Пряма y=3x+2 є дотичною до графіка функції y=-12x^2+bx-10. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

Рішення

Нехай x_0 — абсцис точки на графіку функції y=-12x^2+bx-10, якою проходить дотична до цього графіку.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=-24x_0+b=3. З іншого боку, точка торкання належить одночасно і графіку функції та дотичної, тобто -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Отримуємо систему рівнянь \begin(cases) -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Відповідно до умови абсцису точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Відповідь

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) (що є ламаною лінією, що складається з трьох прямолінійних відрізків). Користуючись малюнком, обчисліть F(9)-F(5), де F(x) — одна з першорядних функцій f(x).

Показати рішення

Рішення

За формулою Ньютона-Лейбніца різниця F(9)-F(5), де F(x) — одна з первісних функцій f(x), дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x), прямими y=0 , x=9 та x=5. За графіком визначаємо, що зазначена криволінійна трапеція є трапецією з основами, рівними 4 та 3 та висотою 3 .

Її площа дорівнює \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік y=f"(x) — похідну функцію f(x), визначену на інтервалі (-4; 10). Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Показати рішення

Рішення

Як відомо, функція f(x) зменшується на тих проміжках, у кожній точці яких похідна f"(x) менша за нуль. Враховуючи, що треба знаходити довжину найбільшого з них природно по малюнку виділяються три такі проміжки: (-4; -2) (0; 3);(5; 9).

Довжина найбільшого з них (5; 9) дорівнює 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік y=f"(x) — похідну функцію f(x), визначену на інтервалі (-8; 7). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), що належать до проміжку [-6; -2].

Показати рішення

Рішення

З графіка видно, що похідна f"(x) функції f(x) змінює знак з плюсу на мінус (саме в таких точках буде максимум) рівно в одній точці (між -5 і -4) з проміжку [-6; -2 ] Тому на проміжку [-6;-2] рівно одна точка максимуму.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі (-2; 8). Визначте кількість точок, у яких похідна функції f(x) дорівнює 0 .

Показати рішення

Рішення

Рівність похідної нулю в точці означає, що дотична до графіка функції, проведена в цій точці, паралельна осі Ox. Тому знаходимо такі точки, у яких дотична графіка функції паралельна осі Ox. На цьому графіку такими точками є точки екстремуму (точки максимуму чи мінімуму). Як бачимо, точок екстремуму 5 .

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Пряма y=-3x+4 паралельна до графіки функції y=-x^2+5x-7. Знайдіть абсцис точки торкання.

Показати рішення

Рішення

Кутовий коефіцієнт прямий до графіка функції y=-x^2+5x-7 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=-2x+5, отже, y"(x_0)=-2x_0+5. Кутовий коефіцієнт прямої y=-3x+4, вказаної в умові, дорівнює -3.Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, тому знаходимо таке значення x_0, що =-2x_0 +5=-3.

Отримуємо: x_0 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) та відзначено точки -6, -1, 1, 4 на осі абсцис. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Майстер – клас з математики

У 11 класі

по темі

"ПОХІДНА ФУНКЦІЇ

У ЗАВДАННЯХ ЄДІ»

учитель математики

Мартиненко О.М.

2017-2018 навчальний рік

Мета майстер – класу: розвивати в учнів навичкизастосування теоретичних знань на тему «Виробна функції» для вирішення завдань єдиного державного іспиту.

Завдання

Освітні:узагальнити та систематизувати знання учнів на тему

«Виробна функції», розглянути прототипи завдань ЄДІ на цю тему, надати учням можливість перевірити знання при самостійному розв'язанні задач.

Розвиваючі: сприяти розвитку пам'яті, уваги, навичок самооцінки та самоконтролю; формуванню основних ключових компетенцій (порівняння, зіставлення, класифікація об'єктів, визначення адекватних способів вирішення навчальної задачі на основі заданих алгоритмів, здатність самостійно діяти в ситуації невизначеності, контролювати та оцінювати свою діяльність, знаходити та усувати причини виниклих труднощів).

Виховні: сприяти:

Формування в учнів відповідального ставлення до вчення;

розвитку сталого інтересу до математики;

створення позитивної внутрішньої мотивації до вивчення математики.

Технології: індивідуально-диференційованого навчання, ІКТ.

Методи навчання : словесний, наочний, практичний, проблемний.

Форми роботи: індивідуальна, фронтальна, у парах.

Обладнання та матеріали для уроку:проектор, екран, ПК, тренажер(Додаток №1), презентація до уроку(Додаток №2), індивідуально – диференційовані картки для самостійної роботи у парах(Додаток №3), список сайтів мережі Інтернет, індивідуально-диференційоване домашнє завдання(Додаток №4).

Пояснення до майстер-класу.

Цей майстер – клас проводиться в 11 класі з метою підготовки до ЄДІ. Націлений застосування теоретичного матеріалу на тему «Виробна функції» під час вирішення екзаменаційних завдань.

Тривалість майстер – класу- 20 хвилин.

Структура майстер-класу

I.Організаційний момент -1 хв.

II.Повідомлення теми, цілі майстер-класу, мотивація навчальної діяльності-1 хв.

ІІІ. Фронтальна робота. Тренінг «Завдання №14 БАЗА, №7 ПРОФІЛЬ ЄДІ». Аналіз роботи з тренажером – 7 хв.

IV.Індивідуально – диференційована робота в парах. Самостійне вирішення задач №12. (ПРОФІЛЬ) Взаємоперевірка - 9 хв. Оn - line тестування. (БАЗА) Аналіз результатів тестування - 8 хв

V. Перевірка індивідуального домашнього завдання. -1 хв.

VI. Індивідуально - диференційоване домашнє завдання -1 хв.

VII. КОНТРОЛЬНЕ ТЕСТУВАННЯ 20 ХВИЛИН (4 ВАРІАНТИ)

Хід майстер-класу

I . Організаційний момент.

II . Повідомлення теми, цілі майстер - класу, мотивація навчальної діяльності.

(Слайди 1-2, додаток №2)

Тема нашого заняття «Виробна функція в завданнях ЄДІ». Всім відомий вислів «Мал золотник і дорогий». Одним із таких «золотників» у математиці є похідна. Похідна застосовується під час вирішення багатьох практичних завдань математики, фізики, хімії, економіки та інших дисциплін. Вона дозволяє вирішувати завдання просто, красиво, цікаво.

Тема «Виробна» представлена ​​у завданні № 14 базового рівня та у завданнях профільного рівня №7,12 , 18 та єдиного державного іспиту.

Ви працювали з документами, що регламентують структуру та зміст контрольних вимірювальних матеріалів єдиного державного іспиту з математики 2018. Зробіть висновок про те, які знання та вміння вам потрібні для успішного вирішення завдань ЄДІ на тему «Похідна».

(Слайди 3-4, додаток №2)

Ви вивчили «Кодифікатор елементів змісту за МАТЕМАТИКОЮ для складання контрольних вимірювальних матеріалів для проведення єдиного державного іспиту»,

«Кодифікатор вимог до рівня підготовки випускників», «Специфікацію контрольних вимірювальних матеріалів», «Демонстраційний варіант контрольних вимірювальних матеріалів єдиного державного іспиту 2018» таз'ясували, які знання та вміння про функцію та її похідну потрібні для успішного вирішення завдань на тему «Виробна».

Необхідно

• ЗНАТИ

правила обчислення похідних;

похідні основних елементарних функцій;

геометричний та фізичний сенс похідної;
рівняння дотичної до графіка функції;
Вивчення функції за допомогою похідної.

• ВМІТИ

виконувати дії з функціями (описувати за графіком поведінку та властивості функції, знаходити її найбільше та найменше значення).

• ВИКОРИСТОВУВАТИ

набуті знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті.

Ви маєте теоретичні знання на тему «Виробна». Сьогодні ми будемоВЧИТИСЯ ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ ПРО ВИРОБНИЧУ ФУНКЦІЮ ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАДАЧ ЄДІ.(Слайд 4, додаток №2)

Адже недарма Аристотель казав, що“РОЗУМ ЗАКЛЮЧАЄТЬСЯ НЕ ТІЛЬКИ У ЗНАНІ, АЛЕ І В УМІННІ ЗАСТОСУВАННЯ ЗНАНЬ НА ПРАКТИЦІ”(Слайд 5, додаток №2)

Наприкінці уроку ми повернемося до мети нашого заняття та з'ясуємо, чи досягли її?

III . Фронтальна робота.Тренінг «Завдання №14 БАЗА №7 ПРОФІЛЬ ЄДІ» (Додаток №1). Аналіз роботи із тренажером.

Виберіть правильну відповідь із чотирьох запропонованих.

У чому, на вашу думку, складність виконання завдання №7?

Як ви вважаєте, яких типових помилок припускаються випускники на іспиті при вирішенні цього завдання?

При відповіді питання завдання № 14 БАЗА І №7 ПРОФІЛЬ ви повинні вміти описувати за графіком похідної поведінка і властивості функції, а, по графіку функції – поведінка і властивості похідної функції. А для цього потрібні добрі теоретичні знання за такими темами: «Геометричний та механічний сенс похідної. Щодо графіка функції. Застосування похідної дослідження функцій».

Проаналізуйте, які завдання викликали у вас труднощі?

Які теоретичні питання вам потрібно знати?

IV. Оn – line тестування за завданнями №14 (БАЗА)Аналіз результатів тестування.

Сайт для тестування на уроці:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Хто не припустився помилок?

Хто відчував труднощі під час тестування? Чому?

У яких завданнях припущено помилки?

Зробіть висновок, які теоретичні питання вам потрібно знати?

Індивідуально – диференційована робота в парах. Самостійне вирішення задач №12. (ПРОФІЛЬ)Взаємоперевірка.(Додаток №3)

Згадайте алгоритм розв'язання задач №12 ЄДІ на знаходження точок екстремуму, екстремумів функції, найбільшого та найменшого значень функції на проміжку за допомогою похідної.

Розв'яжіть завдання за допомогою похідної

Перед учнями поставлено проблему:

«Подумайте, чи можна вирішити деякі завдання №12 в інший спосіб, без застосування похідної?»

1 пара

2 пари

3 пари

4 пари

(Учні захищають своє рішення, записуючи основні етапи розв'язання задач на дошці. Учні надають два способи вирішення задачі №2).

Вирішення проблеми. Висновок, який мають зробити учні:

«Деякі завдання №12 ЄДІ на знаходження найменшого та найбільшого значення функції можна вирішити без застосування похідної, спираючись на властивості функцій».

Проаналізуйте, яка помилка була допущена вами завдання?

Які теоретичні питання вам потрібно повторити?

V. Перевірка індивідуального домашнього завдання. (Слайди 7-8, додаток №2)

Вегельману В. було дано індивідуальне домашнє завдання: із посібників з підготовки до ЄДІ № 18.

(Учня наводить розв'язання задачі, спираючись на функціонально - графічний метод, як один із методів розв'язання задач № 18 ЄДІ та дає коротке пояснення даного методу).

VII. Індивідуально – диференційоване домашнє завдання

(Слайд 9, додаток №2), (Додаток №4).

Я підготувала список сайтів Інтернету для підготовки до ЄДІ. Ви також можете проходити на цих сайтах Оn – line тестування. До наступного уроку потрібно: 1) повторити теоретичний матеріал на тему «Виробна функції»;

2) на сайті «Відкритий банк завдань з математики» (http://mathege.ru/ ) знайти прототипи завдань № 14 БАЗА І №7 та 12 ПРОФІЛЬ та вирішити не менше 10 завдань ПРОФІЛЬ;

3) Вегельман В., вирішити завдання з параметрами (ДОДАТОК 4). Завдання 1-8 (варіант 1).БАЗОВИЙ РІВЕНЬ

VIII. Оцінки за урок.

Яку оцінку за урок ти собі поставив?

Як ти думаєш, чи можна було б тобі працювати на уроці краще?

ІХ. Підсумок уроку. Рефлексія

Підіб'ємо підсумок нашої роботи. Якою була мета уроку? Як ви вважаєте, чи досягнуто її?

Подивіться на дошку та однією пропозицією, вибираючи початок фрази, продовжіть пропозицію, яка вам найбільше підходить.

Я відчув…

Я навчився…

У мене вийшло …

Я зміг…

Я спробую …

Мене здивувало, що …

Мені захотілось…

Чи можете ви сказати, що під час уроку відбулося збагачення запасу ваших знань?

Отже, ви повторили теоретичні питання про похідну функцію, застосували свої знання при вирішенні прототипів завдань ЄДІ (№ 14 БАЗОВИЙ РІВЕНЬ №7,12 ПРОФІЛЬНИЙ РІВЕНЬ), а уч-ся Вегельман В. виконала завдання №18 з параметром, яке є завданням підвищеного складності.

Мені приємно було з вами працювати, і сподіваюся, що знання, отримані на уроках математики, ви зможете успішно застосувати не тільки при здачі ЄДІ, а й у подальшому навчанні.

Закінчити урок мені хотілося б словами італійського філософаХоми Аквінського«Знання – така дорогоцінна річ, що його не соромно видобувати з будь-якого джерела»(Слайд 10, додаток №2).

Бажаю успіхів у підготовці до ЄДІ!

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Готуємося до ЄДІ ТРЕНАЖЕР на тему «ВИРОБНИЧА» Завдання № 14 базовий рівень, №7, 12 профільний рівень

f(x) f / (x) x На малюнку зображено графік похідної функції у = f(x) , заданої на проміжку (-8; 8). Досліджуємо властивості графіка і ми зможемо відповісти на безліч питань про властивості функції, хоча графіка самої функції не представлено! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Знайдемо точки , В яких f / (x) = 0 (це нулі функції). + – – + +

ЗАВДАННЯ № 14 Математика базовий рівень

На малюнку зображено графік функції y=f(x) та відзначено точки A, B, C та D на осі Ox. Користуючись графіком, поставте у відповідність кожній точці характеристики функції та її похідної. ABCD 1) значення функції у точці негативно, а значення похідної функції у точці позитивно 2) значення функції у точці позитивно, а значення похідної функції у точці негативно 3) значення функції у точці негативно, і значення похідної функції у точці негативно 4) значення функції у точці позитивно, і значення похідної функції у точці позитивно

№ 1 На малюнку зображено графік функції y = f (x) і відзначені точки A, B, C і D на осі Ox. Користуючись графіком, поставте у відповідність кожній точці характеристики функції та її похідної. 1) значення функції у точці позитивно, а значення похідної функції у точці негативно 2) значення функції у точці негативно, і значення похідної функції у точці негативно 3) значення функції у точці позитивно, і значення похідної функції у точці позитивно 4) значення функції в точці негативно, а значення похідної функції у точці позитивно ABCD

На малюнку зображено графік функції y=f(x). Точки a, b, c, d та e задають на осі Ox інтервали. Користуючись графіком, поставте у відповідність до кожного інтервалу характеристику функції або її похідної. А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e) 1) значення функції позитивні в кожній точці інтервалу 2) значення похідної функції негативні в кожній точці інтервалу 3) значення похідної функції позитивні в кожній точці інтервалу 4) значення функції негативні в кожній точці інтервалу

На малюнку зображено графік функції y=f(x). Числа a, b, c, d та e задають на осі Ox інтервали. Користуючись графіком, поставте у відповідність до кожного інтервалу характеристику функції або її похідної. А) (a;b) Б) (b;c) В) (c;d) Г) (d;e) 1) значення функції позитивні в кожній точці інтервалу 2) значення функції негативні в кожній точці інтервалу 3) значення похідної функції негативні в кожній точці інтервалу 4) значення похідної функції позитивні в кожній точці інтервалу

На малюнку зображені графік функції та дотичні, проведені до нього в точках з абсцисами A, B, C та D. A B C D 1) − 1,5 2) 0,5 3) 2 4) − 0,3

На малюнку зображені графік функції та дотичні, проведені до нього в точках з абсцисами A, B, C та D. A B C D 1) 23 2) − 12 3) − 113 4) 123

ЗАВДАННЯ № 7 Математика профільний рівень

Завдання на геометричний сенс похідної

1) На малюнку зображено графік функції у = f(x) і дотична до нього в точці з абсцисою х0. Знайдіть значення похідної у точці х 0 . -2 -0,5 2 0,5 Подумай! Подумай! Правильно! Подумай! х 0 Геометричний сенс похідної: k = tg α Кут нахилу дотичної до осі Ох тупий, значить k

5 11 8 2) Безперервна функція у = f(x) задана на інтервалі (-6; 7). На малюнку зображено її графік. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої y = 6. Перевірка y = f(x) y x 3 Подумай! Подумай! Подумай! Правильно! - 6 7 y = 6 . Точка зламу. У цій точці похідна НЕ існує! Про -4 3 5 1,5

Завдання визначення характеристик функції за графіком її похідної

3) На рисунку зображено графік похідної функції у = f / (x), заданої на проміжку (-6; 8). Дослідіть функцію у = f (x) на екстремум і вкажіть кількість її точок екстремуму. 2 1 4 5 Не вірно! Не вірно! Правильно! Не вірно! Перевірка (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 х 5) На малюнку зображено графік похідної функції, заданої на проміжку [-5;5] . Досліджуйте функцію на монотонність та вкажіть найбільшу точку максимуму. 3 2 4 5 Подумай! Подумай! Правильно! Подумай! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 З двох точок максимуму найбільша х max = 3 max max y

7) На малюнку зображено графік похідної функції. Знайдіть довжину проміжку зростання цієї функції. Перевірка О -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 ПОДУМАЙ! + ПОДУМАЙ! Правильно! ПОДУМАЙ! y х 3 y = f/(x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 х 6) На малюнку зображено графік похідної функції, заданої на проміжку [-5; 5] . Дослідіть функцію у = f (x) на монотонність та вкажіть число проміжків зменшення. 3 2 4 1 Подумай! Подумай! Правильно! Подумай! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

Завдання визначення характеристик похідної за графіком функції.

На малюнку зображено графік диференційованої функції y = f(x). На осі абсцис відзначені дев'ять точок: x 1 x 2 ... x 9 . Знайдіть усі зазначені точки, у яких похідна функції f(x) є негативною. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

На малюнку зображено графік функції y = f (x), визначеної на інтервалі (a; b). Визначте кількість цілих точок, де похідна функції позитивна. a) б) Вирішіть самостійно! Рішення. якщо зростає. Цілі рішення за: х=-2; х=-1; х = 5; х = 6. Їх кількість дорівнює 4. Цілі рішення за: х=2; х = 3; х = 4; х = 10; х = 11. Їхня кількість дорівнює 5. Відповідь: 4. Відповідь: 5.

Завдання на фізичний сенс похідної

Відповідь: 3 Відповідь: 14

ЗАВДАННЯ № 12 Математика профільний рівень

Самостійна робота в парах Завдання № 12 Профільний рівень

Попередній перегляд:

Додаток 3 індивідуальні картки № 12

1. Знайдіть точку максимуму функції1 Знайдіть точку мінімуму функції

2. Знайдіть точку максимуму функції2Знайдіть точку мінімуму функції

Лінник Д. Вовненко Я

1. Знайдіть найменше значення функції1. Знайдіть найбільше значення функціїна відрізку

на відрізку

Вегельман Ст.

Логвінюк О.

1. Знайдіть точку максимуму функції1. Знайдіть точку мінімуму функції

2. Знайдіть найменше значення функції2. Знайдіть найбільше значення функціїна відрізку

На відрізку

Леонтьєва А. Ісаєнко К.

ПОЗААУДИТОРНА ПРАКТИЧНА РОБОТА 2

Перетворення графіків функцій.

Ціль

Побудуйте графіки функцій, використовуючи різні перетворення, дайте відповідь на питання задачі.

Виконання роботи

Методичні вказівки

Робота розрахована на 10 варіантів, номер варіанта співпадає з останньою цифрою порядкового номера у списку. Наприклад, 1, 11, 21, 31 ... виконують 1 варіант, 2, 12, 22 ... - 2 варіант, і т.д.

Робота складається з двох частин: перша частина завдання 1 - 5, це завдання, які обов'язково потрібно виконати, щоб отримати залік, якщо ці завдання виконані з помилкою, необхідно їх виправити і знову здати роботу на перевірку. Друга частина містить завдання, виконавши які, ви можете заробити додаткову оцінку: основна частина +2 завдання – «4», основна частина +3 завдання – «5».

Завдання 1. Графіком лінійної функції є пряма, на її побудови досить двох точок. (Значення аргументу х беремо довільно, а значення функції у, вважаємо підставляючи в формулу).

Щоб перевірити, чи проходить графік функції через зазначену точку, потрібно координати точки підставити замість х і у, якщо отримали правильну рівність, то пряма проходить через зазначену точку, інакше – не проходить.

Завдання 2, 3, 4. Графіки зазначених функцій виходять із графіків функцій , використовуючи зсув вздовж осі х або у.

, спочатку будуємо графік функції або , потім зрушуємо його на "а" одиниць вправо або вліво (+а - вліво, - а вправо), потім зрушуємо на "в" одиниць вгору або вниз (+в - вгору, -в - вниз)

Аналогічно з іншими функціями:

Завдання 5 Щоб побудувати графік функції: , потрібно: 1) побудувати графік функції 2) частина графіка яка знаходиться вище осі х залишити без зміни; 3) частина графіка, яка знаходиться нижче осі х дзеркально відобразити.

Завдання для самостійного вирішення.

Обов'язкова частина

Завдання 1. Побудуйте графік лінійної функції, визначте, чи проходить графік функції через цю точку:

Завдання 2. Побудуйте графік квадратичної функції, вкажіть безліч значень цієї функції.

Завдання 3. Побудуйте графік функції, визначте, зростає чи зменшується зазначена функція.

Завдання 4. Побудуйте графік функції, дайте відповідь на питання задачі.

Завдання 5. Побудуйте графік функцій, що містить знак модуля.

Завдання на додаткову оцінку.

Завдання 6. Побудуйте графік функції, заданої шматково, визначте, чи є точка розриву цієї функції:

Завдання 7. Визначте, скільки розв'язків має система рівнянь, чи обґрунтуйте. Зробіть висновки, відповівши на запитання.

Графіки яких функцій ви будували у цій роботі?

Як називається графік лінійної функції?

Як називається графік квадратичної функції?

Які перетворення графіків ви знаєте?

Як у системі координат розташовується графік парної функції? Графік непарної функції?

Похідної функції $y = f(x)$ в даній точці $х_0$ називають межу відношення збільшення функції до відповідного збільшення його аргументу за умови, що останнє прагне до нуля:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Диференціюванням називають операцію знаходження похідної.

Таблиця похідних деяких елементарних функцій

Функція	Похідна
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Основні правила диференціювання

1. Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Знайти похідну функції $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Похідна робота

$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$

Знайти похідну $f(x)=4x·cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Похідна приватного

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)")/(g^2(x)) $

Знайти похідну $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5·e^x)/((e^x)^2)$

4. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції

$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Фізичний сенс похідної

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно та її координата змінюється залежно від часу за законом $x(t)$, то миттєва швидкість цієї точки дорівнює похідної функції.

Крапка рухається по координатній прямій згідно із законом $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, де $x(t)$ - координата в момент часу $t$. У який момент часу швидкість точки дорівнює $12$?

1. Швидкість – це похідна від $x(t)$, тому знайдемо похідну заданої функції

$v(t) = x"(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3$

2. Щоб знайти, в який момент часу $t$ швидкість дорівнювала $12$, складемо і вирішимо рівняння:

Геометричний сенс похідної

Нагадаємо, що рівняння прямої, не паралельної до осей координат, можна записати у вигляді $y = kx + b$, де $k$ – кутовий коефіцієнт прямої. Коефіцієнт $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу між прямим і позитивним напрямком осі $Ох$.

Похідна функції $f(x)$ у точці $х_0$ дорівнює кутовому коефіцієнту $k$, що стосується графіка в даній точці:

Отже, можемо скласти загальну рівність:

$f"(x_0) = k = tgα$

На малюнку, що стосується функції $f(x)$ зростає, отже, коефіцієнт $k > 0$. Оскільки $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Кут $α$ між дотичною та позитивним напрямком $Ох$ гострий.

На малюнку, що стосується функції $f(x)$ убуває, отже, коефіцієнт $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На малюнку, що стосується функції $f(x)$ паралельна осі $Ох$, отже, коефіцієнт $k = 0$, отже, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в якій $f "(x_0) = 0$, називається екстремумом.

На малюнку зображено графік функції $y=f(x)$ і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою $x_0$. Знайдіть значення похідної функції $f(x)$ у точці $x_0$.

Щодо графіка зростає, отже, $f"(x_0) = tg α > 0$

Для того, щоб знайти $f"(x_0)$, знайдемо тангенс кута нахилу між дотичною та позитивним напрямком осі $Ох$. Для цього добудуємо дотичну до трикутника $АВС$.

Знайдемо тангенс кута $ВАС$. (Тангенсом гострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$

$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25 $

Відповідь: $0,25$

Похідна так само застосовується для знаходження проміжків зростання та зменшення функції:

Якщо $f"(x) > 0$ на проміжку, то функція $f(x)$ зростає у цьому проміжку.

Якщо $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На малюнку зображено графік функції $ y = f (x) $. Знайдіть серед точок $х_1,х_2,х_3…х_7$ ті точки, у яких похідна функції негативна.

У відповідь напишіть кількість даних точок.

У завданні №13 ЄДІ з математики базового рівня доведеться продемонструвати вміння та знання одного з понять поведінки функції: похідних у точці або швидкостей зростання чи спадання. Теорія до цього завдання буде додано трохи згодом, але це завадить нам докладно розібрати кілька типових варіантів.

Розбір типових варіантів завдань №14 ЄДІ з математики базового рівня

Варіант 14МБ1

На графіку зображено залежність температури від часу у процесі розігріву двигуна легкового автомобіля. На горизонтальній осі відзначено час у хвилинах, що минув з моменту запуску двигуна; на вертикальній осі – температура двигуна у градусах Цельсія.

Користуючись графіком, поставте у відповідність до кожного інтервалу часу характеристику процесу розігріву двигуна на цьому інтервалі.

У таблиці під кожною літерою вкажіть відповідний номер.

Алгоритм виконання:

1. Вибрати інтервал часу, коли температура падала.
2. Прикласти лінійку до 30°З визначити інтервал часу, на якому температура була нижче 30°С.

Рішення:

Виберемо інтервал часу, у якому температура падала. Ця ділянка видно не озброєним оком, вона починається за 8 хв від моменту запуску двигуна.

Докладемо лінійку до 30°С і визначити інтервал часу, на якому температура була нижчою за 30°С.

Нижче за лінійку виявиться ділянка, що відповідає інтервалу часу 0 – 1 хв.

За допомогою олівця та лінійки знайдемо на якому інтервалі часу температура була в межах від 40°С до 80°С.

Опустимо з точок, відповідних 40°З 80°С перпендикуляри на графік, та якщо з отриманих точок опустимо перпендикуляри на вісь часу.

Бачимо, що цьому температурному інтервалу відповідає інтервал часу 3 – 6,5 хв. Тобто із наведених за умови 3 – 6 хв.

Методом виключення виберемо варіант відповіді.

Варіант 14МБ2

Рішення:

Проаналізуємо графік функції А. Якщо функція зростає, то похідна позитивна і навпаки. Похідна функції дорівнює нулю в точках екстремуму.

Спочатку функція А збільшується, тобто. похідна позитивна. Цьому відповідають графіки похідних 2 і 3. У точці максимуму функції x=-2, тобто в цій точці похідна повинна дорівнювати нулю. Цій умові відповідає графік під номером 3.

Спочатку функція Б зменшується, тобто. похідна негативна. Цьому відповідають графіки похідних 1 і 4. Точка максимуму функції x=-2, тобто в цій точці похідна повинна дорівнювати нулю. Цій умові відповідає графік під номером 4.

Спочатку функція зростає, тобто. похідна позитивна. Цьому відповідають графіки похідних 2 і 3. Точка максимуму функції x = 1, тобто в даній точці похідна повинна дорівнювати нулю. Цій умові відповідає графік під номером 2.

Методом виключення можемо визначити, що графік функції Г відповідає графік похідної під номером 1.

Відповідь: 3421.

Варіант 14МБ3

Алгоритм виконання кожної з функцій:

1. Визначити проміжки зростання та зменшення функцій.
2. Визначити точки максимуму та точки мінімуму функцій.
3. Зробити висновки, поставити у відповідність запропоновані графіки.

Рішення:

Проаналізуємо графік функції А.

Якщо функція зростає, то похідна позитивна і навпаки. Похідна функції дорівнює нулю в точках екстремуму.

Точка екстремуму – це точка, у якій досягається максимальне чи мінімальне значення функції.

Спочатку функція А збільшується, тобто. похідна позитивна. Цьому відповідають графіки похідних 3 і 4. У точці максимуму функції x=0, тобто в цій точці похідна повинна дорівнювати нулю. Цій умові відповідає графік під номером 4.

Проаналізуємо графік функції Б.

Спочатку функція Б зменшується, тобто. похідна негативна. Цьому відповідають графіки похідних 1 і 2. Точка мінімуму функції x=-1, тобто в даній точці похідна повинна дорівнювати нулю. Цій умові відповідає графік під номером 2.

Проаналізуємо графік функції.

Спочатку функція У меншає, тобто. похідна негативна. Цьому відповідають графіки похідних 1 і 2. Точка мінімуму функції x = 0, тобто в даній точці похідна повинна дорівнювати нулю. Цій умові відповідає графік під номером 1.

Методом виключення можемо визначити, що графік функції Г відповідає графік похідної під номером 3.

Відповідь: 4213.

Варіант 14МБ4

На малюнку зображено графік функції та дотичні, проведені до нього в точках з абсцисами А, В, С та D.У правому стовпці вказані значення похідної в точках А, В, С і D. Користуючись графіком, поставте у відповідність до кожної точки значення похідної функції в ній.

ТОЧКИ
А
В
З
D

ЗНАЧЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Згадаймо, що означає похідна, а саме її значення в точці значення функції похідної у точці дорівнює тангенсу кута нахилу (коефіцієнту) дотичної.

У відповідях у нас є два позитивні, і два негативні варіанти. Як ми пам'ятаємо, якщо коефіцієнт прямої (графіка y = kx+b) Позитивний - то пряма зростає, якщо ж він негативний - то пряма зменшується.

Зростаючих прямих у нас дві — у точці A і D. Тепер згадаємо, що означає значення коефіцієнта k?

Коефіцієнт k показує, наскільки швидко зростає чи зменшується функція (насправді коефіцієнт k сам є похідною функції y = kx+ b).

Тому k = 2/3 відповідає більш пологій прямий - D, а k = 3 - A.

Аналогічно і у випадку з негативними значеннями: точці B відповідає крутіша пряма з k = - 4, а точці С - -1/2.

Варіант 14МБ5

На малюнку крапками показані обсяги місячних продажів обігрівачів у магазині побутової техніки. По горизонталі вказуються місяці, по вертикалі кількість проданих обігрівачів. Для наочності крапки з'єднані лінією.

Користуючись малюнком, поставте у відповідність кожному із зазначених періодів часу характеристику продажів обігрівачів.

Алгоритм виконання

Аналізуємо частини графіка, що відповідають різним часом року. Формулюємо ситуації, що відображаються на графіку. Знаходимо їм найбільш підходящі варіанти відповідей.

Рішення:

Взимку кількість продажів перевищила 120 шт./міс., причому вона постійно збільшувалася. Ця ситуація відповідає варіанту відповіді №3. Тобто. отримуємо: А-3.

Навесні продажі поступово впали зі 120 обігрівачів за місяць до 50. Найбільш наближеним до цього формулювання є варіант №2. Маємо: Б-2.

Влітку кількість продажів не змінювалася і була мінімальною. 2-а частина цього формулювання не відображена у відповідях, а першої підходить лише №4. Звідси маємо: В 4.

Восени продажі зростали, проте їх кількість в жодному з місяців не перевищила 100 штук. Ця ситуація описана у варіанті №1. Отримуємо: Г-1.

Варіант 14МБ6

На графіці зображено залежність швидкості руху рейсового автобуса від часу. На вертикальній осі відзначено швидкість автобуса в км/год, на горизонтальній – час у хвилинах, що минув від початку руху автобуса.

Користуючись графіком, поставте у відповідність до кожного інтервалу часу характеристику руху автобуса на цьому інтервалі.

Алгоритм виконання

1. Визначаємо ціну розподілу на горизонтальній та на вертикальній шкалі.
2. Аналізуємо по черзі запропоновані твердження 1–4 із правої колонки («Характеристики»). Зіставляємо їх з часовими інтервалами з лівої колонки таблиці, знаходимо пари «літера-число» для відповіді.

Рішення:

Ціна поділу горизонтальної шкали становить 1 с, вертикальної – 20 км/год.

1. Коли автобус робить зупинку, його швидкість дорівнює 0. Нульову швидкість протягом 2 хвилин поспіль автобус мав лише з 9-ї по 11-у хвилину. Цей час потрапляє до інтервалу 8–12 хв. Отже, маємо пару для відповіді: Б-1.
2. Швидкість 20 км/год і більше автобуса мала протягом декількох тимчасових проміжків. Причому варіант А тут не підходить, тому що, наприклад, на 7-й хвилині швидкість становила 60 км/год, варіант Б – тому що він уже застосований, варіант Г – тому що на початку та наприкінці проміжку автобус мав нульову швидкість . В даному випадку підходить варіант (12-16 хв); на цьому проміжку автобус починає рух зі швидкістю 40 км/год, далі прискорюється до 100 км/м і потім поступово знижує швидкість до 20 км/год. Отже, маємо: В 2.
3. Тут встановлено обмеження швидкості. При цьому варіанти Б та В ми не розглядаємо. Інші інтервали А і Г, що залишилися, підходять обидва. Тому правильно буде розглянути спочатку 4-й варіант, а потім знову повернутися до 3-го.
4. З двох інтервалів, що залишилися, для характеристики №4 підходить лише 4–8 хв, оскільки на цьому проміжку зупинка була (на 6-й хвилині). На проміжку 18-22 хв зупинок не було. Отримуємо: А-4. Звідси випливає, що з характеристики №3 необхідно взяти інтервал Р, тобто. виходить пара Г-3.

Варіант 14МБ7

На малюнку крапками показано приріст населення Китаю в період з 2004 по 2013 рік. По горизонталі вказується рік, по вертикалі – приріст населення у відсотках (збільшення чисельності населення щодо минулого року). Для наочності крапки з'єднані лінією.

Користуючись малюнком, поставте у відповідність кожному із зазначених періодів часу характеристику приросту населення Китаю в цей період.

Алгоритм виконання

1. Визначаємо ціну поділу вертикальної шкали малюнка. Знаходиться вона як різниця пари сусідніх значень шкали, поділена на 2 (т.к. між двома сусідніми значеннями є 2 поділки).
2. Аналізуємо послідовно наведені за умови характеристики 1–4 (ліва таблична колонка). Зіставляємо кожну з них з конкретним періодом часу (права таблична колонка).

Рішення:

Ціна поділу вертикальної шкали становить 0,01%.

1. Падіння приросту безперервно тривало з 2004 до 2010 року. У 2010-2011 роках приріст був стабільно мінімальним, і починаючи з 2012 року він почав збільшуватися. Тобто. зупинка приросту сталася у 2010 році. Цей рік перебуває у періоді 2009–2011 років. Відповідно, маємо: В 1.
2. Найбільшим падінням приросту слід вважати «круто» падаючу лінію графіка на малюнку. Вона припадає на період 2006-2007 років. і становить 0,04%, за рік (0,59–0,56=0,04% у 2006 р. та 0,56–0,52=0,04% у 2007 р.). Звідси отримуємо: А-2.
3. Зазначений у характеристиці №3 приріст розпочався з 2007 року, продовжився у 2008 р. та завершився у 2009 році. Це відповідає періоду часу Б, тобто. маємо: Б-3.
4. Приріст населення почав збільшуватися після 2011, тобто. у 2012–2013 роках. Тому отримуємо: Г-4.

Варіант 14МБ8

На малюнку зображені графік функції та дотичні, проведені до нього в точках з абсцис А,В,С і D.

У правому стовпці вказані значення похідної функції в точках А, В, С і D. Користуючись графіком, поставте у відповідність до кожної точки значення похідної функції в ній.

Алгоритм виконання

1. Розглядаємо пару дотичних, що мають гострий кут з покладеним напрямом осі абсцис. Порівнюємо їх, знаходимо відповідність серед пари відповідних похідних значень.
2. Розглядаємо пару дотичних, що утворюють з покладеним напрямом осі абсцис тупий кут. Порівнюємо їх за модулем, визначаємо відповідність їх значенням похідних серед двох, що залишилися у правій колонці.

Рішення:

Гострий кут з положит.напрямком осі абсцис утворюють похідні в т.в і т.с. Ці похідні мають поклад.значення. Тому вибирати тут слід між значеннями №№1 і 3. Застосовуючи правило у тому, що й кут менше 45 0 , то похідна менше 1, і якщо більше, то більше 1, робимо висновок: в т.в похідна по модулю більше 1, в т.з – менше 1. Це означає, що можна скласти пари для відповіді: У 3і З 1.

Похідні в т.А і т.D утворюють з поклад.напрямком осі абсцис тупий кут. І тут застосовуємо те саме правило, трохи перефразувавши його: чим більша дотична в точці «притиснута» до лінії осі абсцис (до запереч. її напрямку), тим більше вона за модулем. Тоді отримуємо: похідна в т.а. по модулю менше, ніж похідна в т.d. Звідси маємо пари для відповіді: А-2і D-4.

Варіант 14МБ9

На малюнку крапками показано середньодобову температуру повітря в Москві в січні 2011 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – температура градусів Цельсія. Для наочності крапки з'єднані лінією.

Користуючись малюнком, поставте у відповідність кожному із зазначених періодів часу характеристику зміни температури.

Алгоритм виконання

Аналізуємо послідовно характеристики 1-4 (права колонка), використовуючи графік малюнку. Ставимо кожної з них у відповідність конкретний часовий період (ліва колонка).

Рішення:

1. Зростання температури спостерігалося лише наприкінці періоду 22–28 січня. Тут 27 та 28 числа вона підвищувалася відповідно на 1 та на 2 градуси. Наприкінці періоду 1–7 січня температура була стабільною (–10 градусів), наприкінці 8–14 та 15–21 січня знижувалася (з –1 до –2 та з –11 до –12 градусів відповідно). Тому отримуємо: Г-1.
2. Оскільки кожен тимчасовий період охоплює 7 днів, то потрібно аналізувати температуру, починаючи з 4-го дня кожного періоду. Незмінною протягом 3-4 днів температура була лише з 4 до 7 січня. Тому отримуємо відповідь: А-2.
3. Місячний мінімум температури спостерігався 17 січня. Це число входить у період 15-21 січня. Звідси маємо пару: У 3.
4. Температурний максимум припав 10 січня і становив +1 градус. Ця дата потрапляє у період 8–14 січня. Отже, маємо: Б-4.

Варіант 14МБ10

Алгоритм виконання

1. Значення функції в точці позитивне, якщо ця точка розташована вище за осю Ох.
2. Похідна в точці більша за нуль, якщо дотична до цієї точки утворює гострий кут з позитивним напрямком осі Ох.

Рішення:

Точка А. Вона перебуває нижче осі Ох, отже значення функції у ній негативно. Якщо провести у ній дотичну, то кут між нею і положит.направлением Ох становитиме близько 90 0 , тобто. утворює гострий кут. Отже, у разі підходить характеристика №3. Тобто. маємо: А-3.

Крапка Б. Вона перебуває над віссю Ох, тобто. точка має покласти значення функції. Стосовно цієї точки буде досить близько «прилягати» до осі абсцис, утворюючи тупий кут (трохи менше 180 0) з позитивним її напрямом. Відповідно, похідна у цій точці негативна. Т.ч., тут підходить характеристика 1. Отримуємо відповідь: В 1.

Точка С. Точка розташована нижче осі Ох, дотична в ній утворює великий тупий кут з покладеним напрямом осі абсцис. Тобто. в т.з значення і функції, і похідної негативно, що відповідає характеристиці №2. Відповідь: С-2.

Точка D. Точка знаходиться вище осі Ох, а дотична в ній утворює з покладеним напрямом осі гострий кут. Це свідчить, що значення функції, і значення похідної тут більше нуля. Відповідь: D-4.

Варіант 14МБ11

На малюнку крапками показані обсяги місячних продажів холодильників у магазині побутової техніки. По горизонталі вказуються місяці, по вертикалі кількість проданих холодильників. Для наочності крапки з'єднані лінією.

Користуючись малюнком, поставте у відповідність кожному із зазначених періодів часу характеристику продажу холодильників.