скажет, что это может быть серьезным основанием для конфликта с недетерминированным формализмом квантовой механики. Фактически, как сначала показал Белл в , и впоследствии было развито в , легко обобщить формализм секции 3.1 к стохастическим теориям дополнительного параметра, где детерминированные функции измерения A (l ,a ) и B (l ,b ) заменены вероятностными функциями. Тогда другие найдут, что неравенства Белла все еще держатся, и что конфликт не исчезает. Поэтому является общепринятым, что детерминированный характер формализма – не причина для конфликта .

Наиболее важной гипотезой, как подчеркнуто Беллом во всех его статьях, является локальный характер формализма секции 3.1. Мы действительно неявно приняли, что результат A (l ,a ) измерения в поляризаторе I , не зависит от ориентации b удаленного поляризатора II , и наоборот. Точно так же принимается, что вероятность распределениеr (l ) (то есть путь, по которому пары испускаются) не зависят от ориентации a и b . Это локальное предположение является критическим: неравенства Белла не могли бы обойтись без них. Действительно ясно, что демонстрация § 3.3 терпит неудачу с выражениями типа A (l ,a, b ) и r (l , a , b ) .

Заключаем, что это две гипотезы, которые, кажется, с необходимостью получают неравенства Белла, и, следовательно, конфликт с квантовой механикой:

Отдаленные корреляции могут быть поняты представлением о дополнительных параметрах, относящихся к отделенным частицам, в духе идей Эйнштейна, когда отдельные объекты имеют отдельные физические реальности.

ВыраженияA (l ,a ) и B(l ,b ) , иr (l ) подчиняются локальному условию , то есть они не зависят от ориентации отдаленного поляризатора.

Это – те главные условия, почему квантовая механика находится в противоречии с локальным реализмом.

Примечания переводчика:

Нумерация страниц и нижний колонтитул данного перевода соответствуют оригиналу.

* В последнем слагаемом исправлен порядок знаков в индексе. В оригинале в ыражение (5) имеет вид:

** Исправлено: cos 2 вместо cos 2. В оригинале выражение (14) имеет вид:

(14)

Литература

1. Оригинал статьи : BELL’S THEOREM: THE NAIVE VIEW OF AN EXPERIMENTALIST Alain Aspect, Institut d"Optique Théorique et Appliquée Bâtiment 503-Centre universitaire d"Orsay 91403 ORSAY Cedex – France

Нереальная реальность

Изрядную порцию масла в огонь старых споров об основах квантовой теории подлили тонкие эксперименты группы австрийских физиков из Венского университета во главе с известным профессором Антоном Цайлингером (Anton Zeilinger). Ученые утверждают, что в новой теории, которая может прийти на смену сегодняшней квантовой механике, придется отказаться от привычной философской концепции реализма, постулирующей, что реальность существует независимо от наблюдателей.

Странные вещи вот уже скоро сто лет как творятся вокруг квантовой теории. Все физики пишут одни и те же уравнения, одинаково их решают, сравнивают расчеты с показаниями похожих приборов и неизменно получают хорошее согласование теории с опытом. Но как только дело доходит до разъяснений, что же все это на самом деле значит, начинаются жаркие споры. И точек зрения тут не меньше, чем различных философских концепций. Слишком уж расходится поведение микромира с нашим житейским опытом. Имеется больше десятка различных интерпретаций квантовой теории, включая такие крайности, как утверждение о существовании многих параллельных вселенных или о наличии свободы воли у каждой элементарной частицы. Удивительно, как испытывающая те или иные трудности наука начинает походить на религию. Те же догматы веры, те же ссылки на непререкаемые авторитеты и разная трактовка их изречений. Что ж, люди везде одинаковы.

Еще в тридцатые годы прошлого века, во времена становления квантовой теории, которая шокировала физиков, привыкших мыслить классически, принципиально вероятностным характером своих предсказаний, Альберт Эйнштейн предположил, что квантовая механика не полностью описывает реальность. Должна существовать более совершенная теория с дополнительными, пока скрытыми от нас переменными, которая позволит однозначно предсказывать исход каждого опыта. Причем эти переменные локализованы в пространстве, то есть удаленные частицы не могут влиять на результаты опыта.

Сегодня точку зрения Эйнштейна трактуют как концепцию "локального реализма". Долгое время она оставалась рабочей гипотезой, пока в шестидесятые годы ирландский физик Джон Белл не доказал теорему, выводы которой позволяют экспериментально отличить предсказания квантовой механики от предсказаний любой возможной теории с локальными скрытыми переменными. Для этого достаточно измерять, например, поляризацию пары первоначально "запутанных", а потом улетевших далеко друг от друга фотонов. С конца семидесятых годов такие эксперименты научились проделывать, и они неизменно подтверждали квантовую теорию, которая предсказывает более тесную взаимозависимость запутанных удаленных частиц. От Эйнштейновской концепции "локального реализма" пришлось отказаться. При этом реализм пока решили оставить, пожертвовав лишь локальностью теории.

Но четыре года тому назад теоретик из Иллинойского университета Тони Леггет (Tony Leggett) показал, что даже если отказаться от локальности возможных теорий со скрытыми переменными, то заметная их часть все же будет давать предсказания, отличные от предсказаний квантовой теории. Венская группа обобщила теоретические результаты Леггета и проверила их экспериментально, измеряя тонкие свойства поляризации запутанных фотонов. Опять победила квантовая механика, и авторы на страницах престижного журнала Nature сделали радикальный вывод о том, что теперь придется отказаться еще и от реализма.

подняла вопрос о неполном соответствии теории квантовых компьютеров и квантовой механики, а также волны желчи, на которые я не обращаю внимания. Н и один из «физиков», упражняющихся в заочных оскорблениях, не осмелился вступить в честную дискуссию со мной, для которой сайт «Экстремальная механика» имеет ТЕХнические возможности. При некоторых формальных неточностях, которые присутствуют в научно-популярной статье «Компьютер Бога», в целом ее выводы верны.

Настоящая статья продолжает эту тему. В ней рассмотрен лишь один, но крайне важный аспект. Опыт Алана Аспэ (Aspect) — блестящего экспериментатора и классика квантовой магии, который внес основной вклад в трансформацию ЭПР — мифа в догму. Результаты опытов Аспэ и других были интерпретированы на основе представления о фотонах, как точечных частицах (с обычными оговорками о корпускулярно-волновом дуализме). Оно является ошибочным, т.к. у фотона нет представления Шредингера . Говоря простым языком, для этих частиц понятие пространственных координат лишено смысла. Поэтому нельзя говорить о том, что в определенный момент времени фотон находится в определенном месте. Он может быть локализован в состоянии малого волнового пакета, но в этом случае поляризация теряет смысл. Неявно предполагаемая возможность поляризации точечного фотона легла в основу ложной интерпретации опытов Аспэ. Начнем с краткого описания этих экспериментов (подробности в ).

Использовались флуоресцентные источники каскадного излучения, где атомы испускают пары квантов с интервалом нс. В первых опытах один из фотонов пары имел длину волны 551.3 нм (зеленый свет), а другой 422.7 нм (фиолетовый). Считается, что в каждом каскаде фотоны разлетаются в разные стороны, имея одинаковые направления круговой поляризации — левое или правое с вероятностями , что равносильно пребыванию в суперпозиции двух состояний линейной поляризации в направлениях осей X и Y. Как полагают Аспэ и его последователи, эта пара квантов света рождается в запутанном, поляризационном состоянии. Последнее означает, что если один из фотонов будет обнаружен поляризованным вдоль оси X (для чего достаточно пропустить его через поляризатор с X — ориентацией), то второй автоматически, в то же мгновение окажется в том же состоянии (что можно обнаружить с помощью второго поляризатора). То же самое в отношении оси Y. В этом случае говорят о корреляции между направлениями поляризации фотонов запутанной пары, которую можно измерить.

На схеме пара лазеров возбуждает флуоресцентный источник каскадного излучения, который, по мысли Аспэ, излучает пары запутанных фотонов. Считается, что общее состояние такой пары является запутанным :

(1)

Состояния , отвечают направлениям поляризации вдоль осей координат, состояния , — двум направлениям круговой поляризации кванта (где ).

Каждый из фотонов пары проходит через свой поляризатор (Pol I и Pol II), после чего, пройдя через частотный фильтр, попадает в фотоумножитель (PM I и PM II). Последний, по существу, является детектором одиночных фотонов и работает по принципу электронной лавины, которую инициирует фотоэффект. Схема управления фотоумножителями организована так, что каждая пара квантов детектируется во временном окне около 20 нс. Попадание в него случайной пары фотонов от двух разных атомов маловероятно. Малый интервал между срабатываниями счетчика нс служил признаком регистрации пары фотонов от одного атома. Таким образом, схема почти наверняка зафиксирует только пару, излученную в одном каскаде. Происходит это в среднем 100 раз в секунду. Напомним, что каждая такая пара считается ЭПР — запутанной.

Если теперь за некоторый период времени подсчитать числа пар для случаев, когда один из поляризаторов («левый» или «правый») удален, то можно вычислить коэффициент корреляции между событиями поляризованности левого фотона в заданном направлении , а правого в направлении . Такие измерения позволяют проверить неравенства Белла, а также выявляют корреляцию между поляризациями фотонов каждой пары (для различных направлений и ). Именно это было сделано группой Аспэ.

Итак, опыты основаны на подсчете фотонных пар, пропущенных через поляризаторы. Однако, вместо этого мог иметь место подсчет одиночных квантов, которые достигали двух фотоумножителей в виде волны со сферическим фронтом.

Для состояния с квантовыми числами и , отвечающими оператору момента , собственная функция линейно выражается через векторные поля , которые задают два направления круговой поляризации при каждом . При этом . Для электродипольного излучения при и (опыт Аспэ), согласно (16,23)

(2)

Где (в релятивистской системе единиц), , орты , ортогональны между собой и вектору (см. (16,21) ).

Тогда электрическая компонента поля единичного фотона определяется из уравнения

Из (7,4) следует, что . С учетом этого из (2) получаем:

В силу (16,10) справедливо , где и . Отсюда:

В опытах Аспэ запутанными считались пары фотонов, движущихся в противоположных направлениях. Каждый из двух поляризаторов пропускает через себя часть волны (2), которую можно приближенно считать плоской (3):

(5)

где знаки отвечают двум противоположным направлениям из точки излучения на поляризаторы, — площадь малого сегмента сферы вокруг точки , вещественные константы и определяются в силу (2).

В силу (3) волновые поверхности фотона являются сферами . Из (4) и (5) видно, что эта волна приходит к каждому из двух поляризаторов в одинаковых фазах, хотя и в разные моменты времени в силу различной удаленности от излучателя. При этом угол между вектором и осью каждого поляризатора один и тот же для любой волновой поверхности. Поэтому обе волны (5) взаимодействуют с поляризаторами одинаково, будучи «сегментами» волны фотона. Это и создает иллюзию пары частиц, запутанных в поляризациях. Вернемся в гауссову систему единиц.

На сказанное выше можно возразить, что счетчик фотонов срабатывает дважды в среднем через нс, как и должно быть при излучении каскадов. Однако, время срабатывания фотоумножителя элементарно оценивается нс. В течение этого времени может быть зафиксирован только один фотон. В действительности он является волновым пакетом, который вблизи сферы описывается волной (3). Если размер пакета м, что отвечает допплеровскому уширению спектральной линии , то время прохождения через фотоумножитель имеет порядок интервала между фотонами одного каскада. В условиях опытов Аспэ такое уширение было возможно. Таким образом, до срабатывания пары фотоумножителей на первом фотоне второй не мог быть детектирован, а к моменту, когда оба устройства готовы принять второй фотон, его пакет уже прошел. По-видимому, в большинстве случаев пара фотоумножителей фиксировала только один из двух фотонов каждого каскада.

Заметим также, что в рассматриваемом состоянии направление движения фотона не определено. Это видно из (3), а также связано с тем, что импульс и его момент не коммутируют. Следовательно, аналогии с классической механикой, которые используются в качестве причины состояния (1), здесь неуместны. Кроме того, излучение фотона сопровождается возмущением. После него атом окажется не в состоянии с нулевым моментом, а в суперпозиции собственных состояний момента. Таким образом, законы сохранения не влекут состояние (1) для пары фотонов одного каскада. За время излучения расстояние между ними составит м. Идея о том, что такая пара рождается запутанной, противоречит здравому смыслу. Впрочем, последнее относится ко всей квантовой магии.

Таким образом, результаты опытов Аспэ имеют интерпретацию, которая не связана с ЭПР — запутанностью. Необходимы более точные оценки, но уже есть основания полагать, что в этих экспериментах совместные состояния (1) не наблюдались. Вместо этого имела место регистрация одиночных фотонов, проходящих сразу через два поляризатора. По-видимому, подобным образом можно объяснить все опыты с т.н. запутанными фотонами .

ЭПР — запутанность критически важна для квантовых вычислений. Это понятие является теоретической основой для управления отдельными кубитами и организации параллелизма. Свидетельствами запутанности взаимно удаленных частиц считаются нарушения неравенств Белла. Такие нарушения действительно наблюдаются, но в действительности это означает лишь одно из двух:

a) у квантовых систем нет скрытых параметров, что отвечает квантовой механике и не связано с запутанностью;

b) cкрытые параметры существуют, поэтому измерения одной частицы могут влиять на удаленную другую.

Разумно предположить, что нарушения неравенств Белла влекут за собой a), т.е., квантовая механика не нуждается в скрытых параметрах . Однако, принято считать эти нарушения свидетельствами ЭПР — запутанности фотонных пар. Данная парадигма сформировалась под влиянием работ Аспэ и других ученых, поставивших аналогичные эксперименты. Помимо несомненных нарушений неравенств Белла, в них якобы наблюдались корреляции между направлениями поляризации взаимно удаленных фотонов. Будь это так, для опытной проверки ЭПР — запутанности в неравенствах Белла не было бы необходимости. Стоит заметить, что сам Аспэ, судя по статье х , считал свидетельством запутанности только корреляции. По-видимому, в действительности наблюдалась «корреляция» каждого фотона, попавшего в фотоумножитель, с самим собой. Точнее: он достигал двух фотоумножителей почти одновременно.

В связи со всем этим полезно процитировать Дирака (стр. 25):

«… Пусть мы имеем пучок света, состоящий из большого числа фотонов, который расщепляется на две компоненты одинаковой интенсивности. Сделав предположение о том, что интенсивность пучка связана с вероятным числом фотонов, мы получили бы, что в каждую из компонент попала бы половина от общего числа фотонов. Если далее эти две компоненты будут интерферировать, то мы должны потребовать, чтобы фотон из одной компоненты мог интерферировать с фотоном в другой компоненте. Иногда эти два фотона уничтожались бы, иногда же они превращались бы в четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает эту трудность, считая, что каждый фотон входит отчасти в каждую из двух компонент. Тогда каждый фотон интерферирует лишь с самим собой. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не происходит .»

Аналогичная мысль звучит в цитате из Гейзенберга, которая касается парадокса ЭПР и имеет отношение к интерпретации опытов Аспэ (W. Heisenberg, стр. 34 ).

«В связи с этими рассуждениями здесь должно быть указано на мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном. Вообразим один световой квант, который представлен посредством волнового пакета, построенного из максвеллевских волн и которому, таким образом, приписана известная область пространства и, в смысле соотношений неопределенности, также определенная область частот. Посредством отражения от полупрозрачной пластинки мы можем очевидно легко разложить этот волновой пакет на две части: отраженную и прошедшую. Тогда существует определенная вероятность найти световой квант или в одной, или в другой части волнового пакета. Через достаточно долгое время обе части будут сколько угодно далеко удалены друг от друга. Если теперь посредством опыта будет установлено, что световой квант находится, положим, в отраженной части волнового пакета, то это одновременно даст, что вероятность нахождения светового кванта в другой части равна нулю. Опыт на месте отраженной половины пакета производит тем самым некоторое действие (сведение волнового пакета!) на сколь угодно удаленном расстоянии, где находится другая половина, и легко видеть, что это действие распространяется со сверхсветовой скоростью .»

Таким образом, попытки обнаружить ЭПР — запутанные пары фотонов с помощью интерферометров лишены смысла. Допустим, мы разделили световой луч полупрозрачным зеркалом, после чего пропустили один пучок через поляризатор. Согласно парадигме ЭПР, возникают запутанные пары одинаково поляризованных фотонов из двух пучков. Это может быть проверено через интерференцию, но так как интерферировать каждый фотон будет с самим собой, совпадение измеренных в разных местах поляризаций не может быть истолковано, как ЭПР — запутанность.

Представления о запутанных состояниях взаимно удаленных частиц, восходящие к парадоксу ЭПР, широко популяризованы и уже считаются частью квантовой механики. Одной из целей данной статьи было показать, что фундамента под этим нет. Мыльный пузырь на иллюстрации символизирует волновой фронт фотона с заданным угловым моментом, а также теорию квантовых компьютеров, основанную на ЭПР — запутанности.

1 . A. Aspect. Bell’s theorem: the naive view of an experimentalist, in Quantum speakables — From Bell to Quantum information, 2002, R. A. Bertlmann and A. Zeilinger, Springer, http://www.chronos.msu.ru/old/RREPORTS/aspek_teorema_bella.pdf

2. П.А.М. Дирак. Принципы квантовой механики, 1960, Москва: Физматгиз (перевод английского издания P.A.M. Dirac. The principles of quantum mechanics, 1958, Oxford: Clarendon press), 1932).

3 . В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории, Москва: ГТТИ (перевод немецкого издания W. Heisenberg: Die Physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, 1930, Leipzig).

4 . В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Квантовая электродинамика, Москва: Наука, 1989. . Добавьте в закладки .