Цели урока:

Учащиеся должны знать:

• что называется угловым коэффициентом прямой;
• углом между прямой и осью Ох;
• в чем состоит геометрический смысл производной;
• уравнение касательной к графику функции;
• способ построения касательной к параболе;
• уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока:

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

• наглядные;
• практические;
• по мыслительной деятельности: индуктивный;
• по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
• по степени самостоятельности: лабораторная работа;
• стимулирующие: поощрения;
• контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

1. Устные упражнения (найти производную)
2. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
3. Изучение нового материала
4. Физ. Минутка.
5. Решение заданий.
6. Лабораторная работа.
7. Подведение итогов урока.
8. Комментирование домашнего задания.

Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа).

Ход урока

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе.

Устный счет

1. Найдите производные:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

5х 3 -6х	15х 2 -6	30х
2sinx	2cosx …
cos2x	… …

II. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.

Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?

III. Изучение нового материала.

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .

IV. Физкультминутка.

V. Решение заданий.

№91(1) стр 91 – показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№91 (3,5) – под диктовку.

№92(1) – на доске по желанию.

№ 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой.

№92 (5) – за доской.

Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .

VI. Лабораторная работа.

Цель: отработка понятия “механический смысл производной”.

Приложения производной к механике.

Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t.

1. Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
2. Скорость и ускорение в момент времени t 04
3. Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
4. Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.

Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцированы по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень сложности).

Перед началом работы беседа по вопросам:

1. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
2. Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
3. Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
4. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

Образец выполнения работы учащимся.

х(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Рисунок 4

В противоположном направлении.

Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Рисунок 5

VII. Подведение итогов урока

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?
3) Сделайте вывод о своей работе.

VIII. Комментирование домашнего задания.

Стр.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр. 92 №112.

Используемая литература

• Учебник Алгебра и начала анализа.
  Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
  Под редакцией А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть 1.
• Интернет-ресурсы: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Для выяснения геометрического значения производной рассмотрим график функции y = f(x). Возьмем произвольную точку М с координатами (x, y) и близкую к ней точку N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Проведем ординаты $\overline{M_{1} M}$ и $\overline{N_{1} N}$, а из точки М -- параллельную оси ОХ прямую.

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ является тангенсом угла $\alpha $1, образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При стремлении $\Delta $х к нулю точка N будет приближаться к M, а предельным положением секущей MN станет касательная MT к кривой в точке M. Таким образом, производная f`(x) равна тангенсу угла $\alpha $, образованного касательной к кривой в точке M (х, y) с положительным направлением к оси ОХ -- угловому коэффициенту касательной (рис.1).

Рисунок 1. График функции

Вычисляя значения по формулам (1), важно не ошибиться в знаках, т.к. приращение может быть и отрицательным.

Точка N, лежащая на кривой, может стремиться к M с любой стороны. Так, если на рисунке 1, касательной придать противоположное направление, угол $\alpha $ изменится на величину $\pi $, что существенно повлияет на тангенс угла и соответственно угловой коэффициент.

Вывод

Следует вывод, что существование производной связано с существованием касательной к кривой y = f(x), а угловой коэффициент -- tg $\alpha $ = f`(x) конечный. Поэтому касательная не должна быть параллельной оси OY, иначе $\alpha $ = $\pi $/2, а тангенс угла будет бесконечным.

В некоторых точках непрерывная кривая может не иметь касательной или иметь касательную параллельную оси OY (рис.2). Тогда в этих значениях функция не может иметь производную. Подобных точек может быть сколько угодно много на кривой функции.

Рисунок 2. Исключительные точки кривой

Рассмотрим рисунок 2. Пусть $\Delta $x стремится к нулю со стороны отрицательных или положительных значений:

\[\Delta x\to -0\begin{array}{cc} {} & {\Delta x\to +0} \end{array}\]

Если в данном случае отношения (1) имеют конечный придел, он обозначается как:

В первом случае -- производная слева, во втором -- производная справа.

Существование предела говорит о равносильности и равенстве левой и правой производной:

Если же левая и правая производные неравны, то в данной точке существуют касательные не параллельные OY (точка М1, рис.2). В точках М2, М3 отношения (1) стремятся к бесконечности.

Для точек N лежащих слева от M2, $\Delta $x $

Справа от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но выражение также f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Для точки $M_3$ слева $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. выражения (1) и слева, и справа положительны и стремятся к +$\infty $ как при приближении $\Delta $x к -0, так и к +0.

Случай отсутствия производной в конкретных точках прямой (x = c) представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. Отсутствие производных

Пример 1

На рисунке 4 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$. Найти значение производной функции в абсциссе.

Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-3,2) и C (-2.4).

Производная функции.

1. Определение производной, её геометрический смысл.

2.Производная сложной функции.

3. Производная обратной функции.

4. Производные высших порядков.

5. Параметрически заданные функции и неявно.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Введение.

Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.

1) Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном законе движения.

2) Вопрос о нахождении (с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.

Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.

Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.

Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.

Скорость с которой движется самолёт или автомобиль, всегда служит важнейшим показателем его работы. Быстрота прироста населения того или иного государства является одной из основных характеристик его общественного развития.

Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью. Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения. К изучению этого раздела мы и переходим.

Определение производной, её геометрический смысл.

Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.

1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит

приращение :

2. Составим отношение .

3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел

существует, получим величину , которую называют

производной функции по аргументу х .

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.

Значение производной очевидно зависит от точки х , в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от х . Обозначается .

По определению имеем

или (3)

Пример. Найти производную функции .

1. ;

Эту статью начнем с обзора необходимых определений и понятий.

После этого перейдем к записи уравнения касательной прямой и приведем подробные решения самых характерных примеров и задач.

В заключении остановимся на нахождении уравнения касательной к кривым второго порядка, то есть, к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе.

Навигация по странице.

Определения и понятия.

Определение.

Углом наклона прямой y=kx+b называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y=kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).

На рисунке положительное направление оси абсцисс показано горизонтальной зеленой стрелочкой, положительное направление отсчета угла изображено зеленой дугой, прямая показана синей линией, а угол наклона прямой - красной дугой.

Определение.

Угловым коэффициентом прямой y=kx+b называют числовой коэффициент k .

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой , то есть, .

Определение.

Прямую AB , проведенную через две точки графика функции y=f(x) , называют секущей . Другими словами, секущая – это прямая, проходящая через две точки графика функции.

На рисунке секущая прямая AB изображена синей линией, график функции y=f(x) - черной кривой, угол наклона секущей - красной дугой.

Если принимать во внимание, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс угла в прямоугольном треугольнике ABC есть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств , где - абсциссы точек А и В , - соответствующие значения функции.

То есть, угловой коэффициент секущей определяется равенством или , а уравнение секущей записывается в виде или (при необходимости обращайтесь к разделу ).

Секущая прямая разбивает график функции на три части: слева от точки А , от А до В и справа от точки В , хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.

На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки А и В различны), но они совпадают и задаются одним уравнением.

Нам ни разу не встречались разговоры о секущей прямой для прямой. Но все же, если отталкиваться от определения, то прямая и ее секущая прямая совпадают.

В некоторых случаях секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0 , имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.

Определение.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к .

Поясним это определение на примере. Покажем, что прямая y = x+1 является касательной к графику функции в точке (1; 2) . Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания (1; 2) . Черным цветом показан график функции , касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.

Каждый последующий рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).

Хорошо видно, что вблизи точки касания график функции практически сливается с касательной прямой y=x+1 .

А сейчас перейдем к более значимому определению касательной.

Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ , если точку В бесконечно приближать к точке А .

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной (изображен красной сплошной дугой).

Определение.

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при .

Вот теперь можно переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке.

Рассмотрим секущую АВ графика функции y=f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты и , где - приращение аргумента. Обозначим через приращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВС имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то .

Вспомним определение производной функции в точке : производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается .

Следовательно, , где - угловой коэффициент касательной.

Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной прямой.

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке . То есть, из пункта мы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид .

Мы подразумеваем, что существует конечное значение производной , в противном случае касательная прямая либо вертикальна (если и ), либо не существует (если ).

В зависимости от углового коэффициента , касательная может быть параллельна оси абсцисс (), параллельна оси ординат ( в этом случае уравнение касательной будет иметь вид ), возрастать () или убывать ().

Самое время привести несколько примеров для пояснения.

Пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке (-1;-3) и определить угол наклона.

Решение.

Функция определена для всех действительных чисел (при необходимости обращайтесь к статье ). Так как (-1;-3) – точка касания, то .

Находим производную (для этого может пригодиться материал статьи дифференцирование функции, нахождение производной) и вычисляем ее значение в точке :

Так как значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона, то .

Следовательно, угол наклона касательной равен , а уравнение касательной прямой имеет вид

Графическая иллюстрация.

Черным цветом показан график исходной функции, касательная прямая изображена синей линией, точка касания - красной точкой. Рисунок справа представляет собой увеличенную область, обозначенную красным пунктирным квадратом на рисунке слева.

Пример.

Выяснить, существует ли касательная к графику функции в точке (1; 1) , если да, то составить ее уравнение и определить угол ее наклона.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Находим производную:

При производная не определена, но и , следовательно, в точке (1;1) существует вертикальная касательная, ее уравнение имеет вид x = 1 , а угол наклона равен .

Графическая иллюстрация.

Пример.

Найти все точки графика функции , в которых:
a) касательная не существует; b) касательная параллельна оси абсцисс; c) касательная параллельна прямой .

Решение.

Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка и :

Продифференцируем функцию:

При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:

Таким образом, вычислив значение функции при x=-2 , мы можем дать ответ на пункт а) : , касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2) .

b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как , то нам нужно найти все значения х , при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox .

При решаем уравнение , а при - уравнение :

Осталось вычислить соответствующие значения функции:

Поэтому, - искомые точки графика функции.

Графическая иллюстрация.

График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье ). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение . Таким образом, при решаем уравнение , а при - уравнение .

Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:

Второе уравнение имеет два действительных корня:

Находим соответствующие значения функции:

В точках касательные к графику функции параллельны прямой .

Графическая иллюстрация.

График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках .

Для тригонометрических функций в силу их периодичности, может существовать бесконечно много касательных прямых, имеющих один угол наклона (одинаковый угловой коэффициент).

Пример.

Написать уравнения всех касательных к графику функции , которые перпендикулярны прямой .

Решение.

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции нам достаточно знать ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

Угловой коэффициент касательных найдем из : произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, то есть . Так как по условию угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен , то .

Приступим к нахождению координат точек касания. Для начала найдем абсциссы, затем вычислим соответствующие значения функции – это будут ординаты точек касания.

При описании геометрического смысла производной функции в точке мы отметили, что . Из этого равенства найдем абсциссы точек касания.

Мы пришли к тригонометрическому уравнению. Просим обратить на него внимание, так как позже мы его используем при вычислении ординат точек касания. Решаем его (при затруднениях обращайтесь к разделу решение тригонометрических уравнений ):

Абсциссы точек касания найдены, вычислим соответствующие ординаты (здесь используем равенство, на которое мы просили обратить внимание чуть выше):

Таким образом, - все точки касания. Следовательно, искомые уравнения касательных имеют вид:

Графическая иллюстрация.

На рисунке черной кривой показан график исходной функции на отрезке [-10;10] , синими линиями изображены касательные прямые. Хорошо видно, что они перпендикулярны красной прямой . Точки касания отмечены красными точками.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.

Касательная к окружности.

Окружность с центром в точке и радиусом R задается равенством .

Запишем это равенство в виде объединения двух функций:

Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая - нижней.

Таким образом, чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке , принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции (или ) в указанной точке.

Легко показать, что в точках окружности с координатами и касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями и соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках и - параллельны оси ординат и имеют уравнения и соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).

Касательная к эллипсу.

Эллипс с центром в точке с полуосями a и b задается уравнением .

Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций - верхнего и нижнего полуэллипса:

Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).

То есть, верхний полуэллипс задается функцией , а нижний - .

Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.

Первая касательная в точке :

Вторая касательная в точке :

Графическая иллюстрация.

Касательная к гиперболе.

Гипербола с центром в точке и вершинами и задается равенством (рисунок ниже слева), а с вершинами и - равенством (рисунок ниже справа).

В виде объединения двух функций гипербола представима как

или .

В вершинах гиперболы касательные параллельны оси Оу для первого случая и параллельны оси Ох для второго.

Таким образом, для нахождения уравнения касательной к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.

Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.

Пример.

Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке .

Решение.

Запишем гиперболу в виде двух функций:

Выясним к какой функции принадлежит точка касания .

Для первой функции , следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.

Для второй функции , следовательно, точка принадлежит графику этой функции.

Находим угловой коэффициент касательной:

Таким образом, уравнение касательной имеет вид .

Графическая иллюстрация.

Касательная к параболе.

Для составления уравнения касательной к параболе вида в точке пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как . Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Ох .

Параболу сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y :

Теперь выясняем к какой из функций принадлежит точка касания и действуем по стандартной схеме.

Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Оу ..

Для второй функции:

Получаем точку касания .

Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид .

Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).

1. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

1. Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).