Метод раціоналізації при розв'язанні логарифмічних нерівностей із змінною основою. Метод раціоналізації Метод раціоналізації показових рівнянь

Муніципальна Автономна Загальноосвітня Установа «Ярківська середня загальноосвітня школа»

Навчальний проект

Вирішення логарифмічних нерівностей методом раціоналізації

МАОУ «Ярківська ЗОШ»

Шанських Дар'я

Керівник: учитель математики

МАОУ «Ярківська ЗОШ»

Яркове 2013 р.

1) Вступ………………………………………………………….2

2) Основна частина………………………………………………..3

3) Висновок……………………………………………………..9

4) Список використаної литературы…………….10

5) Додатки…………………………………………………11-12

1. Вступ

Часто, під час вирішення завдань ЄДІ із частини «З», а особливо у завданнях С3, зустрічаються нерівності, що містять логарифмічні висловлювання з невідомим на підставі логарифму. Ось, наприклад, стандартна нерівність:

Як правило, для вирішення подібних завдань використовують класичний метод, тобто застосовується перехід до рівносильної сукупності систем

При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менший за нуль, коли співмножники різних знаків. Т. е. розглядається сукупність двох систем нерівностей, в яких кожна нерівність розпадається ще на сім. Тому можна запропонувати менш трудомісткий метод розв'язання цієї стандартної нерівності. Це метод раціоналізації, відомий у математичній літературі під назвою декомпозиції.

При виконанні проекту мною поставлено такі цілі :

1) Оволодіти даним прийомом рішення

2) Відпрацювати навички рішення на завданнях С3 із тренувальних та діагностичних робіт 2013 р.

Завданням проектує вивчення теоретичного обґрунтування методу раціоналізації.

АктуальністьРобота полягає в тому, що цей метод дозволяє успішно вирішувати логарифмічні нерівності частини С3 ЄДІ з математики.

2. Основна частина

Розглянемо логарифмічну нерівність виду

font-size:14.0pt; line-height:150%">, (1)

де Стандартний метод розв'язання такої нерівності передбачає розбір двох випадків на області допустимих значень нерівності.

В першому випадку, коли підстави логарифмів задовольняють умову

font-size:14.0pt; line-height:150%">, знак нерівності звертається: font-size:14.0pt;line-height:150%">У другому випадку , коли основа задовольняє умові, знак нерівності зберігається: .

На перший погляд – все логічно, розглянемо два випадки і потім поєднаємо відповіді. Щоправда, під час розгляду другого випадку виникає певний дискомфорт – доводиться на 90 відсотків повторювати викладки першого випадку (перетворювати, знаходити коріння допоміжних рівнянь, визначати проміжки монотонності знака). Виникає природне питання – чи можна все це якось об'єднати?

Відповідь це питання міститься у наступній теоремі.

Теорема 1. Логарифмічна нерівність

font-size:14.0pt;line-height:150%">рівносильно наступній системі нерівностей :

font-size:14.0pt; line-height:150%"> (2)

Доказ.

1. Почнемо з того, що перші чотири нерівності системи (2) задають безліч допустимих значень вихідної логарифмічної нерівності. Звернемо тепер увагу на п'яту нерівність. Якщо font-size:14.0pt; line-height:150%">, то перший множник цієї нерівності буде негативним. При скороченні на нього доведеться змінити знак нерівності на протилежний, тоді вийде нерівність .

Якщо ж , то перший множник п'ятої нерівності позитивний, скорочуємо його без зміни знаку нерівності,отримуємо нерівність font-size:14.0pt;line-height: 150%">. Таким чином, п'ята нерівність системи включає обидва випадки попереднього методу.

Терему доведено.

Основні положення теорії методу раціоналізації.

Метод раціоналізації полягає у заміні складного вираження F (x ) більш просте вираз G (x ), при якому нерівність G (x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 у галузі визначення виразу F(x).

Виділимо деякі вирази F та відповідні їм раціоналізуючі вирази G , де u , v , , p , q - Вирази з двома змінними ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - фіксоване число (a > 0, a ≠ 1).

	Вираз F	Вираз G
		(а -1) ( v - φ)

1 б

		)
2 б

Доказ

1. Нехай logav - logaφ > 0, тобто logav > logaφ,причому a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Якщо 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Отже, виконується система нерівностей

a -1<0

v – φ < 0

Звідки випливає нерівність (a – 1)( v – φ ) > 0 вірне на області визначення виразуF = logav - logaφ.

Якщо a > 1, то v > φ . Отже, має місце нерівність ( a – 1)( v – φ )> 0. Назад, якщо виконується нерівність ( a – 1)( v – φ )> 0 на області допустимих значень ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ > 0),то воно на цій галузі рівносильне сукупності двох систем.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

З кожної системи випливає нерівністьlogav > logaφ, тобто logav - logaφ > 0.

Аналогічно, розглядаються нерівності F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Нехай деяке число а> 0 та а≠ 1, тоді маємо

logu v- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1) (φ -u).

4.З нерівності uv- uφ > 0 слід uv > uφ. Нехай число а > 1, тодіloga uv > logauφ або

( u – φ) loga u > 0.

Звідси з урахуванням заміни 1б та умовиa > 1 отримуємо

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Аналогічно доводяться нерівності F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Доказ проводиться аналогічно доказу 4.

6. Підтвердження заміни 6 випливає з рівносильності нерівностей | p | > | q | і p 2 > q 2

(|p |< | q | и p 2 < q 2 ).

Порівняємо обсяг розв'язання нерівності, що містять змінну на підставі логарифму класичним методом та методом раціоналізації

3. Висновок

Вважаю, що задач, які поставила перед собою при виконанні роботи, досягнуто. Проект має практичне значення, оскільки запропонований у роботі метод дозволяє значно спростити розв'язання логарифмічних нерівностей. В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно вдвічі, що економить не тільки час, а й дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок та помилок «по неуважності». Тепер при розв'язанні задач С3 я використовую цей метод.

4. Список використаної літератури

1. , - Методи вирішення нерівностей з однією змінною. - 2011.

2. - Посібник з математики. - 1972.

3. - математика абітурієнту. Москва: МЦНМВ, 2008.

Єжова Олена Сергіївна
Посада:учитель математики
Навчальний заклад:МОУ "ЗОШ №77"
Населений пункт:м.Саратів
Найменування матеріалу:методична розробка
Тема:Метод раціоналізації при вирішенні нерівностей під час підготовки до ЄДІ
Дата публікації: 16.05.2018
Розділ:повна освіта

Очевидно, що ту саму нерівність можна вирішити декількома способами. Вдало

вибраним способом або раціональним способом будь-яке

нерівність вирішиться швидко і легко, вирішення його вийде красивим та цікавим.

Мені хочеться докладніше розглянути так званий метод раціоналізації при

вирішенні логарифмічних та показових нерівностей, а також нерівностей, що містять

змінну під знаком модуля.

Основна ідея методу.

Методом заміни множників вирішуються нерівності, що призводять до виду

Де символ «

» позначає один із чотирьох можливих знаків нерівності:

При розв'язанні нерівності (1) нас цікавить тільки знак будь-якого множника в чисельнику

або знаменнику, а чи не абсолютна його величина. Тому, якщо з якихось причин нам

незручно працювати з цим множником, ми можемо замінити його на інший

знакоспадаючий з ним у галузі визначення нерівності і має у цій галузі

те ж коріння.

Це визначає основну ідею методу заміни множників. Важливо зафіксувати той

факт, що заміна множників здійснюється лише за умови приведення нерівності

до виду (1), тобто коли потрібно порівняти твір з нулем.

Основна частина заміни обумовлена двома наступними рівносильними твердженнями.

Твердження 1. Функція f(x) є строго зростаюча тоді і тільки тоді, коли для

будь-яких значень t

) збігається за

знаку з різницею (f(t

)), тобто, f<=>(t

(↔ означає знакосовпадіння)

Твердження 2. Функція f(x) є строго спадною тоді і тільки тоді, коли для

будь-яких значень t

з області визначення функції різниця (t

) збігається за

знаку з різницею (f(t

)), тобто f ↓<=>(t

Обґрунтування цих тверджень безпосередньо випливає з визначення суворо

монотонної функції. Відповідно до цих тверджень можна встановити, що

Різниця ступенів по тому самому підставі завжди за знаком збігається з

добутком різниці показників цих ступенів на відхилення основи від одиниці,

Різниця логарифмів по тому самому підставі завжди за знаком збігається з

добутком різниці чисел цих логарифмів на відхилення основи від одиниці, то

Той факт, що різниця невід'ємних величин збігається за знаком з різницею

квадратів цих величин, дозволяє здійснити такі заміни:

Розв'яжіть нерівність

Рішення.

Перейдемо до рівносильної системи:

З першої нерівності отримуємо

Друга нерівність виконується за всіх

З третьої нерівності отримуємо

Таким чином, безліч рішень вихідної нерівності:

Розв'яжіть нерівність

Рішення.

Вирішимо нерівність:

Відповідь: (−4; −3)

Вирішити нерівність

Наведемо нерівність до виду, в якому явно видно різницю значень логарифмічної

Замінимо різницю значень логарифмічної функції на різницю значень аргументу. В

чисельнику функція зростаюча, а в знаменнику спадна, тому знак нерівності

зміниться на протилежний. Важливо не забути врахувати область визначення

логарифмічної функції, тому ця нерівність рівносильна системі нерівностей.

Коріння чисельника: 8; 8;

Корінь знаменника: 1

Вирішити нерівність

Замінимо в чисельнику різницю модулів двох функцій різницею їх квадратів, а в

знаменнику різниця значень логарифмічної функції різницею аргументів.

У знаменнику функція спадна, отже, знак нерівності зміниться на

протилежний.

При цьому треба врахувати область визначення логарифмічної

Перше нерівність вирішимо методом інтервалів.

Коріння чисельника:

Коріння знаменника:

Вирішити нерівність

Замінимо в чисельнику та знаменнику різниця значень монотонних функцій різницею

значень аргументів, враховуючи область визначення функцій та характер монотонності.

Коріння чисельника:

Коріння знаменника:

Найчастіше використовувані заміни (без урахування ПРО Д З).

а) Заміна знакопостійних множників.

б) Заміна незнайомих множників з модулем.

в) Заміна незнайомих помножувачів з показовими та логарифмічними

виразами.

Рішення. ОДЗ:

Заміна множників:

Маємо систему:

У цій нерівності вже не можна множники

розглядати як різниці невід'ємних величин, тому що вирази 1

ОДЗ можуть набувати як позитивні так і негативні значення.

Маємо систему:

Заміна множників:

Маємо систему:

Заміна множників:

Маємо систему:

Заміна множників:

Маємо систему:

У результаті маємо: х

Метод раціоналізації(метод декомпозиції, метод заміни множників, метод заміни

функцій, правило знаків) полягає у заміні складного виразу F(x) на більш

простий вираз G(x), при якому нерівність G(x)

0 рівносильно нерівності F (x

0 області визначення виразу F(x).

Розділи: Математика

Практика перевірки екзаменаційних робіт показує, що найбільшу складність для школярів становить розв'язання трансцендентних нерівностей, особливо логарифмічних нерівностей зі змінною основою. Тому пропонований до вашої уваги конспект уроку представляє виклад методу раціоналізації (інші назви – метод декомпозиції (Моденов В.П.), метод заміни множників (Голубєв В.І.)), що дозволяє звести складні логарифмічні, показові, комбіновані нерівності до системи більш простих раціональних нерівностей. Як правило, метод інтервалів стосовно раціональних нерівностей на момент вивчення теми «Рішення логарифмічних нерівностей» добре засвоєний і відпрацьований. Тому учні з великим інтересом і ентузіазмом сприймають ті методи, які дозволяють спростити рішення, зробити його коротшим і, зрештою, заощадити час на ЄДІ для вирішення інших завдань.

Цілі уроку:

Освітня: актуалізація опорних знань під час вирішення логарифмічних нерівностей; запровадження нового способу розв'язання нерівностей; вдосконалення навичок вирішення
Розвиваюча: розвиток математичного кругозору, математичної мови, аналітичного мислення.
Виховна: виховання акуратності та самоконтролю

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент.Вітання. Постановка цілей уроку.

2. Підготовчий етап:

Вирішити нерівності:

3. Перевірка домашнього завдання(№11.81*а)

При розв'язанні нерівності

Вам довелося скористатися наступною схемою розв'язання логарифмічних нерівностей зі змінною основою:

Тобто. треба розглянути 2 випадки: підстава більша за 1 або підстава менша за 1.

4. Пояснення нового матеріалу

Якщо подивитися на ці формули уважно, можна помітити, що знак різниці g(x) – h(x) збігається зі знаком різниці log f(x) g(x) – log f(x) h(x) у разі зростаючої функції ( f(x) > 1, тобто. f(x) – 1 > 0) і протилежний знаку різниці log f(x) g(x) – log f(x) h(x) у разі спадної функції (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Отже, цю сукупність можна звести до системи раціональних нерівностей:

У цьому полягає суть методу раціоналізації – замінити складніший вираз А більш просте вираз У, що є раціональним. При цьому нерівність V 0 буде рівносильно нерівності А V 0 на області визначення виразу А.

приклад 1.Перепишемо нерівність як рівносильної системи раціональних нерівностей.

Зауважу, що умови (1)-(4) є умовами області визначення нерівності, яку я рекомендую знайти на початку розв'язання.

приклад 2.Вирішити нерівність шляхом раціоналізації:

Область визначення нерівності визначається умовами:

Отримаємо:

Залишилось записати нерівність (5)

З урахуванням області визначення

Відповідь: (3; 5)

5. Закріплення вивченого матеріалу

I. Запишіть нерівність у вигляді системи раціональних нерівностей:

ІІ. Уявіть праву частину нерівності у вигляді логарифму за потрібною основою та перейдіть до рівносильної системи:

Вчитель викликає до дошці учнів, які записали системи із групи I і II, і пропонує одному з найсильніших учнів вирішити домашню нерівність (№11.81*а) шляхом раціоналізації.

6. Перевірна робота

Варіант 1

Варіант 2

1. Записати систему раціональних нерівностей для вирішення нерівностей:

2. Вирішити нерівність шляхом раціоналізації

Критерії виставлення оцінок:

3-4 бали – «задовільно»;
5-6 балів – «добре»;
7 балів - "відмінно".

7. Рефлексія

Дайте відповідь на запитання: який з відомих вам методів вирішення логарифмічних нерівностей зі змінною основою дозволить вам раціональніше використовувати час на іспиті?

8. Домашнє завдання:№№11.80* (а,б), 11.81*(а,б), 11.84*(а,б) вирішити шляхом раціоналізації.

Список використаної літератури:

Алгебра та початку аналізу: Навч. Для 11 кл. загальноосвіт. Установ/[С.М. Микільський, М.К. Потапов, Н.М. Решетніков, А.В. Шевкін] - 5-е вид. - М.: Просвітництво, ВАТ «Московські підручники»,2006.
А.Г. Корянов, А.А. Прокоф'єв. Матеріали курсу «Готуємо до ЄДІ хорошистів та відмінників»: лекції 1-4. - М.: Педагогічний університет "Перше вересня", 2012.

Розділи: Математика

Часто, при розв'язанні логарифмічних нерівностей, зустрічаються завдання зі змінною основою логарифму. Так, нерівність виду

є стандартною шкільною нерівністю. Як правило, для його вирішення застосовується перехід до рівносильної сукупності систем:

Недоліком цього способу є необхідність розв'язання семи нерівностей, крім двох систем та однієї сукупності. Вже за даних квадратичних функціях рішення сукупності може вимагати багато часу.

Можна запропонувати альтернативний, менш трудомісткий спосіб розв'язання цієї стандартної нерівності. Для цього врахуємо таку теорему.

Теорема 1. Нехай безперервна зростаюча функція на множині X. Тоді цій множині знак збільшення функції збігатися зі знаком збільшення аргументу, тобто. , де .

Примітка: якщо безперервна спадна функція на множині X, то .

Повернемося до нерівності. Перейдемо до десяткового логарифму (можна переходити до будь-якої з постійною основою більше одиниці).

Тепер можна скористатися теоремою, помітивши в чисельнику збільшення функцій і в знаменнику. Таким чином, вірно

В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно вдвічі, що заощаджує не тільки час, а й дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок та помилок “по неуважності”.

приклад 1.

Порівнюючи з (1) знаходимо , , .

Переходячи до (2) матимемо:

приклад 2.

Порівнюючи з (1) знаходимо , , .

Переходячи до (2) матимемо:

Приклад 3.

Оскільки ліва частина нерівності – зростаюча функція при і , то відповіддю буде безліч.

Багато прикладів, в яких можна застосовувати терему 1 може бути легко розширено, якщо врахувати терему 2.

Нехай на безлічі Xвизначено функції , , , і цьому безлічі знаки і збігаються, тобто. тоді буде справедливо.

Приклад 4.

Приклад 5.

При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менший за нуль, коли співмножники різних знаків. Тобто. розглядається сукупність двох систем нерівностей, у яких, як зазначено на початку, кожна нерівність розпадається ще сім.

Якщо ж врахувати терему 2, то кожен із співмножників, враховуючи (2), можна замінити на іншу функцію, що має той самий знак на даному прикладі О.Д.З.

Метод заміни збільшення функції збільшенням аргументу з урахуванням теореми 2, виявляється дуже зручним при вирішенні типових завдань С3 ЄДІ.

Приклад 6.

Приклад 7.

. Позначимо. Отримаємо

. Зауважимо, що з заміни випливає: . Повертаючись до рівняння, отримаємо .

Приклад 8.

У теоремах, які ми використовуємо, немає обмеження на класи функцій. У цій статті, наприклад, теореми були застосовані до розв'язання логарифмічних нерівностей. Декілька наступних прикладів продемонструють перспективність методу при вирішенні інших видів нерівностей.

Метод раціоналізації дозволяє перейти від нерівності, що містить складні показові, логарифмічні та ін. висловлювання, до рівносильного йому простішому раціональному нерівності.

Тому перш ніж ми почнемо розмову про раціоналізацію в нерівності, поговоримо про рівносильність.

Рівносильність

Рівносильними чи еквівалентниминазиваються рівняння (нерівності), множини коренів яких збігаються. Рівносильними також вважаються рівняння (нерівності), які не мають коріння.

приклад 1.Рівняння і рівносильні, тому що мають одне і те ж коріння.

приклад 2.Рівняння і рівносильні, оскільки рішенням кожного є порожнє безліч.

Приклад 3.Нерівності і рівносильні, тому що рішенням і того, й іншого є безліч.

Приклад 4.і – нерівносильні. Розв'язання другого рівняння є лише 4, а рішенням першого – і 4 та 2.

Приклад 5.Нерівність рівносильне нерівності , оскільки у тому, й у іншому нерівності – рішення – це 6.

Тобто з вигляду рівносильні нерівності (рівняння) може бути дуже далекі від подібності.

По суті, коли ми вирішуємо складні, довгі рівняння (нерівності), на кшталт цього, і отримуємо відповідь, адже у нас в руках виявляється ні що інше, як рівняння (нерівність), рівносильне вихідному. Вигляд різний, а суть одна!

Приклад 6.Згадаймо, як ми вирішували нерівність до знайомства з методом інтервалів. Ми заміняли вихідну нерівність сукупністю двох систем:

Тобто нерівність та остання сукупність – рівносильні між собою.

Також ми могли б, маючи в руках сукупність

замінити її нерівністю , що у дві рахунки вирішується шляхом інтервалів.

Ми впритул підійшли до методу раціоналізації у логарифмічних нерівностях.

Метод раціоналізації у логарифмічних нерівностях

Розглянемо нерівність.

Представляємо 4 у вигляді логарифму:

Ми маємо справу зі змінною основою у логарифму, тому, залежно від того, більше 1 або менше 1 основа логарифму (тобто зі зростаючою або спадною функцією ми маємо справу), знак нерівності збережеться або зміниться на «». Тому виникає сукупність (об'єднання) двох систем:

Але, УВАГА, ця система має вирішуватися з урахуванням ОДЗ! Я спеціально не став навантажувати систему ОДЗ, щоб не загубилася головна думка.

Дивіться, ось ми зараз перепишемо нашу систему так (перенесемо в кожному рядку нерівності все на лівий бік):

Вам це нічого не нагадує? За аналогією з прикладом 6ми цю сукупність систем замінимо нерівністю:

Розв'язавши цю нерівність на ОДЗ ми й отримаємо розв'язання нерівності.

Знайдемо спочатку ОДЗ вихідної нерівності:

Тепер вирішимо

Вирішення останньої нерівності з урахуванням ОДЗ:

Отже, ось вона, ця «чарівна» таблиця:

Зауважимо, таблиця працює за умови

де - функції від ,

- функція або число,

– один із знаків

Зауважимо також, другий і третій рядки таблиці – наслідки першої. У другому рядку 1 представлена як , а третьому – 0 представлений як .

І ще кілька корисних наслідків (сподіваюся, вам неважко зрозуміти звідки вони випливають):

де - функції від ,

- функція або число,

– один із знаків

Метод раціоналізації у показових нерівностях

Вирішимо нерівність.

Вирішення вихідної нерівності рівносильне вирішенню нерівності

Відповідь: .

Таблиця для раціоналізації у показових нерівностях:

– функції від , – функція чи число, – одне із символів Таблиця працює за умови . Також у третьому, четвертому рядках – додатково –

Знову ж таки, по суті, потрібно запам'ятати перший і третій рядки таблиці. Другий рядок – окремий випадок першого, а четвертий рядок – окремий випадок третього.