Ushbu maqola turli xil tenglamalar va tengsizliklarni echish usullariga bag'ishlangan
modul belgisi ostidagi o'zgaruvchi.

Agar imtihonda siz modulli tenglama yoki tengsizlikka duch kelsangiz, uni hal qilishingiz mumkin,
hech qanday maxsus usullarni bilmasdan va faqat modul ta'rifidan foydalanmasdan. haqiqat,
qimmatli imtihon vaqtining bir yarim soatini olishi mumkin.

Shuning uchun biz sizga bunday muammolarni hal qilishni soddalashtiradigan texnikalar haqida gapirib bermoqchimiz.

Avvalo shuni eslaylik

Turli xil turlarni ko'rib chiqing modulli tenglamalar. (Tengsizliklar haqida keyinroq.)

Chap modul, o'ng raqam

Bu eng oddiy holat. Keling, tenglamani yechamiz

Modullari to'rt bo'lgan ikkita raqam mavjud. Bular 4 va -4. Shuning uchun tenglama
ikkita oddiyning kombinatsiyasiga teng:

Ikkinchi tenglamaning yechimlari yo'q. Birinchisining yechimlari: x = 0 va x = 5.

Javob: 0; 5.

Modul ostida ham, modul tashqarisida ham o'zgaruvchan

Bu erda modulni ta'rif bo'yicha kengaytirishingiz kerak. . . yoki tasavvur qiling!

Modul ostidagi ifoda belgisiga qarab tenglama ikki holatga bo'linadi.
Boshqacha qilib aytganda, u ikkita tizimning kombinatsiyasiga teng:

Birinchi sistemaning yechimi: . Ikkinchi tizimda hech qanday yechim yo'q.
Javob: 1.

Birinchi holat: x ≥ 3. Modulni olib tashlang:

Raqam manfiy bo'lib, x ≥ 3 shartni qanoatlantirmaydi va shuning uchun dastlabki tenglamaning ildizi emas.

Keling, raqam ushbu shartni qondiradimi yoki yo'qligini bilib olaylik. Buning uchun biz farq qilamiz va uning belgisini aniqlaymiz:

Demak, uchdan ortiq va shuning uchun asl tenglamaning ildizi hisoblanadi

Ikkinchi holat: x< 3. Снимаем модуль:

Raqam. dan katta va shuning uchun x shartni qanoatlantirmaydi< 3. Проверим :

Ma'nosi, . asl tenglamaning ildizidir.

Modulni ta'rifi bo'yicha olib tashlangmi? Bu haqda o'ylash ham qo'rqinchli, chunki diskriminant mukammal kvadrat emas. Quyidagi mulohazadan yaxshiroq foydalanamiz: |A| ko'rinishdagi tenglama = B ikkita tizimning kombinatsiyasiga teng:

Xuddi shunday, lekin biroz boshqacha:

Boshqacha qilib aytganda, A = B va A = −B ikkita tenglamani yechamiz va keyin B ≥ 0 shartni qanoatlantiradigan ildizlarni tanlaymiz.

Qani boshladik. Birinchidan, birinchi tenglamani yechamiz:

Keyin ikkinchi tenglamani yechamiz:

Endi har bir holatda biz o'ng tomonning belgisini tekshiramiz:

Shuning uchun, faqat va mos keladi.

|x| bilan kvadrat tenglamalar = t

Keling, tenglamani yechamiz:

, chunki |x| o'zgarishini amalga oshirish qulay = t. Biz olamiz:

Javob: ±1.

Modul modulga teng

Gap |A| ko'rinishdagi tenglamalar haqida ketmoqda = |B|. Bu taqdirning sovg'asi. Ta'rifi bo'yicha modul kengaytmalari yo'q! Hammasi oddiy:

Masalan, tenglamani ko'rib chiqing: . Bu quyidagi to'plamga teng:

Aholi tenglamalarining har birini echish va javobni yozish qoladi.

Ikki yoki undan ortiq modul

Keling, tenglamani yechamiz:

Biz har bir modul bilan alohida bezovtalanmaymiz va uni ta'rifi bo'yicha ochamiz - variantlar juda ko'p bo'ladi. Yana oqilona yo'l bor - intervallar usuli.

Modullar ostidagi ifodalar x = 1, x = 2 va x = 3 nuqtalarida yo'qoladi. Bu nuqtalar son chizig'ini to'rtta intervalgacha (intervallarga) ajratadi. Biz ushbu nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz va olingan intervallar bo'yicha modullar ostidagi har bir ifoda uchun belgilarni qo'yamiz. (Belgilarning tartibi tenglamadagi mos modullarning tartibi bilan bir xil.)

Shunday qilib, biz to'rtta holatni ko'rib chiqishimiz kerak - har bir intervalda x bo'lganda.

1-holat: x ≥ 3. Barcha modullar “plyus bilan” olib tashlanadi:

Olingan qiymat x = 5 x ≥ 3 shartni qondiradi va shuning uchun dastlabki tenglamaning ildizi hisoblanadi.

2-holat: 2 ≤ x ≤ 3. Oxirgi modul endi “minus bilan” olib tashlandi:

Olingan x qiymati ham mos keladi - u ko'rib chiqilgan intervalga tegishli.

3-holat: 1 ≤ x ≤ 2. Ikkinchi va uchinchi modullar “minus bilan” olib tashlanadi:

Biz ko'rib chiqilgan oraliqdan istalgan x uchun to'g'ri sonli tenglikni oldik, ular bu tenglamaning yechimi bo'lib xizmat qiladi.

4-holat: x ≤ 1 ≤ 1. Ikkinchi va uchinchi modullar “minus bilan” olib tashlanadi:

Yangilik yo `q. Biz allaqachon bilamizki, x = 1 yechimdir.

Javob: ∪ (5).

Modul ichida modul

Keling, tenglamani yechamiz:

Biz ichki modulni kengaytirishdan boshlaymiz.

1) x ≤ 3. Biz quyidagilarni olamiz:

Modul ostidagi ifoda da yo'qoladi. Bu nuqta ko'rib chiqilayotgan narsaga tegishli
interval. Shuning uchun biz ikkita kichik toifani ko'rib chiqishimiz kerak.

1.1) Bu holatda biz quyidagilarni olamiz:

X ning bu qiymati yaxshi emas, chunki u ko'rib chiqilayotgan intervalga tegishli emas.

1.2). Keyin:

Bu x qiymati ham yaxshi emas.

Demak, x ≤ 3 uchun yechim yo‘q. Keling, ikkinchi holatga o'tamiz.

2) x ≥ 3. Bizda:

Bu erda biz omadlimiz: x + 2 ifodasi ko'rib chiqilgan intervalda ijobiydir! Shuning uchun, endi hech qanday kichik harflar bo'lmaydi: modul "plyus bilan" olib tashlanadi:

Bu x qiymati ko'rib chiqilayotgan intervalda va shuning uchun dastlabki tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Ushbu turdagi barcha vazifalar shu tarzda hal qilinadi - biz ichki moduldan boshlab o'z navbatida ichki modullarni ochamiz.

MBOU №17 Ivanov o'rta maktabi

« Modulli tenglamalar»
Metodik ishlab chiqish

Kompilyatsiya qilingan

matematika o'qituvchisi

Lebedeva N.V.

20010

Tushuntirish eslatmasi

1-bob Kirish

Bo'lim 2. Asosiy xususiyatlar 3-bo'lim. Son moduli tushunchasining geometrik talqini 4-bo'lim. y = |x| funksiya grafigi 5-bo'lim Konventsiyalar

2-bob

1-bo'lim. |F(x)| ko'rinishdagi tenglamalar = m (protozoa) 2-bo'lim. F(|x|) = m ko'rinishdagi tenglamalar 3-bo'lim. |F(x)| ko'rinishdagi tenglamalar = G(x) 4-bo'lim. |F(x)| ko'rinishdagi tenglamalar = ± F(x) (chiroyli) 5-bo'lim. |F(x)| ko'rinishdagi tenglamalar = |G(x)| 6-bo'lim. Nostandart tenglamalarni yechish misollari 7-bo'lim. |F(x)| ko'rinishdagi tenglamalar + |G(x)| = 0 8-bo'lim. |a 1 x ± v 1 | ko'rinishdagi tenglamalar ± |a 2 x ± 2 da | ± …|a n x ± da n | = m 9-bo'lim. Ko'p modulli tenglamalar

3-bob. Modulli har xil tenglamalarni yechishga misollar.

1-bo'lim. Trigonometrik tenglamalar 2-bo'lim. Ko'rsatkichli tenglamalar 3-bo'lim. Logarifmik tenglamalar 4-bo'lim. Irratsional tenglamalar 5-bo'lim. Kengaytirilgan murakkablikdagi vazifalar Mashqlar uchun javoblar Adabiyotlar ro'yxati

Tushuntirish eslatmasi.

Haqiqiy sonning mutlaq qiymati (modul) tushunchasi uning muhim belgilaridan biridir. Ushbu tushuncha fizika, matematika va texnika fanlarining turli sohalarida keng qo'llaniladi. Rossiya Federatsiyasi Mudofaa vazirligi dasturiga muvofiq o'rta maktabda matematika kursini o'qitish amaliyotida "sonning mutlaq qiymati" tushunchasi bir necha bor uchraydi: 6-sinfda modul ta'rifi. , uning geometrik ma'nosi bilan tanishtiriladi; 8-sinfda mutlaq xato tushunchasi shakllantiriladi, moduli bo‘lgan eng oddiy tenglama va tengsizliklar yechimi ko‘rib chiqiladi, arifmetik kvadrat ildizning xossalari o‘rganiladi; 11-sinfda tushuncha “Ildiz nth daraja." O'qitish tajribasi shuni ko'rsatadiki, talabalar ko'pincha ushbu materialni bilishni talab qiladigan vazifalarni hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelishadi va ko'pincha bajarishni boshlashdan oldin o'tkazib yuborishadi. 9-11-sinflar kursi uchun imtihon topshiriqlari matnlarida shu kabi topshiriqlar ham kiritilgan. Bundan tashqari, universitetlarning maktab bitiruvchilariga qo'yadigan talablari boshqacha, ya'ni maktab o'quv dasturi talablaridan yuqori darajada. Zamonaviy jamiyatda hayot uchun ma'lum aqliy qobiliyatlarda namoyon bo'ladigan matematik fikrlash uslubini shakllantirish juda muhimdir. Modulli masalalarni yechish jarayonida umumlashtirish va konkretlashtirish, tahlil qilish, tasniflash va sistemalashtirish, analogiya kabi usullarni qo‘llash qobiliyati talab qilinadi. Bunday vazifalarni hal qilish maktab kursining asosiy bo'limlari bo'yicha bilimlarni, mantiqiy fikrlash darajasini va tadqiqotning dastlabki ko'nikmalarini tekshirish imkonini beradi. Bu ish bo'limlardan biriga - modulni o'z ichiga olgan tenglamalar yechimiga bag'ishlangan. U uchta bobdan iborat. Birinchi bobda asosiy tushunchalar va eng muhim nazariy hisob-kitoblar keltirilgan. Ikkinchi bobda modulni o'z ichiga olgan to'qqizta asosiy turdagi tenglamalar taklif etiladi, ularni echish usullari ko'rib chiqiladi va turli darajadagi murakkablik misollari tahlil qilinadi. Uchinchi bobda murakkabroq va nostandart tenglamalar (trigonometrik, eksponensial, logarifmik va irratsional) taklif etiladi. Har bir turdagi tenglamalar uchun mustaqil yechish uchun mashqlar mavjud (javoblar va ko'rsatmalar ilova qilinadi). Bu ishning asosiy maqsadi o‘qituvchilarga darsga tayyorgarlik ko‘rish va fakultativ darslar tashkil etishda uslubiy yordam ko‘rsatishdan iborat. Materialdan o'rta maktab o'quvchilari uchun o'quv qo'llanma sifatida ham foydalanish mumkin. Ishda taklif etilgan vazifalar qiziqarli va har doim ham oson emas, bu esa o'quvchilarning o'quv motivatsiyasini ongliroq qilish, ularning qobiliyatlarini sinab ko'rish va maktab bitiruvchilarini oliy o'quv yurtlariga kirishga tayyorlash darajasini oshirish imkonini beradi. Taklif etilayotgan mashqlarning tabaqalashtirilgan tanlovi materialni o'zlashtirishning reproduktiv darajasidan ijodiy darajaga o'tishni, shuningdek, nostandart muammolarni hal qilishda o'z bilimlarini qanday qo'llashni o'rgatish imkoniyatini nazarda tutadi.

1-bob. Kirish.

1-bo'lim. Mutlaq qiymatni aniqlash .

Ta'rif : Haqiqiy sonning mutlaq qiymati (modul). a manfiy bo'lmagan son deyiladi: a yoki -a. Belgilash: │ a │ Yozuv quyidagicha o'qiladi: "a sonining moduli" yoki "a sonining mutlaq qiymati"

│ a agar a > 0 bo'lsa

│a│ = │ 0, agar a = 0 (1)

│ - a, agar a
Misollar: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Ifoda modulini kengaytirish:

a) │x - 8│ agar x > 12 b) │2x + 3│ agar x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

Bo'lim 2. Asosiy xususiyatlar.

Mutlaq qiymatning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqing. №1 mulk: Qarama-qarshi raqamlar teng modullarga ega, ya'ni. │a│=│-a│ Keling, tenglikning to'g'riligini ko'rsatamiz. Keling, sonning ta'rifini yozamiz - a : │- a│= (2) (1) va (2) to'plamlarni solishtiramiz. Shubhasiz, raqamlarning mutlaq qiymatlarining ta'riflari a va - a moslashish. Demak, │a│=│-a│
Quyidagi xususiyatlarni ko'rib chiqayotganda, biz ularning formulasi bilan cheklanamiz, chunki ularning isboti keltirilgan №2 mulk: Haqiqiy sonlarning cheklangan soni yig'indisining mutlaq qiymati shartlarning mutlaq qiymatlari yig'indisidan oshmaydi: №3 mulk: Ikki haqiqiy son orasidagi farqning mutlaq qiymati ularning mutlaq qiymatlari yig'indisidan oshmaydi: │a - v│ ≤│a│+│v│ №4 mulk: Cheklangan sonli haqiqiy sonlar mahsulotining mutlaq qiymati omillarning mutlaq qiymatlari mahsulotiga teng: │a · v│=│a│·│v│ №5 mulk: Haqiqiy sonlar qismining mutlaq qiymati ularning mutlaq qiymatlari qismiga teng:

3-bo'lim. Son moduli tushunchasining geometrik talqini.

Har bir haqiqiy sonni raqamlar chizig'idagi nuqta bilan bog'lash mumkin, bu haqiqiy sonning geometrik tasviri bo'ladi. Raqamlar chizig'idagi har bir nuqta uning boshlang'ich nuqtasidan masofasiga to'g'ri keladi, ya'ni. segmentning boshlang'ich nuqtasidan berilgan nuqtagacha bo'lgan uzunligi. Bu masofa har doim manfiy bo'lmagan qiymat sifatida qabul qilinadi. Shuning uchun tegishli segmentning uzunligi berilgan haqiqiy sonning mutlaq qiymatining geometrik talqini bo'ladi

Taqdim etilgan geometrik rasm 1-sonli mulkni aniq tasdiqlaydi, ya'ni. qarama-qarshi sonlarning modullari teng. Bu yerdan tenglikning haqiqiyligi oson tushuniladi: │x - a│= │a - x│. │x│= m tenglamasini yechish ham aniqroq bo'ladi, bu erda m ≥ 0, ya'ni x 1,2 = ± m. Misollar: 1) │x│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │x - 3│= 1
x 1,2 = 2; 4

4-bo'lim. y \u003d │x│ funktsiyasining grafigi

Bu funksiyaning sohasi barcha haqiqiy sonlardir.

5-bo'lim. Belgilar.

Kelajakda tenglamalarni echish misollarini ko'rib chiqishda quyidagi konventsiyalardan foydalaniladi: ( - tizim belgisi [ - belgini o'rnatish Tenglamalar (tengsizliklar) tizimini yechishda tizimga kiritilgan tenglamalar (tengsizliklar) yechimlarining kesishuvi topiladi. Tenglamalar (tengsizliklar) to‘plamini yechishda to‘plamga kiritilgan tenglamalar (tengsizliklar) yechimlari birligi topiladi.

2-bob

Ushbu bobda biz bir yoki bir nechta modulni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishning algebraik usullarini ko'rib chiqamiz.

1-bo'lim. │F (x) │= m ko'rinishdagi tenglamalar

Bunday turdagi tenglama eng oddiy deb ataladi. Agar m ≥ 0 bo'lsa, u yechimga ega. Modulning ta'rifiga ko'ra, dastlabki tenglama ikkita tenglamaning kombinatsiyasiga ekvivalentdir: │ F(x)│=m
Misollar:
№1. Tenglamani yeching: │7x - 2│= 9


Javob: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x 2 = -3 Javob: ildizlarning yig'indisi - 2 ga teng.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ni bildiradi; ±√5 m 2 - 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – ikkala qiymat ham m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 shartni qondiradi Javob: 7-tenglamaning ildizlari soni. Mashqlar:
№1. Tenglamani yeching va ildizlar yig‘indisini ko‘rsating: │x - 5│= 3 №2 . Tenglamani yeching va kichikroq ildizni ko'rsating: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . Tenglamani yeching va kattaroq ildizni ko'rsating: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Tenglamani yeching va butun ildizni ko'rsating: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .Tenglamani yeching va ildizlar sonini ko'rsating: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

2-bo'lim. F(│x│) = m ko'rinishdagi tenglamalar

Chap tomondagi funktsiya argumenti modul belgisi ostida, o'ng tomoni esa o'zgaruvchidan mustaqil. Keling, ushbu turdagi tenglamalarni echishning ikkita usulini ko'rib chiqaylik. 1 usul: Mutlaq qiymatning ta'rifiga ko'ra, dastlabki tenglama ikkita tizimning umumiyligiga tengdir. Ularning har birida submodul ifodasiga shart qo'yilgan. F(│x│) =m
F(│x│) funksiya butun ta’rif sohasi bo’yicha juft bo’lgani uchun F(x) = m va F(-x) = m tenglamalarning ildizlari qarama-qarshi sonlar juftligidir. Shuning uchun tizimlardan birini yechish kifoya (misollarni shu tarzda ko'rib chiqishda bitta tizimning yechimi beriladi). 2 yo'l: Yangi o'zgaruvchini kiritish usulini qo'llash. Bunda │x│= a belgilash kiritiladi, bunda a ≥ 0. Bu usul loyihalashda kamroq hajmli.
Misollar: №1 . Tenglamani yeching: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Yangi o'zgaruvchining kiritilishidan foydalanamiz. │x│= a ni belgilang, bu erda a ≥ 0. 3a 2 - 4a + 1 = 0 tenglamani olamiz D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz: │x │ = 1 va │x│= 1/3. Har bir tenglamaning ikkita ildizi bor. Javob: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Tenglamani yeching: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1/2 │x│ + 3x 2
Birinchi to'plam tizimining yechimini topamiz: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 E'tibor bering, x 2 qiladi. x ≥ 0 shartini qanoatlantirmaslik. Yechimga ko'ra ikkinchi sistema qarama-qarshi son x 1 bo'ladi. Javob: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Tenglamani yeching: x 4 - │x│= 0 │x│= a ni belgilang, bu erda a ≥ 0. a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0 tenglamasini olamiz. a 2 \u003d 1 Biz asl o'zgaruvchiga qaytamiz: │x│=0 va │x│= 1 x = 0; ± 1 Javob: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Mashqlar: №6. Tenglamani yeching: 2│x│ - 4,5 = 5 - 3/8 │x│ №7 . Tenglamani yeching, javobda ildizlar sonini ko'rsating: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Tenglamani yeching, javobda butun yechimlarni ko'rsating: x 4 + │x│ - 2 = 0

3-bo'lim. │F(x)│ = G(x) ko'rinishdagi tenglamalar

Bu turdagi tenglamaning o‘ng tomoni o‘zgaruvchiga bog‘liq va shuning uchun, agar o‘ng tomoni G(x) ≥ 0 funksiya bo‘lsagina yechimga ega bo‘ladi. Dastlabki tenglamani ikki usulda yechish mumkin: 1 usul: Standart, modulning ta'rifi asosida oshkor etilishiga asoslangan va ikkita tizimning kombinatsiyasiga ekvivalent o'tishdan iborat. │ F(x)│ =G(X)

Bu usulni G(x) funksiya uchun kompleks ifoda va F(x) funksiya uchun unchalik murakkab ifoda bo‘lmagan hollarda qo‘llash oqilona, ​​chunki u tengsizliklarni F(x) funksiya bilan yechishi kerak. 2 yo'l: Bu o'ng tomonda shart qo'yilgan ekvivalent tizimga o'tishdan iborat. │ F(x)│= G(x)

Agar G(x) funksiya ifodasi F(x) funksiyaga nisbatan murakkabroq bo‘lsa, bu usuldan foydalanish qulayroqdir, chunki G(x) ≥ 0 tengsizlikning yechimi qabul qilingan.Bundan tashqari, holda bir nechta modullardan, bu usul ikkinchi variantdan foydalanish tavsiya etiladi. Misollar: №1. Tenglamani yeching: │x + 2│= 6 -2x
(1 yo'l) Javob: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2 tomonlama) Javob: Ildizlarning hosilasi 3 ga teng.
№3. Tenglamani yeching, javobda ildizlarning yig'indisini yozing:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

Javob: ildizlarning yig'indisi 4 ga teng.
Mashqlar: №9. │x + 4│= - 3x №10. Tenglamani yeching, javobda yechimlar sonini ko'rsating: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . Tenglamani yeching, javobda ildizlarning mahsulotini ko'rsating: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

4-bo'lim. │F(x)│= F(x) va │F(x)│= - F(x) ko'rinishdagi tenglamalar

Bunday turdagi tenglamalar ba'zan "chiroyli" deb ataladi. Tenglamalarning o'ng tomoni o'zgaruvchiga bog'liq bo'lganligi sababli, echimlar faqat o'ng tomoni manfiy bo'lmasa mavjud bo'ladi. Shunday qilib, dastlabki tenglamalar tengsizliklarga ekvivalentdir:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 va │F(x)│= - F(x) F(x) Misollar: №1 . Tenglamani yeching, javobda kichikroq butun son ildizini ko'rsating: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Javob: x = 1№2. Tenglamani yeching, javobda bo'shliq uzunligini ko'rsating: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Javob: bo'shliqning uzunligi 6 ga teng.№3 . Tenglamani yeching, javobda butun sonli yechimlar sonini ko'rsating: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Javob: 4 ta butun yechim.№4 . Tenglamani yeching, javobda eng katta ildizni ko'rsating:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Javob: x = 3.

Mashqlar: №12. Tenglamani yeching, javobda butun ildizni ko'rsating: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Tenglamani yeching, javobda butun yechimlar sonini ko'rsating: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Tenglamani yeching, javobda tenglamaning ildizi bo'lmagan butun sonni ko'rsating:

5-bo‘lim. │F(x)│= │G(x)│ ko‘rinishdagi tenglamalar

Tenglamaning ikkala tomoni manfiy bo'lmaganligi sababli, yechim ikkita holatni ko'rib chiqishni o'z ichiga oladi: submodul ifodalari ishorada teng yoki qarama-qarshidir. Shuning uchun dastlabki tenglama ikkita tenglamaning birikmasiga ekvivalentdir: │ F(x)│= │ G(x)│
Misollar: №1. Tenglamani yeching, javobda butun ildizni ko'rsating: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Javob: butun ildiz x = 4.№2. Tenglamani yeching: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Javob: x = 2.№3 . Tenglamani yeching, javobda ildizlarning mahsulotini ko'rsating:




Tenglamaning ildizlari 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 Javob: ildizlarning mahsuloti 0,25 ga teng. Mashqlar: №15 . Tenglamani yeching, javobda butun yechimni ko'rsating: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Tenglamani yeching, javobda kichikroq ildizni ko'rsating: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Tenglamani yeching, javobda ildizlarning yig'indisini yozing:

6-bo'lim. Nostandart tenglamalarni yechish misollari

Ushbu bo'limda biz nostandart tenglamalarga misollarni ko'rib chiqamiz, ularning yechimida ifodaning mutlaq qiymati ta'rif orqali ochiladi. Misollar:

№1. Tenglamani yeching, javobda ildizlarning yig'indisini ko'rsating: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Javob: ildizlarning yig'indisi 1 ga teng №2. . Tenglamani yeching, javobda kichikroq ildizni ko'rsating: x 2 - 4x
- 5 = 0
Javob: kichikroq ildiz x = - 5. №3. Tenglamani yeching:

Javob: x = -1. Mashqlar: №18. Tenglamani yeching va ildizlar yig‘indisini yozing: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Tenglamani yeching: x 2 - 3x \u003d

№20. Tenglamani yeching:

7-bo‘lim. │F(x)│+│G(x)│=0 ko‘rinishdagi tenglamalar

Ushbu turdagi tenglamaning chap tomonida manfiy bo'lmagan miqdorlar yig'indisi ekanligini ko'rish oson. Demak, asl tenglamaning yechimi faqat va faqat ikkala shart bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lsa bo'ladi. Tenglama tenglamalar tizimiga ekvivalent: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Misollar: №1 . Tenglamani yeching:
Javob: x = 2. №2. Tenglamani yeching: Javob: x = 1. Mashqlar: №21. Tenglamani yeching: №22 . Tenglamani yeching, javobda ildizlarning yig'indisini yozing: №23 . Tenglamani yeching, javobda yechimlar sonini ko'rsating:

8-bo'lim. Shaklning tenglamalari

Ushbu turdagi tenglamalarni yechish uchun intervallar usuli qo'llaniladi. Agar u modullarni ketma-ket kengaytirish orqali hal qilinsa, biz olamiz n tizimlar to'plami, bu juda og'ir va noqulay. Interval usulining algoritmini ko'rib chiqing: 1). O'zgaruvchan qiymatlarni toping X, buning uchun har bir modul nolga teng (submodul ifodalarining nollari):
2). Topilgan qiymatlar oraliqlarga bo'lingan raqam chizig'ida belgilanadi (intervallar soni mos ravishda teng n+1 ) 3). Olingan oraliqlarning har birida har bir modul qanday belgi bilan aniqlanishini aniqlang (yechimni ishlab chiqishda siz raqamlar chizig'idan foydalanishingiz mumkin, undagi belgilarni belgilashingiz mumkin) 4). Asl tenglama to'plamga ekvivalent n+1 tizimlar, ularning har birida o'zgaruvchining a'zoligi ko'rsatilgan X intervallardan biri. Misollar: №1 . Tenglamani yeching, javobda eng katta ildizni ko'rsating:
bitta). Submodul ifodalarining nollarini topamiz: x = 2; x = -3 2). Biz topilgan qiymatlarni raqamlar qatorida belgilaymiz va olingan intervallarda har bir modul qanday belgi bilan aniqlanishini aniqlaymiz:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- yechimlari yo'q tenglamaning ikkita ildizi bor. Javob: eng katta ildiz x = 2. №2. Tenglamani yeching, javobga butun ildizni yozing:
bitta). Submodul ifodalarining nollarini topamiz: x = 1,5; x = - 1 2). Biz topilgan qiymatlarni raqamlar qatorida belgilaymiz va olingan oraliqlarda har bir modul qanday belgi bilan aniqlanishini aniqlaymiz: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).
Oxirgi tizimning yechimlari yo'q, shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega. Tenglamani echishda siz ikkinchi modul oldidagi "-" belgisiga e'tibor berishingiz kerak. Javob: butun ildiz x = 7. №3. Tenglamani yeching, javobda ildizlar yig'indisini ko'rsating: 1). Submodul ifodalarining nollarini topamiz: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Biz topilgan qiymatlarni raqamlar qatorida belgilaymiz va olingan intervallarda har bir modul qanday belgi bilan aniqlanishini aniqlaymiz: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Tenglamaning ikkita ildizi bor x = 0 va 2. Javob: ildizlarning yig'indisi 2 ga teng. №4 . Tenglamani yeching: 1). Submodul ifodalarining nollarini topamiz: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Olingan intervallarda har bir modul kengaytirilgan belgini aniqlaylik. 3).
Biz dastlabki uchta tizimning echimlarini birlashtiramiz. Javob: ; x = 5.
Mashqlar: №24. Tenglamani yeching:
№25. Tenglamani yeching, javobda ildizlarning yig'indisini yozing: №26. Tenglamani yeching, javobda kichikroq ildizni ko'rsating: №27. Tenglamani yeching, javobingizda kattaroq ildizni bering:

9-bo'lim. Ko'p modulli tenglamalar

Bir nechta modullarni o'z ichiga olgan tenglamalar submodul ifodalarida mutlaq qiymatlar mavjudligini taxmin qiladi. Ushbu turdagi tenglamalarni echishning asosiy printsipi "tashqi" dan boshlab modullarni ketma-ket ochishdir. Yechim jarayonida 1-sonli, 3-sonli bo'limlarda ko'rib chiqilgan usullar qo'llaniladi.

Misollar: №1. Tenglamani yeching:
Javob: x = 1; - o'n bir. №2. Tenglamani yeching:
Javob: x = 0; 4; - 4. №3. Tenglamani yeching, javobda ildizlarning mahsulotini ko'rsating:
Javob: Ildizlarning hosilasi 8 ga teng. №4. Tenglamani yeching:
Aholi tenglamalarini belgilang (1) va (2) va dizaynning qulayligi uchun ularning har birining yechimini alohida ko'rib chiqing. Ikkala tenglamada bir nechta modul mavjud bo'lganligi sababli, tizimlar to'plamiga ekvivalent o'tishni amalga oshirish qulayroqdir. (1)

(2)


Javob:
Mashqlar: №36. Tenglamani yeching, javobda ildizlarning yig'indisini ko'rsating: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Tenglamani yeching, agar bir nechta ildiz bo'lsa, javobda ildizlar yig'indisini ko'rsating: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Tenglamani yeching: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Tenglamani yeching, javobda ildizlar sonini ko'rsating: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Tenglamani yeching, javobda ildizlar sonini ko'rsating:

3-bo'lim. Logarifmik tenglamalar.

Quyidagi tenglamalarni yechishdan oldin logarifmlarning xossalari va logarifmik funksiyani ko‘rib chiqish kerak. Misollar: №1. Tenglamani yeching, javobda ildizlarning mahsulotini ko'rsating: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

1-holat: agar x ≥ - 1 bo‘lsa, log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – x ≥ - 1 2 shartni qanoatlantiradi: agar x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – x - 1 shartni qanoatlantiradi
Javob: Ildizlarning hosilasi 15 ga teng.
№2. Tenglamani yeching, javobda ildizlar yig'indisini ko'rsating: lg
O.D.Z.

Javob: ildizlarning yig'indisi 0,5 ga teng.
№3. Tenglamani yeching: log 5
O.D.Z.

Javob: x = 9. №4. Tenglamani yeching: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Boshqa bazaga o'tish uchun formuladan foydalanamiz. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Submodul ifodalarining nollarini topamiz: x = 25; x \u003d Ushbu raqamlar ruxsat etilgan qiymatlar maydonini uchta oraliqga ajratadi, shuning uchun tenglama uchta tizimning umumiy soniga teng.
Javob:)