Значение числа (произносится «пи» ) — математическая константа, равная отношению

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число .

Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14). Но для более

сложных случаев и там, где нужна бОльшая точность необходимо знать больше, чем 3 цифры.

Какое число пи? Первые 1000 знаков числа пи после запятой:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам,

приведенным ниже:

1. Берем круг , обматываем по его краю нить один раз.
2. Измеряем длину нити.
3. Измеряем диаметр круга.
4. Делим длину нити на длину диаметра. Получили число пи.

Свойства числа Пи.

• пи — иррациональное число , т.е. значение числа пи не возможно точно выразить в виде

дроби m/n , где m и n являются целыми числами . Из этого видно, что десятичное представление

числа пи никогда не заканчивается и оно не является периодическим.

• пи — трансцендентное число, т.е. оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми

коэффициентами. В 1882 году профессор Кёнигсбергский доказал трансцендентность числа пи , а

позднее, профессором Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил

Феликс Клейн в 1894 году.

• так как в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности - это функции числа пи,

то доказательство трансцендентности пи дало конец спору о квадратуре круга, длившемуся более

2,5 тысяч лет.

• пи является элементом кольца периодов (то есть, вычислимым и арифметическим числом).

Но никто не знает, принадлежит ли к кольцу периодов.

Формула числа пи.

• Франсуа Виет:

• Формула Валлиса:

• Ряд Лейбница:

• Другие ряды:

Чему равно число Пи мы знаем и помним со школы. Оно равно 3.1415926 и так далее… Обычному человеку достаточно знать, что это число получается, если разделить длину окружности на ее диаметр. Но многим известно, что число Пи возникает в неожиданных областях не только математики и геометрии, но и в физике. Ну а если вникнуть в подробности природы этого числа, то можно заметить много удивительного среди бесконечного ряда цифр. Возможно ли, что Пи скрывает самые сокровенные тайны Вселенной?

Бесконечное число

Само число Пи возникает в нашем мире как длина окружности, диаметр которой равен единице. Но, несмотря на то, что отрезок равный Пи вполне себе конечен, число Пи начинается, как 3.1415926 и уходит в бесконечность рядами цифр, которые никогда не повторяются. Первый удивительный факт состоит в том, что это число, используемое в геометрии, нельзя выразить в виде дроби из целых чисел. Иначе говоря, вы не сможете его записать отношением двух чисел a/b. Кроме этого число Пи трансцендентное. Это означает, что нет такого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами, решением которого было бы число Пи.

То, что число Пи трансцендентно, доказал в 1882 году немецкий математик фон Линдеман. Именно это доказательство стало ответом на вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки нарисовать квадрат, у которого площадь равна площади заданного круга. Эта задача известна как поиск квадратуры круга, волновавший человечество с древнейших времен. Казалось, что эта задача имеет простое решение и вот-вот будет раскрыта. Но именно непостижимое свойство числа Пи показало, что у задачи квадратуры круга решения не существует.

В течение как минимум четырех с половиной тысячелетий человечество пыталось получить все более точное значение числа Пи. Например, В Библии в Третьей Книги Царств (7:23) число Пи принимается равным 3.

Замечательное по точности значение Пи можно обнаружить в пирамидах Гизы: соотношение периметра и высоты пирамид составляет 22/7. Эта дробь дает приближенное значение Пи, равное 3.142… Если, конечно, египтяне не задали такое соотношение случайно. Это же значение уже применительно к расчету числа Пи получил в III веке до нашей эры великий Архимед.

В папирусе Ахмеса, древнеегипетском учебнике по математике, который датируется 1650 годом до нашей эры, число Пи рассчитано как 3.160493827.

В древнеиндийских текстах примерно IX века до нашей эры наиболее точное значение было выражено числом 339/108, которое равнялось 3,1388…

После Архимеда почти две тысячи лет люди пытались найти способы рассчитать число Пи. Среди них были как известные, так и неизвестные математики. Например, римский архитектор Марк Витрувий Поллион, египетский астроном Клавдий Птолемей, китайский математик Лю Хуэй, индийский мудрец Ариабхата, средневековый математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, арабский ученый Аль-Хорезми, от чьего имени появилось слово «алгоритм». Все они и множество других людей искали наиболее точные методики расчета Пи, но вплоть до 15 века никогда не получали больше чем 10 цифр после запятой в связи со сложностью расчетов.

Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).

Количество знаков

В 17 веке Лейбниц и Ньютон открыли анализ бесконечно малых величин, который позволил вычислять Пи более прогрессивно – через степенные ряды и интегралы. Сам Ньютон вычислил 16 знаков после запятой, но не упомянул это в своих книгах – об этом стало известно после его смерти. Ньютон утверждал, что занимался расчетом Пи исключительно от скуки.

Примерно в то же время подтянулись и другие менее известные математики, предложившие новые формулы расчета числа Пи через тригонометрические функции.

Например, вот по какой формуле рассчитывал Пи преподаватель астрономии Джон Мэчин в 1706 году: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). С помощью методов анализа Мэчин вывел из этой формулы число Пи с сотней знаков после запятой.

Кстати, в том же 1706 году число Пи получило официальное обозначение в виде греческой буквы: его в своем труде по математике использовал Уильям Джонс, взяв первую букву греческого слова «периферия», что означает «окружность». Родившийся в 1707 великий Леонард Эйлер популяризовал это обозначение, нынче известное любому школьнику.

До эры компьютеров математики занимались тем, чтобы рассчитать как можно больше знаков. В связи с этим порой возникали курьезы. Математик-любитель У. Шенкс в 1875 году рассчитал 707 знаков числа Пи. Эти семь сотен знаков увековечили на стене Дворца Открытий в Париже в 1937 году. Однако спустя девять лет наблюдательными математиками было обнаружено, что правильно вычислены лишь первые 527 знаков. Музею пришлось понести приличные расходы, чтобы исправить ошибку – сейчас все цифры верные.

Когда появились компьютеры, количество цифр числа Пи стало исчисляться совершенно невообразимыми порядками.

Один из первых электронных компьютеров ENIAC, созданный в 1946 году, имевший огромные размеры, и выделявший столько тепла, что помещение прогревалось до 50 градусов по Цельсию, вычислил первые 2037 знаков числа Пи. Этот расчет занял у машины 70 часов.

По мере совершенствования компьютеров наше знание числа Пи все дальше и дальше уходило в бесконечность. В 1958 году было рассчитано 10 тысяч знаков числа. В 1987 году японцы высчитали 10 013 395 знаков. В 2011 японский исследователь Сигеру Хондо превысил рубеж в 10 триллионов знаков.

Где еще можно встретить Пи?

Итак, зачастую наши знания о числе Пи остаются на школьном уровне, и мы точно знаем, что это число незаменимо в первую очередь в геометрии.

Помимо формул длины и площади окружности число Пи используется в формулах эллипсов, сфер, конусов, цилиндров, эллипсоидов и так далее: где-то формулы простые и легко запоминающиеся, а где-то содержат очень сложные интегралы.

Затем мы можем встретить число Пи в математических формулах, там, где, на первый взгляд геометрии и не видно. Например, неопределенный интеграл от 1/(1-x^2) равен Пи.

Пи часто используется в анализе рядов. Для примера приведем простой ряд, который сходится к числу Пи:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 — …. = PI/4

Среди рядов число Пи наиболее неожиданно появляется в известной дзета-функции Римана. Рассказать про нее в двух словах не получится, скажем лишь, что когда-нибудь число Пи поможет найти формулу расчета простых чисел.

И совершенно удивительно: Пи появляется в двух самых красивых «королевских» формулах математики – формуле Стирлинга (которая помогает найти приблизительное значение факториала и гамма-функции) и формуле Эйлера (которая связывает аж целых пять математических констант).

Однако самое неожиданное открытие ожидало математиков в теории вероятности. Там тоже присутствует число Пи.

Например, вероятность того, что два числа окажутся взаимно простыми, равна 6/PI^2.

Пи появляется в задаче Бюффона о бросании иглы, сформулированной в 18 веке: какова вероятность того, что брошенная на расчерченный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Если длина иглы L, а расстояние между линиями L, и r > L то мы можем приблизительно рассчитать значение числа Пи по формуле вероятности 2L/rPI. Только представьте – мы можем получить Пи из случайных событий. И между прочим Пи присутствует в нормальном распределении вероятностей, появляется в уравнении знаменитой кривой Гаусса. Значит ли это, что число Пи еще более фундаментально, чем просто отношение длины окружности к диаметру?

Мы можем встретить Пи и в физике. Пи появляется в законе Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя зарядами, в третьем законе Кеплера, который показывает период обращения планеты вокруг Солнца, встречается даже в расположении электронных орбиталей атома водорода. И что опять же самое невероятное – число Пи прячется в формуле принципа неопределенности Гейзенберга – фундаментального закона квантовой физики.

Тайны числа Пи

В романе Карла Сагана «Контакт», по которому снят одноименный фильм, инопланетяне сообщают героине, что среди знаков Пи содержится тайное послание от Бога. С некоторой позиции цифры в числе перестают быть случайными и представляют себе код, в котором записаны все секреты Мироздания.

Этот роман на самом деле отразил загадку, занимающую умы математиков всей планеты: является ли число Пи нормальным числом, в котором цифры разбросаны с одинаковой частотой, или с этим числом что-то не так. И хотя ученые склоняются к первому варианту (но не могут доказать), число Пи выглядит очень загадочно. Один японец как то подсчитал, сколько раз встречаются числа от 0 до 9 в первом триллионе знаков Пи. И увидел, что числа 2, 4 и 8 встречаются чаще, чем остальные. Это может быть одним из намеков на то, что Пи не совсем нормальное, и цифры в нем действительно не случайны.

Вспомним всё, что мы прочли выше, и спросим себя, какое еще иррациональное и трансцендентное число так часто встречается в реальном мире?

А в запасе имеются еще странности. Например, сумма первых двадцати цифр Пи равна 20, а сумма первых 144 цифр равна «числу зверя» 666.

Главный герой американского сериала «Подозреваемый» профессор Финч рассказывал студентам, что в силу бесконечности числа Пи в нем могут встретиться любые комбинации цифр, начиная от цифр даты вашего рождения до более сложных чисел. Например, на 762-ой позиции находится последовательность из шести девяток. Эта позиция называется точкой Фейнмана в честь известного физика, который заметил это интересное сочетание.

Нам известно также, что число Пи содержит последовательность 0123456789, но находится она на 17 387 594 880-й цифре.

Все это означает, что в бесконечности числа Пи можно обнаружить не только интересные сочетания цифр, но и закодированный текст «Войны и Мира», Библии и даже Главную Тайну Мироздания, если таковая существует.

Кстати, о Библии. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в 1966 году заявил, что миллионным знаком числа Пи (на тот момент еще неизвестным) будет число 5. Свои расчеты он объяснил тем, что в англоязычной версии Библии, в 3-й книге, 14-й главе, 16-м стихе (3-14-16) седьмое слово содержит пять букв. Миллионную цифру получили спустя восемь лет. Это было число пять.

Стоит ли после этого утверждать, что число Пи случайно?

ПИ, число - математическая константа, обозначающая отношение периметра к диаметру окружности. Число Пи является иррациональным трансцендентным числом, цифровое представление которого является бесконечной непериодической десятичной дробью - 3,141592653589793238462643… и так до бесконечности.

В цифрах после запятой нет цикличности и системы, то есть в десятичном разложении Пи присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить (включая очень редко встречающуюся в математике последовательность из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардтом Риманом еще в 1859-м).

Это значит, что в Пи, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существует (именно поэтому вычисления японского профессора Ясумаса Канада, который недавно определил число Пи до 12411-триллионного знака после запятой, были тут же засекречены - с таким объемом данных не составляет труда воссоздать содержание любого секретного документа, напечатанного до 1956 года, правда этих данных недостаточно для определения местонахождения любого человека, для этого необходимо как минимум 236734 триллионов знаков после запятой, - предполагают, что такие работы сейчас ведутся в Пентагоне (с использованием квантовых компьютеров, тактовая частота процессоров которых уже сегодня приближается к звуковой скорости).

Через число Пи может быть определена любая другая константа, включая постоянную тонкой структуры (альфа), константу золотой пропорции (f=1,618…), не говоря уж о числе e - именно поэтому число пи встречается не только в геометрии, но и в теории относительности, квантовой механике, ядерной физике и т.д. Более того - недавно учёные установили, что именно через Пи можно определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы!

Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: “Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число Пи - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число Пи? Ответа пока нет.” На самом деле, Кэнтор лукавит, ответ есть, просто он настолько невероятен, что учёные предпочитают не выносить его на широкую публику, опасаясь за собственную жизнь (об этом чуть позже): число Пи само себя контролирует, оно разумно! Вздор? Не спешите.

Ведь ещё Фонвизин говорил, что “в человеческом невежестве весьма утешительно считать всё то за вздор, чего не знаешь.

Во-первых, догадки о разумности чисел вообще давно посещали многих известных математиков современности. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель в феврале 1829-го писал своей матери: “Я получил подтверждения того, что одно из чисел - разумно. Я говорил с ним! Но меня пугает, что я не могу определить, что это за число. Но может быть это и к лучшему. Число предупредило меня, что я буду наказан, если Оно будет раскрыто.” Кто знает, раскрыл бы Нильс значение числа, с ним говорившего, но 6 марта 1829-го года его не стало.

1955 год, японец Ютака Танияма выдвигает гипотезу о том, что “каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма” (как известно, на основе этой гипотезы была доказана теорема Ферма). 15 сентября 1955-го, на международном математическом симпозиуме в Токио, где Танияма объявил о своей гипотезе, на вопрос журналиста: “Как вы до этого додумались?” - Танияма отвечает: “Я не додумался, число мне об этом сообщило по телефону”.

Журналист, думая, что это шутка, решил её “поддержать”: “А номер-то телефона оно вам сообщило?”. На что Танияма серьёзно ответил: “Такое впечатление, что этот номер мне давно был известен, но я могу теперь сообщить его только через три года, 51 день, 15 часов и 30 минут.” В ноябре 1958 года Танияма покончил с собой. Три года, 51 день, 15 часов и 30 минут - это и есть 3,1415. Совпадение? Может быть. Но - вот ещё одно, ещё более странное. Итальянский математик Селла Квитино тоже несколько лет, как он сам туманно выражался, “поддерживал связь с одной милой цифрой”. Цифра, по словам Квитино, который уже тогда лежал в психиатрической лечебнице, “обещала сказать своё имя в день своего рождения”. Мог ли Квитино настолько лишиться разума, чтобы называть число Пи цифрой, или он так специально запутывал врачей? Не ясно, но 14 марта 1827-го года Квитино не стало.

А самая загадочная история связана с “великим Харди” (как вы все знаете, так современники называли великого английского математика Годфри Харолда Харди), который вместе со своим приятелем Джоном Литлвудом знаменит работами в теории чисел (особенно в области диофантовых приближений) и теории функций (где друзья прославились исследованием неравенств). Как известно, Харди был официально неженат, хотя не раз заявлял, что “обручён с царицей мира нашего”. Коллеги-учёные не раз слышали, как он разговаривает с кем-то в своём кабинете, его собеседника никто никогда не видел, хотя его голос - металлический и чуть скрипучий - долгое время был притчей во языцех в Оксфордском университете, где он работал в последние годы. В ноябре 1947 года эти беседы прекращаются, а 1 декабря 1947 года Харди находят на городской свалке, с пулей в желудке. Версию о самоубийстве подтвердила и записка, где рукой Харди было написано: “Джон, ты увёл у меня царицу, я тебя не виню, но жить без неё я более не могу”.

Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно?+

Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно?
Вообще говоря, подобных историй можно накопать очень много, и, разумеется, не все они трагичны.
Но, перейдём к “во-вторых”: каким образом число вообще может быть разумным? Да очень просто. Человеческий мозг содержит 100 млрд. нейронов, число знаков Пи после запятой вообще стремится к бесконечности, в общем, по формальным признакам оно может быть разумным. Но ведь если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера

Борвина и Саймона Плофе, последовательность десятичных знаков в Пи подчиняется теории хаоса, грубо говоря, число Пи это и есть хаос в его первозданном виде. Может ли хаос быть разумным? Конечно! Точно так же, как и вакуум, при его кажущейся пустоте, как известно, отнюдь не пуст.

Более того, при желании, можно этот хаос представить графически - чтобы убедиться, что он может быть разумным. В 1965-ом году американский математик польского происхождения Станислав М. Улам (именно ему принадлежит ключевая идея конструкции термоядерной бомбы), присутствуя на одном очень длинном и очень скучном (по его словам) собрании, чтобы как-то развлечься начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число Пи.

Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно обводил все простые числа чёрными кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых - то, что получилось, очень было похоже на нечто разумное. Особенно, после того, как Улам сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину, с помощью специального алгоритма.

Собственно, эту картинку, которую можно сравнить и с мозгом, и со звёздной туманностью, можно смело называть “мозгом числа Пи”. Примерно с помощью такой структуры это число (единственное разумное число во вселенной) и управляет нашим миром. Но - каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью неписанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые контролируются и корректируются разумным числом. Приведённые выше примеры показывают, что разумное число так же нарочно персонифицируется, общаясь с учёными как некая сверхличность. Но если так, приходило ли число Пи в наш мир, в облике обычного человека?

Сложный вопрос. Может быть приходило, может быть нет, надёжной методики определения этого нет и быть не может, но, если это число во всех случаях определено само собой, то можно предположить, что оно приходило в наш мир как персона в день, соответствующий его значению. Разумеется, идеальной датой рождения Пи является 14 марта 1592-го года (3,141592), однако, надёжной статистики по этому году, увы, нет - известно только, что именно в этом году 14 марта родился Джордж Вильерс Бэкингем - герцог Бэкингем из “Трёх мушкетёров”. Он великолепно фехтовал, знал толк в лошадях и соколиной охоте - но был ли он числом Пи? Вряд ли. На роль человеческого воплощения числа Пи мог бы идеально претендовать Дункан МакЛауд, родившийся 14-го марта 1592-го года, в горах Шотландии - если бы был реальной личностью.

Но ведь год (1592) может определяться по собственному, более логичному для Пи летоисчислению. Если принять это предположение, то претендентов на роль числа Пи становится много больше.+

Самый очевидный из них - Альберт Эйнштейн, родившийся 14 марта 1879-го. Но 1879 год это и есть 1592 год относительно 287 года до нашей эры! А почему именно 287? Да потому что именно в этом году родился Архимед, вперые в мире вычисливший число Пи как отношение длины окружности к диаметру и доказавший, что оно одинаково для любого круга!

Совпадение? Но не много ли совпадений, как думаете?

В какой личности Пи персонифицировано сегодня, не ясно, но для того, что бы увидеть значение этого числа для нашего мира, не нужно быть математиком: Пи проявляется во всём, что нас окружает. И это, кстати, очень свойственно для любого разумного существа, каковым, без сомнения, является Пи!

С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:

Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.

Как же работает алгоритм вычисления N-го знака Пи?
К примеру, если нам нужен 1000-й шестнадцатеричный знак числа Пи, мы домножаем всю формулу на 16^1000, тем самым обращая множитель, стоящий перед скобками, в 16^(1000-k). При возведении в степень мы используем двоичный алгоритм возведения в степень или, как будет показано в примере ниже, возведение в степень по модулю . После этого вычисляем сумму нескольких членов ряда. Причём необязательно вычислять много: по мере возрастания k 16^(N-k) быстро убывает, так что, последующие члены не будут оказывать влияния на значение искомых цифр). Вот и вся магия — гениальная и простая.

Формула Бэйли-Борвайна-Плаффа была найдена Саймоном Плаффом при помощи алгоритма PSLQ , который был в 2000 году включён в список Top 10 Algorithms of the Century . Сам же алгоритм PSLQ был в свою очередь разработан Бэйли. Вот такой мексиканский сериал про математиков.
Кстати, время работы алгоритма — O(N), использование памяти — O(log N), где N — порядковый номер искомого знака.

Думаю, уместно будет привести код на языке Си, написанный непосредственно автором алгоритма, Дэвидом Бэйли:

/* This program implements the BBP algorithm to generate a few hexadecimal digits beginning immediately after a given position id, or in other words beginning at position id + 1. On most systems using IEEE 64-bit floating- point arithmetic, this code works correctly so long as d is less than approximately 1.18 x 10^7. If 80-bit arithmetic can be employed, this limit is significantly higher. Whatever arithmetic is used, results for a given position id can be checked by repeating with id-1 or id+1, and verifying that the hex digits perfectly overlap with an offset of one, except possibly for a few trailing digits. The resulting fractions are typically accurate to at least 11 decimal digits, and to at least 9 hex digits. */ /* David H. Bailey 2006-09-08 */ #include #include int main() { double pid, s1, s2, s3, s4; double series (int m, int n); void ihex (double x, int m, char c); int id = 1000000; #define NHX 16 char chx; /* id is the digit position. Digits generated follow immediately after id. */ s1 = series (1, id); s2 = series (4, id); s3 = series (5, id); s4 = series (6, id); pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4; pid = pid - (int) pid + 1.; ihex (pid, NHX, chx); printf (" position = %i\n fraction = %.15f \n hex digits = %10.10s\n", id, pid, chx); } void ihex (double x, int nhx, char chx) /* This returns, in chx, the first nhx hex digits of the fraction of x. */ { int i; double y; char hx = "0123456789ABCDEF"; y = fabs (x); for (i = 0; i < nhx; i++){ y = 16. * (y - floor (y)); chx[i] = hx[(int) y]; } } double series (int m, int id) /* This routine evaluates the series sum_k 16^(id-k)/(8*k+m) using the modular exponentiation technique. */ { int k; double ak, eps, p, s, t; double expm (double x, double y); #define eps 1e-17 s = 0.; /* Sum the series up to id. */ for (k = 0; k < id; k++){ ak = 8 * k + m; p = id - k; t = expm (p, ak); s = s + t / ak; s = s - (int) s; } /* Compute a few terms where k >= id. */ for (k = id; k <= id + 100; k++){ ak = 8 * k + m; t = pow (16., (double) (id - k)) / ak; if (t < eps) break; s = s + t; s = s - (int) s; } return s; } double expm (double p, double ak) /* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary exponentiation scheme. */ { int i, j; double p1, pt, r; #define ntp 25 static double tp; static int tp1 = 0; /* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */ if (tp1 == 0) { tp1 = 1; tp = 1.; for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp; } if (ak == 1.) return 0.; /* Find the greatest power of two less than or equal to p. */ for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] > p) break; pt = tp; p1 = p; r = 1.; /* Perform binary exponentiation algorithm modulo ak. */ for (j = 1; j <= i; j++){ if (p1 >= pt){ r = 16. * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; p1 = p1 - pt; } pt = 0.5 * pt; if (pt >= 1.){ r = r * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; } } return r; }
Какие возможности это даёт? Например: мы можем создать систему распределённых вычислений, рассчитывающую число Пи и поставить всем Хабром новый рекорд по точности вычисления (который сейчас, к слову, составляет 10 триллионов знаков после запятой). Согласно эмпирическим данным, дробная часть числа Пи представляет собой нормальную числовую последовательность (хотя доказать это достоверно ещё не удалось), а значит, последовательности цифр из него можно использовать в генерации паролей и просто случайных чисел, или в криптографических алгоритмах (например, в хэшировании). Способов применения можно найти великое множество - надо только включить фантазию.

Больше информации по теме вы можете найти в статье самого Дэвида Бэйли, где он подробно рассказывает про алгоритм и его имплементацию (pdf);

И, похоже, вы только что прочитали первую русскоязычную статью об этом алгоритме в рунете - других я найти не смог.

14 марта во всем мире отмечают весьма необычный праздник – день числа Пи. Еще со школьной скамьи оно всем известно. Учащимся сразу объясняют, что число Пи - это математическая константа, отношение длины окружности к ее диаметру, которая имеет бесконечное значение. Оказывается, что с этим числом связано немало любопытных фактов

1. История числа насчитывает не одно тысячелетие, почти столько, сколько существует наука математика. Конечно, точное значение числа рассчитали не сразу. Поначалу отношение длины окружности к диаметру считали равным 3. Но с течением времени, когда начала развиваться архитектура, потребовалось более точное измерение. Кстати, число существовало, а вот буквенное обозначение оно получило только в начале XVIII века (1706 год) и происходит от начальных букв двух греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». Буквой "π" число наделил математик Джонс, а прочно вошла в математику она уже в 1737 году.

2. В разные эпохи и у разных народов число Пи имело разное значение. Например, в Древнем Египте оно равнялось 3,1604, у индусов оно приобрело значение 3,162, китайцы пользовались числом, равным 3,1459. С течением времени π рассчитывали все точнее, а когда появилась вычислительная техника, то есть компьютер, оно стало насчитывать более 4 миллиардов знаков.

3. Есть легенда, точнее так считают специалисты, что число Пи использовали при строительстве Вавилонской башни. Однако не гнев божий стал причиной ее обрушения, а неправильные расчеты при строительстве. Мол, древние мастера ошиблись. Подобная версия существует касательно храма Соломона.

4. Примечательно, что значение числа Пи пытались вводить даже на уровне государства, то есть посредством закона. В 1897 году в штате Индиана подготовили билль. Согласно документуПи равнялось 3,2. Однако ученые вовремя вмешались и предотвратили таким образом ошибку. В частности, против билля выступил профессор Пердью, присутствовавший на законодательном собрании.

5. Интересно, что свое имя имеют несколько чисел в бесконечной последовательности Пи. Так, шесть девяток числа Пи носят имя американского физика. Как-то Ричард Фейнман читал лекцию и ошарашил публику замечанием. Он сказал, что хотел бы наизусть выучить цифры числа Пи до шести девяток только для того, чтобы под конец рассказа произнести шесть раз «девять», намекая на то, что его значение рационально. Тогда как на самом деле оно иррационально.

6. Математики всего мира не прекращают вести исследования, связанные с числом Пи. Оно буквально окутано некой тайной. Некоторые теоретики даже полагают, что в нем заключена вселенская истина. Чтобы обмениваться знаниями и новой информацией о Пи, организовали Пи-клуб. Вступить в него непросто, нужно иметь незаурядную память. Так, желающих стать членом клуба экзаменуют: человек должен по памяти рассказать как можно больше знаков числа Пи.

7. Придумали даже различные техники для запоминания числа Пи после запятой. Например, придумывают целые тексты. В них слова имеют то же количество букв, что и соответствующая цифра после запятой. Чтобы еще упростить запоминание такого длинного числа, сочиняют стихи по тому же принципу. Члены Пи-клуба частенько развлекаются таким образом, а заодно тренируют память и сообразительность. Например, такое хобби было у Майка Кейта, который восемнадцать лет назад придумал рассказ, каждое слово в котором равнялось почти четырем тысячам (3834) первых знаков числа Пи.

8. Есть даже люди, поставившие рекорды по запоминанию знаков Пи. Так, в Японии Акира Харагучи наизусть выучил больше восьмидесяти трех тысяч знаков. А вот отечественный рекорд не такой выдающийся. Житель Челябинска сумел наизусть произнести только две с половиной тысячи чисел после запятой числа Пи.

"Пи" в перспективе

9. День числа Пи отмечают больше четверти века, с 1988 года. Однажды физик из научно-популярного музея в Сан-Франциско Ларри Шоу заметил, что 14 марта по написанию совпадает с числом Пи. В дате месяц и число образуют 3.14.

10. День числа Пи отмечают не то чтобы оригинально, но весело. Конечно, не пропускают его ученые, занимающие точными науками. Для них это - способ не отрываться от любимого дела, а заодно расслабиться. В этот день люди собираются и готовят разные вкусности с изображением Пи. Особенно есть где разгуляться кондитерам. Они могут делать торты с надписями в виде числа «пи» и печенье похожей формы. Отведав лакомства, математики устраивают разные викторины.

11. Есть любопытное совпадение. 14 марта родился великий ученый Альберт Эйнштейн , создавший, как известно, теорию относительности. Как бы то ни было, физики тоже могут присоединиться к празднованию Дня числа Пи.