Розділи: Математика

Цілі уроку:

Освітня: навчити вирішувати системи показові рівнянь; закріпити навички вирішення рівнянь, що входять до цих систем

Виховна: виховати акуратність.

Розвиваюча: розвинути культуру писемного та усного мовлення.

Обладнання:комп'ютер; мультимедійний проектор.

Хід уроку

Організаційний момент

Вчитель. Сьогодні ми продовжимо вивчення розділу “Показова функція”. Тему уроку сформулюємо трохи згодом. Протягом уроку ви будете заповнювати бланки відповідей, які лежать на столах ( див. додаток №1 ). Відповіді сумуватимуться.

Актуалізація знань.

Учні відповідають питання:

• Який вигляд має показова функція?

Усна робота. Робота зі слайдів з 1 по 5.

• Яке рівняння називається показовим?
• Які методи вирішення вам відомі?

Усна робота з слайдів з 6 по 10.

• Яку властивість показової функції використовують під час вирішення показової нерівності?

Усна робота з слайдів з 11 по 15.

Завдання. Записати відповіді на ці запитання у бланку відповідей №1. ( див. додаток №1 ). (Слайди з 16 по 31)

Перевірка домашнього завдання

.

Домашню роботу перевіряємо в такий спосіб.

Замініть коріння рівнянь на відповідну літеру та відгадайте слово.

Учні дивляться у бланк відповідей №2 ( Додаток 1) . Вчитель демонструє слайд №33

(Учні називають слово (слайд №34)).

• Які явища протікають згідно із законами цієї функції?

Учням пропонується вирішити завдання з ЄДІ В12 (слайд 35) та записати рішення до бланку відповіді №3 ( Додаток 1).

У ході перевірки домашньої роботи та вирішуючи завдання В12, ми повторимо методи вирішення показових зрівнювань.

Учні приходять до висновку, що для вирішення рівняння із двома змінними потрібне ще одне рівняння.

Потім формулюється тема уроку (слайд №37).

У зошитах записується система (слайд №38).

Щоб вирішити цю систему, повторюємо спосіб підстановки (слайд № 39).

Метод складання повторюється під час вирішення системи (слайд з 38 по 39).

Первинне закріплення вивченого матеріалу

:

Учні самостійно вирішують системи рівнянь у бланках відповіді № 4 ( Додаток 1 ), отримуючи індивідуальні консультації вчителя.

Підбиття підсумків. Рефлексія.

Продовжіть фрази.

• Сьогодні на уроці я повторив...
• Сьогодні на уроці я закріпив.
• Сьогодні на уроці я навчився.
• Сьогодні на уроці я дізнався.

Наприкінці уроку учні записують домашнє завдання, здають бланки відповідей

Завдання додому:

№ 59 (парні) та № 62 (парні).

Література

1. Всі завдання групи ЄДІ 3000 завдань - Видавництво "Іспит" Москва, 2011. За редакцією А.Л. Семенова, І.В. Ященко.
2. С.А. Шестаков, П.І. Захаров ЄДІ 2010 математика завдання С1 за редакцією А.Л. Семенова, І.В. Ященко Москва видавництво "МЦНМО".
3. Навчальний посібник Алгебра та початку математичного аналізу, 10 клас Ю.М.Колягін Москва "Освіта", 2008.

Урок та презентація на тему: "Показові рівняння та показові нерівності"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"

Визначення показових рівнянь

Діти, ми вивчили показові функцій, дізналися їх властивості та побудували графіки, розібрали приклади рівнянь, у яких зустрічалися показові функції. Сьогодні ми вивчатимемо показові рівняння та нерівності.

Визначення. Рівняння виду: $a^(f(x))=a^(g(x))$, де $a>0$, $a≠1$ називаються показовими рівняннями.

Згадавши теореми, які ми вивчали у темі "Показова функція", можна запровадити нову теорему:
Теорема. Показове рівняння $a^(f(x))=a^(g(x))$, де $a>0$, $a≠1$ дорівнює рівнянню $f(x)=g(x)$.

Приклади показових рівнянь

приклад.
Розв'язати рівняння:
а) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Рішення.
а) Ми добре знаємо, що $ 27 = 3 ^ 3 $.
Перепишемо наше рівняння: $3^(3x-3)=3^3$.
Скориставшись теоремою вище, отримуємо, що наше рівняння зводиться до рівняння $3х-3=3$, вирішивши це рівняння, отримаємо $х=2$.
Відповідь: $ х = 2 $.

Б) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тоді наше рівняння можна переписати: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$ 2х +0,2 = 0,2 $.
$ х = 0 $.
Відповідь: $ х = 0 $.

В) Вихідне рівняння рівносильне рівнянню: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$x^2-3x-18=0$.
$ (x-6) (x +3) = 0 $.
$x_1=6$ і $x_2=-3$.
Відповідь: $x_1=6$ і $x_2=-3$.

приклад.
Розв'язати рівняння: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Рішення:
Послідовно виконаємо ряд дій і наведемо обидві частини нашого рівняння до однакових підстав.
Виконаємо ряд операцій у лівій частині:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5))(4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)(4)))^x$.
Перейдемо до правої частини:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )=\frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Вихідне рівняння рівносильне рівнянню:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$ x = 0 $.
Відповідь: $ х = 0 $.

приклад.
Розв'язати рівняння: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Рішення:
Перепишемо наше рівняння: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Давайте зробимо заміну змінних, нехай $a=3^x$.
У нових змінних рівняння набуде вигляду: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ та $a_2=3$.
Виконаємо зворотну заміну змінних: $3^x=-12$ і $3^x=3$.
На минулому уроці ми дізналися, що показові вирази можуть набувати лише позитивних значень, згадайте графік. Отже, перше рівняння немає рішень, друге рівняння має одне рішення: $х=1$.
Відповідь: $ х = 1 $.

Давайте складемо пам'ятку способів розв'язання показових рівнянь:
1. графічний метод.Подаємо обидві частини рівняння у вигляді функцій та будуємо їх графіки, знаходимо точки перетинів графіків. (Цим методом ми користувалися на минулому уроці).
2. Принцип рівності показників.Принцип заснований на тому, що два вирази з однаковими основами рівні, тоді і лише тоді, коли рівні ступеня (показники) цих основ. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод заміни змінних.Даний метод варто застосовувати, якщо рівняння при заміні змінних спрощує свій вигляд і набагато легше вирішити.

приклад.
Розв'язати систему рівнянь: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cases)$.
Рішення.
Розглянемо обидва рівняння системи окремо:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Розглянемо друге рівняння:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Скористаємося методом заміни змінних, нехай $y=2^(x+y)$.
Тоді рівняння набуде вигляду:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ і $y_2=-3$.
Перейдемо до початкових змінних, з першого рівняння одержуємо $x+y=2$. Друге рівняння немає рішень. Тоді наша початкова система рівнянь, що дорівнює системі: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cases)$.
Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо: $begin (cases) 2y=-2, x+y=2. \end (cases)$.
$\begin (cases) y=-1, \\x=3. \end (cases)$.
Відповідь: $ (3; -1) $.

Показові нерівності

Перейдемо до нерівностей. При розв'язанні нерівностей необхідно звертати увагу на основу ступеня. Можливі два варіанти розвитку подій під час вирішення нерівностей.

Теорема. Якщо $а>1$, то показова нерівність $a^(f(x))>a^(g(x))$ дорівнює нерівності $f(x)>g(x)$.
Якщо $0 a^(g(x))$ рівносильно нерівності $f(x)

приклад.
Вирішити нерівності:
а) $ 3 ^ (2x +3)> 81 $.
б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) в) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Рішення.
а) $ 3 ^ (2x +3)> 81 $.
$3^(2x+3)>3^4$.
Наша нерівність рівносильна нерівності:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$ x> 0,5 $.

Б) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) У нашому рівнянні основа при ступені менше 1, тоді при заміні нерівності на еквівалентне потрібно змінити символ.
$2x-4>2$.
$x>3$.

В) Наша нерівність еквівалентна нерівності:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Скористаємося інтервальним методом вирішення:
Відповідь: $(-∞;-5]U)